Resumen

En este artculo se elabora una expresin para calcular el n-mero CT de un material a partir de sus propiedades fsico-qu-micas. Se obtiene aadiendo una correccin emprica a la ex-presin terica propuesta por Martnez y cols. (2002). La ex-presin propuesta calcula los nmeros CT en un amplio inter-valo de valores con desviaciones cuadrticas medias inferioresal 5% respecto de sus valores medidos. La expresin contienedos parmetros libres dependientes de la calidad espectral delhaz. Para medirlos es necesario emplear al menos dos sustan-cias de referencia o calibradores, de composicin qumica ydensidad conocidas. Empleando esta expresin se calculan cur-vas DER (densidad electrnica relativa) para planificacin enradioterapia y se analiza el efecto que el valor de los parme-tros empleados tiene en el clculo de la densidad electrnicamediante dichas curvas.

Palabras clave: densidad electrnica, unidades Hounsfield, planifi-cacin de tratamientos de radioterapia, calibracin estequiomtrica

Abstract

An expression to calculate the CT number of any materialfrom its physical and chemical properties is obtained. This isdone by adding an empirical correction to the theoretical ex-pression obtained by Martnez et al (2002). The expression cal-culates CT numbers in a large interval with mean square diffe-rences less than 5% compared to their measured values. Theformula incorporates two free parameters depending on thespectral properties of the beam employed. At least two referen-ce substances of known chemical composition and densitymust be employed for the measurement of these parameters.RED curves for use in radiotherapy are calculated with the newexpression and the effect of the parameters employed on thevalues of the electron density deduced from the curves isanalysed.

Key words: electron density, Hounsfield units, radiotherapy treat-ment planning, stoichiometric calibration.

ARTCULO CIENTFICO Revista de Fsica Mdica 2005; 6(3): 236-241

Clculo del nmero CT de un material a partir de su densidady composicin qumica. Aplicacin en radioterapia

L. C. Martnez, C. Rodrguez, B. Andrade, R. Gilarranz, M. J. ManzanasServicio de Radiofsica y Proteccin Radiolgica, Hospital Universitario 12 de Octubre. Madrid

Calculation of the CT number of a material from its density and chemical composition.Application in radiotherapy

Introduccin

La obtencin de una expresin analtica para el clculodel nmero CT de cualquier material en funcin de suspropiedades fsico-qumicas es un problema estudiadopor numerosos autores1-5. Una expresin de este tipopuede ser ms o menos compleja y emplear un mayor omenor nmero de parmetros segn el planteamiento de

partida realizado. Estos parmetros sern caractersticosde cada haz, al ser dependientes de su calidad espectral.Sus valores pueden obtenerse a partir de la medida de losnmeros CT de unos cuantos materiales de referencia decomposicin qumica y densidad conocidas, necesitndo-se al menos tantos materiales como parmetros libresexistan.

La resolucin de este problema encuentra aplicacininmediata en el campo de la radioterapia2,3,5. A partir delas composiciones qumicas y densidades de los tejidosdel cuerpo tabuladas6,7 y mediante una expresin analti-ca para calcular el nmero CT en funcin de estas pro-piedades, es posible obtener la curva de calibracin DER(Densidad Electrnica Relativa) que relaciona los nme-ros CT de los tejidos del cuerpo con las densidades elec-trnicas correspondientes (calibracin estequiomtrica),

Correspondencia: L. C. Martnez.Servicio de Radiofsica y Proteccin Radiolgica.Hospital Universitario 12 de OctubreAvenida de Crdoba s/n, 28041 Madride-mail: lmartinezg.hdoc@salud.madrid.org Fecha de recepcin: 24-2-2005Fecha de aceptacin: 9-6-2005

necesarias para el clculo de la dosis en los planificado-res actuales.

Aunque el objetivo ltimo sea obtener una curva decalibracin DER, para la obtencin de los parmetrosque aparezcan en la expresin del nmero CT no deberaser necesario elegir materiales de referencia similares atejidos ni con ninguna caracterstica especial. Este plan-teamiento es el que siguen Martnez y cols.5. Estos auto-res, partiendo de una parametrizacin del coeficiente deatenuacin relativo basada en el anlisis de sus valorestabulados8, deducen una expresin para el nmero CT enque, adems de las propiedades fsico-qumicas del ma-terial, aparece un solo parmetro dependiente de la cali-dad del haz, llamado . Adems, establecen una relacinentre y la energa efectiva, pudindose interpretar am-bos parmetros como equivalentes (la energa efectiva esaqulla para la cual los coeficientes de atenuacin de losdistintos materiales y los nmeros CT proporcionadospor el escner CT mantienen una relacin lineal9). Tam-bin estudian la dependencia de con el material de re-ferencia empleado para medirlo (calibrador) y concluyenque, en primera aproximacin, esta dependencia es des-preciable.

En este trabajo se analiza detenidamente la pequeadependencia del valor de con la eleccin del materialcalibrador, no considerada por Martnez y cols.5, y se de-duce una nueva expresin para el nmero CT en que apa-recen dos parmetros exclusivamente dependientes de lacalidad espectral y no de los materiales calibradores.Adems, esta expresin se aplica a la obtencin de cur-vas DER y se analizan sus consecuencias.

Objetivos

1. Deducir una expresin para calcular el nmero CTde un material en funcin de sus propiedades fsico-qu-micas y que contenga un mnimo nmero de parmetrosexclusivamente dependientes de la calidad del haz.

2. Contrastar experimentalmente la expresin anterior.3. Estudiar las consecuencias que se derivan en la ob-

tencin de las curvas DER para uso en radioterapia.

Mtodo

Consideremos un material cualquiera y sean Z su n-mero atmico efectivo relativo al del agua, su densidadelectrnica relativa a la del agua y H su nmero CT. Deacuerdo a Martnez y cols.5:

[1]

en donde es un parmetro directamente relacionadocon la energa efectiva mediante la expresin:

[2]

La densidad electrnica y el nmero atmico efectivose pueden calcular a partir de la composicin qumica y ladensidad msica del material, mediante las expresiones:

[3]

[4]

donde m es la densidad msica de la sustancia, Ni el n-mero de tomos de la especie i que componen la sustan-cia y Zi y Ai los nmeros atmico y msico de dichostomos. NA es el nmero de Avogadro.

Si no fuera independiente del material calibrador de-pendera de alguna de sus propiedades fsico-qumicas,esto es, de la densidad electrnica y del nmero atmicoefectivo. Podemos suponer razonablemente que la depen-dencia en ambas variables se pueda resumir en una nicadependencia con el nmero CT. Debido a que esta de-pendencia no puede ser demasiado grande, asumamosque se pueda expresar de la forma ms simple posible,esto es, mediante una relacin lineal del tipo:

[5]

Una relacin de este tipo debe tener, necesariamente,un intervalo restringido de variacin, puesto que, entreotras cosas, el parmetro est acotado entre 0 y 1. Su-pongamos, sin embargo, que la aproximacin empleadaes suficientemente buena para dar cuenta de la posiblevariacin de entre H=200 y H=1300, regin que resul-ta de particular inters al ser la correspondiente a los dis-tintios tipos de hueso existentes. Introduciendo esta ex-presin en [1] y despejando H se obtiene:

[6]

Esta expresin es la buscada. Contiene dos parme-tros exclusivamente dependientes de la calidad espectralpuesto que la dependencia de con el material calibra-dor se separa en dos componentes, 0 y . La expresinpropuesta por Martnez y cols. para H se puede conside-rar una aproximacin de la expresin [6] en la que =0y 0 (para un material cualquiera de referencia).

La expresin [5] se puede contrastar experimental-mente midiendo el parmetro para distintas sustanciasy estudiando su variacin con H. Para comprobar laexactitud de la expresin [6] se puede estudiar la diferen-

Clculo del nmero CT de un material a partir de su densidad y composicin qumica. Aplicacin en radioterapia 237

cia entre los valores calculados de H mediante esta ex-presin y los medidos experimentalmente.

La expresin [6] puede emplearse para obtener curvasDER a partir de las composiciones qumicas y densida-des de los tejidos del cuerpo6,7. Estas curvas pueden sercomparadas con las obtenidas para el caso =0 y 0(para un material cualquiera de referencia).

Materiales

Para las medidas se han empleado dos maniques, unocomercializado por la firma RMI y otro similar diseadoy fabricado por los autores.

El comercializado por la firma RMI es un maniqu ci-lndrico de 32 cm de dimetro (estndar de cuerpo) quedispone de un alojamiento central tronco-cnico, de unos3,5 cm de dimetro en su parte central, para introducirmuestras de materiales sustitutos de tejidos o para eva-luacin de calidad de imagen. En este caso se ha emplea-do SB3 (sustituto estndar de hueso). La composicinqumica y densidad electrnica de dicho material se des-cribe en10 y se detalla en la Tabla 1.

El maniqu fabricado es un cilindro de PMMA de 32cm de dimetro (estndar de cuerpo) y 4 cm de espesorcon un alojamiento central cilndrico de 3,2 cm de di-metro para introducir muestras de distintos materiales.Se han empleado los descritos en la Tabla 1 (excepto elSB3). Todos ellos pueden conseguirse fcilmente a bajoprecio. Se presentan en forma de polvo, de manera quese pueden preparar muestras de las sustancias introdu-ciendo el polvo dentro de recipientes cilndricos de 3,2cm dimetro y 5 cm de altura que pueden ser insertadosen el alojamiento central del maniqu. Una vez prepara-das, las muestras quedan hermticamente cerradas.

La composicin qumica detallada es proporcionadapor el fabricante (productos qumicos COFARES) en lasespecificaciones del producto, que incluye una lista delas impurezas contenidas y su abundancia en partes pormilln. Todas las impurezas presentes se encuentran li-mitadas a valores inferiores a los lmites marcados por lafarmacopea espaola, de forma que la pureza de las sus-tancias se encuentra garantizada.

Las densidades msicas de todos los materiales (salvoel SB3) se han determinado experimentalmente por co-ciente de la masa y el volumen de las muestras. Para lamedida de la masa se ha empleado una balanza de preci-sin. La determinacin del volumen se ha realizado a par-

tir de las dimensiones interiores de los recipientes ciln-dricos que alojan las muestras, medidas con un calibre.

Las medidas se realizan en un escner CT PickerPQ2000S empleado de forma rutinaria para planifica-cin en radioterapia, por lo que se encuentra sometido aun programa de control de calidad que cubre todos losaspectos relevantes en este caso. Diariamente se realizanlas comprobaciones y calibraciones recomendadas por elfabricante. Para la realizacin de las medidas se ha em-pleado el mismo protocolo para los dos maniques, unprotocolo estndar de pelvis para adultos, con todos loskilovoltajes disponibles.

Resultados

Los valores del nmero atmico efectivo relativo y ladensidad electrnica relativa de todos los materiales em-pleados, calculados con las expresiones [3] y [4] a partirde la densidad msica y composicin qumica, se refle-jan en la Tabla 1, junto con las incertidumbres estimadas.

La incertidumbre en la determinacin de la densidadelectrnica de todos los materiales, excepto el SB3, sedebe fundamentalmente a la imprecisin en la determi-nacin del volumen de las muestras. Para el SB3 se haestimado a partir de los distintos valores de densidadmsica recogidos en la literatura. Para el nmero at-mico efectivo se ha considerado una incertidumbredespreciable.

Los resultados para el nmero CT medido de los dis-tintos materiales se resumen en la Tabla 2.

Variacin de con H

Los valores de calculados con la expresin [1] sonlos de la Tabla 3. En la Fig. 1 se representan grfica-mente en funcin de H para dos de las tensiones emple-adas, la mnima y la mxima. Los valores de 0 y seobtienen ajustando estos datos a la expresin [5]. Losresultados se expresan en la Tabla 4 y se representangrficamente en funcin del kilovoltaje en la Fig. 2 y laFig. 3.

Las diferencias entre el valor del nmero CT calculadoa partir de la expresin [1] empleando los parmetros 0y encontrados y el valor medido se reflejan en la TablaV. La mxima diferencia es del 11%, para el fosfato cl-cico, siendo bastante inferiores para el resto. La diferen-cia cuadrtica media es del 4,5%.

238 L.C. Martnez, et al.

Tabla 1. Materiales empleados. Las cantidades entre parntesis indican la incertidumbre con k=2

Fosfato clcico Azufre Carbonato clcico Sal comn SB3

Frmula CaHPO42H2O S CaCO3 NaCl H62C625N20O751Ca541ClZ 1,89 2,14 2,06 2,04 1,82

0,89 0,78 1,20 1,20 1,71(3,8%) (3,8%) (3,8%) (3,8%) (1%)

En comparacin, cuando se emplea la expresin simpli-ficada con 0=0,955 (promedio para todas las sustanciasmedidas) y =0, se obtienen diferencias mximas entre losvalores del nmero CT calculados y los medidos de hastaun 40%, siendo la diferencia cuadrtica media del 24%.

Modificacin de la curva DER

En la Fig. 4 se pueden apreciar dos curvas de calibra-cin DER para el protocolo de pelvis para adultos (130kV) del escner CT empleado en las medidas (PickerPQ2000S). Los tejidos elegidos para definir las curvas,junto con sus nmeros atmicos efectivos y densidades

Clculo del nmero CT de un material a partir de su densidad y composicin qumica. Aplicacin en radioterapia 239

Tabla 2. Nmeros CT medidos para los distintos materiales y dis-tintas tensiones

Kilovoltaje Fosfato Azufre Carbonato Sal SB3clcico clcico comn

100 381 411 812 777 1149110 332 345 741 707 1091120 294 292 685 653 1047130 257 244 630 600 1001140 227 203 585 556 963

Tabla 3. Valores del parmetro calculado con la expresin [1]. Losvalores de la ltima fila son las incertidumbres con k=2 para todala columna

Kilovoltaje Fosfato Azufre Carbonato Sal SB3clcico clcico comn

100 0,918 0,924 0,944 0,946 0,956110 0,926 0,932 0,950 0,952 0,962120 0,932 0,938 0,955 0,957 0,966130 0,939 0,944 0,960 0,962 0,971140 0,944 0,949 0,964 0,966 0,975

Incertidumbre 1,2% 0,6% 0,6% 0,6% 0,3%

Tabla 4. Parmetros 0 y para el protocolo y las tensiones emple-adas. Los valores de la ltima fila son las incertidumbres con k=2para toda la columna

Kilovoltaje o 100 0,902 4,910-5

110 0,915 4,610-5

120 0,924 4,310-5

130 0,933 4,110-5

140 0,939 4,010-5

Incertidumbre 0,5% 16%

Fig. 1. Variacin de con H para las distintas tensiones empleadas.Las barras de incertidumbre para que aparecen en la grfica corres-ponden a k=2.

Fig. 2. Valores del parmetro 0 en funcin del kilovoltaje.

Fig. 3. Valores del parmetro en funcin del kilovoltaje.

Tabla 5. Diferencia relativa entre los nmeros CT calculadosmediante la expresin [6] y los medios para todas las sustanciasy todos los kilovoltajes

Kilovoltaje Fosfato Azufre Carbonato Sal SB3clcico clcico comn

100 -4,4% 1,2% 0,9% 4,4% -1,8%110 -5,7% 1,6% 1,3% 5,0% -2,0%120 -7,2% 2,4% 1,5% 5,4% -2,2%130 -8,6% 2,8% 1,9% 6,1% -2,2%140 -10,4% 4,0% 2,2% 6,5% -2,2%

electrnicas, se reflejan en la Tabla 6. Una de las curvasse obtiene considerando en [6] 0=0,955 y =0, que co-rresponde a la aplicacin del mtodo de Martnez y cols.5

empleando para el valor promedio para todas las sus-tancias medidas. La otra curva se obtiene con 0=0,933 y=4,110-5, de acuerdo a los valores medidos. En la grfi-ca slo se muestra el intervalo correspondiente a los teji-dos duros, esto es, los tipos de hueso, desde H=200 hastaH=1000. Para los tejidos blandos las curvas coinciden, yaque estos tejidos tienen nmeros atmicos efectivos simi-lares al del agua y su nmero CT no se modifica aprecia-blemente al considerar las pequeas variaciones de o elcambio que introduce . Las curvas prcticamente coinci-den hasta H=600. Observemos que para = 0 la curvaDER es prcticamente lineal en todo el intervalo corres-pondiente a los tipos de hueso. El efecto de consiste encurvar ligeramente este tramo rectilneo.

En la Fig. 5 se representa la diferencia entre las densi-dades electrnicas obtenidas para un mismo valor de Hcon ambas curvas en todo el intervalo de H (desde pul-mn hasta hueso compacto). Vemos que las diferenciasde densidad electrnica permanecen por debajo del 1%desde H=-1000 hasta H=600, aunque para H=1000 ladiferencia es de un 10%. La diferencia cuadrtica mediaes del 3,3%.

Anlisis y comentarios

El planteamiento contenido en el presente trabajo puedeconsiderarse una correccin emprica a la solucin tericapropuesta por Martnez y cols.5 al problema del clculo delnmero CT de un material. Podramos pensar en sucesivascorrecciones planteando una expresin general del tipo:

= 0 + . H + . H2 + ... , [7]Se debe tener en cuenta que la aproximacin lineal

propuesta aqu no puede extrapolarse hasta valores arbi-trariamente grandes de H puesto que es un parmetroinferior a la unidad, por definicin5. En este sentido, enla Figura 1 podra apreciarse una cierta tendencia a la sa-turacin del valor de para el material SB3. Sin embar-go, la aproximacin lineal elegida describe conveniente-mente toda la variacin de en el rango que nos interesa(el de los distintos tipos de hueso), por lo que no parecenecesario considerar rdenes superiores de aproximacincon la consecuente introduccin de nuevos parmetros.

Conviene tambin destacar que el valor de para mate-riales blandos no tiene porqu adecuarse a la aproximacinlineal propuesta en [5]. Adems, la incertidumbre asociadaal clculo de para un material blando, con nmero atmi-co efectivo cercano a la unidad, es muy grande, como sepuede comprobar a partir de [1]. De cualquier forma, estono representa ninguna limitacin para la utilizacin de laexpresin [6] para todo tipo de materiales, ya que la varia-cin del nmero CT con la calidad del haz (o con los valo-res de 0 y ) para materiales blandos es muy pequea.

Es interesante notar que dos de los materiales emplea-dos, el fosfato clcico y el azufre, poseen nmeros CT muysimilares y aunque sus densidades electrnicas y nmerosatmicos efectivos son bastante distintos, proporcionan va-lores de muy similares. Esto est en consonancia con lahiptesis planteada de que la dependencia de con las pro-piedades fsico-qumicas del material se puede resumir enuna dependencia en exclusiva con el nmero CT.

240 L.C. Martnez, et al.

Fig. 4. Curvas DER obtenidas para el mismo haz considerando =0 y=4,110-5

Fig. 5. Diferencias de densidad obtenidas con las curvas DER de laFig. 4.

Tabla 6. Nmero atmico efectivo y densidad electrnica de lostejidos empleados para la obtencin de las curvas DER de la Fi-gura 4

Tejido Z

Aire 1,030 0,001Pulmn 1,014 0,258Tejido adiposo 0,857 0,951Mdula amarilla 0,843 0,982Mama 0,937 1,014Testculo 1,007 1,032Cartlago 1,070 1,083Hueso (esponjoso) 1,350 1,15Hueso (sacro) 1,450 1,24Hueso (cost. 10) 1,628 1,441Hueso cortical 1,813 1,781

En este sentido, es importante destacar que la forma enque se han obtenido los parmetros 0 y en este trabajo apartir de las medidas experimentales (esto es, a partir de lavariacin del valor de para los distintos materiales) res-ponde ms a la necesidad de contrastar la hiptesis que con-duce a la frmula [6] partiendo del mtodo de Martnez ycols., que a un planteamiento riguroso de obtencin de estosparmetros una vez que se acepta como vlida dicha formu-la. Si se dispone de un conjunto de sustancias de referenciapara hallar los valores de 0 y , lo mejor es obtenerlos apartir de un ajuste de mnimos cuadrados empleando direc-tamente la frmula [6], sin necesidad de pasar por el valor dede cada material obtenido con la expresin [1]. De cualquierforma, se ha comprobado que ambos mtodos conducen almismo resultado. (Las variaciones en 0 segn el mtodoempleado son inferiores al 0,2% y las de inferiores al 3%.)

Los parmetros introducidos, 0 y , deben estar ligados ala calidad del haz y por tanto, para un maniqu concreto, de-ben ser dependientes del kilovoltaje y de la filtracin total em-pleados. El escner CT utilizado para la realizacin de este es-tudio, el modelo Picker PQ2000S, tiene una filtracin totalmuy baja en relacin con otros equipos (2,5 mm de aluminio),por lo que los valores de 0 y medidos en este caso puedenno resultar representativos y ser anmalos respecto del que sepueda medir en otros escneres. En particular, el valor del n-mero CT para el SB3 es anormalmente bajo (entre 100 y 200HU, dependiendo del kilovoltaje; vase por ejemplo4,11,12) loque podra indicar valores de anormalmente altos.

En la prctica, la expresin [6] propuesta en este trabajopara la obtencin del nmero CT de un material cualquieraimplica que son necesarias al menos dos sustancias de refe-rencia (calibradores) para poder calcular los dos parmetros0 y . Se debern elegir dos sustancias relativamente durasrespecto al agua y cuyos nmeros CT se diferencien lo sufi-ciente como para medir correctamente . Dos buenas sus-tancias para realizar esta calibracin son el fosfato clcico yel carbonato clcico (o el cloruro de sodio, prcticamenteequivalente), materiales que se pueden conseguir fcilmente.

El hecho de manejar materiales en forma de polvo tieneventajas e inconvenientes. La principal ventaja es que se pue-den preparar fcilmente muestras con una gran variedad demateriales que siempre se ajustan al maniqu. Para todos losmateriales empleados el tamao del grano es suficientementefino como para conseguir una densidad muy homogneadentro de las muestras, como se puede apreciar en las image-nes o mediante la realizacin de distintos cortes. El principalproblema est asociado al clculo de la densidad, aunque si setoman ciertas precacuciones en la preparacin de las mues-tras se pueden conseguir precisiones razonables, como seaprecia en las incertidumbres reflejadas en la Tabla 1.

Conclusiones

Se ha presentado una expresin analtica para el clcu-lo del nmero CT de un material en funcin de sus pro-

piedades fsico-qumicas. Esta expresin se obtiene in-troduciendo una correccin emprica a la expresin teri-ca propuesta por Martnez y cols.5.

La expresin contiene dos parmetros dependientes de lacalidad del haz y reproduce los valores medidos de los n-meros CT en un amplio intervalo de densidades electrni-cas con una desviacin cuadrtica media del 4,5%. Para lamedida de estos parmetros se necesitan al menos dos sus-tancias de referencia, de composicin qumica y densidadconocidas, relativamente duras y con nmeros CT distantes.

Las diferencias en las densidades electrnicas deducidasde la curva DER calculadas con esta expresin respecto delas obtenidas con el mtodo descrito en5 dependen del va-lor de los parmetros en cada haz. En general, estas dife-rencias son despreciables para tejidos blandos, pero pue-den ser de hasta un 10% para los distintos tipos de hueso.

Agradecimientos

Queremos expresar nuestro agradecimiento al profesorA. Calzado, de la Universidad Complutense de Madrid,por su colaboracin para la realizacin de este trabajo.

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