BANCO OPTICO - LENTES
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BANCO OPTICO : LENTES
I. OBJETIVOS
I.1 Calcular distancias focales de tres lentes convergentes y una
divergente.
I.2 Calcular la distancia focal de un sistema de dos lentes una
convergente con una divergente.
II. FUNDAMENTO TEÓRICO
Partiendo de la fórmula general para la refracción en una superficie
esferica [ 2 ] :
n’ n n – n’-- + --- = --------S’ S r
Donde : n y n’ son los índices de refracción del medio incidente y transmisor S’
y S las distancias imagen interfase y objeto interfase, y r el radio de
curvatura (la demostración de (1.1) se halla en el informe anterior).
En particular para una lente que es un instrumento óptico que encierra
un material limitado por dos superficies, al aplicar (1.1) dos veces
según la figura 1 producto de la doble refracción.
N’ n n – n’ n n n’ – n--- + --- = -------- (i) --- + --- = ---------- (i i) S’1 S1 r1 S’2 S2 r2
FIGURA 1
1
En este caso S’ es la distancia objeto para en (ii), siempre y cuando el
grosor d de la lente sea despreciable en comparación de todo Si.
Entonces S’r ≈ - S2 y sumando i y (ii) y relacionando se obtiene.
1 1 n’ 1 1--- + ---- = ( ---- - 1)( ---- - ---- ) (1.2)
S’ S n r1 r2
Ecuación que relaciona las distancias imagen lente y objeto lente con
una constante a la derecha de (1.2) . esta es definida como :
n’ 1 1 = ( ---- - 1)( ---- - ---- ) (1.3) [ 5 ]
n r1 r2
el mismo se denomina poder óptico y sus unidades están en
dioptrías (m-1) , además el foco del sistema viene dado por :
1
f = -1= ----------------------m’ 1 1
( ---- - 1)( ---- - ---- ) (1.4) n r1 r2
y esta última es considerada como: “Ecuación del fabricante de lentes”
Entonces de (1.4) y (1.2) se obtiene:
1 1 1 ---- + --- = --- (1.5)
S’ S f
En la figura 1: la relación entre tamaño de la imagen y tamaño del
objeto M t. Se puede obtener a partir de la semejanza de triángulos .
En las Δ ABO, Δ A’B’O
en donde :
Y Y y’ y’
2
---- = --- = - ---- = - ----S p S’ q
De donde M t = y’ / y es :
q M t = - ---- (1.6)
p
ahora veamos el caso de un sistema de 2 lentes como en la figura 2.2
FIGURA 2
Según esto las ecuaciones para este caso son:
1 1 1 1 1 1 --- + --- = --- (iii) --- + -- = --- (iv) p1 q 1 f1 p2 q2 f2
Según la conversión de signos que tomaremos en adelante, cuando un
objetivo es virtual como para la lente L2, p toma signo negativo de lo cual
q1 = - p2 + d, entonces sumando (ii y IV) reordenando:
1 1 1 1 p2 +q1
--- + --- = --- + --- - ---------- (v) p1 q2 f1 f2 p2 q1
Cuando la separación entre las lentes es pequeña en comparación con
las otras distancias medibles (d → 0) entonces – p2 = q1 y en (v)
1 1 1 1 --- + --- = --- + --- (1.7) [ 1 ] P1 q2 f1 f2
3
Todas las fórmulas que se han hallado son aplicables tanto a lentes
convergentes como a divergentes si se toma la convención de signos
siguiente:
1. La distancia lente objeto (p) será positiva si el objeto es real y
negativa si es virtual.
2. La distancia imagen lente (q) será positiva si se encuentra en el lado
opuesto al objeto real, si la imagen es virtual, es decir formada por
intercepción de las prolongaciones de los rayos (q < 0)
3. La distancia focal (f) será positiva para toda lente convergente y
negativa para toda lente divergente (convención según la Guía de
Laboratorio.)
III. EQUIPO EXPERIMENTAL
III.1 Un banco óptico provisto de :
- tres lentes convergentes de distintos valores de f.
- un lente convergente
- una pantalla
III.2 Tres velas cortas (objetos)
III.3 Una regla milimetrada
IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
IV.1 Determinación de la distancia focal de una lente convergente
IV.1.1 De las tres lentes convergente L1, L2 y L3 se toma L1 y se toma
las distancias p y q para la imagen de una vela de 3 formas.
a. Se puso la vela al lado izquierdo del carril del banco óptico, la
lente 1 justo en medio del carril y se ajustó la posición de la
pantalla (Método 1)
b. Ahora se cambió tanto la posición de la pantalla como la de la
vela (Método 2)
4
c. Por último se dejó fijo la posición de la vela y la pantalla y se
varió la posición de la lente L1 hasta encontrar dos puntos en
donde la imagen de la pantalla sea nítida. (Método 3)
IV.1.2 Lo mismo se hizo con L2 y L3. y se anotó los valores de p y q.
IV.2 Determinación de la distancia focal de una lente divergente.
IV.2.1 Se repitió el método 1 para L1 según la figura.
Vela lente pantalla Fig. 3
C P
IV.2.2 Luego se introdujo la lente divergente L entre C y P y se
ajustó la posición de la pantalla hasta un punto Q donde la
imagen sea nítida
Vela lente pantalla Fig. 4
imagen →
C D P Q
IV.2.3 Aquí se cumple 1 1 1-- = - --- + ---f DP DQ
con lo cual se determina el foco de L - .
IV.2.4 Luego se pegaron las lentes L1, y L- y se midieron p y q para comprobar (1.7)
IV.2.5 Se repitieron los pasos de 4.2.1 a 4.2.3 para L2 y L3.
5
V. DATOS EXPERIMENTALES
5.1 Parte 1 Determinación de las distancias focales en una lente convergente
Tabla 1. distancias focales nominales de las lentes usadas
Lente (Li) f (cm)
L1 5
L2 10
L3 20
Ahora veremos los datos obtenidos en la ejecución de cada uno de los
métodos mencionados anteriormente.
5.1.1 Método 1. Cuando “q“ varía
Tabla 2. distancias objeto – lente “p” y objeto - imagen para cada lente
Lente (Li)p (cm)± 0.05
q (cm)± 0.05
L1 20.00 6.50
L2 40.00 13.50
L3 59.50 30.5
5.1.2 Método 2. Cuando “p” y “q” varían
Tabla 3. Distancias “p” y “q” cara cada lente. Método 2
Lente (Li)p (cm)± 0.05
q (cm)± 0.05
L1 10.00 9.00
L2 20,50 18.50
L3 41.00 39.00
6
5.1.3 Método 3. Cuando se busca que q = p y p=q
Tabla 4. Distancias “p” y “q” `por el método de los puntos conjugados
Lente (Li)p (cm)± 0.05
q (cm)± 0.05
L1
5.00 35.00
34.00 6.00
L2
11.00 59.00
57.50 12.50
L3
28.00 72.00
71.50 28.50
5.2 Parte 2. Determinación de la distancia focal de una lente divergente
5.2.1 Para calcular el foco de la lente divergente solo se necesitan los datos de las distancias Dp = p’ y D q = q’
Tabla 5. Distancias p’ = DP y DQ = q’
Lente (Li)*p’ (cm)± 0.01
q’ (cm)± 0.01
L1 - 3.0 4.0
L2 - 2.5 4.5
L3 - 4.0 5.0
(* ) Las distancias p’,. q’ se obtienen de la hoja de datos de laboratorio, en la última página, a esto también se debe el error de ± 0.01
(**) Cada prueba se realizó con dada una de las 3 lentes convergentes disponibles.
7
Distancia focal nominal de la lente divergenteF = - 10 cm.
5.2.2 Determinación del foco equivalente para un sistema de lentes
(convergente y divergente)
Tabla 6. Datos para hallar el foco de un sistema de lentes
P 20.00 ± 0.05
Q 12.5 ± 0.05
f(lente biconvexa) 5 cm.
f(lente bicóncava) - 10 cm.
VI. CALCULOS Y RESULTADOS
6.1 Debido a que el experimento en sí, está dirigido a calcular el foco de una
lente conociendo las distancias : p y q, mediante :
p-1 + q-1 = f-1 (6.1)
trataremos de encontrar una relación directa entre las incertidumbres
de p, q; al calcular el error propagado en el cálculo de f.
Siendo : δA y ΔA los errores relativos y absoluto de un número real A,
entonces el error A de f-1 en 6.1 viene dado por :
Δ f = δp-1 (p-1) + δq-1 (q-1) = δf-1(f-1) (6.2)
además, si se cumple que dos números A y B se relacionan por : A = 1/ B
Entonces: Ln(A) = - Ln(B)
Y diferenciando: ΔA - ΔB ----- = ------ ≡ δA = δB A B
Entonces (6.2) se puede expresar como:
δp (p-1) + δq (q-1) = δf(f-1) (6.3)
y por diferencia del error relativo δA = ΔA / A entonces (6.2) es:
8
Δp - Δq Δq ----- + ------ = ---- (6.4)
p2 q2 f2
Pero en el cálculo de Δf se podrá usar una expresión más cómoda:
(6.5)
Otra forma más directa de llegar a (6.5) es tomando diferenciales en (6.1) de
donde se obtendrá (6.4) con todos sus términos con signo negativo. Ahora hay
que tomar en cuenta la particularidad que en nuestras mediciones Δ p = Δ q,
de donde (6.5) toma la forma especial siguiente:
Elevando al cuadrado (6.1)
Δ f = ((1/p)2 + (1/q)2 ) f2 Δp = ((1/f)2 – 2(1/p)(1/q))f2 Δ p
Entonces de forma aún más simplificada:
(6.6)
6.2Ahora usando (6.1) y (6.6), teniendo en cuenta la conversión de signos
que se adopta en la sección II, se obtienen los siguientes resultados:
6.1.1 Cálculo de las distancias focales de una lente convergente
De las tablas 2, 3 y 4 podemos obtener 4 combinaciones de p y q con
respecto a una sola lente Li.
A = lente L1 (fnominal = 5 cm).
9
Δf = (f/p)2 Δp + (f/q)2 Δq
Δf = [ 1 - ( 2 f2 /pq) ]Δp
Tabla 7. Distancias focales de L1
Nºp (cm)± 0.05
q (cm)± 0.05
f best ±Δf (cm) (+) f (cm)
1 20.00 6.50 4.90566 ± 0.03149 4.91 ± 0.03
2 10.00 9.00 4.736 ± 0.02506 4.74 ±0.03
3 5.00 35.00 4.3750 ± 0.03906 4.38 ± 0.04
4 34.00 6.00 5.1000 ± 0.01275 5.10 ± 0.01
(+) f best, denota el valor calculado de f al error (6.1) [ 3 ]
Ahora promediando los valores de f y de su error
f = (4.91 + 4.74 + 4.38 + 5.10)/ 4 = 4.77935 con ≈ 4.78 cm
Δf = (0.03 + 0-03 + 0.04 + 0.01) / 4 = 0.295 cm. ≈ 0.03 cm.
Y la desviación estándar σ :
σ = [ ((4.78 – 4.91)2 + (4.78 – 4,74)2 + (4.78 – 4.38)2 + (4.78 – 5.10)2)/4]1/2 =
= 0.266 ≈ 0.27 cm.
Entonces el valor de f4 de L1 viene mejor representado por:
f1 = -f ± (Δf + σf)
f1 = 4.78 ± (0.03 + 0.27) cm
por lo tanto:
(6.7)
10
f1 = 4.8 ± 0.3 cm
B = lente L2 (fnominal = 10 cm)
Tabla 8 .- Distancias focales de L2
Nºp (cm)± 0.05
q (cm)± 0.05
f best ±Δf (cm) (+) f’ (cm)
1 40.00 13.50 10.09345 ± 0.03113 10.09 ± 0.03
2 20.50 18.50 9.7243 ± 0.02506 9.72 ± 0.03
3 11.00 59.00 9.27142 ± 0.03677 9.27 ± 0.04
4 57.50 12.50 10.2678 ± 0.05533 10.27 ± 0.01
Analógicamente a la parte A, a partir de la tabla 8 tenemos los valores:
f = 9.839225 cm ≈ 9.84 cm
Δf = 0.04 cm.
σf = 0.382071 cm ≈ 0.38 cm
Entonces :
f2 = 9.84 ± (0.04 + 0.38) cm = 9.84 ± 0.42 cm.
Por lo tanto:
(6.8)
C: Lente L3 (f nominal = 20 cm.)
Tabla 9 .- Distancias focales de L3
Nºp (cm)± 0.05
q (cm)± 0.05
f best ±Δf (cm) (+) f (cm)
1 59.50 30.50 20.1638 ± 0.02759 20.16 ± 0.03
2 41.00 39.00 19.9875 ± 0.02500 20.00 ± 0.03
3 28.00 72.00 20.1600 ± 0.02984 20.16 ± 0.03
4 71.50 28.50 20.3775 ± 0.02962 20.38 ± 0.03
Y de la tabla 9 se puede calcular:
11
f2 = 9.8 ± 0.4 cm
f = 20.1722 cm ≈ 2.017 cm
Δ f = 0.03 σ = 0.1382765 cm ≈ 0.14 cm.
Entonces :
f3 = 20.17 ± (0.03 + 0.14) = 20.17 ± 0.17
(6.9)
D.- El método 3 se planteó con el fin de comprobar que las distancias p y q,
cuanto intercambian sus valores entre sí, cumplen con la relación :
F = (A – e) (A + e) (A.4)
Donde A = p + q ,y e = | p – q | , Entonces aplicando (A.9) a los valores de la tabla 4:
Tabla 10.- evaluación de los datos de la Tabal 4 aplicando (A.4)
LenteA = p + q
(cm)e = │p-q│
(cm)A – e (cm)
A + e (cm)
4A(cm)
f (cm)
L1 40 30 10 70 160 4.3750
40 28 12 68 160 5.1000
L270 48 22 118 280 9.2714
70 45 25 115 280 10.2678
L3100 44 56 144 400 20.1600
100 43 57 143 400 20.3775
Al comparar la última columna de la izquierda de la tabla anterior con los
valores de f para las filas 3 y 4 de las tablas 7, 8 y 9 vemos que ambas son
iguales, por lo tanto podemos concluir que A.4 es solo un medio más sencillo
para el cálculo de los focos de las lentes.
12
f3 = 20.2 ± 0.2 cm.
Esta evaluación se hace sin tomar en cuenta los errores propagados, pues
solo se hace una evaluación y comparación de resultados.
6.1.2 Cálculo de la distancia focal de una lente divergente.
De los datos de la tabla 5:
Sabiendo que el valor nominal de f en este caso es f = -10 cm
Tabla 11. Cálculo de f de la lente divergente
Nºf (cm)
± 0.1 cm
q (cm)
± 0.1 cmf best ± Δf (cm) f (cm)
1 - 3.0 4.0 - 12.0 ± 2.5 - 12.0 ± 2.5
2 - 2.5 4.5 - 5.625 ± 0.6625 - 5.6 ± 0.7
3 - 4.0 5.0 - 20.0 ± 4.1 -- 20.0 ± 4.1
Entonces los parámetros estadísticos ahora son :
f = (-12.0 – 5.6 – 20.00) / 3 = - 12.5416 cm ≈ 12.54 cm.
Δ f = (2.5 + 0.7 + 4.1) /3 = 2.43 cm. σf = [ ((-12.54 + 12.0)2 + (-12.54 + 5.6)2 + (-12.54 + 20)2) / 3]1/2 = 5.881 cm
Entonces denotando f- cmo f para la lente divergente:
f- = -12.54 ± (2.43 + 5.881) cm = - 12.54 ± 8.314 cm.
(6.10)
6.1.3 Calculo de la distancia focal de un sistema de lentes:
De los datos de la tabal 6 se calcula el foco del sistema como si fuese
un solo lente. Usando (6.1)
13
f- = -13 ± 8 cm.
(20.00)-1 + (12.5)-1 = f-1 best entonces f best = 7.629 cm
Y el error ; usando (6.6.)
Δ f = (1 -2(7.629)2 / 20(12.5) (0.05) = 0.0267 cm
Por lo tanto:
(6.11)
En 6.11 el subíndice + - denota la combinación de la lente convergente
(+) y divergente (-)
El valor teórico de f +- según (1.7) sería:
f-1 +- = (-10)-1 + (5)-1 = 0.1 entonces
f+- (teórico) = 10 cm (6.12)
Contando nuestros resultados obtenidos hasta el momento, calculamos
el % error experimental
Tabla 12 .- Comparación de resultados teóricos y experimentales
Nº · ex. f exp (cm) f teo (cm) % error (%)Nº datos
obtenidos
6.7 4.8 ± 0.3 5 4.0 4
6.8 9.8 ± 0.4 10 2.0 4
6.9 20.2 ± 0.2 20 1.0 4
6.10 -13.8 ± 7 -10 38.0 3
6.11 7.63 ± 0.03 10 23.7 1
14
f± = 7.63 ± 0.03 cm.
Tabla 13. Expresando los resultados como potencias de lentes en
dioptrias.
Li P exp. (Diop.) P teor (Diop.)
L1 20.8 ± 1.3 20
L2 10.2 ± 0.4 10
L3 5.0 ± 0.1 5
L- -7 ± 3 -10
L+- 13.1 ± 0.1 10
VII. CUESTIONARIO
VII.1 ¿Cómo se distinguen fácilmente las lentes convergentes de las
divergentes?
Una manera muy sencilla de hacer esto es tocando la lente y
verificando lo siguiente:
a. Si la lente es más gruesa en su centro que en su borde es una lente
convergente (f > 0)
b. Si la lente es más gruesa en sus bordes que en su centro entonces
es una lente divergente (f < 0)
Esto se puede verificar a partir de la ecuación del fabricante de lentes.
1 n2 1 1 --- = ( ---- - 1) ( ---- - ------- ) f n1 R1 R2
la única condición es que el valor de n para el material de la lente sea
mayor que n del medio [ 2 ]
15
Otra forma sugerida es visualizar si la lente hace que los objetos se
vean más pequeños y derechos, en ese caso la lente es divergente. Si
la lente hace ver los objetos más pequeños e invertidos o más grandes
y derechos entonces es convergente.
VII.2 ¿Si la distancia objeto es igual a la distancia imagen, que podemos
decir acerca de los tamaños de la imagen y el objeto?
Según la Ec. ( ) el aumento Mt está dado por:
q IMt = - --- = --- p O
y la condición indica que p = ± q y de la Ec. (1.5)
1 1 1 -pq __ + --- = --- ≡ ------- = f p q f p + q
sacada la posibilidad que p = q para una lente, entonces solo
queda que p = q.
q IMt = - --- = -1 = --- p O
es decir el tamaño de la imagen I será el mismo que el del objeto O,
solo que uno está invertido con respecto al otro [ 1 ]
VII.3 ¿Cómo es el mecanismo de operación de una cámara fotográfica?
Su funcionamiento es similar al de una ·”cámara oscura” (por no decir
el mismo) este consiste en un pequeño ambiente aislado totalmente de
la luz en donde, ésta última entra solamente por un pequeño orificio
[ 1 ]. Entonces la imagen de un objeto externo puede ser formado en el
interior de la cámara sobre una pantalla.
16
En una cámara fotográfica esta superficie es una película delgada
fotosensible (4) (En un principio de nitrato de plata [ 1 ].
Las características de la cámara fotográfica son las que aparecen en la
figura.
Por lo general la distancia del objeto es grande comparándola con la
distancia del foco de la lente; entonces (6.1) podemos ver que f ≈ q :
Para poder producir una imagen nítida se debe ajustar f de tal manera
que el foco se encuentre justo sobre la pantalla M. Esto se consigue
ajustando la apertura del diafragma en la cámara que se debe ajustar
según el objeto se halle lejos o cerca [ 4 ]
Es de esperar que la nitidez de la imagen formada sea proporcional a la
cantidad de rayos que ingresan por el objetivo de la cámara es decir al
flujo de radiación I, ésta a su vez será mayor mientras mayor sea el
área de la apertura, es decir si D es del diámetro del diafragma I ≈ D2.
También sabemos que I es un indicador de la energía que llega a una
superficie, en este caso será la pantalla M. Entonces la energía llega a
un área A proporcional al tamaña de la imagen, proporcional a su vez al
q2 (por ser m = y’/y = -q /p) entonces I α 1/f2
(Pues como se dijo q = f) Luego I α (D/f)2. entonces se define el
número – f como:
Número f = f / # = f / D (7.1)
17
Siendo su parámetro un valor que indica la rapidez de la imagen , pues
a menor f ≈ f/28 se dice que la cámara es muy rápida, a mayor f ≈ f/16,
la cámara es lenta [ 4 ] .
Así como también como de la profundidad de campo” , es decir el
ángulo sólido que cubre la lente [ 4 ] y [ 5 ]
VIII. OBSERVACIONES
VIII.1 La Ec (6.6) resulta de una simple fracción para nuestro experimento
con el fin de calcular el error absoluto Δf, su aplicación de si la lente
es convergente o divergente sugiere que Δf =Δq.
VIII.2 En la sección b muchas veces se admite los cálculos de estadísticas
(medio) , o σ (desviación estándar) para no desviar nuestra
atención de lo principal que son los resultados. El cálculo de estos
valores se hace muy sencillo, pues hasta la más simple de las
calculadoras científicas poseen funciones (como STAT) que hallan
estos valores.
VIII.3 Según la tabal 10 el caso de la fórmula (A.4), puede simplificar el
cálculo del foco para una gran cantidad de datos. Por ahora solo nos
servirá para controlar los resultados obtenidos internamente (véase
nota luego de la tabla.)
VIII.4 Centrando nuestra atención en la tabla 1.2 Vemos que :
- En el cálculo de F para una lente convergente (6.7; 6.8 y 6.9) se
obtuvieron discrepancias insignificativas , es decir nuestro
resultado tercios y experimentales son coherentes
- Esto se respalda al verlos % error, todos menores de 5%.
- El cálculo de la distancia focal de la lente divergente se advierte
un error de 39%. Hay que mencionar que un motivo de esto podría
ser que en cada medición se usa una lente distinta (L1, L2, y L3.).
Pese a esto el error absoluto que presenta el resultado final hace
18
que se presente también en este caso una discrepancia
insignificativa.
- En el cálculo del foco del sistema de las lentes obtenemos una
discrepancia significativa pues nuestro resultado teórico y
experimental no coinciden. Para esto hay que observar que según
la tabla 4 solo se obtuvo un dato para esta prueba, por lo cual es
lógico no tener exactitud alguna en nuestros resultados.
VIII.5 Además según la tabla 13 la lente de mayor potencia óptica es
aquella de menor distancia focal.
IX. CONCLUSIONES
IX.1 Según nuestros resultados tenemos que los focos de las lentes
convergentes son:
F = 4.8 ± 0.3 cm. (en L1)
F = 9.8 ± 0.4 cm. (en L2)
F = 20.2 ± 0.2 cm. (en L3)
IX.2 Además en la lente divergente
f- = -13.9 8 ± 7 cm.
IX.3 De lo anterior se ha comprobado que las distancias p, q y f s
relacionan por :
p -1 + q-1 = f-1 (6.1)
IX.4 No podemos decir lo mismo respecto si se cumple la relación con los
focos de las lentes.
f-1 = f1-1 + f2
-1
pues no se obtuvo la cantidad de datos suficientes.
19
X. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[ 1 ] HECHT, EUGENE; ÓPTICA: Tercera Edición : España
Pearon Educativa. 2000
[ 2 ] SEARS, F. ZEMANSKY, M, YOUNG, M; FREEDMAN, R. l
FISICA UNIVERSITARIA . VOL II: Undécima Edición
México . Pearson Education . 2004.
Páginas: 1304 al 1314.
[ 3 ] DEMINOVICH; MARON: CALCULO NUMÈRICO.
URSS. Editorial MIR
Páginas : 45 – 46 – 48
[ 4 ] SERWAY, R; JEWETT, S: FISICA PARA CIENCIAS E
INGENIERÍA
VOL. II. México Thompson Editores- 2005.
Páginas: 445 – 449 – 450
[ 5 ] FRISH. S.; TIMOREVA, A: CURSO DE FISICA GENERAL
TOMO III URSS. Editorial MIR. 1973
Páginas: 332 – 380 – 381.
20