Ayudantia6-2015.1(Pauta)

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Ayudanta 6 Mate 420 de abril, 2015

Profesor: Pablo Gonzalez Lever / Ayudante: Vctor Valdebenito Silva

1. Dada la funcion T : [0, 2] R20 R2 definida porT(, ) = ( cos sin4, sin sin4) = (x, y).

a) Considerar el rectangulo R = [0, /4] [0, 2]. Dibujar la imagen deT(R) = .Sol:

Observar que se trata de una transformacion a coordenadas polares de la rosa de ocho petalos = sin4 con radio maximo 2. Como el angulo se mueve entre 0 y

4, se trata solo de un

petalo, el cual se encuentra en el primer cuadrante.

Figura 1: imagen deT(R) =

b) Calcular la masa del cilindro Scon base y altura dada por la superficie z=

4 x2 y2con densidad proporcional a la distancia de cada punto del solido al plano xy .Sol:

Se define la funcion densidad de masa como

(x,y,z) =K|z|Luego, para encontrar la masa bajo esta transformacion, es necesario calcular el jacobiano

J(, ) = cos sin4 ( sin sin4+ 4 cos cos4)sin sin4 (cos sin4+ 4 sin cos4) = sin

2 4

Luego, la masa del solido viene dada por

m= K

/40

2

0

42 sin2 4

0

z sin2 4dzdd

=k

2

/40

8sin2 4d 4 /40

sin2 4d

=5k

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2. Sea R2 una lamina delimitada por las curvasy= x3, y= x3 + 2, y+x= 0, y+x 3 = 0.

Si la densidad en cada punto de la lamina viene determinada por la funcion(x, y) = 1 + 3x2

y si para k [0, 3] se define la rectal: x+y= k.a) Calcular el momento de inercia de la lamina respecto a la recta l, el cual sera denotado por

I(k).Sol:

La inercia viene dada por la integral

I(k) =

(x, y)d2(x, y)dxdy

Aqu, (x, y) es la densidad de masa que en este caso viene dada por (x, y) = 1 + 3x2.

Por otra parte,d2(x, y), es la distancia de todos los puntos (x, y) al eje de interes, que eneste caso esx+y= k. Recordando que la distancia de un punto a una recta es el valor absolutode la ecuacion general de la recta sobre la raz de los coeficientes de la misma. Entonces,

d(x, y) =|x+y k|

2

Para resolver, consideramos el cambio

u= y x3 u [0, 2]v= x+y v [0, 3]

J1(u, v) =3x2 11 1

= 1 + 3x2 J(u, v) = 11 + 3x2Luego, la inercia viene dada por la integral

I(k) =1

2

3

0

2

0

(v k)2dudv= 3k2 9k+ 9

b) Determinark de modo que I(k) sea mnimo.Sol:

Derivando obtenemos

I(k) = 6k 9I(k) = 6>0

Como la segunda derivada es positiva, tenemos que al igualar la primera derivada a cero,obtendremos un mnimo. As

6k 9 = 0 k= 32

es el valor que da la inercia mnima.

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3. Considerar la curva

(s) = a cos sa2 +b2 , a sin

sa2 +b2 , b

sa2 +b2 .

Hallar la curvatura y la torsion de (s).Sol:

Hacemos = 1a2+b2

.

(s) = (a sin s,a cos s,b)Observar que||(s)|| = 1 T(t) =(s). De esto tambien se deduce que (s) esta parame-trizada por longitud de arco.Por formulas de Frenet tenemos

T(s) = (a2 cos s,a2 sin s, 0) =k(s)N(s) k(s) =a

2

N(s) = ( cos s, sin s, 0) B(s) =T(s)N(t) = (b sin s,b cos s,a)

Si usamos una vez mas las formulas de Frenet tenemos

B(s) = (b2 cos s,b2 sin s, 0) =(s)N(s)

(s) = b2

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4. Considerar la superficie de ecuacion xyz = 3, > 0. Demostrar que el volumen encerradopor el plano tangente en un punto cualquiera de la superficie y los planos coordenados esconstante.

Sol:Digamos queP = (a,b,c) es un punto de la superficie.Definimos la superficieF(x,y,z) =xyz 3.El plano tangente a esta superficie viene dado por

F P0= 0

Donde P0= (x a, y b, z c) yF = (yz,xz,xy), por lo que el plano tangente sera

bc(x a) +ac(y b) +ab(z c) = 0

x

3a

+ y

3b

+ z

3c

= 1

Luego, el volumen bajo este plano es

V =

3b

0

a(3yb )0

3ccx

acy

b

dxdy

=ac

2

3b

0

3 y

b

2dy

=9abc

2

=

93

2

pues (a,b,c) esta sobre la superficie. Queda entonces demostrado.

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