3.4 Cálculo de centroide

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en

el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras

de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos

equivalentes.

Así mismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-

dimensional. Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del

objeto geométrico. Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular,

sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el

centroide también se denomina como centro geométrico. (Ejemplo figura 3.4.1)

Centroide (ejemplo) Figura 3.4.1

El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el

centroide de un objeto convexo yace dentro del objeto, mientras que un objeto no

convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.

Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura

particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición

geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el

método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o

una figura.

Ejemplo 1

Se va a encontrar el centroide que tiene la ecuación completa de la circunferencia

la cual es x2+ y2=r2.

Solo interesa la porción que está sombreada

x2+ y2=r2

Y=

12∫a

b

f (x2)dx

∫a

b

f (x)dx

La parte sombreada de color verde no es más que el área de la parte sombreada

del círculo, esta integral no necesita ser resuelta por que se sabe a qué es igual.

La integral que esta sombreada de color amarillo, sale del área de la

circunferencia dividida entre dos es decir:

π r2/2

Ahora solo falta la integral que esta sombreada de color amarillo, la cual es la

siguiente:

12∫a

b

f (x2)dx

Y

Solo se sustituyen las variables que hay en la formula por los datos que se tienen

en el diagrama. La b se sustituye por –r y la a por r que son los datos que hay en

el diagrama de los extremos del semicírculo sombreado.

12∫−r

r

f (x2)dx

Falta una función más y esta se saca de la función que tenemos en el diagrama de

la circunferencia la cual es:

x2+ y2=r2

Posteriormente hay que despejar la Y la cual se representará de la siguiente

manera.

y2=r 2−x2

Si se quiere ver cuál es la función se tiene que dejar la Y sin ninguna potencia y

esto quedaría así:

Y=√r 2−x2

Cuando se obtiene la raíz se toman valores positivos o negativos pero los que se

tomarán serán los positivos ya que nos interesa la parte superior de la

circunferencia porque se está hablando de una placa semicircular, dicho esto se

tiene la siguiente función:

12∫−r

r

(√r2−x2)2dx

Se cancela la raíz ya que si esta elevado es su reciproco y solo quedara la misma

ecuación:

12∫−r

r

r2−x2dx

Ahora al resolver la ecuación se tiene una constante la cual es r2 y también se

tiene una variable y es −x2 entonces para las integrales la formula dice que para

las constantes pasa igual y solo se le agrega la X y para las variables se utiliza la

formula vn= vn+1

n+1 , y la integral resuelta quedara de esta manera:

12 (r2 x− x

3

3 )| r−r

r2: Esta r es la constante a la cual solo se le agrego la variable X

x3

3 = y la x es la variable pero esta estaba al cuadrado entonces al exponente se le

suma 1 y se divide entre el mismo, queda de la manera indicada.

Se resuelve la multiplicación que se indica en el resultado de la integral:

12 (r2 x− x

3

3 )∫−r

r

¿ 12 (r3− r

3

3 )=12 (−r3+ r33 )La r2 se multiplica por la r positiva que se encuentra en los límites de la integral y

da como resultado r3 ya que los exponentes se suman.

La fracción −x3

3 se multiplica por la r positiva y da como resultado −r

3

3, pasa

exactamente igual que la multiplicación anterior.

En el segundo resultado se hizo la multiplicación pero con la r negativa y lo único

que cambia son los signos.

Se tienen estos resultados 12 (r3− r

3

3 )=12 (−r3+ r33 ) lo cual la r que está

dividiendo equivale a tener 13 y la r3 un entero el cual tiene

33, entonces se hace

lo siguiente:

Se resuelven la resta y suma de fracciones y los resultados son los siguientes:

(r3−r 33 )=33−13=23r3

(−r 3+ r33 )=−33

+ 13=−23r3

Ahora solo queda multiplicar estos resultados por 12 que es la constante que se

tiene al principio y se hace de esta manera:

12 ( 23 r3)−12 (−23 r3)=13 r3+ 13 r 3=23 r3

Los números 2 que están de color verde se cancelan ya que se hace una división

y solo queda 13r3 , se hace la multiplicación de signos y al final los resultados

se suman y queda como resultado final 23r3.

Ahora sustituimos este resultado en la coordenada Y:

En la multiplicación los exponentes se suman, en la división se

restan y en las sumas y restas quedan igual.

Y=

23r3

π r2

2

Para resolver esta división de fracciones se hará por extremos por extremos y

medios por medios para que quede una fracción más sencilla, esta forma es

conocida “regla de herradura”

El resultado queda de la siguiente manera:

Y= 4 r3

3 π r2

Se hace la división y se restan exponentes 3-2= 1 lo cual equivale a poner r, el

resultado es:

Y= 4 r3 π

Y este resultado será el punto en Y.

Para el punto en la coordenada X el resultado será 0 ya que el centro de la

circunferencia está en el origen.

Ejemplo 2

Encontrar el centroide de Y=√x con el eje X y en este intervalo X∈[1; 4].

Para esto necesitamos encontrar la coordenada en X y en Y.

La coordenada en X está dada por esta fórmula:

X=∫a

b

x f ( x)dx

∫a

b

f (x )dx

Se necesita encontrar la integral de cada de las formulas la de color amarillo es

para el eje X y la de color verde es para el eje Y.

Se empieza a integrar sustituyendo los datos que da el problema en las integrales,

por el momento se empezara por la que esta como numerador que es la de color

amarillo.

∫a

b

x f ( x)dx=¿¿

¿∫1

4

√ xdx=¿¿

¿∫1

4

x12dx=¿¿

¿x32

32

=¿

¿2x32

3 ∫1

4

Lo que se hace en la integración es pasar la raíz a exponencial lo cual quedaría x12

, después de hacer eso se aplica la formula vn= vn+1

n+1 donde a la variable se le

suma uno y se divide entre la suma, luego se hace la división de fracciones por la

ley del sándwich, la cual es medios con medios y extremos con extremos y el

resultado es 2x32

3 ∫1

4

donde se evalúa de 1 hasta 4.

Dando el resultado se sustituye los puntos inferior y superior, quedando de esta

manera:

23

(4 )32−23

(1 )

Uno elevado a la 32 no se hace porque dará como resultado 0.

Ahora se hace la multiplicación de la fracción anterior:

23

(2 2 )32−23=23

(8−1 )=23

(7 )=143

El 4 se factoriza y por eso se pone 2 2 por al hacerlo da como resultado 4, entonces

el 2 que tiene como exponente el 2 y el 2 que tiene como denominador lo que está

entre paréntesis se cancelan y solo queda (2 ) 3 , al elevarlo al cubo da como

resultado 8 que es por el cual se multiplica, pero como se le resta el 1, que sale de

23 , queda 7.

Ahora se hace para el eje Y pero con otra formula la cual es:

∫1

4

x √x dx=¿

∫1

4

( x ) ( x )12 dx=¿¿

¿∫1

4

x32dx=2

5x52

¿ 25x52|41

Se resuelve la integral pasando la raíz a exponente la cual queda ( x )12 , esta se

multiplica por la X que tiene antes de ella, entonces queda x32 ya que los

exponentes se suman.

Para la resolución de esta integral solo se utiliza la formula ya mencionada

anteriormente, lo cual indica que solo se suma 1 y se divide entre la suma pues

queda 25x52 , se aplica la ley del sándwich como se hizo en el ejercicio anterior.

Posteriormente se sustituyen los intervalos dados en el problema y esto queda de

esta manera:

25

(4 )52−1=¿

¿ 25

(2 2 )52−1=¿

¿ 625

Aquí se hace lo mismo que en el ejercicio anterior los números que están

sombreados se cancelan y solo queda (2)5 se hace la elevación y da como

resultado 625

.

Para encontrar la coordenada en X lo que se hace es dividir los resultados, queda

así:

625143

La división se hace con la regla de la herradura y el resultado es:

625143

=18670

En este resultado se ubica la coordenada en el eje X del centroide.

Ahora se va a encontrar la coordenada en el eje Y pero con la siguiente formula:

12∫1

4

(√x )2dx

Para resolverla se hace el siguiente procedimiento:

12∫1

4

(√x )2dx=∫1

412xdx=1

2[ x

2

2]∫1

4

=12 ( 162 −1

2 )=12 ( 152 )=154

Esto se resuelve utilizando la misma fórmula ya mencionada y solo se va

multiplicando por la constante que esta antes de la integral.

Posteriormente para encontrar la coordenada Y se hace la siguiente división:

154143

Se resuelve con la regla de la herradura

154143

=4556

En este resultado se ubica la coordenada en el eje Y del centroide

Los puntos de las coordenadas son los siguientes:

18670

Eje X

4556

Eje Y

Para poner en práctica lo aprendido con los siguientes problemas que se te

presentan. Si se tiene duda se puede pedir ayuda a alguien o volver a leer para

que se tenga una mejor comprensión del tema.

1.- ¿Explica con tus propias palabras que es un centroide?

R=____________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

___

2.- ¿Cómo se le denomina al centroide?

R=_______________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.- ¿Cuáles son los métodos disponibles para encontrar el centroide?

R=_______________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4.- ¿A qué se refiere un centroide cuando se establece físicamente?

R=_______________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Para poner en práctica lo aprendido se tiene el siguiente ejercicio:

Encontrar el centroide usando el siguiente problema:

y=√x x ϵ [1 ;4 ]

X=

∫a

b

x+dx

∫a

a

f (x )dx

Ejercicio 2

Resolver con base a las formulas dadas para encontrar las coordenadas del

centroide. x= 1A∫a

b

xf (x )dx

Y y= 1A∫a

b12f (x )2dx

(0,2)

(−32 ,0) ( 32 ,0) X