Cinemtica Del Brazo Articulado PUMA

UNMSMUNMSM Cinemtica Del Brazo Articulado PUMA

UNMSMMORENO MARCANI JEAMPIERRE ANTONY 2190162TRABAJO DE INVESTIGACIN

Cinemtica Del Brazo Articulado PUMA

Cinemtica Del Brazo Articulado PUMA

Estructura del brazo robticoEl robot PUMA de la serie 500 es un brazo articulado con 6 articulaciones rotatorias que le proporcionan 6 grados de libertad y le permiten posicionar y orientar su herramienta final. De manera ms especfica, las 3 primeras articulaciones (sistema Hombro-Codo-Mueca) posicionan en el espacio el grupo formado por las 3 ltimas, que son las que orientan el efector (o mano robtica).

La cinemtica del brazo articulado la formularemos siguiendo la representacin de Denavit-Hartenberg, cuya descripcin comprende 2 apartados: asignacin de Sistemas de Referencia y relacin de parmetros asociados a elementos y articulaciones.Representacin Denavit-HartenbergLa cinemtica de una cadena articulada se basa en asociar a cada par articulacinbrazo un Sistema de Referencia Local con origen en un punto Qi y ejes ortonormales { Xi,Yi, Z i} , comenzando con un primer sistema de referencia fijo e inmvil representado por los ejes { X0 ,Y0 ,Z0} , anclado a un punto fijo Q0 de la Base sobre la que est montada toda la estructura de la cadena. Este Sistema de Referencia no tiene por qu ser el Universal con origen en (0,0,0) y ejes { Xu, Yu, Zu} asociados a la Base cannica.Las articulaciones se enumeran desde 1 hasta n (n = 6 en nuestro caso). A la articulacin i-sima se le asocia su propio eje de rotacin como Eje Z i-1, de forma que el eje de giro de la 1 articulacin es Z0 y el de la 6 articulacin, Z5 .

La especificacin de cada Eje i X depende de la relacin espacial entre i Z y i 1 Z - , distinguindose 2 casos: Zi y Zi-1 no son paralelosZi y Zi-1 son paralelos

Sistemas de Referencia en el PUMAEn la siguiente Figura aparecen representadas las 6 articulaciones del robot junto con sus brazos asociados, que han sido rotados ligeramente para visualizar mejor los ejes de cada Sistema de Referencia.

1- La 1 articulacin, dibujada en Rojo junto con el brazo que acciona al rotar, tiene asociado el S.R.(sistema de referencia) de la Base {X0 ,Y0 , Z0} junto con su origen Q0 , todos ellos anclados y fijos a la Base.

2- La 2 articulacin, dibujada en Azul con el brazo que acciona al rotar, tiene asociado el recin definido Sistema de Referencia { X1 ,Y1 , Z1} , alrededor de cuyo eje 1 Z rota. Ahora los ejes 1 Z y 2 Z son paralelos, por lo que el eje 2 X es perpendicular a ambos y coplanario con 1 Z y 2 Z .

3- La 3 articulacin, dibujada en Verde, tiene asociado el S.R. {X2,Y2 , Z2},Q2 y gira alrededor de Z2 . Para determinar sus parmetros a3 , d3 , a3 , y3 que definimos previamente el 4 S.R. {X3 ,Y3 , Z3 ,Q3} .

4- La 4 articulacin, dibujada en Amarillo, gira alrededor de Z3 . Los ejes Z3 y Z4 se cortan, siendo este punto de corte el origen Q4 . El eje X4 es entonces perpendicular a Z3 y Z4 y naturalmente a4 = 0 .

5- La 5 articulacin, dibujada en Gris, gira alrededor de Z4 . Los ejes Z4 y Z5 se cortan, siendo este punto de corte el origen Q5 , que coincide con Q4 . El eje X5 es perpendicular a Z4 y Z5 y a5 = 0 . El parmetro d5 es la distancia a lo largo de Z4 desde Q4 a la interseccin de Z4 y Z5 , con lo cual se tiene d5 = 0 . El ngulo que forman Z4 y Z5 respecto a X5 es a5 = 90 .

6- La 6 articulacin, dibujada en Cyan, gira alrededor de Z5 y es la ltima del brazo articulado. Dado que no existen ms articulaciones, y por tanto ms ejes de giro, se define un Sistema de Referencia, ligado al ltimo brazo en el que el eje Z6 coincide con Z5 mientras que X6 es cualquier vector perpendicular. El origen Q6 se sita en posicin arbitraria, generalmente en el extremo del brazo 5, que es donde se ancla la herramienta del manipulador.

Coordenadas de Qi en el S.R.Donde el subndice denota el Sistema de Referencia respecto al cual estn expresadas las coordenadas. En coordenadas homogneas:

Matrices de transformacin para el PUMA-560Las matrices de transformacin T son relaciones existentes entre la posicin y orientacin del extremo de un robot respecto del sistema de referencia fijo situado en la base del mismo. Para un sistema de n grados de libertad sera el producto de las n matrices de transformacin de cada articulacin eslabn, como se muestra a continuacin:

La siguiente Tabla:

A partir de la cual podemos obtener las 6 matrices de transformacin:

Y la transformacin de coordenadas desde el S.R.:

Para la ltima articulacin:

El problema cinemtico inverso.El conocimiento de la cinemtica inversa del brazo mecnico nos permite obtener, mediante el conocimiento de la posicin y orientacin deseadas para el efector final, el valor que deben de tener los ngulos entre los eslabones del mecanismo. A diferencia del problema cinemtico directo, en este caso no existe una manera sistemtica de obtener una solucin, siendo el procedimiento de obtencin fuertemente dependiente de la configuracin del robot.

El siguiente esquema expresa cul es el problema cinemtico inverso, en el robot tenemos los valores de las articulaciones y una posicin y orientacin del actuador final.

Este problema puede ser resuelto de diferentes formas, por ecuacin cinemtica (mtodos geomtricos) o, la solucin ms comn, ecuacin cinemtica diferencial Jacobiana.

Mtodos geomtricos:El mecanismo del brazo robtico es equivalente al que se muestra en la Figura:

El anlisis de la cinemtica de este mecanismo se puede simplificar al analizar slo el movimiento en un plano en vez del movimiento en el espacio. Basndonos en el sistema de coordenadas de referencia X0 Y0 Z0 entonces el efector final tendr su posicin definida por un vector del tipo (x, y, z). Es importante mencionar que cuando el robot se encuentra en su espacio de trabajo el vector final ser del tipo (0, y, z) porque no habra desplazamiento en el eje X0 perpendicular al plano. Luego, la proyeccin de la posicin en el eje Z0 quedar definida por el primer grado de libertad del sistema, entonces es posible reducir el anlisis cinemtico directo a hallar el valor de la componente Y0 para un sistema de tres grados de libertad. Definiendo la posicin de los puntos 1, 2, 3 y 4 en funcin de los ngulos se obtiene: Entonces, cuando el mecanismo est trabajando a partir de las relaciones geomtricas se obtienen las siguientes ecuaciones: Adems, para conseguir la perpendicularidad con respecto a la superficie de trabajo se trabaja con una restriccin ms, que sera (90- )+ (180- )+ (180- ) = 360, lo que deriva en la ecuacin 3.4.

Con estas cuatro incgnitas (1, 2, 3, y) y tres ecuaciones ((3.2), (3.3) y (3.4)) se puede definir la posicin final y del efector final conociendo slo uno de los ngulos .

Al igual que en la cinemtica directa el clculo se simplificar al analizar solamente el movimiento en un plano en vez de analizarlo en el espacio. Tomando como base en las variables definidas en la Figura 3.3 ahora lo que se buscar obtener son los valores de los ngulos para una posicin deseada. Tomando como base en las ecuaciones (3.2), (3.3) y (3.4) se llega a un sistema de ecuaciones no lineales, cuya respuesta son los ngulos .

Ejemplo del mtodo a emplear:Definir los valores de los ngulos para la configuracin deseada si tenemos de datos: z = 300, l1 = 500, l2 = 500, l3 = 100, y = 918.45-Estos valores se asignan para cada posicin.

Reemplazando los valores en las ecuaciones (3.2) y (3.3) se obtiene:

Por lo que ahora se cuenta con un sistema no lineal de dos incgnitas y dos ecuaciones, el cual se resolver mediante el Mtodo de Newton-Raphson. Se inicia definiendo la funcin F(1,2):

Es decir, que obteniendo los parmetros de Denavit-Hartenberg, mostrados en la tabla 3.1, fcilmente se pueden hallar las matrices de transformacin homognea.

Solucin de la funcin utilizando el cdigo en matlab:(Newton Raphson)% Newton Raphson solucin de un sistema de dos ecuaciones no % lineales por medio de iteracin error1 = 1.e8; xx(1) = 1.0; % valores iniciales de iteracin xx(2) = 0.5; iter=0; itermax=50. % inicia iteracin while error1>1.e-6 iter=iter+1; x = xx(1); y = xx(2); % Ingresar las dos funciones iguales a cero f(1) = 500*cos(x)+500*cos(y+x)-100; f(2) = 500*sin(x)+500*sin(y+x)-918.45; % Ingresar el Jacobiano del sistema J(1,1) = -500*sin(x)-500*sin(y+x); J(1,2) = -500*sin(y+x); J(2,1) = 500*cos(x)+500*cos(y+x); J(2,2) = 500*cos(y+x); % resuelve las ecuaciones lineales y = -J\f'; % mueve las soluciones, xx(k+1) - xx(k), a xx(k+1) xx = xx + y'; % calcula norma error1=sqrt(y(1)*y(1)+y(2)*y(2)) error(iter)=sqrt(f(1)*f(1)+f(2)*f(2)); ii(iter)=iter; if (iter > itermax) error1 = 0.; s=sprintf('****No convergi en las iteraciones.****',itermax); disp(s) end % verifica si error1 < 1.e-6 end x = xx(1); y = xx(2); f(1) = 500*cos(x)+500*cos(y+x)-100; f(2) = 500*sin(x)+500*sin(y+x)-918.45; % imprime resultado f xx iter % imprime grfica de tendencia semilogy(ii,error) xlabel('nmero de iteraciones') ylabel('norma de funciones') clear ii clear error

Este mtodo necesita de cierta informacin para empezar las iteraciones, como por ejemplo: a) Los valores iniciales para iniciar las iteraciones, los cuales se definen como: 1 = 1,0 2 = 0,5 b) El mximo valor de error admisible se define como: 10-6 c) Mximo nmero de iteraciones: 50 Los resultados de correr la rutina en el programa.

Es decir, que luego de cinco iteraciones se obtiene: 1 = 1.070 rad = 61.306 2 = 0.785 rad = 44.978

Grfica de tendencia

En la Figura se muestra lo rpido que converge este mtodo para el caso planteado, pero es importante recordar que en algunas ocasiones ni siquiera llega a converger dependiendo esto del punto inicial elegido para las iteraciones.

Bibliografa: Modelacin y simulacin dinmica de un brazo robtico de 4 grados de libertad para tareas sobre un plano horizontal Caracterizacin y modulacin del comportamiento del brazo robot modular, universidad Politcnica de Cartagena. Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico Departamento de Mecatrnica, ing.electronico Enrique Martinez pea.

Moreno Marcani Jeampierre Pgina 1