Control de una Extrusora de Plstico usando un control PI Difuso adaptado con el Error de

Prediccin del Modelo

Miguel Rodrguez(1) Jorge Perdomo Miguel Strefezza William Colmenares (1)Universidad Simn Bolvar. Departamento de Electrnica. Ncleo El Litoral

Universidad Simn Bolvar. Dpto. de Procesos y Sistemas. Apdo. 89000. Caracas 1081A, e-mail:mirodriguez@usb.ve e-mail: strefeza@usb.ve

RESUMEN

ResumenEn el presente trabajo se presenta una estrategia de control difuso que controle los set points de controladores PID que operan sobre una extrusora de plstico optimizando el desempeo de la mquina. Las funciones de pertenencia son modificadas a partir del error de prediccin obtenidas de la identificacin del modelo. Los resultados muestran que el controlador diseado es bastante til. Palabras clavePredictivo, Identificacin, Estimador, Error, Difuso, Mandani, Extrusora, MatLab, HP VEE, Optimizacin.

I. INTRODUCION

El objetivo del presente proyecto, es disear e implementar una estrategia de control difusa que controle las consignas (set points) de los controladores PID convencionales que operan sobre el perfil de temperatura de una mquina extrusora de plstico, permitiendo que estos controladores PID trabajen coordinadamente, optimizando el desempeo de la mquina.

Esta extrusora de plstico nos muestra un sistema MIMO, por lo tanto, para realizar este objetivo se procedi a colocar controles PI difusos controlados por el error y la variacin del error entre cada salida y entrada. Cada control PI difuso, a su vez, es optimizado en su salida a travs de un error de prediccin hallado del modelo de la planta, de esta manera se puede tener el sistema controlado por completo con controles puntuales entrada salida.

Se trabajo con controles PI difuso del tipo MANDANI [1], las funciones de pertenencias de salida de cada control PI difuso fue modificada a partir del valor del error de prediccin usando un modelo identificado.

Primero se describe la extrusora de plstico, su funcionamiento y como estn los controles PID clsicos conectado. Seguidamente se muestra como se implemento la identificacin del modelo. Con este modelo calcularemos el Estimador de estado, y usando ste se procede a encontrar las salidas futuras hasta el

horizonte de prediccin, para esto se mostraran las matrices de prediccin.

Se observa como se implement cada PI difuso entre cada salida y entrada. Como se implementa el control de las funciones de pertenencias de las salidas a travs del error futuro usando otra regla lingstica.

Por ltimo se muestra los resultados tericos simulados en MatLab y los resultados prctico sobre la extrusora.

II. EXTRUSORA DE PLSTICO

La extrusora es el componente principal de un

proceso de extrusin. La componen un motor, una caja de velocidades, un cilindro donde va alojado un tornillo en forma helicoidal; el cual empuja y comprime el volumen de polmero y finalmente una matriz en el extremo del sistema tubular el cual da la forma al polmero; sin embargo, un sistema de extrusin consiste de varios otros componentes trabajando en conjuncin entre ellos. Ver Figura 1.

La extrusora est constituida principalmente por un tornillo de Arqumedes que se ajusta con precisin dentro de la camisa cilndrica, apenas con el espacio suficiente para rotar. El polmero slido se alimenta en un extremo y en el otro sale el material sometido a extrusin ya perfilado. Dentro de la mquina el polmero se funde y homogeniza. La extrusora posee controles PID que controla cada resistencias de calentamiento durante el proceso de calentado del material.

III. MODELOS MATEMTICOS Un modelo matemtico de un sistema dinmico se

puede definir como un conjunto de ecuaciones que representa una aproximacin a la dinmica del sistema [2]. Dado que los sistemas se pueden representar de varios modos diferentes, un modelo matemtico no es nico para un sistema dado; su representacin depende de los objetivos y perspectivas individuales del diseador del sistema de control.

Figura 1 Caractersticas principales de una extrusora de tornillo sinfn simple

. Con el fin de disear controladores para un sistema

dinmico, es necesario tener un modelo, el cual sea una descripcin adecuada de la dinmica del sistema [3]. El proceso de construccin de modelos y estimacin de los parmetros desconocidos de la planta a partir de los datos experimentales es llamado identificacin de sistemas (ISIS) ver figura 2.

Figura 2 Esquema para la identificacin.

La identificacin de sistemas permite construir

modelos matemticos de sistemas dinmicos basados en datos experimentales; esto se realiza, esencialmente, ajustando los parmetros dentro de un modelo dado hasta que su salida coincida, tanto como sea posible, con la salida experimental.

Las tcnicas de identificacin [4] se aplican a modelos muy generales. Los modelos ms comunes son las descripciones en ecuaciones en diferencias lineales como ARX (AutoRegressive with eXogeneous input) y ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogeneous input) as como todos los tipos de modelos de espacio de estados lineales

Se procedi a encontrar las salidas del sistema controlado con los PID clsicos con respectos a perturbaciones a las entradas, se obtuvieron las grficas mostrada en las figuras 3 y 4.

Figura 3 Grficas del sistema con slo los PID clsicos salida 1 y 2 en funcin de la primera entrada.

Figura 4 Grficas del sistema con slo los PID clsicos salida 1 y 2 en funcin de la segunda entrada.

Se procedi a levantar el modelo de estos datos

para esto se utiliz la aplicacin de MatLab IDENT, y se obtuvo el siguiente sistema:

++++++++=8057.0422

7988.02.0620

3.14.05.210

492.005383.02.0

05299.0

22

22

sssss

sss

ssH (1)

con este modelo se proceder a encontrar las

matrices de prediccin del sistema.

IV. MATRICES DE PREDICCIN

Recordemos que cuando hablamos de control predictivo lo fundamental es determinar las predicciones en funcin del modelo del que disponemos. En esta seccin nos ocuparemos de la formulacin explicita de las predicciones para el caso en el que tengamos una representacin en Variables de Estado del sistema a controlar. Esto es:

,)0();()(

)()()1(

xoxkCxkYm

kBukAxkx

==

+=+ (2)

donde x es el vector de estado, u es el vector de control, y Ym es el vector salida. Supondremos que u es del tipo escaln y se mantiene igual durante el valor de horizonte de prediccin, el cual es el nmero de predicciones que deseo tener, por lo tanto tenemos lo siguiente:

[ ][ ][ ] )0()0()(

)0()0()3()0()0()2(

)0()0()1(

21

23

2

uBABBABAxANx

uBABBAxAxuBABxAx

BuAxx

NNN +++++=

+++=++=

+=

KM

(3)

donde N es el horizonte de prediccin. De (3)

podemos encontrar el vector de prediccin de los N estados. Y con estos Hallar las N salidas de prediccin.

)0()0(

)0()0(

)(

)3()2()1(

1

23

2

ABuAAxX

u

BA

BABBABAB

B

x

A

AAA

Nx

xxx

N

jjNN

+=

+++

+

=

= MMM

(4)

Donde AA es la matriz de prediccin para los

estados y AB la de los controles. Con estas se halla los valores de la salidas futuras de la siguiente manera.

=

=

C

CC

CC

XCCY

LMOMM

LL

00

0000

(5)

Donde la Matriz CC es la matriz C ampliada en el

nmero de predicciones. El problema para predecir las salidas es que hay que estimar los estados para esto disearemos un Observador de Estado.

V. OBSERVADOR DE ESTADO

Para desarrollar el observador de estado,

adoptemos la siguiente nomenclatura: (k+1|k) es el estimado de los estados en k+1 dado que conocemos la salida en k. (k|k) es entonces el estimado de los estados en k dado que se conoce la salida en k.

El observador, propuesto originalmente por Kalman [5], es el siguiente:

))1|()(()1|()|( += kkCkyKkkkk (6)

)()|()|1( kBukkAkk +=+ (7) combinando las dos ecuaciones anteriores se

obtiene:

)()()1|()()|1( kLykBukkLCAkk ++=+ (8)

Donde L =AK. Si los autovalores de A-LC estn en el circulo

unitario, el observador converge asintticamente al valor real del estado que queremos estimar, L se conoce como la matriz de ganancia de estimacin y siempre se trata de escoger para que sea pequea. Para calcular L se encontraron los autovalores de la matriz de estado A, y despus con la funcin de MatLab place se hallo el valor de L. Con estas matrices de prediccin podemos hallar el error del sistema para el Horizonte de Prediccin que deseamos. Este error estar representado por la siguiente ecuacin.

)X -(Setpoint CoaP = (9)

VI. DISEO DEL CONTROL DIFUSO

El procedimiento ms importante en el diseo de un control difuso es imponer un juego de reglas lingstica que pueda generar un buen resultado. En este caso, cuando el problema del sistema se hace MIMO el nmero de reglas se pueden hacer muy grandes. Por eso decidimos usar controles PI difuso MANDANI SISO, implementado por [1][6], en los cuales, es fcil implementar las reglas desde el conocimiento de experiencias con la seal de salida. Pero este proceso emula al modelo como si las salidas fuesen independiente de una sola entrada, sabemos por experiencias que cada salida depende de todas las entradas, pero depende ms de una sola, eso se puede observar en las grficas de identificacin del modelo de las figura 3 y 4. En el diagrama mostrado en la figura 5 se encuentra la implementacin de los controles PI difusos sobre sistema.

Las funciones de pertenencia para la entrada de la regla del error de prediccin consta de tres valores; P (pequeo), M (mediano) y G (grande). Y la salida consta de tres paso tambin P, M, G. Estas funciones de pertenencias se puede ver en la figura 6.

Para generar el control PI Difuso se generaron las reglas mostrado en la Tabla 1, estas dependen de error del sistema y de la variacin del error [7].

N Z PN Ng Np ZZ Np Z PpP Z Pp Pg

Error Error

Tabla 1 Reglas para el control PI difuso, la salida

es U Donde; N es negativo, P es positivo, Z es cero, Np

es Negativo pequeo, Ng es negativo grande, Pp es Positivo pequeo y Pg es Positivo grande. Las funciones de pertenencias se pueden ver en la figura 7. Observe que las funciones de pertenencias para la salida del Control dependen del valor de las reglas del error de prediccin CoaP. Por lo tanto, las funciones de pertenencias se van haciendo grande mientras el error de prediccin es grande, de esta manera el control puede realizar controles rpidos, cuando el error de prediccin es pequeo las funciones de pertenencias a la salida se hacen angostas y los controles son pequeos.

VII. RESULTADOS

Se implementaron los controles slo para dos resistencias en la extrusora, pero se puede extender a todas las resistencias fcilmente, se implementaron las simulaciones en MatLab obteniendo buenos resultados, pero hay que revisar como funciona en el sistema debido a las no-linealidades, en las grficas de la figura 8 se pueden observar los resultados de la simulacin.

P IDP IDP IDPIDPIDPID

T erm opares

P Ifuzzy

P Ifuzzy

P Ifuzzy

P Ifu zzy

P Ifu zzy

P Ifuzzy

SP 1 SP 1 SP 1 SP 1 S P1 S P1P red iccinR egla Fuzzy

PIDP IDP IDPIDPIDPID

T erm opares

P Ifuzzy

P Ifuzzy

P Ifuzzy

P Ifu zzy

P Ifu zzy

P Ifuzzy

SP 1 SP 1 SP 1 SP 1 S P1 S P1

PIDP IDP IDPIDPIDPID

T erm opares

P Ifuzzy

P Ifuzzy

P Ifuzzy

P Ifu zzy

P Ifu zzy

P Ifuzzy

SP 1 SP 1 SP 1 SP 1 S P1 S P1P red iccinR egla Fuzzy

Figura 5 Implementacin del control difuso en la extrusora.

0.50.1250 0.75

0.50 1-0.1 0.1

Funcin de pertenencia para la entrada

Funcin de pertenencia para la salida

P M G

P M G

Figura 6 Funciones de pertenencia para las reglas

del error de prediccin.

Figura 7 Funciones de pertenencia para las reglas

del PI Difuso MANDANI.

Figura 8 Grficas del sistema simulado en MatLab.

Despus se implement el control en HP VEE

(Hewllet Packard Visual Engineering Environment) y se observaron las respuestas del sistema. El control es ms lento, pero lo ms importante es que la variacin de temperatura en el proceso no cambia por ms de un grado centgrado, lo que provee una buena calidad en el producto final. En la figura 9 podemos observar los resultados del control de la planta desde el panel de HP VEE, los cuales fueron importados a MatLab para otros anlisis. Ver figura 10.

Se puede decir que este control posee lo mejor de las dos teoras, la teora de controles difusos y la teora de control predictivo. Usa matrices de Prediccin, pero no se debe usar un mtodo para

optimizar el control debido a las variaciones del modelo, los PI difusos se encarga de eso, haciendo el control ms rpido que cualquier control predictivo. Problema que posee esto es que no se pueden controlar las restricciones del sistema, tan bien, como con un control predictivo robusto.

Por otro lado, usa controles difusos SISO sobre un sistema MIMO, esto minimizas las generaciones de reglas, debido a que mientras ms aumente el sistema ms difcil es implementar las reglas. Pero las salidas de estos controles depende del error de prediccin y esto hace que dependan de las entradas del sistema. Realizando una especie de control dependiente de todas las entradas.

Figura 9 Panel frontal del control de la extrusora con un PI difusos adaptados con el error de prediccin del

modelo.

Figura 10 Grficas del sistema controlado con los PI difusos con la salidas adaptadas con el error de prediccin

VIII. BIBLIOGRAFA

[1]. Mamdani E.H., Applications of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant. Proc. IEE121, 1994 pp. 1585-1588.

[2]. Ljung, L. System Identification:Theory for the User. Prentice Hall, Information and System Science Series, 2nd edition, 1999.

[3]. Astrom, K. J., Wittenmark, B. Adaptive Control. Addison-Wesley, 2nd edition, 1994.

[4]. Camacho E.F. and Bordons C. Model predictive control in the process industry. Advances in Industrial Control. Springer, Berlin, 1995.

[5]. Kalman R.E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Journal of Basic Engineering (Tran, ASME, serie D) , 1960, pp. 34-35.

[6]. Mamdani E.H. Advances in the linguistic synthesys of fuzzy controllers. Internacional Journal Man-Machine Stud, 1976, pp. 669-678.

[7]. Sugeno, M. An Introductory Survey of Fuzzy Control. Information Sciences 36, 1985, pp. 59-83.

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1: IV Congreso de Automatizacin y Control Mrida, 12-14 noviembre 2003