PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICABLOQUE III Y IV

REBECA MIGONI ORTIZ605

PROBABILIDAD CONDICIONAL

En gran número de problemas prácticos, los eventos de mayor interés son aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la ocurrencia de otro evento. De aquí que interese introducir el concepto de probabilidad condicional, esto es, la probabilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir cierto evento.

DISTRIBUCIONES

Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de un estudiante.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:

1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés. 2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas. 3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados.

Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables. Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real.

Las más útiles son: 1.- La distribución uniforme discreta. 1.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli. 2.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica. 3.- La distribución de probabilidad de Poisson.

UNIFORME DISCRETA Si la variable aleatoria X asume valores de X1, X2, ..., Xk con iguales probabilidades, entonces la distribución uniforme es:

1.-

2.- Si lanzamos un dado de seis caras, jugamos a la ruletafrancesa, jugamos a la lotería, la función de masa es:

3.-Sea una variable aleatoria que puede tomar n valores distintos, x1,...,x n, cada uno de ellos con la misma probabilidad, es decir, con probabilidad uniforme. La distribución de probabilidad o función de masa de esta variable aleatoria es:

Comprobemos que es función de masa:

Sin pérdida de generalidad, suponemos ahora que los valores están ordenados de menor a mayor. La función de distribución es:

4.-La función de masa de la variable aleatoria X : número que aparece al lanzar un dado es:

La función de distribución es:

5.-Gráfica de la función de distribución de la variable aleatoria uniforme discretaque toma los valores x1= 0.2, x2= 0.8, x3= 1 y x4= 1.4.

6.-El temario de un examen para un proceso selectivo contiene 50 temas, de los cuales se elegirá uno por sorteo. Si una persona no ha estudiado los 15 últimos temas ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen?La variable que representa el número del tema seleccionado para el examen sigue una distribución uniforme con parámetros a=1 y b=50. La persona aprueba el examen si le toca un tema del 1 al 35; por tanto, la probabilidad que se pide es la cola a la izquierda de 35. Para obtener los resultados en Epidat 3.1 basta con proporcionarle los parámetros de la distribución, y seleccionar calcular probabilidades para el punto 35.

7.-Suponga que tiramos una vez un dado no trucado. Defina unavariable aleatoria que modele el resultado de la tirada y diga su función demasa, media y varianza.

8.- Cuando se lanza un dado honesto, cada elemento del EM ocurre con probabilidad 1/6. Por lo tanto tenemos una distribución uniforme,

9.-Las ventas de combustible en una gasolinera tienen una media de 40,000 litros por día y un mínimo de 30000 litros por día. Supongamos que una distribución uniforme es apropiada.Determine las ventas máximas diarias.µ= a+b

240,000=30,000+b30,000+b=40,000(2)30,000+b=80,000B=80,000-30,000B=50,000

10.-¿Qué porcentaje de ventas excederán de 34,000?P(x>34,000)50000—34,000=16,000A=bxhA=(16,000) ( 1 ) 20,000 a=0.8Porcentaje en ventas=0.8x100 = 80%

11.-Cuando se selecciona al azar una bombilla de luz de 40 watts de 60, una de 75 y una de 100, cada elemento del espacio muestra S={40,60,75,100 ocurre con probabilidad de ¼. Por tanto tenemos, una distribución uniforme con:* F(x;4)=1/4, X=40,60,75,100

12.- Cuando se lanza un dado legal cada elemento del espacio muestra S={1,2,3,4,5,6} ocurre con probabilidad de 1/6. Por lo tanto, tenemos una distribución uniforme con * f ( x; 6 ) = 1/6 x = 1,2,3,4,5,6.

13.-

LA DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como: - Juegos de azar. - Control de calidad de un producto. - En educación. - En las finanzas.

La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales: 1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos. 2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo. Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin reposición o de una población finita con reposición. 3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩ E' = 0. x1 x2 xk

4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos. 5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación. La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial:

donde: p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito. q = Probabilidad de fracaso x = Número de éxitos deseados n = Número de ensayos efectuados 1.-Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento "Número de águilas que caen." datos:

2.- El cálculo de estas magnitudes pueden realizarse con las siguientes fórmulas:

3.-En una ciudad la proporción de votantes a un candidato A es de 0’4.Elegimos 10 personas al azar, una tras otra, con reemplazamiento, porque deesta forma el valor de p = 0 4 permanece constante.¿Cuál es la probabilidad de que haya en el grupo exactamente 6 votantes deA?

4.-¿Cuál es la probabilidad de que haya en el grupo 6 o menos votantes de A?

5.-¿Cuál es el número esperado de votantes de A en el grupo?

6.-¿ Cuál es la probabilidad de que haya en el grupo 6 o menos personas queno voten al candidato A?

7.-En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partir del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.

9.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen la enfermedad ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?

10.-¿sobrevivan de 3 a 8?

11.-¿sobrevivan exactamente 5?

12.-Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas.

13.-La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.

14.-Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?

15.-¿Y menos de 15?

16.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese laprobabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan Las cinco personas.

17.- Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan Al menos tres personas.

18.- Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan Exactamente dos personas.

19.-Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

20.-La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores. Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M N y (N - ⊂M) N entonces, la probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - ⊂x) pertenezca a (N - M) está dada por:

1.- Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cinco físicos. Calcular la distribución de probabilidad para el número de químicos en el comité.Sea la v.a. X el número de químicos en el comité. Se satisfacen las dos condiciones de un experimento hipergeométrico.

2.-Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cincocomponentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?Utilizando la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, k=3 yx=1, entonces

3.-Se sabe que el 7% de los útiles quirúrgicos en un lote de 100 no cumplen ciertasespecificaciones de calidad. Tomada una muestra al azar de 10 unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de que no más de dos sean defectuosos.El número de útiles defectuosos en el lote es R=0,07×100=7. Para un tamaño muestral de n=10, la probabilidad buscada es P{número de defectuosos ≤ 2}.

4.-En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:N=tamaño de población =20n=tamaño de muestra=12A=éxitos en la población=rosas=8k=éxitos en la muestra=rosas=3

5.-Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?Solución:N = 10 objetos en totala = 3 objetos defectuososn = 4 objetos seleccionados en muestrax = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

6.-Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:

7.-Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?Solución:a) N = 9+6 =15 total de tabletasa = 6 tabletas de narcóticon = 3 tabletas seleccionadasx = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletasp(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

8.-¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

9.-De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que los 4 exploten?Solución:a) N = 10 proyectiles en totala = 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

10.-¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 no exploten?N = 10 proyectiles en totala = 3 proyectiles que no explotann = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

11.-¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente? Solución: a) N = 9 total de estudiantesa = 4 estudiantes menores de edadn = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

12.- ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

13.-En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.14.- En una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%

15.-Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, de las cuales 5 son amarillas. Si se extraen aleatoriamente y sin sustitución 10 planchas ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean amarillas?

16.-Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una urna que contiene 9 azules y 3 negras. Encontrar la probabilidad de haya 6 canicas azules dentro de las 8 que se extrajeron.

17.-Un vendedor de insecticidas quiere vender a una planta un lote de 50 barriles de cierto producto. El gerente de la planta sospecha que los barriles están caducos, pero el vendedor sostiene que sólo 10 barriles han caducado y está dispuesto a permitir que se analicen 5 barriles sin costo para el comprador, para que éste decida si adquiere el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente encuentre que 4 o más de los 5 barriles examinados han caducado, suponiendo que el vendedor tiene razón en su afirmación?

18.-Una caja contiene 10 focos, de los cuales 3 son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de tamaño 2, se extraiga cuando mucho un foco defectuoso?

19.-En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.Solución:a)N= 20+3+2 =25 total de artículosa=20 productos sin defectosb= 3 productos con defectos menoresN-a-b= 2 productos con defectos mayoresn= 5 productos seleccionados en la muestrax = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestray = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestraz = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

20.-Determine la probabilidad de que 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.- Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?

2.-La talla de los recién nacidos se distribuye normalmente, pero mientras que en la Comunidad Autónoma A la media es de 52 cm y la desviación típica es de 3 cm, en la B la media es de 53 cm y la desviación típica de 5 cm. Hallar, en el primero de los casos, entre qué valores simétricos respecto a la media está el 50 % (central) de las tallas de los recién nacidos.

3.-Determinar en cuál de las dos comunidades es mayor la proporción de recién nacidos con talla superior a 50 cm.

4.- En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos.

5.-En un país en el que la estatura de sus habitantes sigue una distribución normal de media 1,75 m, los individuos que miden más de 1,90 representan el 6,68 % del total. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es la proporción de individuos con estatura superior a 1,60 m?

6.-El peso de los huevos de gallina producidos por cierta granja sigue una distribución normal de media 65 g y desviación típica 6 g. Los huevos se clasifican (según peso) en tres categorías: P (pequeños), M (medianos) y G (grandes). Si los pequeños suponen el 10 % del total y los grandes otro 10 %, ¿cuáles son los pesos que marcan los límites de cada categoría?

8.-En las empresas multinacionales A y B, que tiene 50000 y 60000 empleados, respectivamente, el sueldo mensual de dichos empleados se ajusta a una distribución normal, con media de 1800 euros y desviación típica de 650 euros, en el caso de A; y con una media de 2000 euros y desviación típica de 500 euros, en el caso B. ¿Cuál de las dos empresas tiene más empleados con sueldo superior a 3000 euros?

9.-En las empresas multinacionales A y B, que tiene 50000 y 60000 empleados, respectivamente, el sueldo mensual de dichos empleados se ajusta a una distribución normal, con media de 1800 euros y desviación típica de 650 euros, en el caso de A; y con una media de 2000 euros y desviación típica de 500 euros, en el caso B. ¿Cuál de las dos empresas tiene más empleados con sueldo superior a 3000 euros?

10.-En una ciudad en la que la edad de sus habitantes se ajusta a una distribución normal de media 35 años, ¿qué grupo es más numerosos: el de los mayores de 65 años o el de los menores de 18 años? Justifica la respuesta.

11.-La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de 40 años. Se sabe además que el 2,28 % de los habitantes tiene más de 60 años. ¿Cuál es la

desviación típica?

12.-¿Cuál es el porcentaje de habitantes con menso de 35 años?

13.-El coeficiente de inteligencia de un grupo de 500 alumnos es una variable aleatoria que se distribuye como una normal de media 100 y desviación típica 16. Determina el número esperado de alumnos que tienen un coeficiente entre 118 y 122.

14.-Un estudio de un fabricante de televisores indica que la duración media de un televisor es de 10 años, con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la duración de los televisores sigue una distribución normal.a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 años.b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 años.

15.-Un estudio de un fabricante de televisores indica que la duración media de un televisor es de 10 años, con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la duración de los televisores sigue una distribución normal. Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 años.

16.- Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 años.

17.- En cierta prueba, el 35 por ciento de la población examinada obtuvo una nota superior a 6, el 25 por ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, calcula la nota media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje de población tiene una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades.

18.-En un examen, al que se presentaron 2000 estudiantes, las puntuaciones se distribuyeron normalmente, con media 72 y desviación típica 9. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una

puntuación entre 60 y 80?

19.- Si el 10 % superior de los alumnos recibió la calificación de sobresaliente, ¿que puntuación mínima había que tener para recibir tal calificación?

20.-Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción.