Calcular la longitud de arco+problemAS

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  • 7/26/2019 Calcular la longitud de arco+problemAS

    1/3

    1. Calcular la longitud de arco de la parbola defnida por y= 4x , desde

    x=0, hasta x=1.Solucin:Pasareos de !ariable "x# a !ariable "y#

    y= 4x y2=(4x )

    2

    y2=4xx=

    y2

    4dx=

    2ydy

    4 dx=

    y

    2dy

    dxdy

    =y2

    ( dxdy

    )2

    =y2

    4

    Si :x=0y=4 (0) =0

    Si :x= 1 y = 4 (1) = $

    Entonces :L= 0

    2

    1+y

    2

    4 dy

    0

    2

    4+y2

    4 dy =0

    2

    4+y2

    2 dy=

    1

    20

    2

    4+y2

    dy

    4+y2

    y+1

    2 y4+y

    2+1

    2(4) ln||

    1

    220

    L=

    4+y2

    y+1

    4y 4+y

    2+l n||

    20

    L=

    %sareos la &orula respecto al e'e (

    ) = c

    d

    1+(dx

    dy)2

    dy

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    L=

    1

    4(2)4+4 *

    4+42+

    l n||1

    4(0)4+0

    2 +

    4+02

    0+l n||

    L=1

    2 8 *ln |2+8| +0+ln |2| =222 + ln|2+22| +

    ln$= 2 *ln$-1* 2 -+ln$

    L= 2 * ln$*ln1* 2 -+ln$=2 +ln(1+ 2 ))

    u

    $. allar la longitud del arco de la cur!a defnida por y2=4xx2 ,

    coprendido entre los dos puntos de en /u corta al e'e .

    Solucin :y2=4xx2 y

    2=[x24x ] y 2=[ (x2 )24]

    (y0)2 * (x2)2=4Circunferencia Centro en $, 0- y radio r=$

    ) = 0

    4

    1+(

    2

    x )

    2

    4xx2 dx= 0

    4

    4xx

    2

    +4

    4x+x

    2

    4xx2 dx 0

    4

    4

    4xx2 dx

    20

    4

    1

    [ (x2 )2

    4 ] )= $

    0

    4

    1

    4(x2)2 dx =

    4

    0|x2=2 sen| /2

    /2 dx=2cosdL=4

    /2

    /2cosd

    44 sen2

    = 2

    /

    2

    /2cosd

    2

    1sen

    2

    ) = $ /2

    / 2cosd

    cos = $ /2

    /2

    d = $ |/2/2 = $

    2+

    2=2

    u

    3. allar la longitud de arco de la cur!a y=lnx desde x= 3 hasta x=

    8

    y2=4xx2

    $ydy= 2+$x-dx

    dy

    dx =2 (2x )

    2y =

    (2x)

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    Solucin:

    Pasaos al e'e ( si y=lnx ey

    =x

    dy

    dx=

    1

    x x=

    dx

    dy x

    2=(dx

    dy)2

    e2y=(

    dx

    dy)2

    ln8ln3

    |y = lnx|83

    L=ln3

    ln8

    1+e2y

    dy

    l n8ln3|1+e

    2y=t2|32

    2e2ydy=2tdte2y dy=tdtdy=

    tdt

    (t21)

    e2y= t

    21

    L=ln3

    ln8

    1+e2y

    dy= 2

    3

    t2

    tdt

    (t21) =2

    3

    t2

    dt

    (t21) =

    1+ 1

    t21

    ()dt=2

    3

    dt+2

    3

    dt

    t21

    2

    3

    L= t|3

    2 *1

    2ln

    |

    t1t+1

    ||

    3

    2 = 3+$*

    ln1

    2ln

    1

    3

    1

    24 = 1*ln

    1

    2

    1

    3

    = 1*ln

    3

    2 -u