UNIDAD 3Solución de sistemas de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas (3 x 3)

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Concepto

Procedimiento1. Enumeramos las ecuaciones planteadas en la actividad con

los numerales 1, 2 y 3.

2. Tomamos la ecuación 1 y 3, utilizamos el método de eliminación para quitar una variable y así obtener una nueva ecuación con dos variables, la cual llamaremos, ecuación 4.

3. Tomamos la ecuación 1 y 2, utilizamos el método de eliminación para quitar la misma variable del numeral anterior y así obtener una nueva ecuación con dos variables, la cual llamaremos, ecuación 5.

Tema 1 Método de eliminación

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4. Tomamos la ecuación 4 y 5, utilizamos el método de eliminación para quitar una variable y así obtener el valor de uno de los términos desconocidos.

5. El valor de la variable hallada en el paso anterior, se reemplaza en la ecuación 4 o 5, de tal forma que obtenemos el valor de una segunda variable.

6. Al tener el valor de dos variables, se reemplazan estos valores en una de las 3 ecuaciones dadas y así obtener el valor del tercer término desconocido.

Ejemplos:

Encontrar las variables desconocidas del siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

1. Enumeramos las ecuaciones planteadas en la actividad con los numerales 1, 2 y 3.

2. Tomamos la ecuación 1 y 3, utilizamos el método de eliminación para quitar una variable y así obtener una nueva ecuación con dos variables, la cual llamaremos, ecuación 4.

Multiplicamos la ecuación 3 por menos dos (- 2), con el fin de eliminar la variable x y así obtener la ecuación 4.

Organizando la ecuación (4) se tiene:

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3. Tomamos la ecuación 1 y 2, utilizamos el método de eliminación para quitar la misma variable del numeral anterior y así obtener una nueva ecuación con dos variables, la cual llamaremos, ecuación 5.

Multiplicamos la ecuación 2 por menos dos (- 2), con el fin de eliminar la variable x y así obtener la ecuación 5.

Organizando la ecuación (5) se tiene:

4. Tomamos la ecuación 4 y 5, utilizamos el método de eliminación para quitar una variable y así obtener el valor de uno de los términos desconocidos.

Multiplicamos la ecuación 4 por menos tres (- 3), con el fin de eliminar la variable y, y así obtener el valor de la variable z.

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5. El valor de la variable hallada en el paso anterior, se reemplaza en la ecuación 4 o 5, de tal forma que obtenemos el valor de una segunda variable.

Como el valor calculado corresponde a la variable z y es igual a 4,!z=4, lo reemplazamos en la ecuación 4 y así obtenemos el valor de la variable y.

Luego el valor obtenido para la variable y es 3;!y!=!3.

6. Al tener el valor de dos variables, se remplazan estos valores en una de las 3 ecuaciones dadas y así obtener el valor del tercer término desconocido.

Como ya tenemos el valor de dos variables las reemplazamos en la ecuación 3 que a mi modo de ver es la más sencilla para despejar la variable x:

Luego la variable x es igual a 0 x!=!0.

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Entonces la solución de este sistema de ecuaciones 3 x 3 es el punto ( 0, 3, 4).

Gráficamente:

Método de determinante 3 X 3

Solución de sistemas de ecuaciones por regla de Sarrus

1. Regla de Sarrus

Concepto:

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Fuente: elaboración propia

Procedimiento

Para calcular el determinante asociado a una matriz A. De orden 3 x 3, se procede así:

1. Se organiza la información del sistema de ecuaciones dado en una matriz.

2. Se plantea como determinante.

3. Se soluciona el determinante.

4. Se agregan las dos primeras filas o las dos primeras columnas de la matriz al determinante propuesto.

5. Se trazan las diagonales principales y secundarias en el nuevo determinante.

6. Se halla la diferencia entre la suma de los productos de los elementos de las diagonales principales, y la suma de los productos de los elementos de las diagonales secundarias.

Ejemplo:

Solucionemos el siguiente determinante 3 x 3 por Sarrus:

1. Se organiza la información del sistema de ecuaciones dado en una matriz.

2. Se plantea como determinante.

3. Se soluciona el determinante.

4. Se agregan las dos primeras filas o las dos primeras columnas de la matriz al determinante propuesto.

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5. Se halla la diferencia entre la suma de los productos de los elementos de las diagonales principales, y la suma de los productos de los elementos de las diagonales secundarias.

Solución de un sistema de ecuaciones utilizando la regla de Sarrus

Procedimiento

1. Se identifica el sistema de ecuaciones dado para ser solucionado:

2. Se calcula el determinante que va a ocupar la posición de denominador siguiendo la siguiente fórmula:

3. Se calcula el denominador utilizando la regla de Sarrus anteriormente descrita:

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4. Se inicia a calcular cada una de las variables utilizando la fórmula determinada, así:

Ejemplo:

Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Sarrus:

Solución:

1. Ya identificada la ecuación, se calcula el determinante que va a ocupar la posición de denominador:

2. Se calcula el denominador utilizando la regla de Sarrus:

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3. Se inicia a calcular cada une de las variables utilizando la fórmula determinada, así:

La variable x:

Calculamos la variable y:

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De igual manera calculamos el valor de la variable Z:

Entonces la solución de este sistema de ecuaciones 3 x 3 es el punto :

2. Regla de Cramer

Concepto

Definición

Regla de Cramer para sistemas lineales 3 x 3

sea el sistema

≠O, es el determinante de los coeficientes.

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Entonces:

Procedimiento

1. Hallar la matriz ampliada (A  b)  asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a)  Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes.

b)Dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita.

c)  Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema lineal 3 x 3, por Cramer aplicando cofactores.

Sistema lineal propuesto:

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Detdbadbadba

ZDet

cdacdacda

YDet

cbdcbdcbd

X 333

222

111

333

222

111

333

222

111

;; === !

Calculamos el determinante de los coeficientes que será el denominador común.

Aplicamos el concepto de cofactores:

Ahora calculamos el valor de X:

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Calculamos el valor Y:

Por último, calculamos el valor de Z:

Cuando se calculan los valores de las variables x, y, z, estamos encontrando las coordenadas de los puntos en que se intersectan los planos.

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Referencias bibliográficas• González P. José Weymar y otro. “Hacia el Aprendizaje de la matemática”. Editorial K-t-dra; 2010.

• Beltrán B. Luis y Otros. Matemáticas con tecnologías Aplicadas. Editorial Prentice Hall; 2006.

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