BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES

PRUEBAS DE SELECTIVIDAD LOGSE

92 JUNIO A y B

PROBLEMA 1 Opción A.

Usando la tabla de la distribución normal, justifique las dos afirmaciones siguientes:

a) Aproximadamente el 68% de todos los valores de una variable aleatoria normal está a menos de una desviación típica de la media.

b) Aproximadamente el 5% de todos los valores de una variable aleatoria normal está a más de dos veces la desviación típica de la media.

Opción B.

En la Facultad de Económicas de la Uníversidad de Valencia, el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres miden más de 2 metros de estatura. El 60% de los estudiantes son mujeres. se selecciona al azar un estudiante y resulta que mide más de dos metros. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer.? PROBLEMA 2 Opción A.

Una firma industrial ha recibido un encargo para fabricar 400.000 medallas conmemorativas de la EXPO'92 de Sevilla. La firma posee varias máquinas, cada una de las cuales puede producir 200 medallas por hora. El coste de puesta a punto de las máquinas para producir medallas es de 8000 ptas por máquina, y el coste del proceso de fabricación es de 576 ptas por hora.

Exprese el coste de producir las 400.000 medallas como función del número de máquinas usadas. Estimo de modo razonado el número de máquinas que la firma debe usar para minimizar el coste total. Opción B.

Para prevenir los efectos de la sequía de 1992, el ayuntamiento de Villena decidió un aumento drástico de las tasas, esperando disuadir a los habitantes del municipio del consumo excesivo de agua. La tasa mensual fijada fue de 122 ptas por cada metro cúbico de los primeros 1.2 metros cúbicos gastados, 1000 ptas por metro cúbico de agua de los 12 siguientes metros cúbicos y 5000 ptas por metro cúbico de allí en adelante.

Exprese la factura mensual de agua de un residente de Villena como una función de la cantidad de agua consumida y trace una representación gráfica de tal función. PROBLEMA 3 Opción A.

La inmobiliaria Boro & Boro gestiona el alquiler de pisos en Castellón La oferta de que dispone en la actualidad queda resumida en la siguiente tabla en la que cada casilla refleja el número de pisos disponibles con el precio y las correspondientes. (Por ejemplo, hay en alquiler 7 pisos de 2 habitaciones a 30.000 ptas/mes.)

ptas / mes de alquiler Núm. habitaciones

30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 1 5 3 1 0 0 2 7 6 4 1 0 3 2 6 6 2 1 4 0 2 3 5 8

Un nuevo cliente de la inmobiliaria es propietario de un piso con 5

habitaciones que desea poner en alquiler. ¿Qué precio de alquiler sería recomendable para tal piso,? Opción B.

¿Qué le ocurre a la media de un conjunto de datos numéricos si cada uno de ellos se duplica.? ¿Y si cada uno de los números es aumentado en 10 unidades.? Se elimina el menor de los datos de un conjunto de datos. ¿Cómo se modificará la medía aritmética.? Si se duplican los datos de un conjunto, ¿cómo se transforma la desviación típica.?

92 SEPTIEMBRE A y B

PROBLEMA 1 OPCIÓN A En un supermercado se ponen a la venta 30 kilos de cacahuetes cada semana. Supóngase que la demanda semanal de cacahuetes en ese supermercado está normalmente distribuida con media 24 kilos y desviación típica de 5 kilos. ¿Cuál es la probabilidad de que el supermercado agote las existencias de cacahuetes durante una semana aleatoriamente seleccionada.? OPCIÓN B. Supongamos que el 15% de los españoles habla inglés y el. 20% de los italianos también. El día 20 de junio de 1.992, en el vuelo Madrid-Roma viajan 120 españoles y 80 italianos, siendo éste el total del pasaje.

¿Cuál es la probabilidad de que, al dirigírsela azafata en inglés a un pasajero elegido al azar, éste la entienda.?. PROBLEMA 2 OPCIÓN A Un vendedor al por menor puede obtener cámaras del fabricante a un coste de 5000 ptas. cada una. El vendedor ha estado vendiendo las cámaras a un precio de 8000 ptas cada una y, a ese precio, los consumidores han estado comprando 40 cámaras por mes. El vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada 500 ptas de reducción en el precio se venderán 10 cámaras más cada mes.

a) Exprese el beneficio mensual del vendedor en la venta de cámaras como función del precio de venta.

b) Esboce una representación gráfica de la función construida, interpretando los puntos de corte de la misma con los ejes de coordenadas.

c) Estime cuál es el precio óptimo de venta, es decir el que reporta mayores beneficios al vendedor.

OPCIÓN B. Se estima que el coste de construcción de un edificio de oficinas que tienen plantas de alturas es de

C(n) = 20 n2 + 5000 n + 6000 miles de pesetas. ¿Cuántas plantas debería tener el edificio para minimizar el coste medio por planta (es decir el coste total dividido entre el número de plantas.)? Tenga en cuenta que la respuesta debe ser un número entero. PROBLEMA 3 OPCIÓN A Si Y representa el precio de una bebida alcohólica y X la demanda de la misma bebida, se obtiene -0,14 como coeficiente de regresión de Y sobre X y -0,21 como coeficiente de regresión de X sobre Y. Calcule el coeficiente de correlación que presentan estas dos dos variables. OPCIÓN B La distribución de estaturas de una muestra de 40 individuos nacidos en el mismo año y en el mismo mes viene dada por la tabla siguiente Estatura: 151 156 161 166 171 176 no. de individuos: 2 4 11 14 5 4 Formule un criterio razonable para clasificar a estos 40 individuos en altos, normales y bajos. Clasifique a los individuos según ese criterio.

93 JUNIO A y B

PROBLEMA 1 OPCION A Tenernos tres cofres que contienen lingotes de oro y plata de la siguiente manera: El primer cofre tiene 3 de oro y 2 de plata; el segundo cofre tiene 2 de oro y 5 de plata; y el tercero tiene 6 de oro y 7 de plata. es la probabilidad de que al sacar un lingote al azar de un cofre al azar sea de oro? ¡¡)SI se saca un lingote al azar de un cofre al azar y es un lingote de oro, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraído del tercer cofre? 0PCION B. Empareja razonadamente las siguientes medidas estadísticas con sus correspondientes histogramas:

A B C desviación típica

4 10 7

Explica cual de los histogramas anteriores puede corresponder a una población normal. PROBLEMA 2 OPCION A

En economía se llama función de Utilidad Total, y se representa por U = f(x), a una función definida en [0,M que verifica las cinco propiedades siguientes: f (x) >=0 f,(x)>=0 f ''(x):<=0 f(0)=0 f’(M)=0 para cada x e [0,M]. ¿Existe un valor M tal que la función U = x – x2 sea una función de utilidad total en [O,M] Justifica la respuesta. OPCION B Con listones de madera de 3 metros de largo querernos fabricar marcos para cuadros. Si la base mide 1 metro, ¿cuánto mide la altura y la superficie del cuadro? Busca una relación funciona] entre la altura y la superficie del cuadro y averigua para que valor de la altura la superficie es máxima,

PROBLEMA 3 OPCIÓN A Se sabe que las condiciones socioeconómicas del 40% de la población de una determinada comarca son deficientes. Elegida una muestra de esa población formada por 5 individuos, hallar:

i) La probabilidad de que sólo 3 vivan en condiciones deficientes. ii) Se cogen 500 individuos al azar. ¿Cuál es el número esperado de

individuos que viven deficientemente? OPCION B Los gastos en publicidad de una empresa, en millones de pesetas, y sus correspondientes ventas, según el histórico de la empresa, vienen dados por la tabla Publicidad 1 2 3 4 5 6 7 8 Ventas 15 16 14 17 20 18 18 19 Estimar, razonadamente, cuántos millones se necesita invertir en publicidad para obtener una ventas de 25 millones.

93 Septiembre A y B

PROBLEMA 1 OPCION A Se ha comprobado que el 60% de las empresas tienen errores en sus activos financieros, el 50% tienen errores en sus pasivos financieros y que el 20% tienen errores en sus activos y en sus pasivos financieros.

a) Calcular la probabilidad de que elegida una empresa al azar tenga error en sus activos financieros, en sus pasivos financieros o en ambos

b) En una muestra de 450 empresas ¿cuántas cabe esperar que tengan errores en sus activos o en sus pasivos financieros?

De datos de una empresa se obtuvo el siguiente cuadro entre el número de representantes y el número de pedidos: OPCION B De datos de una empresa, se obtuvo el siguiente cuadro entre el número de representantes y el número de pedidos: número de representantes

4 5 6 8 10

número de pedidos 90 110 140 190 235 Estima razonadamente el número de representantes para obtener 300 pedidos. ¿Cuántos pedidos se esperarían con 9 representantes?

PROBLEMA 2 OPCION A Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e Inferior deben tener 2 cm de altura cada uno, y los laterales 1 cm cada uno. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja para que el gasto de papel sea mínimo? Razonar, si la solución obtenida representa un mínimo relativo o un mínimo absoluto. OPCION B El dueño de un manantial de agua mineral llega a la conclusión: Si el precio a que vende la botella es x pesetas, sus beneficios serán de -x2 + l0x -21 miles de pesetas al día. Representa la función precio - beneficios, e indica:

i) ¿Qué precio debe poner para obtener un beneficio máximo? ii) ¿Cuál será este beneficio?

PROBLEMA 3 OPCION A Las ventas diarias de una empresa siguen una distribución normal de media 10.520 pts y de desviación típica 340 pts.

i) Justifica sí es o no razonable obtener algunos días unas ventas superiores a las 20.000 pts.

ii) Utilizando las tablas obtén la probabilidad de obtener unas ventas superiores a 10.860 pts.

iii) ¿Cuántos días en un año se espera obtener unas ventas superiores a 10.860 pts?

OPCION B Una secretaria elabora cada día 5 documentos, y sabemos que la probabilidad de que cada uno de esos documentos sea correcto es 0,8.

i) Calcular la probabilidad de que un día elabore más de 3 documentos correctos.

ii) Calcular la probabilidad de que un día elabore sólo un documento correcto.

iii) Calcular el número medio de documentos correctos que elabora por día

94 JUNIO A

PROBLEMA 1: En una excavación arqueológica se han encontrado punzones, monedas y pendientes. Un punzón, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Se pesan después 4 punzones, 3 monedas y 2 pendientes, dando un resultado de 90 gramos. El peso de una pieza deforme irreconocible es de 18 gramos. ¿qué es , punzón, moneda o pendiente?.

PROBLEMA 2: Un taller de bisutería produce anillos sencillos, que vende a 450 pesetas y anillos adornados que vende a 600 pesetas. Las máquinas condicionan la producción de manera que no pueden salir al día mas de 400 anillos sencillos, ni más de 300 adornados, ni más de 500 en total. Suponiendo que no se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase interesará fabricar para obtener el máximo beneficio?. PROBLEMA 3: El precio de los diamantes en bruto hasta 200 gramos de peso es de 500 euros/g, mientras que los que pesan más de 200 gramos tienen un precio de 750 euros/g. Construye una fórmula que exprese el valor de un diamante en función de su peso y represéntala gráficamente, PROBLEMA 4: Una persona despistada escribe cuatro cartas y las coloca en los sobres sin fijarse si corresponde a su destinatario, ¿cuál es la probabilidad de que no se equivoque en ningún envío

94 JUNIO B

PROBLEMA 1: Minimizar 5X +3Y con las restricciones 2X+Y≤18; 2X+3Y≤26; X+Y≤16 PROBLEMA 2: La función f(x)=sX3-15x2+24x+2 describe los beneficios esperados de una empresa los próximos 3 años. 0≤x≤3. En ese periodo, ¿cuándo será máximo y cuándo serán mínimos los beneficios?. ¿A cuánto ascenderán en cada caso?. PROBLEMA 3: El valor de un libro raro se duplica cada 10 años. El libro fue valorado originariamente en 300 pesetas. Construye la fórmula que describe la evolución del valor de libro en función del tiempo y represéntala indicando claramente cuál es el dominio de interés y el significado de cada variable. PROBLEMA 4: La máquina A produce 100 piezas cada hora y tiene un porcentaje de piezas defectuosas del 4%. La máquina B produce 25 piezas cada hora con una porcentaje de piezas defectuosas del 6%. Tenemos mezcladas las piezas de una jornada de 8 horas y sacamos una pieza al azar. ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina B?.

94 SEPTIEMBRE A PROBLEMA 1: Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones AX=B.

A =

−−

−

014

212

111

B =

2

2

0

(ALGEBRA)

PROBLEMA 2: Una máquina produce dos marcas de comida para perros A y B a partir de carne y harina, con los datos de producción recogidos en la tabla. ¿Cuántas latas deben producir por hora de cada marca para maximizar el beneficio?. Carne Harina Beneficios Marca A 200 gr/lata 100 gr/lata 300 pts/lata Marca B 140 gr/lata 160 gr/lata 240 pts/lata Máximo admitido por máquina 78 kg/hora 48 kg/hora (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3: El día 1 de mayo el precio del melón es de 200 pts/kg. Cada día que pasa, el precio por kg. Disminuye en 2 pts. Un agricultor tiene el 1 de mayo 80 kg de melones y estima que cada día 10 kg más. ¿Cuándo debe vender el agricultor los melones para obtener el máximo beneficio? (FUNCIONES) PROBLEMA 4: Los condenados a muerte en Celofania tienen una posibilidad de librarse de la pena. Con los ojos vendados deben elegir una de tres urnas ,una con 5 bolas blancas y 1 negra, otra con 4 blancas y 2 negras y una tercera con 3 blancas y 3 negras, y extraer una bola. En el caso de que sea blanca, salvan la vida. ¿Cuál es la probabilidad de que se salven? (PROBABILIDAD)

94 SEPTIEMBRE B PROBLEMA 1: Minimizar 5x+3y con las restricciones 16;2632;182 ≤+≤+≤+ yxyxyx (PROGRAMACIÓN)

PROBLEMA 2: La función y = 2x^3-15x^2+24x+2 describe los beneficios esperados de una empresa en los próximos 3 años. En ese periodo, ¿serán máximos o mínimos los beneficios? ¿A cuánto ascenderá en cada caso? PROBLEMA 3: El valor de un libro raro se duplica cada 10 años. El libro fue valorado originalmente en 300 pts. Construye la fórmula que describe la evolución del valor del libro en función del tiempo y represéntala indicando claramente cuál es el dominio de interés y el significado de cada variable. (FUNCIONES) PROBLEMA 4: La máquina A produce 100 piezas cada hora y tiene un porcentaje de fallos del 4%. La máquina B produce 250 piezas cada hora con un porcentaje de fallos del 6%. Tenemos mezcladas las piezas de una jornada de 8 horas y sacamos una pieza al azar. ¿Cuál la probabilidad de que proceda de la máquina B? (PROBABILIDAD)

1995 JUNIO A PROBLEMA 1.

Sea A=

−−

111

111

111

y B=

−

111

111

111

Calcular todas Ias soluciones de los

sistemas de ecuaciones lineales:

a) A

=

0

0

0

z

y

x

b) B

=

0

0

0

z

y

x

(ALGEBRA)

PROBLEMA 2. Un concesionario de coches lanza una oferta especial vendiendo el modelo A a 1 millón de pesetas de precio y el modelo B a 2 millones. EI fabricante le impone Ias siguientes condiciones: 1. Sólo puede vender en oferta especial 20 coches dei modelo A y 10 del B. 2.Debe vender tantas unidades del modelo A como del modelo B. El concesionario sabe que para cubrir los gastos de la campaña los ingresos obtenidos deben ser al menos de 6 millones. a) Calcular el mínimo número de coches que ha de vender para cubrir los gastos de Ia campaña. b) Calcular los coches que ha de vender para maxirnizar sus ingresos. (PROGRAMACIÓN)

PROBLEMA 3. Supongamos que x es Ia cantidad semanal fabricada de un producto y que Ia funcíón f(x)=-2x+16 es su precio. Entonces el ingreso semanal está dado por Ia función g(x)=xf(x).

a) Halla el ingreso semanal máximo. b) En dos semanas sucesivas sucedió que aumento Ia cantidad fabricada en Ia segunda semana, y el ingreso semanal pasó de 24 a 30. Averiguar Ias cantidades fabricadas en cada semana. (FUNCIONES) PROBLEMA 4. La tribu del león A Ia forman 3 leonas embarazadas y 2 leonas no embarazadas. La tribu del león B Ia forman 1 leona embarazada y 4 leonas no embarazadas. Una leona abandona Ia tribu del león A y pasa a Ia tribu del león B. Entonces se elige al azar una de Ias leonas de Ia tribu aumentada del león B. Hallar razonadamente Ia probabilidad de que Ia leona elegida este embarazada. (PROBABILIDAD)

1995 JUNIO B

PROBLEMA 1.

Resuelve Ia ecuación AX = B, siendo A=

−

251

323

132

, B =

2

2

1

y X el vector

columna cuyas componentes son Ias incógnitas x, y y z. (ALGEBRA) PROBLEMA 2. La carga máxima que pueda transportar un camión es 12 toneladas y tiene que llevar dos materiales A y B a una obra en Ia que necesitan al menos 6 toneladas del material A y, además, que Ia cantidad de material B supere a Ia mitad de Ia cantidad de material A. EI camión cobra 3000 pesetas por cada tonelada de material A y 2000 pesetas por cada tonelada de material B. Averiguar cuántas toneladas de material A y cuántas de material B debe transportar para maximizar su ganancia. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. Si x representa los ingresos mensuales de un colectivo de familias en miles de pesetas y Ia función f(x) es el gasto en libros en función de los ingresos, se tiene que:

f(x) =

≤+≤

≤≤

500200307.0

20010005.0

100003.0

xsix

xsix

xsix

p

p

a) Representar la gráfica de f(x).

b) Analizar que el gasto es sensiblemente diferente si el ingreso mensual es un poco inferior de doscientas mil pesetas, que si el ingreso mensual es un poco superior a doscientas mil pesetas. c) Hallar Ia tasa de variación media de Ia función f(x) en cada uno de los intervalos (0,100), (100,200), (200,500). (FUNCIONES) PROBLEMA 4. Supongamos que Ia probabilidad de nacimiento de un varón es idéntica a Ia del nacimiento de una hembra. Hallar Ia probabilIdad de que una familia con tres hijos tenga el doble número de hijos que de hijas. (PROBALIDAD)

1996 JUNIO A PROBLEMA 1. En Ia tienda "EI As de Oros" se pueden comprar los artículos A, B y C por un total de 1000 pts. También por 1000 pts se pueden comprar los artículos A, B y C en Ia tienda “EI As de Copas", si bien en esta tienda los artículos A y B son un 10% más caros que en Ia tienda "EI As de Oros", en tanto que el artículo C es un 10% más barato en el "As de Copas" que en el "As de Oros". a) ¿Cuál es el precio del artículo C en el “As de Oros”? b) ¿Cuánto cuesta comprar los artículos A y B en el "As de Copas”? (ALGEBRA) PROBLEMA 2. Las rectas

162632262 ≤+≤+≤+ yxyxyx

se cortan dos a dos en tres puntos que son los vértices de un triángulo T. Sea S Ia intersección del triángulo T con el primer cuadrante (x>0, y>0). Hallar el máximo de Ia función 5x+3y cuando x e y varían en S. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. Para Ia construccián de una ventana en el vestíbulo de una sala de conciertos se duda en darle forma de rectángulo, de círculo o bien Ia figura compuesta formada por Ia unión de un cuadrado con un semicírculo en su parte superior. Determinar Ia forma de Ia ventana si se desea que. tenga Ia mayor superfície posible, para que Ia luminosidad sea máxima, y se exige que el perímetro deba medir 16 metros. (FUNCIONES) PROBLEMA 4. En cíerta liga el 60% de los 20 equipos de primera división tienen algún extranjero, en tanto que sólo el 30% de los equipos de segunda división tienen algún extranjero.

Se elige al azar un equipo de segunda división para jugar un torneo con los 20 equipos de primera división. Si de estos 21 equipos se elige uno al azar, ¿cuál es Ia probabilidad de que ese equipo tenga algún jugador extranjero?(PROBABILIDAD)

1996 JUNIO B

PROBLEMA 1:

Sea A=

−−−−

102

113

111

Ia matriz de los coeficientes de un sistema

de ecuaciones lineares y B=

1

1

1

Ia matriz de los términos independientes.

a) Escribir Ias tres ecuaciones que forman el sistema. b) Obtener todas Ias soluciones dei sistema. (ALGEBRA) PROBLEMA 2. En una empresa informática se ha de contratar un máximo de 60 horas de cálculo. La hora de cálculo en alta precisión cuesta 5000 pts y Ia hora de cálculo en baja precisión cuesta 3000 pts. La empresa exige contratar un mÍnlmo de 36 horas, y sólo permite contratar 10 horas de alta precisión como máximo. De que forma debemos hacer el contrato para que el costo sea mínimo, sabiendo que debemos contratar como mínimo 6 horas de alta precisión.(PROGRAMACION) PROBLEMA 3. Un exceso de fabricación satura el mercado, provocando Ia caída de precios y Ia disminución de beneficios. El beneficio en millones de pesetas f(x) por Ia venta de x unidades es:

f(x) =

≤≤−≤≤+≤≤+

40302.032

30144.014

20106.010

xsix

xsix

xsix

Representar Ia gráfica de Ia curva y f (x), y explicar razonadamente cuando el beneficio es máximo, en función dei crecimiento o decrecimiento de f(x). (FUNCIONES). PROBLEMA 4. La producción de una empresa Ia realizan a partes iguales tres turnos de los que dos son diurnos y uno nocturno. EI porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2%, en tanto que el porcentaje de piezas defectuosas producidas por el turno nocturno es el 8%. a) Si se toma una pieza al azar de un turno al azar, ¿cuál es Ia probabilidad de que sea defectuosa?

b) Si se toma una pieza al azar de un turno al azar y resulta ser defectuosa, ¿cuál es Ia probabilidad de que Ia pieza haya sido fabricada en el turno nocturno?, y ¿cuál es Ia probabilidad de que haya sido fabricada en el turno diurno? (PROBABILIDAD).

1996 SEPTIEMBRE A PROBLEMA 1.

Resolver el sistema de ecuaciones

−=−+−=−−

=++

1523

932

6

zyx

zyx

zyx

(ALGEBRA)

PROBLEMA 2. Los abonos A y B se obtienen mezclando cierto sustratos fertilizantes F1 y F2 en Ias siguientes proporciones:

F1 F2 A 100 gr/kg 50 gr/kg B 70 gr/kg 80 gr/kg

La cantidad disponibie de los fertilizantes FI y F2 son 39 Kg y 24 Kg. EI beneficio que producen los abonos A y B son 75 pts/Kg y 60 pts/Kg. ¿cuántos kilos se deben fabricar del fertilizante A y del fertilizante B para maximizar el beneficio? (PROGRAMCIÓN) PROBLEMA 3. La evolución mensual dei número de socios de una entidad mercantil en 1995 está dada por:

f(x) =

≤≤−−+≤≤≤≤−−

1210)12)(10(30

10430

41)4(30

xsixx

xsi

xsixx

Averiguar razonadamente en qué mes el número de socios fué máximo y en qué mes el número de socios fue mínimo. (FUNCIONES) PROBLEMA 4. EI contenedor A contiene un 10% de piezas defectuosas y el contenedor B tiene un 5% de piezas defectuosas. Ambos contenedores tienen el mismo número de piezas. Si se elige un contenedor al azar, y dentro de él se elige una pieza también al azar. Se pide: a) Hallar Ia probabilidad de que Ia pieza sea defectuosa.

b) Si Ia pieza obtenida es defectuosa, calcular Ia probabilidad de que Ia pieza provenga del contenedor A. Calcular también en este caso Ia probabilidad de que Ia pieza provenga del contenedor B. (PROBABILIDAD)

1996 SEPTIEMBRE B

PROBLEMA 1. Juan, Andrés y Felipe han comprado x kilos de producto A, y kilos de] producto B y z kilos del producto C. Juan hizo sus compras en Ia tienda 1, Andrés en Ia tienda 2 y Felipe en ta tienda 3. Los precios por kiio de producto en cada tienda vienen dados por:

A B C Tienda 1 200 100 50 Tienda 2 100 200 100 Tienda 3 150 150 150

Razonar si es o no posibie que Juan haya gastado 5000 pts, Andrés haya gastado 4000 pts, en tanto que Felipe haya gastado 4500 pts.(ALGEBRA) PROBLEMA 2. Una agencia gestiona el transporte de 1800 viajeros con una compañía aérea que tiene aviones MD88 con 150 plazas de viajero y aviones Airbus con capacidad de 200 viajeros. Sólo puede disponer de 6 aviones Airbus. El costo de cada vuelo, así como el número de tripulantes que necesita cada vuelo vienen dados por

Costo Número de tripulantes MD88 1 millón 6 Airbus 1,2 millones 8

La compaãía aérea sólo dispone de 96 tripulantes. Obtener razonadamente el número de aviones de cada clase que minimiza el transporte de los 1800 pasajeros. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. Expresar por una integral (sin necesidad de calcularla): a) E] área del triángulo de vértices (3,0), (7.0) y (7.4). b) EI área del triángulo de vértices (3,0), (7,0) y (7, 12). (FUNCIONES) PROBLEMA 4. EI 40% de ciertos encuestas de opinión contíenen un porcentaje significativo de respuestas contrarias a lo que piensan los encuestados. Ese 40% de encuestas Ias denominaremos no fiables, y en ellas la probabilidad de que sus resultados reflejen Ia verdadera opinión de Ia población es 0,3. En cambio, en

Ias encuestas fiables Ia probabilidad de que sus resultados coincidam con los de Ia población es 0.95. Hallar Ia probabilidad de que los resultados de una de esas encuestas, elegida al azar, y por tanto sin saber si es fiable o no, refleje Ia opinión de Ia población. (PROBABILIDAD)

1997 JUNIO A PROBLEMA 1. Una tienda posee tres tipos de conservas A, B y C. El precio medio de las tres conservas es 150 pts. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 8400 pts. Otro compra 20 unidades de A y M de C y abona 6900 pts. Calcular el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. (ALGEBRA) PROBLEMA 2. Me ofrecen la posibilidad de invertir hasta 8 millones en la cooperativa A y hasta 7 millones en la cooperativa B. Si puedo invertir hasta 11 millones y espero una rentabilidad del 20% en la cooperativa A y del 30% en la cooperativa B, obtener razonadamente como debo distribuir mi inversión para maximizar el beneficio. (PROGRAMACION L) PROBLEMA 3. La rentabilidad f(x) de la publicidad en función de la inversión de x millones en publicidad para cierta empresa viene dada por f(x) = x Iog x Averigua los tramos en que a más inversión corresponde más rentabilidad, así como los valores de x a los que corresponde una rentabilidad negativa. (FUNCIONES) PROBLEMA 4. El 60% de los habitantes de un país están satisfechos con su situación económica, y el 80% de esos habitantes tienen vivienda propia. De los no satisfechos con su situación económica sólo el 20% tienen vivienda propia. ¿Qué tanto por ciento de habitantes tienen vivienda propia? ¿Qué tanto por ciento de los habitantes que tienen vivienda propia están satisfechos con su situación económica?. ¿Qué tanto por ciento de los habitantes sin vivienda propia están satisfechos con su situación económica.? (PROBABILIDAD)

1997 JUNIO B

PROBLEMA 1. Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y Ias mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triplo de Ias mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado. (ALGEBRA).

PROBLEMA 2.- En una fábrica se producen bombillas normales a 450 pts cada bombilla y bombillas halógenas a 600 pts Ia bombilla. La capacidad máxima diaria de fabricación de bombillas es 500 bombillas, y por restricciones de material no pueden fabricarse ni más de 300 bombillas halógenas ni más de 400 bombillas normales. La fábrica vende siempre todo lo que produce. ¿cuántas convendrá producir de cada clase para obtener Ia máxima facturación? (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3.- Debo diseñar un escenario rectangular de 100 m^2 y para obtimizar Ia visibilidad de los espectadores deseo que el perímetro sea mínimo. Obtener razonadamente el largo y ancho dei escenario. (FUNCIONES) Problema 4.- La baraja española consta de diez oros, diez copas, diez espadas y diez bastos. Si se extraen dos cartas de Ia baraja calcular Ias probabilidades de obtener: a) Dos copas. b) Dos cartas del mismo número.

Volver a calcular Ias probabilidades anteriores en el supuesto de devolver Ia carta a Ia baraja después de Ia primera extracción. (PROBABILIDAD)

1997 SEPTIEMBRE A PROBLEMA 1. En una reunión hay 28 personas. EI número de hombres y mujeres juntos triplica al de niños. EI número de mujeres supera en uno al de hombres Averiguar cuántos hombres, mujeres y niños hay, pranteando el correspondiente sistema de ecuaciones. (ALGEBRA) PROBLEMA 2. Vas a contratar un viaje en autobús para 400 personas en una empresa que dispone de 8 autobuses de 40 plazas y de 10 autobuses con 50 plazas cada uno. EI alquiler de un autobús pequeno cuesta 6000 pts. y el alquiier de un autobús grande cuesta 8000 pts. Averiguar razonadamente cuántos autobuses de cada clase hay que contratar para minimizar el costo del viaje, sabiendo que Ia empresa sólo puede disponer de 9 conductores para el dia de Ia excursión. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. Un banco lanza ai mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) en miles de pesetas en función de Ia cantidad x que se invierte en miles de pesetas viene dada por Ia expresión

R(x) = -0.0001x^2 + 0.4x + 2

a) Deducir razonadamente que cantidad hay que invertir para obtener Ia rentabilidad máxima. b) Calcular cuál sería Ia rentabilidad máxima. (FUNCIONES) PROBLEMA 4. Una persona escribió 4 cartas y Ias metió al azar en cuatro sobres, sin fijarse si correspondían o no a los destinatarios. Calcular Ia probabilidad de que el número de destinatarios que reciben Ia carta correcta sea 1. (PROBABILIDAD)

1997 SEPTIEMBRE B

PROBLEMA 1. Un estudiante hizo un examen que constaba de 3 preguntas y obtuvo 8 puntos de calificación. En Ia segunda pregunta sacó 2 puntos más que en Ia primera y en Ia tercera 1 punto más que en Ia segunda. a) Plantea un sistema de ecuaciones con el que averiguarás Ia calificación en cada pregunta. b) Plantea una sola ecuación de cuya solución puedas deducir la calificación de cada pregunta. (ALGEBRA) PROBLEMA 2. Una empresa dispone de 300 hectáreas para el cultivo de hortalizas y remolacha. Por el problema de Ia sequía sólo se dispone de 400 decámetros cúbicos de agua, y cada hectárea de hortaliza necesita 1,5 decámetros cúbicos de agua, en tanto que cada hectárea de remolacha necesita 1 decámetro cúbico de agua. Para atender a necesidades mínimas hay que plantar obligatoriamente al menos 100 hectáreas de hortalizas y 50 de remolacha. Cada hectárea de hortalizas produce unos beneficos de 2.500.000 pesetas y cada hectárea de remolacha da unos beneficios de 2.000.000 pesetas. Averiguar cuántas hectáreas hay que plantar de hortalizas y de remolacha para maximizar el beneficio. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. La calificaciór f(x) obtenida por un estudiante en cierto examen depende de Ias

horas x de preparación a través de Ia función: a) Estudiar el conjunto de valores positivos de x para los que f(x) es creciente. ¿Tiene sentido afirmar que a más tiempo de preparacción corresponde más calificación? b) Contesta razonadamente si hay algún punto en que estudiar un poco más puede ser muy rentable. c) Se puede obtener Ia calificación 10? Justifica Ia respuesta. (FUNCIONES)

+

≤≤=

xsixx

xsix

xfp15

32.02

1505)(

PROBLEMA 4. La ciudad A tiene el triple de habitantes qye Ia cíudad B, pero Ia proporción de deficientes mentales de Ia ciudad B es es doble que Ia proporción de deficientes mentales en Ia ciudad A. a) ¿En qué ciudad hay más deficientes mentales? b) Se elige un habitante ai azar de una ciudad al azar. Averiguar Ia probabilidad de que sea deficiente mental, sabiendo que Ia proporción de deficientes mentales en Ia ciudad A es del 10%. (PROBABILIDAD)

1998 JUNIO A

PROBLEMA 1 Con 2000 pts se pueden comprar los artículos A, B, C y D en la tienda "Compre barato", y con 2100 pts se pueden comprar los mismos cuatro artículos en la tienda "Vendernos calidad". En esta segunda tienda los precios de A, B y C son un 20% superiores a los de la primera tienda, en tanto que el precio de D en la segunda es un 15% más barato que en la primera. Averiguar razonadamente el precio de D en la tienda primera, y justificar que no podemos hallar el precio de A, con los datos que nos han dado. (ALGEBRA) PROBLEMA 2. Considera el triángulo de vértices (0,0), (2,8) y (10,3). Determinar razonadamente: a) El punto del triángulo donde la función f(x,y) = 4x+y+9 alcanza el máximo. b) El punto del triángulo donde la función g(x,y) = 4x+y+12 alcanza el máximo. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. Hallar las dimensiones de una ventana de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie posible, y, así, produzca la máxima luminosidad. PROBLEMA 4. Sacamos al azar, y sin reposición, cuatro cartulinas numeradas del 1 al 4. Averiguar la probabilidad de que salgan ordenadas. Razona si la probabilidad sería rnenor o mayor en el supuesto de tener sólo tres cartulinas numeradas. Razona si la probabilidad sería menor o mayor si tuviésemos 10 cartulinas numeradas. (PROBABILIDAD).

1998 JUNIO B PROBLEMA 1.

Resuelve la ecuación AX = B, siendo A =

−

4102

264

646

y B =

4

2

4

(ALGEBRA) PROBLEMA 2. Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máximo de 24 toneladas de dos productos A y B, y me dan una comisión de 15.000 pts por tonelada vendida de A y 10.000 pts por tonelada vendida de B. Averiguar razonadamente cuántas toneladas debo vender de A y cuántas de B para maximizar la ganancia. (PROGRAMACIÓN) PROBLEMA 3. Averigua razonadamente donde alcanza el máximo absoluto la función:

f(x) =

≤−

≤≤+

844

40422 xsix

xsix

p (FUNCIONES)

PROBLEMA 4. Una encuesta revela que el 30% de la población tiene estudios, de cuales el 12% no tienen trabajo. Del 70% que no tienen estudios se tiene que un 25% tienen trabajo. Determinar razonadamente: a) El tanto por ciento de la población que no tiene trabajo. b) La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que tienen trabajo. c) La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que no tienen trabajo.

1999 JUNIO A

PROBLEMA 1:

Calcula los determinantes 12

11

−,

11

12

− y

12

21. Aplica los resultados

obtenidos en el sistema x + y = 2 2 x – y = 1 PROBLEMA 2.

Obtener la derivada de la función 22

)(+−=

xx

xf en el punto x=2. Explica de

forma intuitiva la relación entre la derivada y la tasa de variación media,

indicando lo que significa el falor obtenido de la derivada de la función f(x) en x=2 PROBLEMA 3. Un concesionario de coches vende dos modelos: el A, con el que gana 100 000 pesetas por unidad vendida, y el B con el que gana 50 000 Pts. por unidad vendida. El número x de coches vendidos del modelo A debe verificar que 50<=x<=75. El número y de coches vendidos del modelo B debe ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A. Sabiendo que el número máximo de coches que puede vender es 400, determinar cuántos coches debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo. PROBLEMA 4. Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber cómo debo distribuir las bolas en las urnas para que al elegir una urna al azar y extraer de ella una bola al azar sea máxima la probabilidad de obtener una bola blanca. La única condición exigida es que cada urna tenga al menos una bola.

1999 JUNIO B PROBLEMA 1: Sea P el polígono de vértices (0,0), (6,0), (8,3), (4,8) y (0,6). Averigua en qué puntos del polígono P alcanza la función f(x,y)=2x+3y los valores máximo y mínimo. PROBLEMA 2. Un comerciante tiene x garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de 10 litros y x botellas de 1 litro. El segundo comerciante tiene 9 litros más que el primer comerciante. Se sabe que los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litros de aceite. Averiguar razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno. PROBLEMA 3. El valor en miles de millones de una empresa en función del tiempo t viene dado por 2)2(9)( −−= ttf , 0<=t<=4,5. Deducir en qué valor de t la empresa alcanzó su máximo valor de t tuvo su valor mínimo.

PROBLEMA 4. Se estima que sólo un 20% de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el 80% obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, sólo un 10% obtienen beneficios. Se desea saber:

a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios.

b) Si se elige al azar una persona que ha comprado acciones en Bolsa y resulta que ha obtenido beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos bursátiles?.

1999 SEPTIEMBRE A

PROBLEMA 1. Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y, 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre? PROBLEMA 2. Me ofrecen la posibilidad de comprar hasta 6 millones de acciones de la compañía A, que producen un beneficio de un 30%, y hasta 10 millones de acciones de la compañía B, que producen un 20% de beneficio. Tengo 12 millones para invertir. Razonar corno he de distribuir la inversión para maximizar el beneficio. PROBLEMA 3. El saldo en millones de una empresa en función del tiempo es: • f(t) = 4 - 0,2t si 40 ≤≤ t • f(t) = 3,2 + 0,04(t-4) si 84 ≤≤ t • f(t)=3,84+0,1(t-8)2 si 128 ≤≤ t Deducir razonadamente el valor de t en el que el capital fue máximo.

PROBLEMA 4. Dos amigos escriben al azar una vocal, cada uno en un papel. Obtener razonadamente la probabilidad de que ambos escriban la misma vocal. ¿Cuál sería la probabilidad de que tres amigos escribiesen, al azar, cada uno la misma vocal en un papel?

1999 SEPTIEMBRE B

PROBLEMA 1. Ordeno mi habitación y observo que el número de libros, revistas y discos es 60, El triple del número de discos es igual a la suma del número de libros y del doble del número de revistas. El cuádruple del número de discos es igual a la suma del número de libros y el triple del número de revistas. Halla el número de libros, revistas y discos. PROBLEMA 2.- Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen los 2 metros, Y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase los 4 metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas? PROBLEMA 3. Expresa por una Integral el área del triángulo de vértices (0,3), (7,3) y (7,10). No es necesario calcular la integral, pero se debe explicar el significado de la integral escrita. PROBLEMA 4. Un 40% de alumnos aprobaron las Matemáticas y un 90% de esos alumnos aprobaron la Física. De los alumnos que suspendieron Matemáticas sólo un 20% aprobó Física. Averiguar razonadamente:

a) ¿Qué tanto por ciento de alumnos aprobaron Física?. b) Probabilidad de que al elegir un alumno al azar haya suspendido

matemáticas. c) Probabilidad de que al elegir un alumno al azar, entre los que han

aprobado la Física, suceda que haya suspendido Matemáticas.

2000 JUNIO A PROBLEMA 1. Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar. ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata?. PROBLEMA 2. Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio por la venta de un coche del modelo A es de 450 euros y la venta de uno del modelo B reporta un beneficio de 600 euros. La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches por día del modelo A y más de 300 coches por día del modelo B. Además, no es posible producir más de 500 coches de ambos modelos.

Se vende toda la producción que se hace y se desea saber, razonadamente, cuántos coches interesa fabricar de cada modelo para obtener el máximo beneficio. PROBLEMA 3. El beneficio, en millones de una sociedad en función de la inversión x en millones viene dado por y=x2+2x+7. Obtener la derivada del beneficio y respecto a la inversión x cuando la inversión es de 2 millones y cuando la inversión es de 3 millones. Utiliza las derivadas para calcular aproximadamente el beneficio cuando la inversión es de 2,01 millones y cuando la inversión es de 3,02 millones. PROBLEMA 4. Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos nos cobraron en una heladería 1700 pesetas un día. Otro día por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 2200 pesetas. Un tercer día tuvimos que pagar 1300 por una horchata y cuatro batidos. Razonar si hay o no motivos para pensar que alguno de los días nos presentaron la factura incorrecta.

2000 JUNIO B

PROBLEMA 1. Expresa por una integral el área de un triángulo de vértices (0,10), (20,10) y (20,0). Se recuerda que no es necesario el cálculo de la integral.

PROBLEMA 2. Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y 160 libros de la editorial B con los que decide hacer dos tipos de lotes, el lote económico con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B que venderá a 800 pts, y el lote selecto con un libro de la editorial A y dos de la B que venderá a 1000 pts. Deducir razonadamente cuántos lotes debe hacer de cada tipo para maximizar sus ingresos al vender todos los lotes. PROBLEMA 3. Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2, 4 o 6, también son iguales las probabilidades de obtener 1, 3 o 5 y la probabilidad de obtener 2 es doble que la probabilidad de sacar 1. Deducir razonadamente cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado dos veces se obtenga una suma igual a 7. PROBLEMA 4. El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:

• El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 euros.

• Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos. • El pequeño recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos

menos 30.000 euros. Explicar, razonadamente, si con esta información es posible averiguar cuánto ha heredado cada uno de los tres hijos.

2000 SEPTIEMBRE A PROBLEMA 1. Halla los máximos y mínimos de la función f(x,y)=2x+3y-7 en la región limitada por los segmentos que unen: El punto (0,0) y el (0,6); el punto (0,6) y el (4,4); el punto (4,4) y el (6,0); y el punto (6,0) con el (0,0). PROBLEMA 2. Mediante la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con su crecimiento o decrecimiento, obtener en qué puntos del intervalo [-2,2] son crecientes o decrecientes las funciones

a) f(x) = x2 b) g(x) = x3-7

PROBLEMA 3. Las probabilidades de obtener sobresaliente en un examen es 0,9 si se estudia mucho. Un alumno estudia mucho en cuatro exámenes. Calcula la probabilidad de no obtener ningún sobresaliente. PROBLEMA 4. Entre los partidos políticos Ay B obtuvieron el 90% de los votos en unas elecciones. Averiguar el porcentaje de votos que obtuvo cada partido , sabiendo que en las elecciones siguientes: el partido político A sufrió un descenso de un 10% en el número de votantes respecto a las anteriores elecciones, el partido político B tuvo un 10% de aumento en el número de votantes respecto a las elecciones anteriores, y que entre los dos partidos volvieron a obtener el 90% del total de votos.

Criterios de corrección

PROBLEMA 1. De 0 a 1,5 puntos la obtención del máximo en (4,4). De 0 a 1,5 puntos la obtención del máximo en (0,0). De 0 a 3 por el desarrollo discursivo utilizado. PROBLEMA 2. De 0 a 1,6 puntos la deducción razonada del primer apartado y de 0 a 1,7 la deducción razonada del segundo apartado. a) decrece en [-2,0) y crece en (0,2] b) crece en [-2,2] y se admite como solución [-2,2]-0 PROBLEMA 3. Por el cálculo 0,14=0,0001 de 0 a 3,3 . Si no obtiene el resultado pero el razonamiento es correcto se valorará de 0 a 1,5 PROBLEMA 4. Por el planteamiento de 0 a 2, y por su resolución (45% y 45%) de 0 a 1,3

2000 SEPTIEMBRE B PROBLEMA 1. Encuentra todas las soluciones del sistema x + y + z = 1 y +z = 2 -x + y + z = 3 PROBLEMA 2. Debo de comer al menos 100 gramos de alimento A. De otro alimento B debo de comer más gramos que del alimento A. Entre los alimentos Ay B no debo sobrepasar los 300 gramos. El producto A tiene 50 calorías/gramo y el producto B tiene 60 calorías/gramo. ¿cuántos gramos tengo que tomar de A y cuántos de B para obtener el máximo de calorías.

PROBLEMA 3. En una clase estudian bastante el 60% y el resto estudian muy poco. De los alumnos que estudian bastante aprueban el 80% de los alumnos y de los alumnos que estudian muy poco sólo aprueba el 10%. Después de hacer un examen se eligió al azar un alumno y resultó que había suspendido. Determinar la probabilidad de que hubiera estudiado bastante., PROBLEMA 4. Nos dicen que la función f(t) = t – 2 es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país, cuando 0≤t≤5. Determinar el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo.

Criterios de corrección

PROBLEMA 1. De 0 a 3,3 puntos la obtención de las soluciones (x=-1, siendo las otras dos incógnitas dos números arbitrarios tales que y+z=2). Si no se obtiene el resultado, pero el razonamiento es correcto, se valorará de 0 a 1,5. PROBLEMA 2. Planteamiento de 0 a 1,5. Obtención de la región factible (vértices (100,100), (150,150) y (100,200), de 0 a 1 punto. Comprobación de que el máximo se obtiene para x=100 e y=200, de 0 a 0,8 puntos. PROBLEMA 3. Obtención de la probabilidad (0,12/0,48=25%) de 0 a 3,3. Planteamiento sólo de 0 a 2 puntos. PROBLEMA 4. Calificar la determinación razonada de t=2 de 0 a 3,3, valiendo cualquier método (observación de la gráfica, signo de la derivada (inflación decreciente de [0,2) y creciente de (2,5]. El que sólo obtenga que el mínimo se consigue en t=2 de 0 a 1,6 puntos

Currículo de Matemáticas en el Bachillerato de Ciencias Sociales.

(Tomado de Calculaweb de Anna M. Vaello)

(extracto del Decreto 174/1994, de 19 de agosto, del Gobierno Valenciano, por el que se establece el currículo del Bachillerato en la Comunidad Valenciana -

DOGV 29-9-94).

I. Introducción La constante ampliación del rango de aplicaciones de las matemáticas, que han demostrado ser eficaces para describir, analizar y comprender las pautas que subyacen en un número creciente de fenómenos sociales, hace conveniente que los estudiantes de la Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales adquieran la formación suficiente para comprender determinados métodos matemáticos y dominar las destrezas necesarias para su aplicación. Las matemáticas proporcionan el lenguaje adecuado para describir científicamente ciertos aspectos de la realidad y disponen de métodos que permiten analizarlos y comprenderlos con profundidad. En consecuencia, las matemáticas resultan tener un carácter instrumental que se traduce en su profusa utilización para representar, sintetizar y comunicar (por medio de gráficas, tablas y modelos abstractos) la información cuantitativa relevante de muchos de los fenómenos estudiados por las Ciencias Sociales. La utilización de las matemáticas se da en mucha mayor medida en las ciencias relacionadas con el mundo de la economía, bien sea porque son más directamente cuantificables, bien porque su desarrollo histórico ha conducido más tempranamente en esa dirección. Esta utilidad versátil de las matemáticas debe ser expresamente puesta de manifiesto en el desarrollo del currículo, que orbitará en torno a contenidos tan básicos como para permitir la experimentación amplia de ese carácter funcional e instrumental. Para la utilización efectiva de las matemáticas, tan importantes como los propios contenidos conceptuales son los procedimientos, habilidades, hábitos, estructuras y actitudes que caracterizan a la actividad matemática: el diseño de estrategias de actuación; la toma de decisiones sobre los conceptos y técnicas que se van a utilizar; la explicitación de las hipótesis que se admiten; la formulación, comprobación y refutación de conjeturas; la búsqueda de regularidades; la aplicación de algoritmos concretos; la ejecución de cálculos y la comprensión, interpretación y comunicación de los resultados. Precisamente ese particular modo de hacer de las matemáticas contiene valores formativos muy generales que contribuyen a crear hábitos, estructuras mentales y actitudes que transcienden las propias matemáticas para formar parte de una concepción amplia y científica de la realidad. La resolución de problemas entendida como un proceso abierto de indagación, formulación de preguntas interesantes y búsqueda creativa de resultados, contiene todas las características propias de la actividad matemática y debe, en consecuencia, estar presente continuamente en el desarrollo de las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales en los dos cursos del Bachillerato. En el marco de esa articulación general en torno a la resolución de problemas, las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I serán eminentemente prácticas, centrando la atención en el conocimiento y uso de las diferentes formas de expresión matemática que permiten comprender, relacionar, comunicar y extraer conclusiones de

situaciones expresadas o expresables en términos matemáticos. En este sentido, tienen especial interés las posibilidades que se abren, y las necesidades que se plantean, con el uso de recursos técnicos como la calculadora y el ordenador. Las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, además de plantear y analizar situaciones más complejas y recurrir a técnicas y conceptos matemáticos más sofisticados, prestarán atención también a la reflexión teórica para fundamentar con cierta solidez los métodos utilizados y para comprender cabalmente la extensión y las limitaciones que comportan. Es necesario dejar constancia, sin embargo, de que el razonamiento preciso, la demostración formal y la simbolización abstracta, son fruto de procesos que forzosamente deben estar fuertemente anclados en la intuición, a menos que se quiera correr el riesgo de que el rigor se convierta en un obstáculo para el progreso en el conocimiento matemático. Los contenidos de las asignaturas se exponen agrupados en núcleos, presentados sin prelación significativa, gozando de múltiples conexiones mutuas y tolerando diversos tratamientos. La riqueza de las interdependencias existentes permitirá resaltar la unidad intrínseca de las matemáticas, que se manifestará de manera especial mediante la resolución de problemas.

II. Objectivos generales El desarrollo de esta materia ha de contribuir a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades: 1. Utilizar los conocimientos matemáticos adquiridos para interpretar críticamente los mensajes, datos e informaciones que aparecen en los medios de comunicación y otros ámbitos sobre cuestiones económicas y sociales de la actualidad. 2. Apreciar la utilidad práctica y teórica de describir e interpretar matemáticamente los fenómenos cuantificables objeto de estudio de las ciencias humanas y sociales. 3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos, y expresar críticamente opiniones, argumentando con precisión y rigor y aceptando la discrepancia y los puntos de vista diferentes. 4. Comprender y utilizar las técnicas de expresión orales, escritas y gráficas apropiadas para analizar y comunicar información susceptible de ser tratada matemáticamente. 5. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos, en particular, en la interpretación de fenómenos y procesos de las ciencias sociales y humanas y en las actividades sociales. 6. Utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas, de forma que les permita enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia y creatividad. 7. Mostrar hábitos y actitudes propios de la actividad matemática, tales como la explicitación de hipótesis, la formulación de conjeturas, la construcción de ejemplos y contraejemplos, la justificación de las afirmaciones que se formulan, la comprobación de la verosimilitud de los resultados que se obtienen, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas. 8. Comprender que determinados fenómenos aleatorios son comprensibles y susceptibles de cuantificación y adscripción a modelos. 9. Apreciar la utilidad y las limitaciones de los recursos mecánicos de cálculo, así como la necesidad de someter a revisión crítica los resultados obtenidos por tales procedimientos. 10. Comprender la forma de organización de los conocimientos propia de las matemáticas: establecimiento de definiciones precisas, demostración de las propiedades

relacionadas con los conceptos definidos y justificación de los procedimientos, técnicas y fórmulas que simplifican la resolución de problemas. 11. Establecer relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural y económico, apreciando su lugar como parte de nuestra cultura.

A. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

III. Núcleos de contenidos Resolución de problemas. Al mismo tiempo que se resuelven los problemas que permiten plantear los conceptos y técnicas matemáticas que se proponen en los otros núcleos de contenidos, resulta útil reflexionar sobre los procedimientos y métodos empleados. La explicitación de las distintas fases que ha supuesto la resolución de un problema y la sistematización de las estrategias heurísticas empleadas con éxito, constituye una ayuda y una guía para actuar ante nuevas situaciones problemáticas y para revisar críticamente los problemas ya resueltos. En consecuencia, este núcleo tiene un carácter transversal y sus contenidos serán tenidos en cuenta exclusivamente en conexión con el desarrollo del resto de los contenidos. Los contenidos de este núcleo son: * Fases en la resolución de problemas: formulación, elaboración de conjeturas, diseño y ejecución de la estrategia de actuación, interpretación de los posibles resultados. * Algunas estrategias de actuación: simplificación, analogía, particularización, generalización, inducción, razonamiento por reducción al absurdo, análisis de las posibilidades, etc. Álgebra, funciones y gráficas. El núcleo agrupa los elementos conceptuales básicos relativos a las distintas representaciones funcionales y al planteamiento y resolución algebraica de problemas. El análisis cualitativo de gráficas funcionales, facilitará la comprensión de la información trasmitida por sus características globales como máximos, mínimos, discontinuidades, periodicidad, incrementos, decrecimientos y tasas de variación. El conocimiento y exploración de las principales familias funcionales permitirá su utilización para describir e interpretar matemáticamente el comportamiento de situaciones y fenómenos propios de las Ciencias Humanas y Sociales. La calculadora puede aligerar los cómputos necesarios para la resolución de los problemas planteados, desplazando la atención de los cálculos rutinarios a la interpretación de los resultados y a la comprensión del proceso de establecimiento de modelos en su conjunto. Los contenidos de este núcleo son: * Ecuaciones y sistemas de ecuaciones - Resolución de problemas que requieran formular ecuaciones o sistemas de ecuaciones. - Utilización de los números y las notaciones adecuadas para expresar las soluciones de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y resultados de mediciones. * Funciones - Descripción e interpretación de fenómenos funcionales por medio de gráficas y tablas. - Propiedades de las funciones y su interpretación gráfica: dominio, recorrido, continuidad, crecimiento y decrecimiento, puntos estacionarios. - Introducción a la medida de la variación de una función. La tasa de variación

media. Interpretación geométrica. * Modelos funcionales - Funciones lineales. - Funciones polinómicas. - Funciones de proporcionalidad inversa. - Funciones exponenciales. - Funciones logarítmicas. - Funciones logísticas. - Descripción de las tasas de variación media de los anteriores modelos funcionales. - Identificación de los modelos funcionales apropiados para describir e interpretar matemáticamente diversos fenómenos propios de las Ciencias Humanas y Sociales. - Determinación de los parámetros de los modelos funcionales. Estadística. En tanto que las ideas básicas de la Estadística ya son conocidas por los estudiantes, se trata ahora de realizar una sistematización que incida especialmente en la comprensión del significado de las medidas de centralización y dispersión de las distribuciones unidimensionales. Los contenidos centrales de este núcleo son, no obstante, los conceptos de distribuciones bidimensionales, regresión y correlación. Estos últimos pueden introducirse paulatinamente partiendo de la idea intuitiva de que parece razonable resumir o ajustar los datos de algunas distribuciones mediante una recta. Para impedir que la extensión de los cálculos obstaculice la comprensión de las ideas básicas, el ajuste puede realizarse inicialmente de modo gráfico, estimando la ecuación de una recta trazada aproximadamente sobre la representación en forma de nube de puntos de los datos. Posteriormente, se pueden describir los cómputos necesarios para la obtención de los parámetros de las rectas de regresión y se introducirá el coeficiente de correlación como una medida de la bondad del ajuste. El uso adecuado de los recursos que proporcionan las calculadoras, incluyendo las funciones estadísticas de que disponen algunas máquinas, puede contribuir de modo decisivo a la comprensión de los conceptos subyacentes a la regresión y correlación, al permitir centrar la atención en la interpretación de los resultados obtenidos mecánicamente y en la verificación de la verosimilitud de los mismos. El uso de las rectas de regresión para interpolar y predecir debe ser ilustrado ampliamente en situaciones realistas, subrayando en cualquier caso el carácter estimativo de tales conclusiones y el valor relativo de las predicciones alejadas del rango de datos disponibles. * Terminología y conceptos básicos de la Estadística: - Individuo, población, muestra, variable estadística. - Organización de los datos: gráficos y tablas de frecuencias. - Distribución de frecuencias. - Parámetros estadísticos: media y desviación típica. Significado y cálculo. * Regresión lineal y correlación: - Distribuciones bidimensionales. - Representación gráfica de las distribuciones bidimensionales: nubes de puntos. - Significado intuitivo de correlación. - Ajuste intuitivo de una recta a una nube de puntos. - Coeficiente de correlación lineal. Interpretación y cálculo. - Regresión lineal. Cálculo de las rectas de regresión. - Utilización de las rectas de regresión para interpolar y predecir. Probabilidad.

Este núcleo propone la sistematización y utilización de forma clara y sencilla, por ejemplo recurriendo a la confección de diagramas en árbol, de las leyes probabilísticas. Las distribuciones binomial y normal, que pueden presentarse como idealizaciones de distribuciones de frecuencias, permitirán el cálculo de probabilidades, recurriendo a tabulaciones de esas distribuciones, en situaciones susceptibles de ser descritas mediante modelos por ellas. Los contenidos de esta núcleo son: * Medida de la incertidumbre. Asignación de probabilidades. * Leyes de la probabilidad. * Experiencias aleatorias compuestas. * Tablas de contingencia y diagramas en árbol. * Probabilidad condicionada. * Probabilidad total. * Probabilidad a posteriori. * La distribución binomial. * La distribución normal. * Utilización de tablas de la distribución binomial y de la distribución normal en la resolución de problemas que requieran cálculos probabilísticos.

IV. Criterios de evaluación 1. Utilizar los números, la notación numérica y las operaciones adecuadas para comprender y comunicar información cuantitativa. Se pretende evaluar la capacidad de utilizar adecuadamente los números y sus operaciones y de recurrir a la notación numérica más conveniente para expresar los resultados de estimaciones, cálculos y problemas. 2. Transcribir problemas al lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos, presentar adecuadamente las soluciones obtenidas e interpretarlas en sus contextos. Se pretende evaluar el grado de destreza alcanzado en la resolución de problemas en general, preferiblemente planteados en contextos o situaciones propias de las ciencias sociales, y específicamente de aquellos problemas que puedan requerir un planteamiento y una resolución algebraica. Se valorará también la capacidad de justificar la estrategia diseñada para resolver el problema, la corrección de los razonamientos, la elección de los tipos de números adecuados para expresar la solución y la interpretación de los resultados obtenidos en coherencia con el contexto o situación planteada. 3. Interpretar cuantitativa y cualitativamente fenómenos económicos y sociales descritos mediante relaciones funcionales expresadas en forma verbal, gráfica, numérica o algebraica. Se pretende evaluar la capacidad de describir e interpretar el comportamiento global de fenómenos funcionales característicos de las ciencias humanas y sociales cuando la relación entre las variables de interés es presentada indistintamente en forma de descripción verbal, de tabla numérica, de gráfica o de expresión algebraica. Se contrastará asimismo la destreza alcanzada en la traducción global entre las cuatro formas de representación funcional y la habilidad para identificar y distinguir los modelos funcionales más simples atendiendo a sus características globales. 4. Utilizar tablas y gráficas como instrumento para el estudio de situaciones empíricas, ajustar razonablemente a las mismas un modelo funcional, estimar sus parámetros y recurriendo a métodos de interpolación y extrapolación para la obtención de información suplementaria sobre la situación.

Se pretende evaluar la habilidad alcanzada en el manejo de datos numéricos provenientes de situaciones empíricas en las que la relación entre las variables no venga expresada analíticamente. Esa habilidad se manifestará en la utilización de las técnicas numéricas adecuadas para la obtención de informaciones cuantitativas suplementarias sobre la situación, en la elección razonada de una familia funcional apropiada para ajustar a un modelo matemático la situación y en la ejecución de los cálculos necesarios para estimar los parámetros del modelo elegido. 5. Interpretar y elaborar informes sobre situaciones susceptibles de ser presentadas en forma de gráfica funcional y que exijan tener en cuenta intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y tendencias de evolución. Se pretende evaluar la capacidad de analizar gráficamente las propiedades locales de las funciones y la habilidad alcanzada para utilizar dicho análisis en la interpretación del contexto al que se refiera la gráfica funcional. 6. Analizar la representación gráfica, extraer conclusiones de tipo cualitativo y apreciar el grado y tipo de relación existente entre las variables de una distribución bidimensional. Se pretende valorar la destreza alcanzada en el análisis cualitativo de la información gráfica suministrada por nubes de puntos y la capacidad de discutir si razonablemente se puede suponer una relación funcional o una relación estocástica entre las variables representadas. 7. Utilizar el coeficiente de correlación y las rectas de regresión para medir el grado de relación entre las variables de distribuciones bidimensionales y para extraer conclusiones cuantitativas sobre situaciones formuladas en contexto. Se pretende comprobar la comprensión del coeficiente de correlación como medida del grado de relación lineal existente entre dos variables y la capacidad para asociar valores concretos de los parámetros de las rectas de regresión a conjuntos de datos o a nubes de puntos correspondientes. Se evaluará también la soltura alcanzada en la utilización de las rectas de regresión como modelo matemático que permite realizar interpolaciones y extrapolaciones. 8. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, aplicar las leyes elementales de la probabilidad y utilizar tablas de los modelos probabilísticos binomial y normal. Se pretende evaluar la capacidad de señalar la existencia de sucesos cuya ocurrencia está sujeta a incertidumbre, valorando la destreza adquirida para medir e interpretar coherentemente su verosimilitud, recurriendo, si procede, al uso de tablas de las distribuciones binomial y normal, preferentemente en contextos sociales o económicos. 9. Organizar y codificar informaciones; seleccionar, comparar yvalorar estrategias; enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia y utilizar las herramientas matemáticas adquiridas. Se pretende evaluar la destreza alcanzada en la reflexión lógico-deductiva, los modos de argumentación propios de las matemáticas, la resolución de problemas y la realización de investigaciones.

B. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

III. Núcleos de contenidos Resolución de problemas. En este curso se proseguirá la reflexión sobre las pautas de actuación y las fases que comporta el proceso de resolución de problemas. Los contenidos son los mismos que se

exponen en el núcleo correspondiente de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y serán tratados exclusivamente en relación con los problemas que permiten plantear los conceptos y técnicas matemáticas propuestos en los demás núcleos de la materia. Álgebra lineal. El núcleo se concibe como una introducción a las ideas básicas del álgebra lineal. Las matrices pueden introducirse como una estructura abstracta que permite representar tablas y grafos en general y sistemas de ecuaciones lineales en particular. Se procurará dotar de significado a las operaciones con matrices justificando las definiciones mediante situaciones contextualizadas que permitan interpretaciones de las mismas. El estudio de los fundamentos de la geometría analítica del plano permitirá la interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, aplicable a la resolución gráfica de problemas de programación lineal, entendida ésta como un método de optimación complementario al facilitado por el cálculo diferencial. Los contenidos de esta núcleo son: * Matrices y sistemas - Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. - Estudio de las matrices como herramienta para representar datos estructurados en tablas y grafos. - Operaciones con matrices: suma, producto, inversa. Interpretación de las operaciones y de sus propiedades. - Determinante de una matriz. Aplicaciones de las matrices y los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. * Fundamentos de la Geometría Analítica Plana - Ecuaciones de la recta en el plano. - Incidencia y paralelismo: posiciones relativas de rectas en el plano. - Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. - Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica. * Introducción a la programación lineal - Noción de optimación. - Conceptos generales: la función objetivo y las restricciones. - Método gráfico para la resolución de problemas de programación lineal. - Resolución de problemas de programación lineal aplicados a la economía, la administración y la gestión. Funciones. El núcleo propone la profundización en el conocimiento de los modelos funcionales iniciado en el primer curso, ahondando en las técnicas algebraicas necesarias para una mejor comprensión de las relaciones funcionales e introduciendo conceptos más sofisticados. La introducción del concepto de derivada y las reglas elementales de derivación permite la resolución sistemática de problemas de optimación, eje central del núcleo. Se pondrá especial cuidado en que la optimación se conciba como todo un proceso que, partiendo de enunciados verosímiles, permita la construcción de fórmulas funcionales, el análisis global de las funciones, la representación de sus gráficas, la señalización de los dominios relevantes y, cuando proceda, el cálculo de los valores óptimos y su interpretación en el contexto del problema planteado. Las técnicas de integración que se consideran son las más elementales. Se trata de dar una idea de los problemas que resuelve el cálculo integral sin necesidad de invertir mucho tiempo estudiando métodos de integración muy específicos.

* La derivada: - Concepto intuitivo de límite. - Medida del cambio instantáneo: introducción intuitiva a la derivada. - La derivada y la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto: relación entre derivada, crecimiento y decrecimiento. - Aportaciones de la derivada y de los límites al conocimiento e interpretación de las propiedades locales de los modelos funcionales. - Aplicación del cálculo de derivadas elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, productos y cocientes) a la resolución de problemas de optimación en contextos de la economía, la administración y la gestión. * La integral: - Introducción al concepto de integral definida. Estadística y probabilidad. El núcleo se dedica, por un lado, a las leyes de la probabilidad, especialmente las relativas a los conceptos de probabilidad compuesta, condicionada y a posteriori, y, por otro lado, a la introducción a las ideas que permiten aplicar el cálculo de probabilidades a la Estadística. Los contenidos de este núcleo son: * Profundización en las leyes de la probabilidad * Resolución de problemas que requieran los conceptos de probabilidad compuesta, condicionada y a posteriori. * Introducción a las aplicaciones del cálculo de probabilidades a la Estadística. * Análisis de las conclusiones que cabe extraer de conjuntos muestrales. Problemas planteados en la elección representativa de muestras. * Introducción intuitiva al contraste de hipótesis.

IV. Criteris d'avaluació 1. Utilizar las matrices y sus operaciones como instrumento para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y para representar e interpretar tablas y grafos. Se pretende evaluar la capacidad de organizar en forma matricial la información disponible en situaciones apropiadas, de realizar las operaciones oportunas con matrices y de interpretar adecuadamente los resultados. 2. Transcribir problemas al lenguaje algebraico y utilizar las técnicas algebraicas apropiadas (matrices, sistemas de ecuaciones, programación lineal bidimensional, etc.) para resolverlos. Se pretende evaluar la soltura adquirida en la utilización del lenguaje algebraico, en la elección de las herramientas algebraicas apropiadas para resolver problemas y en la interpretación de las soluciones obtenidas. 3. Interpretar cuantitativa y cualitativamente fenómenos económicos y sociales y comprender las propiedades locales de las funciones que los describen. Se pretende comprobar la capacidad de interpretar fenómenos o contextos propios de las ciencias económicas y sociales estudiando analíticamente las propiedades locales de las funciones que los describen mediante modelos. 4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para resolver problemas de optimación aplicados a fenómenos de las ciencias humanas y sociales. Se pretende valorar la destreza adquirida en la aplicación de las técnicas del cálculo diferencial para la obtención de valores óptimos en problemas relacionados con las ciencias económicas y sociales. Se valorará también la capacidad de interpretar los resultados obtenidos en el contexto del problema formulado. 5. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes e

independientes, e interpretarlas; utilizar técnicas de conteo directo, diagramas de árbol, cálculos simples o tablas de distribuciones. Se pretende comprobar la capacidad de realizar estudios probabilísticos en situaciones sujetas a incertidumbre, utilizando en cada caso las técnicas adecuadas, entre las que se incluye el uso de las tablas de distribuciones binomial y normal. 6. Planificar y realizar estudios concretos: elaborar formulación de encuestas, seleccionar muestras y estudiar los datos obtenidos e inferir intuitivamente conclusiones sobre las características de la población. Se pretende verificar la comprensión del proceso estadístico en su conjunto y la capacidad de obtener información acerca de una población interpretando los datos obtenidos mediante muestreos simples. 7. Analizar de forma crítica informes estadísticos utilizados en los medios de comunicación o en publicaciones relacionadas con las ciencias humanas y sociales. Se pretende evaluar la capacitación para analizar críticamente e interpretar informes o informaciones que utilicen tablas y gráficas estadísticas para presentar o discutir los resultados de encuestas y censos. 8. Resolver problemas que requieran codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias y elegir las herramientas matemáticas adecuadas para la búsqueda de soluciones en cada caso. Se pretende evaluar la capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos generales para resolver problemas planteados en situaciones prácticas.

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Las Calculadoras en el Currículo del Bachillerato de Ciencias Sociales de la Comunidad Valenciana

(Tomado de Calculaweb de Anna M. Vaello) En el currículo valenciano del Bachillerato (DOGV 29-9-94), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y II, nos encontramos, entre otras cosas:

I. Introducción En el marco de esa articulación general en torno a la resolución de problemas, las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I serán eminentemente prácticas, centrando la atención en el conocimiento y uso de las diferentes formas de expresión matemática que permiten comprender, relacionar, comunicar y extraer conclusiones de situaciones expresadas o expresables en términos matemáticos. En este sentido, tienen especial interés las posibilidades que se abren, y las necesidades que se plantean, con el uso de recursos técnicos como la calculadora y el ordenador.

II. Objectivos generales 9. Apreciar la utilidad y las limitaciones de los recursos mecánicos de cálculo, así como la necesidad de someter a revisión crítica los resultados obtenidos por tales procedimientos.

A. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

III. Núcleos de contenidos Resolución de problemas. No aparecen las palabras calculadora ni ordenador, ni siquiera cálculo. Álgebra, funciones y gráficas. La calculadora puede aligerar los cómputos necesarios para la resolución de los problemas planteados, desplazando la atención de los cálculos rutinarios a la interpretación de los resultados y a la comprensión del proceso de establecimiento de modelos en su conjunto. Estadística. El uso adecuado de los recursos que proporcionan las calculadoras, incluyendo las funciones estadísticas de que disponen algunas máquinas, puede contribuir de modo decisivo a la comprensión de los conceptos subyacentes a la regresión y correlación, al permitir centrar la atención en la interpretación de los resultados obtenidos mecánicamente y en la verificación de la verosimilitud de los mismos. Probabilidad. No aparecen las palabras calculadora y ordenador, pero sí cálculos.

IV. Criterios de evaluación No aparecen las palabras calculadora y ordenador, pero sí cálculos.

B. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

III. Núcleos de contenidos Resolución de problemas. No aparecen las palabras calculadora ni ordenador, ni siquiera cálculo. Álgebra lineal.

No aparecen las palabras calculadora y ordenador, pero sí cálculo. Funciones. No aparecen las palabras calculadora y ordenador, pero sí cálculo. Estadística y probabilidad. No aparecen las palabras calculadora y ordenador, pero sí cálculo.

IV. Criterios de evaluación No aparecen las palabras calculadora y ordenador, pero sí cálculos.

La palabra ordenador también aparece en las materias Imagen, Técnicas de expresión gráfico-plástica y Volumen del Bachillerato de artes.

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BACHILLERATO (LOGSE)

Prueba de acceso a la Universidad

Ejercicio de MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

2º Ejercicio

Modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales

Materia obligatoria en la opción de Ciencias Sociales y opcional en la de Humanidades y en la Científico-Técnica.

(Obligatoria también para los alumnos que hagan las dos opciones de Ciencias Sociales y Humanidades)

90 minutos I. CARACTERÍSTICAS DEL EXAMEN Se ofertarán a los alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios propondrá la resolución de cuatro problemas relativos al temario de la materia. Los alumnos tendrán que elegir tres de entre los cuatro propuestos. Independientemente del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá por igual a la calificación del ejercicio. Cada estudiante deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Los problemas se plantearán de modo que permitan evaluar las siguientes capacidades: 1. Utilizar las matrices y sus operaciones como instrumento para la

resolución de sistemas de ecuaciones lineales y para representar e interpretar tablas y grafos.

2. Transcribir problemas al lenguaje algebraico y utilizar las técnicas algebraicas apropiadas (matrices, sistemas de ecuaciones, programación lineal bidimensional,...) para resolverlos.

3. Interpretar cuantitativa y cualitativamente fenómenos económicos y sociales estudiando las propiedades locales de las funciones que los describen.

4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para resolver problemas de optimación aplicados a fenómenos de las ciencias humanas y sociales.

5. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos (dependientes e independientes) utilizando las leyes probabilísticas.

6. Resolver problemas que requieran codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias y elegir las herramientas matemáticas adecuadas para la búsqueda de soluciones en cada caso.

II. CRITERIOS DE CORRECCIÓN A) Todos los problemas de la opción elegida por los estudiantes de entre las

dos propuestas en la prueba contribuirán por igual a la calificación del ejercicio. Cada problema valdrá un tercio de la nota total.

B) Los problemas obtendrán la máxima puntuación cuando su planteamiento, desarrollo y solución sean correctos.

C) Se valorará de manera especialmente positiva la adecuada estructuración de las contestaciones atendiendo a los siguientes factores:

• La claridad conceptual en la exposición. • La justificación de la estrategia diseñada para resolver el problema. • La construcción o elección razonada de los elementos (funciones, modelos

probabilísticos, sistemas de referencia, gráficos,...) necesarios para la formalización matemática de la situación a resolver.

• La corrección lógica en los razonamientos o cálculos que conduzcan a la obtención de la o las soluciones o a la convicción de su inexistencia.

• La interpretación de las soluciones obtenidas, si procede, y, en su caso, la puesta de manifiesto de la inverosimilitud o incorrección de las mismas.

D) En tanto que las matemáticas constituyen también un lenguaje que contiene

recursos apropiados para convencer y comunicar, se valorará positivamente la destreza demostrada en cuanto a:

• La claridad y precisión, cualidades ambas compatibles con la flexibilidad

para explorar distintas estrategias o para reconsiderar los supuestos de partida si es necesario o conveniente.

• La coherencia y pertinencia de los argumentos esgrimidos. • La originalidad de los enfoques adoptados. • La concisión, pulcritud y claridad comunicativa de los elementos auxiliares

del desarrollo (diagramas, gráficos, tablas,...). III. TEMARIO DE LA MATERIA 1. ALGEBRA LINEAL Matrices y sistemas. • Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. (Los

sistemas tendrán a lo sumo tres ecuaciones y tres incógnitas y todos sus coeficientes estarán determinados).

• Estudio de las matrices como herramiento para representar datos estructurados en tablas y grafos.

• Utilización de las operaciones con matrices en la resolución de problemas. • Determinante de una matriz. Aplicaciones de las matrices y los

determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Fundamentos de la Geometría Analítica Plana. • Ecuaciones de la recta en el plano. • Incidencia y paralelismo: posiciones relativas de rectas en el plano. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Interpretación geométrica. Introducción a la programación lineal con dos variables.

• Noción de optimación. • Conceptos generales: la función objetivo y las restricciones. • Método gráfico para la resolución de problemas de programación lineal. • Resolución de problemas de programación lineal aplicados a la economía, la

administración y la gestión. 2. FUNCIONES La derivada • Medida del cambio instantáneo: introducción intuitiva a la derivada como

límite de la tasa de variación media. • La derivada y la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto:

relación entre derivada y crecimiento y decrecimiento. • Aportaciones de la derivada y de los límites al conocimiento e interpretación

de las propiedades locales de los modelos funcionales. • Aplicación del cálculo de derivadas elementales (polinómicas, exponenciales,

logarítmicas, productos y cocientes) a la resolución de problemas de optimación aplicados a contextos de la economía, la administración y la gestión.

La integral Introducción al concepto de integral definida a partir de la idea intuitiva de área definida bajo una curva. 3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. • Leyes de la probabilidad: probabilidad condicionada, probabilidad total y

probabilidad a posteriori. • Resolución de problemas que requieran los conceptos de probabilidades

compuestas, condicionadas y a posteriori. IV. CURRÍCULUM DE LA MATERIA Decreto 174/1994, de 19 de agosto, que establece el currículo de Bachillerato LOGSE. B. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II III. Núcleos de contenidos Álgebra lineal. * Matrices y sistemas – Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. – Estudio de las matrices como herramienta para representar datos estructurados en tablas y grafos.

– Operaciones con matrices: suma, producto, inversa. Interpretación de las operaciones y de sus propiedades. – Determinante de una matriz. Aplicaciones de las matrices y los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. * Fundamentos de la Geometría Analítica Plana – Ecuaciones de la recta en el plano. – Incidencia y paralelismo: posiciones relativas de rectas en el plano. – Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. – Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica. * Introducción a la programación lineal – Noción de optimación. –Conceptos generales: la función objetivo y las restricciones. – Método gráfico para la resolución de problemas de programación lineal. – Resolución de problemas de programación lineal aplicados a la economía, la administración y la gestión. Funciones. * La derivada: – Concepto intuitivo de límite. – Medida del cambio instantáneo: introducción intuitiva a la derivada. – La derivada y la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto: relación entre derivada, crecimiento y decrecimiento. – Aportaciones de la derivada y de los límites al conocimiento e interpretación de las propiedades locales de los modelos funcionales. – Aplicación del cálculo de derivadas elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, productos y cocientes) a la resolución de problemas de optimación en contextos de la economía, la administración y la gestión. * La integral: – Introducción al concepto de integral definida. Estadística y probabilidad. * Profundización en las leyes de la probabilidad. * Resolución de problemas que requieran los conceptos de probabilidad compuesta, condicionada y a posteriori. * Introducción a las aplicaciones del cálculo de probabilidades a la Estadística. * Análisis de las conclusiones que cabe extraer de conjuntos muestrales. Problemas planteados en la elección representativa de muestras. * Introducción intuitiva al contraste de hipótesis.