Blo Ques
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Matrices por bloque s Todo lo que hemos estudiado hasta ahora se ha basado en considerar una matriz como un conjunto ordenado de columnas y no simplemente como un rectángulo de números. En otras palabras, hemos estado considerando una matriz como una fila de matrices columna. En esta sección vamos a ver que la descomposición de las matrices en otros tipos de bloques puede ser enormemente útil. En genera l, pode mos partir tanto las filas como las colu mnas de una matriz A ∈ M m×n (K) para obtener A = A 11 A 12 .. . A 1q A 21 A 22 .. . A 2q . . . . . . . . . A p1 A p2 .. . A pq m 1 m 2 . . . m p n 1 n 2 .. . n q es decir, para obtener una división de A en submatrices A IJ , donde I = 1, 2,...,p y J = 1, 2,...,q . Est a división se lla ma desc omp osi ció n por blo que s de la matriz A. Los númer os m 1 , m 2 ,...,m p y n 1 , n 2 ,...,n q indican que la submatriz A IJ tiene tamaño m I × n J , y por tanto verifican que m 1 + m 2 + ··· + m p = m y n 1 + n 2 + ...n q = n. La submatriz A IJ es el bloque I J de esta descomposición por bloques de A. Operaciones con matrices por bloques Lo intere sant e de oper ar co n ma tr ices por bl oques es que podemos actuar como si ca da bl oq ue fuese un número. Entonces la s operaciones con matri ces por bloques se reducen a las operacio nes con ma tric es que ya conocemos, except o que ha y que asegur arse de qu e cuando vaya mos a suma r o multiplicar dos bloques sus tamaños sean compatibles para la operación que queremos realizar . Multiplicación por escalares El caso de multiplicac ión de una matriz por bloques por un esc a- lar no ofrece dificultad ya que todo bloque, independientemente de su tamaño, se puede multi- plicar por cualquier número. Suma de matrices por bloques Para pod er sumar dos matric es por bloque s, es necesario no sólo que sean matrices del mismo tamaño sino también que estén divididas en bloques de la misma forma de tal manera que bloques correspondientes sean del mismo tamaño y se puedan sumar. Producto de matrices por bloques Para hallar el pro ducto AB de dos matrices por bloques se puede usar la regla usual de “fila por columna” siempre que el número de bloques en cada “fila de bloques” de A sea igual al número de bloques en cada “columna de bloques” de B y además 1 V e r s i ó n d e 5 d e n o v i e m b r e d e 2 0 1 4 , 1 4 : 0 6 h .
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Matrices por bloques
Todo lo que hemos estudiado hasta ahora se ha basado en considerar una matriz como unconjunto ordenado de columnas y no simplemente como un rectngulo de nmeros. En otraspalabras, hemos estado considerando una matriz como una fila de matrices columna. En estaseccin vamos a ver que la descomposicin de las matrices en otros tipos de bloques puede serenormemente til. En general, podemos partir tanto las filas como las columnas de una matrizA Mmn(K) para obtener
A =
A11 A12 . . . A1qA21 A22 . . . A2q
......
...Ap1 Ap2 . . . Apq
m1m2
...mp
n1 n2 . . . nq
es decir, para obtener una divisin de A en submatrices AIJ , donde I = 1, 2, . . . , p y J = 1,2, . . . , q.
Esta divisin se llama descomposicin por bloques de la matrizA. Los nmerosm1,m2, . . . ,mpy n1, n2, . . . , nq indican que la submatriz AIJ tiene tamao mI nJ , y por tanto verifican que
m1 +m2 + +mp = m y n1 + n2 + . . . nq = n.
La submatriz AIJ es el bloque IJ de esta descomposicin por bloques de A.
Operaciones con matrices por bloques
Lo interesante de operar con matrices por bloques es que podemos actuar como si cada bloquefuese un nmero. Entonces las operaciones con matrices por bloques se reducen a las operacionescon matrices que ya conocemos, excepto que hay que asegurarse de que cuando vayamos a sumaro multiplicar dos bloques sus tamaos sean compatibles para la operacin que queremos realizar.
Multiplicacin por escalares El caso de multiplicacin de una matriz por bloques por un esca-lar no ofrece dificultad ya que todo bloque, independientemente de su tamao, se puede multi-plicar por cualquier nmero.
Suma de matrices por bloques Para poder sumar dos matrices por bloques, es necesario noslo que sean matrices del mismo tamao sino tambin que estn divididas en bloques de lamisma forma de tal manera que bloques correspondientes sean del mismo tamao y se puedansumar.
Producto de matrices por bloques Para hallar el producto AB de dos matrices por bloques sepuede usar la regla usual de fila por columna siempre que el nmero de bloques en cada filade bloques de A sea igual al nmero de bloques en cada columna de bloques de B y adems
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que los bloques en esa fila de bloques de A sean compatibles para multiplicacin por los bloquesde la columna de bloques de B.
Una de las consecuencias de la multiplicacin de matrices por bloques es la siguiente alterna-tiva a la regla fila por columna para la multiplicacin de matrices:
Regla columna por fila: Sean a1, . . . ,an las columnas de A y sean b1, . . . ,bn las filas de B.Entonces el producto matricial a1b1 es una matriz con tantas filas como A y tantas columnascomo B. Lo mismo ocurre con los dems productos aibi y el producto de matrices AB es igual ala suma:
AB = a1b1 + + anbn
Ejemplo. Sea
A =
(A1 A2A3 A4
)una matriz cuadrada de orden 2n descompuesta en cuatro bloques n n, A1, A2, A3, A4. Se tratade encontrar una matriz
P =
(P1 P2P3 P4
)con P1, P2, P3, P4 bloques n n, verificando que el producto PA intercambie la primera y lasegunda fila de bloques de la matriz A, es decir, tal que
PA =
(A3 A4A1 A2
).
Dado que el intercambio de filas es una operacin elemental, basta realizar esta operacinsobre la matriz identidad por bloques:(
I 00 I
), P =
(0 II 0
)Efectuando el producto PA por bloques obtenemos
P1A1 + P2A3 = 0A1 + IA3 = A3
P1A2 + P2A4 = 0A2 + IA4 = A4
P3A1 + P4A3 = IA1 + 0A3 = A1
P3A2 + P4A4 = IA2 + 0A4 = A2
y se verifica lo pedido.
Ejercicio: En las condiciones del ejemplo anterior hllense:
1. Una matriz P tal que PA multiplique por la izquierda la primera fila de bloques de A poruna matriz inversible X de orden n.
2. Una matriz P tal que PA le sume a la segunda fila de bloques de A la primera fila debloques multiplicada por la izquierda por una matriz cuadrada X de orden n.
Inversa de una matriz por bloques
En general no es sencillo calcular la inversa de una matriz por bloques realizando solamenteoperaciones por bloques, pero hay un caso especial en el que s es posible: Es el caso de una matrizpartida en 2 2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal seancuadrados.
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