Binomio_de_Newton
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3
22).- Da un posible valor de m+n
31n
m11
m10
m9
m8
m7
CCC4C6C4C
a) 41 b) 42 c) 43 d) 47 e) 18
23).- Calcula X en: 3/2
4
4
6
5 x
x
C
C
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.
24).- Si : (x+1)!- x! = 4320; Calcula (x-1)! a) 6 b) 24 c) 100 d) 120 e) 720
25).- Calcula el valor de :
!10
!11
!9
!10
!8
!9.....
!2
!3
!1
!2
!0
!1M
a) 55 b) 66 c) 67 d) 120 e) 100
26).- Dada la igualdad: 1n2
8n1n2
3 CC
Determina el valor de (n2 + n)
a) 10 b) 110 c) 120 d) 130 e) 132
27).- Halla el valor de la expresin:
n2 + 2n 1, si n2 =28 a) 79 b) 62 c) 98 d) 34 e) 47
28).- Halla el valor de 1n
1n
, si :
2( n5 ) = 3(n3 ) ; n Z
+
a) 5/4 b) 9/7 c) 11/9 d) 6/5 e) 4/3
29).- Reduce y determine el valor de n en:
C n1 + C n2 = 21
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
30).- Determina el valor de M en
M = 2n71n
6n5
n4 CCCC
Resulta igual a C 3n10
a) 14 b) 12 c) 10 d) 18 e) 20
31).- Luego de resolver la ecuacin:
2
n
C
CC
1n3
2n3
n2
;
halla el valor de: n2 n + 1 a) 21 b) 23 c) 25 d) 30 e) 35
32).- Si: 2x4x6x8x ... x20= )!(2 nm
halla: m+n a) 10 b) 20 c) 30 d) 400 e) N.A.
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) b 3) c
4) c 5) c 6) b
7) c 8) d 9) c
10)d 11)c 12)a
13)b 14)a 15)a
16)c 17)a 18)a
19)a 20)b 21)b
22)d 23)d 24)d
25)b 26)b 27)a
28)a 29)a 30)a
31)a 32)b
-
4
BINOMIO DE NEWTON
Se da este nombre a la potencia indicada de un binomio. Ejm:
(a + b)5 ; (x + 1)8 ; etc
1. DESARROLLO DEL BINOMIO (a+b)n:
Ejm:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
EN GENERAL:
(a+b)n= nnnn
n22nn
21nn
1nn
0 baC..baCbaCaC
2. TRINGULO DE PASCAL : Nos sirve para obtener los coeficientes del desarrollo de un binomio para exponente natural.
1 (x+a)0 = 1 1 1 (x+a)1= x + a 1 2 1 (x+a)2=x2 + 2ax + a2 1 3 3 1 (x+a)3=x3+3x2a+3xa2 +a3 1 4 6 4 1 (x+a)4=x4+4x3a+6x2a2+4xa3+a4
. .
. .
3. FRMULA GENERAL DEL
TERMINO DE POSICIN k+1 ( 1kt
)
1k
t
= kknnk
aXC
Nota: La Expansin del Binomio (x+a)n
1 Presenta n+1 trminos. 2 Es un polinomio homogneo y ordenado
descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).
Adems:
n)x1( =
n
n
nn
3
3n
2
2n
1
n
0CX.....CXCXXCC
* Si x = 1 nn
n
2
n
1
n
0C.....CCC = 2n
*Si x=-1 ..CCC n4
n
2
n
0 = ..CCC n
5
n
3
n
1
4. PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON:
(x+y)n ,n Z+ a) El nmero de trminos que resultan es:
n+1
b) Los signos de los trminos se definen del esquema:
(x + y)n = + , +, +, +, ........ +
(x y)n = +,-,+,-,+,-,.......... Si n par : +,+,+,+,.... (-x y)n = Si n impar: -,-,-,-,-,-, ..
c) La suma de los coeficientes del desarrollo
de: (x + y)n es:
S = ( + )n
Si : = = 1 S = 2n
d) La suma de los exponentes del desarrollo
de: (x + y)n es:
Sexp = 2
)1n(n)(
e) La posicin del trmino central o medio
del desarrollo se calcular:
i) Si n PAR : 2
2n
ii) Si n IMPAR : 2
1n ;
2
3n
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Halla el T5 de (x+a)10
Solucin: T5
K+1 = 5
K = 4 n=10
Luego:
T5 = 441010
4 aXC
Pero: 210234
78910104
C
T5 = 210x6a4
2.- Halla el T4 de (x2+2y)8
Solucin: T4 k + 1 = 4
K = 3 n = 8 Luego:
T4 = 328
3 238
)()( yxC
* 5623
67883
C
* (2y)3 = 8y3
T4 = 56(x10)(8y3)
T4 = 448x10y3
3.- Halla T10 de (x3-y2)30
Solucin:
T10 = 9930
23309 yxC
T10 =186330
9 YXC
4.- De (x-a)20, halla T15
Solucin:
T15 = 1414202014 aXC
T15 = 14620
6 aXC
T15 = 38760x6a4
5.- Halla el trmino independiente en el
desarrollo de:
12
2 1
x
x
Solucin:
nC3 (x2)12-k (-x -1) k
Luego : 2(12 k) k = 0 (T.I.) k = 8
Por lo tanto: 128C = 495
6.- Halla el valor de n si el trmino de lugar
25 en el desarrollo de:
(x2 + 3
1
x)n contiene a x12.
Solucin:
t25 = n24C (x2)n-24 (x-3)24 = x12
2(n24) 72= 12 2n 48 72= 12 Luego: n = 66 7.- El 4to trmino del desarrollo de: (x+2)n es
80xm.
Calcula : mn
1Cn3
Solucin:
t4 = n3C (x)
n-3 (2)3 = 80xm
8 n3C xn-3 = 80xm
-
5
Luego : 8 n3C = 80 n3C = 10
xn-3 = xm
n-3 = m n m = 3 Luego :
3
9
3
110
mn
1Cn3 3
8.- Uno de los trminos de las expresin de
(x4 + x-3)15 es de la forma nx32. Calcula el valor de n. Solucin:
tk+1 = 15kC ( x4 )15-k( x-3 )k
15kC x
60-4k-3k = nx32
60 7k = 32 k=4
15415 CCk
234
12131415154
C
2145154 C
Luego: 154C = n
n = 2145
9.- Calcula el lugar que ocupa el trmino que
contiene x5, en el desarrollo de: 13
5
x
1x
Solucin:
tk+1 = 13kC (x
5)13-k (x-1)k
Luego : x65-5k . x -k = x 5
65 - 6k = 5 k = 10
Luego : k + 1 = 11
10.- Halla (n + k) si se sabe que el cuarto
trmino de (x + 2)n es 80xk. Solucin:
t4 = n3C x
n-3 23 = 80xk
8 n3C xn-3 = 80 xk
Luego :
n3C = 10
23
)2)(1(
x
nnn = 10
n(n-1) (n-2) = 60 Luego : n = 5 Ahora :
xn-3 = xk n 3 = k 5 3 = k
2 = k
n + k = 5 + 2 = 7
PRCTICA DIRIGIDA N 09 1).- Halla el T8 de (x+a)10
Rpta: ............................................... 2).- Halla el trmino sexto de (x-a)8
Rpta: ...................
3).- Halla el T6 de (x2+2y)8
Rpta: ...............................................
4).- Halla el T28 de (x3-y2)30
Rpta: ...............................................
5).- Halla n si el octavo trmino del desarrollo de:
n
2x
1x
contiene a x
12
a) 20 b) 25 c) 33 d) 35 e) 40
6).- Calcula el lugar que ocupa el trmino que
contiene a x5 en el desarrollo de: 13
5
x
1x
a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20
7).- Calcula el coeficiente del quinto trmino
de: 7
4x
1x
a) 30 b) 35 c) 33 d) 40 e) 1
8).- Halla n si en el trmino 28 del desarrollo
de (x+3y)n el exponente de x es 3. a) 30 b) 28 c) 25 d) 15 e) 12
9).- Halla el lugar que ocupa el trmino
independiente de: 56
3
3
x
1x
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
10).- Calcula el lugar que ocupa el trmino
independiente de: 54
7
x
1x
a) 9 b) 13 c) 35 d) 45 e) 55
11).- Halla el valor de n si el trmino de
lugar 25 en el desarrollo de n
32
x
1x
contiene a x 12 a) 30 b) 40 c) 66 d) 70 e) 78
12).- Determina el valor de n para que los trminos de lugares 9 y 10 de (x+3)n tengan igual coeficiente. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
13).- En la expansin de: B(x,y)=(x2+y3)20 determina el grado absoluto del noveno trmino. a) 24 b) 48 c) 60 d) 32 e) 44
14).- Si el grado absoluto del quinto trmino
de: (x3+x2)n es 26. Calcula Cn9
.
a) 10 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9
15).- El noveno trmino del binomio (x+x-3)n
es de grado 8, halla el grado del quinto trmino. a) 6 b) 14 c) 18 d) 24 e) 28
16).- Halla (n+m), si se sabe que el cuarto
trmino de (x+2)n es 80mxm. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
17).- Calcula el tercer trmino en el desarrollo
de:
7
3
3
xx
1xx
a) 21 x1/2 b) 21x3/2 c) 35x d) 35x3/2 e) 21
-
6
18).- Halla p si t16 de (x5 + yp)30
contiene a : x75 y60 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
19).- En el desarrollo de 17
3
x
1x
, el
trmino de lugar (k+1) posee xk+1. Halla dicho lugar a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
20).- Halla el stimo trmino sabiendo que es independiente de x en el desarrollo de:
n
xx
12
a) 50 b) 80 c) 84 d) 95 e) 1
21).- El trmino independiente del binomio: (x2+x-2)n se encuentra en el lugar 11. Halla el segundo trmino. a) 20x36 b) 19x36 c) 20x40 d) 190x36 e) 190x40
22).- Halla el trmino central de :
142
2x1
a) 14x16429 b) 14x
8429
c) 13x42 d) 14x429
e) 12x821
23).- Halla el valor de m, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los trminos noveno y quinto del desarrollo del
binomio nm3 )yx( es 8.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
24).- En el desarrollo de
n7
5
3 2
x
y
y
x
existen dos trminos
consecutivos uno de ellos es independiente de x, y el inmediato superior independiente de y. Halla el valor de n.
a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100
25).- Halla el 4 trmino en el desarrollo de:
n
3
7
x
1x
si se cumple:
1kk24
tCoef
tCoef
1k
2k
a) 214
243 XC b)
710
253 XC
c) 2243 XC d) 7
10243 XC e)
37
253 XC
26).- Uno de los trminos de la expansin de:
15
3
4
x
1x
Es de la forma: Kx32. Calcula k a) 1450 b) 1550 c) 1536 d) 1366 e) 1365
27).- En el desarrollo de (2+3x2)n el coeficiente de x24 es cuatro veces el coeficiente de x22. Calcula el valor de n. a) 41 b) 42 c) 44 d) 45 e) 43
28).- Si el G.A del 7mo trmino del desarrollo
de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30
Halla el grado de su trmino central. a) 27 b) 28 c) 29 d) 31 e) 41
29).- De la expresin:
E(x) =
51
4 3
3 2
x
2x
Halla el lugar que ocupa el T.I a) 27 b) 26 c) 25 d) 24 e) 23
30).- Si un trmino del desarrollo de:
173
a
b
b
a
Tiene la forma: xayby. Calcula el lugar de dicho trmino.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 14
31).- Halla el lugar que ocupa el trmino de la forma: Ax24y12z12 en el desarrollo de:
(x2y + z3)n
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
32).- Halla el coeficiente del 7 trmino del
desarrollo de: (2x + y)9
a) 8 b) 495 c) 672 d) 132 e) 612
CLAVES DE RESPUESTAS
1)... 2)... 3)...
4)... 5) c 6) b
7) b 8) a 9) e
10)b 11)c 12)c
13)b 14)a 15)d
16)c 17)b 18)b
19)d 20)c 21)a
22)a 23)d 24)c
25)c 26)e 27)e
28)b 29)c 30)b
31)b 32)c