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Banco Central de Reserva del PerúXXX Encuentro de Economistas
Predicción de agregados trimestrales conindicadores mensuales
Diego Winkelried
Departamento de Modelos Macroeconómicos (BCRP)
Octubre 2012
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Motivación Metodología Evaluación Resultados Agenda Referencias
Contenido
1 Motivación
2 Metodología
3 Ejercicio de evaluación
4 Resultados
5 Agenda
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 2/ 24
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Motivación: Muestreo con frecuencias mixtas (1)
• La información que manejan los hacedores de política:
• Agregados trimestrales (PBI, inversión, consumo): Normalmente existe un rezago en lapublicación y están sujetos a revisiones. En Perú el rezago es de 45 días, en otros países esincluso mayor (ver Clements y Galvão, 2008).
• Indicadores mensuales (circulante, producción de electricidad, entre otros) disponibles casi entiempo real y sin mayores revisiones.
• Reto: inferir sobre los agregados trimestrales con toda la información disponible en unmomento dado.
• Proyecciones “fuera de muestra”:nowcasting (se proyecta el trimestre corriente) ybackcasting(se proyecta el trimestre previo, aún no disponible).
• Se presenta un sistema de predicciones de agregados trimestrales. Dos ingredientes:• Regresiones MIDAS.
• Combinación de predicciones.
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Motivación: Muestreo con frecuencias mixtas (2)
Dos enfoques (Bai, Ghysels y Wright, 2012, comparan ambos):
• Modelos de variables no observables (Harvey, 1989; Evans, 2005):
• Modelos de espacio de los estados, donde el valor mensual “subyacente” del agregado trimestrales tratado como una variable latente, que es inferida con el filtro de Kalman.
• El problema de muestreo con distintas frecuencias se interpreta como un problema deinterpolación. Así, nowcastingy backcastingson automáticos.
• Enfoqueestructural. Se precisa una estructura completa que describa la evolución de la variablelatente. Además, se requiere especificar cómo se “agrega” lavariable latente (flujo o stock).
• Elegante, pero puede ser complicado.
• MIDAS - MIxed DAta Sampling (Ghysels, Sinko y Valkanov, 2007; Andreou, Ghysels yKourtellos, 2010):
• Métodos (estándares) de regresión.
• Se adecua fácilmente para ejercicios denowcastingy backcasting.
• Forma reducidadiseñada específicamente para proyectar. No se requiere modelar el compor-tamiento de los indicadores mensuales, sólo cómo se vinculan con el agregado trimestral.
• Simple y ha funcionado en la literatura.
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1 Motivación
2 Metodología
3 Ejercicio de evaluación
4 Resultados
5 Agenda
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Metodología: Enfoque MIDAS
• t = “meses” (m meses por “trimestre”).Regresorxt disponible para todot. Variable dependienteyt disponible cadam periodos:
yt = β0xt + β1xt−1 + β2xt−2 + . . . + βqxt−q + εt para t = m,2m, 3m, . . . ,nm. (1)
dondeεt ∼ iid(0,Vε).
Estructura de datos en la regresión MIDAS (1)
yt xt xt−1 xt−2 xt−3 xt−4 xt−5 xt−6
1er 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 0 Set 02do 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 03er 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 14to 1 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 11er 2 Mar 2 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1
Nota: 1erT, . . ., , 4toT denota trimestres del año; EneT, . . ., DecT denota meses del añoT.
• Forma matricial estándar:y = Xβ + ε dondey y ε es den× 1 y X es den× (q+ 1).
• Predicción directa:b es un estimador deβ; xs disponible en situaciones dondeys no se encuentra disponible:
ys = xsb .Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 6/ 24
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Metodología: Nowcasting y backcasting (1)
• Generalización:
yt = β0xt+h + β1xt+h−1 + . . . + βqxt+h−q + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt , (2)
h: naturaleza de la proyección:nowcastingpara−m< h ≤ 0 y backcastingparah > 0.κ: rezago en la publicación deyt. Última observación trimestral disponible esyt−(κ+1)m.
Estructura de datos en la regresión MIDAS (2)
yt yt−(κ+1)m xt+h xt+h−1 xt+h−2 xt+h−3 xt+h−4 xt+h−5 xt+h−6
Nowcast (h = −2 andκ = 0). Último dato trimestral: 4to 1; último dato mensual: Ene 21er 1 4to 0 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 0 Set 0 Ago 0 Jul 02do 1 1er 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 03er 1 2do 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 14to 1 3er 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 11er 2 4to 1 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1
Nowcast (h = −2 andκ = 1). Último dato trimestral: 3er 1; último dato mensual: Ene 24to 0 2do 0 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 0 Set 0 Ago 0 Jul 01er 1 3er 0 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 02do 1 4to 0 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 13er 1 1er 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 11er 2 3er 1 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1
Nota: 1erT, . . ., , 4toT denota trimestres del año; EneT, . . ., Dic T denota meses del añoT.
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Metodología: Nowcasting y backcasting (2)
yt = β0xt+h + β1xt+h−1 + . . . + βqxt+h−q + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt (2)
Estructura de datos en la regresión MIDAS (2)
yt yt−(κ+1)m xt+h xt+h−1 xt+h−2 xt+h−3 xt+h−4 xt+h−5 xt+h−6
Nowcast (h = −1 andκ = 0). Último dato trimestral: 4to 1; último dato mensual: Feb 21er 1 4to 0 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 0 Set 0 Ago 02do 1 1er 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 03er 1 2do 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 14to 1 3er 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 11er 2 4to 1 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1
Nowcast (h = −1 andκ = 1). Último dato trimestral: 3er 1; último dato mensual: Feb 24to 0 2do 0 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 0 Oct 0 Set 0 Ago 01er 1 3er 0 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 02do 1 4to 0 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 13er 1 1er 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 11er 2 3er 1 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1
Nota: 1erT, . . ., , 4toT denota trimestres del año; EneT, . . ., Dic T denota meses del añoT.
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Metodología: Nowcasting y backcasting (3)
yt = β0xt+h + β1xt+h−1 + . . . + βqxt+h−q + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt (2)
Estructura de datos en la regresión MIDAS (2)
yt yt−(κ+1)m xt+h xt+h−1 xt+h−2 xt+h−3 xt+h−4 xt+h−5 xt+h−6
Backcast (h = 2 andκ = 0). Último dato trimestral: 4to 1; último dato mensual: May 21er 1 4to 0 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 02do 1 1er 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 13er 1 2do 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 14to 1 3er 1 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 11er 2 4to 1 May 2 Abr 2 Mar 2 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1
Backcast (h = 2 andκ = 1). Último dato trimestral: 3er 1; último dato mensual: May 24to 0 2do 0 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 1 Ene 1 Dic 0 Nov 01er 1 3er 0 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 1 Abr 1 Mar 1 Feb 12do 1 4to 0 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 1 Jul 1 Jun 1 May 13er 1 1er 1 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1 Oct 1 Set 1 Ago 11er 2 3er 1 May 2 Abr 2 Mar 2 Feb 2 Ene 2 Dic 1 Nov 1
Nota: 1erT, . . ., , 4toT denota trimestres del año; EneT, . . ., Dic T denota meses del añoT.
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 9/ 24
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Metodología: Proliferación de parámetros
yt = β0xt + β1xt−1 + β2xt−2 + . . . + βqxt−q + εt para t = m,2m,3m, . . . ,nm.
• Potencial problema:q es grande relativo an. Por ejemplo, rezago de 2 trimestres con datosdiarios implica q = 2(trimestres)× 3(meses por trimestre)× 20(días por mes)= 120.
• MIDAS tradicional (Ghysels, Sinko y Valkanov, 2007), usualmente en finanzas: restric-ciones no linealesβr = f (r ,θ), donde dim(θ) es reducida.
• Foroni, Marcellino y Schumacher (2012): con frecuencias mensual/trimestral (usual enmacroeconomía) no es necesario imponer restricciones tan fuertes.
• Nuestro enfoque: Restricciones “menos fuertes” en la formadesmoothness priors(Shiller,1973). Cada coeficiente se formaaproximadamentecomo un polinomio de Almon:
βr = α0 + α1r + α2r2 + . . . + αprd − ωr para r = 0,1, 2, . . . ,q , (3)
dondeωr ∼ iid(0,Vω) y α0, α1, . . . , αd son coeficientes por estimar. Siq > d, entonces (3)imponeq− d restricciones.
Estas restricciones sonestocásticas(no se espera que se cumplan exactamente) lo queimplica qued puede ser reducido sin imponer restricciones muy fuertes a los datos.
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 10/ 24
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Metodología: Estimación
• Las restricciones anteriores se pueden escribir comoRβ + Rω = 0, dondeR es una matriz“de diferencias” de dimensión (q− d) × (q+ 1) y rango (q− d).
• Definaλ = Vε/Vω.El estimador de mínimos cuadrados deβ eny = Xβ + ε sujeto aRβ = −Rω es
b = ( X′X + λR′(RR′)−1R )−1X′y . (4)
• λ mide el contenido informativo de las restricciones estocásticas:• Si Vω →∞, entoncesλ→ 0 y b→ estimador sin restricciones.
• Si Vω → 0, entoncesλ→ ∞ y b→ estimador con restricciones exactasRβ = 0.
• En la práctica es difícil estimarVω (y, por tanto,λ). Lo usual es queλ es “guesstimated”.
• El estimadorb está completamente definido por el triplo (q,d, λ). Una dificultad es quelos estimadores con distintos triplosno son anidados(non-nested) por lo que no puedencontrastarse con herramientas estándares (por ejemplo, ratios F).
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 11/ 24
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Metodología: Inferencia multimodelo
• Gran literatura sobre combinación de proyecciones (Timmermann, 2006).
• Se estima ˆyis = xisbi para varios triplos (qi ,di , λi) y se asigna un pesowi al modeloi:
ys =
M∑
i=1
wi yis . (5)
• Pesos de Akaike: si ei = yi − Xbi , el criterio de Akaike corregido es (Hurvich, Simonoff yTsai, 1998)
Ai = log
(
ei′ei
n
)
+n+ Ki
n− Ki − 2, (6)
dondeKi es elnúmero efectivo de grados de libertady los pesos de Akaike son (Burnhamy Anderson, 2002, cap. 4)
wi =exp
(
− 12Ai
)
∑Mk=1 exp
(
− 12Ak
) . (7)
• Importante : (5) también puede utilizarse para combinar predicciones obtenidas condistintos indicadores mensuales.
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 12/ 24
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4 Resultados
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Evaluación: Diseño (1)
• yt = Tasa de crecimiento últimos 4 trimestres de 3 agregados macroeconómicos deimportancia: PBI real, inversión privada y consumo privado.
Información de 1994Q1 a 2012Q2.
• xt = Tasa de crecimiento últimos 12 meses de 11 indicadores de actividad real(importaciones [totales, de bienes de capital, de insumos yde bienes de consumodurable], crédito, circulante, electricidad, despachos de cemento, manufactura no primaria,expectativas y recaudación del IGV).
Información de enero de 1994 a setiembre de 2012.Estos son indicadores usualmente disponibles unos 15 días después del cierre del mes.
• Se estima recursivamente
yt = β0xt+h + β1xt+h−1 + . . . + βqxt+h−q + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt (2)
a lo largo de la ventana 2002Q1-2012Q2 (42 trimestres).
• Se utiliza la raíz del error cuadrático medio de predicción(RECM) como criterio deevaluación.
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Evaluación: Diseño (2)
• Varias estructuras de datos:
• h = {−2,−1, 0} (nowcasting) y h = {1,2, 3} (backcasting),
• κ = {0,1}.
• Dado (h, κ), para cadaxt se estimanM = 102 modelos que resultan de la combinación de
• q = {3, 6, 9, 12},
• d = {1, 2, 3, 4},
• λ = V0 × δ donde V0 es el estimador estándar deVε en un modelo sin restricciones yδ = {0, 1, 5,10, 50, 100, 500, 1000}.
Se reportan los resultados de las proyecciones combinadas de cada grupo deM = 102predicciones, utilizando pesos de Akaike.
• Asimismo se obtiene una predicción combinada detodoslos indicadores al promediar las11×M = 1,122 predicciones disponibles.
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Evaluación: Modelos trimestrales
• Airline Model(univariado):
yt − yt−1 = ζt + θζt−1 + Θζt−4 + θΘζt−5 , (8)
dondeζt es una innovacióniid.
• Modelo autoregresivo de rezagos distribuidos “agregado”:
yt = φ0Xt+h∗ + φ1Xt+h∗−m + . . . + φq∗Xt+h∗−q∗m + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt , (9)
dondeXt = (xt + xt−1 + . . . + xt−m+1)/m.
• Este modelo impone “restricciones de agregación” a la regresión MIDAS:
β0 = β1 = · · · = βm−1 = φ0/m, βm = βm+1 = · · · = β2m−1 = φ1/m, etc.
• Se usah∗ = −3 (información termina con el último trimestre) yh∗ = 0, un caso comparable conla regresión MIDAS conh = 0 (nowcasting).
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3 Ejercicio de evaluación
4 Resultados
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Resultados: RECM (1)
yt = β0xt+h + β1xt+h−1 + . . . + βqxt+h−q + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt
yt = φ0Xt+h∗ + φ1Xt+h∗−m + . . . + φq∗Xt+h∗−q∗m + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt
• En general, RECM es decreciente enh y creciente enκ.
• Sin embargo, los resultados dependenfuertementedel indicadorxt utilizado y de laestructura de datos (h, κ).
• Difícil formar un ranking robusto.
• “Restricciones de agregación temporal” se rechazanen general(no siempre).
• Combinación de proyecciones “separa la paja del trigo”.
• Situaciones de interés (dado un rezago de publicación de 45 días):Nowcastingconκ = 0 y h = −1 (predecir 3er trimestre con datos a agosto).Nowcastingconκ = 0 y h = 0 (predecir 3er trimestre con datos a setiembre).Backcastingconκ = 1 y h = 1 (predecir 3er trimestre con datos a octubre).
• Se registran disminuciones de entre 30% y 40% del RECM de modelos univariados (30% y 40%respecto a modelos trimestrales).
• Conclusiones cualitativamente similares al proyectar crecimiento del PBI, inversión privaday consumo privado.
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Resultados: RECM (2)
Crecimiento del PBI: RECM paraκ = 0 (modelo univariado= 100)(Círculos= modelos trimestrales; líneas= regresiones MIDAS)
h* = −3 h = −2 h = −1 h = 0 h* = 0 h = 1 h = 2 h = 3
50
60
70
80
90
100
110
ImportacionesCirculanteCOESCementoManufacturaExpectativasCOMBINADA
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Resultados: RECM (3)
Crecimiento del PBI: RECM paraκ = 1 (modelo univariado= 100)(Círculos= modelos trimestrales; líneas= regresiones MIDAS)
h* = −3 h = −2 h = −1 h = 0 h* = 0 h = 1 h = 2 h = 3
50
60
70
80
90
100
110
ImportacionesCirculanteCOESCementoManufacturaExpectativasCOMBINADA
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 20/ 24
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Resultados: ¿Por qué MIDAS es mejor?
Crecimiento del PBI observado y predicho (2002 - 2012)Univariado (κ = 0), RECM= 1.92 Univariado (κ = 1), RECM= 2.81
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012−2
0
2
4
6
8
10
12
ActualPredicted90% confidence band
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012−2
0
2
4
6
8
10
12
ActualPredicted90% confidence band
MIDAS (nowcast h= −1, κ = 0), RECM= 1.40 MIDAS (nowcast h= −2, κ = 1), RECM= 1.69
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012−2
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6
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10
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ActualPredicted90% confidence band
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012−2
0
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10
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ActualPredicted90% confidence band
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Motivación Metodología Evaluación Resultados Agenda Referencias
Contenido
1 Motivación
2 Metodología
3 Ejercicio de evaluación
4 Resultados
5 Agenda
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Posible agenda
• Combinación de proyecciones vs. combinación de información:
Calcular un factor común
Ft = π1x1t + π2x2t + . . . + πNxNt ,
y luego incorporarlo en la regresión MIDAS
yt = β0Ft+h + β1Ft+h−1 + . . . + βqFt+h−q + γ1yt−(κ+1)m+ . . . + γpyt−(κ+p)m+ εt .
• ¿MIDAS con datos diarios?
• Efecto de revisión de datos,vintages(Clements y Galvão, 2008).
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Referencias (más en el documento)
Andreou E., E. Ghysels y A. Kourtellos (2010), “Regression models with mixed sampling frequencies”,Journal of Econometrics, 158(2), 246-261.
Bai, J., E. Ghysels y J. Wright (2012), “State space models and MIDAS regressions”,Econometric Reviews(en prensa).
Burnham, K. P. y D. R. Anderson (2002),Model Selection and Multimodel Inference. A PracticalInformation-Theoretic Approach, 2da edición, New York: Springer-Verlag.
Clements, M. P. y A. B. Galvão (2008), “Macroeconomic forecasting with mixed-frequency data: Forecastingoutput growth in the United States”,Journal of Business& Economic Statistics, 26(4), 546-554.
Evans, M. D. D. (2005), “Where are we now? Real-time estimates of the macroeconomy”,InternationalJournal of Central Banking, 1(2), 127-175.
Foroni, C., M. Marcellino y C. Schumacher (2012), “U-MIDAS:MIDAS regressions with unrestricted lagpolynomials”, CEPR Discussion Papers 8828.
Ghysels E., A. Sinko y R. Valkanov (2007), “MIDAS regressions: Further results and new directions”,Econometric Reviews, 26(1), 53-90.
Harvey, A. C. (1989),Forecasting, Structural Time Series and the Kalman Filter, Cambridge UniversityPress.
Hurvich, C. M., J. S. Simonoff y C. L. Tsai (1998), “Smoothing parameter selection in nonparametricregression using an improved Akaike information criterion”, Journal of the Royal Statistical Society(Series B), 60(2), 271-293.
Shiller, R. J. (1973), “A distributed lag estimator derivedfrom smoothness priors”,Econometrica, 41(4),775-788.
Timmermann, A. (2006), “Forecast combinations”, en Elliott, G., C. W. J. Granger y A. Timmermann (eds.),Handbook of Economic Forecasting, Elsevier, vol. 1, cap. 4, 135-196.
Diego Winkelried (BCRP) Octubre 2012 24/ 24