CTEDRA CATEDRTICO ALUMNO

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ANALISIS ESTRUCTURAL I ING. SANTANA TAPIA, Ronald Daniel GAMARRA GOMEZ Niik Deby

SEMESTRE

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VII

DEDICATORIA: EL PRESENTE TRABAJO ESTA DEDICADO A TODAS LAS PERSONAS QUE APOYARON A LA ELABORACION DEL MISMO

El diseo de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas, como el estudio de las cargas permanentes o variables, los materiales a utilizar ya que sus propiedades determinan las condiciones de diseo, las necesidades para el funcionamiento, entre otras cosas el Anlisis de la Estructura, entendindose por Anlisis el clculo de solicitaciones Reacciones, Momentos flectores y torsores, Esfuerzos normales de corte y deformaciones. Una de los problemas mas importante de los ingenieros fueron hallar teora y principios para el anlisis de estructuras indeterminadas, mas o menos en el ao de 1864 Maxwell establece una de las primeros teoremas. En esta oportunidad estudiaremos este teorema dado por este importante fsico nos logro dejar ya que mas tarde fue mejorado por otro grande Matemtico, Betti. Estos teoremas pasaremos a detallarlos mas adelante tratando de demostrara el principio. Es importante antes de entrar en este tema resaltar que estos teoremas con componentes correspondientes a de deflexin.

El objetivo principal es la formacin ms amplia del estudiante en el conocimiento de las Estructuras que le permitan poder analizar en la prctica futura los datos obtenidos con el objetivo de optimizar el diseo y/o salvar los posibles errores que se pudieran cometer en el proceso de Anlisis y Diseo.( en este caso para conocer los momentos flectores y otros) Conocer y analizar el teorema de Maxwell y Betti demostrando el por que de ella. Desarrollar las aplicaciones de este teorema en el anlisis de las estructuras.

TEOREMAS ENERGTICOSLa importancia de los teoremas energtico radica en el manejo que se da cuando se analiza las estructuras ya que los abordan de manera sencilla y su anlisis es de forma general. Estos teoremas mucho de ellos estn abocados a encontrar y relacionar las deformaciones que sufren las estructuras frente a determinadas cargas o casos. En este gran grupo tenemos a: Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti. Teoremas de Castigliano. Principio de trabajo Virtual. Para estos teoremas suponemos que las cargas aplicadas al slido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actan sobre el slido quedara almacenado como energa elstica de deformacin U en el slido y, por tanto: U=W El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un slido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicacin (en la direccin de las mismas).

JAMES CLERK MAXWELL NACIMIENTO : 13 de Junio de 1831 Edimburgo , Reino Unido

FALLECIMIENTO : 5 de noviembre de 1879 (48 aos) Cambridge, Reino Unido RESIDENCIA : Reino Unido

NACIONALIDAD : Britnico CAMPO : Electromagnetismo, termodinmica

INSTITUCIONES : Marischal College de Aberdeen (1856-1860), Kings College de Londres (1860-1871) , Cambridge(1871-1879) ALMA MTER : Cambridge

CONOCIDO POR : Creacin de la teora electromagntica, la T. cintica de gases, Teora de Maxwell PREMIOS DESTACADOS : Medalla Rumford en 1860. CNYUGE : Katherine Maxwell

TEOREMA DE MAXWELL (Deformaciones Reciprocas):Maxwell formulo su teorema de las deflexiones en 1864, pero no demostr aplicacin prctica solo vino a ser apreciado en 1886, cuando Muller Breslau presento su versin del mtodo Maxwell Mohr. Para eso utilizaron el siguiente prtico:

Considerando el prtico de la figura de arriba, al aplicarle una fuerza horizontal en A la estructura se deformara de la manera indicada:

Donde se han utilizado coeficientes de influencia definidos as: ij= es el desplazamiento en i, en la direccin de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en j. Principio de superposicin= O teorema de superposicin es un resultado matemtico que permite descomponer un problema lineal en dos o ms subproblemas ms sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposicin" o "suma" de estos subproblemas ms sencillos. Similarmente, si se aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformada de la siguiente manera:

Si ambas cargas se aplican gradual y simultneamente , el trabajo total externo producido por ellas ser:

Si solo se plica PA , se efectuara un trabajo:

Y si despus de que PA alcance su valor final se aplica gradualmente P B, habr un trabajo adicional:

Por el Principio de Superposicin el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ah que:

Entonces reemplazamos los valores respectivos dados arriba resulta :

Generalizando:

Como i y j son dos puntos cualesquiera, el Teorema de Maxwell de las deformaciones reciprocas se puede enunciar as: Cualquier componente lineal de deflexiones de un punto i que resulte de la aplicacin de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexin de j (en la direccin de la fuerza aplicada inicialmente en j), que resulta de la aplicacin de una fuerza unitaria en i en la misma direccin de la componente original de la deflexin en i.

La misma deduccin se pude hacer para el caso de rotaciones debidas a momentos, o para la combinacin de un desplazamiento lineal y una rotacin, resultando entonces otras dos proporciones. El giro en cualquier punto i de una estructura , causado por un momento unitario aplicado en cualquier otro punto j, es igual en magnitud al giro de j producido por un momento unitario actuando en i , sea :

Cualquier componente lineal de deflexin de un punto i, causada por un momento unitario aplicado en cualquier otro punto j, es igual en magnitud al giro de j que resulte de la aplicacin de una fuerza unitaria en i en la direccin originalmente considerada en otros trminos:

ENRICO BETTI:NACI : 21 Octubre 1823 Pistoia, Tuscany 11 Agosto 1892 Italiana : : Matemticas Universidad de Pisa

MURI

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NACIONALIDAD : CAMPOS ALMA MATER

ASESOR DE DOCTORADO : Ottaviano-Fabrizio Mossotti CONOCIDO POR : Topologa Nmeros de Betti Teorema de Betti

TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad): Supongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de fuerzas P que produce deformaciones y una energa de deformacin U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P esta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos PI y PII.

Si I es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga y es el correspondiente a las cargas se cumplir:

Cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.

Entonces tenemos:

O sus iguales:

Expresin del teorema de Betty: El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P I as lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PII es igual al trabajo de las cargas PII a lo largo de los desplazamientos producidos por PI. A estos trabajos se les denomina recprocos o indirectos.

TEOREMA RECIPROCO DE MAXWELL Y BETTIEl teorema de Maxwell-Betti, o de forma ms completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemtico italiano Enrico Betti, quien en 1872 generaliz el teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de Teoremas energticos como anteriormente se ha explicado. En la figura siguiente se presenta una misma estructura sometida a dos sistemas de cargas diferentes. En las deformadas correspondientes se ha sealado las componentes de deflexin paralelas a la direccin de las fuerzas en el otro sistema y para facilitar la rotacin de les ha signado una barra a los trminos del sistema II. Las componentes de deflexin causada por un sistema, paralela a las cargas del otro sistema, se dice que son componentes correspondientes de deflexiones, se puede simplificar la nomenclatura utilizada antes en el Teorema de Maxwell. Para el sistema I aplicremos un determinado sistema de cargas:

Por consiguiente, las componentes de deflexin que resultan al aplicar el Sistema I de cargas son:

En donde de nuevo las primeras indican giros producidos por fuerzas o deflexiones debidas a momentos.

Los componentes de deflexin causados por el Sistema II son:

Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexin del sistema II, como desplazamientos virtuales del Sistema I, resulta un trabajo. Tenemos entonces:

Reemplazando:

Haciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes de deflexin del Sistema I como desplazamientos virtuales del Sistema II, el trabajo virtual efectuado es:

Si se aplica ahora el Teorema de Maxwell de las deflexiones reciprocas a los trminos que tienen igual numero en las ecuaciones ya despejadas tanto del Sistema I como el Sistema II, se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, pudindose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue:

Dada cualquier estructura estable con una relacin lineal carga deformacin, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se considera aplicadas fuerzas o momentos en cualesquiera de dos sistema de carga diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema , al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causantes por el primer sistema.

APLICACIONES El Teorema de reciprocidad de Maxwell y Betti son aplicables par el calculo de las deformaciones que se produce en determinadas estructuras, de esta manera facilitan clculos y hacen que el desarrollo de los problemas seas mas fciles y rpidos. Este teorema es importante ya que tambin es utilizado para la matriz de rigidez elemental de los vectores cuando son cuadradas y simtricas el teorema.

Los parmetros de las antenas (directividad, ancho de haz, impedancia, resistencia de radiacin, etc. ) son idnticos en transmisin y recepcin. Para poder demostrarlo vamos a utilizar el teorema de reciprocidad. Consideremos dos conjuntos de fuentes elctricas a y b que crean dos conjuntos de campos elctricos y magnticos

La frecuencia es la misma y el medio es lineal e istropo. El teorema de reciprocidad, que se puede demostrar a partir de las ecuaciones de Maxwell, indica que la reaccin de los campos de las fuentes b con las corrientes a es el mismo que la reaccin de los campos de las corrientes a con las corrientes b, es decir

EJERCICIOS

CONCLUSIONES El teorema planteado por Maxwell al comienzo le faltando tomar en cuenta algunos puntos, adems de hacer un anlisis mas general, es importe resaltar que cuando Maxwell presento de teora no encontraba aplicabilidad luego ya aos mas tarde se encargaran de esto otros estudiosos como el Matemtico Betty que generalizo este teorema de la reciprocidad mejorando de esta manera los anlisis de las estructuras. El teorema de maxwell es aplicable para cuerpos elsticos, con apoyos indeformables y donde la temperatura es constante, adems de analizar estructuras hiperestticas. Las ecuaciones

Adems de permitir ahorra trabajo en muchas problemas constituyen la base de cierto tipo de anlisis por modelos.