PRESENTACIÓN

ASPECTOS DE LA DIDÁCTICA

Didáctica de la matemática en preescolar

SITUACIONES DE APRENDIZAJE

Más allá de los algoritmos usuales

RESPUESTAS A PROBLEMAS

Falso o verdadero, El mercader, Círculoscongruentes

PROBLEMAS PARA RESOLVER

¿Sobran o ?, De palillos, La pista mara-villosa

NUESTROS MATERIALES DE TRABAJO

La integración de contenidos en laslecciones de los libros de texto gratuitosSecuencia y organización de contenidos.Matemáticas. Educación secundaria

¿DE QUÉ TRATA?¿Cómo enseñar matemática en el jardín?

¡NUEVO LIBRO DE MATEMÁTICAS. SEXTO GRADO!

BOLETÍN SEMESTRALNÚMERO 9JULIO 2001

CONTENIDO

24

23

A todos los maestros y maestras de matemáticas les expresamos nuestro agradeci-miento por su respuesta a nuestra convocatoria para intercambiar ideas y expe-riencias por medio de este boletín.

Sus aportaciones son de gran utilidad y tienen interés para todos, pues permi-ten enriquecer el trabajo docente. Por esta razón les reiteramos la invitación paraque participen con sus colaboraciones en las diferentes secciones de nuestrapublicación.

Por lo demás, nos es grato informar a todos, en particular a las educadoras, que seacaban de integrar a nuestro cuerpo de redactores un grupo de compañeras conformación y experiencia en la enseñanza preescolar, lo que nos permitirá darleuna mayor atención a este nivel educativo.

En números anteriores hemos publicado varios artículos de utilidad para do-centes de preescolar. Siendo ésta una de nuestras principales preocupaciones, eneste número incluimos algunos que tienen que ver de manera directa con la ense-ñanza de las matemáticas en estos grados de la educación elemental.

Invitamos a todos los maestros, cuya responsabilidad pedagógica está circuns-crita a la enseñanza preescolar, a que nos envíen sus sugerencias y críticas conrespecto a los materiales aquí publicados, con el fin de irlos mejorando y modifi-cando de acuerdo con sus intereses.

El presente número está dedicado a la memoria de nuestro colaborador y amigoHéctor Licona Farfán, cuya ausencia significa una sensible pérdida para colabo-radores y encargados de este boletín, pero Héctor nos deja un grato recuerdo aquienes tuvimos la suerte de conocerlo y colaborar con él.

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM1

2

Un reto más es una publicación de la Dirección Generalde Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaríade Educación Básica y Normal de la Secretaría de EducaciónPública.

COORDINACIÓN

Hugo Balbuena Corro

COLABORADORES

Silvia García PeñaMaría Teresa López CastroOlga Leticia López EscuderoMaría de los Ángeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos OrellanaJuan Carlos Xique Anaya

COORDINACIÓN EDITORIAL

Elena Ortiz Hernán Pupareli

PRODUCCIÓN EDITORIAL

Alejandro Portilla de Buen

DISEÑO ORIGINAL

María Gabriela Barahona

FORMACIÓN

Julio César Olivares Ramírez

Noviembre

2 Plano cartesiano y funciones

9 Ecuaciones de segundo grado

16 Elementos de trigonometría

23 Uso de tablas y gráficas en la resolución de problemas

30 Cálculos con probabilidades

Algunos de los programas son específicos para preescolar, prima-ria o secundaria. Elija los que le interesen.

• Los invitamos a participar en el XXXIV Congreso de la SociedadMatemática Mexicana, que se llevará a cabo del 6 al 12 de octubreen la Escuela Preparatoria Venustiano Carranza en la ciudad deToluca, Estado de México. Se presentarán talleres y conferenciascuyos temas son de interés para los maestros de educación básica.Para mayores informes consulte la página de Internet de la SociedadMatemática Mexicana (smm): http://smm.org.mx o llame al teléfono(01) 5616 2585 a la licenciada Olivia Lazcano Abarca.

• Nos es grato comunicar que la próxima edición del Libro para elmaestro. Matemáticas. Educación secundaria contiene cambiossustanciales sobre el actual enfoque para la enseñanza de lasmatemáticas. ¡Estén pendientes!

• Aviso a los Jefes de Enseñanza: se les solicita que envíen los formatosde evaluación de materiales de apoyo que se les entregaron en laSegunda Jornada Nacional de Jefes de Enseñanza.

• Atención, maestros: si desean obtener los números anteriores de Unreto más o enviar sus colaboraciones, pueden dirigirse a las siguien-tes direcciones electrónicas:

hbalbuen@sep.gob.mxProfesor Hugo Balbuena CorroDirector del Áreade Matemáticas

matepreescolar@yahoo.com.mxProfesora María TeresaLópez CastroSubdirectora del Áreade Matemáticas.Preescolar

ISABEL LA CATÓLICA 1106, PRIMER PISO,AMÉRICAS UNIDAS, 03610,

MÉXICO, D.F.

AVISOS

• ¡Atención, maestros, no olviden que la barra de televisión “Temas deMaestros“ aborda asuntos de interés para los docentes de nivelbásico! Se transmite por el canal 22 de televisión abierta y 16 deEdusat a las 10:00 a.m. (horario del D.F.). Presentamos los temas quese trasmitirán a partir de agosto de 2001.

Agosto

24 El nuevo Libro para el maestro. Matemáticas. Quinto grado

31 El nuevo libro de texto de Matemáticas. Sexto grado

Septiembre

7 El estudio de la geometría en el nivel preescolar

14 Divisibilidad

21 Números con signo

28 Proporcionalidad

Octubre

5 Simetría

12 El círculo y la circunferencia

19 Sólidos

26 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

mdavila@sep.gob.mxProfesora Martha Dávila VegaSubdirectora del Áreade Matemáticas.Primaria

jcxique@sep.gob.mxProfesor Juan CarlosXique AnayaSubdirector del Áreade Matemáticas.Secundaria

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3

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA EN PREESCOLARPROFESORA MARÍA TERESA LÓPEZ CASTRO

El modelo clásico de la educación preesco-lar se centraba fundamentalmente en la so-cialización del niño y trataba de maneraasistemática algunos aspectos de las matemá-ticas. Luego, en los años setenta, se introdujola matemática moderna, la cual hacía hinca-pié en el trabajo con conjuntos y fue en 1981cuando se planteó, con base en las investiga-ciones piagetianas, el trabajo para adquirirdistintas nociones matemáticas relacionadascon el número y las operaciones infralógicas(relaciones espacio-temporales).

La difusión de esto hizo que el docente sepreocupara por conocer el desarrollo evo-lutivo del niño, para diagnosticar en qué eta-pa se encontraba de las nociones de clasifi-cación, seriación, conservación de lacantidad, las relacionadas con el tiempo yel espacio, con el fin de acompañarlo en elpasaje de una fase a otra, con la idea de queel desarrollo de estas operaciones lógicas lepermitiría adquirir el concepto de número ylas formas geométricas.

Las situaciones planteadas evidenciaban unenfoque eminentemente psicológico. En esemomento se consideraba que trabajar las ope-raciones lógicas era sinónimo de enseñar ma-temáticas. Ese enfoque consideraba que pri-mero se tenían que construir las nociones paraluego ser aplicadas; en contrapartida, ahorase ha demostrado que se construyen confor-me se emplean.

En 1990, con base en los resultados de unainvestigación realizada por la Dirección deEducación Preescolar (hoy Coordinación Sec-torial) en coordinación con el Cinvestav, seseñalaba que el problema de la enseñanza dela matemática en educación preescolar se cen-traba, por un lado, en que algunos maestrosrepetían formas tradicionales de instrucción,en las cuales el alumno ejercitaba ymemorizaba algunas maneras de resolver pro-blemas matemáticos; también se encontró queel docente acaparaba el lenguaje, el que utili-zaba como forma de control y para plantear alos niños preguntas cerradas, cuyas respuestas

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se circunscribían a un “sí” o un “no” a coro o,en otros casos, a mencionar términos aislados.

También se observó que casi no se organi-zaba el trabajo por equipos, aunque el aco-modo del mobiliario estuviera dispuesto deesa manera, las actividades, en su mayoría,eran individuales y sin un espacio para com-partir ideas. En relación con la geometría seobservó que las figuras hechas por los docen-tes se usaban como parte del decorado delsalón, tenían tamaños similares, estaban dis-puestas siempre en una misma posición y serelacionaban con los colores primarios.

Así mismo, esta práctica educativa y la revi-sión de algunos materiales nos permite señalarque el aprendizaje de los niños de un grupo seconsideraba que se desarrolla de manera ho-mogénea y que la repetición, memorización delos números, formas geométricas y escrituraconvencional de las operaciones, garantiza laconceptualización o el aprender matemáticas.

Sin embargo, los enfoques actuales, susten-tados en los resultados de la investigacióneducativa, señalan la urgencia de instrumentaruna didáctica diferente que favorezca la cons-trucción de conocimientos matemáticos, eldesarrollo de habilidades y de una actitudpositiva hacia la resolución de situacionesproblemáticas.

Desde esta perspectiva, es necesario queel docente valore, al diseñar estrategias para

el aprendizaje de las matemáticas, la recupe-ración de lo que los niños saben y que lo uti-licen para solucionar los problemas matemá-ticos que se les presenten; confronten conotros compañeros sus formas de pensar y re-solver los problemas con la finalidad de quecomprendan otros puntos de vista y observenel uso de otra información o cómo emplearlapara resolver situaciones matemáticas.

Hoy día debemos concebir el proceso deestudio como un modelo en el que tanto elalumno como el docente tienen un papel ac-tivo, el primero construye los saberes; el se-gundo genera estrategias que garanticen laapropiación de los mismos.

El saber ya no consiste en adquisicionesevolutivas que impliquen arribar a la siguienteetapa, sino que está formado por los conoci-mientos matemáticos que la sociedad consi-dera válidos y necesarios para una adecuadainserción sociocultural del alumno.

Por lo tanto, se produce el pasaje de lo psi-cológico a lo pedagógico. Cambiando el ob-jeto y métodos de estudio. El docente debefavorecer intencionalmente los medios nece-sarios para estudiar contenidos matemáticos,basado en los aportes de la psicología del de-sarrollo y del aprendizaje.

Para que este pasaje de lo psicológico a lopedagógico se haga realidad en el aula seránecesario que el docente indague qué saberes

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM4

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matemáticos trae el niño al jardín, seleccio-ne los contenidos que hay que enseñar y pro-ponga situaciones-problemas que planteen undesafío cognitivo, cuya resolución permita alniño construir, modificar, relativizar y ampliarsus saberes.

Es importante que el maestro que diseñaestrategias para enseñar matemáticas bajo elenfoque actual, tenga siempre presente quela construcción de los conocimientos, desa-rrollos de habilidades y modos de actuaciónde los alumnos, no se consiguen ni exclusivani prioritariamente mediante la transmisión deideas (por ricas o fecundas que sean), sino me-diante la vivencia de un tipo de relaciones so-ciales en el aula y en la escuela y de expe-riencias de aprendizaje que requieren nuevosmodos de pensar y hacer matemáticas.

Algunos aspectos que deben considerarsepara la didáctica de las matemáticas son:

Establecer nuevas formas de comunicaciónentre los niños y de éstos con el docente (ex-presar sus ideas, escuchar, tomar su turno parahablar, comentar sobre su trabajo mientras lorealiza, saber preguntar, entre otras) es deci-sivo en el aprendizaje temprano.

El maestro debe asumir un papel protagónicoen el desarrollo del niño, lo que implica:• Reconocer que el aula es un espacio privi-

legiado donde se favorece la interacción entorno a la construcción del conocimiento.

• El trabajo en equipos promueve la con-frontación de diversos puntos de vista, elintercambio de estrategias, aclaración dedudas y la participación conjunta en laresolución de problemas. Además, enri-quece y mejora la información sobre loscontenidos tratados y amplía el vocabula-rio matemático.

• Respetar el proceso mental de cada niñoy tomarlo como referencia para las siguien-tes ocasiones que se organicen los equipos,con la finalidad de promover la puesta encomún de niños con diferentes posibilida-des y limitaciones y con esto propiciar laayuda entre iguales.

• Además de que el docente tenga claros loscontenidos y conozca el enfoque actual, esnecesario que innove su práctica educati-va, en la cual tenga que renunciar, en oca-siones, a las formas convencionales en quese resolvían los problemas matemáticos.

• Durante el trabajo y el juego, es muy im-portante que el niño advierta que sus des-cubrimientos le interesan al docente.

• Considerar la necesidad que tienen los ni-ños de apoyarse en el trabajo con mate-riales concretos para llegar a realizar abs-tracciones mentales, éste es un procesocontinuo en el que el niño va marcandolas pautas para renunciar al uso de estosmateriales de manera espontánea.

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM5

6

• El maestro debe ampliar los horizontes delniño sin importar su edad, o la limitaciónde oportunidades basada en juicios quecalifican a los niños como inmaduros in-telectualmente (y todavía no aptos). Ya estiempo de olvidarnos de la premisa de queexisten contenidos demasiado difíciles oinapropiados para los niños pequeños.

Podemos incluir que al aprender matemá-ticas debe existir interés por las tareas que losniños realizan (haciendo que tengan lo queAtkinson llama sentido humano) mostrándo-

les que realmente pensamos que las matemá-ticas son importantes y divertidas y que, porconsiguiente, es bueno ser una persona aquien le gustan las matemáticas.

En el mismo sentido, Ausubel dice queexisten tres factores implicados en la motiva-ción al abordar una tarea:

• Interés en la tarea• El efecto de la tarea en la imagen de noso-

tros mismos• Si la tarea nos permite establecer vínculos

con los demás.

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MÁS ALLÁ DE LOS ALGORITMOS USUALESPROFESOR JUAN CARLOS XIQUE ANAYA

7893 – 4369 = 3524

21067893

– 436964753524

4869+ 2375

1411

1367244

4869+ 2375

111 6134

7244

El dominio de los algoritmos de las opera-ciones básicas ha sido una preocupaciónconstante de los profesores de educaciónbásica.

Los algoritmos con que actualmente ope-ramos, si bien son procedimientos eficaces,no han sido los únicos que han existido a lolargo de la historia. Incluso, en algunos pue-blos de la Antigüedad existían diferentesalgoritmos para operar; los intelectuales usa-ban unos y la comunidad empleaba otros.

¿Por qué, en la actualidad, hemos adop-tado determinados algoritmos para operary no otros?

Con el fin de motivar su estudio, les ofre-cemos distintos algoritmos para las opera-ciones básicas, algunos de ellos fueron usa-dos por distintos pueblos, en diferentesépocas.

ADICIÓN

Analice los siguientes procedimientos para laadición.

¿Cómo y por qué funcionan estos otros pro-cedimientos?

SUSTRACCIÓN

Estudiemos ahora un algoritmo para la sus-tracción

¿Cómo y por qué funciona este procedi-miento?

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM7

8

Analice estos otros procedimientos paramultiplicar y explique qué estrategias se si-guieron.

¿Son correctos los resultados?, ¿cómo y porqué funcionan estos otros procedimientos?,¿encuentra alguna ventaja o desventaja deestos algoritmos respecto al usual?

DIVISIÓN

Analice el siguiente procedimiento para di-vidir:

¿Es correcto el procedimiento?, ¿en quéprincipios se basa?

El siguiente método para dividir, de origenindio, es llamado método del galeón o de la

Aquí se usó la adición para sustraer. Utili-zando el complemento a 9999 del minuendoy de la suma de éste con el sustraendo.

¿Funciona completando a 8888?, ¿por qué?

MULTIPLICACIÓN

En la Antiguedad, en la India y Persia utili-zaban para multiplicar el método de la cua-drícula (también conocido como del enreja-do o de las casillas).

Analice la siguiente multiplicación y des-cubra cómo lo hacían.

Usando este método resuelva los siguien-tes problemas:

a) Sabemos que el producto es 19203 y unode los factores es 519 ¿cuál es el otro?

b) 1625 ÷ 25 =

¿Cómo explica que funcione este método?

3020 + 80 + 4 = 3104

12 37259 1019 59 11

6 0 6

358 × 24 = 8592

3 5 80 1 1 2

1 2 3 4

8 2 0 25 9 2

325× 49

4518

+ 27208

1215925

325× 49

214785

+ 1 2280

15925

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9

galera (véase el Libro para el maestro. Mate-máticas. Educación secundaria, p. 54).

Descubra cómo funciona:

4882 ÷ 285 =

372032

285 4882 1728551995

¿Por qué funcionan estos otros procedi-mientos?

¿Qué ventajas o desventajas encuentras en-tre estos algoritmos y los usuales?

¿Qué principios matemáticos sustentan elfuncionamiento de los algoritmos que usual-mente utilizamos para operar?

La intención no ha sido presentar todoslos algoritmos que se tienen registradospara las operaciones básicas. Quisimoscompartir estos otros algoritmos con elobjeto de motivar su estudio entre los pro-fesores y no como una propuesta para serllevada al aula.

Consideramos que conforme el profesor pro-fundice en el estudio de diversos aspectos dela disciplina y sus implicaciones didácticas,tendrá más y mejores recursos para realizar enforma más eficiente su trabajo docente.

Para terminar, les proponemos que resuel-van las siguientes operaciones con númeroscon base distinta a 10:

5423seis + 4105seis =

(3104cinco) (24cinco) =

1753ocho – 477ocho =

11001dos ÷ 101dos =

¿Qué dificultades experimentó?, ¿cómo lassuperó?

¿Considere que los estudiantes experimen-tan dificultades similares cuando estudian losalgoritmos usuales operando con númeroscon base 10?

Esperamos que los profesores envíen susexplicaciones respecto a cómo y por qué fun-cionan estos algoritmos, así como sus expe-riencias y reflexiones.

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10

VFVFVFVFVFVFVFVFVFVFVFVFVFVFVFVF

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Este espacio tiene el propósito de compartir di-ferentes estrategias de resolución de problemas.

En esta ocasión, se muestran procedimien-tos de resolución para problemas planteadosen Un reto más, números 6, 7 y 8.

Agradecemos, de manera especial, a todoslos profesores que han enviado sus resolucio-nes y reiteramos la invitación a todos a parti-cipar.

FALSO O VERDADERO1

Imagine que responde a un examen de 10preguntas con falso o verdadero, pero sóloconoce las respuestas de cinco. ¿Cuál es suprobabilidad de aprobar si responde al azarlas otras cinco?

El profesor Porfirio Tirado nos envió la so-lución a este problema.

Para ilustrar las posibles respuestas a lapregunta es necesario realizar un diagramade árbol:

Si consideramos que F representa a la res-puesta incorrecta y V a la correcta, sólo hayuna posibilidad de no aprobar (la que estáremarcada con negritas), por tanto, para lascinco preguntas restantes encontramos quehay de que al menos una de las respuestassea correcta.

3132

1 Un reto más, núm. 6, p. 23.

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM10

11

Si consideramos que las respuestas correc-tas representan 50%, entonces tenemos:

P = 50% + *50%

P = 50% + 48.4375%

P = 98.4375%

Nota. La respuesta correcta a una pregunta delexamen puede ser F, pero sólo para ilustrar lasolución del problema se ha tomado así.

EL MERCADER2

Un mercader que vendía aceite y que congrandes sacrificios abrió su tienda pudo, des-pués de ocho años, incrementar en la can-tidad de barriles de aceite originales, en-contrándose entonces con 42 barriles. ¿Concuántos comenzó su tienda?

El profesor Pedro Manríquez, de la EscuelaNormal Superior Federal de Veracruz, plan-tea un procedimiento aritmético para esteproblema:

más

Equivalentes a42 barriles

(Nuevecírculos negros.)Con esto abriósu tienda el mer-cader.

99

59 Representa lo

que se incrementócon respecto a loque tenía.

Por tanto, lacantidad con laque inició erannueve círculosnegros, es decir,27 barriles.

(Que en el dibujo es-tán representados con 14círculos negros.) Equiva-len a 42 barriles, por tan-to, un círculo negroequivale a tres barriles.

149

Por su parte, la profesora Guadalupe LealMenchaca, de Zihuatanejo, Guerrero, nos en-vió el siguiente procedimiento:

Se establece una proporción cuyas razo-nes comparan una unidad entera con x, queserá la cantidad inicial de barriles y, por otrolado, la unidad incrementada en con lacantidad de barriles:

99

= 1

42 = x + x59

42 = x149

x = 42(9)14

x = 3(9) = 27

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Lo cual nos dice que el mercader inició con27 barriles.

59

2 Un reto más, núm. 7, p. 18.

59

3132

1x

591+

42 =

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12

Recibimos más resoluciones de este tipo yqueremos agradecer la valiosa participaciónde los profesores:

José Tomás Gallegos Ahedo yEzequiel Cárdenas Mendoza, MichoacánFélix Dévora Acevedo, DurangoSimón Pedro Herrera Pardo, SinaloaJosé Luis Lucio Rangel, GuanajuatoRosalba Lagunas Hernández yDante Magaña Sánchez, GuerreroJosé Manuel Molina García, Chiapas

CÍRCULOS CONGRUENTES3

Si A y B son centros de los círculos congruen-tes, ¿cuánto mide la superficie sombreada?

BAA s

El profesor Juan Bosco Gómez Rábago, deVeracruz, nos envió el siguiente procedimiento:

Si A y B son los centros de los círculos con-gruentes, los radios son iguales, entonces ABes el radio.

3 En Un reto más, núm. 8, p. 17, el problema ahí planteado setitula “Círculos semejantes”, gracias a la participación del pro-fesor Juan Bosco Rábago identificamos el error, siendo el títulocorrecto “Círculos congruentes”.

B D’

C

A r

E

D

BA

r

E

C

C

A

E

D

B

E

D’

C’

Los segmentos AC, AD y AE dividen alcírculo con centro en A en tres sectores igua-les ( del área del círculo).

De igual manera sucede con el círculo decentro B y los segmentos BC, BD’ y BE.

El área de intersección está formada pordos tercios menos el área del rombo ACBE,el cual está formado por dos triángulosequiláteros de lado r.

13

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM12

13

Ayudados por la fórmula de Herón4 obten-dremos el área del rombo:

A◊ = Área del romboA∆ = Área del triángulo que corresponde a la

mitad del área del rombo

A ∆ = – a – b – c P2 ( )P

2 ( )P2 ( )P

2

A ∆ = r r – r r – r r – r32 ( )3

2 ( )32 ( )3

2

A ∆ = r × r 3 3

218

( )A ∆ = 3r 2

4

( )A ◊ = 2 3r 2

43r

2

2=

Entonces:

Área sombreada =

Área sombreada =

4 Véase la Fórmula de Herón en Un reto más, núm. 1, abrilde 1998, p. 4.

13

32

(2πr 2) – r

23

32

π – r2 = (2.09333 – 0.8666)r2 = 1.2284r2( )

Otra forma de resolver este problema es lapropuesta por el profesor Rogelio Enrique LaraMartínez.

Se toman dos círculos congruentes conhexágonos inscritos, de tal manera que un ra-dio de cada círculo ocupe el mismo lugar ytengan por extremo el centro de cada círculo.

AA BSAT

B

B

B

B

Figura 1 Figura 2

Se observa que se forman dos triángu-los equiláteros congruentes de lado igualal radio y cuatro segmentos circulares con-gruentes B.

La suma de las áreas de estas figuras esigual al área sombreada o intersección de loscírculos.

AS = Área sombreadaAT = Área del triánguloB = Área del segmento circular de la figura 2

AS = 2 AT + 4B ............................... I

AT = b = r h = rbh2

32

Un reto más 9 8/23/01, 8:51 AM13

14

Sustituyendo:

AT = r2 ...................................... II

AC = Área del círculo = πr2

AH = Área del hexágono = donde

P = 6r

Sustituyendo

.......................... III

3 4

16

B = (AC – AH)

Pa2

B = πr2 – r2 = – =

= – r2

Sustituyendo II y III en I

AS = 2 AT + 4B

Agradecemos las resoluciones a este proble-ma enviadas por los siguientes profesores:

Juan Francisco Briones Coronado, San LuisPotosíSimón Pedro Herrera Pardo, SinaloaIsmael Sánchez González y Jesús IgnacioFlores Cardoso, Estado de MéxicoJuan Manuel Valero Maldonado, DurangoJavier Merchan Noyola, Baja California

Invitamos, de nuevo, a los profesores paraque nos envíen sus respuestas o propuestasde problemas. Si respondió a alguno de estosproblemas y su nombre no fue publicado, leagradeceremos nos lo haga saber, pues poralguna razón no tenemos su respuesta.

)AS = – r22π3

3 2(

πr2

6

AS = 2 ( r2) + 4 ( – r2) 3 4

πr2

6 3 4

AS = + – 3r2 3r2

2 2πr 2

3

AS = + – 3 r22π3( ) 3

2

32a = h = r

3 32AH = = r2

6r* r 3 22

16( ) πr2

63 312

3 32

3 4

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¿SOBRAN O ?

El planteamiento del problema es el siguiente: un carrete de listón contenía 5 m y se cortarontramos iguales de de m, ¿cuántos tramos se cortaron y cuánto sobró?

El problema se puede resolver de varias maneras, dos de ellas son las siguientes:

1) Representar el listón de 5 m e ir marcando de m una y otra vez hasta alcanzar la medidaaproximada, ya que de esta manera se sabe cuántos tramos se cortaron y cuánto sobró:

En el dibujo se puede observar que el resultado es: 6 tramos y sobran

2) Otro procedimiento para resolver el problema es una división de fracciones:

Al parecer salen 6 tramos ¡y sobran !

¿Qué es lo que sucede?, ¿alguno de los procedimientos es incorrecto?, ¿se está interpretandomal algún resultado? Si es así, ¿cómo deben interpretarse?

24

23

1 m 2 m 3 m 4 m 5 m

34

34

24

5 ÷ = ÷ = = 634

51

34

203

23

23

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DE PALILLOS1

La siguiente figura es un rectángulo que contiene dos renglones y cuatro columnas de cuadrados,los cuales están formados por palillos. ¿Cuántos palillos se necesitarán para formar un rectángulocon n renglones y m columnas?

LA PISTA MARAVILLOSA2

Tómese en consideración una pista circular de cualquier dimensión, que esté formada por doscírculos concéntricos.

1) Demuestre que el área de la pista sombreada esigual a la de un círculo cuyo diámetro es a la vez,una cuerda del círculo mayor y tangente al círculomenor.

2) ¿Qué condición se tiene que cumplir para queel área del círculo menor y el área de la pistasombreada midan lo mismo? En este caso, ¿qué ra-zón existe entre los radios de las circunferenciasconcéntricas?

1 Tomado del libro Approaches to Algebra. Perspectives for Research and Teaching, Nadine Bednarz y Carolyn Kieran (eds.), PaísesBajos, Klower Academic Publishers, 1996, p. 80.2 Tomado del libro Le Gioie della matematica, enviado por el profesor Juan Bosco Gómez Rábago, de Veracruz, Veracruz.

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NUESTROS MATERIALES DE TRABAJOLA INTEGRACIÓN DE CONTENIDOS EN LAS LECCIONES DE LOS LIBROS DE TEXTO GRATUITO

Una de las principales características delactual enfoque para la enseñanza de lasmatemáticas es no mostrar al alumno unamatemática segmentada, es decir, una ma-temática en la que pareciera que los con-tenidos no se relacionan o no tienen nadaque ver entre sí.

Algunas veces la integración de conteni-dos se da de manera natural, por ejemplo,muchos temas de medición emplean decima-les o fracciones en sus operaciones, así comofiguras geométricas. De esta manera, pode-mos incorporar contenidos de varios ejesprogramáticos: medición, los números, sus re-laciones y operaciones y geometría.

Queremos dedicar este espacio al análisisde esta característica en los materiales biblio-gráficos de apoyo de la Secretaría de Educa-ción Pública. Algunas lecciones de los librosde texto para el alumno permiten interrelacionarvarios ejes programáticos; en particular, que-remos presentar a ustedes la lección 52 dellibro Matemáticas. Quinto grado.

Como ustedes saben, se publicó una nue-va edición de este libro para el ciclo escolar2000-2001. Esta edición cuenta con la carac-terística de que cada lección se desarrolla endos páginas. Al inicio se presenta el conteni-do central. En el caso de la lección 52 se lee:“Uso de fracciones con denominadores 10,100 y 1000”, lo que no significa que durantela lección sólo se estudiará este contenido.Al contrario, como veremos más adelante, elcontexto utilizado y el desarrollo que se dioal tema permiten el trabajo de integración devarios contenidos que pertenecen a diferen-tes ejes.

Lo invitamos a que resuelva la lección an-tes de continuar. Si cuenta con el libro puedetrabajar en él, en caso contrario esperamosque estas reducciones le sean de utilidad conla limitante de que no podrá trabajar el pri-mer problema debido a las mediciones quese deben realizar; no importa, la riqueza dela lección se encuentra a lo largo de ella. ¿Lis-to? ¡Adelante!

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Y ahora, le proponemos que juntos haga-mos un análisis de esta lección al dar respues-ta a las siguientes preguntas.

1. ¿A qué otra asignatura se refiere la lección?

2. ¿A qué eje pertenece la tarea central: “Usode las fracciones con denominador 10,100 y 1000”?

3. Al trabajar fracciones con denominador 10,100 y 1000, ¿qué otro tipo de números seestán trabajando además de las fracciones?

4. Al operar para hallar el tamaño real delniño, ¿qué operaciones realizó?

5. La tabla que se presenta, ¿muestra una va-riación proporcional?

6. ¿Por que?7. ¿A qué eje pertenecen los contenidos so-

bre variación proporcional?

8. Para hallar la respuesta al primer proble-ma se tiene que medir el árbol, la mari-posa y la puerta, ¿qué eje está trabajandoal hacer esto?

9. El tema central se ha trabajado bajo el con-texto de escalas, ¿en qué eje se encuentraexplicitado este contenido?

10. La actividad del punto 3 pide el trazo deun cuadrado a escala, ¿qué contenidos setrabajan al realizar correctamente esta ac-tividad?

11. Al manejar la información contenida entablas, ¿qué eje se está trabajando?

Profesores, los invitamos a que nos envíenel análisis sobre esta lección con sus comen-tarios al respecto.

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SECUENCIA Y ORGANIZACIÓN

DE CONTENIDOS. MATEMÁTICAS.EDUCACIÓN SECUNDARIA

¡UN MATERIAL DE APOYO

PARA ORGANIZAR EL ESTUDIO!Secuencia y organización de contenidos.Matemáticas. Educación secundaria es unmaterial de apoyo dirigido a los profesoresen el que se ofrece una propuesta para orga-nizar los contenidos programáticos que se de-berán estudiar a lo largo del curso.

La primera edición de este material fuepublicada en 1994, y se debió a que la Se-cretaría de Educación Pública revisa cons-tantemente los materiales de apoyo queofrece a los profesores, tomando en cuentapara el caso sus comentarios, las exigen-cias que se presentan en la sociedad y losavances en los campos de las matemáticasy la didáctica.

En esta segunda edición de Secuencia y or-ganización de contenidos. Matemáticas. Edu-cación secundaria, se integran actividades yproblemas tomados de los distintos materia-les de apoyo con que cuenta el profesor dematemáticas de educación secundaria, tantodel Libro para el maestro. Matemáticas. Edu-cación secundaria como del Fichero de acti-vidades didácticas. Matemáticas. Educaciónsecundaria, así como de las colecciones de

videos: “El Mundo de las matemáticas” y “Re-suélvelo”.

Los contenidos de estudio para cada gradoestán organizados en 18 temas, los aspectos decada tema se describen en cuatro columnas:

En la primera columna aparecen algunos co-mentarios y orientaciones didácticas, queacompañan al profesor a lo largo del curso. Enla segunda se señala de manera puntual loscontenidos programáticos de ese tema. En latercera se sugieren actividades para el estudiode casi todos los contenidos programáticos. Enla cuarta se ofrecen algunos comentarios.

Confiamos en que esta segunda edición deSecuencia y organización de contenidos. Ma-temáticas. Educación secundaria resultará desuma utilidad para los profesores de matemá-ticas de todo el país.

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¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JARDÍN?*PROFESOR HUGO BALBUENA CORRO

* Adriana González y Edith Weinstein, ¿Cómo enseñar matemáticas enel jardín?, Argentina, Colihue, 2000, 196 pp.

En el presente número de Un reto más me esgrato comentar un libro de reciente aparición,dedicado al estudio de la matemática en elnivel preescolar y cuya autoría se debe aAdriana González y Edith Weinstein.

La obra está dividida en cinco capítulos,de los cuales el primero se refiere a los as-pectos fundamentales de la teoría didáctica,los tres siguientes tratan sobre cada uno delos ejes temáticos que se propone estudiar eneste nivel y el último se centra en las formasde planificar las actividades de estudio. Comopuede verse, esta obra no sólo responde alcómo enseñar sino también al qué estudiar yal cómo planear el estudio.

Desde la introducción, y más ampliamen-te en el capítulo II, las autoras explican demanera clara los principios que sustentan elenfoque didáctico para la enseñanza, el es-tudio y el aprendizaje de las matemáticas,

mismo que toma en cuenta la construcciónde saberes, el desarrollo de habilidades y elfomento de actitudes por medio de la resolu-ción de problemas. Se deja ver con claridadque la mayor parte del trabajo se apoya en lateoría de las situaciones didácticas, desarro-llada por Guy Brousseau.

Se dice, por ejemplo, que el centro del pro-ceso de enseñanza y aprendizaje son las re-laciones que se establecen entre los alumnos,el profesor y el saber. El profesor plantea pro-blemas, los alumnos actúan sobre éstos y, enla búsqueda de vías de solución, construyensaberes. Así, el conocimiento matemáticoadquiere sentido para el alumno en funciónde los problemas que le permite resolver.

La resolución de problemas en el nivel pre-escolar da importancia a la necesidad de quelos niños enfrenten desafíos intelectuales,cuya intención es construir conocimientos ydesarrollar habilidades. También se analizaen este capítulo, la noción de variable didác-tica, en tanto aspecto susceptible de ser mo-

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dificado en un problema, con el fin decomplejizarlo o simplificarlo. Particularmen-te en el nivel preescolar, en el que permane-ce fuertemente arraigada la idea de que loúnico importante es que los niños manipuleny se socialicen, es pertinente la afirmaciónde las autoras al decir que: “no toda consig-na plantea un problema”, por lo que cada vezque se propone a los alumnos realizar unatarea vale la pena preguntarse: ¿cuál es eldesafío intelectual que deben superar?

En la parte final de este capítulo las auto-ras dan algunas sugerencias respecto a lasformas de organizar a los niños y terminancon lo que ellas llaman secuencia de trabajo,la que está conformada por cinco momen-tos: presentación de la situación problema,resolución de la situación, presentación delos resultados, síntesis y evaluación. Vale lapena reflexionar acerca de la relación queguardan estos momentos con las situacionesde acción, formulación, validación e institu-cionalización que se mencionan en la teoríade las situaciones didácticas.

El capítulo II trata sobre el estudio del nú-mero y la serie numérica. En primer lugar, lasautoras centran la atención en los diferentesusos que tiene el número, puesto que de allíse pueden derivar situaciones problemáticas.También se explica la doble connotación delnúmero como instrumento para resolver pro-

blemas y como objeto de estudio en sí mis-mo; este último aspecto, según las autoras,rebasa las posibilidades de los niños de pre-escolar.

Además de los diferentes tipos de situacio-nes que implican el uso del número, las au-toras analizan algunos de los procedimientosque pueden utilizar los niños de preescolar yaclaran que no en todos los casos está pre-sente el número. Por ejemplo, ante un pro-blema en el que se trata de comparar doscolecciones, la correspondencia uno a unono utiliza el número.

En cuanto al sistema decimal de numera-ción, se hace un análisis breve pero intere-sante sobre el proceso de aprendizaje que si-guen los niños de preescolar al registrarcantidades. Sin duda, la lectura de esta partenos ayuda a entender los diferentes tipos deregistros que realizan los niños. Al final deeste capítulo y de los dos siguientes, se pro-ponen actividades didácticas que vale la penaanalizar.

El capítulo III se refiere al segundo eje te-mático: “Espacio y geometría”. Se inicia conuna breve reseña histórica relacionada conel estudio de la geometría y el espacio, sedestaca que el conocimiento espacial se pro-duce de manera espontánea y empírica des-de que el niño nace, mientras que el conoci-miento de las relaciones espaciales analizadas

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desde el punto de vista geométrico necesitadel estudio sistemático e intencional.

Las autoras estudian la construcción de lasnociones espaciales y geométricas a partir dedos enfoques diferentes, el abstracto y el con-creto. El primero se vincula con los trabajos rea-lizados por Piaget e Inhelder, mientras que elsegundo se refiere a las relaciones que el sujetoestablece con su espacio específico, casa, es-cuela, colonia, etcétera. Se reconoce que hayuna dependencia mutua entre ambos enfoques.

En el primer enfoque, llamado “Relacionesespaciales fundamentales” se analiza el de-sarrollo que siguen los niños en cada una delas fases señaladas por Piaget: sensoriomotriz,preoperatorio y operaciones concretas, desta-cando en esta última tres tipos de relacionesespaciales con características muy particula-res, el espacio topológico, el proyectivo y eleuclideano. En el segundo enfoque, llamado“Cognición ambiental” se resalta la forma enque los sujetos, a través de su desarrollo,manipulan la información que procede de suambiente espacial. En este proceso se distin-guen tres tipos de representaciones que semuestran secuencialmente, los mojones, lasrutas y las configuraciones.

Las autoras complementan el análisis de losdos enfoques anteriores con el modelo de VanHiele, mismo que establece cinco niveles delogro en el proceso de estudio de la geometría.

El capítulo IV se refiere al tercer eje temáti-co: “La medida y sus magnitudes”. Este capí-tulo se inicia con aspectos teóricos e históri-cos sobre la noción de medida y la estrecharelación de ésta con el estudio del númerocomo elemento que permite expresar medi-das y con el desarrollo de la habilidad paraestimar que es consustancial con la habili-dad de medir.

Más adelante se analiza el proceso cognitivoque siguen los niños en el estudio de la medi-ción y que va desde las mediciones perceptivashasta la medición convencional, pasando porel desplazamiento de objetos, el inicio de laconservación y transitividad y la constituciónde la unidad de medida.

Dicho de manera breve, las autoras propo-nen el estudio de cuatro magnitudes que son:longitud, capacidad, peso y tiempo, vistasdesde su uso social, acercando a los niños alconocimiento de los instrumentos de medi-ción como instrumentos, mas no como obje-tos de estudio en sí mismos.

El quinto y último capítulos, cuyo título es“A modo de síntesis y aperturas”, aporta loselementos necesarios para el análisis de lasactividades didácticas que se plantean a losniños y algunas ideas sobre la manera devincular contenidos de los tres ejes temáti-cos que se propone estudiar. Dichos elemen-tos no sólo se relacionan con las actividades

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diseñadas sino también con aquellas quesurgen de la vida diaria, ya sea que se pla-nifiquen como actividades aisladas o enmar-cadas en una unidad didáctica o en un pro-yecto.

No deja de llamarme la atención el hechode que las autoras dejen de lado las discre-

pancias que suele haber en cuanto a la formade planificar el trabajo. ¿Situaciones didácti-cas, unidades didácticas o proyectos? Quie-ro entender que éste es un falso dilema, lofundamental es todo lo que gira alrededor delos desafíos intelectuales que los niños pue-den y deben enfrentar.

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¡NUEVO LIBRO DE TEXTO DE MATEMÁTICAS. SEXTO GRADO!

Maestros, en el próximo ciclo escolar 2001-2002 se entregará a los niños de sextogrado un nuevo libro de matemáticas, el cual consta de 87 lecciones, divididas encinco bloques que dan continuidad al libro de quinto grado.

La Secretaría de Educación Pública procura que los libros de texto estén actualiza-dos y favorezcan la reflexión de los alumnos. Esto sólo se puede lograr con la parti-cipación de los maestros, por esta razón los invitamos a que conozcan el libro deMatemáticas. Sexto grado y nos envíen sus comentarios y sugerencias a la direccióno correo electrónicos que aparecen en la página dos de este boletín.

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