Álgebralineal

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Introducción

En la unidad anterior vimos cuando un conjunto de vectores linealmente independientes generaba todo el espacio vectorial. Vimos también que tener ese conjunto era muy cómodo, pues cualquier vector podía

escribirse como combinación lineal de los vectores de ese conjunto. En esta unidad definiremos formalmente el concepto de base de un espacio vectorial y conoceremos sus características. Veremos también que un espacio vectorial puede tener varias bases, se mostrará cómo alguna de éstas son más cómodas que otras y el modo de cambiar de una a otra.

4.1. Definición de base de un espacio vectorial

Un espacio vectorial siempre tiene al menos un conjunto de vectores que lo generan lo que nos lleva a la siguiente definición.

Definición 4.1. Sea V un espacio vectorial y {v1, v2, . . .,vn} un conjunto finito de vectores de V. Entonces {v1, v2, . . ., vn} se llama base de V si satisface las siguientes condiciones:

i) {v1, v2, . . ., vn} es linealmente independiente.ii) {v1, v2, . . ., vn} genera V.

Esta definición nos proporciona las características que debemos buscar en un conjunto para que sea una base.

Ejemplo 1

a) Recordemos que en la unidad pasada vimos que en R2 los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1) eran linealmente independientes y que generaban a R2 , por lo tanto podemos decir que el conjunto {i, j} es una base para R2.

b) También recordemos que el teorema 3.9. nos indica que “cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn genera a Rn ”, por lo tanto, podemos afirmar el siguiente resultado:

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Unidad 4

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base de Rn.

Ahora veremos en el siguiente apartado ejemplos de bases para espacios vectoriales distintos de Rn.

4.2. Bases en varios tipos de espacios vectoriales

En este apartado consideraremos ejemplos de espacios vectoriales distintos a Rn. Para manejar más fácilmente al espacio vectorial en su conjunto, encontraremos también algunas de las llamadas bases canónicas.

1. Consideremos el espacio vectorial formado por

H = {(x, y, z) en R3 tales que 2x – y + 3z = 0}

Vamos a encontrar una base para H.

Tomemos un vector (x, y, z) en H, entonces satisface el hecho de que

2x – y + 3z = 0;

podemos reescribir esta condición como y = 2x + 3z, de donde tenemos que los vectores de H los podemos escribir de la siguiente manera:

xx z

z

xx z

zx z2 3 2

0

03

120

03

11

de donde podemos decir que los

vectores 120

031

y generan H.

Vamos ahora a probar que 120

031

y son linealmente independientes.

Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero:

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a b120

031

= 000

, entonces tenemos que a = 0; 2a + 3b = 0 y b = 0, por

lo tanto 120

031

y son linealmente independientes.

Podemos concluir que, como son linealmente independientes y generan H,

entonces 120

031

y son una base para H.

2. Consideremos el espacio vectorial formado por todas las matrices de 22 de la forma

Da

ba b2 2

00

/ y R'

Vamos a encontrar una base para este espacio vectorial.

Tomemos una matriz de este espacio 00a

b

, entonces podemos

reescribirla como 00

0 10 0

0 01 0

ab a b

de donde podemos afirmar que

0 10 0

0 01 0

y generan todo el espacio vectorial. Claramente observamos

que también son linealmente independientes, por lo que podemos afirmar que son base del espacio D22.

3. Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales

x y zx y z 2 0

2 3 0

Vamos a encontrar el conjunto solución S del sistema.

Para encontrar el conjunto solución consideremos la matriz aumentada asociada al sistema y llevémosla a la forma escalonada reducida por renglones.

138

Unidad 4

De aquí obtenemos el siguiente sistema x zy z

00 de donde

x zy z ,

de manera que todas las soluciones del sistema son de la forma xyz

zzz

z

111

, por lo que

111

es una base para S.

Probaremos que S es un subespacio vectorial:

Sean a y b en S, entonces existen a y b números tales que a = a(–1,1,1) = (–a, a, a) y b = b (–1,1,1) = (–b, b, b).

i) a + b = (–a, a, a) + (–b, b, b) = (–a–b, a+b, a+b) = (–(a+b), a+b, a+b) está en S.

ii a = (–a, a, a) = (a), a, a) = (–a, a, a) está en S.

Entonces, por el teorema 3.2, S es un subespacio vectorial de R3.

4. Consideremos el espacio vectorial P2 (los polinomios de grado menor o igual a 2). Vamos a encontrar una base para P2.

Sea p un polinomio de P2, entonces p = ax2+bx+c de donde podemos observar que el conjunto formado por { x2, x, 1} genera a P2.

Probemos ahora que { x2, x, 1} es un conjunto linealmente independiente.

Tomemos una combinación lineal igual a cero, entonces ax2 + bx +c = 0 de donde obtenemos que existe la solución trivial para a = b = c = 0 por lo que el conjunto es linealmente independiente.

Podemos entonces concluir que { x2, x, 1} es una base para P2.

5. Sea P3 un espacio vectorial, detemina si el conjunto B = {1, 1+x, 1+x2, 1+x3}es una base para P3.

1 2 1 02 1 3 0

1 2 1 00 5 5 0

1 2 1 00 1 1 0

1 0 1 00 1 1 0

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Sea p un polinomio de P3, entonces p = a1x3 + a2x

2 + a3x + a4.

Si B es una base, entonces genera a P3 y, por lo tanto, p es una combinación lineal de B.

Sea la combinación lineal p = b11 + b2(1+x) + b3(1+x2) + b4(1 + x3), entonces

p = b1 + b2 + b2x + b3 + b3x2 + b4 + b4x

3 = (b1 + b2 + b3 + b4) + b2x + b3x2 + b4x

3

de donde igualando ambas expresiones tenemos que:

a1= b4; a2 = b3; a3 = b2; a4 = b1 + b2 + b3 + b4 = b1 + a3 + a2 + a1

por lo tanto B sí genera a P3.

Veamos ahora si B es linealmente independiente.

Consideremos una combinación lineal igual a cero,

b11 + b2(1+x) + b3(1+x2) + b4(1 + x3) = 0

entonces b1 + b2 + b2x + b3 + b3x2 + b4 + b4x

3 = (b1 + b2 + b3 + b4) + b2x + b3x

2 + b4x3 = 0

de tal manera, b1 + b2 + b3 + b4 = 0; b2 = 0; b3 = 0; b4 = 0 de donde

b1 = 0.

Por lo tanto, B es linealmente independiente y B es base de P3.

6. Vamos a probar que {(1, 0), (0, 1)} es base para R2.

Sea (x, y) en R2, entonces (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) por lo tanto genera a R2.Si a(1, 0) + b(0, 1) = (0, 0) entonces a = 0 y b = 0, y es linealmente

independiente, por tanto {(1, 0), (0, 1)} es una base para R2 y recibe el nombre de base canónica.

7. De igual manera se puede probar que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base canónica para R3.

8. Sea p en P3 donde p = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x

3, entonces {1, x, x2, x3} generan a P3.