Bitacora Unidad 1
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Acuerdos de evaluación
Examen 60%Tareas
40%Trabajos
ParticipaciónBitácora
Carpeta con arillos A computadora
Bitácora Firmada por padre o tutorRevisión por examen
Evaluación diagnostica
1.- un triangulo equilátero tiene 50cm por lado. Calcula su área.
2.- un campo de fútbol mide de largo 100m y de ancho 50m ¿Cuánto tiempo se tarda en recorrerlo diagonalmente y en línea recta un automóvil con una velocidad de 20 km/h?
3.- el área de un triangulo mide 32cm cuadrados y su base 10cm. Calcula su altura.
.
Conceptos basicos
Geometría:
Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
Punto:
no tiene dimensiones solo tiene posición
.A .B
Recta:
Dos puntos definen una recta, carece de anchura y espesor solo tiene longitud. Cuando se cruzan dos líneas de forma un punto.
A B
Plano:
Se dice en geometría superficie plana, llana que se extiende indefinidamente, las superficie tiene dos dimensiones, longitud y anchura pero carece de espesor. Cuando se cruzan dos planos se forma una recta
P Q
Rectas paralelas:
Se llaman paralelas cuando el espacio entre ellas es constante.
AB CD
Rectas perpendiculares:
Son dos rectas que se intersecan (se cruzan) formando un anulo de 90º.
m
m nn
Rectas oblicuas:
Son rectas que se intersecan sin formar ángulos de 90º
Semirrecta o rayo:
Tienen principio pero no tienen fin, siguen indefinidamente.
O A OA
Segmento de recta:
Porción de una recta, tiene principio y fin.
A B
Adicion:
Sumar los segmentos AB, CD y EF
A B C D E F
B D
A C E F
A F
Sustracción:
Sustraer el segmento CD de AB
AB C D
A C D B
D B
Multiplicación:
Multiplicar el segmento AB por 4
A B
A B A B A B A BA
B 4AB
Division:
División de un segmento en un numero de partes iguales.
AB 8
Ángulos:
Un angulo esta formado por dos rectas o rayos que tienen un origen en comun llamado vértice y se representa con una figura como la siguiente:
Notacion: A a a
B B
A ABC ABC B C
ABC = 60º
A A
B C B C
ABC ABC
Congruencia:
Dos segmentos o figuras son congruentes cuando tienen la misma longitud, es decir, si tienen la mismo medida y forma.
A B AB CD
C D
Congruencia de ángulos:
Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud, es decir, la misma medida.
B N
O
A O M
BOA NOM
La medida del angulo BOA es igual a la medida del angulo NOM
B
(+) (-)AAA
Los ángulos son positivos cuando abren en sentido contrario al de las manecillas del
reloj
Los ángulos son negativos cuando
abren en el sentido de las manecillas del reloj
A A
B
A
B
Clasificación de un ángulo según su amplitud:
a
360º menos el angulo es igual a la conversión de un angulo negativo a
positivo
a es un angulo agudo; su medida es
menor a 90º
b
c
d
e
b es un angulo recto; su media
es igual a 90º
c es un angulo obtuso; su medida es
mayor de 90º pero menor de
180
d es un angulo llano o
colineal; su medida es igual
a 180º
e es un angulo entrante; su
medida es mayor a 180º y menor a 360º
f es un angulo perigonal; su
medida es igual a 360º
f
Ángulos suplementarios y complementarios:
Suplementarios: Los angulos suplementarios son aquellos que suman 180º
a+b=118º
b a Ángulos complementarios:
Los angulos suplementarios con aquellos en los que su suma da 90ºa+b= 90º
b
aAngulos adyacentes:
*comparten un vértice*tienen un lado en comun que debe estar entre los dos lados no comunes
a)
b a
b) C
O B lado común
vértice A
nota:
** No necesariamente los ángulos adyacentes con complementarios o suplementarios.** Pero los suplementarios y los complementarios son forzosamente adyacentes
Ejercicio:
TAREA
a) SOLUCIÓN:
X+10 70°X
b) SOLUCIÓN:
3X+20°X
c) SOLUCIÓN:
No es adyacente porque no
comparten el vértice
No es adyacente
porque el lado común no esta entre los dos no
comunes
2X
X
Ángulos opuestos al vértice:
Tienen la propiedad de ser congruentes, tienen la misma forma y medida.
3
1 2 < 1 = < 2< 3 = < 4
4
Ejercicio
a) a=55°b b=180°-55°=125°
a 55° d=125
d
b)a=45°
3X 3X+X=180 b=3X45° 4X=180 b=3(45°)
a X=180/4 b=135°b X=45°
c)
2X+X+15=180° X=55° 3X+15=180° 2X+15°=125°
3X=180-15 a=55° 2X+15° X=165/3 b=125°
a X=55
X b
Pares de ángulos formados por 2 rectas paralelas cortadas por una transversal:
4 1
3 2
8 5 7
6
Ángulos externos: son aquellos que se encuentran por fuera de las paralelas Ángulos internos: son aquellos que se encuentran por dentro de las paralelas Ángulos colaterales: son los que se encuentran del mismo lado de la transversal Ángulos alternos: son los que se encuentran de lados opuestos de la transversal
a) Ángulos correspondientes: son correspondientes< 1 y < 5
< 2 y < 6< 8 y < 4< 3 y < 7
b) Alternos Internos: son congruentes< 2 y < 8< 3 y < 5
c) Alternos Externos: son congruentes< 1 y < 7< 4 y < 6
d) Colaterales Internos: son suplementarios, suman 180°< 2 y < 5< 3 y < 8
e) Colaterales Externos: son suplementarios, suman 180°< 1 y < 6< 4 y < 7
Ejercicio
1.- Calcula el valor de X y Y en cada caso y fundamenta las relaciones establecidas
3X-20°+2X=180°2X 5X-20°=180°
3X+20° 5X=180°+20° X=200°/5 2X X=40° Y Y
Y=3X-20°Y=3(40°)-20°Y=120°-20°Y=100°
2.- Calcula el valor de X y Y en cada caso y fundamenta las relaciones establecidas
2X-Y=120° opuesto por el vértice X+Y=120° alterno interno3X =240°
X+Y X+Y=120° 120° X=240°/3 80°+Y=120° X=80° Y=120°-80°
Y=40° 2X+Y
3.- Calcula el valor de X y Y en cada caso y fundamenta las relaciones establecidas
2X=180° X+2Y=150°X=180°/2 90°+2Y=150°
X+2Y 150° X=90° 2Y=150°-90° Y=60°/2
X-2Y Y=30°
TAREA:
Encuentra el valor de X y Y en cada caso.
a) SOLUCION:
3X+36 5X-8 Y
b) SOLUCION: X+2Y
4Y
92°
c) SOLUCION:
X+Y
X-2Y 150°
Clasificación de polígonos
En la siguiente figura se muestra una poligonal o línea quebrada
bd
ec
af
Existen 3 familias de polígonos
a)poligono convexo b)poligono convavo c)poligono estrellado
c d c d d a
b a c
a b a b
Angulos iguales o mayores a 90° pero
menores a 180°
Un angulo mayor de a 180°
Todas las diagonales quedan por fuera de la
figura
Polígonos Convexos -Polígonos Regulares-Polígonos Irregulares
-Paralelogramo O Romboide -Rectángulo
-Rombo
Cuadriláteros -Rectángulo
-Trapecio -Isósceles
-Escaleno
-Trapezoide
- No Es Equilátero (Lados) - No Es Equiángulo (Angulos)
-Son Equiangulo
-Son Equilateros
Nombre Numero de lados
Cuadrado 4triangulo equilátero 3
pentagono 5hexagono 6heptagono 7octagono 8eneagono 9decagono 10
undecagono 11dodecagono 12icosagono 20
TAREA:
Dibuja cada una de las figuras
a) Pentágono
b) Hexagono
c) Heptagono
d) Octágono
e) Eneágono
f) Decágono
g) Undecágono
h) Dodecágono
i) Icoságono
Elementos de un Poligono Regular
el numero de angulos internos y centrales es
igual al numero de lados del polígono regular
Apotema
Angulo interior Angulo central
Método de triangulación
La suma de los ángulos interiores de un triangulo es 180º
180°180° 180° (4 ) = 720° / 6 lados = 120°
180°
180°
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es igual al número de lados menos 2 por 180º
= a la suma de los ángulos interiores de un polígono regular
=180°( n-2) n= al numero de lados
Angulo interior Numero de lados
180°(n-2) 360° n 180 -
TAREA
1.-Calcula la medida del angulo central y del angulo interior de los siguientes poligonos regulares
a)pentagono
b)hexagono
c)heptagono
d)decagono
e)dodecagono
2.-Calcular el numero de lados de un poligono regular cuyo angulo interior mida
a) 120º
b) 135º
c) 150º
d) 160º
Clasificación de triángulos según sus lados y sus ángulos
Escaleno
Lados Equilátero
Isósceles
Rectángulo
Ángulos Acutángulo
Obtusángulo
Puntos y Rectas notables en triángulos
mediatriz.- de un lado del triangulo o en un segmento en general es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio
Circuncentro.- es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triangulo a partir del cual se traza un circulo que toca todos los vértices del triangulo
mediatriz
circuncentro
mediana.- es el segmento de recta que une un vértice cualquiera de un triangulo con el punto medio del lado opuesto
Baricentro.- punto de intersección de la medianas de un triangulo
mediana
baricentro
TAREA:
bisectriz.- es la recta que divide los angulos de un triangulo en 2 partes iguales
bisectriz
altura.- valor dimensional de la medida vertical de un objeto o figura
h
Incentro.- punto en el que se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo
Ortocentro.- punto donde se cortan las tres alturas de un triangulo
ortocentro
Congruencia en triángulos
Se llaman figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño de manera que al colocar una sobre la otra coinciden en sus partes correspondientes es decir una es copia de la otra
I II
el triangulo I es congruente con el triangulo II
Postulados para triángulos congruentes
1.- lado – Angulo – lado (L-A-L).- dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente congruentes dos lados y el Angulo comprendido
LL
A AL L
2.- Angulo – lado – Angulo (A-L-A).- dos ángulos son congruentes, si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado comprendido
A L A A L A
3.- lado – lado – lado (L-L-L).- dso triangulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes si son congruentes sus tres lados
L L L L
L LEjercicio:
1.- Identifica los triángulos que son congruentes y da el postulado de congruencia que lo justifica
4a)
I 3 3 II III 3
44
Los triangulos I y II son congruentes por el postulado LAL=LAL
b) 25
70° 30° I 25 II III
70° 30° 30° 70°
25Los triangulos II y III son congruentes por el postulado ALA=ALA
c) 97
7 5 5 II 7 5 IIII9 9
Los triangulos I,II y III son congruentes por el postulado L-L-L = L-L-L
TAREA
a) D C SOLUCION:2X
3Y
60º
24ºA B
b) SOLUCION:B
26º C
X+20
y-5ºA
42º
D
C Metodo de suma y resta, igualación y sustitucion
32u2X=3Y+8
X=2Y2X 3Y+8
I II X=16u Y=8u
X 2YA D B
Sustitución:
2(2Y)=3Y+8 X=2Y4Y=3Y+8 X=2(8)4Y-3Y=8 X=16Y=8
Igualación:
2Y 3Y+81 24Y=3Y+84Y-3Y=8Y=8
Triangulos semejantes
**angulos congruentes **lados homologos proporcionales
Razones y proporciones
Los lados homologos son aquellos que tienen el parentesco pero son mas chicos
Razón.- una razón geométrica es una comparación de magnitudes de forma cociente Proporción.- es una igualdad de dos razones
A C A y D son externosB D B y C son medios
A:B::C:D A es a B asi como C es a D
Teorema básico de las proporciones
“El producto de los extremos siempre es igual al producto de los medios”
O
“El producto cruzado siempre es igual solamente en una proporción”
AD=BC
A CB D
a) X 8 9 3 3X=72
X=72/3 X=24
TAREASOLUCION:
X 2X5 X+3
SOLUCION:3 XX 27
SOLUCION:X-1 52 X+1
PERIMETROS Y AREAS
P=4L A=base(altura)A=bh
P=4L A=Diagonal mayor (diagonal menor) 2 2
A= Dd 2
P=L+L+L+L A=(Lado+Lado)altura 2
A=(L+L)h2
P=4L A=lado * ladoA=L*L
P=L+L+L A=base * altura 2
A=bh 2
Formula para polígonos regulares
P=numero de lados (longitud de cada lado)P=nL
A=perímetro (apotema) 2A=Pa 2
Ejercicios:
C X 5u
CD CE DE triangulo mayorD E CA CB AB triangulo menor
X+4 12u
A B
SOLUCION:
C15u
AE AD DE E AC AB BC
20u
B 12 u D X A
SOLUCION:
TAREA
SOLUCION:
8 x+1 Y-1 4
12 6
SOLUCION:
24 2X
Y/3 11
20 10
SOLUCION:
9 15 24 12
20 b