Introducción.

El presente material fue desarrollado por miembros de la Academia de Ciencias Básicas y

está constituido por los conceptos básicos de los principales temas que un estudiante debe

de dominar como requisito para ingresar a estudios de nivel superior, independientemente

del área de especialización.

La comprensión, el dominio y manejo adecuado de estos conceptos serán una herramienta

indispensable para que el estudiante se desempeñe de una manera adecuada a lo largo de las

materias provenientes de las ciencias básicas, como lo son, principalmente, física, química

y matemáticas. Cabe mencionar que los conocimientos adquiridos a lo largo de este curso

vendrán no únicamente a reforzar conceptos matemáticos, sino que permitirán que el

estudiante desarrolle otro tipo de habilidades enfocadas a su especialidad.

Objetivo general.Que el estudiante sea capaz de comprender, aplicar y analizar los conocimientos

matemáticos básicos, favoreciendo el desarrollo de los procesos cognitivos que le ayudarán

a tener un pensamiento lógico y sistemático necesario para su desempeño en cursos

posteriores de matemáticas y en las materias relacionadas con ellas.

1

Asignación Tiempo/Tema.

No. TemasHoras

propuestasExámenes

1 Propiedades de los números reales 2 Diagnóstico

2 Introducción al álgebra 1

3 Operaciones algebraicas fundamentales 3

4 Productos notables 2

5 Factorización 3

6 Fracciones algebraicas 2

7 Ecuaciones lineales con una incógnita 1

1

Examen

parcial

cruzado

8 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 3

9 Ecuaciones cuadráticas de segundo grado con una incógnita 3

10Triángulos rectángulos (Teorema de Pitágoras y funciones

trigonométricas)3

11 Identidades trigonométricas 3

12 Triángulos oblicuángulos (Ley de senos y cosenos) 3Final

(Cruzado)

2

Competencias del curso.Al completar el presente curso, el estudiante tendrá las siguientes competencias:

Aplica los axiomas y teoremas de los Números Reales.

Identifica y realiza operaciones algebraicas en forma correcta.

Aplica las leyes de los exponentes en la solución de ejercicios.

Realiza ejercicios mediante la utilización adecuada de las leyes de los signos.

Analiza y realiza ejercicios de factorización en forma correcta.

Resuelve un sistema de ecuaciones lineales mediante métodos de resolución.

Identifica y aplica los conceptos de funciones trigonométricas.

Comprueba identidades trigonométricas.

Resuelve ecuaciones trigonométricas

Resuelve triángulos oblicuángulos.

3

1. Propiedades de los números reales.

1.1 Números Reales.

Toda expresión algebraica representa un número real, por lo tanto, es importante conocer

las propiedades de los números reales.

Los primeros números reales que se utilizaron fueron los enteros positivos llamados

naturales {1,2,3 … }.

Después se estudiaron los números enteros positivos y negativos incluyendo el cero:

{…−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 … }

Después se estudiaron los números racionales que son los que se expresan como el cociente

de dos enteros ( pq ). Siendo p y q enteros con q diferente de cero.

Por último, los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como el

cociente de dos enteros, o bien, son los decimales con número de cifras infinitas no

periódicas. La unión de los irracionales con los racionales forma el conjunto de los números

reales.

1.2 Axiomas de los números reales.

Estos son propuestas que se aceptan sin demostración.

1.2.1 Propiedades de los números reales.

A1 Propiedad de cerradura

La suma de dos números reales es otro real único.

a+b=c

A2 Propiedad conmutativa de la adición

Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la

misma:a+b=b+a. Un ejemplo aritmético:

4+2=2+4.

A3 Propiedad asociativa de la adición

4

Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el

resultado de la suma es siempre el mismo: (a+b )+c=a+(b+c ) . Un ejemplo

aritmético:

(4+2 )+9=4+(2+9 ) .

A4 Elemento neutro de la adición

Dado un número real cualquiera, existe un número real único cero (0) conocido

como elemento neutro de la adición tal que

a+0=0+a=a.

A5 Inverso aditivo para la adición

Dado un número real cualquiera, existe otro número real (−a), tal que,

a+ (−a )=a−a=0.

M1 Propiedad de cerradura

El producto de dos números reales es otro número real único.

a × b=cay b sondiferentesde cero

M2 Propiedad conmutativa de la multiplicación

La multiplicación de dos números reales es conmutativa ab=ba. Un ejemplo

aritmético:

4 ×2=2× 4.

M3 Propiedad asociativa de la multiplicación

Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el

producto es siempre el mismo: (ab ) c=a(bc). Un ejemplo aritmético:

4 × (2 ×9 )=(4× 2 ) ∙9

M4 Elemento neutro de la multiplicación

Dado un número real cualquiera, existe un número real único uno (1) llamado

elemento neutro de la multiplicación tal que,

a (1 )= (1 )a=a

M5 Elemento inverso multiplicativo

5

Dado un número real distinto de cero, existe otro número (a−1 ó 1a ), llamado

elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que

a ( 1a )=a( 1

a )=aa=1.

D Axioma distributivo

Este axioma relaciona las operaciones de adición y multiplicación de números

reales a (b+c )=ab+ac (Se lee: la multiplicación es distributiva respecto a la

adición).

Ley de Tricotomía.

“Dados dos números reales a y b, una y sólo una de las siguientes alternativas es cierta”.

a=b a y b son iguales

a>b a mayor que b

a<b a menor que b

Representación Geométrica de los números reales.

A cada punto de la recta real le corresponde un único real y viceversa.

Regla de los signos

a) Regla de los signos para sumar o retar

En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el

mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo

de la cantidad mayor. Ejemplos:

5+8=13

5+¿

6

b) Regla de los signos para multiplicar

En la multiplicación de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los

números son de signos opuestos, el resultado es negativo. Ejemplos:

(5 ) (8 )=40

(5 ) (−8 )=−40

El producto de dos factores con signos iguales da positivo y dos factores de signo contrario

da negativo.

2. Introducción al Álgebra

Término algebraico o monomio

Término algebraico es el producto de una o más variables con exponente y una constante

numérica con signo. Ejemplos:

7 x y3 , −2 mn p2 , π r2

Término semejante

Son aquellos términos algebraicos que sólo difieren en el coeficiente numérico el cual

puede ser positivo o negativo.

Expresión algebraica

Es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos

algebraicos. Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos:

Binomio Suma o resta de dos monomios no semejantes

Trinomio Suma o resta de tres monomios no semejantes

Polinomio Suma o resta de cualquier número de monomios no semejantes

Monomio Binomio Trinomio Polinomio

8 x3 y 4 3a2 b3+8 z a−b9+a3 b6 23

a2+bc+a2b4 c6−2

x2 z5+32 x3 9a−b2+c3 ab−a6b3 c+8−26a

7

Tabla 1. Clasificación y ejemplos de expresiones algebraicas

Grado de un Término.

a) Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.

b) Grado con relación a una literal: Es el exponente de dicha literal.

Grado de un Polinomio.

a) Grado absoluto: Es el grado de su término de mayor grado.

b) Grado con relación a una literal: Es el mayor exponente de dicha literal en el

polinomio.

Término

algebraicoSigno

Coeficiente

numérico

Factor

literal

Grado

Absoluto

Grado de

la expresión

2 m2n5 Positivo 2 m2 n5 7 5 respecto a n

5 a3 b6 c8 Positivo 5 a3b6c8 17 8 respecto a c

−13

zhk5

Negativo−13 zhk5 7 5 respecto a k

Tabla 2. Ejemplos de términos algebraicos.

Propiedades de los Exponentes y los Radicales.

Si aes un elemento de los números reales al que se le da el nombre de base y mes un

número natural que recibe el nombre de exponente, entonces se define am como el resultado

del producto de m factores iguales a a , entonces am=a ∙ a ∙a ∙…m veces.

Propiedades de los Exponentes y los Radicales

1¿am an=am+n 2¿ (am )¿n=am+n3¿ am

an =am−n ,

donde m>n

4 ¿a¿−m= 1am

5¿a¿0=1 6¿am/n=n√am 7¿√ ab=√a

√b8¿√ab=√a√b

8

Valor absoluto

Se define el valor absoluto de un número a, de la siguiente manera:

|a|={ a si a≥ 0−a si a<0

Ejemplos: |7|=7 ,|−7|=7

|9−2|=|2−9|=7

Desde un punto de vista geométrico el valor absoluto, representa la distancia entre dos

números reales, no importando el sentido en la que esta se calcula.

Ejercicios 2.1. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

1) x−[3 a+2(−x+1)]

2) −(a+b)−3[2 a+b(−a+2)]

3) −[3 x−2 y+(x−2 y )−2(x+ y )−3(2x+1)]

4) 4 x2−{−3 x+5−[−x+x (2−x )]}

5) 2 a−{−3 x+2 [−a+3 x−2(−a+b)−(2+a)]}

6) a−(x+ y )−3( x− y)+2 [−(x−2 y)−2(−x− y )]

7) m−(m+n)−3 {−2 m+[−2m+n+2(−1+n)−(m+n−1)]}

8) −2(a−b)−3(a+2b)−4 {a−2b+2[−a+b−1+2(a−b)]}

3. Operaciones algebraicas fundamentales

3.1 Suma de expresiones algebraicas:

Estas operaciones se realizan con la ayuda de la reducción de términos semejantes. sea,

P=x+3+x+3 x+1

Se reúnen los términos semejantes:

P=5 x+4

La operación antes descrita se llama reducción de términos semejantes, se identifican los

términos semejantes de los polinomios en cuestión y se realiza la operación indicada.

Ejemplo. Sumar los siguientes polinomios:

9

(3 x2+ x )−(5 x2−24 x )=3 x2+x

−5 x2+24 x¿¿−2 x2+25 x

(2 x¿¿2−5 xy+3 y2)+(−3 y¿¿2+6 xy+x2)+(2 xy+ x¿¿2− y2)=

2 x2−5 xy+3 y2

+ x2+6 xy−3 y2

x2+2 xy− y2

¿¿4 x2+3 xy− y2

¿¿¿

Ejercicios 3.1: Efectúe las siguientes sumas algebraicas:

1) (5 x2+3x−1 )+ (2 x−3 )

2) (2 x2−3 x−1 )+( x2−3 )+(5 x−3)

3) (4 xy−2 x+3 )+ (5xy−7 )

4) 5 x3−2 x2+x ¿+(x2−x−1)+(x3−x−4)

5) ( x2

3+2 x−1

2 )+(x2− 3 x2

−23 )

6) ( 45

x3−2 x2−34 )−(2 x3+5

2x−4 )+( x3

3−2x+5)

7) (0.7 x2+1.4 x+3.45 )−( 1.2 x2−0.25 x+0.03 )

8) ( 23

a−15

b)+(12

a+ 23

b)−(3a−b )

3.2 Multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto la

cantidad llamada producto, para esto se multiplica término a término tomando en cuenta

regla de los signos, y las leyes de los exponentes.

La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de los dos factores

(dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Para realizar la

división en polinomios es preciso considerar las leyes de los exponentes, así como la regla

de los signos. Ejemplo:

( x+1 ) ( x+2 )=x+1

10

x+2x2+x

+2 x+2x2+3 x+2

(2 x2−3 x+5 ) (2 x+2 )=2 x2−3 x+5

2 x+24 x3−6 x2+10 x

+4 x2−6 x+104 x3−2 x2+4 x+10

Ejercicios 3.2: Efectúe los siguientes productos algebraicos:

1) ( x−2 ) (2x−7 )

2) (3 x3−4 x2+3 x−2) (2 x−1 )

3) (2 x3+3 y+xy )(2 x− y )

4) (5 x2+3 x+4 )(2 x−2 )

5) ( 23

x2−15

x+ 27 )( 2

5x−1

2 )

3.3 División de polinomios:

Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. Se divide el primer

término del dividendo entre el primero del divisor y tendemos el primer término del

cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se

resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada n el dividendo de

escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del

divisor.

11

Ejercicios 3.4: Efectúe las siguientes divisiones algebraicas:

1)x2+2 x4−3 x3−12x+12entre x2−3 x+2

2) 2 x3−2−4 xentre 2+2 x

3)3 a5+10 a3b2−21 a4 b+32 ab4 entrea3−4 ab2−5a2b

4)11a3−3 a5−46 a2+32 entre8−3a2−6 a

5)a4−a2−2 a−1entrea2+a+1

6)x5+12 x2−5 x entre x2−2x+5

7)m5−5 m4 n+20 m2 n3−16 m n4 entre m2−2mn−8 n2

8)x4−x2−2x−1entre x2−x−1

9)x6+6 x3−2x5−7 x2−4 x+6en tre x4−3 x2+2

6)m6+m5−4m4−4 m+m2−1 entrem3+m2−4 m-1

4. Productos notables

Reciben el nombre de productos notables ciertos productos que por sus características

particulares, se deben estudiar en forma especial.

Producto

notable

Expresión algebraica

desarrolladaNombre

12

(a+b )2 a2+2ab+b2 Binomio al cuadrado

(a+b )3 a3+3 a2b+3 ab2+b3 Binomio al cubo

a2−b2 (a+b)(a−b) Diferencia de cuadrados

(x+a)(x+b) x2+ (a+b ) x+abProducto de dos binomios

con término común

a3−b3 (a−b) (a2+ab+b2 ) Diferencia de cubos

a3+b3 (a+b)( a2−ab+b2 ) Suma de cubos

a4−b4 (a+b)(a−b) (a2+b2 ) Diferencia cuarta

(a+b+c )2 a2+b2+c2+2ab+2 ac+2bc Trinomio al cuadrado

Tabla 3. Productos notables

4.1. Cocientes notables

Nota: se sugiere estudiar este tema como un caso particular de la operación de

simplificación de fracciones y después de la factorización.

Se le llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden

ser escritos por simple inspección

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia

de las cantidades.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia

de las cantidades.

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o

diferencia de las cantidades.

a) El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las letras en

el dividendo.

b) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del

dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de a disminuye en 1 a

cada termino.

c) El exponente de b en el segundo término del cociente es 1 y este exponente se

aumenta 1 en cada término posterior a este.

13

d) Cuando el divisor es a−b todos los signos del cociente son positivos y cuando el

divisor es a+b los signos del cociente son alternativamente más y menos.

Para el tercer caso:

1) an – bn es siempre divisible por a−b siendo n cualquier entero sea impar o par.

2) an – bn es divisible por a+b siendo n entero par.

3) an+bn es siempre por a+b siendo n entero impar.

4) an+bn nunca es divisible por a+b ni a – b siendo n un entero par.

Ejemplos:

a6−b6

a−b a5+a4 b+a3 b2+a2 b3+ab4+b5

x4− y4

x+ y x3−x2 y+x y2− y3

m7+n7

m+n m6−m5 n+m4 n2−m3 n3+m2 n4−mn5+n6

x4+ y4

x+ yno solución exacta

a6+b6

a−bno soluciónexacta

Ejercicios 4.1. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas (Cocientes notables).

1 .) x2−1x+1

2 .) 1− x2

1−x3 .) x2− y2

x+ y4 .) y2−x2

y−x

5 .) x2−4x+2

6 .) 9−x4

3−x2 7 .) a2−4 b2

a+2 b8 .)25−36 x 4

5−6 x2

9 .) 4 x2−9 m2 n4

2 x+3 mn2 10 .)36 m2−49 n2 x4

6 m−7 nx2 11.)81 a6−100 b8

9 a3+10 b4 12 .) a4 b6−4 x8 y10

a2 b3+2 x4 y5

13 .) x2 n− y2n

xn+ yn 14 . ) a2 x+2−100ax+1−10

15 .) 1−9 x2m+4

1+3 xm+2 16 .) ( x+ y )2−z2

( x+ y )−z

17 .) 1−(a+b )2

1+(a+b )18 .) 4−(m+n )2

2+(m+n )19 .) x2−( x− y )2

x+( x− y )20 .) (a+x )2−9

(a+x )+3

14

4.2 Expresiones fraccionarias.

Una fracción es una expresión de la forma:

ab

, parab ≠ 0

Una fracción algebraica está simplificada cuando el numerador y el denominador de la

misma solo admiten como factor común la unidad. Por ejemplo:

6 x2+4 x2 x2+2x

=2 x (3 x+2)2 x (x+1)

=2 x2 x ( 3 x+2

x+1 )=3 x+2x+1

Multiplicación de expresiones algebraicas

Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y los

denominadores.

AB

∙ CD

= ACBD

Por ejemplo:

24

∙ 12=2

8=1

4

División de expresiones algebraicas.

Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.

AB

÷ CD

= AB

∙ DC

Por ejemplo:

24

÷ 14=( 2

4∙ 41 )= 8

4=2

Suma y resta de expresiones algebraicas

En suma y resta, cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los

numeradores y se mantiene el mismo denominador.

AC

+ BC

= A+BC

AC

−BC

= A−BC

15

Por ejemplo:

42+ 12

2=4+12

2=16

2=8 8

3−5

3=8−5

3=3

3=1

Exponentes enteros

Las reglas básicas para trabajar con expresiones que contienen exponentes se muestran en

la Tabla 2.

Regla : Ejemplo :

am∙ an=am+n a2 ∙ a3=a2+3=a5

¿¿ ¿¿

(ab)n=an bn ¿

( ab )

n

=an

bn ( ab )

3

=a3

b3

am

an =am−n a4

a2 =a4−2=a2

¿¿ ¿¿

a−n= 1an ;a≠0 a−2= 1

a2 ;a ≠ 0

a0=1

Tabla 2. Reglas básicas de expresiones con exponentes

Radicales (Raíces)

Un radical es una expresión en la forma n√b

Se se lee "raíz n−ésima deb"

Cada parte de un radical lleva su nombre:

n√b

16

Índice

radicando

El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente

omitido.

Propiedades de los radicales (de las raíces).

Regla: Ejemplo:

( n√b )n=b ( 2√5 )2=5

n√bn=b ;si n es impar 3√b3=b

n√bn=|b|; si nes par 2√62=|6|

n√ab 3√2∙ 4= 3√2 ∙ 3√4

n√ ab=

n√an√b

3√ 23=

3√23√3

Suma y Resta de Radicales (de raíces)

Cuando se tienen radicales "semejantes", se pueden resolver la suma o la resta usando la

propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son

los que tienen el mismo radicando. Ejemplos:

3√5+4 √5=7√5 7√8−2√8=5√8

Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta únicamente puede ser indicada.

Ejemplo:

5√2−√18=5√2−√9 ∙2=5√2−3√2 (5−3 ) √2=2√2

Ejercicios 4.2. Resuelva las operaciones indicadas:

1¿(a+1)(a+2) 2¿(x+2)(x+4) 3¿(x+5)(x−2) 4 ¿(m−6)(m−5)

17

5¿(x+7)(x−3) 6¿( x+2)(x−1) 7¿(x−1)(x−3) 8¿(x−5)( x+4)

9¿(a−11)(a+10) 10¿(n−19)(n+10) 11¿(a2+5)(a2−9) 12¿(x2−1)(x2−7)

13¿(n2−1)(n2+20) 14¿(n3+3)(n3−6) 15¿(x3+7)(x3−6) 16¿(a4+8)(a4−1)

17¿(a5−2)(a5+7) 18 ¿(a6+7)(a6−9) 19¿(ab+5)(ab−6) 20¿(x y2−9)(x y2+12)

21¿(a2b2−1)(a2 b2+7) 22¿(x3 y3−6)(x3 y3+8)

23¿(ax−3)(ax+8) 24¿(ax+1−6)(ax +1−5)

Ejercicios 4.3. Obtenga el resultado de los siguientes ejercicios:

1. ¿ 2. (x+2)( x+3) 3. ( x+1 )(x−1) 4. ¿

5. (n+3)(n+5) 6. (m−3)(m+3) 7. (a+b−1)(a+b+1)

8. ¿ 9. (a2+4 ) ( a2−4 ) 10. ¿ 11. (ab+3)(3−ab)

12. (a2+8 ) (a2−7 ) 13. (x+ y+1)(x− y−1) 14. ¿

15. (1−a )(a+1) 16. (m+8 )(m+12) 17. ( x2−1 ) ( x2+3 ) 18. ( x3+6 ) ( x3−8 )

19. ¿ 20. ( x4−2 ) ( x4+5 ) 21. (1−a+b)(b−a−1)

22. (ax+bn) ( ax−bn ) 23. ( xa+1−8 )(x¿¿a+1+9)¿ 24. (a2b2+c2) ( a2b2−c2 )

25. ¿ 26. ( x2−11 ) ( x2−2 ) 27. ¿ 28. (a3+12 ) ( a3−15 )

29. (m2−m+n)(n+m+m2) 30. ( x4−7 ) ( x4−11) 31. ¿

32. ( x2 y3−8 ) ( x2 y3+6 ) 33. (a+b ) (a−b ) (a2−b2 )

34. ( x+1 ) ( x−1 ) ( x2−2 ) 35. (a+3 ) ( a2+9 ) (a−3 )

36. ( x+5 ) ( x−5 ) ( x2+1 ) 37. (a+1 ) (a−1 ) (a+2 ) (a−2 )

5. Factorización

Factorizar un polinomio es expresarlo por medio de sus factores primos (el producto de

dichos factores dan como resultado la primera expresión). Factor Primo. Es aquel que es

irreducible y divisible entre si mismo únicamente. La factorización puede considerarse

como la operación inversa a la multiplicación. Se llaman factores o divisores de una

expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la

primera expresión.

18

Suponiendo que se tienen dos números 3 y 5 y se pide que se multipliquen, se escribirá

3 ×5=15. En el proceso inverso, se tiene el producto 15 y se pide que se factorice, entonces

se tendrá 15=3× 5.

5.1 Factor común.

Es aquel factor que divide a todos los términos de un polinomio. Para localizar el factor

común se aplica la propiedad distributiva a (b+c )=ab+ac, donde a es el factor común. Se

localiza el factor común, el cual se forma con el número que divide exactamente a los

coeficientes de cada término acompañado de la letra(s) que están en cada término de la

expresión a factorizar elevadas a la menor potencia y se aplica en cierta forma la propiedad

distributiva en forma inversa, teniendo:

4 x+4 y=4 ( x+ y )5a−10 b= (a−5 b )2 x2+6 x=2 x (x+3)

3a2−6 ab=3a(a−2 b)

Ejercicios 5.1. Descomponer en dos factores las siguientes expresiones (factor común)

1. a2+ab 2. b+b2 3. x2+ x

4. 3a3−a2 5. x3−4 x4 6. 5 m2+15 m3

7. ab−bc 8. x2 y+x2 z 9. 2 a2 x+6 ax2

10. 8m2−12 mn 11. 9 a3 x2−18 a x3 12. 15 c3 d2+60 c2 d3

13. 35 m2n2−70 m3 14. abc+ab c2 15. 24 a2 x y2−36 x2 y4

16. a3+a2+a 17. 4 x2−8 x+2 18. 15 y3+20 y2−5 y

19. a3−a2 x+a x2 20. 20a2 x+2 ax2−3 ax 21. x3+ x5−x7

22. 14 x2 y2−28 x3+56 x4 23. 34 ax2+51 a2 y−68 ay2 24. 96−48 m n2+144n3

25. a2b2c2−a2c2 x2+a2c2 y2 26. 55m2n3 x+110 m2 n3 x2+220 m2 y3

27. 93 a3 x2 y−62 a2 x3 y2−124 a2 x 28. x−x2+x3−x4

29. a6−3a4+8 a3−4a2 30. 25 x7−10 x5+15 x3−5 x2

31. x15−x12+2 x9−3 x6 32. 9 a2−12 ab+15 a3 b2−24 ab3

33. 16 x3 y2+8 x2 y−24 x4 y2+40 x2 y3 34. 12m2 n+24 m3 n2−36 m4 n3+48m5n4

35. 100 a2 b3 c−150 ab2c2+50 a b3 c3−200 ab c2

19

36. x5−x4+x3−x2+x 37. a2−2a3+3 a4−4 a5+6 a6

38. 3 a2 b+6 ab−5a3b2+8a2 bx+4 a b2m

5.2 Diferencia de cuadrados.

La diferencia de cuadrados se factoriza en el producto de dos binomios conjugados (esto es

una identidad). Aquí se tiene un producto notable:

( A+B ) ( A−B )=A2−B2

Se puede utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados:

A2−B2=( A+B ) ( A−B )

Ejercicios 5.2. Realice la diferencia de cuadrados de las siguientes expresiones.

1) x2− y2 2) a2−1 3) a2b8−c2

4) a10−49 b12 5)14−9a2 6) 1

16−4 x2

49

7) 100 m2n4− x8

168) a2n−b2 n 9) a2n b4 n− 1

25

10)1

100−x2n 11) 16 x6 m− y2 n

4912) 256 a12−289b4 m10

5.3 Trinomio general de segundo grado: ax2+bx+c

Del estudio de los productos notables se sabe que el cuadrado de un binomio es un

trinomio; tales trinomios se llaman trinomioscuadrados perfectos(T .C . P .). Una cantidad

es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto

de dos factores iguales.

( x+3 )2=x2+6 x+9

( x−3 )2=x2−6 x+9

La regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto establece que dicho trinomio

debe ordenarse con relación a una letra y es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer

20

términos tienen raíz cuadrada exacta y positivos, y el segundo término es el doble producto

de sus raíces cuadradas.

Para factorizarlo se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se

separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la

raíz cuadrada del binomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Ejercicios 5.3. Realice la factorización de los siguientes trinomios:

1¿a¿2+8 a+16 2¿n¿2−8n+16 3¿ y2

4− yz+z2 4 ¿ x4−x2 y2+ y4

4

5¿49 x¿6−70 ax3 y2+25a2 y4 6¿ x¿8+18 x4+81 7¿36+121c2−132 c 8¿4 a¿2−20ab+25b2

9¿100 a¿4−60 a2 b+9b2 10¿ x¿2+6 x+9 11¿4 x¿2+9 y2−12 xy 12¿9x ¿2+12 xy+4 y2

5.4 Trinomio de la forma x2+bx+c

Este trinomio se factoriza en el producto de dos binomios con un término común, siendo el

término común la raíz cuadrada del término cuadrático, los términos no comunes son tales

que, la suma de ellos es el coeficiente de la variable a la primera potencia y su producto es

el término independiente. La regla establece que:

x2+bx+c=( x+ p ) ( x+q ) ,tal que :( p+q)=b ,( pq)=c

Por ejemplo:

x2+3x+c

Ejercicios 5.4. Realice la factorización de las siguiente expresión en dos factores de la

forma: (x+ p)( x+q):

1. x2+7x+10 2. x2−5 x+6 3. x2+9 x−10 4. x2+ x−2

5. a2+4 a+3 6. m2+15 m−14 7. y2−9 y+20 8. x2−6−x

9. x2−9 x+8 10. c2+5 c−24 11. x2−3 x+2 12. a2+7 a+6

13. y2+4 y+3 14. 12−8n+n2 15. x2+10 x+21 16. a2+7 a−18

17. m2+12m+11 18. x2−7 x−30 19. n2+6 n−16 20. 20+a2−21 a

21. y2+ y−30 22. 28+a2−11a 23. n2−6 n-40 24. x2−5 x−36

25. a2−2a−35 26. x2+14 x+13 27. a2+33−14 a 28. m2+13 m−30

29. c2−13c−14 30. x2−15 x+56 31. x2−15 x+54 32. a2+7 a−60

33. x2−17 x−60 34. x2+8 x−180 35. m2−20 m−300 36. x2+ x−132

21

37. m2−2m−168 38. c2+24 c+135 39. m2−41m+400 40. a2+a−380

41. x2+12 x−364 42. a2+42 a+432 43. m2−30 m−675 44. y2+50 y+336

45. x2−2 x−528 46. n2+43 n+432 47. c2−4 c−320 48. m2−8m−1008

5.5 Trinomio de la forma ax2+bx+c

Se diferencian de los trinomios cuadrados en que el primer término tiene un coeficiente

distinto de uno. Como ejemplo ilustrativo se factoriza 6 x2−7 x−3 primero se multiplica el

trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7 x se

tiene:

36 x2−6(7 x )−18

Pero 36 x2=(6 x )2 y 6 (7 x )=7(6 x) luego se escribe (6 x )2−7 (6 x )−18.

Descomponiendo este trinomio, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de

(6 x )2 o sea 6 x, con ello ¿ Los segundos términos de cada factor pueden obtenerse

identificando dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18 siendo estos 9 y 2.

Con ello el resultado será (6 x−9 ) (6 x+2 ).

Como al principio se multiplica el trinomio dado por 6 ahora se tiene que dividir por 6 para

no alterar el trinomio y se tendrá:

(6 x−9 ) (6 x+2 )6

Pero como ninguno de los binomios es divisible por 6, se descompone el 6 en 2 ×3 y

dividiendo:

(6 x−9)3

Y

(6 x+2)2

Se tendrá:

(6 x−9)(6 x+2)3× 2

=(2 x−3)(3 x+1)

22

Luego: 6 x2−7 x−3=(2 x−3)(3 x+1)

Ejercicios 5.5. Realice la factorización de las siguientes expresiones:

1. 2 x2+3 x−2 2. 3 x2−5 x−2 3. 6 x2+7 x+2 4. 5 x2+13 x−6

5. 6 x2−5 x−6 6. 12 x2− x−6 7. 4 a2+15a+9 8. 10a2+11a+3

9. 12 a2−13 a−35 10. 20 y2+ y−1 11. 8 m2−14 m−15 12. 7 x2−44 x-35

5.6 Factorización por agrupación

Se puede utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro

términos. Sea x3+ x2+2 x+2. No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo, al factorizar

a x3+ x2 y 2 x+2 por separado:

1223 xxxx

1222 xx

x3+ x2+2 x+2=x2 ( x+1 )+2(x+1)

x3+ x2+2 x+2=( x+1)(x2+2)

Ejercicios 5.6. Realice la factorización por agrupación de las siguientes expresiones:

1. a2+ab+ax+bx 2. am−bm+an−bn

3. ax−2bx−2ay+4by 4. a2 x2−3 b x2+a2 y2−3b y2

5. 3 m−2 n−2n x4+3m x 4 6. x2−a2+x−a2 x

7. 4 a3−1−a2+4 a 8. x+x2−x y2− y2

9. 3 ab x2−2 y2−2 x2+3 ab y2 10. 3 a−b2+2 b2 x−6ax

11. 4 a3 x−4 a2 b+3 bm−3amx 12. 6 ax+3 a+1+2 x

13. 3 x3−9 a x2−x+3 a 14. 2 a2 x−5a2 y+15by−6bx

15. 2 x2 y+2x z2+ y2 z2+ x y3 16. 6 m−9 n+21nx−14 mx

17. n2 x−5 a2 y2−n2 y2+5a2 x 18. 1+a+3 ab+3 b

23

19. 4 am3−12 amn−m2+3n 20. 20 ax−5bx−2by+8ay

21. 3−x2+2ab x2−6 ab 22. a3+a2+a+1

23. 3 a2−7 b2 x+3 ax−7 a b2 24. 2 am−2 an+2 a−m+n−1

25. 3 ax−2 by−2bx−6a+3ay+4 b 26. a3+a+a2+1+x2+a2 x2

27. 3 a3−3 a2 b+9a b2−a2+ab−3b2 28. 2 x3−n x2+2 x z2−n z2−3n y2+6 x y2

29. 3 x3+2axy+2 a y2−3 x y2−2a x2−3x2 y

30. a2b3−n4+a2 b3 x2−n4 x2−3a2 b3 x+3n4 x

5.7 Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las

siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

A3+B3=( A+B)(A2−AB+B2) A3−B3=( A−B)( A2+ AB+B2)

Ejemplos:

3 x3+81=3 ( x3+27 ) x3+27=(x+3)(x2−3x+9)

x3−27=(x−3)(x2+3 x+9)

Ejercicios 5.7. Factorice las siguientes expresiones (sumas y diferencia de cubos).

1. 1+a3

1+a2. 1−a3

1−a3. x3+ y3

x+ y4. 8 a3−1

2 a−1

5. 8 x3+27 y3

2 x+3 y6. 27 m3−125 n3

3m−5n7. 64 a3+343

4 a+78. 216−125 y3

6−5 y

9. 1+a3 b3

1+ab10

.729−512 b3

9−8 b11. a3 x3+b3

ax+b12. n3−m3 x3

n−mx

13. x6−27 y3

x2−3 y

14

.8 a9+ y3

2 a3+ y3 15. 1−x12

1−x4 16. 27 x6+13 x2+1

17. 64 a3+b9

4 a+b3

18

.a6−b6

a2−b2 19. 125−343 x15

5−7 b5 20. n6+1n2+1

24

6. Fracciones algebraicas.

Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, como, por ejemplo:

AB

Es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de una expresión A (numerador)

entre una expresión B (denominador), el numerador y el denominador, son los términos de

la fracción.

6.1 Fracciones homogéneas.

Las fracciones homogéneas son aquellas que tienen el mismo denominador, por ejemplo:

32

, 72

, 152

Al sumar algebraicamente fracciones homogéneas, solamente se suman los numeradores,

conservando el mismo denominador. Ejemplo:

32+ 7

2−15

2=−5

2

Para sumar o restar fracciones no homogéneas, en general, es necesario encontrar primero

el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y expresar cada una de las

fracciones, utilizando este valor como denominador común.

AB

± CD

= AD± BCBD

donde , BDes el m. c .m .

Por ejemplo:

x2

y+ y2

x=¿¿

Ejercicios 6.1. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar el resultado:

25

1¿ 2x−3

+ 3x+2

− 4 x−7x2−x−6

2¿ a3a+6

− 16a+12

+ a+1212 a+24

3¿ xx2+1

+ 13 x

− 1x2 4 ¿ a+3

a2−1+ a−1

2a+2− a−4

4 a−4

5¿ a−ba2+ab

+ a+bab

− aab+b2 6¿ x− y

x+ y− x+ y

x− y+ 4 x2

x2− y2

7¿ xa2−a x

+ 1a+ 1

x8¿ x+1

x2−x−20− x+4

x2−4 x−5+ x+5

x2+5 x+4

9¿ 2x+112x+8

− x2

6 x2+x−2+ 2 x

16 x−810¿ 1

ax− 1

a2+ax+ 1

a+x

11¿ 1x+ y

− 1x− y

+ 2 yx2+ y2 12¿ a−1

3 a+3− a−2

6 a−6+ a2+2a−6

9 a2−9

13¿ 1a2+2a−24

+ 2a2−2 a−8

− 3a2+8 a+12

14¿ x+ yxy

− x+2 yxy+ y2 −

yx2+xy

15¿ a3

a3+1+ a+3

a2−a+1−a−11

a+116¿ 1

x−1+ 2 x

x2−1− 3 x2

x3−1

17¿ a+ba2−ab+b2 −

1a+b

+ 3 a2

a3+b318¿ 2

x−2+ 2 x+3

x2+2 x+4−6 x+12

x3−8

19¿ 3 x+2x2+3 x−10

− 5x+1x2+4 x−5

+ 4 x−1x2−3 x+2

20¿ 1(n−1 )2

+ 1n−1

− 1( n−1 )3

−1n

21¿ 1a2+5

− a2−5( a2+5 )2

+ a2+5a4−25

22¿ 1−x2

9−x2−x2

9+6 x+x2 −6 x

9−6 x+x2

23¿ x2 x+2

− x+13 x−3

+ x−16 x+6

− 518 x−18

24¿ a+22 a+2

− 7a8 a2−8

− a−34a−4

6.2 Expresión mixta.

Son aquellas que tienen parte entera y una parte fraccionaria, por ejemplo:

a+ bc

, x− 3x−a

6.3 Fracciones algebraicas complejas.

Son aquellas que tienen fracciones en el numerador o en el denominador o ambas, por

ejemplo:

26

(a+ bc )

(x− 3x−a )

La simplificación de este tipo de fracciones se puede obtener de dos maneras:

1) Encontrar el mínimo común denominador (MCD) de los denominadores de todas

las expresiones racionales que están tanto en el numerador como en el denominador,

luego multiplicar arriba y abajo de la fracción compleja por el MCD encontrado,

cancelando factores y simplificando (si es posible).

2) Convertir a fracción por separado las expresiones del numerador y denominador

obteniendo así una división de fracciones, para después utilizar las propiedades de

las proporciones: producto de extremos, sobre producto de medios, cancelando

factores y simplificando (si es posible).

Ejercicios. Simplificar los siguientes:

1¿(1+ y

x )( y

x−1)

El MCD de los denominadores es , se multiplica en el denominador y el numerador,

obteniéndose:( 1+ yx

yx−1 )( x

x )= (1+ yx )x

( yx−1) x

= x+ yy−x

2¿( y−1

y+1− y+1

y−1 )( y−1

y+1+ y+1

y−1 )

El MCD de los denominadores es , así que multiplicando el MCD tanto en el

numerador como en el denominador, se tiene:

27

(y−1y+1

− y+1y−1

y−1y+1

+ y+1y−1

)( ( y+1 ) ( y−1 )( y+1 ) ( y−1 ) )=

( y−1y+1

− y+1y−1 ) ( y+1 ) ( y−1 )

( y−1y+1

+ y+1y−1 ) ( y+1 ) ( y−1 )

( y−1y+1

− y+1y−1 ) ( y+1 ) ( y−1 )

( y−1y+1

+ y+1y−1 ) ( y+1 ) ( y−1 )

=( y−1 ) ( y−1 )− ( y+1 ) ( y+1 )( y−1 ) ( y−1 )+( y+1 ) ( y+1 )

=( y2−2 y+1 )−( y2+2 y+1 )( y2−2 y+1 )+( y2+2 y+1 )

¿ y2−2 y+1− y2−2 y−1y2−2 y+1+ y2+2 y+1

= −4 y2 y2+2

= −4 y2 ( y2+1 )

=−2 yy2+1

Ejercicios 6.2. Resolver las siguientes expresiones (productos y cocientes de fracciones):

1¿( 3 x4 y

× 8 y9 x )÷ z2

3 x2

2¿ 5 ab

÷( 2 ab2 × 5 x

4 a2 )3¿( a+1

a−1× 3a−3

2 a+2 )÷ a2+aa2+a−2

4 ¿(64 a2−81 b2

x2−81× ( x−9 )2

8 a−9b )÷ 8 a2+9ab( x+9 )2

5¿( x2−x−12x2−49

× x2−x−56x2+x−20 )÷ x2−5 x−24

x+5

6¿( a2−8 a+7a2−11a+30

× a2−36a2−1 )÷ a2−a−42

a2−4 a−5

7¿( x4−27 xx2+7 x−30

× x2+20x+100x3+3 x2+9x )÷ x2−100

x−3

8¿ a+13a−6

÷( a2+a6 a−12

× 4 x+8x−3 )

9¿( 8 x2−10 x−36 x2+13 x+6

× 4 x2−93 x2+2x )÷ 8 x2+14 x+3

9 x2+12x+4

28

10¿( (a+b )2−c2

(a−b )2−c2 ×(a+b )2−b2

a2+ab−ac )÷ a+b+ca2

Ejercicios 6.3. Simplificar las siguientes fracciones complejas:

1¿1+ x+1

x−11

x−1− 1

x+1

2¿

1x−1

+ 2x+1

x−2x

+ 2 x+6x+1

3¿

aa−b

− ba+b

a+ba−b

+ ab

4 ¿

x+3x+4

− x+1x+2

x−1x+2

− x−3x+4

5¿

m2

n−m2−n2

m+nm−n

n+ n

m

6¿

a2

b2 + 1a

ab−b−a

a−b

7¿1+ 2 x

1+x2

2 x+ 2x5+21−x4

8¿

x+ yx− y

− x− yx+ y

x+ yx

− x+2 yx+ y

9¿

a+xa−x

− b+xb−x

2a−x

− 2b−x

10¿

aa+x

+ a2a+2 x

aa−x

+ aa+ x

11¿

a+2 ba−b

−ba

a+ba

− 2ba−b

12¿1−7

x+ 12

x2

x−16x

7. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Una ecuación es una igualdad condicionada (se satisface solamente para alguno(s) valor(es)

de las incógnitas).

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son aquellas donde aparece solo una

variable (incógnita), la cual se encuentra elevada a la primera potencia. Ejemplos de las

ecuaciones se tiene:

3 x+1=x−2

1−3 x=2 x−9

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales:

1) La suma de dos igualdades miembro a miembro es otra igualdad.

29

Sia=b y c=d

a+c=b+d

2) El producto de dos igualdades miembro a miembro es otra igualdad.

Sia=b y c=d , con c≠ 0

ac=bd

Y además se aplican los axiomas de los números reales. Para conseguir despejar la “x"

(incógnita) sola en el primer miembro de la ecuación. Se observa para el ejercicio anterior:

3 x+1=x−2

Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos

miembros:

3 x+1−1=x−2−1

3 x=x−3

Restar x en ambos miembros:

3 x−x=x−3−x

2 x=−3

Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso entre 2:

2 x2

=−32

Que una vez simplificado queda:

x=−32

Segundo ejemplo:

1−3 x=2 x−9−1

Restar uno en ambos términos:

1−3 x−1=2 x−9−1

3 x=2 x−10

Restar en ambos términos:

3 x−2 x=2 x−10−2 x

x=−10

30

NOTA: Al valor que satisface una ecuación de primer grado con una incógnita se le conoce

como “raíz de la ecuación”.

Ejercicios 7. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

1¿5x=8x – 15 2¿4 x+1=2 3¿ y – 5=3 y –25

4 ¿5 x+6=10 x+5 5¿9 y – 11=−10+12 y 6¿21 – 6 x=27 – 8 x

7¿11 x+5x−1=65 x – 36 8¿8 x – 4+3 x=7 x+x+14 9¿8 x+9 –12 x=4 x –13 – 5 x

10¿5 y+6 y – 81=7 y+102+65 y 11¿ x−43

−5=0

12¿x− x+212

=5x2

13¿ x−5 x−13

=4 x−35

14¿10 x−8 x−34

=2(x−3)

15¿ x−23

− x−34

= x−45

16¿ x−12

− x−23

− x−34

=−x−55

17¿ x−(5 x−1 )−7−5 x10

=1 18¿2 x−5 x−64

+( x−5 )

3=−5 x

19¿4−10 x+16

=4 x−16 x+34 20¿ (x−1 )

2− (x−3 )= x+3

3+ 1

6

8. Sistemas de ecuaciones lineales.

Es el conjunto de dos o más ecuaciones lineales.

Sistemade (2 x 2 ) : a1 x+¿b1 y=¿c1

a2 x+¿b2 y=¿c2

La solución de un sistema de ecuaciones lineales son todos los valores para las incógnitas

tales que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Para resolver estos sistemas de

ecuaciones existen varios métodos, entre otros eliminación por sustitución, igualación y

reducción por suma o resta. Para los sistemas de 2x2 también existe el método gráfico.

Método de sustitución:

{ 2 x+ y=73 x−2 y=21

31

1. Despejar la y de la primera ecuación: y=7−2 x

2. Sustituir en la otra ecuación: 3 x−2 (7−2 x )=21

3. Resolver la ecuación resultante:

3 x−14+4 x=217 x=35

x=5

4. Para determinar el valor de y, se sustituye el valor de x=5 en la expresión obtenida en

el paso 1:

y=7−2(5)y=−3

Método de igualación.

{4 x−3 y=−25 x+2 y=9

1. Se despeja la misma variable de ambas ecuaciones:

x= 3 y−24

x=9−2 y5

2. Se igualan las dos expresiones anteriores:

3 y−24

=9−2 y5

3. Resolviendo la ecuación resultante:

15 y−10=36−8 y23 y=46

y=2

4. Para calcular el valor de se sustituye y=2 en cualquiera de las expresiones obtenidas

en el paso 1:

x=3 (2 )−24

=1

Método de suma o resta.

32

El método de suma o resta consiste en multiplicar cada ecuación por un factor tales que al

sumar las ecuaciones miembro a miembro una de las variables se elimine.

{ 2 x+5 y=−3−3 x+4 y=−7

1. Se elimina la para ello se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:

{ 6 x+15 y=−9−6 x+8 y=−14

2. Se suma miembro a miembro las ecuaciones, se anulan las y queda:

23 y=−23y=−1

3. Para calcular se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales:

2 x+5 (−1 )=−32x=2x=1

Ejercicios 8. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1¿ {3 x2

+ y=11

x+ y2=7

2¿{ 5 x12

− y=9

x−3 y4

=153¿{ x

7+ y

3=5

3 y− x4=26

4 ¿ { x5= y

4y3= x

3−1

5¿ {3 x5

− y4=2

2 x=5 y2

6¿ {2 x3

−3 y4

=1

y8−5 x

6=2

7¿{x8− y

5=−11

10x5+ y

4=−59

40

8¿ { x7+ y

8=0

x7−3 y

14=7

9¿{ 2 x+15

= y4

2 x−3 y=−810¿{12 x+5 y+6=0

5 x3

−7 y6

=−1211¿ { x

5=3( y+2)

y5

+3 x=2245

12¿ { x5− y

6=−1

30x3− y

20=13

12

9. Ecuaciones cuadráticas de segundo grado con una incógnita.

Una ecuación con una incógnita es de segundo grado en su forma general es:

33

a x2+bx+c=0 , con a≠ 0

Algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita son:

5 x2−x−4=0Completa

x2−4=0Incompleta pura

3 x2−2 x=0Incompleta mixta

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son

distintos de cero. Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c,

o ambos, son cero.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas:

1) Factorización: consiste en factorizar el trinomio a x2+bx+c tal que:

( px+q ) (rx+s )=0

NOTA: para que el producto de dos factores sea cero, al menos uno de los factores

debe ser cero, pero como se deben encontrar todos los valores que satisfagan la

ecuación, entonces cada factor se iguala a cero.

Ejemplo. Resuelve por factorización: x2+2 x−15=0

Solución. Se busca un par de números que multiplicados den −15, y que sumados den 2.

En este caso los números son: 5 y−3 entonces:

x2+2 x−15=0

( x−3 ) ( x+5 )=0

x−3=0 x+5=0

x=3 x=−5

Para comprobar tanto la factorización como el resultado, se efectúa la multiplicación y se

sustituyen los valores, respectivamente:

( x−3 ) ( x+5 )=x2+5 x−3 x−15=x2+2 x−15

x2+2 x−15=0

Sustituyendocon x=3 Sustituyendocon x=−5

(3 )2+2 (3 )−15=0 (−5 )2+2 (5 )−15=0

0=0 0=0

2) Formula general: Se emplea en caso que no se pueda factorizar por inspección para

a x2+bx+c=0, la fórmula es:

34

x=−b±√b2−4ac2a

Donde:

b2−4 ac se llama discriminante de la ecuación.

NOTA: si el discriminante es negativo las raíces son complejas, si el discriminante

es mayor o igual que cero las raíces son reales.

Ejemplo. Resuelve por formula general: x2+2 x−15=0

Coeficientes: a=1 , b=2 , c=−15 : sustituyendo en la formula se obtiene:

x1=−2+√22−4 (1 ) (−15 )

2=−2+8

2=3

x2=−2−√22−4 (1 ) (−15 )

2=−2−8

2=−5

Ejercicios 9.1. Resolver los siguientes ejercicios por factorización:

1¿ x2−x−6=0 2¿ x2+7 x=18 3¿8 x−65=−x2

4 ¿ x2=108−3 x 5¿2 x2+7 x−4=0 6¿6 x2=10−11x

7¿20 x2−27 x=14 8¿7 x=15−30 x2 9¿60=8 x2+157 x

10¿ x ( x−1 )−5 (x−2 )=2 11¿ ( x−2 )2−(2 x+3 )2=−80 12 ¿ 6x2 −

9x=−4

3

13 ¿ x+22

+ x=4x 14)

( x−1x )

2− x−1

x=2 15¿ x

x−2+x=3 x+15

4

16¿ 6x−4

−4x= 5

12 17¿ ( x−2 )3− (x−3 )3=37 18¿ x−1x+1

−2= x+33

19¿ 4 x−12x+3

=2 x+16 x+5

Ejercicios 9.2. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1¿3x2=48 2¿5 x2−9=46

35

3¿7 x2−14=0 4 ¿9 x2−a2=0

5¿ ( x+5 ) ( x−5 )=−7 6¿ (2 x−3 ) (2x+3 )−135=0

7¿3 ( x+2 ) ( x−2 )=( x−4 )2+8 x 8¿( x+ 13 )( x−1

3 )=13

9¿ (2 x−1 ) ( x+2 )− (x+4 ) ( x−1 )−5=0

10 ¿ 52 x2−

16 x2 =

712

11¿ 2 x−3x−3

= x−2x−1

12¿ x2−53

+ 4 x2−15

−14 x2−115

=0

13¿2x−3− x2+1x−2

=−7 14¿3− 34 x2−1

=2

Ejercicios 9.3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1¿ x2=5 x 2¿4 x2=−32 x 3¿ x2−3 x=3 x2−4 x

4 ¿5 x2+4=2 ( x+2 ) 5¿ ( x−3 )2− (2 x+5 )2=−16 6¿ x2

3− x−9

6=3

2

7¿ (4 x−1 ) (2 x+3 )=(x+3)(x−1) 8¿ x+1x−1

− x+4x−2

=1

Ejercicios 9.4. Resolver los siguientes ejercicios por fórmula general.

1¿3x2 – 5 x+2=0 2¿4 x2+3 x−22=0 3¿ x2+11 x+24=0

4 ¿ x2 –16 x+63=0 5¿12x−4−9 x2=0 6¿5 x2 –7 x−90=0

7¿6 x2 – x−222=0 8¿ x+11=10 x2 9¿49 x2 – 70 x+25=0

10¿12 x−7 x2+64=0 11¿ x2+15 x+56=0 12¿32 x2+18x−17=0

10. Triángulos rectángulos (Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas).

36

Es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y

los otros dos lados se llaman catetos.

10.1 Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

De esta fórmula se obtienen las siguientes expresiones:

10.2 Razones trigonométricas.

Una función trigonométrica es la razón de dos cualesquiera de los lados de un triángulo

rectángulo. Existen 6 funciones trigonométricas:

B+C+90°=180 °

37

Tomando el ángulo B para definir las razones trigonométricas se tiene lo siguiente:

Sen B= cateto opuestohipotenusa

=ba

cot B= cateto adyacentecateto opuesto

= cb

cos B=cateto adyacentehipotenusa

= ca

Sec B= hipotenusacateto adyacente

=ac

tan B= cateto opuestocateto adyacente

=bc

Csc B= hipotenusacateto opuesto

=ab

NOTA:

Las razones: cot B Sec B Csc B

Son reciprocas de: tan B cos B Sen B

respectivamente

Ejercicios 10.1. Complete los datos de los siguientes triángulos rectángulos a partir de los

valores dados:

1.−b=50 c=40 2.−b=14 c=18 3.−b=22c=45

4.−a=30 b=25 5.−a=5.3b=4.7 6.−a=11.8 b=3.8

7.−b=2 B=27 ° 20 ’ 8.−c=45 B=65° 50 ’ 9.−b=30C=40 °30 ’

10.−c=60 C=28° 30 ’ 11.−a=4 B=62° 30 ’ 12.−a=90C=20 °

11. Identidades trigonométricas.

Simplificación de expresiones trigonométricas. Con frecuencia es conveniente

transformar en una forma más simple una expresión dada que contiene funciones

trigonométricas. Ejemplos:

1)Se tiene cosθ ∙ csc θ , usando csc θ= 1senθ

cosθ ∙ 1senθ ,

= cosθsenθ

=cot θ

2) Se tiene sen3 θ+senθ ∙ cos2θ , aplicando la relación:

sen2θ+cos2 θ=1

38

Factorizandosenθ :senθ ( sen2 θ+cos2θ )=senθ (1 )=senθ

Identidades trigonométricas. Una relación que contiene funciones trigonométricas y que

es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones recibe el

nombre de identidad trigonométrica. Para verificar una identidad trigonométrica se

transforma uno de los miembros de la igualdad (cualquiera de los dos) en el otro. En

general, se comienza por el miembro más complicado. Para tener éxito en la verificación de

identidades se requiere:

a) Completa familiaridad con las relaciones fundamentales.

b) Completa familiaridad con los procedimientos de factorización, suma de fracciones,

etc.

c) Práctica.

11.1 Relaciones fundamentales.

Las principales relaciones fundamentales que involucran funciones e identidades

trigonométricas pueden observarse en la Tabla 5.

Relaciones inversas Relaciones porcociente Relaciones pitagóricas

csc θ= 1senθ

tanθ= senθcosθ

sen2θ+cos2 θ=1

secθ= 1cosθ

cot θ= cosθsenθ

1+ tan2θ=sec2 θ

cot θ= 1tan θ

1+cot2 θ=csc2θ

Tabla 5. Principales relaciones fundamentales.

Estas relaciones son válidas para todos los valores de θ en los que las funciones

contenidas en ellas están definidas.

39

11.2 Funciones trigonométricas de dos ángulos.

Fórmulas para la suma.

sen (α+β )=sen α cos β+cosα sen β

cos ( α+β )=cos α cos β−senα sen β

tan ( α+β )= tan α+ tan β1−tan α tan β

Fórmulas para la diferencia.

sen (α−β )=senα cos β−cosα sen β

cos ( α−β )=cosα cos β+senα sen β

tan ( α−β )= tan α−tan β1+ tan α tan β

Fórmulas para el ángulo duplo.

sen2α=2 senα cos α

cos2α=cos2 α−sen2α=1−2 sen2 α=2cos2 α−1

tan2 α= 2 tan α1−tan2 α

Fórmulas para el ángulo mitad.

sen 12

θ=±√ 1−cos θ2

cos 12

θ=±√ 1+cosθ2

40

tan 12

θ=±√ 1−cosθ1+cosθ

=senθ

1+cos θ=

1−cosθsenθ

Fórmulas para sumas, diferencias y productos.

senα cos β=12 [ sen (α +β )+sen (α−β) ]

cos α sen β=12 [ sen (α +β )−sen(α−β )]

cos α cos β=12 [cos ( α+β )−cos (α−β )]

senα sen β=−12 [cos (α +β )−cos (α−β )]

Suma y diferencia de senos y cosenos.

sen A+sen B=2 sen 12

( A+B ) cos 12

( A−B )

sen A−sen B=2 cos 12

( A+B ) sen 12

( A−B )

cos A+cosB=2 cos 12

( A+B ) cos 12

( A−B )

cos A−cos B=−2 sen 12

( A+B ) sen 12

( A−B )

Ejercicios 11.1. Compruebe las siguientes identidades trigonométricas:

1¿ sen x+cos xsen x

=1+ 1tan x

2¿ cos xcot x

=sen x

41

3¿ sen xcsc x

+ cos xsec x

=1 4 ¿ tan xsen x

=sec x

5¿ sec ytan y+cot y

=s en y 6¿ csc xcot x

=sec x

7¿ 1−sen xcos x

= cos x1+sen x

8¿ sen4 x=1−cos2 xcsc2 x

9¿ sec x (1−sen2 x )=cos x 10¿ tan x cos xcsc x=1

11¿Sen x sec x=tan x 12¿ tan x−sen xsen3 x

= sec x1+cos x

13¿Sen 2 x= 2 tan x1+ tan2 x

14¿ cos2 xcos x

=2cos x−sec x

15¿ tan 2xtan x

=2cos2 x sec2 x 16¿2 tan x

2

1+ tan2 x2

=sen x

17¿1−tan 2 x

2

1+ tan2 x2

=cos x 18¿cot x−tan x=2 cot 2 x

19¿ cos 2xsen x

+ sen2xcos x

=csc x 20¿ tan 2 x1+ tan x tan2 x

= 2 tan x1+ tan2 x

=sen2x

12. Triángulos Oblicuángulos.

Son aquellos en los cuales todos sus ángulos son menores de 90 grados (acutángulo) o

bien, son aquellos que contienen un angulo mayor de 90 grados (obtusángulo). El triángulo

oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y cosenos, considerando que las sumas de

todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

42

Dado el triángulo:

12.1 Ley de Senos.

La ley de senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y

los ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas

de triángulos, especialmente los triángulos oblicuángulos.

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos”.

aSen A

= bSen B

= cSenC

Ejemplo: resuelva el siguiente triangulo con ley de senos, tomando como referencia el

triángulo anterior:

a=41 ° B=27 ° 50 ' C=51 °

Solución

b=19.5 c=32.5 A=101° 10 '

12.2 Ley de cosenos.

“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros

dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”.

a2=b2+c2−2bc CosA

b2=a2+c2−2 ac CosB

c2=a2+b2−2 ab CosC

NOTA: este tipo de triangulo se puede resolver conociendo tres datos, lado o ángulo,

excepto cuando se conocen los tres ángulos.

Se pueden presentar los siguientes casos:

I) Conociendo los tres lados.

II) Conociendo dos ángulos y cualquier lado del triángulo.

III) Conociendo dos lados y el ángulo que forman entre ellos.

43

Ejemplo: resuelva el siguiente triangulo con ley de cosenos, tomando como referencia el

triángulo anterior:

a=40 ° c=24.86 B=98° 6 '

Solución

b=50 A=52° 24 ' C=29 °30 '

Ejercicios 12.1. Complete los datos de los siguientes triángulos oblicuángulos a partir de

los valores dados:

1.−a=41 ,b=19.5 , c=32.48 2.−a=25 , b=31.51 , c=29.25

3.−a=33 , b=51.47 , c=46.25 4.−a=5.312 ,b=10.913 , c=13

5.−a=32.45 , b=27.21 ,C=66 ° 56 ’ 6.−b=50 , c=66.6 , A=83 °26 ’

7.−a=40 , c=24.86 , B=98° 6’ 8.−c=54.75 , a=318 , B=41° 27 ’

9.−a=41 , B=27 °50 ’ ,C=51 ° 10.−a=78.6 , A=83 °26 ’ , B=39° 13 ’

11.−c=547.5 , B=41 ° 27 ´ ,C=104 ° 18 ’ 12.−b=31.5 , A=48 °25 ’ ,C=61 °3 ’

Bibliografía:

Álgebra Elemental. A Baldor. Editorial: Cultura Mexicana S.A. de C.V. de

México.

Trigonometría, Frank Ayres Jr., Robert E. Moyer. Editorial: Mc Graw Hill.

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