BLOQUE 3Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAIdentifca e interpreta sucesiones y series aritmticas.Reconoce trminos de sucesiones aritmticas.Ordena informacin de acuerdo con relaciones en series y sucesiones aritmticas.Reconoce la forma algebraica del trmino n-simo de sucesiones aritmticas particulares.Identifca grfcamente el tipo de relacin variacional en la frmula del n-simo trmino de sucesiones aritmticas particulares.Identifca e interpreta sucesiones y series geomtricas.Reconoce trminos de sucesiones geomtricas.Ordena informacin de acuerdo con relaciones en series y sucesiones geomtricas.Reconoce la forma algebraica del trmino n-simo de sucesiones geomtricas particulares.Identifca grfcamente el tipo de relacin variacional en la frmula del n-simo trmino de sucesiones geomtricas particulares.Sumas y sucesiones de nmerosBLOQUE 3Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos aritmticos, algebraicos y grfcos aplicando las propiedades de los nmeros reales y expresiones aritmticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas aritmticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.Identifca las caractersticas presentes en tablas, grfcas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmtico y/o algebraico.Identifca si los trminos de una sucesin mantienen una diferencia o una razn constantes.Aplica la frmula del trmino general, para obtener la expresin del n-simo trmino de una sucesin aritmtica o geomtrica particular.Utiliza la frmula de la sucesin particular para obtener elementos desconocidos de una sucesin aritmtica o geomtrica.Elabora grfcas de sucesiones aritmticas y geomtricas y describe con ellas el comportamiento de cada tipo de relacin.Utiliza las frmulas de las sucesiones aritmticas o geomtricas para modelar y solucionar situaciones diversas.Aplica las frmulas correspondientes para hallar el modelo del n-simo trmino que caracteriza a una sucesin, aritmtica o geomtrica, particular.Escribe trminos de sucesiones aritmticas y geomtricas.Aplica las frmulas correspondientes para hallar el valor de una serie aritmtica y geomtrica fnita o infnita convergente.Obtiene trminos de sucesiones aritmticas o geomtricas utilizando la diferencia o razn comn, o aplicando las frmulas.Construye grfcas para establecer el comportamiento de sucesiones, aritmticas y geomtricas, particulares.Determina regularidades y patrones de las sucesiones y series aritmticas o geomtricas.Disea y aplica modelos sencillos de series y sucesiones.Organiza ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica con relacin a series y sucesiones.Aprecia la utilidad de expresar matemticamente regularidades y patrones.Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refexiva.Promueve el dilogo como mecanismo para la solucin de confictos.110B3 B3 INTRODUCCINEvaluacin diagnsticaActividad introductoriaEnestebloqueanalizaremoslascaractersticasyelconceptodesucesin, quenospermitemodelarmuchosfenmenososituacionesqueocurrenen distintos contextos, tanto en la escuela como en nuestra vida cotidiana.1. La siguiente tabla muestra el costo por docena de naranjas:Docena 1 2 3 4 5Costo 14.5 43.5 58

a) Cunto cuestan 2 docenas de naranjas?, y 5?2.Ana se propone ahorrara lo largo de la semana; si empieza el lunes con $10 y ahorra cada da un peso ms que el da anterior:a)Cunto debe ahorrar el mircoles?b)Cunto habr ahorrado para el siguiente domingo?3.Encuentra el nmero faltante en cada una de las siguientes series: a)1, 3, 5, ___, 9, ____, ____, 15, 17 b)-5, -1, 3, ____, 11, 15, ____,23, 27 c)-4, 0, 4, ___, 12, 16, ___20 d)20, 10, ____, 2.5, ____, 1.25, ______Lee detenidamente las siguientes situaciones y realiza lo que se te indica.1.Adelaseproponeahorrardurantetodounaoparacomprarlesregalosde Navidadasusfamiliaresyamigos.Empiezaenenerocon$100yplaneaahorrar mensualmente una cantidad igual a lo ahorrado el mes anterior ms $50. Completa la tabla siguiente y responde lo que se te pide.Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic100 B3 111B3 Sumas y sucesiones de nmeros a) Cunto debe ahorrar en junio? ________________ Y en septiembre? ______ b) Cunto habr ahorrado al fn del ao? _________________________________ c) Si decide comprarse una laptop que cuesta $8000le faltaro le sobrar? ___ d) Cmo expresaras la regla para saber lo que debe ahorrar cualquier mes? ____2. Estebantambindecideahorrar,peroendlaresydelasiguientemanera: en enero 1 dlar y a partir de febrero ahorra el doble del mes anterior. Completa la tabla y responde lo que se te pide.Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic1 a) Cunto debe ahorrar en mayo? _______________Y en agosto? ___________ b) Cunto habr ahorrado al fn del ao? _________________________________c)Sidecidecomprarseunalaptopquecuesta$1000dlares,lefaltarole sobrar? __________________________________________________________ d) Cmo expresaras la regla para saber lo que debe ahorrar cualquier mes? ____Las actividades que acabas de realizar estn relacionadas con el concepto de sucesin.Unasucesinesunconjuntoordenadodenmerosquese deducen unos de otros mediante una regla defnida.Los nmeros de la sucesin reciben el nombre de trminos de la sucesin.Denotaremos a una sucesin defnida por la regla an como el conjunto: S a a a a a a an n n={ }+ + 1 2 3 4 1 2, , , , ... , , , ...donde an representa el ensimo trmino de la sucesin.En los siguientes incisos se representan las reglas que defnen a una sucesin.a) an= 3(n-1)+2 b) an nn=+ ( ) 12 SUCESIONES Y SERIES112B3 B3 c)annnn=+( ) 11 ,d) an n=23 ,e)a a a a a nn n n + = + = = >2 2 1 1 21 1 2 , , ,EjemplosHallar los primeros 8 trminos de cada una de las reglas indicadas anteriormente.a) Para a nn= + 3 1 2 ( ) tenemos al sustituir los valores de n en la regla: a1=3(1-1)+2=3(0)+2=2a2=3(2-1)+2=3(1)+2=5a3=3(3-1)+2=3(2)+2=8 a4=3(4-1)+2=3(3)+2=11 a5=3(5-1)+2=3(4)+2=14a6=3(6-1)+2=3(5)+2=17a7=3(7-1)+2=3(6)+2=20a8=3(8-1)+2=3(7)+2=23Por lo tanto: s ={ } 2 5 8 1114 17 20 23 , , , , , , ,b) Para an nn=+ ( ) 12tenemos al sustituir los valores de n en la regla:aaa12311 121222212 2 122 326233 3 123 42=+= = ==+= = ==+=( ) ( )( ) ( )( ) ( )== ==+= = ==+= = ==12264 4 124 52202105 5 125 62302156456aaa( ) ( )( ) ( )(66 126 72422217 7 127 182562288 8 128 978+= = ==+= = ==+=) ( )( ) ( )( ) ( )aa2272236 = =Por lo tanto:s ={ } 13 6 10 15 2128 36 , , , , , , ,B3 113B3 Sumas y sucesiones de nmerosc) Paraannnn= -+( ) 11 tenemos al sustituir los valores de n en la regla: aaa112233111 11 1212122 11 2323133 1=+= ==+= ==+=( ) ( )( ) ( )( ) ( ==+= ==+= ==1 3434144 11 4545155 11 565644556)( ) ( )( ) ( )(aaa += ==+= ==+=166 11 6767177 11 7878188 11 867788) ( )( ) ( )( ) ( )aa9989=Por lo tanto:s = 1223344556677889, , , , , , ,d)Paraan n=23tenemos al sustituir los valores de n en la regla: aaaaaa1 12 23 34 45 56 62323232923227232812322432327= == == == == == =229232218723265617 78 8aa= == =Por lo tanto:s =2329227281224327292218726561, , , , , , ,114B3 B3 e)Para a a a a a nn n n= + = = >- - 2 1 1 21 2,, tenemos al sustituir los valores de n en la regla:a a aa a aa a aa a aa3 1 24 2 35 3 46 4 571 1 21 2 32 3 53 5 8= + =+== + =+ == + = + == + = + === + = + == + = + =a aa a a5 68 6 75 8 138 13 21Por lo tanto:s ={ } 112 3 5 8 13 21 , , , , , , ,El inciso d) representa un ejemplo de una sucesin alternante, mientras que el inciso e) representa a una sucesin recurrente o recursiva.Uno de los procesos ms importantes es determinar la regla que defne una sucesin a partir de los primeros trminos; por ejemplo, determina la regla que determina cada una de las siguientes sucesiones:a) s ={ } 13 5 7 9 , , , , , .. .b)s =121419116132, , , , , ...c) s = { } 1 2 3 4 5 6 , , , , , , .. .d) s ={} 7 3 17 5 27 7 37 9 , , , , .. .Solucina)observa que los trminos de la sucesin son nmeros impares, es decir: a nn = - 2 1b)observaqueelnumeradordecadatrmino es 1 y que el denominador es una potencia de 2, es decir:an n=12c)observaquelasucesinesalternanteyaparecelasucesindelosnmeros naturales, es decir:a nnn=+( ) 11 d)observa que los coefcientes de los radicales de los trminos de las sucesiones son de la forma 10n-3, mientras que los radicandos son de la forma 2n+1; por lo tanto, el ensimo trmino es de la forma:a n nn= + ( ) 10 3 2 1Veamos ahora algunas situaciones donde aparecen sucesiones.EjemploImagina que eres testigo de un accidente y que durante la primera hora se lo cuentas a slo tres personas, a su vez cada una de ellas se lo cuenta a tres personas en una hora.a) Encuentra la regla que defne la sucesin.B3 115B3 Sumas y sucesiones de nmerosb) Cuntas personas se enterarn al fnalizar la quinta hora?c) Cuntas personas, aparte de ti, saben del accidente despus de cinco horas?SolucinAl fnalizar la primera hora, lo sabrn tres personas aparte de ti. Como cada una de ellas lo contar a tres personas al fnal de la segunda hora habr 3x3 personas enteradas y as sucesivamente; por lo tanto, la regla es:ann=3 y los primeros 5 trminos de la sucesin son S ={ } 3 9 27 81243 , , , , , ... Es decir, al fnal de la quinta hora se enterarn 243 personas, y en total habr:3 9 27 81 243 363 + + + + = personasSeriesUn concepto relacionado con las sucesiones es el de serie.Una serie es la suma de los elementos de una sucesin.Es decir, si:S a a a a a a an n n={ }+ + 1 2 3 4 1 2, , , , ... , , , ... entonces S =a ,S =a +a , S =a +a +a ,..., S =a +a +...a1 1 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 nPara abreviar una serie se utiliza la notacin:S an nin==1 I. Escribe los primeros diez trminos de cada una de las siguientes sucesiones.1.a nn = - 10 3 5.a nnn= - ( ) 122. a nn = - 2 56. ann nn= -+ +( ) 1 231 13.annn =-+117.an n= 1311104. annn= 11 8.a nnn= 1 1 ( )Actividad 116B3 B3 9.a a a nn n 1 14 3 2 = = , ,- 11.a a a a a nn n n 1 2 1 21 3 3 = = = + , , ,- - 10. a a a nn n131221= = , ,12. a a a a a nn n n 1 2 1 21 3 3 = = = + , , ,- - II.Halla una expresin para el trmino general an y halla los siguientes dos trminos.13. S = {1, 5, 9, 13, 17,}19. S = {2, 3, 5, 7, 11, 13}14. S = {34, 24, 14, 4, -6,}20. S = {3, 5, 9, 17, 33,}15. S = {2, 12, 21, 29, 36,}21. S = {1, -2, 3, -4, 5,}16. S = {3, 5, 8, 12, 17,}22.S =1223344556, , , , , ...17. S = {1, 3, 4, 7, 11,}23.S =25310417526637, , , , , ...18. S = {1, 2, 6, 24, 120,}24. S = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 8, 5, 16, 6, 32}III. Calcula:1. ( ) 3 215ji=4.( ) 3 216i i2. ( ) 30 737=ji5.( ) 1116+=ii3.( ) 217iii =6. iiiii+ =1138IV. Escribe cada serie usando la notacin de sumatoria.1.3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 333. 52 + 54 + 58 + 516 + 532 + 5642.24 + 17 + 10 + 3 4 -11 84. 12 + 34 + 58 + 716 + 932 + 1164V.Expresalarespuestaacadaunodelossiguientesejercicioscomounasucesino una serie.1.Rubncomprunautomvilen$125,000ysedeprecia12%alao.Expresala variacin del valor del automvil en un periodo de seis aos. 2. La poblacindeunaciudaden 2005eradecincomillonesy crece aun ritmo de 15% cada ao. Expresa la variacin de poblacin hasta 1912. 3.Cul sera el nmero total de personas contagiadas de una enfermedad al cabo de seis horas si inicialmente una persona padece la enfermedad y cada una que la contrae infecta a otras cinco en un periodo de 1 hora? 4. Roxanaadquiriun programa de ejercicios para bajar de peso el cual recomienda hacersentadillasencadasesin:Empiececoncincosentadillasdurantela primera semana y luego aumente tres por sesin cada semana.a)Cuntassentadillasporsesinpodrahacerduranteladcimasemanade ejercicios?b)SiRoxanacontinaduranteunaoejercitndosecuatrovecesporsemana, cuntas sentadillas realizar en ese periodo?B3 117B3 Sumas y sucesiones de nmeros5.DiceunacancindeBarney:ElprimerdadeNavidadmiamadameobsequi ungorrioncillovolador,elsegundodadeNavidadmiamadameobsequidos tortolitas y un gorrioncillo volador, el tercer da de Navidad, mi amada me obsequi tres aves canoras, dos tortolitas y un gorrioncillo voladora)Cuntos regalos le obsequi el doceavo da de Navidad?b)Cuntos regalos recibi durante el periodo de 12 das?6.Edsoninvirti$20,000enunacuentadeahorroquepagaunatasaefectivade 8.25%deinterscompuestoanualmente.Cuntodinerohayensucuentaal fnalizar el quinto ao?7. Un estudio revela que el valor de una casa se deprecia anualmente a razn de 1/40 de su valor. El ingeniero Mendoza compr una casa en $ 250,000 pesos.a) Cmo vara el valor de su casa durante los siguientes 8 aos?b) Cunto valdr su casa dentro de 8 aos?8.Aury inicia una cadena de e-mails sobre el cuidado del agua enviando un mensaje a cinco de sus amigos, indicndoles que los reenven a cinco de sus amigos, distintos a los que ella envi.a) Si nadie interrumpe la cadena, cuntas personas habrn recibido el e-mail de Aury despus de ocho envos?b) Sisuredsocialacumula5,000socios,cuntasvecessetienequereenviarel mensaje para que todos lo hayan recibido?9. Los primeros 4 nmeros triangulares son: Halla el veinteavo nmero triangular10. Hallar el nmero total de cuadrados de todos los tamaos que pueden trazarse en un tablero de ajedrez.Dentrodelosdiferentestiposdesucesinqueanalizaremosestnlas progresionesosucesionesaritmticasylasprogresionesosucesiones geomtricas.PROGRESIONES ARITMTICAS118B3 B3 Una progresin o sucesinaritmtica es una sucesin donde cada uno de los trminos, posteriores al primero, se obtiene o deduce al aadir un nmero constante llamado razn de la progresin.Por ejemplo, el ahorro de Adela forma una progresin aritmtica de razn 50:100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, Los elementos de una sucesin aritmtica son:a1 = primer trmino de la sucesind = razn aritmticaan = ensimo trmino de la sucesinn = nmero de trminosSn = suma de los primeros n trminos.Los elementos anteriores se relacionan a travs de los modelos matemticos:a a n dn = + -11 ( ) ySna an n= +21( ) En este ejemplo: a1 = 100an = lo que ahorra en cualquier mesa7 = lo que ahorra en juliod = 50 an = 100 + (n 1) dn = el nmero de mesSn = lo que lleva ahorrado hasta el ensimo mesS7 = 100 + 150 + 200 + 250+ 300 + 350 + 400 = 1,750 O bien: S772 100 40072500350021750 = + = = = ( ) ( )Siseconocenlostrminosdeunasucesinaritmtica,ladiferenciaseobtieneal restar el primer trmino del segundo y el segundo trmino del tercero, para verifcar que dicha diferencia sea constante.Si la razn aritmtica es positiva, se dice que la sucesin es creciente y si es negativa, decreciente.B3 119B3 Sumas y sucesiones de nmerosEn este ejemplo:d = 150 -100 = 200 150 = 50y la sucesin es creciente.EjemploEn la sucesin aritmtica 3, 5, 7, 9, hallar el trmino que ocupa el lugar 12 y la suma de esos primeros 12 trminos.SolucinObservemos que a1 = 3 y que d = a2- a1 = 5 3 = 2, por lo tanto: a a n da n nnn= + -= + - = + -113 12 3 2 1( )( ) ( )Donde:a123 2 12 1 3 2 11 3 22 25 = + - = + = + = ( ) ( )yS121223 25 6 28 168 = + = = ( ) ( )EjemploAntonio inicia su preparacin el lunes para la competencia del domingo. Comienza un recorrido de 12 kilmetros,luego corre 2 km ms diariamente.a) Cuntos km recorrer el sbado?b) Cuntos km recorrer antes de la competencia?SolucinObservamos que los recorridos por Antonio forman una sucesin aritmtica de razn 2, y que el primer trmino de la sucesin es 12. Por lo tanto:a n nn = + - = + - 12 1 2 12 2 1 ( ) ( )por lo que el sbado Antonio recorrer: a612 2 6 1 12 2 5 12 10 22 = + - = + = + = ( ) ( )kmy los kilmetros recorridos durante su preparacin son: S a a6 1 6623 12 22 3 34 102 = + = + = = ( ) ( ) ( )km Por otra parte, a cada uno de los trminos entre los extremos de una sucesin aritmtica se les llama medios aritmticos. Por ejemplo, los trminos 5, 7, 9 son trminos aritmticos de la sucesin.120B3 B3 En particular, se defne la media aritmtica entre dos nmeros a y b como:ma b=+2As, la media aritmtica de 8 y 14 es:m=+= =8 14222211 I. Paracada una de las siguientes sucesiones aritmticas encuentra la expresin del trminogeneral, el trmino y la suma indicada.1. -5, -2, 1, 4, 7, , a10, S102. 10, 6,2, -2, -6, , a15, S153. 6, 8.5, 11, 13.5, 17,a20, S20 II. Halla los trminos indicados en las siguientes sucesiones aritmticas.1. Halla los ocho primeros trminos de 15, 19, 23,2. Halla los diez primeros trminos de 31, 38, 45, 3. Halla los primeros diez trminos de -10, -4, 2,4. Halla los primeros diez trminos de 5, -13, -21,5. Halla los primeros diez trminos de 3/10, 2/5, 1/2,6. Halla los primeros diez trminos de -10, -4, -2, 7. Halla los primeros diez trminos de -2, 1/4...8. Halla la suma de los trminos de las sucesiones anteriores.9. Cuntos trminos tiene la sucesin 4, 6, 8,,30?10. Cuntos trminos tiene la sucesin 5, 5 1/2,...,18?11. El primer trmino de una sucesin aritmtica es 5.5 y el tercero es 6.5, hallar el trmino general, a12 y S1212. Halla la suma de los primeros veinte mltiplos de 7.13. Halla la suma de los primeros diez mltiplos de 9 mayores que 36.III. Encuentra la media aritmtica de cada una de las siguientes parejas de nmeros.-9 y 31 -9/2 y 35/4 7 y 326/5 y 11/4 -3/8 y 7/4IV. Resuelve los siguientes problemas.1. Consideralasucesindenmerosnaturales S={1,2,3,4,}.Encuentrauna expresin para an y calcula a200 y S200. Cmo puede expresarse la frmula para Sn?2. Consideralasucesindenmerosimpares S={1,3,5,7,9,}.Encuentrauna expresinparaanycalculaa50y S50.Cmopuede expresarselafrmulapara Sn?4.Una tienda departamental ofrece a sus clientes la posibilidad de pagar un Actividad B3 121B3 Sumas y sucesiones de nmerostelevisor en 42 semanas de la siguiente manera: la primera semana paga $ 50; la segunda, $80; la tercera $110, y as sucesivamente. Cunto paga un cliente por un televisor en dicha tienda?5.Elpreciodelagasolinaaumentasemanalmenteen$0.25.Sielprimerode enero costaba $8.50 el litro, cunto costar el 31 de diciembre?6. Las ganancias de un escritor durante los ltimos 11 aos estn en progresin aritmtica.Sielprimeraogan$11,800yelltimo$61,800,encuentrala sucesin de las ganancias de dicho escritor.7.Unacomputadorasedepreciaen$500cadames.SiJorgeadquiriuna computadoraen$12,500ylaacabadevenderen$6000,cuntotiempola tuvo en su poder?8. Lasganancias dela boutique La dama de rojo estn en progresin aritmtica. El primer ao tuvo una ganancia de $125,000 y el tercer ao 205,000. Cul fue la ganancia en el segundo ao?9.Unapelotaquesedejacaerdesdelaazoteadeunedifciorecorre16pies durante el primer segundo, y cada segundo recorre 32 pies ms que el segundo anterior.Silapelotatarda6segundosencaeralpiso,culeslaalturadel edifcio?10.Enciertaescuelaseefectaunarifaconelfndeobtenerfondosparala graduacindesusalumnosdelasiguienteforma:sehacen100boletos numerados del 00 al 99 y cada uno de ellos se mete en un sobre. La persona quedeseecomprarunboletoescogeunsobre,yelnmeroimpresoenel boletocorrespondealacantidaddedineroquetendrquepagar,enpesos. Por ejemplo, si al abrir el sobre el boleto marca el nmero 18, se tendrn que pagar $18 por l. Cunto dinero se obtendr al vender todos los boletos?11.Enunafbricahayunmontndetubosde aceroacomodadosenforma de pirmide, tal como se muestra en la siguiente fgura. Si en la hilera inferior hay 60 tubos, cuntos hay en total?12. Al fnal de su primer mes de trabajo, Vicky ahorra $200. A partir de entonces guarda $100 ms que el mes anterior. Cunto habr ahorrado al trmino de un ao? 13. Anselmoincrementasulecturadiariaenunapgina. Sihoyes12dejunioy ley ocho pginas:a) Cuntas leer el da 30?b) Cuntas pginas habr ledo en total?14.Ernestoahorraparacomprarunamotocicleta.Laprimerasemanaguarda $40,lasegunda$60,latercera$80,yassucesivamentepor30semanas. Si lamotocicletalecuesta$16,500,lealcanzaparacomprarlaconeldinero ahorrado?122B3 B3 Por otra parte, existe un tipo de sucesiones cuya diferencia no es constante.Una sucesin o progresin geomtrica es una sucesin en la cual cadaunodelostrminossededuceuobtienedelanterioral multiplicarlo por una constante llamada razn de la sucesin.Porejemplo,losahorrosdeEsteban1,2,4,8,16,32formanunasucesin geomtrica de razn: 21428416832182 = = = = =Los elementos de una sucesin geomtrica son:a1 = primer trmino de la sucesinr = razn geomtricaan = ensimo trmino de la sucesinn = nmero de trminosSn = suma de los primeros n trminosLos elementos anteriores se relacionan a travs de los modelos matemticos:a a rnn=11 ( )y Sa rrnn=111( )En este caso:a1 = 1an = lo que ahorra en cualquier mesa7 = lo que ahorra en julior = 2 a771 612 2 64 = = =-( ) ( )n = el nmero de mesSn = lo que lleva ahorrado hasta el ensimo mesS7 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127PROGRESIONES GEOMTRICASB3 123B3 Sumas y sucesiones de nmerosO bienS7712 12 1128 11127 =--=-=( )Si se conocen los trminos de una sucesin geomtrica, la razn se obtiene al dividir el segundo trmino entre el primero, y el tercero entre el segundo para comprobar que la razn es constante.Si la razn es positiva, y es mayor que 1, la sucesin es creciente; y si es menor que 1, decreciente.En nuestro ejemplo:r = = =21422Puesto que la razn es mayor que 1, la sucesin es crecienteEjemploEn la sucesin 1/4, 1/2, 1, 2, hallar an, a12 y S12SolucinAl dividir aa2112142 = =encontramos la razn de la sucesin, por lo tanto: a a rnn n= = 11 1142( ) ( )( ), de dondea12111129142222 512 = = = = ( )y

Sa rr12112 141214 34112 12 1409511023 === =( ) ( ) ( )EjemploUnacompetenciademaratnrepartirpremiosalosprimerosochocompetidores que arriben a la meta. El primer premio es de 20,000 dlares y el segundo la mitad del primero;eltercerolamitaddelsegundo,etc.Cuntolecorrespondedepremioal quinto lugar? Cunto dinero se repartir en premios?SolucinPuesto que la razn es 1/2, el ensimo trmino de la sucesin de premios es:Qu ocurre si la razn de una sucesin geomtrica es negativa?124B3 B3 ann=20 000121, y la sucesin es:a22 120 0001220 0001220 000210 000 === =, ,,,aa33 1 220 0001220 0001220 00045 00 === =, ,,, 0020 0001220 0001220 00082 544 1 3a === =, ,,, 00020 0001220 0001220 00016155 1 4a === =, ,,,,, ,,25020 0001220 0001220 0003266 1 5a ========62520 0001220 0001220 0006477 1 6a , ,,=====312 520 0001220 0001220 00088 1 7., ,,a1128156 25 = . S = {20,000, 10,000, 5,000, 2,500, 1,250, 625, 312.5, 156.25}Por lo que al quinto lugar le corresponde 1,250 dlares.La cantidad repartida en premios es: Sa rr81881120 0001211212000125==(1)

lllll=( ),6611220 000255256121125825518

llll=(1)

=,( )S221125 2554= =( )71,718.75Adems, a cada uno de los trminos entre los extremos de una sucesin geomtrica se le llama medios geomtricos. As, los trminos a2, a3,, an-1 de una sucesin geo-mtrica son medios geomtricos.En particular, se defne la media geomtrica de dos nmeros como:G ab = As pues, la media geomtrica de 8 y 18 es G= = = = = 8 18 4 2 9 2 36 4 6 2 12 ( ) ( )( )B3 125B3 Sumas y sucesiones de nmeros I.Hallar el trmino indicado en cada una de las siguientes sucesiones geomtricas.1. El sptimo trmino de 6,12, 242. El octavo trmino de 1/3, 1, 3, 3. El sexto trmino de 1, 2/5, 4/25,4. El sptimo trmino de 3, 2, 4/3,5. El octavo trmino de -3/5, 3/2, -15/4,6. El dcimo trmino de -3/4, -1/4, -1/12,II. Resuelve los siguientes problemas.1.La poblacin de una ciudad de provincia ha crecido anualmente en progresin geomtrica. Si en el ao 2000 la poblacin era de 59,049 habitantes y en 2005 era de 100,000:a) Cul es la razn de crecimiento anual?b) Cul fue la poblacin en 2003?c) Si la razn se mantiene constante, cul ser la poblacin en 2010?2. El primer trmino de una progresin geomtrica es 375 y el cuarto 192. Halla la razn y la suma de los cuatro primeros trminos.3.La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente de 5000 y se duplica cada 24 horas. Cuntas bacterias habr despus de 96 horas?4.Ladepreciacinanualdeunamquinaesde25%desuvalordeventa.Siel costo de una mquina fue de $ 40,000, cul es su valor despus de 6 aos?5. Un cierto cultivo de bacterias se reproduce en 20% cada hora. Si originalmente se tienen 1000 bacterias, cuntas habr despus de 24 horas?6.Unabombadevacoeliminalamitaddelairecontenidoenunrecipienteen cadaciclo.Quporcentajedelacantidadoriginaldeairepermaneceenel recipiente despus de 5 ciclos?7. Sicolocas$1 enel primercuadrode un tablero de ajedrez, $2 en el segundo cuadro, $4 en el tercero, $8 en el cuarto y as sucesivamente, doblando cada vez la cantidad, determina lo siguiente:a)Calculaelnmerode pesosel cuadro 10, ylacantidad de pesos que se han acumuladob)Calcula lo indicado anteriormente en el cuadro 17.8. La poblacin de cierta ciudad era de 3, 000,000 de habitantes en el ao 1999. Si la poblacin aumenta cada ao a un ritmo de 3.2 %, determina:a)El nmero de habitantes para el ao 2005b)El nmero de habitantes para el ao 20099.Elauditoriodeunexitosoprogramadetelevisinsehaincrementado8% mensual; qu audiencia tendr ahora si hace siete meses tena 10, 000,000?Actividad 126B3 B3 Series infnitasUncasointeresantedelassucesionesgeomtricasesconsiderarlasseries infnitas que de ellas se desprenden, en particular aqullas cuya razn sea en valor absoluto menor que 1.Si recordamos que una sucesin geomtrica es de la forma:S a a r a r a r a r a rn n={ }1 1 1213111, , , , ..., , , ... Es posible calcular la suma S a a r a r a r a rnn= + + + + +-1 1 121311... cuando n es muy grande, es decir, cuando n se aproxima al infnito?La respuesta es s, cuando,r