Cap. 2/1

BIOMECNICA UNIDAD TEMTICA I

Mecnica: estudio de las condiciones que hacen que los objetos permanezcan en equilibrio (esttica) y de las leyes que rigen su movimiento (dinmica). La cinemtica describe el movimiento sin atender a las causas que lo originan.

Cap. 2/2

Captulo 2 FUERZAS Y ESTABILIDAD

2.1 Fuerzas fundamentales y fuerzas derivadas 2.2 Momento de una fuerza 2.3 Centro de gravedad

2.4 Equilibrio y estabilidad 2.5 Fuerzas en msculos y articulaciones 2.6 Descripcin del movimiento. Leyes de Newton

Cap. 2/3

2.1 Fuerzas fundamentales y fuerzas derivadas

Fuerza: influencia que al actuar sobre un objeto hace que ste cambie su estado de movimiento.

Propiedades de las fuerzas: 1. La fuerza es aplicada por un objeto material a otro: causa y efecto. 2. La fuerza es un vector: se caracteriza por su mdulo, direccin y sentido. 3. Las fuerzas actan por parejas: si un objeto A ejerce una fuerza sobre un objeto B, entonces el objeto B ejerce a su vez otra fuerza sobre A de igual mdulo y direccin pero sentido opuesto.

4. Superposicin de fuerzas: si dos o ms fuerzas actan simultneamente sobre el mismo objeto, su efecto es el mismo que el de una nica fuerza (resultante) igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales.

sta es la 3 ley de Newton (principio de accin y reaccin). Importante: accin y reaccin actan sobre objetos diferentes.

Para que un objeto permanezca en equilibrio es necesario que la resultante sea nula (1 ley de Newton ).

F

R

Cap. 2/4

Vectores

Magnitudes vectoriales: definidas por nmero, direccin y sentido (desplazamiento, velocidad, fuerza, )

A

Vector unitario (versor): Tiene mdulo unidad. Ejemplo: AAe

= e

Suma de vectores:

+ A

B

= A

B

C

CBA

=+

=

CAB

=+

B

AC

Magnitudes escalares: definidas por un nmero (masa, presin, volumen, temperatura, ) A

C

=

Vector: segmento orientado, caracterizado por mdulo, direccin y sentido:

A

Mdulo AA

= : longitud del vector

Cap. 2/5

Las cuatro fuerzas fundamentales

Fuerza electromagntica: (cargas; atractiva/repulsiva; largo alcance; pp es 1036Fg)

Fuerza fuerte: (hadrones: protones, neutrones, ; corto alcance 10-15 m; la ms fuerte)

Fuerza dbil: (todas; corto alcance 10-18 m; ms dbil que la electromagntica)

Fuerza gravitatoria: (masas; atractiva; largo alcance; la ms dbil)

Responsable de enlaces qumicos, impulsos nerviosos, tormentas,

Responsable de la estabilidad de los ncleos atmicos.

Responsable de las desintegraciones radiactivas.

221

rmm

GF =

Ley de la gravitacin universal de Newton:

G = 6.674210-11 Nm2/kg2

Responsable de las mareas (Luna y Sol) y del peso de los cuerpos: fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de masa m en su superficie,

22T

T m/s 81.9RM

Gg =

g mF

=

Cap. 2/6

Fuerzas derivadas. Algunos ejemplos

Fuerza elstica: muelles y msculos

Todas las dems fuerzas que conocemos se derivan de las fundamentales (casi siempre de la electromagntica).

Cuando un muelle se estira o comprime una longitud x respecto a su posicin de equilibrio, ste ejerce una fuerza dada por la ley de Hooke:

donde k depende del material y el signo menos indica fuerza de sentido contrario a deformacin.

x kF

=

|F|

x

Cap. 2/7

Fuerza normal o de contacto

Fuerza que ejerce un cuerpo slido sobre otro con el que est en contacto, perpendicular a la superficie de contacto. Produce pequeas deformaciones.

Ambas fuerzas actan sobre el bloque: No confundir con una fuerza de reaccin.

PN

=

Ejemplo: bloque en equilibrio sobre una mesa

N

P

Origen de la fuerza elstica: reordenaciones moleculares.

Un msculo consta de muchas fibras. Cada una obedece la ley de Hooke para pequeos x. Fuerza total proporcional a la seccin del msculo.

Cap. 2/8

Fuerza de rozamiento

Si hay movimiento relativo (rozamiento cintico), tiene sentido contrario al movimiento. Si no hay movimiento relativo (rozamiento esttico), el sentido es contrario al movimiento inminente.

Seccin aumentada de una superficie de acero pulida que muestra las irregularidades superficiales

Se debe a la aspereza o rugosidad de las superficies en contacto.

Fuerza que ejerce un cuerpo sobre otro con el que est en contacto, paralela a la superficie de contacto.

FR

F

RF

Cap. 2/9

esttico e: FR = F = fuerza aplicada si F < FR,max eN (sin movto. relativo) cintico c: FR = cN = fuerza de rozamiento si hay movimiento relativo. (generalmente e>c)

Dos tipos de coeficientes de rozamiento:

Clculo del mdulo FR: N = fuerza normal = coeficiente de rozamiento (depende de materiales en contacto)

RF

F

P

P

NN

RF

Fuer

za d

e ro

zam

ient

o

Fuerza aplicada F

FR

FR = F

FR,max = e N

FR = c N

F

RF

Cap. 2/10

Componentes de una fuerza

Descomposicin en fuerzas perpendiculares cuya suma vectorial es . F

PT = componente tangencial del peso PN = componente normal del peso

PN = P cos

PT = P sen

2z

2y

2x FFFFF ++==

Fx, Fy, Fz = componentes cartesianas

En el espacio:

kFjFiFFFFF zyxzyx ++=++=

Z

X

Y xF yF

zF

F

i jk

Z Y, X,ejes los de direccin la en unitarios vectoresk ,j ,i

P

NP

TP

En el plano:

X

Y

2y

2x FFF +=

x

y

FF

tan arc=

= sen FFy

= cos FFx

F

xF

yF

Cap. 2/11

Suma de vectores usando componentes

F1x F2x

F1y

F2y Fy

Fx

X

Y

F

1F

2F

21 FFF

+=

x2x1x FFF +=

y2y1y FFF +=

j)F(Fi)F(F jFiFF 2y1y2x1xyx +++=+=

jFiFF 1y1x1 +=

jFiFF 2y2x2 +=

Cap. 2/12

2.2 Momento de una fuerza - A veces la fuerza resultante se anula (equilibrio traslacional) pero el cuerpo podra girar (no habra equilibrio rotacional):

- Si hay un punto (eje) fijo , el punto de aplicacin de una fuerza importa cuando la lnea de accin de la fuerza no pasa por el punto fijo:

(ambas fuerzas no aplicadas en mismo punto) F

F

No gira

F

Giro en sentido antihorario

F

Giro en sentido horario

F

Cap. 2/13

Debemos introducir un nuevo concepto: momento de una fuerza

Fr

= === sen Fr Fr

cuyo mdulo es

donde es el vector del punto de giro O al de aplicacin de la fuerza P, es el ngulo entre y , cuya direccin es perpendicular al plano que forman y cuyo sentido viene dado por la regla del sacacorchos (producto vectorial).

r

rF

(vector)

O

P

Fr

Mide la capacidad de una fuerza para girar un cuerpo alrededor de un eje: no hay giro cuando y es mximo cuando 0)( F||r 0r ==

Fr

O

P r F

Cap. 2/14

F = F sen

r

F

O

P r F

= F d = F r

Brazo de palanca d: distancia mnima entre O y la lnea de accin de F (perpendicular).

d = r sen

= r F sen

Mdulo

Giro en sentido antihorario

F

Giro en sentido horario

F

> 0 < 0

Sentido

Cap. 2/15

Ejemplo: balancn

En el plano, el momento de una fuerza tiene dos sentidos. Notacin: antihorario : > 0

horario : < 0

Si actan varias fuerzas sobre el objeto, el momento resultante es:

= i (suma vectorial)

1 = P1 r1 2 = - P2 r2 = 1 + 2 = P1 r1 - P2 r2

Mostrar que el resultado es = -117.6 Nm, es decir sentido horario.

Tomamos momentos respecto a O:

P1 P2

r2 r1

(1) (2) O

Datos: m1 = 35 kg, m2 = 30 kg, r1 = 1.2 m, r2 = 1.8 m

Cap. 2/16

2.3 Centro de gravedad Una fuerza que acta siempre sobre los cuerpos es la de la gravedad. Para un cuerpo extenso (no puntual) la resultante es la suma de muchas fuerzas paralelas que actan en cada punto.

Podemos imaginar el peso total concentrado en un solo punto, el centro de gravedad, c.g.

Para ello: y:

== ii mMgmMg

ii.g.ci gxmMgX = =

De donde: Mxm

X ii.g.c= y anlogamente: M

ymY ii.g.c

=

O

c.g.

Fg

i

brazo

X

Y

Ejemplo: Dos masas A y B conectadas por una barra de masa despreciable. d

x

A B c.g.

P PA

PB

dmm

mmmdm0m

xXBA

B

BA

BA.g.c +

=++

==

Tomemos A como origen. Entonces:

Comprobar que sale igual tomando momentos: P x = PB d siendo P=PA+PB

Cap. 2/17

Propiedades del centro de gravedad:

1. La fuerza de la gravedad produce un momento nulo respecto al c.g.

2. El c.g. de un objeto rgido es su punto de equilibrio.

A B c.g.

3. En un objeto rgido, el c.g. es un punto fijo respecto al objeto, pero no necesariamente localizado en l.

4. En un objeto flexible (cuerpo de un animal), el c.g. vara cuando cambia de posicin: muy importante para caminar, saltar, etc.

c.g.

PA x PB (d-x) = 0

Comprubese usando que:

dPP

Px

BA

B

+=

d

x

A B c.g.

PPA

PB

(evidente: P est aplicada en el c.g.)

Cap. 2/18

2.4 Equilibrio

Condiciones de equilibrio (traslacional y rotacional): 0 y 0F ii = =

Consecuencia: un objeto en contacto con una superficie slida est en equilibrio mientras la vertical de su c.g. pase por la superficie de apoyo.

c.g. c.g.

c.g. c.g.

A B c.g.

c.g. c.g.

(sin deslizamiento)

Cap. 2/19

En el cuerpo humano la superficie de apoyo viene definida por la posicin de ambos pies.

c.g.

c.g.

Al inclinar el tronco hacia delante el c.g. tiende a caer fuera del rea de apoyo. Para evitarlo las piernas se desplazan hacia atrs para mantenerlo sobre los pies.

Incluso estando parados se necesitan los msculos. El c.g. pasa 3 cm delante de la articulacin del tobillo: el tendn de Aquiles evita que el cuerpo rote hacia delante.

Cap. 2/20

c.g. c.g.

Al levantar un pie (o caminar) se inclina el cuerpo hacia un lado desplazando el c.g. sobre el pie de apoyo.

Cap. 2/21

Los animales cuadrpedos al caminar mantienen tres patas apoyadas en el suelo, desplazando el cuerpo de modo que el c.g. permanezca siempre sobre el tringulo que forman los tres apoyos.

Cap. 2/22

Estabilidad y equilibrio:

Cuando se aparta ligeramente un cuerpo de su posicin de equilibrio, actan fuerzas cuyos momentos pueden hacer que: El cuerpo vuelva a su posicin de equilibrio (equilibrio estable), o bien Se aleje de su posicin de equilibrio (equilibrio inestable)

equilibrio estable equilibrio inestable

Cap. 2/23

Factores que influyen en la estabilidad:

Posicin del centro de gravedad:

Tamao del rea de sustentacin: mejor si el rea es grande. Los animales cuadrpedos son ms estables que los bpedos.

c.g.

c.g. Una mesa baja es ms estable

c.g.

menos estable

ms estable

c.g.

c.g.

Los animales de patas cortas estn mejor adaptados para vivir en terrenos escarpados o en las ramas de los rboles (ej. las ardillas).

Mejor si el c.g. es bajo

Cap. 2/24

Ntese que si el centro de gravedad est por debajo del punto de apoyo el sistema es estable para cualquier desplazamiento

equilibrio estable para cualquier desplazamiento

c.g.

pivote

gusano anfibio reptil mamfero cuadrpedo

persona

c.g. c.g.

Ejemplo:

A lo largo de la evolucin se ha sacrificado estabilidad a costa de mayor movilidad, gracias a un control neuromuscular cada vez ms complejo (un nio necesita un ao para desarrollar el control necesario).

Cap. 2/25

2.5 Fuerzas en msculos y articulaciones Las condiciones de equilibrio pueden utilizarse para calcular las fuerzas a que estn sometidas distintas partes del cuerpo.

En los cuerpos de los animales se encuentran muchos ejemplos de palancas. Los msculos proporcionan las fuerzas necesarias para el uso de dichas palancas.

(I) (II)

(III)

Cap. 2/26

(I) Primer gnero (balancn): El punto de apoyo est entre el peso y la fuerza aplicada

si a > b F1 < F2

(II) Segundo gnero (carretilla): El peso est entre el punto de apoyo y la fuerza aplicada

siempre a > b F1 < F2

(III) Tercer gnero: La fuerza aplicada est entre el punto de apoyo y el peso

a < b F1 > F2

Equilibrio: F1 a = F2 b F1 = fuerza aplicada, F2 = peso Palancas

(I)

a b

1F

2F

b

a

(III)

1F

2F

(II)

a b

1F

2F

Cap. 2/27

2.6 Descripcin del movimiento. Leyes de Newton

Cinemtica

Desplazamiento: PQr =

)t(r

)tt(r +

r

P

Q Velocidad media:

trvm

=

dtrd

tr

limv0t

=

=

Velocidad:

Velocidad instantnea:

Aceleracin: dtvd

tv

lima0t

=

=

Si la velocidad cambia en mdulo y/o en direccin hay aceleracin.

Y

Z

X

1r

2r

3r

trayectoria

Descripcin del movimiento: )t(rkzjyixr ++=

Vector de posicin:

Cap. 2/28

Conocida se obtienen derivando. )t(r

a y v

Anlogamente, conocida se obtienen integrando. r y v

a

Aceleracin constante en una dimensin (ej. gravedad)

Ct adt avdt advdtdva +====

0vCv0t ==t avv 0 +=

Cat tvdt )atv(dt vrdt vdrdtdrv 22

100 ++= +====

0rCr0t ==2

21

00 attvrr ++=

Movimiento rectilneo y uniforme (a = 0)

tv rr vv 00 +==velocidad constante:

)rr( a 2vv 020

2 +=

Cap. 2/29

Salto vertical

12: Actan varias fuerzas (aceleracin a )

23: Acta slo la gravedad (aceleracin g ) d

h

(1) (2) (3)

c.g. c.g.

c.g.

0v0 =d0 vv =

dvv =

0v =

distancias de aceleracin d (m)

mxima altura h (m)

Seres humanos 0.5 1.0 Canguro 1.0 2.7 Lemur (mono) 0.16 2.2 Rana 0.09 0.3 Langosta 0.03 0.3 Pulga 0.0008 0.1

La velocidad de despegue vd est relacionada con la longitud de las patas y la fuerza muscular.

Hallar la aceleracin a (suponindola constante) y vd de diversos animales:

gh2vd =

d2v

a2d=

Cap. 2/30

Leyes de Newton (dinmica)

1 ley de Newton: Todo objeto permanece en estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme, a no ser que sobre l acten fuerzas que le hagan cambiar dicho estado.

2 ley de Newton: Un objeto sobre el que acta una fuerza adquiere una aceleracin en la direccin de la fuerza. El mdulo de la aceleracin es el mdulo de la fuerza partido por la masa del objeto (propiedad intrnseca).

3 ley de Newton : La fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro (accin) es siempre igual y de sentido contrario a la ejercida por el segundo sobre el primero (reaccin).

a mF

== m/Fa