CALCULO DEL POTENCIAL ELECTRICOPARA DISTRIBUCIONES DE CARGA1. Potencial en el eje de un anillo cargadoDividimos el aro en elementos de lnea, cada uno con la carga dq. El potencial creado en un punto P del eje por cada uno de estos elementos de lnea es

siendo r la distancia desde el elemento de lnea al punto P del eje. Como es una circunferencia, todos sus puntos estn a la misma distancia del punto. La magnitud k es la constante de Coulomb.

El potencial en el punto P creado por cada elemento de lnea es

El potencial total es la integral del potencial creado por cada elemento de lnea

Al recorrer el aro, todas las magnitudes que aparecen son constantes. Por tanto

El resultado de la integral es la carga completa del aro. Por tanto la solucin es

2. Potencial en el eje de un disco uniformemente cargadoSupongamos que un disco de radio a est ubicado sobre el plano xy y centrado en el origen. Vamos a determinar el potencial en cualquier punto del eje del disco (eje z) considerando que para z , el potencial V 0.

Podemos recurrir a la expresin del campo elctrico. A partir del trabajo necesario para traer una carga de prueba desde el infinito hasta un punto en el eje z, y de la definicin de diferencia de potencial elctrico aplicamos:

En este caso consideramos conocida la expresin:

Como , entonces la integral queda

Pero, no se podr calcular el potencial directamente a partir de la distribucin de carga, sin tener que utilizar la expresin del campo? Para una carga puntual o para un sistema de cargas puntuales esto es bastante simple:

Donde es el vector posicin del punto en el cual queremos calcular el potencial V. Es decir el punto campo. Los son los vectores posicin de las N cargas puntuales (puntos fuente)

Si la distribucin de carga es continua la sumatoria se transforma en una integral y cada carga puntual en un elemento infinitesimal de carga. En nuestro caso en que la carga est distribuida superficialmente quedar as:

Por la simetra cilndrica que presenta la distribucin de carga, utilizaremos coordenadas cilndricas:

Las variables r` y ` son independientes entre s, de esta manera la integral doble se puede plantear como un producto de integrales. Adems la densidad de carga es uniforme sobre la superficie del disco, es decir no es funcin ni de r` ni de `. Para las integrales, es una constante puede salir fuera de la integral.

Algo importante para destacar: El potencial elctrico es una magnitud escalar, lo que hace que su clculo sea mucho ms simple que el clculo del campo elctrico que es una magnitud vectorial.

Proseguimos con el clculo de las integrales

3. Potencial de un plano infinitamente cargadoUn plano infinito con densidad de carga de superficiecrea un campo elctrico saliente en la direccin perpendicular al plano de valor constante

Si x es la direccin perpendicular al plano y ste se encuentra en x=0 el potencial elctrico en todo punto x es igual a:

Donde se ha considerado como condicin de contorno V(x)=0 en x=04. Potencia en el interior y exterior de una corteza esfricaCuando una carga experimenta un desplazamiento dl en un campo elctrico E, la variacin de energa potencial electrosttica es:

La variacin de energa potencial es proporcional a la carga testigo; la diferencia de potencial es la energa potencial por unidad de carga, esto es:

Por tanto, el clculo del potencial se obtiene por integracin de la expresin anterior.

En el caso de la corteza conductora hemos calculado el campo elctrico tanto en su interior como en el exterior por aplicacin del teorema de Gauss.Fuera de la corteza, el potencial elctrico es:

El potencial elctrico decrece con la distancia. Como en el interior de la corteza el campo elctrico es nulo, en dicha regin el potencial elctrico es constante e igual a:

5. Potencial debido a una carga lineal infinitaA partir del campo debido a un hilo infinito

no podemos escoger V0 ,pero tomamos a como el punto donde V=0, o sea