FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

1. FUNCIONES

-CONCEPTOUnafuncin (f)es unarelacinentre un conjunto dadoX(llamadodominio) y otro conjunto de elementosY(llamado codominio) de forma que a cada elementoxdel dominio lecorrespondeun nico elementof(x)del codominio (los que forman el recorrido,tambin llamadorangoombito).

-REPRESENTACION DE FUNCIONES

-DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIONEl dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

El subconjunto de los nmeros reales en el que se define la funcin se llamadominio o campo existencia de la funcin. Se designa por D.El nmeroxperteneciente aldominiode la funcin recibe el nombre devariable independiente.

Conjunto inicialConjunto FinalDominioConjunto imagen o recorrido

Como ya vimos, eldominiode una funcin es el conjunto de valores para los cuales la funcin est definida; es decir, sontodos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).Por ejemplo la funcinf(x) = 3x2 5xest definida para todo nmero real (xpuede ser cualquier nmero real). As el dominio de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales.En cambio, la funcintiene como dominio todos los valores dexpara los cuales 1 b - c2 Lasumade losngulos interioresde untringuloes igual a180.A + B + C =180

3El valor de unngulo exteriorde untringuloes igual a lasumade losdos interiores no adyacentes.=A + B=180 - C

4En untringuloamayor ladose oponemayor ngulo.

5Si un tringulo tienedos lados iguales, susngulos opuestostambin soniguales.

Tringulos iguales1. Dostringulossonigualescuando tieneniguales un lado y sus dos ngulos adyacentes.2. tringulossonigualescuando tienendos lados iguales y el ngulo comprendido.3. Dostringulossonigualescuando tienen lostres lados iguales.-Clases de tringulos segn sus ladosTringulo equiltero

Tres lados iguales.

Tringulo issceles

Dos lados iguales.Tringulo escaleno

Tres lados desiguales

Clases de tringulos segn sus ngulosTringulo acutngulo

Tres ngulos agudosClases de tringulos segn sus ngulos

Tringulo acutngulo

Tres ngulos agudosTringulo rectngulo

Un ngulo rectoEl lado mayor es la hipotenusa.Los lados menores son los catetos.

Tringulo obtusngulo

Un ngulo obtuso.

EL TEOREMA DE PITGORASEn primer lugar deberamos recordar un par de ideas:Untringulo rectnguloes un tringulo que tiene un ngulo recto, es decir de 90.En un tringulo rectngulo, el lado ms grande recibe el nombre dehipotenusay los otros dos lados se llamancatetos.

Teorema de Pitgoras.-En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostracin:

Si tenemos un tringulo rectngulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el catetob, ms lo que mide el catetoc, es decirb+c, como en la figura de la derecha.El rea de este cuadrado ser(b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los tringulos rectngulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El rea del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las reas de los cuatro tringulos rectngulos azules (base por altura partido por 2):ms el rea del cuadrado amarillo. Es decir, el rea del cuadrado grande tambin es el rea del cuadrado pequeo ms 4 veces el rea del tringulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el rea del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que despus de simplificar resulta lo que estbamos buscando:

-Funciones Trigonomtricas Para las Funciones Trigonomtricas, como se mencion anteriormente, haremos uso del Teorema de Pitgoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, adems de apoyarnos siempre con la Calculadora.

Las letras minsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitgoras, las letras Maysculas, en ste caso, se utilizarn para referirnos a los ngulos del Tringulo.Circunferencia unitariaNos sirve para entender mejor las identidades trigonomtricas: seno, coseno, etctera.Se llamaCirculoUnitario, porque tiene un radio de magnitud uno con origen en (0,0) del plano cartesiano.El crculoUes la grfica de la ecuacin

1.Funcin Seno ( Sen):La Funcin Seno nos describe la relacin existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbologa es la siguiente:

2.Funcin Coseno ( Cos):La Funcin Coseno describe la relacin entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbologa es la siguiente:

3.Funcin Tangente ( Tan):sta Funcin nos representa la relacin entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbologa es la siguiente:

Tambin tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:4.Funcin Cotangente ( Cot):Que describe la relacin entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

5.Funcin Secante ( Sec):Relacin entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6.Funcin Cosecante ( CsC):Nos muestra la relacin entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN POSICION NORMAL. ngulo en Posicin Normal :Llamado tambin ngulo en posicin cannica o estndar; es aquel ngulo trigonomtrico cuyo vrtice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado se ubicar en cualquier regin del plano, siendo el que indique a que cuadrante pertenece dicho ngulo. En el grfico adjunto por ejemplo : a, b y q son ngulos en posicin normal, cumplindose: a IC; b IIC; q IIIC.

Definicin de las razones trigonomtricas de un ngulo en Posicin NormalPara definir o hallar las R.T. de un ngulo en posicin normal; se debe conocer un punto perteneciente a su lado final.En el grfico; para "a"; tendremos:Por ejemplo:Se debe notar que ahora las R.T. pueden tener signo negativo; dependiendo del cuadrante en el que se ubique el ngulo considerado.* Signos de las R.T.Dependiendo del cuadrante en el que se ubique un ngulo en posicin normal; podemos establecer el siguiente criterio prctico para los signos:-RAZONES O RELACIONES TRIGONOMTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

Latrigonometra, enfocada en sus inicios solo al estudio de los tringulos, se utiliz durante siglos en topografa, navegacin y astronoma.Etimolgicamente,trigonsignificatringulo,ymetron,medida.Por lo tanto, trigonometra se puede definirr como"medida de tringulos".

Para establecer las razones trigonomtricas, en cualquier tringulo rectngulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:Los ngulos con vrtice en AyCson agudos, el ngulo con vrtice enBes recto.Este tringulo se caracteriza por que los lados de losngulos agudos ( y )son lahipotenusay un cateto, y los lados del ngulo recto () son los catetos.Cada uno de los ngulos gudos del tringulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden sercatetoopuesto al nguloocatetoadyacente al ngulo.Cateto adyacentees aquel que forma parte del ngulo al cual se hace referencia.Cateto opuestoes el lado que no forma parte del ngulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Si consideramos el ngulo Si consideramos el ngulo

cateto adyacentecateto opuestocateto adyacentecateto opuesto

Por convencin, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del tringulo se pueden representar con las letras maysculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una lnea; o bien, con una letra minscula enfrentando a la correspondiente mayscula de los ngulos.Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que lasrazones o relaciones trigonomtricasse establecen entre dos lados de un tringulo rectngulo en relacin con cada uno de sus ngulos agudos. Tambin se llamanFunciones trigonomtricas.Seis son las razones o funciones trigonomtricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ngulos agudos en un tringulo rectngulo; de ellas, tres sonfundamentalesy tres sonrecprocas,como lo vemos en el siguiente cuadro:Funciones (razones) trigonomtricas

FundamentalesRecprocas

sensenocosec (csc)cosecante

coscosenosecsecante

tan (tg)tangentecotan (cotg)cotangente

3. GEOMETRIA ANALITICA-CONICAS: Unasuperficie cnicade revolucin est engendrada por la rotacin de una recta alrededor de otra recta fija, llamadaeje, a la que corta de modo oblicuo.

Lageneratrizes una cualquiera de las rectas oblicuas.Elvrticees el punto central donde se cortan las generatrices.Lashojasson las dos partes en las que el vrtice divide a la superficie cnica de revolucin.Se denominaseccin cnicaa la curva interseccin de un cono con un plano que no pasa por suvrtice. En funcin de la relacin existente entre elngulo de conicidad ()y la inclinacin del plano respecto del eje del cono (), pueden obtenerse diferentes secciones cnicas.Elipse

Laelipsees la seccin producida en una superficie cnica de revolucin por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ngulo mayor que el que forman eje y generatriz. <