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Operaciones UnitariasMecánica de Fluidos

EIQ 303Primer Semestre 2012Profesor: Luis Vega A

Balance de Energía al Flujo de Fluidos

Ecuación de Continuidad

Para un fluido que fluye a través de una tubería el flujo volumétrico se puede calcular:

[ ]

⋅=

sm

vmAs

mF 2

3

Para un fluido que fluye a través de una tubería el Balance de Masa es extremadamente sencillo:

21 mm =

222111 vAvA ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ

tetanConsvA =⋅⋅ρ

Se conoce como la Ecuación de Continuidad.

Balance de Energía para el Flujo de Fluidos

Considerando una corriente de materia que fluye en régimen estacionario entre los puntos 1 y 2 de una tubería, como se muestra en la figura.

Bomba

1

2

Plano de Referencia

z1

z2WE

2

Bomba

1

2

Plano de Referencia

z1

z2WE

En Termodinámica habíamos establecido que el Balance de Energía para esta situación para un fluido incompresible es:

mW

hg

z gg2vP E

Fcc

2

=+∆+∆+ρ

∆

Donde hF eran las perdidas por fricción.

Para obtener la expresión anterior aplicamos la Primera Ley de la Termodinámica al sistema:

PcE EEHWQ ∆+∆+∆=+

Ecc

2

WQz gg

m2g

v mh m +=∆+∆+∆

mWQ

z gg

2gv

h E

cc

2 +=∆+∆+∆

Bomba

1

2

Plano de Referencia

z1

z2WE

dPvdhdsT ⋅−=⋅De la relación termodinámica:

∫∫ +=∆2

1

2

1

dP vds Th

Reemplazando en la primera ley de la termodinámica:

Ecc

22

1

2

1

wqz gg

2gv

dP vds T +=∆+∆++ ∫∫

Expresando la ecuación anterior para una unidad de masa que fluye:

Ecc

2

wqz gg

2gv

h +=∆+∆+∆

Este término tiene en cuenta el calor total añadido al fluido; tanto los efectos calóricos como los de fricción.

∫2

1

ds T

f

2

1

hqds T +=∫q: calor desde el entorno

calor generado dentro del fluido por fricción (F/m)

hf:

Donde:

Luego:

Reemplazando:

Ecc

22

1

f wqz gg

2gv

dP vhq +=∆+∆+++ ∫

3

Efcc

22

1

whz gg

2gvdP =+∆+∆+

ρ∫

Luego, tenemos:

Para fluidos incompresibles la ecuación queda:

sfcc

2

whz gg

2gvP =+∆+∆+

ρ∆

Cte≅ρ

Ecuación de BernoulliPara el caso especial que el fluido no intercambia trabajo con los alrededores y que las perdidas por fricción son pequeñas que pueden despreciar, el balance de energía se reduce a lo que se conoce como la ecuación de Bernoulli .

0z gg

2gvdP

cc

22

1

=∆+∆+ρ∫

Para fluidos incompresibles la ecuación queda:

0z gg

2gvP

cc

2

=∆+∆+ρ

∆

0z gg

2gvP

cc

2

=∆+∆+ρ

∆

2cc

222

1cc

211 z

gg

2gvP

z gg

2gvP ++

ρ=++

ρ

De la ecuación de Bernoulli:

2cc

222

1cc

211 z

gg

2gvP

z gg

2gvP ++

ρ=++

ρ

Cada termino de esta ecuación presentada de esta forma tiene unidades de:

⋅≡

kgmN

kgJ

Si a la ecuación la dividimos por g:

2cc

222

1cc

211 z

g1

gg2v

gP

z g1

gg2v

gP +

⋅⋅+

⋅ρ=+

⋅⋅+

⋅ρ

Entenderemos por Peso Especifico γγγγ a la cantidad dada por:

ρ⋅=γ g

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Luego, la ecuación de Bernoulli queda:

2cc

222

1cc

211 z

g1

gg2vP

z g1

gg2vP +

⋅⋅+

γ=+

⋅⋅+

γ

Y sin colocar el factor de conversión gc queda:

2

222

1

211 z

g2vP

z g2

vP +⋅

+γ

=+⋅

+γ

Donde las unidades de cada termino son:

[ ]mNmN

smkg

J

2

≡

⋅≡

⋅

Razón por la cual los términos de la ecuación de Bernoulli se conocen como alturas (también conocidas como cabezas o cargas), refiriéndose a una altura sobre el nivel de referencia.

velocidadde Altura=g2v

C

2

presion de Altura=P

ρ

Estática Altura=zgC

g

Varios problemas de flujo unidimensional de un líquido ideal pueden ser solucionados usando el teorema de Bernoulli y la ecuación de la continuidad. A continuación se entregan algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernoulli.

Tubo VenturiEste dispositivo en conjunto con un manómetro diferencial se utiliza para medir el flujo volumétrico (caudal) de una tubería. Este dispositivo coloca una obstrucción al paso del fluido que genera una caída de presión que es proporcional al caudal.

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Aplicando la ecuación de Bernoulli:

2

cc

2

221

cc

2

11 zg

g

g2

vPz

g

g

g2

vP ++=++ρρ

Ya que: 21 zz =

ρ21

c

2

1

2

2 PP

g2

vv −=−

Considerando la ecuación de continuidad:

1

221

A

Avv =

ρ21

c

2

1

22

2

PP

g2

A

A1v

−=

−

Reemplazando en la Ec. Bernoulli:

ρ)PP(g2

A

A1

1v 21c

2

1

2

2

−

−

=

Por otra parte:

Hg

gPP

c

21 ρ=−

Reemplazando en:

ρ)PP(g2

A

A1

1v 21c

2

1

2

2

−

−

=

gH2

A

A1

1v

2

1

2

2

−

=

Luego, el flujo volumétrico (Caudal) teórico es:

gH2

AA

1

AvAF

2

1

2

222

−

==

gH2

A

A1

ACQ

2

1

2

2

−

=

Ya que hay perdidas de energía entre las secciones A1 y A2 la ecuación anterior se expresa:

Donde C es conocida como Coeficiente de Descarga, y se determina experimentalmente.

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Tubo Pitot

Aplicando la ecuación de Bernoulli:

B

cc

2

BBA

cc

2

AA zg

g

g2

vPz

g

g

g2

vP ++=++ρρ

Ya que zA = zB, y en el punto B el fluido esta detenido vB = 0.

ρρB

c

2

AA P

g2

vP =+ )PP(g2

v ABc

A −=ρ

La presión estática en un flujo paralelo es la misma PA = PC.

)PP(g2

v CBc

A −=ρ

Como:

c

CBg

H g PP

ρ=−

H g 2vA =Luego:

Ya que ocurren perdidas de energía la ecuación se modifica:

H g 2Cv vA =

Donde CV es llamado Coeficiente de Velocidad, se debe deter-minar experimentalmente.

Flujo a través de un pequeño orificio .

Caso en que el nivel de líquido no cambia

Aplicando la ecuación de Bernoulli:

B

cc

2

BBA

cc

2

AA zg

g

g2

vPz

g

g

g2

vP ++=++ρρ

Ya que: 0zy Hz BA ==

0vA =

AATMOSFERICBA PPP ==

c

2

B

c g2

vH

g

g =

Reemplazando en la Ec. Bernoulli.

Luego:H g 2vB =

Este es el resultado teórico, ya que no considera las perdidas. Se conoce como el teorema de Torricelli.

Para considerar las perdidas de energía tomaremos el Coeficiente de Velocidad que se define como la razón entre la velocidad real y la velocidad teórica.

BTeórica

alReV v

vvv

C ==

H g 2CvCv VBV ==

La velocidad real es menor que la velocidad teórica, por lo que el Coeficiente de Velocidad es aproximadamente 0.95.

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Luego, el flujo volumétrico (caudal) que sale por el orificio:

H g 2CAvCAF VCBVC ⋅⋅=⋅⋅=

En el orificio se produce una contracción del área de flujo.

Se define el Coeficiente de Contracción como:

aA

AA

C C

Orificio

ContraidaC ==

El Coeficiente de Contracción tiene un valor aproximado de 0.65.

Por lo que el flujo volumétrico (caudal) que sale por un orificio de área a es:

2gHaCC2gHCaCF VCVC ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

Se acostumbra a combinar ambos coeficientes en lo que se conoce como Coeficiente de Descarga C, cuyo valor aproxi-mado para pequeños orificios es de 0.60.

VC CCC ⋅=

2gH aCF ⋅⋅=

Luego:

Tanto Cv como CC se deben determinar experimentalmente para saber su real valor.

Caso en que el nivel de líquido cambia

La velocidad de flujo teórica es:

H g 2v =

Asumiendo que una cantidad dF de líquido sale en un tiempo dt, bajando el nivel de líquido la cantidad –dH.

A-dHdt Hg2aCdF ⋅=⋅⋅⋅⋅=

2gH a C

dH Adt

−=

∫∫∫−=−=

2

1

2

1

2

1

H

H

H

H

t

tH

dH

2g a C

A

2gH a C

dH Adt

Reordenando la ecuación anterior:

Luego, el tiempo necesario para que el nivel de líquido descienda desde H1 a H2 es:

[ ]2112 HH2g a C

A 2tt −

⋅⋅=−

Donde A es el área del estanque.

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Problemas Resueltos en Clases

Problema Nº1. En el sifón de agua de la figura. en el que se desprecian las pérdidas, el diámetro es constante igual a 150 mm, H = 3 m y zA = 4.5 m. Presión atmosférica = 770 Torr.Calcular:

La velocidad en el desague.Presión absoluta en el punto más alto del sifón.

a)b)

Plano de referencia

ZA

H

Agua

Problema Nº2. Circula agua hacia arriba a través de un venturi vertical de 30 cm por 15 cm cuyo coeficiente es 0.98. La desviación del manómetro diferencial es 1.16 m de líquido de densidad relativa 1.25 como se muestra en la figura.

Determine el caudal en m3/s.

Problema Nº3. En un test de una bomba centrífuga, el manómetro de descarga marca 100 psi y el de succión 5 psi. Ambos manómetros miden al mismo nivel. El diámetro de la succión es de 3" y el de descarga de 2", ambas ubicadas al mismo nivel. Se está bombeando aceite de 0,85 de gravedad específica y un caudal de 100 GPM.¿Cuál es la potencia entregada por la bomba si se supone despreciable las pérdidas?

100 psi 5 psi

Bomba Centrifuga

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Problemas Propuestos

Problema Nº1. Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1800 It/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a 15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas tuberías.

Respuesta: 0.43 y 1.70 m/s.

Problema Nº2. Un orificio normal de 10cm de diámetro evacua agua bajo una altura de carga de 6 m. ¿Cuál es el caudal en m3/seg? (El coeficiente de descarga es 0.594)

Respuesta: 0.051.

Problema Nº3. Un depósito de 1.2 m de diámetro contiene aceite de 0,75 de densidad relativa. Cerca del fondo del depósito se instala un corto tubo de 7,5 cm de diámetro (C = 0,85). ¿Cuánto tiempo tardará en bajar el nivel del aceite de 1,8m a 1,2 m por encima del tubo?Respuesta: 33.3 seg.

Problema Nº4. La velocidad real en la sección contraída de un chorro de un líquido circulando por un orificio de 5 cm de diámetro es 8,4 m/seg bajo una carga de 4,5 m.

Si el desagüe medido es 0,0114 m3/seg, determinar los coeficientes de contracción y descarga.

a) ¿Cuál es el valor del coeficiente de velocidad?

b)

Respuesta: a) CV=0.895 y b) C=0.627, Cc=0.69

Problema Nº5 (4.3 McCabe6). a) Un estanque con agua tiene 30 pie de diámetro y con una profundidad de 25 pie. La salida está al fondo a través de una tubería de 4 pulgadas. Si esta tubería es cortada cerca del estanque, ¿cuál es la velocidad inicial del flujo de agua que sale del estanque? (ignore las perdidas de fricción en el pedaso de tubería) b) ¿cuanto tiempo le tomara al estanque vaciarse? c) Calcule la velocidad promedio de flujo y compárela con la velocidad de flujo inicial.

Dato: El área de sección del interior de la tubería es:

[ ]2pie 0884.0S =

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Problema Nº6. Agua a 60 °F es sifoneada de un gran tanque a través de una manguera de diámetro constante, como se muestra en la figura. Determine la altura H, sobre el agua, si la presión en el punto (2) es de 0.256 psia. El final del sifón esta 5 pie por debajo del fondo del tanque. La presión atmosférica es de 14.7 psia.

(1)

(2)

(3)

15 pie

5 pie

H

Agua