Cálculo De Primitivas
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Cálculo de Primitivas
¿Qué método elegir?
Fernando SalameroIES Pirámide
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!f(x) dx
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La resolución de una integral indefinida requiere un ejercicio de pensamiento
creativo.!f(x) dx
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La intuición, una vez desarrollada, cobra un papel fundamental.
!f(x) dx
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En el entreacto, debemos ir reflexionando, siguiendo un proceso metódico.
!f(x) dx
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Así que vamos a ir haciéndonos preguntas para llegar al método
correcto...
!f(x) dx
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!f(x) dx
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
![Page 10: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/10.jpg)
1. ¿Se trata de una integral inmediata?
Primero nos hemos de preguntar si aparece directamente en nuestras tablas...
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
x
![Page 12: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/12.jpg)
1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
x= ln |x| + k
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
x !2x
1 + x2dx
= ln |x| + k
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
x !2x
1 + x2dx = ln |1 + x2| + k
= ln |x| + k
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
1 + x2
!dx
x !2x
1 + x2dx = ln |1 + x2| + k
= ln |x| + k
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
1 + x2
!dx
x
= arctanx + k
!2x
1 + x2dx = ln |1 + x2| + k
= ln |x| + k
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1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
1 + x2
!dx
x
= arctanx + k
!2x
1 + x2dx
!cos x
1 + sin2 xdx
= ln |1 + x2| + k
= ln |x| + k
![Page 18: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/18.jpg)
1. ¿Se trata de una integral inmediata?
!dx
1 + x2
!dx
x
= arctanx + k
!2x
1 + x2dx
!cos x
1 + sin2 xdx = arctan(sinx) + k
= ln |1 + x2| + k
= ln |x| + k
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... o si lo hace con una pequeña modificación.
![Page 21: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/21.jpg)
... o si lo hace con una pequeña modificación.
!x
1 + x2dx =
12
!2x
1 + x2dx =
12
ln(1 + x2) + k
![Page 22: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/22.jpg)
... o si lo hace con una pequeña modificación.
!x
1 + x2dx =
12
!2x
1 + x2dx =
12
ln(1 + x2) + k
!sin 3x
1 + cos2 3xdx
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... o si lo hace con una pequeña modificación.
!x
1 + x2dx =
12
!2x
1 + x2dx =
12
ln(1 + x2) + k
!sin 3x
1 + cos2 3xdx
= !13
! !(3 sin 3x)1 + cos2 3x
dx
![Page 24: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/24.jpg)
... o si lo hace con una pequeña modificación.
!x
1 + x2dx =
12
!2x
1 + x2dx =
12
ln(1 + x2) + k
!sin 3x
1 + cos2 3xdx
= !13
! !(3 sin 3x)1 + cos2 3x
dx
= !13
arctan(cos 3x) + k
![Page 25: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/25.jpg)
... o si lo hace con una pequeña modificación.
!x
1 + x2dx =
12
!2x
1 + x2dx =
12
ln(1 + x2) + k
!sin 3x
1 + cos2 3xdx
= !13
! !(3 sin 3x)1 + cos2 3x
dx
= !13
arctan(cos 3x) + k
¿Te sabes las derivadas?
![Page 26: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/27.jpg)
2. ¿Se trata de una integralpor partes?
![Page 28: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/28.jpg)
2. ¿Se trata de una integralpor partes?
Ésta es la siguiente pregunta que nos podemos hacer, ya que reconocer este tipo de integral
es relativamente sencillo.
![Page 29: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/29.jpg)
2. ¿Se trata de una integralpor partes?
¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?
![Page 30: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/30.jpg)
2. ¿Se trata de una integralpor partes?
¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?
Alpes
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
![Page 31: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/31.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
![Page 32: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/32.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
![Page 33: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/33.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
!ln(x! 3) dx
![Page 34: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/34.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
!ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
![Page 35: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/35.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
!ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex lnx dx
![Page 36: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/36.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
!ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
![Page 37: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/37.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
!ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
![Page 38: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/38.jpg)
Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...(f. trigonométricas)
!arctanx dx
!ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
![Page 39: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/39.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
![Page 40: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/40.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
![Page 41: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/41.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
![Page 42: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/42.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
u = ln(x! 3)
![Page 43: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/43.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
u = ln(x! 3)
u = lnx
![Page 44: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/44.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
u = ln(x! 3)
u = lnx
u = lnx
![Page 45: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/45.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
u = ln(x! 3)
u = lnx
u = lnx
u = x
![Page 46: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/46.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
u = ln(x! 3)
u = lnx
u = lnx
u = x
u = lnx
![Page 47: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/47.jpg)
!arctanx dx !
ln(x! 3) dx
!(x! 1)2 lnx dx
!ex sin x dx
!ex!1x dx
!ex lnx dx
!cos x lnx dx
u = arctanx
u = ln(x! 3)
u = lnx
u = lnx
u = x
u = lnx
¡Oscilante!
![Page 48: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/48.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!
![Page 49: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/49.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!u = sinx du = cos x dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
![Page 50: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/50.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!u = sinx du = cos x dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
= ex sinx!!
ex cos x dx
![Page 51: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/51.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!u = sinx du = cos x dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
= ex sinx!!
ex cos x dx
u = cos x du = ! sinx dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
![Page 52: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/52.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!u = sinx du = cos x dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
= ex sinx!!
ex cos x dx
u = cos x du = ! sinx dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
= ex sin x! ex cos x +!
ex(! sin x)dx
![Page 53: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/53.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!u = sinx du = cos x dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
= ex sinx!!
ex cos x dx
u = cos x du = ! sinx dx
dv = exdx v =!
exdx = ex + k
= ex sin x! ex cos x +!
ex(! sin x)dx
= ex sinx! ex cos x!!
ex sinx dx
![Page 54: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/54.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!
= ex sinx! ex cos x!!
ex sinx dx
![Page 55: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/55.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!
= ex sinx! ex cos x!!
ex sinx dx
![Page 56: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/56.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!
= ex sinx! ex cos x!!
ex sinx dx
= ex sinx! ex cos x!I I
![Page 57: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/57.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!
= ex sinx! ex cos x!!
ex sinx dx
= ex sinx! ex cos x!I I
2I = ex sin x! ex cos x
![Page 58: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/58.jpg)
!ex sin x dx
¡Oscilante!
= ex sinx! ex cos x!!
ex sinx dx
= ex sinx! ex cos x!I I
2I = ex sin x! ex cos x
I =!
ex sinx dx =ex sinx! ex cos x
2+ k
![Page 59: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/59.jpg)
![Page 60: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/60.jpg)
3. ¿Se trata de una integralracional?
![Page 61: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/61.jpg)
3. ¿Se trata de una integralracional?
!x! 3
x2 + 5x! 6dx
Las integrales compuestas por cocientes de polinomios, tienen un tratamiento especial...
![Page 62: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/62.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx
![Page 63: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/63.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx =
!x! 3
(x + 6)(x! 1)dx
![Page 64: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/64.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx =
!x! 3
(x + 6)(x! 1)dx
x! 3(x + 6)(x! 1)
=A
x + 6+
B
x! 1
x! 3 = A(x! 1) + B(x + 6)
x = 1!
x = !6"
!2 = 7B
!9 = !7A
B = !27
A =97
![Page 65: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/65.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx =
!x! 3
(x + 6)(x! 1)dx
=! 9
7
x + 6+
! 27
x! 1dx
![Page 66: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/66.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx =
!x! 3
(x + 6)(x! 1)dx
=! 9
7
x + 6+
! 27
x! 1dx
=97
!dx
x + 6! 2
7
!dx
x! 1
![Page 67: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/67.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx =
!x! 3
(x + 6)(x! 1)dx
=! 9
7
x + 6+
! 27
x! 1dx
=97
!dx
x + 6! 2
7
!dx
x! 1
=97
ln |x + 6|! 27
ln |x! 1| + k
![Page 68: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/68.jpg)
!x! 3
x2 + 5x! 6dx =
!x! 3
(x + 6)(x! 1)dx
=! 9
7
x + 6+
! 27
x! 1dx
=97
!dx
x + 6! 2
7
!dx
x! 1
=97
ln |x + 6|! 27
ln |x! 1| + k
Así que el truco está en la descomposición de fracciones... ¿Cómo hacerlo?
![Page 69: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/69.jpg)
![Page 70: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/70.jpg)
En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador,
dividiéndolos si es necesario.
![Page 71: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/71.jpg)
En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador,
dividiéndolos si es necesario.
!x2 + 1
x2 ! 4x + 13dx =
!1 +
4x! 12x2 ! 4x + 13
dx
= x + 4!
x! 3x2 ! 4x + 13
dx
![Page 72: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/72.jpg)
En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador,
dividiéndolos si es necesario.
!x2 + 1
x2 ! 4x + 13dx =
!1 +
4x! 12x2 ! 4x + 13
dx
= x + 4!
x! 3x2 ! 4x + 13
dx
El siguiente paso es factorizar el denominador, calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de
tres tipos...
![Page 73: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/73.jpg)
Raíces Reales Simples
Raíces Reales Múltiples
Raíces Complejas
El siguiente paso es factorizar el denominador, calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de
tres tipos...
![Page 74: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/74.jpg)
Raíces Reales Simples
![Page 75: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/75.jpg)
Raíces Reales Simples
x! 3(x + 6)(x! 1)
=A
x + 6+
B
x! 1
La fracción se separa en tantas fracciones como
factores simples, siendo sus numeradores constantesque debemos calcular.
![Page 76: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/76.jpg)
Raíces Reales Simples
x! 3(x + 6)(x! 1)
=A
x + 6+
B
x! 1
La fracción se separa en tantas fracciones como
factores simples, siendo sus numeradores constantesque debemos calcular.
Raíces Reales Múltiples Raíces Complejas
![Page 77: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/77.jpg)
Raíces Reales Múltiples
![Page 78: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/78.jpg)
Raíces Reales Múltiples
x
(x! 2)2(x + 1)=
A
x! 2+
B
(x! 2)2+
C
x + 1
En este caso, el factor múltiple se separa en tantas fracciones como indica su exponente, aumentando el
grado del denominador progresivamente.
![Page 79: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/79.jpg)
Raíces Reales Múltiples
x
(x! 2)2(x + 1)=
A
x! 2+
B
(x! 2)2+
C
x + 1
En este caso, el factor múltiple se separa en tantas fracciones como indica su exponente, aumentando el
grado del denominador progresivamente.
Raíces ComplejasRaíces Reales Simples
![Page 80: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/80.jpg)
Raíces Complejas
![Page 81: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/81.jpg)
Raíces Complejas
5(x2 + x + 1)(x! 8)
=Ax + B
x2 + x + 1+
C
(x! 8)
En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se separa en una fracción cuyo numerador es un
polinomio de primer grado.
![Page 82: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/82.jpg)
Raíces Complejas
5(x2 + x + 1)(x! 8)
=Ax + B
x2 + x + 1+
C
(x! 8)
En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se separa en una fracción cuyo numerador es un
polinomio de primer grado.
Raíces Reales Simples Raíces Reales Múltiples
![Page 83: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/84.jpg)
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
![Page 85: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/85.jpg)
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2
=
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
![Page 86: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/86.jpg)
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2
=
=A
x + 1+
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
![Page 87: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/87.jpg)
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2
=
=A
x + 1+
B
x! 8+
C
(x! 8)2+
D
(x! 8)3+
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
![Page 88: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/88.jpg)
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2
=
=A
x + 1+
B
x! 8+
C
(x! 8)2+
D
(x! 8)3+
Ex + F
3x2 + 2x + 1+
Gx + H
(3x2 + 2x + 1)2
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
![Page 89: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/89.jpg)
![Page 90: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/90.jpg)
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares:
![Page 91: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/91.jpg)
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares:
!dx
x! 4= ln |x! 4| + k
![Page 92: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/92.jpg)
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares:
!dx
(x + 2)3= ! 1
2(x + 2)2+ k
!dx
x! 4= ln |x! 4| + k
![Page 93: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/93.jpg)
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares:
!dx
(x + 2)3= ! 1
2(x + 2)2+ k
!dx
x2 + 2x + 2=
!dx
(x + 1)2 + 1= arctan(x + 1) + k
!dx
x! 4= ln |x! 4| + k
![Page 94: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/94.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
![Page 95: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/95.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 4
x2 + 2x + 3dx =
![Page 96: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/96.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 4
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 2
x2 + 2x + 3dx +
12
!2
x2 + 2x + 3dx =
![Page 97: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/97.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 4
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 2
x2 + 2x + 3dx +
12
!2
x2 + 2x + 3dx =
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
dx
(x + 1)2 + 2=
![Page 98: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/98.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 4
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 2
x2 + 2x + 3dx +
12
!2
x2 + 2x + 3dx =
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
dx
(x + 1)2 + 2=
12
ln |x2 + 2x + 3| +12
!dx
(x+1)2
2 + 1=
![Page 99: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/99.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 4
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 2
x2 + 2x + 3dx +
12
!2
x2 + 2x + 3dx =
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
dx
(x + 1)2 + 2=
12
ln |x2 + 2x + 3| +12
!dx
(x+1)2
2 + 1=
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
22
! 1!2
(x+1!2
)2 + 1dx =
![Page 100: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/100.jpg)
!x + 2
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 4
x2 + 2x + 3dx =
12
!2x + 2
x2 + 2x + 3dx +
12
!2
x2 + 2x + 3dx =
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
dx
(x + 1)2 + 2=
12
ln |x2 + 2x + 3| +12
!dx
(x+1)2
2 + 1=
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
22
! 1!2
(x+1!2
)2 + 1dx =
12
ln |x2 + 2x + 3| +!
22
arctanx + 1!
2+ k
![Page 101: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/102.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
![Page 103: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/103.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
!e3x
1 + exdx =
![Page 104: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/104.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
!e3x
1 + exdx =
t = ex
![Page 105: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/105.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
!e3x
1 + exdx =
t = ex
dt = exdx dx =dt
ex
![Page 106: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/106.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
!e3x
1 + exdx =
t = ex
dt = exdx dx =dt
ex
!e3x
1 + t
dt
ex=
![Page 107: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/107.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
!e3x
1 + exdx =
t = ex
dt = exdx dx =dt
ex
!e3x
1 + t
dt
ex=
!e2x
1 + tdt =
![Page 108: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/108.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
!e3x
1 + exdx =
t = ex
dt = exdx dx =dt
ex
!e3x
1 + t
dt
ex=
!e2x
1 + tdt =
!t2
1 + tdt
![Page 109: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/109.jpg)
4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
!e3x
1 + exdx =
t = ex
dt = exdx dx =dt
ex
!e3x
1 + t
dt
ex=
!e2x
1 + tdt =
!t2
1 + tdt
¿Qué cambio de variable realizar?
La cuestión es:
![Page 110: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/110.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
![Page 111: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/111.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
![Page 112: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/112.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
![Page 113: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/113.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
!x2ex3
dx =
![Page 114: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/114.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
!x2ex3
dx =
t = x3
![Page 115: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/115.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
!x2ex3
dx =
t = x3
dt = 3x2dx
![Page 116: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/116.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
!x2ex3
dx =
t = x3
dt = 3x2dx
!x2et dt
2x2=
12
!et dt = 1
2et + k =
12ex3
+ k
(no olvides deshacer el cambio)
![Page 117: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/117.jpg)
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
!x2ex3
dx =
t = x3
dt = 3x2dx
!x2et dt
2x2=
12
!et dt = 1
2et + k =
12ex3
+ k
(no olvides deshacer el cambio)
En el resto, tendrás que guiarte por tu intuición.
![Page 118: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/118.jpg)
intuición
![Page 119: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/119.jpg)
intuiciónPero a la hay que entrenarla.
![Page 120: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/120.jpg)
intuiciónPero a la hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
![Page 121: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/121.jpg)
intuiciónPero a la hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
![Page 122: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/122.jpg)
intuiciónPero a la hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.
Hmm...
![Page 123: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/123.jpg)
intuiciónPero a la hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.
Hmm...
Las más conocidas son las que incluyen a las...
![Page 124: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/124.jpg)
Funciones Trigonométricas(por cambio de variable)
![Page 125: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/125.jpg)
Funciones Trigonométricas(por cambio de variable)
Con el mismo argumento
Cambios Universales
Con diferente argumento
![Page 126: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/126.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas
![Page 127: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/127.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
![Page 128: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/128.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
El proceso a seguir, depende del tipo de exponentes:
![Page 129: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/129.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.
![Page 130: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/130.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.!
sin2 x cos3 x dx
![Page 131: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/131.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.!
sin2 x cos3 x dx t = sinx
![Page 132: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/132.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.!
sin2 x cos3 x dx t = sinx
!sin5 x dx
![Page 133: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/133.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.!
sin2 x cos3 x dx t = sinx
!sin5 x dx t = cos x
![Page 134: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/134.jpg)
![Page 135: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/135.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
![Page 136: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/136.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:
t = sinx
t = cos x
![Page 137: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/137.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:
t = sinx
t = cos x
![Page 138: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/138.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:
t = sinx
t = cos x
=!
t3 cos5 xdt
cos x=
!t3 cos4 x dt
![Page 139: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/139.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:
t = sinx
t = cos x
=!
t3 cos5 xdt
cos x=
!t3 cos4 x dt =
!t3(1! sin2 x)2 dt
![Page 140: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/140.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:
t = sinx
t = cos x
=!
t3 cos5 xdt
cos x=
!t3 cos4 x dt =
!t3(1! sin2 x)2 dt
=!
t3(1! t2)2 dt
![Page 141: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/141.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:
t = sinx
t = cos x
=!
t3 cos5 xdt
cos x=
!t3 cos4 x dt =
!t3(1! sin2 x)2 dt
=!
t3(1! t2)2 dt =!
t3 + t7 ! 2t5 dt
![Page 142: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/142.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
![Page 143: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/143.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Por otra parte, si todos los exponentes son pares, el truco es ir reduciendo su grado mediante las
siguientes fórmulas trigonométricas:
![Page 144: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/144.jpg)
Con el mismo argumentoFunciones
Trigonométricas!sinm x cosn x dx
Por otra parte, si todos los exponentes son pares, el truco es ir reduciendo su grado mediante las
siguientes fórmulas trigonométricas:
cos2 a =12
+12
cos 2a
sin2 a =12! 1
2cos 2a
![Page 145: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/145.jpg)
![Page 146: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/146.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin4 x dx
![Page 147: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/147.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin4 x dx =
!(sin2 x)2 dx
![Page 148: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/148.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin4 x dx =
!(sin2 x)2 dx =
!(12! 1
2cos 2x)2 dx
![Page 149: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/149.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin4 x dx =
!(sin2 x)2 dx =
!(12! 1
2cos 2x)2 dx
=!
14
+14
cos2 2x! 12
cos 2x dx
![Page 150: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/150.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin4 x dx =
!(sin2 x)2 dx =
!(12! 1
2cos 2x)2 dx
=!
14
+14
cos2 2x! 12
cos 2x dx
=!
14
+14(12
+12
cos 4x)! 12
cos 2x dx
![Page 151: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/151.jpg)
¡Prueba en este caso!
!sin4 x dx =
!(sin2 x)2 dx =
!(12! 1
2cos 2x)2 dx
=!
14
+14
cos2 2x! 12
cos 2x dx
=!
14
+14(12
+12
cos 4x)! 12
cos 2x dx
=14x +
18x +
18
!cos 4x dx! 1
2
!cos 2x dx
![Page 152: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/152.jpg)
Funciones
TrigonométricasCon diferente argumento
![Page 153: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/153.jpg)
Funciones
TrigonométricasCon diferente argumento
!sin ax cos bx dx
![Page 154: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/154.jpg)
Funciones
TrigonométricasCon diferente argumento
!sin ax cos bx dx
Estas integrales se pueden resolver transformando los productos de funciones trigonométricas en
sumas gracias a las relaciones siguientes:
![Page 155: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/155.jpg)
Funciones
TrigonométricasCon diferente argumento
!sin ax cos bx dx
Estas integrales se pueden resolver transformando los productos de funciones trigonométricas en
sumas gracias a las relaciones siguientes:
sin a cos b =12[sin(a + b) + sin(a! b)]
cos a cos b =12[cos(a + b) + cos(a! b)]
sin a sin b = !12[cos(a + b)! cos(a! b)]
![Page 156: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/156.jpg)
![Page 157: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/157.jpg)
¡Observa la transformación!
![Page 158: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/158.jpg)
¡Observa la transformación!
!sinx sin 2x sin 3x dx
![Page 159: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/159.jpg)
¡Observa la transformación!
!sinx sin 2x sin 3x dx
sin x sin 2x = !12(cos 3x! cos x)
![Page 160: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/160.jpg)
¡Observa la transformación!
!sinx sin 2x sin 3x dx
sin x sin 2x = !12(cos 3x! cos x)
sin x sin 2x sin 3x = !12(cos 3x! cos x) sin 3x
= !12(cos 3x sin 3x! cos x sin 3x)
= !14(sin 6x! sin 4x! sin 2x)
![Page 161: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/161.jpg)
¡Observa la transformación!
!sinx sin 2x sin 3x dx
= !14
!sin 6x! sin 4x! sin 2x dx
![Page 162: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/162.jpg)
¡Observa la transformación!
!sinx sin 2x sin 3x dx
= !14
!sin 6x! sin 4x! sin 2x dx
= !14(!cos 6x
6+
cos 4x
4+
cos 2x
2) + k
=cos 6x
24! cos 4x
16! cos 2x
8+ k
![Page 163: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/163.jpg)
Funciones
TrigonométricasCambios Universales
![Page 164: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/164.jpg)
Funciones
TrigonométricasCambios Universales
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:
![Page 165: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/165.jpg)
Funciones
TrigonométricasCambios Universales
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:
tanx
2= t
dx =2dt
1 + t2
sinx =2t
1 + t2
cos x =1! t2
1 + t2
tanx =2t
1! t2
![Page 166: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/166.jpg)
Éste es un cambio algo complicado, pero tiene la virtud de convertir cualquier
trigonométrica en racional.
Funciones
TrigonométricasCambios Universales
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:
tanx
2= t
dx =2dt
1 + t2
sinx =2t
1 + t2
cos x =1! t2
1 + t2
tanx =2t
1! t2
![Page 167: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/167.jpg)
Funciones
TrigonométricasCambios Universales
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:
tanx = t dx =dt
1 + t2
sin x =t!
1 + t2
cos x =1!
1 + t2
![Page 168: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/168.jpg)
Y éste otro, en apariencia más lógico, deberás aplicarlo cuando veas que esas
raíces pueden eliminarse...
Funciones
TrigonométricasCambios Universales
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:
tanx = t dx =dt
1 + t2
sin x =t!
1 + t2
cos x =1!
1 + t2
![Page 169: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/169.jpg)
![Page 170: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/170.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
![Page 171: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/171.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
!1
1 + sin xdx
![Page 172: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/172.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
!1
1 + sin xdx El cambio correcto es tan
x
2= t
![Page 173: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/173.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
!1
1 + sin xdx El cambio correcto es tan
x
2= t
=!
11 + 2t
1+t2
2dt
1 + t2= 2
!dt
1 + t2 + 2t
![Page 174: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/174.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
!1
1 + sin xdx El cambio correcto es tan
x
2= t
=!
11 + 2t
1+t2
2dt
1 + t2= 2
!dt
1 + t2 + 2t
!cos x
sinx + cos xdx
![Page 175: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/175.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
!1
1 + sin xdx El cambio correcto es tan
x
2= t
=!
11 + 2t
1+t2
2dt
1 + t2= 2
!dt
1 + t2 + 2t
!cos x
sinx + cos xdx El cambio correcto es tanx = t
![Page 176: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/176.jpg)
¡Prueba y adivina cuál hacer!
!1
1 + sin xdx El cambio correcto es tan
x
2= t
=!
11 + 2t
1+t2
2dt
1 + t2= 2
!dt
1 + t2 + 2t
!cos x
sinx + cos xdx El cambio correcto es tanx = t
=! 1!
1+t2
t!1+t2
+ 1!1+t2
dt
1 + t2=
!dt
(t + 1)(1 + t2)
![Page 177: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/177.jpg)
Y finalmente...
![Page 178: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/178.jpg)
Y finalmente...! "
9! x2 dx
![Page 179: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/179.jpg)
Y finalmente...! "
9! x2 dx
Este último modelo de integral sugiere también un (oculto) cambio trigonométrico.
![Page 180: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/180.jpg)
Y finalmente...! "
9! x2 dx
Este último modelo de integral sugiere también un (oculto) cambio trigonométrico.
Recuerda...
sin2 x + cos2 x = 1 cos2 x = 1! sin2 x
![Page 181: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/181.jpg)
Y finalmente...! "
9! x2 dx
Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:
![Page 182: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/182.jpg)
Y finalmente...! "
9! x2 dx
Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:
x = 3 sin t
Vamos allá (enseguida verás por qué)...
dx = 3 cos t dt
![Page 183: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/183.jpg)
! "9! x2 dx
![Page 184: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/184.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
![Page 185: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/185.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
= 3! "
9! 9 sin2 t cos t dt
![Page 186: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/186.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
= 3! "
9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "
9(1! sin2 t) cos t dt
![Page 187: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/187.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
= 3! "
9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "
9(1! sin2 t) cos t dt
= 9! "
1! sin2 t cos t dt
![Page 188: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/188.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
= 3! "
9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "
9(1! sin2 t) cos t dt
= 9! "
1! sin2 t cos t dt = 9!
cos2 t dt
![Page 189: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/189.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
= 3! "
9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "
9(1! sin2 t) cos t dt
= 9! "
1! sin2 t cos t dt = 9!
cos2 t dt
= 9!
12
+12
cos 2t dt
![Page 190: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/190.jpg)
! "9! x2 dx =
! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt
= 3! "
9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "
9(1! sin2 t) cos t dt
= 9! "
1! sin2 t cos t dt = 9!
cos2 t dt
= 9!
12
+12
cos 2t dt =92t +
94
sin 2t + k
![Page 191: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/191.jpg)
=92t +
94
sin 2t + k
![Page 192: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/192.jpg)
=92t +
94
sin 2t + kFíjate que, para acabar,
deshacer el cambio es algo más elaborado...
![Page 193: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/193.jpg)
=92t +
94
sin 2t + kFíjate que, para acabar,
deshacer el cambio es algo más elaborado...
Recuerda:
x = 3 sin t sin t =x
3t = arcsin
x
3
![Page 194: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/194.jpg)
=92t +
94
sin 2t + kFíjate que, para acabar,
deshacer el cambio es algo más elaborado...
Recuerda:
x = 3 sin t sin t =x
3t = arcsin
x
3
=92
arcsinx
3+
94
sin(2 arcsinx
3) + k
![Page 195: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/195.jpg)
=92t +
94
sin 2t + kFíjate que, para acabar,
deshacer el cambio es algo más elaborado...
Recuerda:
x = 3 sin t sin t =x
3t = arcsin
x
3
=92
arcsinx
3+
94
sin(2 arcsinx
3) + k
Pero hay una manera más elegante de expresarlo...
![Page 196: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/196.jpg)
=92t +
94
sin 2t + k
x = 3 sin t
sin t =x
3t = arcsin
x
3
![Page 197: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/197.jpg)
=92t +
94
sin 2t + k
x = 3 sin t
sin t =x
3t = arcsin
x
3
=92t +
92
sin t cos t + k
![Page 198: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/198.jpg)
=92t +
94
sin 2t + k
x = 3 sin t
sin t =x
3t = arcsin
x
3
=92t +
92
sin t cos t + k =92t +
92
sin t!
1! sin2 t + k
![Page 199: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/199.jpg)
=92t +
94
sin 2t + k
x = 3 sin t
sin t =x
3t = arcsin
x
3
=92t +
92
sin t cos t + k =92t +
92
sin t!
1! sin2 t + k
=92
arcsinx
3+
92
x
3
!1! (
x
3)2
+ k
![Page 200: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/200.jpg)
=92t +
94
sin 2t + k
x = 3 sin t
sin t =x
3t = arcsin
x
3
=92t +
92
sin t cos t + k =92t +
92
sin t!
1! sin2 t + k
=92
arcsinx
3+
92
x
3
!1! (
x
3)2
+ k
=92
arcsinx
3+
x
2
!9! x2 + k
¡Soy más
elegante!
![Page 201: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/201.jpg)
debes ser
creativo
Para integrar
![Page 202: Cálculo De Primitivas](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022102701/559705ff1a28abc80e8b45e7/html5/thumbnails/202.jpg)
debes ser
creativo
Para integrar
¡Buena Suerte!