BOOLE

ALGEBRA DE BOOLE

3.1- INTRODUCCION

El algebra de BOOLE es una serie de reglas, leyes y teoremas

por medio del cual las operaciones lgicas se pueden representar en

forma de ecuaciones para ser manipuladas matemticamente. En la

electrnica han sido sistemticamente utilizadas en el anlisis de las

operaciones de los circuitos lgicos digitales.

En 1854 George Boole public su primer libro titulado " Una

Investigacin De Las Leyes Del Pensamiento En El Cual Se

Fundamentan Las Teoras Matemticas y Probabilidades"1. Fu a

partir desde ese momento que se di a conocer lo que hoy se llama

Algebra de Boole, y su desarrollo se debe a la aplicacin que se le ha

dado en el anlisis y diseos de circuitos lgicos digitales.

La aplicacin del Algebra de Boole , en el diseo y anlisis de

circuitos lgicos digitales, fu explorado primeramente por Claude

Shannon en 1938 en M.I.T. (Massachusse Institute of Tecnology), en

una tesis que titul " Un Anlisis Simblico De Los Circuitos a Rels y

Conmutadores" . Esencialmente describi un mtodo por medio del

cual cualquier circuito que sea formado por rels o conmutadores,

puedan ser representados por expresiones matemticas. Hoy sin

embargo, debido al crecimiento de la tecnologia en semiconductores,

todo lo que se haca con elementos electromecnicos han sido

remplazado, aunque el mismo anlisis lgico se sigue aplicando.2

3.2.- CONSTANTES Y VARIABLES. Hasta aqu se ha dicho que una palabra binaria de N bit's (ene

dgitos), est limitada al uso de una cantidad de conductores dados en

la misma proporcin; es decir, si una palabra es de cuatro bit's ,

significa, que para transmitir esta cantidad de informacin son

necesarios cuatro conductores; de igual manera, si fuesen ocho bit's,

seran necesarios ocho cables. Se ha de recordar, que como cada

conductor representa un dgito binario, el bit menos significativo

(LSB), es el primer conductor de derecha a izquierda, y el bit mas

significativo (MSB), es el ltimo del mismo sentido.

1.- AN INVESTIGATION OF THE LOW OF THOUGHT ON WHICH ARE FAUNDED

THE MATEMATICAL TEORIES OF LOGIC AND PROBABILITIES. 2. FLOYD, TYhomas L.

P. 107.

ALGEBRA DE BOOLE PAGINA Nro. 69

3.2.1.- CONSTANTES

Una constante es un valor , cantidad, etc, que tiene un

significado fijo; por ejemplo, 5, 5.3 , 678, etc, son constantes y

como tal, siempre tienen el mismo valor. En el algebra

ordinaria existen muchas constantes posibles los cuales se

incluyen en nmeros enteros y fracciones. En el algebra de

Boole solo existen dos constantes posibles, el cero "0" o el "1";

y sirven para representar dos niveles de voltajes disponibles

en un conductor.3 Estos niveles pueden ser 0 5 voltios; 0 y 12

voltios, etc.

3.2.2.- VARIABLES

Una variable es una cantidad que puede tomar un valor

de cualquier constante en instantes de tiempo diferentes. El

momento en que una variable sufre una trancisin de 0 a 1,

viceversa, puede ser infinitesimal o, por el contrario

relativamente largo.

Desde el punto de vista del Algebra de Bolee, cada bit

representado por un conductor, forman una variable al cual se le puede asignar una letra del alfabeto; donde la letra "A" ,

por lo general representa el MSB de la palabra.

En la lgica digital existen tambin variables

dependientes y variable independientes. Estas ltimas, son

aquellas por medio del cual se tiene el control a la hora de

realizar un diseo y representan las variables de entrada del

sistema. Las variables dependientes son las que se originan del

resultado de procesar las variables independientes para as

obtener una funcin esperada. Ambas variables, para hacer

un mejor anlisis de las misma, se representan en una tabla

llamada "tabla de la verdad", (TRUE TABLE).

Supongase por ejemplo cuatro conductores; como cada

uno representa una variable, estas pueden ser A, B, C y D;

que a su vez, generan 24 posibles conbinaciones, es decir, 16

palabras binarias. Si fuesen tres variables, seran 23= 8

palabras posibles.Esto se ilustra en la figura # 3.1.

3.- HOERNES, Gerald. MELVIN, Heiweil.

P. 18.


FIGURA # 3.1

3.3.- OPERACIONES Y FUNCIONES. Las funciones aritmticas del algebra de Boole se forman con las variables y los operadores. De estos ltimos los mas bsicos son la

adicin y el producto.

3.3.1.- LA ADICION. A diferencia con las operaciones aritmticas

comunmente usadas, la suma, en el Algebra de Boole es

parecida pero no indentica, pus existe una diferencia que se

ilustrar en el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 3.3.1. Supongase que se tiene una variable llamada "A" que se

desea sumar a otra llamada "B", lo cual forma la funcin : F(

A,B) = A+B . Como son dos variables que se suman se puede

predecir el resultado facilmente, debido a que solo son cuatro

combinaciones posibles, y esto se demuestra con la siguiente

tabla de la verdad:


A esta operacin se le llama "OR", y se acostumbra a

decir " A OR B".

3.3.2.- EL PRODUCTO. En el Algebra de Boole, el producto entre dos variables

es parecido al aritmtico pero con al diferencia que el valor de

las variables no son cifras formadas por dgitos, sino que por

representar un solo bit, adquiren dos valores posibles, 0 1.

EJEMPLO 3.3.2. Supongase que se desea realizar la multiplicacin

Booleana de una variabla "A", con una variable "B", lo que

genera la siguiente funcin: F(A,B)= A . B.Se tiene, por lo

tanto, segn la tabla de la verdad dada a continuacin:

A esta operacin Booleana se le llama AND, y a la

funcin se lee "A AND B".


3.3.3.- INVERSION O COMPLEMENTO. Aunque en aritmtica no existe esta operacin, en el

Algebra de Boole es comn su empleo; por lo general se le llama

funcin inversora , complemento de una variable u operador

NOT. Se simboliza colocandole a la variable indicada una

barra encima de la misma.

Como ejemplo supongase que se tiene una variable

dependiente "Y", que es el complemento de una variable

llamada "A", entonces la expresin se escribe:

Se dice que la salida es complemento de la entrada, de manera

que si A=1, entonces Y=0; o si A=0 , Y= 1. Esta operacin se

puede aplicar a otro grupo de funciones, por ejemplo, si se tiene

una funci Z= A . B; y ,

3.4.- COMPUERTAS LOGICAS Cada una de las funciones bsicas del Algebra de Boole (AND,

OR Y NOT), se pueden representar circuitalmente por medio de

smbolos llamados compuertas lgicas.

3.4.1.- COMPUERTA AND. A continuacin se muestra como se representa

simblicamente el producto de dos variables por medio de una

compuerta AND.


.

-

FIGURA # 3.2.

Si son tres variables, supongamos, X, Y y Z la funcin

viene dada por F(X,Y,Z)= X . Y . Z . La representacin

circuital es de la forma:

FIGURA # 3.3

Para una funcin de cuatro variables F= a.b.c.d:

FIGURA # 3.4.


3.4.2.- COMPUERTA OR. La suma Booleana se puede representar simblicamente

por medio de una compuerta . A esta ltima se le llama "OR"

que es el nombre de lo operacin. En el ejemplo siguiente se da

la representacin circuital de una compuerta OR.

a.- Para una funcin de dos variables, A yB.

FIGURA # 3.5.

b.- Para una funcin de tres variables, A, B y C

respectivamente.

FIGURA # 3.6.


3.4.3.- COMPUERTA INVERSORA (NOT ). La operacin inversora o complemento se puede

representar simbolicamente en los circuitos de la siguiente

forma: Sea X una funcin que es el complemento de la variable

A.

FIGURA # 3.7.

3.5.- EXPRESIONES BOOLEANAS. Una expresin Booleana o funcin lgica es la aplicacin de los

operadores bsicos , AND, OR y NOT, a una o mas variables y/o

constantes.

Una manera de construir expresiones Booleanas de forma

sencilla, es a travs del anlisis del lenguaje con que nos comunicamos;

y esto se logra, al darle valores lgicos (verdadero o falso ) a las

oraciones o frases que indican una accin.

A continuacin se darn unos ejemplos de oraciones que

indican accin:

EJEMPLO 3.5.1. Sea la siguiente oracin:

" Mara come carne." Esto denota la accin de si Mara come

(verdadero) carne, o mara no come carne (falso) .

EJEMPLO 3.5.2. A continuacin una frase que no denota accin:

"Comer carne". (No se puede realizar una funcin lgica con esta

ltima.)

EJEMPLO 3.5.3. Se puede crear una funcin a partir de una oracin:

"Carlos pasa el examen de lgica, si presta atencin en clase y estudia

a tiempo; o busca la informacin adecuada , la estudia a tiempo y sin

salir de casa.

La frase "Carlos pasa el examen de lgica" , se puede

representar como una variable dependiente "Y", que puede ser

funcin, verdadera (1), o falsa (0), de las frases que le siguen.


Las frases "prestar atencin en clase", puede ser verdadera (1)

o falsa (0), y por lo tanto se representar como variable "A".

"Estudia a tiempo ", como variable "B'; "busca la informacin

adecuada", como variable "C"; y , salir de casa ,variable "E". Como

consecuencia, obtendriamos una funcin de la siguiente manera:

De igual manera se puede formar una expresin logica a partir

de una tabla de la verdad, cuyos valores sean extraidos de una oracin

dada.

EJEMPLO 3.5.4. Se tiene una habitacin que posee tres entradas independientes

, a travs del cual se permite que pase una o dos personas

simultaneamente; y por cada puerta una persona a la vez. En caso de

que nadien entre o de intentar pasar tres personas simultaneamente,

las puertas permanecern cerradas. En caso de cumplirse lo primero

estipulado, las puertas se abren simultaneamente.

Supongamos que en cada entrada existe un detector que indica

con "0" cuando no intenta entrar nadien, y con "1" , cuando alguien

si est presente. Por lo tanto, designamos a cada detector como

variable independiente; como consecuencia surgen tres variables "A,

B y C".

Entonces pueden ocurrir las siguientes situaciones: no entra

nadien , A=0, B= 0 y C= 0; F=0 permanecen cerradas las puertas.

Intenta una persona por la puerta "A" unicamente , A=1, B= 0 y C=

0; y F=1 para abrir las puertas.Todas la combinaciones posibles se

representan por medio de la tabla de la verdad siguiente:

FIGURA # 3.8.


Sacamos la expresin Booleana donde se cumple la condicin

para cuando F= 1; como por ejemplo;

Donde cada producto (AND), resultante, de dos o mas variables

simple se le llama tminos. la funcin dada como suma de estos

trminos, se dice que est formada como "suma de productos" . Entoces:

(F-5.1)

La expresin anterior ,F-5.1, si la representamos circuitalmente

quedara :Ver figura Fig-3.9.

F

IGURA # 3.9.

El grupo de compuertas, AND y OR, de dos entradas se pueden

sustituir por aquellas que poseen tres o cuatro entradas si es


necesario. Obviamente, el hecho de utilizar una compuerta

determinada, est influenciada por el factor econmico entre otros. En

la figura F-3.10. , se muestra la manera en que quedara el circuito

pero con compuertas de tres entradas.

FIGURA # 3.10.

Si se extrae la expresin tomando en cuenta solo cuando F= 0,

la ecuacin Booleana obtenida sera:

Se dice que esta expresin esta dada como "producto de

sumas". Hasta aqu se observa que las expresiones Booleanas

determinan la cantidad de compuertas a utilizar y su forma de como

van a interconectarse. Mientras mas compleja es la expresin, mas

complejo es el circuito y mayor cantidad de compuerta seran

necesarias. Es por esta causa que es indispensable minimizar o

simplificar lo mas posible la expresin por medio del uso del algebra

de Boole u otro mtodo diseado para este fin.

Dentro de las expresiones dadas como suma de producto se

darn como ejemplo las siguientes:


A continucin un ejemplo de algunas expresiones cuyos

trminos estn dados como productos de sumas:

Como se ha visto, una caracterstica importante es que en su

implementacin solo se utilizan dos niveles de compuertas:

En suma de productos, primero se dibujan las compuertas

AND y luego las OR.

En producto de sumas, se dibujan primero las compuertas OR

y luego las AND. Ver figuras # 3.9 y 3.10.

EJEMPLO 3.5.5 a).- He aqu una expresin dada como suma de producto con la

funcin que se muestra en la tabla de la verdad del lado izquierdo de

la figura dada a continuacin:

FIGURA 3.11.

b).- Si se desea como producto de sumas:

FIGURA # 3.12.


c).- Funciones de mas de dos variables:

3.6.- LEYES Y TEOREMAS DE BOOLE. Como se puede observar en el tema anterior que el resultado

circuital obtenido resulta muy grande y costoso para la operacin

que va a realizar. Pus bin, ahora se estudiarn las leyes y teoremas

que son necesarios para optimizar un circuito digital en cuanto a

tamao costo.

3.6.1.- LEYES DE LA SUMA. Son propias de la operacin "OR". Se divide en:

a).- Elemento Neutro.

El elemento neutro es el cero (0), entoces se tiene que:

b).- Elemento nulo.

El elemento nulo es el uno, se tiene que:


3.6.2.- LEY DE LA MULTIPLICACION. Es una propiedad que se cumple en la operacin AND.

a).- Elemento neutro: El elemento neutro en el producto es el

uno (1).:

b).- Elemento nulo: el cero (0).:

3.6.3.- LEY DE LA POTENCIACION. Se cumple lo siguiente:

Observese, que la suma de dos variables de igual valor

da la misma variable, a diferancia de la suma algebraica donde

se multiplica por dos,(0+0= 0;1 + 1= 1).

3.6.4.- LEY DEL COMPLEMENTO. a).- En la suma:


b).- En el producto:

3.6.5.- LEY DE INVOLUCION Se tiene que :


3.6.6.- LEY CONMUTATIVA. a).-En la adicin:


3.6.7.- LEY ASOCIATIVA. a).- En la adicin:


3.6.8.- LEY DISTRIBUTIVA. En esta ley se conjugan el producto y la suma :


3.6.9.- TEOREMAS. Los teoremas que se dan a continuacin han surgido de

la aplicacin de las leyes antes expuestas. Son tiles en las

simplificaciones de las expresiones Booleanas. He aqu un

resumen de los mismos:

3.9.1.- DEMOSTRACION:


EJERCICIO:

Utilizando el mismo mtodo, demostrar los

teoremas restantes.

EJEMPLO 3.6.1. Encontrar una expresin mnima para la siguiente

funcin Booleana:

Sin embargo si agrupamos otros trminos en al misma

ecuacin, queda que: (Repitiremos nuevamente la ecuacin

Booleana dada).

3.6.10.- TEOREMA DE DEMORGAN. Es un teorema muy utilizado dentro del algebra

Booleana. Consiste en el desarrollo de una inversora que ha


sido aplicada a un grupo de variables o trminos; bin sea que

est dado como sumas (ORed), o como productos (ANDed).

a).-Teorema de DeMorgan en la adicin. Se le llama tambin complemento de suma. Observe

detenidamente la siguiente tabla, T-3.6

T-3.6

Como puede notar, la parte "a" de la tabla T-3.6, es la

tabla de la verdad de una compuerta OR; la parte "b", es su

negado o complemento; por lo tanto, en la parte "c", se

muestra que el mismo resultado se obtiene negando las dos

variables por separado y luego se multiplican. En conclusin, se

puede decir que una funcin suma que sea negada, es igual al

producto de las mismas variables pero complementadas; es

decir:

Esta parte del teorema se hace extensivo a dos o mas

variables:


Si es de ene variables:

b).-Teorema de DeMorgan en el producto. Se le llama tambin complemento del producto.

Observe la siguiente tabla. T-3.6.2

T-3.6.2

De la tabla anterior se llega a la conclusin que

cuando se complementa un producto, el resultado es

igual a que se sumaran individualmente sus variables

complementadas. Lo anterior se hace extensivo para un

producto de ene cantidad de variables.

EJEMPLO 3.6.2


Simplificar la siguiente expresin Booleana:

EJEMPLO 3.6.3 Simplificar:


EJEMPLO 3.6.4 Simplificar utilizando los teoremas estudiados.

EJEMPLO 3.6.5 Aplique el teorema de DeMorgan a los siguientes

tminos dados como complemento de productos:

EJEMPLO 3.6.6 Aplique el teorema de DeMorgan a los siguientes

trminos dados como complemento de sumas:


3.7.- EXPRESIONES EN FORMAS CANONICAS. Cada uno de los trminos de las expresiones Booleanas, bin sea

que estn dados como suma de productos o como producto de sumas,

se pueden representar por su valor en decimal dentro de una funcin .

Esto es lo que se denomina forma cannica de una funcin.

Cuando se seleccionan los trminos expresados en su forma

cannica como suma de producto, en una ecuacin Booleana , se les

llama " mintrminos " y se designa como " mi ". Si los trminos

que se toman son aquellos que generan una funcin como producto de

sumas, se le llaman "Maxtrminos", y se representan con " Mi ".

En la tabla T-3.7.1 se observa la cantidad de mintrminos y

maxtrminos que pueden generar tres variables (A,B y C):

T- 3.7.1

Cuando se desea formar una expresin Booleana como suma de

productos, se colocan aquellos mitrminos, es decir, donde la funcin

sea "1". Por el contrario, si se desea formar una expresin dada como

producto de sumas, se consideran solo los maxtrminos, es decir,

donde la funcin sea cero " 0 ".

EJEMPLO 3.7.1 Extraiga la expresin en mintrminos y maxtrminos de la

funcin que se explica con su tabla de la verdad acontinuacin.


FIGURA # 3.13.

La funcin expresada en mintrminos queda de la suguiente

forma:

f(A,B,C)=m (0,2,3,6).

El simbolo significa sumatoria de todos los mintrminos sealados, que es lo mismo decir suma de producto. Una vez obtenida

esta ecuacin se lleva a la expresin Booleana correspondiente.

En maxtrminos se tiene la expresin:

f(A,B,C,) = M(1,4,5,7) El smbolo implica que todos los maxtrminos van multiplicandose,

es decir , la funciones el producto de sumas:

Cabe resear aqu, que esta ltima ecuacin genera los mismos

resultados que la dada como suma de productos.(Compruebelo

introduciendo todos los valores de la tabla de la verdad indicada). las

sumas se hacen con la intencin de que cada una de cero como

resultado de cada combinacin correspodiente al valor de la funcin.


3.8.- EXPANSION DE UNA FUNCION. De igual manera, en cualquier expresin Booleana que est

minimizada se le encuentra su forma cannica expandida, bien sea en

mintrminos o maxtrminos. Para ello existen dos mtodos que se

pueden utilizar; uno, por medio del empleo de la tabla de la verdad, y

otro utilizando las reglas del Algebra de Boole.

A continuacin se darn varios ejemplos de ambos mtodos.

EJEMPLO 3.8.1. Encontrar la forma cannica dada en mintrmino, la siguiente

expresin:

Como se observa, intervienen cuatro variables que pueden

formar 16 combinaciones posibles, es decir, existiran 16 mintrminos.

Entoces aplicando la ley de Boole sealada se obtiene:

Entoces la funcin expandida en minterminos se expresa:

f(a,b,c,d)= m(o,1,2,3,5,7,10,14)


La expansin en maxtrminos corresponde a los nmeros en

decimal que complementa a la expresin anterior:

f(a,b,c,d) = M (4,6,8,9,11,12,13,15)

EJEMPLO 3.8.2. Encontrar la forma cannica, dada en maxtrmino, a la

siguiente expresin Booleana:

Como en el ejemplo 3.7.3, existen cuatro variables, es

decir que se tienen 16 combinaciones posibles qu entran en

juego para que la funcin sea verdadera. Para expandirla a

maxtrmino se utiliza la ley del complemento en el producto, es

decir, se sustituyen los literales que no aparecen en los trminos

por la expresin equivalente a :

Entoces se tiene:


3.9.- COMPUERTAS NAND . A veces resulta mas barato el hecho de usar un solo tipo de

compuerta a la hora de implementar un circuito para que haga una

funcin determinada, en vez de realizar el circuito de la manera como

tradicionalmente lo hemos venido haciendo, es decir, con varias

compuertas. Las compuertas NAND son tiles , al igual que las NOR,

que se estudiaran en el prximo tema, para realizar este tipo de

trabajo.

La compuerta NAND, es el resultado de complementar la

compuerta AND ( NOT-AND); es decir, como la funcin de una

compuerta AND viene dada por X= A.B , entonces:

FIGURA # 3.13.


Smbolo lgico:

FIGURA # 3.14.

3.9.1.- NAND COMO INVERSORA. Si se hace una entrada como uno lgico "1"., se tiene:

FIGURA 3.14.

3.9.2.- NAND USADA COMO COMPUERTA AND. Se recurre a la Ley de Involucin, que dice:

Si se tiene, por lo tanto, una funcin como F=A.B,

entonces:

Lo que implica que se puede representar circuitalmente como:

FIGURA 3.15.


3.9.3.- NAND COMO COMPUERTA OR. Si apartir de una funcin OR: F= A+B, se le aplica la

ley de potenciacin, y luego se resuelve por medio del teorema

de DeMOrgan, se tiene:

Cuya representacin circuital viene dada de la siguiente forma:

FIGURA 3.16.

Esta propiedad de las compuertas NAND, es la mas til

para representar otras funciones.

3.9.4.-NAND COMO COMPUERTA UNIVERSAL. a.- Sea la siguiente funcin: F= A.B + C.

Aplicando la ley de potenciacin y desarrollando con elteorema

de DeMorgan, se tiene:

El logigrama sera:

FIGURA 3.17.


b.- Sea la siguiente funcin:

El circuito queda de la forma:

FIGURA # 3.18.

EJERCICIO 3.9.

Representar circuitalmente con compuertas NAND las

funciones lgicas dadas a continuacin.


3.10.- COMPUERTAS NOR . Como su nombre loindica, la compuerta NOR viene a ser la

negada de la compuerta OR (NOT-OR). La tabla de la verdad y su

smbolo lgico es el representado en la figura dada a continuacin.

FIGURA # 3.19.

3.10.1.- NOR COMO INVERSORA. Al igual que las compuertas NAND, las NOR se pueden

utilizar como inversoras:

FIGURA # 3.20.

3.10.2. NOR USADA COMO AND. Como la funcin AND viene dada de la forma:

F= A.B.

Entonces, aplicando involucin, se tiene:

El cual, su representacin circuital viene dada de la siguiente

forma:


FIGURA # 3.21.

3.10.3. NOR COMO COMPUERTA OR Como la funcin OR viene dada de la forma:

F = A + B

Entonces:

Cuyo circuito lgico es:

FIGURA # 3.22.

3.10.4.-COMPUERTA NOR COMO ELEMENTO

UNIVERSAL. Al igual a como se hizo con las compuertas NAND,

cualquier funcin se pude representar circuitalmente con

compuertas NOR. Sean los ejemplos siguientes:

a.- Se desea representar circuitalmente con compuertas

NOR , la funcin dada a continuacin:

Entonces, aplicando la ley de potenciacin y teorema de

DeMorgan se tiene,

Lo cual se tiene:

FIGURA # 3.23.


b.- Se desea representar circuitalmente con compuertas

NOR , la funcin dada a continuacin:

Entonces, aplicando la ley de potenciacin y teorema de

DeMorgan se tiene,

Lo cual se tiene:

FIGURA # 3.24.

EJERCICIO 3.10.

Representar circuitalmente las siguientes funciones con

compuertas NOR.

a.-

b.-

c.-

3.11.- LA FUNCION OR EXCLUSIVA (OREX). Dentro de las expresiones Booleanas existe otra funcin bsica,

llamada OR exclusiva, que dada en trminos de dos variables (A y B)

se puede deducir mediante la siguiente tabla de la verdad:

FIGURA # 3.25.

La tabla de la verdad anterior, indica que la funcin ser uno,

si y solo si, exclusivamente la variable A es uno la B es uno.


El circuito equivalente realizado con un arreglo AND-OR, viene

dado en la figura 3.26.

FIGURA # 3.26.

Su smbolo lgico:

FIGURA # 3. 27.

3.10.1.- LA FUNCION NOR-EX. Consiste en complementar la funcin OREX, de la

forma:

Sea,

Recurriendo al teorema de DeMorgan, se tiene,

Aplicando propiedad distributiva,

Su circuito equivalente:


FIGURA # 3.28.

Smbolo lgico:

FIGURA # 3.29.

3.10.2. LA COMPUERTA OREX COMO

ELEMENTO UNIVERSAL Existen funciones donde es preferible usar las

compuertas OREX para la construccin del circuito,con la

finalidad de que sea ms econmico, ya que con arreglos AND-

OR se utilizaran mas circuitera.

Sea la siguiente funcin; puede comprobar que es

imposible obtener un resultado ptimo con la misma aplicando

las reglas hasta aqu conocidas:

Aplicando propiedad distributuva:


El circuito viene dado por la figura:

FIGURA # 3.30.


EJERCICIOS:

3.1.- Construya una tabla de la verdad para cada una de las siguientes

expresiones:

3.2.- Dada las siguientes oraciones, representelas a trav de una expresin

Booleana:

a.- Si no llueve maana, estudiar lgicas.

b.- Pedro ve televisin, si es un dia par del mes, o si es jueves.

c.- Carlos lee el peridico, si ha terminado de jugar football o si

est cansado.

3.3.- Dada la siguiente tabla de la verdad, para cada funcin, represente la

expresin Booleana como:

a.- Suma de producto.

b.- Producto de suma.

c.- Circuitalmente.

FIGURA # 3.31.


3.4.- Escribir una expresin Booleana para cada uno de los siguientes

circuitos lgicos:

FIGURA # 3.32.

3.5.- Utilizando las leyes y teoremas del algebra de Boole, simplificar, tanto

como sea posible, las siguientes expresiones:

3.6.- Escriba una expresin Booleana dada las siguientes oraciones:

a). X es uno (1), si solo si, A y B es uno, o A y B son cero.

b).- Y es uno, si solo si, a,b y c son cero (0), si solo uno de ellos es

uno.

c).- F es cero cuando solo xiste un par de uno en las posibles

combinaciones de: A,B,C y D.


6.7.- Dados los siguientes circuitos, escribir una expresin lgica, extraer

sus mintrminos, maxtrminos y tabla de la verdad.

3.8.- Aplique el teorema de DeMorgan a cada una de las siguientes

expresiones.

3.9.- Implemente circuitalmente, utilizando compuertas NAND, las

siguientes expresiones.


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