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su gráfica con la ClassPad 330?

¿Cómo construir una superficie cilíndrica y trazar

Prof. Robinson Arcos

INTRODUCCIÓN:

Trataremos en este ¿Cómo…? aspectos sobre:

• La construcción de una superficie cilíndrica. • El procedimiento que permite encontrar su

ecuación cartesiana. • El procedimiento que permite encontrar sus

ecuaciones paramétricas. • El trazado de una porción de su gráfica.

Comencemos estableciendo la siguiente definición:

Se llama superficie cilíndrica a la generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre mantiene una dirección fija dada y durante el movimiento, pasa por una curva fija también dada.

Figura 1

La recta que se mueve generando la superficie se llama generatriz y la curva fija dada se llama directriz de la superficie cilíndrica. Si la generatriz es una curva plana, ésta no debe estar en el plano de la directriz.

Estudio de la superficie cilíndrica cuando su directriz es una curva plana contenida en un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

En virtud de la definición anterior, en cada punto P que se encuentre sobre la superficie cilíndrica S, pasará una recta paralela a la generatriz y una curva paralela y congruente a la directriz (Figura 1). De modo que, en una superficie cilíndrica estas rectas y curvas son también, respectivamente, generatrices y directrices.

Podemos obtener la ecuación cartesiana de una superficie cilíndrica S cuando la directriz es una curva plana contenida en un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

Para fijar ideas, supongamos que de la directriz de la superficie cilíndrica se encuentra contenida en un plano paralelo al plano OYZ, sea )c,b,a(v =

r un vector director fijo de la generatriz de la superficie cilíndrica (Figura 1).

Supongamos además que la directriz está definida por el par de ecuaciones: 0)z,y(f = (1)

0xx = (2)

donde es la ecuación del plano que contiene a la directriz y 0xx = 0)z,y(f = representa la relación entre y y z.

Tomemos un punto cualquiera P sobre la superficie S, entonces la generatriz que pasa por P corta a la directriz C en el punto del plano OYZ. Las ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por Q y tiene vector director

)z,y,x()w,v,u(Q

)c,b,a(v =r

, vienen dadas por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

)5(tcwz)4(tbvy)3(taux

Rt ; ∈

donde , dado que la generatriz no debe ser paralela al plano que contiene a la directriz. 0a ≠

2

0Dado que Q pertenece a C, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones:

)w,v(f = (6)

0u = (7) Tengamos presente que, por definición de superficie cilíndrica, el punto P pertenece a la superficie S, si y sólo

si sus coordenadas satisfacen las ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7). Estas ecuaciones constituyen un sistema de cinco ecuaciones independientes. Eliminando los parámetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones, encontraremos una ecuación en las variables x, y, z:

0)z,y,x(F = (8) Esta última ecuación constituye la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica S.

De manera general, este procedimiento se lleva a cabo de la siguiente manera:

Sustituyendo (7) en (3) y despejando t, se obtiene la ecuación axt = 0a ≠ (9) (recuerde que ). Sustituyendo

ahora (9) en (4) y (5), al despejar v y w se obtienen las ecuaciones xbyv −=a

(10) y xcz −=a

w (11).

Finalmente, al sustituir (10) y (11) en (6), obtenemos la ecuación 0xcz,xby =⎟⎞

⎜⎛ −−

aa ⎠⎝f (12). Como puede

observar, esta última ecuación relaciona las tres variables x, y, z, la cual está expresada por la ecuación (8). De manera análoga, podemos obtener la ecuación de la superficie cilíndrica para los casos en que la directriz

se encuentra contenida en un plano paralelo al plano OXZ, o bien, al plano OXY. En la tabla siguiente se presenta un resumen de las ecuaciones a considerar para la obtención de la ecuación cartesiana de la superficie:

Cuando el plano que contiene a la directriz es paralelo al plano OXZ

Cuando el plano que contiene a la directriz es paralelo al plano OXY

• Ecuaciones de la directriz:: 0)z,x(f =

0yy =

)c,b,a(v = 0≠

Q

(1)

(2)

• Vector director de la generatriz: r

con b • Ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa

por )w,v,u( y tiene vector director )c,b,a(v =r

, con Q en el plano OXZ:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

)5(tcwz)4(tbvy)3(taux

Rt∈

0)w,u(f =

0v =

;

donde las coordenadas de Q satisfacen: (6)

(7) • Ecuación cartesiana de la superficie S que se

obtiene al eliminar los parámetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7):

0ybcz,y

baxf =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

0)y,x(f =

0zz

(8)

• Ecuaciones de la directriz: (1)

= (2)

• Vector director de la generatriz: )c,b,a(v =

r con 0c ≠

v• Ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa

por )w,v,u(Q y tiene vector director )c,b,a(=r

, con Q en el plano OXY:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

)5(tcwz)4(tbvy)3(taux

Rt∈

0)v,u(f =

0w

;

donde las coordenadas de Q satisfacen: (6)

= (7) • Ecuación cartesiana de la superficie S que se

obtiene al eliminar los parámetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7):

0zcby,z

caxf =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− (8)

Tabla 1

Desarrollemos el procedimiento descrito anteriormente resolviendo el siguiente problema:

1. Encuentre la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica cuya directriz es la parábola de ecuaciones ; y cuya generatriz tiene vector director 8z 2,1y6y2 −+−= 3x = ),2(v =

r.

Solución a la situación problemática planteada:

Las ecuaciones que definen a la directriz C vienen dadas por: (1) ; (2) 8− 3=

)z) )w

)2

5R

y6yz 2 +−= x

Si es un punto cualquiera sobre S, entonces la generatriz que pasa por P corta a la directriz C en el punto del el plano OYZ. Las ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por y tiene vector director vienen dadas por:

,y,x(P,v,u(Q w ,v,u(Q

,1,2(v =r

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

(t2wz4(tvy3(t2ux

)))

t ; ∈

Las coordenadas de Q deben satisfacer las ecuaciones:

8v6vw 2 −+−=0u

(6) = (7)

Para encontrar la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica, sustituimos (7) en (3) y despejamos t

obteniéndose 2xt = (8). Sustituyendo ahora (8) en (4) y (5); y despejando v y w se obtienen las ecuaciones:

3

2x x

0

yv −= (9) ; (10). Al sustituir (9) y (10) en (6), después de una simplificación, se obtiene la ecuación

cartesiana de la superficie cilíndrica:

zw −=

32z4y24x8xy4y4x 22 =++−+−+

Este proceso se puede desarrollar en la Aplicación Principal de la ClassPad. En cualquier caso, sólo se requiere plantear primeramente las ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7). Los pasos para

hallar la ecuación de la superficie se ejecutan como sigue:

2. Operación con la ClassPad. (1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF] para

encenderla o toque la pantalla.

(2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal. (3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (4) Toque [Edit] [Eliminar toda variable] [Acep.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de

trabajo de la aplicación Principal. (5) Toque [Formato básico] [Defecto] [Def.] para configurar el formato de trabajo en la aplicación

Principal.

(6) Oprima [Keyboard] y toque la solapa para activar el teclado de plantillas.

(7) Toque . Toque para acceder al teclado de variables.

(8) En el recuadro de la primera línea de edición del sistema, escriba la ecuación t2ux += (ecuación (3)).

(9) En el recuadro de la segunda línea de edición, escriba la ecuación tvy += (ecuación (4)).

(10) En el recuadro de la tercera línea de edición, escriba la ecuación t2w (ecuación (5)). z +=

(11) En el recuadro que aparece al final toque . • Aparece la solución del sistema en función de la variables u, x, y, z.

Figura 2

(12) Toque ahora la solapa y luego toque .

(13) En la línea de entrada escriba la ecuación 8v6 −+ (ecuación (6)). vw 2−=

(14) Toque y seguidamente toque (comando Whit). • Ahora registraremos las ecuaciones obtenidas en la solución del sistema:

(15) Seleccione la primera ecuación obtenida en la solución del sistema. Toque para copiar la ecuación en el portapapeles (Figura 3).

(16) Ubique el cursor al lado del comando Whit y toque para pegar la ecuación (Figura 4).

(17) Toque . Seleccione la segunda ecuación obtenida en la solución del sistema. Toque y ubique el cursor a lado del comando Whit y toque

.

(18) Para terminar, toque . Seleccione la tercera ecuación obtenida en la solución del sistema. Toque y ubique el cursor a lado del comando Whit y toque . Toque .

(19) Toque . Toque y escriba seguidamente la ecuación 0u =

(ecuación (7)). Toque . • La ecuación obtenida es la ecuación de la superficie cilíndrica. • Para simplificar esta ecuación se procede como sigue:

(20) Toque [Acción] [Ecuación/ Desigualdad ►] [rewrite] [ans] [Ejec]. • Esto transpone los términos del segundo miembro al primero.

(21) Toque . • Esto multiplica por 4 cada miembro de la ecuación.

(22) Toque [Acción] ][Transformación ►] [combine] [ans] [Ejec]. • Se obtiene de manera simplificada la ecuación de la superficie:

032z4y24x8xy4y4x 22 =++−+−+

Figura 3

Figura 4

Figura 5

¿Cómo encontrar, a partir de la ecuación cartesiana de una superficie cilíndrica, las ecuaciones de una directriz y un vector director de sus generatrices?

Aquí trataremos el problema inverso, a saber, encontrar las ecuaciones de una directriz y un vector director de las generatrices de una superficie cilíndrica, a partir de su ecuación cartesiana.

Observación: Para ello, tenga presente que, por definición de superficie cilíndrica, se deduce que las secciones obtenidas por planos paralelos al plano de la directriz son curvas congruentes con la directriz.

Veamos el siguiente ejemplo:

3. Muestre que la ecuación

4

1yz2xz2z2yx 222 =−+++ representa una superficie cilíndrica y encuentre las ecuaciones de una de sus directrices y un vector director de sus generatrices.

Solución a la situación problemática planteada: De acuerdo con lo establecido en la observación anterior, las ecuaciones de la familia de las secciones que se

obtienen al cortar la superficie cilíndrica por la familia de planos de ecuación kz = , donde k es una constante real, son:

1 zky2kx2k2yx 222 =−+++ ; k= (1) Las ecuaciones (1) representan, para cada valor de k, las ecuaciones cartesianas de una directriz situada en el

plano de ecuación (paralelo al plano OXY). k

k

z =Las ecuaciones (1) se pueden escribir en la forma:

1 z)ky()kx( 22 =−++ ; = (2)

En consecuencia, (2) representa las ecuaciones de una circunferencia con centro en el punto )k,k(A − de radio 1 para cualquier valor de k. Lo que demuestra que estamos en presencia de curvas congruentes (las directrices). En particular si tomamos k tenemos la directriz situada en el plano OXY, definida por: 0

22 0

=

1 zyx =+ ; = (3) El lugar geométrico de los centros de todas las directrices es una recta cuyas ecuaciones paramétricas, de

acuerdo con (2), son: (4) ó bien, vectorialmente: ⎪⎩

⎪⎨

==

zy

⎧ −=

kkkx

)1,1,1(k)z,y,x( −= (5).

que representa una recta que pasa por el origen y tiene vector director )1,1,1(v −=r

. Dado que esta recta es paralela a las generatrices, el vector es un vector director de las mismas. )1,1,1(v −=

r

¿Cómo se realizan estos cálculos en la ClassPad?

4. Operación con la ClassPad.

(23) En la Aplicación Principal toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la pantalla.

(24) Active el teclado virtual [mth] y toque [VAR] para activar el teclado de variables. • Para obtener la ecuación cuadrática (2), debemos completar cuadrados

en la ecuación cuadrática (1): (25) En la línea de entrada escriba la ecuación cuadrática (1) en la forma:

1kky2ykkx2x 2222 =+−+++ .

(26) Seleccione los tres primeros términos de esta ecuación y toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor] (Figuras 6 y 7).

(27) Ahora seleccione la ecuación en la línea de salida y arrastre hasta la línea de entrada y suelte. • Obtendrá una copia de la ecuación en la línea de entrada (Figura 7).

(28) En la línea de entrada, seleccione los tres últimos términos del primer miembro de la ecuación. Toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor]. • Se obtiene la ecuación cuadrática (2):

1)ky()kx( 22 =−++

• Para hallar el vector director de las generatrices procedemos de la siguiente manera:

(29) Active el teclado 2D y toque . Toque dos veces el botón .

(30) Toque la solapa . En el primer recuadro toque . En el segundo recuadro toque t en el tercer recuadro toque .

Toque . r

• Se obtiene el vector director 11,1(−

5

),v =

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:

5. En cada uno de los siguientes ejercicios se dan, las ecuaciones de la directriz y el vector director de la generatriz de una superficie cilíndrica. Encuentre en cada caso la ecuación de la superficie cilíndrica:

a) x4y2 = , 0z = ; )1,1,1(v −=r

.

b) 1z =+ , 0y = ; )1,1,2(x 22 v −=r

.

c) 1y2 =− , 0z = ; )1,2,0( . x

x2 =+

2 v −=r

d) 1y , 0z = ; )1,0,2(v =r

.

e) 0z4 =+ , 0y = ; )0,1,4(v =zx4 2 + 2 r.

6. En cada uno de los siguientes ejercicios muestre que la ecuación dada representa una superficie cilíndrica encontrando las ecuaciones de una directriz y un vector director de sus generatrices:

a) 04 =− ; Sugerencia: haga kzyz4xz2z5yx 222 ++++ = .

b) 02 =− ; Sugerencia: haga kxxz6xy8zy2x17 222 −−++ = .

c) 36yz8 ; Sugerencia: haga kyxy54z4y77x9 222 =+−−+ = .

7. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al plano OXY es siempre igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje OY. Construir la superficie.

)z,y,x(P

¿Qué son las coordenadas cilíndricas?

Si las generatrices de una superficie cilíndrica son perpendiculares al plano de su directriz, ésta se llama superficie cilíndrica recta y en caso contrario, se le llama superficie cilíndrica oblicua. Las superficies cilíndricas rectas son de gran importancia.

Por el procedimiento empleado aquí, se puede demostrar que la ecuación cartesiana de una superficie cilíndrica recta, cuyas generatrices son perpendiculares al plano coordenado de su directriz, carece de la variable no medida en ese plano (variable libre). Además, el lugar geométrico plano de esta ecuación es la directriz. Por ejemplo, la ecuación representa una superficie cilíndrica recta cuyas generatrices son perpendiculares al plano OXY y cuya directriz es la circunferencia de ecuaciones

; .

6

5

0

yyx 22 =−+

5 z =yyx 22 =−+

Si la directriz de una superficie cilíndrica es una circunferencia, la superficie se llama circular. De manera semejante, tenemos superficies cilíndricas parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Un plano también es una superficie cilíndrica cuya directriz es una recta.

Figura 10

Es propicio tratar aquí la relación entre las coordenadas cartesianas de un punto P en el espacio con sus coordenadas cilíndricas.

7

)z0

2

)

r

Sea P un punto arbitrario en el espacio cuya posición en coordenadas cartesianas o rectangulares es . Este punto, por la discusión anterior, pertenece a una superficie cilíndrica circular recta de radio r cuyo eje es el eje OZ (r representa la distancia de P al eje OZ). La ecuación de esta superficie es por lo tanto:

,y,x(P>

22 ryx =+ (1)

En la Figura 10 se muestra parte de esta superficie con en el primer octante. Si por P y el eje OZ hacemos pasar un plano, éste cortará a la superficie en una generatriz cuyo punto de intersección con el plano OXY será el punto Q. De modo que OQ y sea

z,y,x(P

= θ la magnitud del ángulo formado por el segmento OQ y la parte positiva del eje OX. Se obtienen entonces para P, las relaciones:

θ= cosrx ; θ= rseny ; zz = (2) Estas relaciones permiten entonces establecer la posición de cualquier punto P del espacio cuando se conocen

los tres números . Esta terna de números, listados en ese orden, se llama coordenadas cilíndricas del punto P y se escribe . Para que la terna represente la posición del punto P de manera unívoca, los valores de

z)

,,r θP z,,r( θ

r y deben restringirse, por convención, a los intervalos: θ

0r ≥ ; π<θ≤ 20 . Realizando algunos cálculos podemos establecer lo siguiente: Las coordenadas rectangulares y las coordenadas cilíndricas de un punto P en el

espacio están ligadas por las relaciones: )z,y,x( )z,,r( θ

zzθ= cosrx ; = θrseny ; = Se pueden efectuar transformaciones entre los dos sistemas coordenados por medio de estas

ecuaciones para obtener las siguientes relaciones inversas:

22 yxr += ; ⎟⎠⎞

⎜⎛=θ

yarctan 0x⎝ x

si ≠ , 2π

=θ 0x si = , ; 0y >2

3π= 0= 0<θ si x , y

22 yx

xcos+

=θ ; 22 yx

sen+

θy

= para x , y no nulas simultáneamente.

Las variaciones para r , , z están dadas por los intervalos: θ

0r ≥ ; ≤ θ < π20 Rz ; ∈ .

Observación: Debe tenerse presente que cualquier punto sobre el eje OZ está representado en coordenadas cilíndricas como para cualquier valor de

)z,0,0)z,,0(P θ

(P<θ≤ π20 .

¿Cómo establecer las ecuaciones paramétricas de una superficie cilíndrica?

Si S es una superficie cilíndrica y C es una de sus directrices, cualquier otra directriz C´ se obtiene a partir de C por medio de una traslación definida por un vector paralelo al vector director de sus generatrices. Este hecho nos da una manera de encontrar una parametrización para una superficie cilíndrica S:

Sea S una superficie cilíndrica y C una de sus directrices. Supongamos que C está definida por una función vectorial 3RI: →σ

r , donde I es un intervalo y dada por ))s(z),s(y),s(x()s( =σr para s . Entonces C tiene las

siguientes ecuaciones paramétricas: I

I

)

∈

s;)s(zz)s(yy)s(xx

:C ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

(1)

Sea c,b,a(v =r

un vector director de sus generatrices, entonces la función vectorial 3RRI:r →×r

definida por:

vt)s()t,s(rrrr

+σ= para Is∈ y Rt∈

es una parametrización de la superficie S.

R

8

Las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:

t,Is;tc)s(zztb)s(yyta)s(xx

:S ∈∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

(2)

Observaciones: • Para cada valor fijo que asuma la variable t ( 0tt = ) y todos los valores de s variando en I, los puntos

vt)s()t,s(r 00rrr

+ representan una copia C´ de la directriz C de la superficie cilíndrica S. Es decir, C´ es una traslación de la directriz C en la dirección, sentido y tamaño del vector vt0

r. Al variar continuamente

Rt∈ se obtiene copias sucesivas de C que constituirán la superficie S; es decir, S es el lugar geométrico de todas estas traslaciones (observe la Figura 1).

σ=

Por otra parte, para cada valor fijo que asuma la variable s ( 0ss = ) y todos los valores de t variando en los números reales, los puntos vt)s()t,s(r 00

rrr

I∈+σ= representa una generatriz de la superficie S. Al variar

continuamente se obtienen rectas paralelas, es decir, S es el lugar geométrico de la familia de todas

sus generatrices (observe la Figura 1). En particular, si

s

Otr

sr rrr

≠∂∂

× R∂∂ para cada I)t,s( ×∈ , éstas

directrices y generatrices conforman un sistema de posicionamiento para cualquier punto P sobre S. P se encuentra siempre en la intersección de una directriz y una generatriz, ( vt)s() 00t,s(rOP 00

rrr+σ== ).

• En realidad sólo podemos trazar una porción de la superficie cilíndrica. De modo que los parámetros s y t tomarán valores en intervalos cerrados y acotados: bsa ≤≤ y dtc ≤≤ . Además, en muchos problemas de trazado de la superficie, conviene utilizar, en la parametrización de S, un vector director unitario

)c,b,a(u =r

de las generatrices, esto es, 1c2 =+ (longitud unitaria). De manera que para

cada valor de t, el vector ut

ba 22 +u =r

r sea un múltiplo de t ( tut =

r), de este modo si dtc ≤≤ entonces la longitud

del segmento generatriz será cd − . Veamos esto en un ejemplo:

8. Establezca las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica S con las siguientes condiciones:

• Su directriz C, es la curva de ecuaciones 8y6z −+ ; 0xy2−= = para 4y2 ≤≤ .

• Sus generatrices tienen longitud de 2 unidades. • Un vector director de las generatrices es )0,1,1(v =

r.

Solución a la situación problemática planteada: Encontremos primeramente una parametrización de la directriz C. De acuerdo con la primera condición, de la

relación funcional entre las variables y, z, tenemos que:

4s2;8s6sz

sy0x

:C2

≤≤⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−=

==

Tomemos ahora el vector director unitario ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== 0,

21,

21)0,1,1(

21

vvr

r

ur

ut

. De manera que si las

generatrices tienen longitud 2 unidades, entonces el parámetro t del vector de traslación r

en la parametrización de S, satisface . Con esto, la familia de directrices se formará empezando con la directriz C y las demás siguen la dirección del vector

r. En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de S vienen dadas por:

2t0 ≤≤v

2t0,4s

8s6sz2

sy2tx

:S

2

≤≤≤≤

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+−=

+=

=

. 2;t

¿Cómo se traza, en la ClassPad, la gráfica de una superficie cilíndrica definida por sus ecuaciones paramétricas?

La Aplicación Gráficos 3D del menú de Aplicaciones Incorporadas de la ClassPad 330 permite trazar la gráfica de una superficie definida por sus ecuaciones paramétricas:

))t )t en un rectán

⎪⎩

⎨==

t,s(zz,s(yy⎪

⎧ = )t,s(xx para ,s( gulo [ ] [ ]d,cb,a × .

9

sta aplicación para trazar la gráfica de la superficie cilíndrica del ejemplo precedente:

Utilicemos e

9. Operación con la ClassPad.

(31) Con el lápiz táctil toque en el panel de iconos y luego toque para activar la Aplicación Gráficos 3D. • Aparecerá una pantalla dividida presentando la ventana del editor de

erior) y la ventana de gráficos 3D (ventanainferior).

(32) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar las

gráficos 3D (ventana sup

ventanas de la aplicación.

(33) Toque [Formato 3D]. En el cuadro de diálogo toque [Defecto] [Def.].

ntas toque el bo

• Esta es la configuración por defecto del formato 3D (Figura 3).

(34) En la barra de herramie tón para activar en el editor la

• El botón

modalidad paramétrica.

cambia a anunciando que se ha pasado de la

)t

representación rectangular )y,x(fz = a representación en ecuaciones

paramétricas ⎪⎩

⎨==

s(zz)t,s(yy (Figura 12). ⎪

,

⎧ = )t,s(xx

(35) Oprima y toque la solapa .

• Observe que en la barra de erramientas aparecen los botones h y .

superficie. Estos botones se usan para editar las ecuaciones paramétricas de la

(36) Registre en el recuadro de la línea de edición Xst1: la expresión 2t .

Toque .

(37) Registre en el recuadro de la línea de edición Yst1: la expresión 2ts + .

Toque . (38) Registre en el recuadro de la línea de edición Zst1: la expresión

8s6s2 −+− . Toque . ta manera han quedado almacenadas las ecuaciones paramétricas. • De es

Figura 11

Figura 12

Figura 13

10

s necesario tener una idea de la extensión que ocupa en el perficie que queremos trazar.

(39) En la ba que el bo

• Antes de trazar la gráfica de la superficie, es necesario configurar los parámetros de la Ventana de Visualización. Para configurar estos parámetros eespacio la su

rra de herramientas to tón para acceder directamente

10

de visualización en el plano

0: ; 2:Máxz • Con estos parám intervalo de visualización de la

variable z mayor que el intervalo de variación (Figura 14).

En la barra de herramientas

a la ventana de visualización. (40) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

0 ; :Máxx

0 ; :Máxy

:Mínx

:Míny

3 ; :xjillaRe

; 10:yjillaRe6

• Con estos parámetros declaramos un intervalo de visualización para la variable x y un intervalo de visualización para la variable y. Observe que estos intervalos son mayores a los intervalos de variación de ambas variables. Esto define un rectángulo base OXY. Los valores de rejilla indican que la superficie debe dibujarse con 10 directrices y 10 generatrices.

(41) En el mismo cuadro de diálogo configure los parámetros: Mínz

etros se indica un

(42) A la derecha de la ventana de visualización deslice la barra de desplazamiento hasta el final y configure los siguientes parámetros:

2:s.mím ; 4:s.máx ; 0:t.mín ; 2:t.máx

• Con estos parámetros estamos indicando los intervalos de variación de las variables s y t, respectivamente.

(43) Toque [Acep.].

(44) toque para trazar la gráfica de la

superficie. Toque para maximizar la ventana. • Aparece la gráfica de la superficie cilíndrica.

(45) Toque varias veces e tón l bo pa ar tos. ra realiz alejamien

(46) Toque varias veces el botón para realizar acercamientos. e • Estas funcion s de amiento y acercamiento de la gráfica de la

superficie pueden realiza primiendo, respectivamente, las teclas alej

rse o y del teclado físico de la calculadora.

(47) En la barra de menús toque [Zoom]. • enú despl os En el m egable aparecen los comand

que realizan las mismas funciones de acerca[Aumentar] y

miento y alejamiento. perficie a los

o 3D para

[Reducir]

(48) Toque [Visualización inicial] para regresar la gráfica de la suparámetros iniciales. • Realicemos modificaciones en los parámetros del Format

visualizar las direcciones de los ejes coordenados, las etiquetas de los ejes y las flechas del controlador de gráfico.

(49) Toque [Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en el recuadro [Ejes], toque el botón y seleccione la opción [on] para

activar las direcciones de los ejes de coordenadas.

(50) De manera análoga, en el recuadro [Etiquetas], toque el botón y seleccione la opción [on] para activar las etiquetas de los ejes.

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

11

l cuadro de diálogo toque el recuadro de verificación (51) En la parte inferior de para activar el [controlador G].

(52) Toque [Def.] para confirmar los cambios introducidos y regresar a la ventana de gráficos 3D. • Aparecen en pantalla los ejes coordenados, las etiquetas de los ejes y la

flechas del controlador de gráfico (▲, ►, ▼, ◄) (Figura 17). (53) En la barra de menús toque [Rotar ►] [Izquierda→Derecha].

• Observe la gráfica de la superficie rotando de izquierda a derecha.

(54) En el panel de iconos toque para detener la rotación. (55) De igual manera active las demás rotaciones del submenú [Rotar ►]. (56) Toque [Zoom] [Visualización inicial].

na de gráficos 3D, permiten rotar manualmente la

bserve cada

punto

• Las flechas del controlador de gráfico (▲, ►, ▼, ◄) que se encuentran a cada lado de la ventagráfica de la superficie cada vez que reciben un toque.

(57) Toque varias veces cada una de las flechas del controlador y ouno de los movimientos que realiza la gráfica de la superficie. • También puede visualizarse la gráfica de la superficie desde un

situado en el semieje positivo OX. (58) Toque [Zoom] [Visualizació . n x](59) Toque [Zoom] [Visualización y].

• Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el semieje positivo OY.

(60) Toque [Zoom] [Visualización z]. • Se visualiza la gráfica de la superficie desde un punto situado en el

semieje positivo OZ. (61) Toque [Zoom] [Visualización inicial].

(62) Toque [Formato 3D]. Aparece el cuadro de diálogo. A la derecha en el recuadro [Ejes], toque el botón y seleccione la opción [cuadro] y

perficie dentro de la caja rectangular. luego toque [Def.] para situar la su

(63) Oprima varias veces la tecla y toque la flecha ► (Figura 18). • En esta caja puede apreciarse la dirección del vector )0,1,1(v =

r que

icie desde un p en el bién la dirección que siguen las

n.

siguen las generatrices. (64) Toque [Zoom] [Visualización z].

• Se visualiza la gráfica de la superfsemieje positivo OZ, observe aquí tam

unto situado

generatrices. (65) Toque [Zoom] [Visualización inicial]. (66) Realice alejamientos para visualizar completamente la caja de visualizació

(67) Toque el botón . los siguientes ajustes: Realiceángulo θ : 40 ; ángulo φ: 70

• Estos son los ángulos de visuamostrada en la Figura 20. Est

lización. Obtendrá una pantalla como la a es la posición como generalmente se

presentan las gráficas de las superficies en los textos de cálculo.

Figura 18

Figura 19

Figura 20

10. Trace la gráfica del cilindro circular oblicuo cuya base es la curva de ecuaciones 9yx 22 =+ ; 0z = y cuya altura es de 5 unidades. Las generatrices siguen la dirección del vector )1,1,1(v =

r.

12

Solución a la situación problemática planteada:

La curva de ecuaciones 9yx 22 =+ ; 0z = es la generatriz C de la superficie ci

e escribirse de manera equivalente como

líndrica S. La primera ecuación

pued 13yx 22

=⎟⎞

⎜⎛+⎟

⎞⎜⎛ , lo que co

3 ⎠⎝⎠nstituye una suma de cuadrados igual a

la unidad, de manera qu de coordenadas en la directriz, existe un ángulo de

magnitud s tal que

⎝ier punto e para cualqu )0,y,x(

)scos( ; 3x= )s( ; zsen

3y= 0= o bien, )scos(3x = ; )s(sen3y = ; 0z = con π≤≤ 2s0 .

Luego, las ecuaciones paramétricas de C vienen dadas por:

con ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0z)s(sen3y)scos(3x

:C π≤≤ 2s0 .

Por otra parte, la traslación de la directriz para cualquier valor de t, en la dirección del vector r

vien

ada p

)1,1,1(v = e

d or ⎟⎟⎠

⎞. Dado que la altura del cilindro, medida verticalmente, debe ser d s, si

nos bre

OX

⎜⎜⎝

⎛=

3t,

3t,

3tut

re 5 unidade

des so0t = encontraremos en la directriz C, Para encontrarnos sobre la directriz a la altura de 5 unida el

Y, la tercera coordenada debe ser igual a 5, esto es, plano 5t= o equivalentem

3ente, 35t = . En

consecuencia las ecuaciones paramétricas de S son:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨3

)s(sen3y

t

:S

⎪⎧

=

+=

+=

3tz

t3

)scos(3x

para π≤≤ 2s0 y 35t0 ≤≤ .

Trazado de la gráfica del cilindro:

11. Operación con la ClassPad.

(68) Toque para activar la ventana del editor de gráficos 3D.

i(69) Opr ma y toque la solapa . En la parte inferior de este teclado

toque para acceder al teclado trigonométrico. Toque . (70) Registre en el recuadro de la línea de edición Xst2: la sión expre

3t)scos(3 Toque+ . .

(71) Registre en el recuadro de la línea de edición Yst2: la expresión

3. Toquet)s(sen3 + .

(72) Registre en el recuadro de la línea de edición Zst2: la expresión 3

. t

Toque . • Configuremos ahora los parámetros de la ventana de visualización:

Observe que al vari π2ar ≤≤ s0 y 3 , el cilindro se encontrará definida

5t0 ≤≤en el primer octante, en la caja por [ ] [ ] [ .

]5,08,38,3 ×−×−

Figura 21

13

(73) En la barra de herramientas toque el botón para acceder directamente

• Esto configura la caja d

a la ventana de visualización. (74) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

3:Mínx − ; 8:Máxx ; 20:xjillaRe

3:Míny − ; 8:Máxy ; 20:yjillaRe

z 0:Mín ; 5:Máxz e visualización [

Figura 22 ] [ ] [ ]5,08,38,3− × − × (Figura 22).

π2 ; 0:t.mín ;

(75) Configure ahora los siguientes parámetros:

0:s.mím ; :s.máx 35:t.máx

• s s y t (Fig. 23). Esto configura los intervalos de variación de las variable(76) Configure los parámetros: ángulo θ : 20 ; ángulo φ: 70 y toque [Acep.].

(77) Toque para maximizar la ventana de gráficos 3D.

c

• Aparece la gráfica de la superficie cilíndrica dentro de la caja.

(78) Oprima varias veces la te la para realizar alejamientos. • Podemos apreciar el cilindro circular oblicu cción del

Figura 23

o en la dire vector )1,1,1(v =

r.

• Para verificar la altura del cilindro podemos utilizar el comando [Trazo].

un cursor en a de c sobre la superficie cilíndrica. En la parte inferior de la pantalla se mue n las coordenadas x, y, z del punto donde se ubica el cursor sobre la sup cie y los valorecorrespondientes a los paráme s s y t.

rolador de gue el va

(81) Toque

(79) En la barra de menús toque [Análisis] [Trazo]. • Aparece form ruz

straerfi s

tro(80) Toque varias veces la flecha ▲ del cont ráficos hasta ubicar el

cursor en la última directriz. Observará q lor mostrado para la coordenada z es 5 (Figura 23).

para desactivar la modalidad de zo. tra

Figura 23

Podemo zar la gráfica de una superficie cilíndrica cuya directriz C no es una curva plana. Si se conocen las

odemos utilizar las ecuaciones paramétricas de S es no debe seguir una dirección que obligue

s traecuaciones paramétricas de C y la dirección de las generatrices pexpuestas aquí. La única restricción en este caso, es que las generatrica la superficie a cortarse a si misma (debe ser Ovt)s(

rrr≠×σ para cada RI)t,s( ∈ × ), dado qu cho hace e este he

perder a S su condición de superficie cilíndrica. Veamos el siguiente ejemplo:

12. Trace la gráfica de la superficie cilíndrica cuya directriz tien s e las siguientes ecuacioneparamétricas:

⎪

⎪⎨

⎧π=

=/sy

)scos(4x:C para

⎩ = )s(sen6zπ≤≤ 2s0 .

La dirección de las generatrices está determinada por el vector )0,1,0(u = ,

tome 5t0 ≤≤ .

Solución a la situación problemática planteada:

) para

De acuerdo a los datos las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica S vienen dadas por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+π=

=

s(sen6zt/sy)scos(4x

:S π≤≤ 2s y 00 5t≤ ≤

Trazado de la gráfica de S:

13. Operación con la ClassPad.

(82) Toque para activar la ventana del editor de gráficos 3D.

14

(83) Oprima y toque la solapa . En la parte inferior de este teclado toque para accede

ventanar al teclado trigonométrico.

4) Registre en la del editor de gráficos 3D las ecuaciones paramétricas de la superficie S:

(8

(85) En la barra de herramientas toque el botón para acceder a la ventana

En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros: 4:Mínx − ; 4:Máxx ; 20:xjillaRe

0:Míny ; 7:Máxy ; jillaRe

:Mínz − 6: e visuali

de visualización. (86)

20:y

6 ; Máxzzación • Esto configura la caja d [ ] [ ] [ ]6,67,4,4 0 −××− .

(87) Configure de visualización: ángulo θ : 20 ; ángulo φ: 70

etros: 0:s.mím ; π2:s.máx ; mín 5:t.máx

los parámetros

(88) Configure los siguientes parám0:t. ;

• Esto configura los intervalos de variación de las variables s y t. (89) Toque [Acep.].

Toque (90) para maximizar la ventana de gráficos 3D. • Aparece la gráfica de la superficie cilíndrica dentro de la caja.

(91) Toque varias veces el botón para realizar alejamientos. (92) En la barra de men →ús toque [Rotar ►] [Izquierda Derecha].

superficie deizquierda a derecha.

(93) En el panel de iconos toque

• Esto activa automáticamente la rotación de la gráfica de la

para detener la rotación. (94) enú [Rotar ►] De igual manera active las demás rotaciones del subm

(95) Toque para detener la rotación.

Figura 24

Figura 25

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:

14. Trace la gráfica de cada una de las siguientes superficies cilíndricas con las condiciones dadas y ctive la modalidad de rotación automática para con los parámetros de visualización que se indican. A

visualizar la superficie:

a) Condiciones:

• Su directriz C es la curv de ecuaciones a

15

1yx 22=− ; 0z

44= para 2y2 ≤≤− .

• Sus generatrices tienen longitud de 4 unidades. • Un vector director de las generatrices es )1,0,0(v =

r.

Sugerencia: Use para C las ecuaciones paramétri ))s(

cas ⎪⎩

⎪⎨

==

0zstan(2y:C

⎧ = sec2x con

4≤≤

π− .

2:Mínx ; 3:Máxx ; 20:xjillaRe ; 2:Míny

s4

π

− ; 2:Máxy ; Re 20:yjilla ; 0:Mínz ; 4:Máxz ; − ;

b) Condiciones:

nes 4zx 22

4/π ; máxs:míns 4/: π ; 0:mínt 4:máxt .

• Su directriz C es la curva de ecuacio + = ; 0y = .

• Sus generatrices tienen longitud de 3 unidades. • Un vector director de las generatrices es )1,2,0(v −=

r.

2:Mínx − ; 2:Máxx ; 20:xjillaRe ; 0:Míny ; 3:Máxy ; 20:yjillaRe ; 4:Mínz − ; 3:Máxz ; 0:míns ; π2:máxs ; 0:mínt ; 3:máxt

y2

.

c) Condiciones:

• Su directriz C es la curva de ecuaciones x4= ; 0z = para 4y4 ≤≤− .

• Sus generatrices tienen longitud de 4 unidades. • Un vector director de las generatrices es )1,1,1( −=v

r.

0:Mínx ; 7:Máxx ; 20:xjillaRe ; 7:Míny − ; Máxy 4: 20: ; 0:Mínz ; 3:Máxz ;

d io

z son

⎪

⎪⎨

⎧−=−=

)s(sen))scos(1(2y)scos())scos(1(2x

:C para

; yjillaRe4:míns − ; 4:máxs ; 0:mínt ; 4:máxt .

) Condic• Las ecu

nesion tri la d:

ac es paramé cas de irectri :

⎩ = 0z≤ ≤ π2s0 .

• Sus generatrices tienen longitud 4 unidades. • Un vector director de las generatrices es )0,0,1(v =

r.

5.4: − ; 5.1:Máxx 20:xjilla ; 3:MínyMínx ; Re − ; 3:Máxy 20:yjilla ; 0:Mínz ; 4:Máxz ; 0:míns ; π2:máxs ; 0:mínt ; 4:máxt .

; Re

e) Condiciones: • Las ecuaciones paramétricas de la directriz son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎧ = )s2co)scos(2x⎨

==

)s2cos()s(sen2z0y: para

s(C π≤≤ 2s0 .

• Sus generatrices tienen longitud 2 unidades. rector de las generatrices es )0,1,0(v =• Un vector di

r.

2: ; 10:yjillaRe ; 2:Mínz − ; 2:Máxz ; ;

f) Condiciones:

n:

=))))s(ns(3y:C para

2:Mínx − ; 2:Máxx ; 60:xjillaRe ; 0:Míny ; Máxy0:míns π2:máxs ; 0:mínt ; máxt 2: .

• Las ecuaciones paramétricas de la directriz so

⎪⎨

−= sos(1(3z⎩

−cse⎪

⎧ = 0xπ≤≤ 2s0 .

Sus generatrices tieneUn vector director de las 0,1(=

• n longitud 6 unidades. generatrices es v• )0,

r.

0:Mínx ; Máxx0:míns ; máx

6: ; 20:xjillaRe ; 0:Míny ; 19:Máxy ; 20:yjillaRe ; 0:Mínz ; 6:Máxz ;

• Las ecuaciones paramétricas de la directriz son:⎧ =

s

)s(cos3x 3

ara

π2:s ; 0:mínt ; 6:máxt .

g) Condiciones:

⎪⎪⎩ = )(sen3z 3

⎪⎪⎨ = 0y:C p ≤ ≤ π2s0 .

• Sus ge trices ti n• Un vector director la ,1(=

nera ene unidades. de

longitud 3 s generatrices es v )1,1

r.

3:Máxy ; 3:Mínx − ; M

16

5:áxx ; Re 0: ; 15:yjillaRe ; 3:Mínz − ; 5:Máxz ;

30:xjilla ; Míny0:míns ; π2:máxs ; 0:mínt ; 3:máxt .