Bloque 1 Conceptos fundamentales de

los circuitos eléctricos

Teoría de Circuitos

1.1. Magnitudes básicas. Criterio de signos. Lemas de Kirchhoff

Introducción

Electromagnetismo: Estudia los campos eléctricos y magnéticos y su interacción

Teoría de circuitos: Estudia las relaciones entre corrientes y tensiones de un circuito

Basadas en las mismas observaciones experimentales

Circuito eléctrico

Conjunto de elementos combinados de modo que se pueda producir una corriente eléctrica

Elementos activos: suministran energía eléctrica Elementos pasivos: consumen energía eléctrica

CIRCUITO ELÉCTRICOExcitación

(constante/variable)Respuesta

Magnitudes básicas

Carga eléctrica Corriente eléctrica Tensión o diferencia de potencial Potencia eléctrica

Carga eléctrica Es la base para describir los fenómenos eléctricos Propiedad de la materia presente en todos los cuerpos Es de naturaleza bipolar (+ ó -) El trasvase de carga entre unos cuerpos y otros es el origen de

cualquier fenómeno eléctrico. Unidad SI: [C] qe=-1,6. 10-19C El signo de las cargas es arbitrario, pero de él depende la

interacción entre ellas.

+ +

- - - +

+ -

Corriente eléctrica

Se produce por el desplazamiento de las cargas en un material

Unidad SI [A]

iVariación de carga por unidad de tiempo en la sección transversal de un conductordt

dq=

Corriente eléctrica

CONVENIO DE SIGNO

Se considera que la corriente eléctrica es un movimiento de cargas positivas

Es equivalente suponer un desplazamiento de electrones en un sentido

+ ++

Que suponer un desplazamiento de una cantidad de carga + equivalente en sentido opuesto

--

-

La conducción se debe a un desplazamiento de electrones

Tensión o diferencia de potencial

Trabajo que se debe suministrar para mover una carga entre dos puntos de un circuito

dqdwu =

][][]

CJV =

A

B

uA= potencial eléctrico en A

uB= potencial eléctrico en B

uAB= uA- uB = difencia de potencial entre A y B

uAB>0 A está a mayor potencial que B (al pasar de A a B las cargas pierden energía)

uAB<0 A está a menor potencial que B (al pasar de A a B las cargas ganan energía)

[Unidad SI:

Tensión o diferencia de potencial

SIMIL GRAVITATORIOEp=mgh

m ..... A Al pasar de A a B la masa pierde energía potencial

Al pasar de B a A la masa gana energía potencial

..... B

Tensión o diferencia de potencial

NOTACIÓN

Punto de mayor potencial se denota +

Punto de menor potencial se denota -

A

B

+

-

A

B

o bien

uAB>0 uAB>0

Potencia eléctrica Trabajo realizado por unidad de tiempo

Unidades SI: [W]=[J]/[s]

)()()()( titudtdqtu

dtdwtp ===

dqdwu =

Potencia eléctrica

CONVENIO DE SIGNO

Dipolo absorbe potencia p>0 (ej. resistencia)

Dipolo cede potencia p<0 (ej. generador)

+

-

A

B

dipolo

COHERENCIA DE LOS CRITERIOS DE SIGNOS DE U, I Y P (p=ui)

+

-

A

B

dipolo i>0uAB>0, i>0 =>p>0

Las cargas pierden energía el dipolo la

consume

+

-

A

B

dipoloi>0

uBA<0

I>0

p<0

Resumen convenio de signos Corriente:

i>0 en el sentido del movimiento de las cargas + Tensión:

uAB >0 A a mayor potencial que B uAB <0 A a menor potencial que B

Potencia p>0 dipolo absorbe potencia p<0 dipolo cede potencia

A

B

i>0

uAB>0A

B

i<0

uAB>0

Lemas de Kirchhoff

Definiciones topológicas

Rama: Elemento que presenta dos terminales

Nudo: Punto de confluencia de varias ramas

Malla: Conjunto de ramas que forman un camino cerrado y que no contienen ninguna otra línea cerrada en su interior.

1er lema de KirchhoffLa suma algebraica de las corrientes entrantes a un nudo

es nula en todo instante

Σ i(t) = 0(Ley de conservación de la carga)

Ejemploi1 054321 =−+−+ iiiiii2

i3 Se consideran las corrientes entrantes + y las corrientes salientes -

i5 i4

2º lema de KirchhoffLa suma algebraica de las tensiones a lo largo de

cualquier línea cerrada en un circuito es nula en todo instante.

Σ u(t) = 0(Ley de conservación de la energía)

Ejemplo

054321 =−+−− uuuuuu1

u2u4

u5q

+

++

+

+ --

-

-- Se consideran las

caídas de tensión + y las elevaciones -

u3

1.2. Elementos pasivos 1. Resistencia

Elementos pasivosConsumen o almacenan energía eléctrica

R Resistencias: disipan energía en forma de calor

Bobinas: almacenan y liberan energía en forma de campo magnético

Condensadores: almacenan y liberan energía en forma de campo eléctrico

L

C

Elementos pasivos

En general consideraremos: Elementos ideales Parámetros concentrados (=el efecto que se produce al

conectar una fuente se propaga instantáneamente) Conectados por conductores que no absorben potencia

(R=0, L=0, C=0)

Resistencia Elemento del circuito en el que se disipa potencia en

forma de calor

En general consideraremos resistencias ideales

Resistencia real Resistencia idealR L R

se desprecia el efecto inductivo

efecto resistivo + efecto inductivo

ResistividadMaterial Resistividad a 23°C

en ohmios - metro

Plata 1.59 × 10-8

Cobre 1.72 × 10-8

Oro 2.20 × 10-8

Aluminio 2.65 × 10-8

Tungsteno 5.6 × 10-8

Hierro 9.71 × 10-8

Acero 7.2 × 10-7

Platino 1.1 × 10-7

Plomo 2.2 × 10-7

Nicromio 1.50 × 10-6

Carbón 3.5 × 10-5

Germanio 4.6 × 10-1

Silicio 6.40 × 102

Piel humana

5.0 × 105 aproximadamente

Vidrio 1010 to 1014

Hule 1013 aproximadamente

Sulfuro 1015

La resistencia que opone un conductor al paso de corriente depende de su conductividad y de su geometría

ρ= resistividad

L=longitud del conductor

S= sección del conductorSl

SlR ρσ

==

σρ 1= σ= conductividad

Fuente: Wikipedia

Resistencia

La resistencia depende de la temperatura

( )[ ]1212 1 θθα −+= RR α= coeficiente de variación de resistencia con la temperatura

Resistencia desde el punto de vista del circuito

R

+ -u

i En la resistencia se produce una caída de tensión. Las cargas pierden energía que se disipa en forma de calor

Riu = Ley de Ohm

Característica u/i de una resistenciai

u RG 1=

conductancia

][][][

AV

=ΩUnidades en el SI: ][]1[][Ω

=S

Potencia y energía

Potencia disipada

R

+ -u

i0)()()(2

2 ≥=⋅=⋅=RuiRtitutp

En una R la potencia se disipa en forma de calor

Energía disipada

0)()()(00

22 ≥== ∫∫

t

t

t

t

dR

udRitw ττττ

Asociación de resistencias en serie

Se dice que dos o más elementos están en serie si por ellos circula la misma intensidad

i

uu+

--. . . .

R1 R2 RN+ -

Req+-+ i-+ uNu1 u2 i

eqnnn iRRRRiiRiRiRuuuu =+++=+++=+++= )...(...... 212121

neq RRRR +++= ...21

Divisor de tensión La tensión que cae en cada resistencia es una

porción de la tensión total

iR1 R2 RN

. . . .u1 u2 uN

u

uRR

RRRuRiRu

eq

k

Nkkk =

+++==

...21

Asociación de resistencias en paralelo

Se dice que dos o más elementos están en paralelo si están sometidos a la misma tensión

u+

-

uR

uRRR

iiiieqn

N

=

+⋅⋅⋅⋅++=+++=

1111...21

21

R1 RNR2 . . . u

i1 +i

i2 iN

neq RRRR1..111

21

++=

Neq GGGG +++= ...21uGi eq=o bien

-

Req

i+

u

-

Divisor de corriente Un divisor de corriente es una asociación de

resistencias en paralelo. La corriente que atraviesa cada resistencia es una porción de la corriente total

iGGi

R

Rieq

k

eq

kk ==

1

111

uGi =

iGGG

Gin+++

=....21

11

nGGGiu

+++=

....21

Caso particular de dos resistencias en paraleloi2

iRR

Ri21

12 +=i

RRRi

21

21 +=

R1

R2i

i1

Equivalencia estrella triángulo Para que las dos configuraciones sean equivalentes, deben

proporcionar la misma respuesta ante la misma excitación= debe presentar la misma resistencia vista desde cada par de terminales

R1Y

R 2Y

R3Y

3

1

2

R 3∆

R1∆

R2∆

3

1

2

Resistencia entre cada par de terminales

Resistencia entre 1 y 2:

( ) 3 1 21 2 3 1 2

1 2 3

( )Y Y

R R RR R R R RR R R

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

++ = + =

+ +R1Y

R 2Y

R3Y

23

1

=R1Y

R2Y

2

1

( ) 1 2 32 3 1 2 3

1 2 3

( )Y Y

R R RR R R R RR R R

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

++ = + =

+ +

Resistencia entre 2 y 3:

(2)

(1)

1

R 3∆

R1∆

R2∆ =

1

23

( ) 2 3 13 1 2 1 3

1 2 3

( )Y Y

R R RR R R R RR R R

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

++ = + =

+ +

Resistencia entre 3 y 1:

(3)2

R3∆

R1∆

R2∆

3

Transformación triángulo estrella

Conocemos R1∆, R2∆ y R3∆ del una configuración en triángulo y queremos calcular R1Y, R2Y y R3Y de la estrella equivalente

(1)+(3)-(2)

3 1 2 2 3 1 3 21

1 2 3 1 2 3

( ) ( ) ( ) 22 A B CY

R R R R R R R R R R RRR R R R R R

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

+ + + − += =

+ + + +

3 12

1 2 3Y

R RRR R R

∆ ∆

∆ ∆ ∆

=+ +

3 21

1 2 3Y

R RRR R R

∆ ∆

∆ ∆ ∆

=+ +

1 23

1 2 3Y

R RRR R R

∆ ∆

∆ ∆ ∆

=+ +(4) (5) (6)

Transformación estrella triángulo

Conocemos R1Y, R2Y y R3Y del una configuración en estrella y queremos calcular R1∆, R2∆ y R3∆ del triángulo equivalente

Dividiendo 2 a 2 las relaciones anteriores (4), (5), (6)

2 1

1 2

Y

Y

R RR R

∆

∆

= 3 1

1 3

Y

Y

R RR R

∆

∆

= 3 2

2 3

Y

Y

R RR R

∆

∆

=Sustituyendo en (6) y operando se llega a

1 2 2 3 3 11

1

Y Y Y Y Y Y

Y

R R R R R RRR∆

+ += 1 2 2 3 3 1

22

Y Y Y Y Y Y

Y

R R R R R RRR∆

+ +=

1 2 2 3 3 13

3

Y Y Y Y Y Y

Y

R R R R R RRR∆

+ +=

Resumen

1 2 3

Re _ _iY

sistencias conectadas nudoiR

R R R∆ ∆ ∆

∆=

+ +∏

∑

Pr _ _i

iY

oductos binarios resistenciasYR

R∆ =∑

1.3. Elementos pasivos 2. Condensadores y bobinas

CondensadoresUn condensador es un elemento pasivo capaz de

almacenar energía eléctrica

q

- - - - - - - -+ + + + + + + + u

+

i-

Dos placas metálicas separadas una distancia d y con un dieléctrico entre ellas que impide un flujo de carga

Al aplicar una ddp entre ambas placas aparece un trasvase de carga entre ellas

Se establece un campo eléctrico en el que se almacena la energía suministrada por la fuente

- qE

-

Capacidad La carga desplazada es proporcional a la tensión

aplicada

C = Capacidad SI: [F]=Faradios Cuq = C

La capacidad de un condensador depende de su geometría

dAC rεε0=

mpF85,80 =εdonde

Condensadores

R

C

Los condensadores reales suelen presentar pérdidas

Consideraremos condensadores ideales

C

Relación u/i

Cuq =dtduC

dtdq

==>

)(ti=>

dtduCti =)(

Ci+ -

u

Si u=cte i=0 => En corriente continua un condensador se comporta como un circuito abierto

dttiC

dtdtdu t

t

t

t∫∫ =00

)(1 dttiC

tutut

t∫=−0

)(1)()( 0=>

La tensión en un condensador no puede variar bruscamente

Potencia y energía

dtduuCtitutp == )()()( La potencia puede ser > ó < que 0 =>

el condensador absorbe o cede potencia

Energía almacenada entre 0 y t

021)(

0

2

0

≥=== ∫∫tt

CudtdtduCudttpW (Suponiendo que u(0)=0)

La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. Si el condensador cede potencia lo hace a expensas de la energía previamente almacenada => Es un elemento pasivo

Asociación de capacidades en paralelo

. . . u

i1 i2 ini

C1 C2 Cn

+

-

niiii +++= ....21

dtduCi kk =

( )dtduC

dtduCCC

dtduC

dtduC

dtduCi eqnn =+++=+++= ....... 2121

neq CCCC +++= ....21

Asociación de capacidades en serie

u1 u2 un

C1 C2 Cn

u

i+ + +- - - -+ nuuuu +++= ....21

iCdt

du

k

k 1=

iCiCCC

iC

iC

iCdt

dudt

dudtdu

dtdu

eqn

n

n

=

+++=

=+++=+++=

1...11

1...11....

21

21

21

neq CCCC1....111

21

+++=

BobinasUna bobina es un dispositivo capaz de almacenar

energía magnética

Φ

i

Al circular corriente por la bobina aparece un flujo magnético

Φ depende de la corriente

LiN =Φ

L=Coeficiente de autoinducción de la bobina (o inductancia propia)

SI:[H]=Henriosfe

fe

lSNNLµ22

==R

Relación u/i Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo => Φ es variable => Se induce una f.e.m. que se opone al flujo (Faraday Lenz)

dtdiL

dtdNeu =Φ

=−=

dtdiL

dtdN =Φ

i+

-

u

Si i=cte u=0 => En corriente continua una bobina se comporta como un cortocircuito

dttuL

dtdtdi t

t

t

t∫∫ =00

)(1dttu

Ltiti

t

t∫=−0

)(1)()( 0=>La corriente en una bobina no puede variar bruscamente

BobinasUna bobina es un dispositivo capaz de almacenar

energía magnética

Φ

i

Al circular corriente por la bobina aparece un flujo magnético

Φ depende de la corriente

LiN =Φ

L=Coeficiente de autoinducción de la bobina (o inductancia propia)

SI:[H]=Henriosfe

fe

lSNNLµ22

==R

Relación u/i Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo => Φ es variable => Se induce una f.e.m. que se opone al flujo (Faraday Lenz)

dtdiL

dtdNeu =Φ

=−=

dtdiL

dtdN =Φ

Si i=cte u=0 => En corriente continua una bobina se comporta como un cortocircuito

i+

-

u

dttuL

dtdtdi t

t

t

t∫∫ =00

)(1dttu

Ltiti

t

t∫=−0

)(1)()( 0=>La corriente en una bobina no puede variar bruscamente

Potencia y energía

dtdiLititutp == )()()( La potencia puede ser > ó < que 0 =>

la bobina absorbe o cede potencia

Energía almacenada entre 0 y t

021)(

0

2

0

≥=== ∫∫tt

LidtdiLidttpW (Suponiendo que i(0)=0)

La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. Si la bobina cede potencia lo hace a expensas de la energía previamente almacenada => Es un elemento pasivo

Asociación de bobinas en serie y en paralelo

∑=

=+++=N

kkNeq LLLLL

121 ......

u1 u2 uN

u

. . . .i

Neq LLLL1...111

21

+++=u

i1 ii2 iN

Bobinas acopladas Un par de bobinas están acopladas entre sí, cuando las tensiones en cada una de ellas dependen no sólo de la corriente que circula por cada bobina sino también de las corrientes que circulan por las demás bobinas acopladas a ellas.

dtdiM

dtdiLu 21

11 +=

dtdiM

dtdiLu 12

22 +=

M=coeficiente de inducción mutua (inductancia mutua) SI: [H] =Henrios

Terminales correspondientes Se dice que dos terminales de dos bobinas son

correspondientes entre sí si una corriente que entre por uno de los terminales en la bobina 1 induce en la bobina 2 una tensión del mismo sentido que la que induciría una corriente que entrase por el terminal correspondiente de dicha bobina 2.

dttdiM

dttdiLtu )()()( 21

11 +=

dttdiL

dttdiMtu )()()( 2

21

2 +=

Ejemplo: 3 bobinas acopladas

dttdiM

dttdiM

dttdiLtu )()()()( 3

132

121

11 ++=

dttdiL

dttdiM

dttdiMtu )()()()( 3

32

231

133 +−=

dttdiM

dttdiL

dttdiMtu )()()()( 3

232

21

122 +−−=

Potencia y energía

1 2 1 21 1 2 2 1 1 12 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) di t di t di t di tp t u i u i L i M i i L idt dt dt dt

= + = + + +

021

21)( 2

222112211 ≥++= iLiiMiLtw

Resumen elementos pasivos Resistencia

)()( tGuti =)()( tRitu =

Bobina

dttdiLtu )()( = dttu

Ltii

t

t∫+=0

)(1)( 0

Condensador

dttduCti )()( =∫+=

t

t

dttiC

tutu0

)(1)()( 0

1.4. Elementos activos

Elementos activos Son los encargados de suministrar energía eléctrica

al circuito (fuentes o generadores)

Fuentes de tensión

Fuentes de corriente

Ideales

Reales

Independientes

Dependientes

Independientes

Dependientes

Ideales

Reales

Independientes

Dependientes

Independientes

Dependientes

Fuentes de tensión ideales Dispositivo que proporciona energía eléctrica con una

determinada tensión que es independiente de la corriente que pasa por él

+ug

i

El signo + se pone en el punto a mayor potencial

Si se conecta una carga al generador de tensión ideal, éste suministrará corriente al circuito.

+ug

i

o bien

i

Característica u/i del dispositivo uug

Potencia entregada por una fuente de tensión ideal

La potencia eléctrica suministrada por el generador de tensión será

GuRu

iup gg

gg2

2

===+

ug

iR

La potencia entregada a una R=0

(cortocircuito) es infinita !!

P

R

Fuente de corriente ideal Dispositivo que proporciona energía con una

determinada corriente que es independiente de la tensión en bornes

La flecha indica el sentido de circulación de la corriente

La tensión en bornes de la fuente depende de la carga conectada a ella (no tiene por qué ser 0!!!)

uig

+

-

iig

Característica u/iu

Potencia entregada por una fuente de corriente ideal

La potencia eléctrica suministrada por el generador de corriente será

G

P

R->0R->inf

ig Ru+

- Gi

Riuip gggg

22 ===

Asociación de fuentes ideales en serie

Fuentes de tensión ideales en serie La corriente que circula por un conjunto de elementos en

serie es igual en todos ellos. Por tanto no es posible conectar en serie fuentes de

corriente de distintos valores en serie

+

u1

+

u2+

un

. . . +

ueq

Neq uuuu ++−= ...21 ∑=

=N

kkeq uu

1

Asociación de fuentes ideales en paralelo

Fuentes ideales corrientes paralelo La tensión en un conjunto de elementos en paralelo es igual

en todos ellos. Por tanto no es posible conectar en paralelo fuentes de

tensión de distintos valores

i1 i2 in. . .

Neq iiii ++−= ...21 ∑=

=N

kkeq ii

1

ieq

Fuente de tensión ideal en paralelo con un elemento

En lo que respecta a cálculos en el resto de la redla presencia de un elemento en paralelo a la fuente puede omitirse.

Si se solicitan los valores internos i1 e i2 hay que volver al circuito inicial.

+

ug

i1

i

i2

A

B

+

ug

iA

B

++

--

R

Fuente de corriente ideal en serie con un elemento

En lo que respecta a cálculos en el resto de la redla presencia de un elemento en serie con la fuente puede omitirse.

Si se solicitan los valores de u1 y u2 hay que volver al circuito inicial.

+

ig u1

A

B

u

u2

+

-

-

+ -

R

+

ig

A

B

u

+

-

Fuentes dependientes La magnitud de la fuente dependiente está ligada a otra

magnitud de un elemento determinado del circuito Cuatro tipos de fuentes

circuitocircuito+ug=αu circuitocircuito

+ug=µi ig=αu ig=µi

iu i u+ - + -

F. TENSIÓN controlada por CORRIENTE

F. TENSIÓN controlada por TENSIÓN

F. CORRIENTE controlada por CORRIENTE

F. CORRIENTE controlada por TENSIÓN

Fuente de tensión real Elemento de un circuito que proporciona energía

eléctrica con una determinada tensión u(t) que depende de la corriente que pasa por él

iReu gg −=

+

+ug

iRg

uR

-

Se representa mediante una resistencia interna Rg de la fuente

Cuanto mayor sea la corriente que atraviesa la fuente mayor será su caída de tensión interna

Fuente de tensión real Curva u/i

eg

Circuito abierto (i=0)Cortocircuito (u=0)

u

ieg/Rg

Potencia entregada por una fuente de tensión

Al conectar R se genera una corriente

RRe

ig

g

+= RR

eRRiu

g

g

+⋅==

( )

2

2g

g g

g

ep R

R R= ⋅

+

+ug

iRg

uR

+

-

g g

p Rp p R R

η = =+ +

Rendimiento de la fuente

( )22

RRe

Ruipg

g

+⋅==

Parte de la potencia entregada por la

fuente se consume en su resistencia interna

∞→→

R1η

Transferencia de máxima potencia

La transferencia de potencia depende tanto de Rg como de R

La máxima transferencia se obtiene cuando

En este caso el rendimiento es del 50%

R

P Pmax

Rg

Re

PRgRdRdp g

40

2

max =⇒=⇒=

%50=+

=gRR

Rη

Fuente de corriente real Elemento que proporciona energía eléctrica con

una determinada i(t) que depende de la tensión en bornes

igRg

u R

+ Curva u/ii

u

iig

ig/Gg

Circuito abierto (i=0)

Cortocircuito (u=0)

-

gg Ruii /−=

Potencia entregada por una fuente de corriente real

Al conectar una carga (resistencia R) , se genera una corriente

( )22

GGi

Guipg

g

+⋅==

uGiRuii gg

gg −=−=

g

g

Gii

u−

=

igRg

u

i +

-

g

gg G

iPGG

dRdp

40

2

max =⇒=⇒=

Potencia máximaP

Pmax

RGg

Fuentes reales equivalentes Dos fuentes reales son equivalentes (de cara al resto de la red) si

para cualquier tensión aplicada suministran la misma corriente

ig

Riu

i

R

+

+ug

i

Ru

uR

+

--

ig Ruii /−= iRuu ug −=

u

gg R

ui = iu RR =y