Busha, Charles, Harter, Stephen P. Métodos de investigación en bibliotecología : técnicas e interpretación -- México : UNAM, 1990. 407 p. Capítulo 5 INVESTIGACION DE OPERACIONES EN BIBLIOTECOLOGIA: ENFOQUES CUANTITATITOS DEL ANALISIS DE LOS PROBLEMAS ADMINISTRATIVOS INTRODUCCION

La Investigación de operaciones (IO) es la aplicación del método científico a las operaciones administrativas en un esfuerzo por ayudar a la administración en la toma de decisiones. Las técnicas de la investigación de operaciones se aplican a las actividades de la organización o sistemas y están diseñadas para proporcionar a la administración una base cuantitativa para la toma de decisiones. Así, lo mismo que la computadora y las técnicas de análisis estadístico, la investigación de operaciones puede ser un valioso instrumento administrativo. Las técnicas de la investigación de operaciones se han aplicado a problemas de administración tan diversos como la formación de carteras de inversiones, la distribución de recursos escasos, la congestión y el control del tráfico, la disposición de fuerzas militares, el diseño de redes telefónicas, la determinación de políticas de inventarios, y las estrategias en juegos.

La investigación de operaciones tuvo su comienzo en la investigación militar durante la II Guerra Mundial, con la aplicación del análisis matemático a problemas tales como la evaluación del armamento, la determinación de los datos causados por los bombardeos y el desarrollo de una estrategia óptima para la búsqueda de submarinos. La ciencia se había aplicado a los problemas de la guerra mucho antes de la década de los cuarentas, desde los tiempos de Arquimedes y Leonardo Da Vinci hasta el presente, pero el enfoque filosófico básico y el conjunto de técnicas analíticas que definen originalmente la investigación de operaciones, puede atribuirse a los grupos de investigación ingleses y americaños que llevaron el peso de la guerra. Después de ésta, organizaciones como la Rand Corporation refinaron y continuaron aplicando las técnicas de la investigación de operaciones a los problemas militares. Entretanto, otros investigadores entraron en la industria y en el mundo de los negocios donde comenzaron a utilizar la investigación de operaciones en el análisis de los diferentes tipos de problemas. Otros profesionales se incorporaron a las facultades de las universidades y pusieron la semilla de programas académicos formales de investigación de operaciones. Actualmente, muchas universidades y departamentos de instituciones académicas ofrecen cursos o programas de investigación de operaciones.

Reflejando la creciente importancia de la investigación de operaciones en el análisis de los fenómenos bibliotecarios, se han introducido en la currícula de varias escuelas de bibliotecarios cursos sobre la materia, incluyendo los de la Universidad de Chicago, la Universidad Estatal de Nueva York en Búfalo, y la Universidad de Illinois. En algunas escuelas de bibliotecología, se alienta a los estudiantes a elegir cursos de IO de otras unidades académicas de la universidad, especialmente de la administración de empresas. Este capítulo presenta una introducción básica a la naturaleza especial de la IO, e indica algunas de las aplicaciones de este enfoque a la investigación en bibliotecología.

La investigación de operaciones se ha definido un tanto jocosamente como "lo que hacen los investigadores en operaciones". Aunque resulta evidente la tortuosidad de esta definición, es difícil, no obstante, proporcionar una definición de la investigación de operaciones que pueda satisfacer a todos los profesionales. En uno de los primeros libros de texto que han tratado el tema, la investigación de operaciones se ha definido como "un método científico de proporcionar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones respecto a las operaciones bajo su control". La investigación de operaciones es a la vez un enfoque filosófico y un conjunto de instrumentos analíticos que surgen de la aplicación del método científico a los problemas de administración. Filosóficamente, la IO está en armonía con el método científico:

El enfoque de IO tiene mucho en común con el método científico: requiere una formulación precisa, a menudo abstracta, de las características esenciales de un

problema, una buena voluntad para emprender una investigación metodológica para producir la información necesaria para la toma de decisiones y la capacidad analítica para reconocer las consecuencias de esta información. Así, un enfoque de investigación de operaciones implica tres pasos principales: (a)

planteamiento del problema; (b) diseño de metodología; y (c) recolección de datos y análisis. La etapa de planteamiento del problema implica dos propiedades que son características del enfoque de IO. Primera, las hipótesis son de naturaleza típicamente matemática, implicando la formulación de un modelo matemático. Segunda, el planteamiento del problema implica generalmente una definición operativa de las características de la solución "mejor" u óptima para el problema administrativo que se que se estudia. La metodología empleada en un estudio de IO es frecuentemente experimental o de un tipo que implique la observación directa de los fenómenos de interés. En la etapa del análisis de la información se utilizan frecuentemente conceptos matemáticos o estadísticos relativamente sofisticados.

Dos instrumentos relacionados con la administracion moderna son el análisis de sistemas y la simulación de sistemas por computadora. Las Iíneas de demarcación entre la investigación de operaciones, la simulación de sistemas y el análisis de sistemas no son en modo alguno precisas y claras; estos términos son utilizados como sinónimos por algunos autores. Realmente, los tres enfoques tienen en común su aplicación a los problemas administrativos y su construcción y utilización de modelos de fenómenos del "mundo real" o sistemas. MODELOS

En el sentido en que la palabra se utiliza aquí, el término modelo se refiere a una representación de un fenómeno real, el aeroplano o ferrocarril de juguete del niño es un modelo rudimentario de los aeroplaños y ferrocarnles operativos. Otro tipo de modelo es un mapa, que proporciona la configuración de ciudades, pueblos, ríos y carreteras de una determinada localidad geográfica. Algunos mapas incluyen la representación de ciertas caracteristicas geológicas y otros no. Pero incluso los mapas geológicos son solamente modelos simples del verdadero terreno considerado; en algún nivel (por ej., al nivel de las rocas y de los árboles) ciertos fenómenos físicos se ignoran y no están representados como elementos del modelo.

Otro ejemplo de un modelo de mapa sencillo es la práctica de muchos bibliotecarios al ofrecer a los lectores una guía en forma de un plano de la biblioteca que indica la ubicación de las prinncipales secciones de la colección, asi como las mesas de información, salas de descanso, escaleras y elevadores. Aunque escasamente exacto, este modelo obviamente, sólo representa en forma parcial el verdadero edificio de la biblioteca.

Estos ejemplos ilustran el que generalmente no se alcanza que los modelos sean representaciones fieles de la realidad, aunque por supuesto deben de algún modo "capturar la esencia" de los sistemas que son modelados. Por ejemplo, los modelos sirven frecuentemente para un fin instructivo; este fin es obviamente mal servido si las características esenciales del sistema se ignoran o no tienen la representación adecuada. Sin embargo, no aparece tan claro lo que se considera "esencial". Puede arguirse que la identificación de esas características implica el asumir un determinado punto de vista. Por ejemplo, desde la perspectiva del usuario, puede ser que el plano de una biblioteca deba indicar todas las áreas de servicio en las que pueda esperarse que los usuarios hagan uso del edificio y su contenido. Desde este punto de vista, las áreas de almacenamiento serían probablemente identificadas ampliamente y la ubicación de las restantes salas y las mesas de información sería proporcionada. Pero desde la perspectiva de un bibliotecario profesional el piano debería enfatizar aspectos totalmente diferentes del edificio y los servicios de la biblioteca. Diseñado para un bibliotecario, podría esperarse que la función dictara las características que se muestran. Los detalles de los procesos técnicos, la catalogación, la encuadernación, los registros de series y otras operaciones de entre bastidores podrían ilustrarse, así como algunas (probablemente no todas) áreas de servicio que se muestran en el plano dedicado al usuario. Asi, la misma biblioteca podría modelarse

en dos plaños completamente diferentes. (Puede arguirse legítimamente que el bibliotecario debe ver su biblioteca como lo hace el usuario, que el servicio en vez de la función debe ser el punto de vista fundamental en la creación del modelo, incluso para los bïbliotecarios. Este argumento no ataca el modelo onentado a la funcibn per se; ataca las aceptaciones subyacentes en la creación del modelo).

El ejemplo anterior ilustra varias características de un modelo. El que construye un modelo generalmente tiene un propósito en mente y el propósito define un conjunto de restricciones que deterrninan las propiedades finales del modelo. Un modelo es asi mucho más que una fel reproducción o representación de la "realidad"; es la realidad vista de una manera especial. Los modelos no pueden caracterizarse como correctos o incorrectos, buenos o malos en si mismos; solamente pueden ser juzgados en términos del conjunto de restricciones asumidas en su· construcción. Las restncciones mismas pueden ser objetadas en otros terrenos.

ANALISIS DE SISTEMAS El "acercamiento a sistemas" es a la vez una filosofía y un conjunto de técnicas

analíticas por medio de las cuales un analista intenta considerar todos los aspectos de un sistema. En su más amplio sentido, el sistema se refiere a fenómenos tan diversos como la estructura ósea de un animal, una empresa comercial, una computadora electrónica, un fenómeno ecológico y las bibliotecas. No intentaremos definir el sistema sino en un sentido muy amplio y general. En su excelente libro no técnico, The Systems Approach, C. West Churchman define un sistema como "un conjunto de partes coordinadas para lograr un conjunto de objetivos". Haciendo más precisa esta definición, Churchman enumera los cinco aspectos pnncipales de un sistema como:

1. Los objetivos del sistema y las medidas ejecutivas que sustituyen a los objetivos. 2. El entorno del sistema: el conjunto de restricciones fijas que limitan el funcionamiento del sistema y no están bajo el control directo de los administradores del sistema. 3. Los recursos del sistema: el dinero, el personal y el equipo disponible para el sistema. 4. Los componentes del sistema: las operaciones y funciones reatizadas en cada uno de sus subsistemas. 5. La administración del sistema.

Se han escrito muchos documentos y monografías que explican aspectos del método

de sistemas en términos de bibliotecas, centros de comunicaciones y centros de información (véase, por ejemplo, F. W. Lancaster) Uno de los primeros bibliotecarios que escribieron sobre este tema fue Fremont Rider. Escribiendo hace más de 30 años sobre la práctica bibliotecaria pasada, Rider señaló la necesidad de enfocar desde el punto de vista de los sistemas modernos (y más generalmente, desde los principios del método científico), los problemas de la bibliotecología.

Y la razón de nuestro fracaso en integrar lo que eran realmente facetas de un sólo problema fue que estábamos cegados por el status quo. Insistíamos en continuar aceptando como axiomas bibliotecarios, inalterables e incuestionables, ciertas asunciones que ya no eran válidas; aforismos tales como, por ejemplo: Las bibliotecas son colecciones de libros; los libros se almacenan en estanterias; los materiales de la bibliotca tienen que ser catalogados; los catálogos tienen que hacerse con fichas; los libros tienen que estar ordenados por su número de clasificación, etc. No fue sino hasta que dejamos atrás y abandonamos cada uno de estos -y otros muchos supuestos axiomas básicos del método bibliotecario y cuestionamos seriamente su validez como axiomas, cuando comenzamos a hacer algún progreso real.

Fremont Rider indentificó asimismo la "explosión de información" como un simple crecimiento exponencial, un modelo matemático que examinaremos detenidamente más adelante en este capítulo.

Es frecuente el caso de que, con objeto de profundizar su conocimiento de un sistema, un analista construya una representación abstracta del sistema, un modelo del sistema. De especial interés aquí son los modelos de la investigación de operaciones, que son de naruraleza analítica y matemática. Pero antes de preceder al examen de algunos de los modelos de la investigación de operaciones y su aplicación a los problemas de la administración de bibliotecas, examinaremos brevemente el concepto de un modelo de simulación. MODELOS DE SIMULACION DE SISTEMAS COMPUTARIZADOS

Es posible modelar sistemas muy complejos con un programa de computación. Durante el "funcionamiento" de este programa de simulación, pueden variarse los parámetros del sistema y pueden observarse los efectos de la variacibn sobre las medidas del funcionamiento. Los programas de simulación utilizan a menudo los generc;íiores de números aleatorios para simular fenómenos probabilísticos como lanzar al aire una moneda o echar los dados. De esta manera pueden modelarse las características no deterministas de un sistema. Como esta tecnica se basa en nociones de azar, a menudo se le denomina el método Monte Carlo.

En una de las primeras aplicaciones de la simulación Monte Carlo a la bibliotecología, la Biblioteca de la Universidad de Lancaster elaboró un programa de simulación para ayudar a resolver el problema de determinar la politica óptima de préstamos en su biblioteca. El modelo consideraba factores tales como la duración de los períodos de préstamo, la posibilidad de renovaciones, reservaciones, recordatorios, la existencia de varios ejemplares de determinados libros y el número y los modelos de las peticiones. Se definieron tres medidas del funcionamiento como sustitutos operacionales del objetivo general de la biblioteca al proporcionar a los usuarios un buen acceso a los materiales. Estas fueron:

1. Disponibilidad inmediata: la probabilidad de que la petición de un determinado libro pueda ser satisfecha inmediatamente. 2. Nivel de satisfacción: en un determinado período de tiempo, la probabilidad de que una demanda fortuita pueda ser satisfecha inmediatamente. 3. Predisposición de la colección: la proporción del 10% de los libros más populares que no están en los estantes.

Una biblioteca bien dotada y eficiente deberá tener altos índices de disponibilidad

inmediata, y nivel de satisfacción (idealmente, 1.00) y una baja predisposición de la colección (idealmente, 0.00). Basándose en los valores obtenidos por computadora de estas medidas para varios largos períodos de préstamo y clases de libros (''popular", "muy popular" y "otros") la Universidad de Lancaster pudo seleccionar una óptima política de préstamos. CONCEPTO DE MODELO MATEMÁTICO

La investigación de operaciones hace un uso especial del modelo matemático. Un modelo matemático es en parte una teoría que se expresa en términos matemáticos. Pero si la teoría está relacionada con el mundo real, sus elementos abstractos deben también identificarse con objetos físicos, prácticos. Por definición, la investigación de operaciones se refiere al proceso de toma de decisiones de los administradores en el mundo real; asi al igual que con otro tipo de investigación científica, debe haber a la vez aspectos teóricos y prácticos para todos los modelos de investigación de operaciones.

Muchos de los modelos matemáticos creados psr los seres humaños han sido aplicados a la solución de los problemas prácticos de la medición. La figura 5.1 ilustra un problema que implica la medición de la distancia entre dos árboles, Ilamémoslos A y B. Desgraciadamente, esta distancia no puede medirse directamente, porque una barrera (un

gran edificio) está directamente entre los dos árboles. Sin embargo, si se puede encontrar una ubicación C tal que el ángulo ABC sea un ángulo recto y que los lados AC y BC puedan medirse directamente, el problema práctico de medir la distancia AB puede resolverse utilizando la teoría matemática de la geometría plana (o de Euclides). Si las lineas y puntos abstractos de la geometría euclidiana se interpretan como ubicaciones A, B, y C, entonces se produce un modelo matemático por el teorema de Pitágoras: "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" proporciona un modelo matemático del problema. Esta relación es una deducción (o teorema) de la geometría euclidiana. Sin embargo, esta será una verdadera formulación de nuestro hipotético problema práctico solamente si las asunciones subyacentes en el sistema teórico de la geometria eucludiana son verdaderas en la situación fisica bosquejada.

La relación de Pitagoras puede expresarse mucho más sencillamente en el lenguaje de las matemáticas que en el idioma ingles (o, realmente, en cualquier idioma natural). Si c, a,y b son la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo, respectivamente, la relación de Pitágoras puede expresarse simplemente por la ecuación algebraica c2 = a2 + b2 La identificación de este resultado teórico con nuestro problema práctico implica que

(AB)2 = (AC)2 + (BC)2

Puede ilustrarse una característica adicional de los modelos matemáticos

observando que el conocimiento del álgebra elemental nos permite solamente deducir otro resultado más:

AB= (AC)2+(BC)2

Así, la distancia entre los dos árboles A Y B, puede hallarse indirectamente midiendo

las distancias AC y BC, elevando al cuadrado esos números y sumando los resultados y finalmente, extrayendo la raíz cuadrada de la suma. Debe señalarse que una vez que se expresa una relación en términos matemáticos, puede utilizarse todo un sistema de matemáticas técnicas (en este caso, álgebra) para deducir nuevas relaciones. Es claro que en este contexto las matemáticas son un poderoso instrumento. Es este aspecto del

modelo matemático el que lo diferencia de otros tipos de modelos conceptuales como los que se derivan de la aplicación de argumentos filosóficos o análisis lógicos formales. Es esta caracterítica del modelo matemático la que lo hace uno de los más poderosos métodos analíticos para resolver problemas.

Tal vez deba anadirse una consideracibn final respecto al sentido en que empleamos la expresión modelo matemático para referirnos tanto a la teoría matemática como a la interpretación de esta teoría en el mundo real. Algunos escritores emplean la expresión modelo matemático para referisrse solamente a la teoría y pueden ignorar la importante cuestión de establecer una interpretación válida del modelo (o demostrar que la interpretación que ellos sugieren es realmente válida). Es posible (y realmente ocurre algunas veces) que una sencilla y elegante teoría matemática que es satisfactoria matemáticamente, simplemente no describe el fenómeno real en cuestión. Tal teoría puede ser un importante suplemento a la teoría abstracta ya establecida, pero no ha de contribuir necesariamente a ella. Una teoría matemática elegante es claramente de limitado uso práctico si las asunciones que la vinculan a la realidad no son realmente válidas. EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL COMO MODELO MATEMATICO ILUSTRATIVO Interés Compuesto

Como se observó anteriormente, el hecho de que ciertos fenómenos bibliotecarios puedan describirse por el modelo matemático de crecimiento exponencial ha sido conocido desde hace más de 30 años. El crecimiento exponencial es tal vez más conocido por los profaños en bibliotecología como la ley de "interés compuesto". Este modelo describe el crecimiento de muchos organismos naturales y sociales.

Una caracteristica fundamental del crecimiento de interés compuesto es que el incrcremento en tamaño en cualquier momento es proporcional al tamaño onginal. Asi si un capital A produce un interés anual r (por ejemplo, r = 4%, 6 .04) acumulable anualmente, el importe total del capital e interés A 1 al final del primer año será A 1 = A(1 + r). Así, si r= .04, A1 = 1.004A. El número 1.04 se Ilama la constante de proporcionalidad.

Al final del segundo año, el total acumulado de capital e interés será A 2 = (1+r 3) [A(1 + r) = A(1 + r)2. Al cabo de tres años, se habrá acumulado un total de A 3 =A(1 + r) 3 En general, al cabo de n años, el total acumulado de An de capital e intereses viene dado por la fórmula:

An= A(1 + r)n.(1) en la que r es un parámetro característico de una determinada situación de crecimiento.

Es ilustrativo comparar el crecimiento a interés compuesto con el que resulta a interés simple. En el crecimiento a interés simple, el interés se computa como un porcentaje del capital inicial, en vez de un porcentaje del capital acumulado, capital mas intereses como en el interés compuesto. La ilustración muestra el crecimiento de $100 al 6% anual de interés simple y de la misma cantidad invertida al 6% anual de-interés compuesto. Es evidente la ventaja del interés compuesto sobre el simple en cuanto a la ganancia obtenida.

Acumulamiento Continuo

Un modelo de crecimiento matemático se deriva de acumular el interés continuamente (en vez de hacerlo mensual o anualmente). Puede mostrarse que con el acumulamiento continuo, la suma total An del capital inicial y los intereses acumulados durante n periodos de crecimiento a una tasa r por período está dada por la fórmula:

An = Aern, (2) en donde e es el trascendental número 2.71828..., la base de los logaritmos naturales. El cuadro 5.2 proporciona valores de eX para varies valores de x y puede utilizarse para resolver problemas relativos al interés compuesto continuo.

Ejemplo I

Las existencias de las bibliotecas de la Universidad Purdue están aumentando a un ritmo "asombrosamente rápido" de alrededor del 6% anual. Si continúa este ritmo de crecimiento, ¿por qué factor se habrá incrementado el acervo de las bibliotecas de la Universidad Purdue en un período de 30 años?

Respuesta Partiendodo de la ecuación An = Aern y haciendo r = .06 y n = 30. Resulta A30=Ae18 y en el cuadro 5.2 vemos e1.8 = 6.05. Así, si continúa el índice de crecimiento observado, el acervo mencionado quedará multiplicado aproximadamente por un factor de 6 en un período de 30 años: A30 = 6.050A.

Ejemplo 2

Cierta biblioteca escolar aumentó su acervo de 140,000 volúmenes en 1962 a 255,000 volúmenes en 1977. ¿Cuál es el índice de crecimiento de la colección, incrementado continuamente Y cuando puede esperarse que la biblioteca alcance la marca de un millón de volúmenes en existencia? Respuesta Se nos dice que n 15, A15 = 255,00O y A = 140,000. Substituyendo valores en la ecuación, tenemos 255,000 = 140,000e15r. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por 140,000 nos da e15r’ = 1.82. en cuandro 5.2 vemos que e6 es aproximadamente igual a 1.82. Por tanto, 15r = .60 y r = .04 Con un índice de crecimiento del 4%, podemos ahora deducir cuando puede esperarse que la bibIioteca alcance la marca de un millón de volúmenes en existencias. Substituyendo valores en la ecuación (2), tendremos:

1,000,000 = 255,000e.04n

Dividiendo los dos miembros de la ecuación por 255,000, resulta e.04n = 3.92. En el cuadro 5.2 vemos que e1.4 es aproximadamente igual a 3.92. Por tanto, .04n = 1.4, yn = 35 años. Con un índice de crecimiento del 4% anual, la biblioteca alcanzará un millón de volúmenes en existencias aproximadamente el año 2012. Ejemplo 3 ¿Cuántos años tardará una biblioteca que crece con un índlce acumulativo anual del 8% en duplicar su acervo?

Respuesta Sustituyendo en la ecuación (2) nos da 2A = Ae.08n, de donde e.08n=2.

En el cuadro 5.2 vemos que e7 es aproximadamente igual a 2.0. Por tanto, .08n = .7 y n = 0.7: 0.08 = 8.75 o cerca de 9 años.

Un estudio de Steven Leach sugiere que el modelo de crecimiento exponencial no describe el crecimiento de las grandes bibliotecas académicas como lo haría un modelo que reflejara una "desaceleración" del índice de crecimiento después de un cierto momento. OTRAS APLICACIONES DEL CRECIMIENTO EXPONENCIAL A LA BIBLIOTECOLOCIA

El modelo de crecimiento exponencial simple sirve para describir otros muchos fenómenos en bibliotecología, además del desarrollo de las colecciones bibliotecarias. Por ejemplo, el número de revistas científicas y resúmenes científicos ha estado incrementándose exponencialmente a una tasa anual del 5%. La frase tan frecuentemente usada de "explosión de la información" puede así tener el significado preciso del crecimiento exponencial de las revistas científicas.

A este respecto cabría preguntarse si la explosión actual de la información es realmente mayor que hace algunas décadas, ya que el índice de crecimiento de la información ha permanecido esencialmente constante y el mismo modelo matemático ha descipto el crecimiento de la literatura científica durante muchas décadas. Sin embargo, sin contradecir estos hechos, tanto el volumen total como la producción anual de literatura científica continúan aumentando cada año y amenazan así nuestra capacidad de adquirir, almacenar y acceder a este recurso nacional. Estos hechos implican una cierta urgencia de desarrollar un conjunto de soluciones para "el problema de la información".

Concluimos nuestro estudio del crecimiento exponencial observando que, como señala Derek Pnce en su libro Little Science, Big Science es Iógicamente imposible que continúe indefinidamente un crecimiento incontrolado. Price sugiere que el modelo de crecimiento logístico podría muy bien describir el crecimiento futuro de la ciencia y así, el crecimiento de la publicación científica. Para un interesante estudio de esta posibilidad, se dirige al lector a la obra de Price. LA TEORÍA DE COLAS COMO UN SEGUNDO MODELO ILUSTRATIVO Una sola cola para el servicio

Desde los primeros años de este siglo se ha desarrollado y refinado una teoría matemática de ruta de espera o hacer colas. Aunque las primeras aplicaciones de esta teoría fueron en el diseño de instalaciones de servicio en la industria telefónica, la teoría se ha aplicado a muchísimas situaciones del mundo real que van desde el diseño del transporte y los sistemas de producción en la industria hasta la determinación del número de cajas requerido en un supermercado. Además de estas aplicaciones en el comercio y la industria, hay muchas situaciones en una biblioteca que pueden ser descritas con propiedad por medio de la teoría de cola.

El modelo básico de hacer colas es aplicable en una variedad de situaciones caracterizadas por la congestión que resulta cuando las Ilegadas a una instalación de servicio (demandas de servicio) son más frecuentes de lo que el servicio puede absorber. En la figura 5.2 se da un diagrama de esta situación en su forma más sencilla, representando la Ilegada de individuos a una instalación de un solo servicio, o canal. Los individuos son atendidos por el orden en que van Ilegando. El ritmo del servicio realizado no es suficiente para satisfacer la demanda; ocasionalmente se forma una línea o cola ante la instalación.

Eventualmente, el servicio se Ileva a cabo para cada persona, la que abandona luego el sistema. Como sólo hay un canal de servicio, ésta es la formulación más sencilla de la situación. No obstante, es claro que el modelo conceptual básico representado en la figura 5.2 puede generalizarse para incluir más de un canal de servicio.

Ahora, obviamente, ya hemos hecho algunas aproximaciones a la realidad. En el

mundo real las personas que Ilegan a pedir un servicio pueden encontrar intolerable la longitud de la cola y rehusarse a formarse en ella. O bien, habiéndose formado en la cola, Ilegar a impacientarse y eventualmente decidir abandonarla. A estas aberrantes situaciones se les denomina amontonamiento y renuncia, respectivamente y no están tratadas en el modelo de cola simple.

Las asunciones básicas subyacentes en la formulación matemática del modelo de cola única son:

1. Las Ilegadas al sistema son aleatorias (descritas típicamente por la distribución Poisson ) con un cierto ritmo promedio. Este ritmo se representa con la letra 1 griega λ (lambda). 2. La duración del servicio es variable (descrita típicamente por una distribución exponencial) con el ritmo promedio representado por la letra griega µ (mu). Las cantidades λ y µ son parámetros básicos del modelo de cola. 3. Ningún amontonamiento ni renuncia está considerado en el modelo.

Ahora, apliquemos este modelo a un problema bibliotecario. Las Ilegadas a una

mesa de control de préstamos en una biblioteca pueden ocurrir a un ritmo medio de dos individuos por minuto (λ = 2), y dar el servicio en un promedio de 4 personas por minuto (µ = 4).

Los individuos son servidos en menos tiempo del que tardan en Ilegar y la mesa de préstamos estará algunas veces ociosa. Por otra parte, como las Ilegadas son aleatorias, durante algunos minutos pueden ser hasta de cuatro u ocho, en tanto que en otros minutos puede no Ilegar nadie. Ocasionalmente, pues, se formaran colas. Algunas preguntas básicas que surgirán naturalmente de esta formulación son: ¿Con qué frecuencia la instalación del servicio estará desocupada?; ¿Cuál es el promedio de tiempo que se requiere para recibir servicio?; y ¿Qué longitud tendrá la cola, en promedio?

Es posible contestar estas y otras preguntas aplicando la teoría de la cola a una situación determinada. Si los valores de los parámetros λ y µ son conocidos (han sido estimados por la información sobre la utilización de la biblioteca), es posible inferir valores para las siguientes magnitudes:

L = promedio del número de individuos del sistema Lq = promedio de la longitud de la cola T = promedio del tiempo de espera en el sistema (incluyendo el tiempo del servicio

ο = promedio de tiempo que la instalación de servicio está ocupada. (p es la letra griega ro)

Pn = la probabilidad de que haya n individuos en el sistema Estos valores pueden ser utilizados por la administración del sistema como ayuda

para determinar una óptima configuración de las instalaciones de servicio. Proporcionan al administrador información para ser utilizada en el proceso de toma de decisiones.

Debemos tener en cuenta que el modelo y sus implicaciones no dice y no puede decir al admnistrador lo que tiene que hacer; únicamente proporciona bases cuantitativas para poder tomar decisiones más inteligentes. Superficialmente, una solución obvia al problema de la formación de la cola es simplemente establecer un número suficiente de instalaciones de servicio de manera que la cola se forme sólo en raras ocasiones. (Así, la provisión de varios cientos de cajas en el supermercado típico podría eliminar efectivamente la formación de colas salve en las circunstancias más extraordinarias). Sin embargo la provisión de estas facilidades es costosa. Es claro que existe una interrelación entre los costos ocasionados por la provisión de facilidades para un servicio mejor y el costo ocasionado por la insatisfacción del usuario. El administrador puede solamente sopesar toda la evidencia disponible y tomar una determinación final basada en esa evidencia. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE COLAS A LA BIBLIOTECOLOGIA

Philip Morse ha descrito los elementos básicos de la teoría de colas y algunas de sus aplicaciones a la bibliotecología. Pueden encontrarse ejemplos obvios de colas en las bibliotecas; en las mesas de referencia, reserva y circulación. También, como señala Morse, la biblioteca misma puede considerarse como un sistema de cola. Los usuarios entran en la biblioteca a un ritmo promedio λ permanecen en ella durante un cierto tiempo (es decir, son servidos), y salen a un ritmo µ. Sin embargo aquí existe esencialmente un número ilimitado de canales y no se forman nunca colas (a menos que haya un guardia situado en la salida).

Otros ejemplos de sistemas de colas en la biblioteca pueden referirse a la cola de libros esperando ser catalogados, la cola de documentos esperando ser ordenados, o la cola de publicaciones esperando ser registradas. Existen también en la biblioteca modelos de colas más complejos. Para un estudio de algunos de estos modelos y otras aplicaciones de la teoría de cola a la bibliotecología en general, se remite al lector al excelente examen que ha hecho Morse de estos temas.

UNA SOLA COLA PARA EL SERVICIO: MODELO MATEMATICO Y FORMULA PREDICTIVA

En esta sección hacemos explícita la formulación matemática de un sistema de una sola cola para el servicio como ejemplo de un modelo de investigación de operaciones y proporcionamos, sin prueba, una fórmula predictiva para cantidades de interés tales camo ο, el porcentaje de tiempo que es utilizado el canal de servicio. Podemos comenzar por explicar más detalladamente la noción de un proceso Poisson, el modelo usual de "Ilegadas aleatorias". Esencialmente, un proceso Poisson se da bajo las siguientes condiciones:

1. Los sucesos en nuestro caso, las Ilegadas, pueden ocurrir lo mismo en un intervalo de tiempo que en cualquier otro (la característica matemática del azar).

2. La ocurrencia de un suceso no tiene efecto en la ocurrencia de cualquier otro suceso (la característica matemática de la independencia).

3. La probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente en un intervalo de tiempo arbitrariamente pequeño, es cero.

La formulación matemática del proceso Poisson se deriva de estas tres asunciones y

queda expresada (sin prueba) por la fórmula:

Donde P(k) es la probabilidad de que k ocurrencias tengan lugar en una unidad de

tiempo y es el ritmo promedio de Ilegada por unidad de tiempo. La base de los logaritmos naturales es e, y k! se lee como k factorial.

Los valores de eX para varias valores de x se dan en el cuadro 5.2. Consultando el cuadro 5.2, tenemos, por ejemplo, que para λ = 2, e-λ = 0.135. Así, para un proceso Poisson con un promedio λ = 2, tendremos:

Así si el promedio de Ilegadas por minutos es 2.0, en 100 intervalos de tiempo de 1

minutos, podemos esperar que en aproximadamente 13 intervalos no haya Ilegadas, en 27 intervalos habrá exactamente una Ilegada, así sucesivamente.

La distribución exponencial describe comúnmente la distribución de la duración de los tiempos de servicio en situaciones de cola. La distribución exponencial tiene la importante propiedad de que es "sin memoria", la probabilidad de que la duración de un servicio exceda un tiempo determinado no depende de la duración del servicio. Es claro que esta asunción puede no describir ciertas situaciones de servicio, por ejemplo, las duraciones de las Ilamadas telefónicas de larga distancia. Sin embargo, describe una amplia variedad de situaciones reales.

Para una distribución exponencial con un promedio µ, la probabilidad de que un servicio exceda t unidades de tiempo es dada por la fórmula P(t) = e –t/µ. Supóngase, por ejemplo, que el promedio de duración de un servicio en una mesa de circulación de una biblioteca se sabe que es µ = 5 minutos, y que la distribución de la duración de los servicios es exponencial. Entonces, la probabilidad de que la duración de un determinado servicio exceda de 5 minutos está dada por la fórmula P(5) = 2-5/5= e-1 . Consultando el cuadro 5.2 encontramos que e -1.0 = .368. Así, en alrededor del 37 por ciento de los casos, se necesitarán más de 5 minutos para sevir a un usuario en esta situación de cola. Del mismo modo, podemos calcular que:

P(O)= 1 P(1)= .819 P(2)= .670 P(10)= .135

Basándose en la asunción de Poisson sobre las Ilegadas y la distribución

exponencial de la duración de los servicios, pueden inferirse algunas propiedades del modelo básico de cola.

Se remite al estudiante a cualquier libro bueno sobre la investigación de operaciones (por ejemplo, el de Hillier y Lieberman) para pruebas de los siguientes resultados:

Las fórmulas anteriores asumen condiciones "estables", es decir que haya

transcurrido suficiente tiempo desde el estado inicial del sistema para que los resultados sean esencialmente independientes (o no afectados por) ese estado, cualquiera que haya sido.

La cola ante una mesa de circulación, por ejemplo, es inicialmente de longitud cero al comienzo de cada día de trabajo. Este es el estado inicial (diario) del sistema de circulación.

Observamos también que aunque puede haber los picos naturales en la demanda de servicio en un sistema determinado, esto no significa que la distribución Poisson en particular o la teoría de cola en general, no puedan utilizarse en la descripción de ese sistema. Sin embargo, puede ser necesario dividir un día en distintos intervalos, cada uno caracterizado por su propia distribución Poisson. Ejemplo 4

Suponiendo que las Ilegadas a una mesa de reserva de lectura estén descriptas por una distribución Poisson en la que λ = 6.0 (o sea, un promedio de 6.0 personas por minutos Ilega fortuita e independientemente a la mesa de reservas). Suponiendo después que las personas son atendidas a un ritmo de ocho por minutos, y que la distribución de la duración de los servicios es exponencial. Entonces el canal estará ocupado, en promedio, alrededor del 75% del tiempo (p = λ/µ = .75). entonces L, el número promedio de individuos del sistema, es 3.0, la longitud promedio de cola Lq es 2.25, y T, el tiempo de espera del sistema es aproximadamente 30 segundos. Finalmente, la probabilidad de que haya exactamente tres individuos en el sistema es (1-.75)(.753), o alrededor de .11.

Hemos obtenido lo que puede ser, para algunos lectores, resultados cuantitativos un tanto inesperados, resultados que no pueden deducirse sin recurrir a las matemáticas. La aplicación de la teoría matemática de la formación de cola nos ha permitido calcular estimaciones precisas para algunas magnitudes interesantes. Ni la intuición, ni el análisis Iógico formal permite este grado de precisión. Así, las deducciones matemáticas de la teoría de cola pueden considerarse como medios para profundizar nuestra intuición natural y la comprensión Iógica del problema de cola. COMPROBACION DE LA IDONEIDAD DEL MODELO

La sección anterior presentó algunos de los resultados teóncos básicos de uno· de los más sencillos sistemas de cola. Antes que esta teoría y sus implicaciones pueda indicarnos algo referente a un determinado sistema del mundo real, como la mesa de circulación de una biblioteca, en todo caso, las asunciones básicas subyacentes, en el modelo deben ser válidas en ese sistema empírico (como en cualquier otro modelo de investigación de operaciones).

En particular, el modelo de cola previamente descrito asume que la distribución de las Ilegadas al sistema puede ser descripta por una distribución Poisson y que la duración de los servicios puede ser descrita por una distribución exponencial. Estas asunciones pueden analizarse recogiendo y analizando los datos del mundo real.

Un método tosco, pero sencillo, puede emplearse para comprobar la hipótesis de Poisson sobre las Ilegadas es el cálculo del promedio y las variaciones de un conjunto de datos de las ilegadas. (Véase el capítulo 9 para estudio del promedio y las variaciones.). En una distribución Poisson teórica, estos dos parámetros son iguales. Así, la información empírica generada por el proceso Poisson revelará un promedio y unas variaciones que son aproximadamente iguales. En forma similar, se puede hacer una rápida revisión de la información empírica para comprobar la hipótesis de que los datos están descritos por una distribución exponencial haciendo uso del hecho teónco de que el promedio y la desviación normal de una distribución exponencial son iguales. Un método más sofisticado y seguro de comprobar la "bondad de idoneidad" de la información empírica para un modelo teórico es la utilización de la prueba x cuadrada, que se estudia con detalle en el capítulo 12. EJEMPLOS SELECTOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES La obra de Morse en el Institute Tecnológico de Massachusetts

¿Cómo se han aplicado las técnicas de la investigación de operaciones (IO) a los problemas bibliotecarios? Tal vez debiéramos citar y describir brevemente algunas de las pnncipales realizaciones y hechos memorables respecto a la investigación en bibliotecología.

Una de las primeras y más completas aplicaciones de los principios de la investigación de operaciones la la bibliotecología puede hallarse en la obra de Philip Morse Library Effectiveness. Morse, miembro del personal académico en el Institute Tecnológico de Massachusetts, estudió las operaciones bibliotecarias como un proyecto de clase en un curso de investigación de operaciones para graduados; su libro desarrollaba ese estudio.

Library Efectiveness presenta un examen inicial de consideraciones sobre la teoría de probabilidades. El libro proporciona después un estudio detallado de las aplicaciones de la teoría de la cola y la teoría de las cadenas de Markov a problemas tales como los métodos para satisfacer la demanda de circulación, para predecir la solicitud futura, para decidir cuándo retirar un libro o pedir varios ejemplares, así como otros problemas. El texto no está escrito en un nivel elemental. Se requieren algunos conocimientos de matemáticas para entenderlo cabalmente.

La obra de Leimkuhler en la Universidad Purdue Ferdinand Leimkuhler, otro de los primeros investigadores que han aplicado la

investigación de operaciones a los problemas bibliotecarios, es profesor de ingeniería industrial en la Universidad Purdue. Como en el caso de Philip Morse, la obra de Leimkuhler se hizo en clases de ingeniería utilizando la biblioteca como laboratorio.

Leimkuhler ha publicado numerosos artículos de investigación que describen modelos matemáticos de circulación, almacenamiento, ordenación en los estantes y organización de archives en la biblioteca, así como trabajos de interés general. La obra de Buckland en la Universidad de Lancaster

La obra de Buckland se ha considerado la primera en el contexto de un modelo de simulación del proceso de circulación. Este modelo fue solamente una parte de un análisis total de las operaciones bibliotecarias, Ilevado a cabo por la Biblioteca de la Universidad de Lancaster. La Universidad de Lancaster y su biblioteca se fundaron en los primeros años de 1960 a 1970 y los bibliotecarios iniciaron allí un proyecto de investigación para explorar y analizar en detalle los procesos implícitos en la provisión de servicios bibliotecarios. El informe final del proyecto se publicó en 1970 como System análisis of a University Library. El espiritu del análisis de sistemas y la investigación de operaciones estaba bien expresado en la introducción al informe donde se estudia la elaboración de un modelo de investigación de operaciones.

El propósito de este modelo de simulación es formar una adecuada abstracción de la realidad, preservando la estructura esencial de los problemas de tal modo que el análisis pueda penetrar tanto en la situación original concreta como en otras similares. La forma en que estos modelos y simulaciones estén vinculados dependerá de la información especial que se requiera. El intenso análisis de operaciones realizado por la Universidad de Lancaster fue uno

de los primeros estudios de investigación de operaciones en gran escala Ilevados a cabo por el personal de una biblioteca. System Análisis of a University Library trata aspectos del proceso técnico, estrategias de compra y descarte, y políticas de préstamo y duplicación, entre otras materias. Incluye también una extensa bibliografía de materiales publicados antes de 1970 que tratan aspectos de la aplicación de sistemas de análisis, modelos de simulación e investigación de operaciones en bibliotecología. Otras publicaciones selectas

El número de Library Quarterly de enero de 1972 contiene la memoria de la Trigésima Quinta Conferencia Anual de la Escuela de Bibliotecología de la Universidad de Chicago. Esta publicación es notable porque combina en un volumen varias aplicaciones diferentes de IO a la bibliotecoiogía descritas por algunos expertos, incluyendo entre otros, a Morse, Leimkuhler y Buckland. Este número contiene asimismo una bibliografía selectiva de IO bibliotecarias preparada por Vladimir Slamecka.

Muchas de las aplicaciones de IO a la bibliotecología están tratadas en un capítulo de un volumen publicado por el Profesor Morris Hamburg et al, de la Escuela Wharton, Universidad de Pennsylvania. Esta obra es excelente por su presentación del desarrollo histórico de los modelos de IO en muchos problemas de bibliotecología. Las descripciones proporcionadas por Hamburg son (necesariamente) muy concretas, y los estudiantes que tienen pocos conocimientos o experiencia respecto a los modelos de IO encontrarán partes del texto que son difíciles de entender. CONCLUSIONES

Al igual que la teoría estadística y la computación electrónica, la investigación de operaciones es un instrumento de investigación que está siendo aplicado cada vez más a los problemas bibliotecarios. Pero la IO es más que esto; es también una filosofía, un

estado mental. La IO es considerada, a veces erróneamente, como una simple colección de técnicas analíticas. Pero los componentes matemáticos de la IO resultan esencialmente de la aplicación de una estructura intelectual, que puede caracterizarse como un método científico, al análisis de los problemas administrativos. En un contexto más amplio, el enfoque filosófico básico del método "científico es mucho mas imporante que cualquiera de los modelos de la investigación de operaciones. Es cierto que, a diferencia de algunas de las otras aplicaciones del método científico a la realización de la investigación, la IO requiere una cierta sofisticación matemática, tanto en la formulación de un problema como en el análisis subsecuente. Esta característica de Ia IO no debe arrojar sombra sobre el hecho de que para que los modelos de la IO sean significativos para nosotros debe establecerse la validez de los modelos. A este respecto, deben aplicarse rigurosamente los principios de la investigación científica para asegurar que las asunciones subyacentes en los de investigación de operaciones de los fenómenos bibliotecarios sean realmente representaciones válidas de la realidad. APENDICE: PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. Defina una cuarta medida de rendimiento operativo para proporcionar un acceso adecuado a los materiales bibliotecarios (es decir, una medida no utilizada en el estudio de simulación de la Universidad de Lancaster). Analice las ventajas e inconvenientes de la medida propuesta. 2. En qué se convertirán $100 al cabo de 20 años a un interés compuesto continuo de

6%? Compare su respuesta con las cantidades del cuadro 5.1 y comente la comparación Respuesta La respuesta es $332.00. El interés compuesto evidentemente aumenta, pero no substancialmente, el interés compuesto a ganado anualmente. 3. Según el Bowker Annual (vigésima edición), el número total de volúmenes que tenían las bibliotecas escolares y universitarias de EE.UU. en el otoño de 1964 era de 244000,000 y esta cifra aumentó a 445,000,000 en el otoño de 1974. ¿Cuál fue el índice de crecimiento, acumulado continuamente, durante los 10 años? Respuesta Aproximadamente, 6.5%~ 4. Cierta biblioteca pública aumentó su colección de 65,000 volúmenes en 1957 a aproximadamente 220,000 en 1970. (a) ¿Cuál fue el índice de crecimiento de la colección acumulado continuamente? (b) Asumiendo que el mismo índice de crecimiento continúe en el futuro, ¿cuál será el tamaño de la colección en 1996? Respuesta a) Aproximadamente 9.2%. (b) aproximadamente, (11.02) (220,000) = 2,424,000 volúmenes 5. Por el ejemplo 3 puede verse que la relación entre el número de años que requiere un organismo para doblar n y el índice anual de crecimiento compuesto continuo r está dado aproximadamente por la fórmula rn = .70. (a) Explique esta aserción. (b) Utilice la fórmula para calcular el índice de crecimiento necesario para que una biblioteca duplique el tamaño de su colección cada 10 años; cada 13 años. (c) Utilice la fórmula para hallar n (el tiempo necesario para duplicar la colección) para un organismo que crezca con un índice de crecimiento del 4%, 5% y 6%. Respuesta (b) 7.0%; 5.4%; (c) 17.5 años; 14.0 años; 8.8 años. 6. Dibuje el diagrama de un modelo de una situación general de cola en la que haya más

de una instalación de servicio. 7. Proporcione un ejemplo, que no se haya analizado en el texto, de una actividad bibliotecaria en la que tiendan a formarse colas. Considere las asunciones básicas subyacentes en el modelo de cola con respecto a esta actividad y formule una hipótesis en relación con la aplicabilidad de las asunciones sobre la actividad seleccionada. Explique cómo comprobaría usted su hipótesis. 8. Considere un proceso Poisson con un promedio λ = 2 que describa la frecuencia de las Ilegadas a un sistema de cola. Es claro que debe haber, en cualquier intervalo dado de un minutos, ya sea cero Ilegadas, una Ilegada, dos Ilegadas y así sucesivamente. Puede haber, de hecho, 10 ó 50 Ilegadas, pero ambos casos son improbables (es decir, eventos relativamente raros). Así la suma de todas las probabilidades implicadas debe sumar hasta 1.0: Po + P1 + P2 + P3 ... + Pn = 1, ó εPn = 1. Utilice este hecho para calcular la probabilidad de que seis o más usuarios Ileguen en el lapso de un minutos.

REFERENCIAS 1. Philip M. Morse and Kimball, G.E., Methods of Operations Research. Cambridge, Mass.: M.I.T Press, 1951. 2. Abraham Bookstein, "Implications for Library Educations", Library Quaterly, 42(January 1972): 140-151 3. C. West Churchman, The Systems Approarh. New York: Dell, 1968. 4. F.W. Lancaster, ed., Systems Design and Analysis for Libraries. Library Trends 21(April 1973). 5. Fremont Rider, The Scholar and the Future of the Research Library. New York: Hadham Press,. 1944. 6. Michael K. Buckland, Hindle, A., Mackenzie, A. G., and Whitfield, Ronald M., Systems Analysis of a University Library, Final Report on a Research Project. University of Lancaster Occasional Papers, No. 4. University of Lancaster Library, 1970. 7. Ferdinand F. Leimkuhler, "Systems Analysis in University Libraries." College and Research Libraries, 27(January 1966): 15. 8. Steven Leach, "The Growth Rates of Major Academic Libraries: Rider and Purdue Reviewed.", College and Research Libraries, 37(November 1976):531-542. 9. Derek J. de Solla Price, Little Science, Big Science. New York: Columbia University Press, 1965, p. 7. 10. Philip M. Morse, Library Effectiveness: A Systems Approach. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1968. 11. Frederick S. Hillier and Lieberman, Gerald J., Introduction to Operations Research. San Francisco: Holden-Day, 1967.

12. Ferdinand F. Leimkuhler, "A literature Search and File Organization Model.", American Documentation, 19(April 1968): 131-135. 13. Ferdinand F. Leimkuhler. "Operations Research and Information Science- A Common Cause.", JASIS, 24(January-February 1973):2-8. 14. Morris Hamburg, Clelland, Richar C., Bommer, Michael R.W.,Ramist, Leonard E , and Whitfield, Ronald M., Library Planning and Decision-Making Systems. Cambridge: M.I.T. Press, 1974.

Busha, Charles, Harter, Stephen P. Métodos de investigación en bibliotecología : técnicas e interpretación -- México : UNAM, 1990. 407 p. CAPITULO 10 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INTRODUCCIÓN

La familia de curvas que se conoce como las dristribuciones normales constituye probablemente la más teórica distribución de frecuencias que se presenta en este texto.

Las distribuciónes normales son importantes, porque describen muchas distribuciónes empíricas de frecuencias en una variedad amplia de situaciones desde las estaturas de los hombres hasta los pesos de las ratas blancas, las variaciones en productos manufacturados yel cociente de inteligencia.

Quizá más importante, las distribuciónes normales son básicas EN la teoría de muestreo y como tal, son aplicables a todas las poblaciones empíricas de las cuales provienen muestras aleatorias de tamaño suficiente. Encuestas de la opinión pública y de la comunidad y otras situaciones de muestreo surgen frecuentemente en bibliotecología y por esta razón, la comprensión de la curva normal es importante.

La forma general de una curva normal se muestra en la figura 10.1. Las curvas normales son curvas continuas, simétricas y en forma de una campana. En la medida en que se desplaza la media de una distribución normal en cualquiera de las dos direcciones, la curva se acerca más y más estrechamente al eje X, pero nunca lo toca. Se caracteriza una distribución normal completamente por dos parámetros, su media y su desviación estándar. La Figura 10.2 demuestra dos distribuciónes normales con la misma media pero con desviaciones estándar diferentes, mientras que la Figura 10.3 demuestra dos distribuciónes normales con diferentes medias pero las desviaciones estándar son iguales. AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

El porcentaje de una población normalmente distribuida que se encuentra entre cualquiera de dos valores es igual a la proporción relativa del área bajo la curva y entre estos puntos. La Figura 10.4 resume los porcentajes de una población normalmente distribuida que se encuentra entre la media y una desviación estándar de la media, entre una desviación estándar y dos desviaciones estándar de la media, entre dos y tres desviaciones estándar de la media y más allá de tres desviaciones estándar de la media Nótese que el área total bajo la curva es igual al 100%.

Estoss porcentajes son descriptivos de cada distribución normal, no importa el valor de su media ni el de su desviación estándar. Así por ejemplo, alrededor del 34% de una población normalmente distribuida queda entre la media de la población y una desviación estándar arriba de la media, mientras que alrededor de 14% de la población queda entre una desviación estándar abajo de la media y dos desviaciones estándar bajo la media. Se pueden usar estos porcentajes para calcular ciertos porcentajes en una distribución normal.

Ejemplo 1. Calcule el percentil asociado a una desviación estándar arriba de la media en una distribución normal.

Respuesta Cincuenta por ciento de la población queda abajo de la media y otro 34.13% queda entre la media y una desviación estándar arriba de la media. Por lo tanto, se asocia una desviación estándar arriba de la media con el 84.13th percentil. Ejemplo 2 Un estudiante logra una calificación en una prueba de catalogación que es dos desviaciones estándar bajo la media de la población de todos aquellos que tomaron la prueba. ¿Si las calificaciones son distribuidas normalmente, qué percentil es asociado con la calificación del estudiante? Respuesta El porcentaje de la población con una calificación menos de tres desviaciones estándar abajo de la media es 0.13% y el porcentaje de la población entre dos y tres desviaciones estándar abajo de la media es 2.14%. Así, el percentil que se asocia a la calificación bajo consideración es 0.13% + 2.14% = 2.27%. Ejemplo 3 ¿Qué proporción de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de + 1 y -2 desviaciones estándar de la media? Respuesta Al sumar las áreas bajo consideración, obtenemos 13.59% + 34.13% + 34.13% = 81.85 % Ejemplo 4 Exprese el decimocuarto percentil de una distribución normal en términos de las desviaciones estándar de la media de la distribución. Respuesta Se puede contestar este problema sólo en términos aproximados de la Figura 10.4. Al sumar sucesivamente las áreas bajo la curva normal, se puede ver que 15.86% de la población está abajo de -1ο. Así, el decimocuarto percentil está justamente a la izquierda de este punto, o sea alrededor de –1.1ο. Se presentará un método más exacto para resolver este problema, posteriormente en esta sección. Ejemplo 5. La distribución de calificaciones del cociente de inteligencia (CI) en una población está distribuida normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 15. Convierta las calificaciones del CI de 70 y 145 a percentiles. Respuesta Una calificación de 70 está exactamente a dos desviaciones estándar abajo de la media. Así, como en el Ejemplo 2, esta calificación está al 2.27th percentil. Una calificación de 145 está a tres desviaciones estándar arriba de la media. Sólo el 0.13% de la población está arriba de este punto. Así, un CI de 145 está al 99.87th percentil. Se puede usar la Figura 10.4 para resolver los problemas que tengan un número exacto de desviaciones estándar de la media pero esta puede proporcionar sólo resultados aproximados para otros problemas. Afortunadamente, se ha tabulado extensivamente Ia distribución normal. El Apéndice C reporta las áreas entre la media y una calificación dada bajo la curva normal que tiene una media iguai a O y una desviación igual a 1. (Ver la Figura 10.5)

Para esta distribución, que a veces se conoce como la distribución normal estándar, las calificaciones individuales son exactamente iguales a las desviaciones estándar de la media; por lo tanto, se pueden obtener las áreas correspondientes a las calificaciones directamente. Para las distribuciones normales con una media µ y una desviación estándar a que no sea O y 1 respectivamente, tiene que convertirse una cali£icación X en una calificación Z antes de consultar la tabla. Se hace de la siguiente manera: z = (X-µ)−ο.

Nótese que z es solamente el número de desviaciones estándar ο de la calificación X de la media µ en la distribución bajo consideración. La tabla proporciona valores de z hasta z 3.69. No se proporcionan valores de z mayores en este punto porque las áreas asociadas a tales valores están iguales a 0.5000, al diezmilésimo más cercano. Ejemplo 6. ¿Qué percentil se asocia con una calificación que está a 1.4 desviaciones estándar arriba de la media en una distribución normal? Respuesta La media de la distribución normal estándar que está en la tabla del Apéndice C es cero. Luego, el área entre la media y 1.40 desviaciones estándar arriba de la media es .4192 ). Esta cifra corresponde al 50 + .4192 = 92.92th percentil. Ejemplo 7. ¿Qué percentil se asocia con CI de 120? Respuesta

Del Apéndice C,el área bajo consideración es .50 + .4082, que corresponde al 90.82th percentil. Ejemplo 8 Mensa, una organización para individuos que poseen un CI excepcional, anuncia que aceptará la afiliación de personas que se encuentren dentro del último 2% de la población en inteligencia, cuando sea determinada por las pruebas estándarizadas. ¿A qué calificación del CI corresponde el nonagésimo octave percentil? Resuesta Debido a que el Apéndice C proporciona solamente las áreas desde la media hasta los valores positivos de z, buscamos .4800 en la porción del área de la tabla Un área de .4800 corresponde a alrededor de 2.05 desviaciones estándar arriba de la media. Debido a que

Ejemplo 9 Suponga que las estaturas de la población de mujeres se distribuyen normalmente con una media de 64.3 pulgadas (162.32 cm) y una desviación estándar de 2.4 pulgadas (6.1 cm) ¿Qué proporción de las mujeres de esta población tiene una estatura menor de 5 pies ~54.4 cm)? Respuesta Primero, convertimos 5 pies = 60 pulgadas a un valor z

Del Apéndice C, se encuentra el 46.33% de la población entre 1.79 desviaciones estándar abajo de la media y la media. Asi, 50.00% -46.33% = 3.67% de la población se encuentra abajo de una estatura de 5 pies. Ejemplo 10. Encuentre la proporción de una población normalmente distribuida que queda entre +2 y -2 desviaciones estándar de la media. Respuesta Al sumar las áreas pertinentes, la proporción bajo consideración (de la Figura 10.4) es: 13.59% + 34.13% + 34.13% + 13.59% = 95.44% a, al porcentaje más cercano, 95%. Así, aproximadamente el 95% de la población queda entre +2 desviaciones estándar de la media. Este es un resultado útil y se hará referencia a él posteriormente cuando trabajaremos con las distribuciones normales. El Apéndice C demuestra que el 95% de la

población está contenida más exactamente dentro de +1.96 desviaciones estándar de la media.

Con frecuencia los datos recogidos por investigadores en bibliotecología no se distribuyen normalmente. Como hemos visto antes, las distribuciones de frecuencia para variables tales como "el número de volúmenes que hay en bibliotecas académicas" y "el número de páginas en libros" no son distribuciones normales de hecho, son asimétricas fuertemente .

En cambio, otros datos bibliotecológicos tales como calificaciones de pruebas, de actitudes, etc., están distribuidos normalmente. En comparación con otras disciplinas, la investigación en bibliotecología está en su infancia; así, puede que nuestra afirmación de que muchos tipos de datos bibliotecológicos tienden a no distribuirse normalmente, se convierta en una generalización no muy útil en el futuro. Pero al menos en la actualidad, descnbe como verdadero lo que sabemos en cuanto a las estadísticas de bibliotecas. DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS DE LA MUESTRA

La distribución normal es extremadamente importante en la teoría de muestreo porque describe una amplia variedad de situaciones donde se escogen muestras aleatorias de poblaciones sin hacer caso de la identidad de la distribución de frecuencias que describa la población original. Así, aunque una población podría ser asimétrica, la distribución de las medias de muestras aleatorias provenientes de la población se inclinaría a ser normal en la medida en que aumente el tamaño de las muestras.

Se representa esta situación en la Figura 10.6, en la cual se demuestra una porción de una distribución asimétrica negativa. Imagínese que se escojan diez muestras aleatorias del tamaño n de una población y se calculen y registren sus medi-xi. La Figura 10.6 ilustra la ubicación de la media µ de la población así como las medias xi de 10 muestras hipotéticas aleatorias del tamaño n escogidas de la población. Nótese que aunque la población es asimétrica, las medias de las muestras se distribuyen más o menos simétricamente alrededor de la media µ de la población. Además, la mayoría de las medias de las muestras están relativamente cerca de la media de la población. Finalmente, la media x de las medias de las muestras,

xi = Σxi 10

está muy cerca de la población.

Las relaciones observadas son características de una variedad amplia de situaciones de muestreo. Ahora presentaremos una exposición más precisa de estas ideas. EL TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

El teorema del límite central afirma que, para cualquier distribución, no necesariamente normal, con una media µ y una variananza o2, la distribución de las medias de muestras aleatorias seleccionadas de la población es aproximadamente normal. Por lo tanto, si la población es asimétrica, las muestras seleccionadas de la población son asimétricas también. Sin embargo, la distribución de las medias de estas muestras no serán asimétricas sin que serán aproximadamente normales. La distribución de las medias de las muestras se vuelve más y más cerca de normal en la medida en que se aumente el tamaño n de las muestras.

Si la distribución de las medias de las muestras es normal, entonces ¿qué es su media y su desviación estándar? El Teorema del Límite Central afirma que la media de la distribución de las medias de las muestras desviación estándar de la distribución es µ, es decir, la media de la población y la n. Nótese que en la medida en que n se incrementa, la desviación estándar de la distribución de las medias de las muestras disminuye. La Figura 10.6 ilustra esto: las 10 medidas de las muestras se dispersan en un grado mucho menor alrededor de µ que lo hace la población de donde provienen las muestras.

El lector puede tener dudas todavía sobre el significado del concepto "la distribución de las medias de las muestras". ¿De dónde surge la variación de una población de medias? La respuesta es que debido a que se asocian las medias bajo consideración a muestras seleccionadas al azar de una població, puede esperarse que el

acto de muestreo en sí resulte con bastante fluctuación de los xi desde la media u verdadero de la población. Esto se puede demostrar fácilmente en la práctica, al seleccionar algunas muestras al azar del tamaño n de una clase de estudiantes, o de alguna otra población tal como el personal de una biblioteca, y calcular la media de las edades o pesos asociados a cada muestra. La desviación estándar o/n de la distribución de las medias de las muestras se conoce a veces como el error estándar de la media SEµ. Ejemplo 11 Una población de libros tiene una media de µ = 260 páginas y una desviación estándar de o = 180 páginas. Encuentre la media y la desviación estándar de la distribución de las medias de las muestras aleatorias del tamaño 16 seleccionadas de la población. También calcule para las muestras del tamaño 49 y 100. Respuesta La media de cada una de las tres distribuciones es 260. Los errores estándar son, respectivamente,

Ahora presentaremos una discusión de cómo se puede utilizar el Teorema del Límite Central para inferir las características de una población a partir de las características de una muestra aleatoria seleccionada de la población. ¿Cuándo es n "suficientemente grande" para la distribución del muestreo de una población sea distribuida aproximadamente normal? Desafortunadamente, esto depende de la población; cuando más asimétrica esté la población original, más grande tiene que ser n. INTERVALOS DE CONFIANZA EN µ CUANDO SE CONOCE ο

Con mucha frecuencia queremos estimar la media de una población a partir de las características de una muestra. En este caso, debido a que no se ha examinado toda la

población, sólo se puede conocer la media de la población de manera aproximada. Un intervalo de confianza sobre µ es un rango de números dentro del cual se puede esperar encontrar la media µ verdadera de la población con una probabilidad declarada. Un intervalo de confianza de 95% sobre µ es un rango de números dentro del cual puede esperarse encontrar la media verdadera en 95 de 100 cases. Es decir, si se Ileva a cabo el experimento "seleccione una muestra aleatoria del tamaño n" 100 veces, y se construye un intervalo diferente de confianza de 95% con base en cada media de las muestras, entonces la media µ verdadera se encontrará dentro de aproximadamente 95 de los 100 intervalos de confianza.

Ahora presentaremos el cálculo de un intervalo de confianza de 95% sobre µ. Ya hemos hecho la observación en el Ejemplo 10 de que 95% de los miembros de

una distribución normal se encontrará dentro de + 1.96 y -1.96 desviaciones estándar de la media de la población. Así, en una distribución de muestreo, el 95% de las medias de las muestras se encuentra dentro de + 1.96 SEµ de la media verdadera de la población;

95 de 100 muestras tendrán la media dentro de + 1.96 SEµ de Ia media de la población (ver la Figura 10.7)

Este razonamiento puede invertirse. Si 95 de las 100 muestras tienen la media dentro de 1.96 SEµ de la media µ de la población, entonces µ estará dentro de 1.96 desviaciones estándar de una media de una muestra dada 95_a 100 veces. Es decir, la media verdadera de la población se encontrara dentro del rango x + 1.96 SEµ en 95 de 100 muestras.

Ejemplo 12 Suponga que se haya escogido una muestra aleatoria del tamaño 100 de una población de school media specialist en el Medio Oeste. El promedio de salario de los individuos en la muestra se calcula ser $12,300. De un estudio anterior, se calculó el valor de o ser alrededor de $1,800. ¿Qué se puede concluir acerca de la media salarial de la población de school media specialist de la cual provino la muestra? Respuesta

Nuestra media de muestra fue $12,300. Así, un intervalo de confianza sobre la media µ verdadera, pero desconocida, es $12,300 +1.96 (180), o ($11,947.20, $12,652.80). es decir, podemos tener 95% de confianza en que la media salarial verdadera de la población school media specialist se da por la desigualdad de $11,947.20 <µ < $12,652.80. Nuestra mejor estimación en un solo número de la media u de la población es $12,300. Nótese que la base de una muestra relativamente pequeña, se puede hacer una estimación más o menos cercana a la media µ verdadera. Este ejemplo ilustra el poder de muestreo. Imagínese la dificultad y el costo implicados al calcular la media de la población de school media specialist, digamos todo el Medio Oeste, pues se tendría que encuestar

hasta al último individuo. Una muestra aleatoria de sólo 100 miembros de la población proporciona una estimación que probablemente sea adecuada para la mayoría de los propósitos. Así, mediante el acopio de una muestra relativamente pequeña, podemos inferir las características de una población de donde se escogió la muestra con un grade bastante alto de exactitud. Ejemplo 13 Construya un intervalo de confianza de 99% para los datos del ejemplo 12. Respuesta Queremos que el 99% de la población esté entre z SEµ de la media; es decir, que la 1/2 de 1% de la población esté a cada lado del intervalo. Por lo tanto, determinamos el valor de z, que corresponde área de .495 en la posición de área del Apéndice C. Aquel valor entonces se da un intervalo de confianza de 99% sobre µ por z,

DETERMINACION DEL TAMAÑO MINIMO DE LA MUESTRA

Los ejemplos anteriores tratan del cálculo de intervalos de confianza para un tamaño dado de la muestra. Un problema estrechamente relacionado tiene que ver con la determinación del tamaño mínimo de la muestra para un nivel especificado de precisión, es decir, para un intervalo de confianza de una anchura dada En vez de utilizar la media de la muestra, la desviación estándar, un nivel deseado de confianza, por ejemplo el 95%, y el tamaño de la muestra y calcular un intervalo de confianza a base de estos datos, esta sección presenta el cálculo de un tamaño mínimo de la muestra desde un nivel deseado de confianza, la anchura máxima deseada del intervalo de confianza y la desviación estándar de la población.

Por ejemplo, suponga que, antes de seleccionar una muestra durante un proyecto de investigación, los investigadores decidan que su estimación de la media sea exacta dentro de +10 unidades, a un nivel de confianza de 95%. Es decir, los investigadores

quieren que un intervalo de confianza de 95% sea al menos tan exacto como µ + 10. Debido a que la precisión de una estimación se mejora en la medida en que se incrementa el tamaño de la muestra, nuestro investigador podrá lograr la exactitud deseada para un tamaño dado de la muestra. El problema es, ¿cual es el tamaño de la muestra que resultaría en el nivel deseado de exactitud al nivel de 95% de confianza? Nuestro razonamiento es similar a aquel de la sección anterior. Queremos:

LA DISTRIBUCIÓN t

Los resultados de las secciones anteriores se basan en el supuesto de que se conoce la desviación estándar de la población, al menos aproximadamente, mientras que no se conoce la media y tiene que estimarse. Por ejemplo, puede conocerse la desviación estándar de una investigación anterior y suponer que su valor no haya cambiado para los propósitos del estudio actual. Usualmente, no se conocen ni la media ni la desviación estándar de la población y se tienen que estimar ambas en el proceso de muestreo. En estos casos, se emplea la "distribución t", y no la distribución normal, para construir un intervalo de confianza en µ. Como se presentó en el Capítulo 9, se da la desviación estándar de una población estimada a base de una muestra por

media de la muestra y la desviación estándar para construir un intervalo de confianza sobre la media como antes, pero se usan las tablas de la distribución t, más bien que las de la distribución normal. Se proporciona una tabla de la distribución t en el Apendice D. En las secciones anteriores, cuando se conocieron las desviaciones estándar de las poblaciones, se daba un intervalo sobre la media por la expresión µ = x + z(o/√n). En particular, para los intervalos de confianza de 99% y 95%, z era 2.58 y 1.96, respectivamente. Se sigue un procedimiento análogo cuando no se conoce la desviación estándar σ. En este caso, un intervalo de confianza sobre µ se da por µ = x + t (s/√n),donde la desviación estándar s se calcula de los datos de la muestra, n es eI tamaño de la muestra y t es un número obtenido de una tabla que proporciona los valores de la distribución t para varias probabilidades (ver el Apéndice D). Así, el procedimiento es idéntico a aquel de la sección anterior, salve que se utiliza t en vez de z. Para utilizar el Apéndice D, se obtienen los valores de t al buscar el número de grados de libertad (n-1) donde n es el tamaño de la muestra, y el nivel deseado de confianza. Por ejemplo, con una muestra del tamaño 16, los valores de t se asocian con los intervalos de confianza de 95% y 99% son 2.131 y 2.947, respectivamente. En estos ejemplos, la

probabilidad deseada de error, es .05 y .01, respectivamente. (Ver el Capítulo 12). Ejemplo 15. Calcule un intervalo de confianza de 95% sobre la media µ de una población a base de la siguiente muestra aleatoria del tamaño 8: 8, 18, 16, 10, 12, 13, 13, 14. Respuesta

Del Apéndice D, t = 2.365 - 7 grados de libertad. Se obtiene una estimación del error estándar de la media por s/√n = 1.118. Luego se da un intervalo de confianza de 95% sobre µ por 13.0 + 2.365 (1.118) ó 10.356 ≤ µ ≤ 15.644. En la medida en que se aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se acerca a la distribución normal. Una inspección del Apéndice D para p = .05 revela que aun con una muestra del tamaño 12, con 11 grados de libertad, t=2.201, que es solamente alrededor de 12% más grande que el valor de z para ia misma probabilidad en una distribución normal (z = 1.96 para un intervalo de confianza de 95%). Así, para muestras grandes, la distribución se aproxima a la distribución normal y aún para muestras moderadamente pequeñas, la diferencia entre los valores de f y los valores de z para la misma probabilidad no es substanciosa. ESTIMACION DEL VALOR DE UNA PROPORCION

Hemos presentado en algún caso el concepto del error estándar de la media. Estimaciones de otros parámetros donde también una población tienen errores estándar. Ver Arkin y Colton para un listado de muchos de estos parámetros.

Una fórmula del error estándar de bastante utilidad trata la estimación del valor de una proporción en una población que tiene, o no, una característica en particular. ¿Qué proporciones de una población pertenecen a un cierto partido político? ¿Fumadores? ¿Adictos de la televisión? ¿Jugadores de golf? ¿Varones? Si p es la proporción bajo consideración, entonces se da el error estándar de la estimación de p por

donde n es el tamaño de la muestra, al utilizar esta fórmula para SEp, se calculan los intervalos de confianza sobre p de manera parecida a las secciones anteriores. Ejemplo 16 Una muestra aleatoria de 100 miembros de una comunidad revela que el 92% "nunca utiliza la biblioteca pública". Construya un intervalo de confianza de 95% sobre el parámetro de la población p.

Ejemplo 17. Dentro de la consideración de una biblioteca especializada respecto a implementar el subsistema de control de seriedades del Ohio College Library Center, se seleccionó una muestra aleatoria de 140 capítulos serieados del acervo de ]a biblioteca. Se inspeccionó el último número de cada título para averiguar la presencia de CODEN o ISSN. Se encontraron uno y otro o ambos en sólo 26 títulos. Construya un intervalo de confianza de 95% sobre esta estimación.

APENDICE: Problemas para solución 1. Calcule los percentiles que corresponden a los siguientes valores z en una distribución normal: (a)z = 1.60; (b)z = -.36; (c)z = O; (d)z = 1.42; (e)z = 2.28. Respuesta (a) 5.48%; (b) 35.94%; (c) 50.00%; (d) 92.22%; (e) 98.87%. 2. Calcule los valores z que corresponden a los siguientes percentiies en una distribución normal: (a) 10th; (b) 40th; (c) 75th; (d) 90th; (e) 99th. Respuestas (a) z = -1.28; (b) z =-.25; (c) r = .67; (d) z = 1.28; (e) 2 = 2.33. 3. Juan y María tienen cocientes de inteligencia (CI) de 90 y 105, respectivamente. Si se distribuyen los CI normalmente en la población con una media de 100 y una desviación estándar de í5, convierta la calificación de CI de Juan y Mana a percentiles de la población. Respuesfa El CI de Juan está al 25.14th percentil y el de María está al 62.93th percentil. 4. Considere una población con una media ~ 4· una desviación están a. ¿Cómo se afecta el error estándar de la media si: (a) el valor de a aumenta; (b) el tamaño de la muestra n aumenta; (c) el valor de µ aumenta? 5. Considere un intervalo dado de confianza construido sobre la media estimada de una población. Presente dos maneras de estrechar este intervalo (hacerlo mas compacto y pequeño). Respuestas Disminuir el nivel de confianza requerido; incrementar el tamaño de la muestra. 6. Proporcione un ejemplo complete ilustrado del Problema 5.

7. Una biblioteca quiere seleccionar una muestra aleatoria del conjunto de credenciales de la biblioteca con el propósito de recabar datos en cuanto al uso de la biblioteca. En una muestra de 200 usuarios, el número media de libros circulados en un año dado fue 8.6, con una desviación estándar de 6.6. Calcule un intervalo de confiabilidad de 95% sobre esta estimación de la media. Respuesta 7.7 ≤ µ ≤ 9.5. Nótese que aunque se requiere de la distribución t para construir el intervalo de confianza, el tamaño grande de la muestra hace que esta distribución sea equivalente a la distribución normal, o sea, t = z = 1.96. 8. Una clase de catalogación seleccionó una muestra aleatoria de 20 tarjetas del catálogo topográfico de una biblioteca universitaria y tomó la decisión de que el número de clasificación asignado a S de estos 20 libros correspondientes a estas tarjetas fue "en el mejor de los cases, dudoso; en el peor, incorrecto". Construya un intervalo de confianza de 95% sobre esta estimación. Respuesta SEp = .097 y.06 ≤ ο ≤I .44. Debe seleccionar una muestra más grande para hacer la estimación más precisa. 9. Se encontró que el número medio de anos de educación después de la preparatoria en una muestra de 15 usuarios de bibliotecas públicas fue de 2.2, con una desviación estándar de 2.4, también calculada de la muestra. Construya un intervalo de confianza de 95% sobre esta estimación. Respuesta

.87 ≤ µ ≤ 3.53. 10.Resuelva el Problema 9, al suponer que se conoció que la desviación estándar asociada con la población fue de 2.4 antes del muestreo. Respuesta

.99 ≤ µ ≤ 3.41. 11.Suponga que se conozca que σ es de 3.8 para una población dada y que se desee construir un intervalo de confianza de 95% sobre la media de la población dentro de + 1.0 de la media de la muestra. ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra que se requiere para lograr la exactitud deseada?

REPERENCIAS 1. George W. Snedecor and Cochran, William G., Statistical Methods, 6th ed. Ames:

Iowa State University Press, 1968. pp 51-56. 2. Herbert Arkin and Colton, Raymond R., Statistical Methods, 5th ed. New York: Barnes & Noble, 1970. pp. 149-150.