Cálculo de Volumen
description
Transcript of Cálculo de Volumen
![Page 1: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/1.jpg)
Cálculo de Volumen
Integral
![Page 2: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Habilidades
1. Identifica los dos tipos de regiones regulares con respecto a los ejes coordenados.
2. Calcula área entre curvas.3. Calcula volúmenes por el método de las
secciones transversales.4. Calcula volúmenes por el método del disco.5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.
![Page 3: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/3.jpg)
3
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.
![Page 4: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Ah
Cilindro RectoV = Ah
r
h
Cilindro circularV = r2h
ab
c
ParalelepípedoRectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores
![Page 5: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.
![Page 6: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Diferencial de volumen
∆xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
iii xxfV 2 iii xxfV 2
![Page 7: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/7.jpg)
7
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i ini
b
a
V f x x
f x dx
![Page 8: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
![Page 9: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.
y
![Page 10: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/10.jpg)
10
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.
y
xyyxR2
0;41/, 2
![Page 11: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
d
c
dyygV 2 d
c
dyygV 2
![Page 12: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Método de la arandelaCuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
Diferencial de volumen
f(xi)g(xi)
xi
ii xxgxfV 22 ii xxgxfV 22
a bx
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)
![Page 13: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/13.jpg)
13
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i ini
b
a
V f x g x x
f x g x dx
![Page 14: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
![Page 15: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Ejemplo 5:
![Page 16: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
![Page 17: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Ejemplo 7:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.
Método de los cascarones cilíndricos
![Page 18: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Método de los cascarones cilíndricos
En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?
![Page 19: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/19.jpg)
19
xixi
f(xi)
Diferencial de volumen
xi xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:
iiii xxfxV 2 iiii xxfxV 2
![Page 20: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/20.jpg)
20
![Page 21: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/21.jpg)
21
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:
dxxfx
xxfxV
b
a
i
n
iiix
2
2lim1
dxxfx
xxfxV
b
a
i
n
iiix
2
2lim1
![Page 22: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.
![Page 23: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.
y = -3
![Page 24: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/24.jpg)
24
x
xi
A(b)
A(a)
ba xi
A(xi)
El diferencial de volumen
A(xi)
xi
Vi = A(xi) xi
Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución
![Page 25: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/25.jpg)
25
El volumen del sólido será aproximadamente:
Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann
![Page 26: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Ejemplo 10: Calcular el volumen de una esfera de radio R.
x
y
x
Ry
![Page 27: Cálculo de Volumen](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051623/56815a0c550346895dc75888/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Ejemplo 11: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.
h
b
yi