7/26/2019 Calcular la longitud de arco+problemAS

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1. Calcular la longitud de arco de la parbola defnida por y= 4x , desde

x=0, hasta x=1.Solucin:Pasareos de !ariable "x# a !ariable "y#

y= 4x y2=(4x )

2

y2=4xx=

y2

4dx=

2ydy

4 dx=

y

2dy

dxdy

=y2

( dxdy

)2

=y2

4

Si :x=0y=4 (0) =0

Si :x= 1 y = 4 (1) = $

Entonces :L= 0

2

1+y

2

4 dy

0

2

4+y2

4 dy =0

2

4+y2

2 dy=

1

20

2

4+y2

dy

4+y2

y+1

2 y4+y

2+1

2(4) ln||

1

220

L=

4+y2

y+1

4y 4+y

2+l n||

20

L=

%sareos la &orula respecto al e'e (

) = c

d

1+(dx

dy)2

dy

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L=

1

4(2)4+4 *

4+42+

l n||1

4(0)4+0

2 +

4+02

0+l n||

L=1

2 8 *ln |2+8| +0+ln |2| =222 + ln|2+22| +

ln$= 2 *ln$-1* 2 -+ln$

L= 2 * ln$*ln1* 2 -+ln$=2 +ln(1+ 2 ))

u

$. allar la longitud del arco de la cur!a defnida por y2=4xx2 ,

coprendido entre los dos puntos de en /u corta al e'e .

Solucin :y2=4xx2 y

2=[x24x ] y 2=[ (x2 )24]

(y0)2 * (x2)2=4Circunferencia Centro en $, 0- y radio r=$

) = 0

4

1+(

2

x )

2

4xx2 dx= 0

4

4xx

2

+4

4x+x

2

4xx2 dx 0

4

4

4xx2 dx

20

4

1

[ (x2 )2

4 ] )= $

0

4

1

4(x2)2 dx =

4

0|x2=2 sen| /2

/2 dx=2cosdL=4

/2

/2cosd

44 sen2

= 2

/

2

/2cosd

2

1sen

2

) = $ /2

/ 2cosd

cos = $ /2

/2

d = $ |/2/2 = $

2+

2=2

u

3. allar la longitud de arco de la cur!a y=lnx desde x= 3 hasta x=

8

y2=4xx2

$ydy= 2+$x-dx

dy

dx =2 (2x )

2y =

(2x)

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Solucin:

Pasaos al e'e ( si y=lnx ey

=x

dy

dx=

1

x x=

dx

dy x

2=(dx

dy)2

e2y=(

dx

dy)2

ln8ln3

|y = lnx|83

L=ln3

ln8

1+e2y

dy

l n8ln3|1+e

2y=t2|32

2e2ydy=2tdte2y dy=tdtdy=

tdt

(t21)

e2y= t

21

L=ln3

ln8

1+e2y

dy= 2

3

t2

tdt

(t21) =2

3

t2

dt

(t21) =

1+ 1

t21

()dt=2

3

dt+2

3

dt

t21

2

3

L= t|3

2 *1

2ln

|

t1t+1

||

3

2 = 3+$*

ln1

2ln

1

3

1

24 = 1*ln

1

2

1

3

= 1*ln

3

2 -u