Bero-transmisio mekanismoak
description
Transcript of Bero-transmisio mekanismoak
11
Egilea:Iñaki Egilea:Iñaki Gómez ArriaranGómez Arriaran
Bero-transmisio mekanismoakBero-transmisio mekanismoak
22
© Iñaki Gómez Arriaran
Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke:daiteke:
• KONDUKZIOA (Fourier-en legea)
• KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea)
• ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea)
TT11
TT22
G
33
© Iñaki Gómez Arriaran
KONDUKZIOAKONDUKZIOA
•Tenperatura eremua Tenperatura eremua = = (x,y,z,t ) (x,y,z,t )
•Tenperatura gradientea Grad Tenperatura gradientea Grad = ( = (//n) nn) n
n
• Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k
q = qq = qxx i+ q i+ qyy j+ q j+ qzz k= -[ k k= -[ kxx ( () ) ] i - [k] i - [kyy ( () ) ] j - [k] j - [kzz ( () ) ] k] k
z
x y
q = Q/A = - k (q = Q/A = - k (θθ))
44
© Iñaki Gómez Arriaran
Energia-balantzea eginez:Energia-balantzea eginez:
dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatudQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu
dQsartu = qdQsartu = qx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy dxdy
dQgaratu = qdQgaratu = qGG dV dV
dQirten = qdQirten = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy dxdy
dEmetatu = cdEmetatu = cpp //t dm = t dm = dV c dV cpp //tt
qqGG= elementuan = elementuan
barne garatutako barne garatutako
beroa (W/mberoa (W/m33))
qyqy+dy
qz
qx
qz+dz
qx+dx
x
z
y
qG
Kondukzioaren
ekuazio orokorra:
55
© Iñaki Gómez Arriaran
qqx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy + q dxdy + qGG dV = q dV = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy + dxdy + dV c dV cpp //tt
Taylor-en seriean garatuz: qTaylor-en seriean garatuz: qx+dxx+dx = = qx + (qx + ( qqxx//x) dxx) dx
qqx x + [ + [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx
qqGG dV = [ dV = [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx dydz + [ dydz + [ (-k((-k())//y) / y) / y ] dyy ] dy dxdz + [ dxdz + [ (-k((-k())//z) / z) / z ] z ]
dz dxdy + dz dxdy + dV c dV cpp //t = t = [ -k([ -k()) ] dV + ] dV + dV c dV cpp //t t
qqGG = = [ -k([ -k()) ] + ] + c cpp //t t
Fourier aplikatuz: qFourier aplikatuz: qxx = -k( = -k())//xx
66
© Iñaki Gómez Arriaran
Hipotesiak: Hipotesiak:
• materiale isotropoa K(materiale isotropoa K())xx = K( = K())yy = K( = K())zz
• propietate fisikoak konstanteak K(propietate fisikoak konstanteak K() = K = Kte ) = K = Kte
• qqGG = kte = kte
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
22 = laplaziarra: = laplaziarra:
• Koordenatu kartesiarretan Koordenatu kartesiarretan 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22
• Koordenatu zilindrikotan Koordenatu zilindrikotan 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22
• Koordenatu esferikotan Koordenatu esferikotan 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + ...r + ...
77
© Iñaki Gómez Arriaran
xx
yy
zz
22 = laplaziarra: = laplaziarra:
• koordenatu kartesiarrak koordenatu kartesiarrak 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22
88
© Iñaki Gómez Arriaran
rr
zz
22 = laplaziarra = laplaziarra
• koordenatu zilindrikoak koordenatu zilindrikoak 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22
22 = laplaziarra: = laplaziarra:
koordenatu esferikoak koordenatu esferikoak 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + 1/(rr + 1/(r22sensenΦΦ) ) (sen(senΦΦ //ΦΦ)/ )/ ΦΦ + + 1/(r1/(r22sensen22ΦΦ) ) 22//22
r
Φ
99
© Iñaki Gómez ArriaranPareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
LL
xxp2p2
p1p1
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t
= = ( x,y,z ) ( x,y,z )
Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )Tenperatura eremuaTenperatura eremua
//t = 0t = 0
zz
yy
Bero garapenik gabe qBero garapenik gabe qGG = 0 = 0
λλ
aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0
1010
© Iñaki Gómez Arriaran
x
y
z
= = ( x ) ( x )
Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa
Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k
Grad Grad = = = ( = (//x) = dx) = d/dx/dx
Pareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe
1111
© Iñaki Gómez Arriaran
Laplaziarra Laplaziarra 22 = = 22//xx2 2 = d = d22/dx/dx22
22 = d = d22/dx/dx2 2 = 0 = 0
dd/dx = C/dx = C11
(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Lerro zuzena→ Lerro zuzena
λλ22 = 0 = 0
LL
xx
22
11
Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa
(x)(x)
1212
© Iñaki Gómez Arriaran
1. ing. bald.: x = 0 1. ing. bald.: x = 0 = = 11
2. 2. ing. bald.:ing. bald.: x = L x = L = = 22
CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak ingurune-baldintzak integrazio konstanteak ingurune-baldintzak
aplikatuz askatzen dira:aplikatuz askatzen dira:
1.i.b.: 1.i.b.: 11 = C = C11· 0 + C· 0 + C2 2 →→ CC22 = = 11
2.i.b.: 2.i.b.: 22 = C = C11·L + ·L + 1 1 →→ CC11 = ( = (22 - - 11) / L ) / L
(x) = (x) = 1 1 + (+ (22 - - 11) x / L ) x / L
Tenperatura-distribuzioaTenperatura-distribuzioaqq
LL
xx22
11
(x)(x)
1313
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz:Fourier-en legea aplikatuz:
qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ ([ (22 - - 11) / L ] = ) / L ] = λλ / L · ( / L · ( 11 - - 22 ) = kte ) = kte
1414
© Iñaki Gómez Arriaran
Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea
L
21
k
qI
R
V1
V2
I = I = VV2-12-1 / R / R q = q = 2-1 2-1 / (L / / (L / λλ ) )
Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa
R ( mR ( m2 2 º C / W )º C / W ) pareta lauaren pareta lauaren erresistentzia erresistentzia termikoatermikoa
I = flujo de carga eléctricaI = flujo de carga eléctrica q = Bero-fluxuaq = Bero-fluxua VV2-1 2-1 = Potentzial elektriko = Potentzial elektriko
diferentziadiferentzia
2-12-1 = potentzial termiko diferentzia = potentzial termiko diferentzia RR = erresistentza elektrikoa= erresistentza elektrikoa L / L / λλ = erresistentzia termikoa= erresistentzia termikoa
1515
© Iñaki Gómez ArriaranPareta konposatuaPareta konposatua
LL11
xx44
11
λλ 22 =0 =0
Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta bero garapenik gabe :bero garapenik gabe :
zz
yyλλ22
LL22 LL33
λλ11 λλ33
Geruza bakoitzarentzat:Geruza bakoitzarentzat:
22 ii = d = d22ii/dx/dx2 2 = 0 = 0
ddii/dx = C/dx = C11
ii(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Recta→ Recta
λλ ii22 ii = 0 = 0
n geruzen kasuan 2n integrazio konstante n geruzen kasuan 2n integrazio konstante sortuko dira ( Csortuko dira ( C11,…., C,…., C2n 2n ) eta askatzeko 2n ) eta askatzeko 2n
ingurune baldintza beharko diraingurune baldintza beharko dira
1616
© Iñaki Gómez Arriaran
1. i.b.: x = 0 1. i.b.: x = 0 = = 11
2. i.b.: x = L2. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Lnn = = n+1n+1
• 1. mailako 1. mailako 2 ingurune baldintza:2 ingurune baldintza:
Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
3. i.b.: x = L3. i.b.: x = L11 11(x) = (x) = 22(x)(x)
..
..
n+1. i.b.: x = Ln+1. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 n-1n-1 (x) = (x) = nn (x) (x)
• 1. mailako 1. mailako n-1 ingurune baldintza:n-1 ingurune baldintza:
n+2. i.b.: x = Ln+2. i.b.: x = L11 q(x) q(x)11 = q(x) = q(x)22
..
..
2n. i.b.: x = L2n. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 q(x) q(x)n-1n-1 = q(x) = q(x)nn
• 4. mailako n-1 ing. bald.:4. mailako n-1 ing. bald.:
qq11
L1
x
1(x)
qq22
L2
2(x)
λλ11λλ22
qq33
L3
3(x)
λλ22
2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin
1717
© Iñaki Gómez Arriaran
q = - (q = - (22- - 11) / (L) / (L11//λλ11) ) → → 1 1 - - 22 = q · L= q · L11/ / λλ11
• Fourier aplikatuz 1. geruzanFourier aplikatuz 1. geruzan::qq11
L1
1(x)
qq22
L2
2(x)
λλ11λλ22
qq33
L3
3(x)
λλ22
Geruza bakoitza banaka aztertuz:Geruza bakoitza banaka aztertuz:
q = - (q = - (33- - 22) / (L) / (L22//λλ22) → ) → 2 2 - - 33 = q · L = q · L22/ / λλ22
..
..
• Fourier aplikatuz 2. geruzanFourier aplikatuz 2. geruzan::
q = - (q = - (n+1n+1- - nn) / (L) / (Lnn//λλnn) → ) → n n - - n+1n+1 = q · L = q · Lnn/ / λλnn
• Fourier aplikatuz n. geruzanFourier aplikatuz n. geruzan::
11- - n+1n+1 = q · ( L = q · ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 …+ …+ L Lnn/ / λλnn ) )
q = ( q = ( 11- - n+1n+1 ) / ( L ) / ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 +…..+ +…..+ L Lnn/ / λλnn ) )
R pareta konposatuaren R pareta konposatuaren erresistentzia termikoaerresistentzia termikoa
Ln
1818
© Iñaki Gómez Arriaran
L1
1(x)
L2
λλ11 λλ22
L3
λλ55
L5
2(x)
3(x)
Zirkuito elektriko baliokidea:Zirkuito elektriko baliokidea:
RR22
λλ44λλ33
RR11RR33 RR44
RR55
L4
Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa
1919
© Iñaki Gómez Arriaran
LL11
44
11λλ11
LL22 LL33
λλ22 λλ33
q = ( q = ( 11 - - 4 4 ) / ( R) / ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )
RR11RR22 RR33
22
11λλ11
λλ22
λλ33
LL
RR11
RR22
RR33
Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) · ( 1/ R) · ( 1/ R11 +1/ R +1/ R22 + 1/ R + 1/ R33 ) )
Pareta konposatuaren analogia elektrikoaPareta konposatuaren analogia elektrikoa
RRi i = L= Lii / A / Aii λλii
2020
© Iñaki Gómez Arriaran
rr22
zz
1122
rr11
r
Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
Tenperatura eremuaTenperatura eremua
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
= = ( ( r,r,ΦΦ,z,z ) )
= = ( r, ( r,ΦΦ, z ), z )
//t = 0t = 0
Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0
aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0
2121
© Iñaki Gómez Arriaran
Φrr
zz = = ( r ) ( r )
Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa
= r(= r(//r) + 1/r (r) + 1/r (//) + () + (//z) z)
Grad Grad = = = r( = r(//r) = rdr) = rd/dr/dr
Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe
2222
© Iñaki Gómez Arriaran
λλ22 = 0 = 0Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala
1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0
d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rdrd/dr = C/dr = C1 1 →→ dd/dr = C/dr = C11/ r/ r
(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C2 2 → exponentziala→ exponentziala
1.ing. baldintza: r = r1.ing. baldintza: r = r11 = = 11
2. ing. baldintza2. ing. baldintza : r = r: r = r2 2 = = 22
Laplaziarra Laplaziarra
22 = 1/r · = 1/r · (r(r//r)/r)/r = 1/r · d(rdr = 1/r · d(rd/dr)/dr/dr)/dr
rr22
zz
11
22
rr11
r
2323
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22
2.i.b. : 2.i.b. : 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )
CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11
1
2r
2424
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier aplikatuz: Fourier aplikatuz:
Bero-fluxua pareta zilindrikoanBero-fluxua pareta zilindrikoan
R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa
QQrr = - = - λλ A A = - = - λλ A d A d/dr = - /dr = - λλ 2 2 r L · ( r L · ( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L ] L ]
R = ln ( rR = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L L
2525
© Iñaki Gómez Arriaran
rr33rr22
rr11
RR11RR22
RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ11 L L
RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 λλ22 L L
Pareta zilindriko konposatuaPareta zilindriko konposatua
2626
© Iñaki Gómez ArriaranPareta esferikoa bero-garapenik gabePareta esferikoa bero-garapenik gabe
errejimen egonkorraerrejimen egonkorra
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t
= = ( (r,r,ΦΦ,,φφ ) )
Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
= = ( r, ( r,ΦΦ,,φφ,t ),t )Tenperatura-eremuaTenperatura-eremua
//t = 0t = 0
Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0
aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0
rr22
rr11ΦΦ
φ
2727
© Iñaki Gómez Arriaran
rr22
r1
= = ( r) ( r)
Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala
Grad Grad = = = = //r + 1/rsenr + 1/rsenφφ ((//ΦΦ) + 1/r () + 1/r (//φφ) )
Grad Grad = = = ( = (//r) = dr) = d/dr/dr
22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr
d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22
2828
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b.: r = r1.i.b.: r = r11 = = 11
2. i.b.: r = r2. i.b.: r = r2 2 = = 22
1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC1 1 / r/ r11 + C + C22
2.i.b.: 2.i.b.: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/ r) / ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )
CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/ r ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]
2929
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea: Fourier-en legea:
QQrr = - = - λλ A A = - = -λλ A d A d/dr = -/dr = -λλ 4 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 λλ ] ]
Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa : Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa :
R = ( 1/ rR = ( 1/ r22 - 1/ r - 1/ r11 )/ 4 )/ 4 λλ = ( r = ( r22 -r -r11 ) / 4 ) / 4 λλ r r2 2 rr1 1
rr22
rr11
II
RR
Bero-fluxua pareta esferikoanBero-fluxua pareta esferikoan
3030
© Iñaki Gómez Arriaran
Errejimen egonkorrean /t = 0
k 2 + qG = 0
1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi 1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa
(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)
2. Fourier-en legea aplikatu 2. Fourier-en legea aplikatu bero-transmisioabero-transmisioa
Aztertuko ditugun kasuak:Aztertuko ditugun kasuak:
•Pareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabePareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabe
•Pareta zilindrikoa “ “Pareta zilindrikoa “ “
•Pareta esferikoa “ “Pareta esferikoa “ “
3131
© Iñaki Gómez Arriaran
1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin
= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala = = ( x ) ( x )
non non 22 = = 22//xx2 2 = d = d2 2 /dx/dx22
k k 22 + q + qGG = k d = k d2 2 /dx/dx2 2 + q+ qGG = 0 = 0
dd2 2 /dx/dx2 2 = -q= -qGG/k/k
dd/dx = -q/dx = -qG G x / k + Cx / k + C11
(x) = -q(x) = -qGGxx22/2k + C/2k + C11 x + C x + C22
LL
x
pp
qG
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 + q + qGG = 0 = 0
3232
© Iñaki Gómez Arriaran
CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune
baldintzak aplikatu:baldintzak aplikatu:
1.ingurune baldintza: x= 0 q1.ingurune baldintza: x= 0 qx=0 x=0 dd/dx = 0/dx = 0
2. Ingurune baldintza: x = 2. Ingurune baldintza: x = ++ L L = = pp
1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dx = 0 = -q/dx = 0 = -qGG/k 0 + C/k 0 + C1 1 CC11 = 0 = 0
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG L L2 2 /2k + 0 + C/2k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG L L2 2 /2k /2k
(x) = -q(x) = -qGG (L (L22 -x -x2 2 )) /2k + /2k + ppParetan barneko Paretan barneko tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa
LL
x
pp
qG
(x)
3333
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A ( -q/dx = -k A ( -qGGx/k )x/k )
Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:
Q = QQ = Qx = Lx = L + Q + Qx = -L x = -L = 2AL q = 2AL qG G = V q= V qGG
QQxx= A q= A qGG x x
3434
© Iñaki Gómez Arriaran
2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe
x
L
2
1
Q
Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0
1.ingurune baldintza: x = 0 1.ingurune baldintza: x = 0 = = 11
2. Ingurune baldintza: x = L 2. Ingurune baldintza: x = L = = 22
22 = d = d2 2 /dx/dx22 = 0 = 0
dd/dx = C/dx = C11
(x) = C(x) = C11 x + C x + C22
(x) = ((x) = (22 - - 11) x/L + ) x/L + 11 Ordezkatuz:Ordezkatuz:
(x)
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 = 0 = 0
3535
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A C/dx = -k A C1 1 ==
Q = k A ( Q = k A ( 11 - - 22 )/ L )/ L
Analogia elektrikoa:Analogia elektrikoa:
Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea
L
21
k
QI
R
V1
V2
I = I = VV2-12-1 / R / R Q = Q = 2-1 2-1 / (L / k A )/ (L / k A )
Pareta Pareta lauaren lauaren erresistentzia erresistentzia termiko termiko baliokidea: baliokidea:
RRTPTP = L / k A = L / k A
3636
© Iñaki Gómez Arriaran
Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:
L1
4
1k1
Q
L2 L3
k2 k3
Q = ( Q = ( 11 - - 4 4 )/ ( R)/ ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )
R1R2 R3
Q
2
1k1
Qk2
k3
L
R1
R2
R3
Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) x ( 1/R) x ( 1/R11 +1/ R +1/ R22 + 1/R + 1/R33 ) )
Q
3737
© Iñaki Gómez Arriaran
3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin
= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala
R
r
z
pp
qG
= ( r )
kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r d(rd = 0 = k [1/r d(rd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G
1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k
d(rdd(rd/dr)/dr = - r q/dr)/dr = - r qGG/k/k
rdrd/dr = - r/dr = - r22 q qGG/2k + C/2k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/2k + C/2k + C11/r/r
(r) = - r(r) = - r22 q qGG/4k + C/4k + C1 1 lnr + Clnr + C22
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 + q + qGG = 0 = 0
3838
© Iñaki Gómez Arriaran
1.ingurune baldintza: r= 0 q1.ingurune baldintza: r= 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0
2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp
1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /4k + 0 + C/4k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /4k /4k
(r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /4k ) /4k Ordezkatuz:Ordezkatuz:
Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L ( - r L ( -
r r qqGG/2k ) = /2k ) = L r L r22 q qGG
QQrr = = L r L r22 q qGG = V q = V qGG = Q = QGG
z
p
r
3939
© Iñaki Gómez Arriaran
4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe
rr22
zz
1122
rr11
r
Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0
22 = 0 = [1/r d(rd = 0 = [1/r d(rd/dr)/dr]/dr)/dr]
1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0
d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rdrd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C11/r/r
(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C22
1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11
2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 = 0 = 0
4040
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )
CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11
1
2r
4141
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:
QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L( r L( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L ] k L ]
Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea:
RRTZTZ = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L k L
Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:
rr33
rr22rr11
RR11RR22
RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k k11 L L
RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 k k22 L L
4242
© Iñaki Gómez Arriaran
5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin
= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
Jario unidimentsionalaJario unidimentsionala = = ( r ) ( r )
kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r = 0 = k [1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G
1/r1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k
d(rd(r22dd/dr)/dr = - r/dr)/dr = - r22 q qGG/k/k
rr22dd/dr = - r/dr = - r33 q qGG/3k + C/3k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/3k + C/3k + C1 1 / r/ r22
(r) = - r(r) = - r22 q qGG/6k - C/6k - C1 1 / r + C/ r + C22
1.ingurune baldintza: r = 0 q1.ingurune baldintza: r = 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0
2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp
R
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
4343
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /6k + 0 + C/6k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /6k/6k
Ordezkatuz:Ordezkatuz: (r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /6k ) /6k
Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = /dr =
-k 4-k 4 r r22 (- r q (- r qGG/3k ) = 4/3 ( /3k ) = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG
QQrr = 4/3 ( = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG = V q = V qGG = Q = QGG
4444
© Iñaki Gómez Arriaran
6. Kasua: pareta esferikoa bero-garapenik gabe
rr22
rr11
22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr
d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22
1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11
2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22
1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC1 1 /r/r11 + C + C22
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/r) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )
CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
4545
© Iñaki Gómez Arriaran
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:
QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 4/dr = -k 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k ] k ]
Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea:
RRTETE = ( 1/r = ( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k = ( r k = ( r22 -r -r11 )/ [r )/ [r2 2 rr1 1 4 4 k ] k ]
rr22
rr11
II
RRTETE
4646
© Iñaki Gómez Arriaran
KONBEKZIOA
Molekulen arteko loturak aulak izanik, bero dagoen molekula fluidoan barne mugi daiteke, berarekin batera energia termikoa garraiatuz bero-transmisioa.
Fluidoaren molekulen arteko distantzia handia dela eta, kondukzio bidezko bero-transmisioarekiko erresistentzia termikoa handia da.
Materia garraio bitartez gertatzen den bero-transmisio mekanismo honi KONBEKZIO deritzaio.
4747
© Iñaki Gómez Arriaran
Konbekzio bidezko bero-transmisioa, faktore askoren araberakoa da:
•Jariakinaren abiadura ( c )
•Ukipen-azaleraren geometria eta ezaugarriak
•Jariakinaren propietate fisikoak ( , )
•Solidoaren propietate fisikoak ( k , cp )
•etab.
Denak laburbiltzeko, koefiziente bat erabiltzen da: hh = konbekzio-koefiziente edota pelikula-koefizientea.
h pelikula-koefizientea, korrelazio esperimentalen bitartez kalkulatzen da.
4848
© Iñaki Gómez Arriaran
Q = h A h ( W/m2K)
Analogia elektrikoa:
R
I
Q
h
R = 1 / h A
4949
© Iñaki Gómez Arriaran
h2
kL
2
1h1
k
b
R1R2 R3
Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA
R = R1 + R2 + R3 = 1/A ( 1/h1 + L/k + 1/h2 )
Q = ( b - k ) / R = A ( b - k ) / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]
Q = U A U =1 / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]
U : Bero-transmisio koefiziente orokorra
5050
© Iñaki Gómez Arriaran
h1
h2
R1R2 R3
Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA
R = R1 + R2 + R3 = 1/2L ( 1/r1h1 + 1/k ln(r2/r1) + 1/r2h2 )
Q = ( b - k ) / R = 2 r2 L ( b - k ) / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]
Q = U2 A2
U2 =1 / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]
5151
© Iñaki Gómez Arriaran
Reynolds zenbakia: Jariakinaren inertzia indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.
Re = c /
Prandtl zenbakia: Jariakinean barne beroa zein abiaduraz transmititzen den adierazten du.
Pr = cP / k
Nusselt zenbakia: jarikaina eta paretaren arteko bero-transmisioa adierazten du.
Nu = h / k
Nu = f ( Re,Pr )Parametro hauen arteko erlazioa esperimentalki lortu behar da, ereduekin entsaiatuz.
KONBEKZIO BEHARTUA
5252
© Iñaki Gómez Arriaran
1.kasua: Tutueria baten barnekaldeko konbekzioa, jarioa zurrunbilotsua denean.
Dittus-Boelter Nu = 0,023 Re 0,8 Pr n
D.B. aplikatzeko baldintzak:
- Re >2100 (zurrunbilotsua)
- parametro adimentsionalak jariakinaren batazbesteko
tenperaturan
ZENBAIT KORRELAZIO ESPERIMENTAL
n=3 hoztutzen bada
n= 4 berotzen bada
cc
= D
= 4A/Pbustita
5353
© Iñaki Gómez Arriaran
2.kasua: Gainazal lau batean zeharreko konbekzio behartua.
= L
Re > 5·104 5·105 Nu = 0,036 ReL0,8 Pr 1/3
Re < 5·104 5·105 Fluxu laminarra NuL = 0,664 ReL 1/2 Pr 1/3 L xkr
L xkr
Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:
Nu = 0,036 Pr 1/3 (ReL0,8 -23.200) L xkr
m = ( p + f ) / 2L
xkr
Fluxu zurrunbilotsua
Fluxu mistoa
5454
© Iñaki Gómez Arriaran
3.kasua: Zilindro baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.
= D
Churchill-Bernstein
Nu = 0,3+ [(0,62 Re1/2Pr 1/3)/ [1+(0,4/Pr)2/31/4 · [1+(Re/282.000)1/2
Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:
4.kasua: Esfera baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.
= D Whitaker
Nu = 2+(0,4Re1/2+0,06Re2/3)Pr0,4
c
5555
© Iñaki Gómez Arriaran
KONBEKZIO NATURALA
Gr = g32 / 2
Grashof zenbakia: Fluidoaren igotze indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.
Gas idealetan : = 1/T
Grashof zenbakia handiagoa den neurrian, handiagoa izango da jariakinaren mugimendu librea
θ
x
cparetapareta
Liskatasun indarrakLiskatasun indarrak
Flotazio-indarrakFlotazio-indarrak
Nu = f ( Gr, Pr )Rayleigh-en zenbakia: Ra = Gr · Pr
5656
© Iñaki Gómez Arriaran
Gr·Pr > 108 jario zurrunbilotsua
1.kasua: Zilindro horizontal baten kanpokaldeko gainazalarekiko konbekzio naturala.
= D
104< Gr <109 h = 1,32 [ (-f) / D ]1/4
109< Gr <1012 h = 1,25 (-f)1/3
= gainazal tenperaturaf = jariakinaren tenperatura
2.kasua: Plaka bertikal baten gainazalarekiko konbekzio naturala.
= L
104< Gr <109 h = 1,42 [ (-f) / L ]1/4
109< Gr <1012 h = 1,31 (-f)1/3