CALCULO DIFERENCIAL.-
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Escuela Superior Politécnica del LitoralInstituto de Ciencias Matemáticas
CÁLCULO DIFERENCIAL Examen de la primera evaluación I término 2009‐2010
10 de julio de 2009
SOLUCIÓN Y RÚBRICA DEL EXAMEN
NOTA: En los ejercicios que involucren el cálculo de límites, NO ESTA PERMITIDO la aplicación de la regla de L’Hopital
Tema 1
Califique cada una de las siguientes proposiciones como Verdaderas o Falsas. Justifique su afirmación.
a. (4 puntos) Si es una función de variable real con regla de correspondencia , entonces tal que | |
1 0
1 1
| | 1
Por lo tanto la proposición es VERDADERA 1.
Se puede observar que:
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos coherentes que conduzcan a
determinar la cota o califica correctamente la proposición sin
justificar
Grafica parcialmente la función (o intenta
realizar un acotamiento a la función)
Realiza la gráfica de la función correctamente
(o realiza un acotamiento de la misma por procesos algebraicos) y no
concluye
Califica correctamente la proposición
mostrando procesos correctos y completos, e indicando un valor de
M válido
0 1 2‐3 4
b. (4 puntos) lim
1
Considere por lo que:
lim 1
1
lim
0
Por lo tanto la proposición es FALSA.
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No de esos
dete e o
Realiza io de v
est a
Eval nte
em
Calific ente
mo os c
sarrolla proccoherentes que conduzcan a rminar el límit
califica correctamente la proposición sin
justificar
un cambariable pertinente quepermita transformar la función original a otra con límite conocido en
el punto dado (o ablece alguna cota
la función g(x)=sen(x)) pero no es consistente con la tendencia de la
nueva variable.
úa correctameel límite de la función por simple inspección
(o aplicando el teorema del paredado) y noconcluye
a correctamla proposición strando proces
orrectos y completos
0 2‐3 4 1
c. (4 puntos) lim 0 1
1 1, 1 00, 1 0
1, 1 10, 1 1
1, 20, 2
lim 1 1
lim 1 0
Por lo tanto:
lim 1 no existe
Desempeño
Por definición:
Por lo que:
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente No de esos
dete e o
Realiza de la
def n
r
Aplic de
co
Calific ente
c
sarrolla proccoherentes que conduzcan a rminar el límit
califica correctamente la proposición sin
justificar
la gráficafunción interna o intenta aplicar la inición de la funció
escalón unitario pero se equivoca en la esolución de lasdesigualdades.
a la definiciónla función escalón
unitario (o por medio gráfico) y evalúa los limites unilaterales rrectamente pero no
concluye
a correctamla proposición
mostrando procesos orrectos y completos
0 2‐3 4 1
d. (4 puntos) Sea una función continua en todos los reales cuya regla de correspondencia se expresa como:
, ,
, 0 , 0
La función es continua en 0, sin embargo no es derivable en 0.
Desempeño
entonces es derivable en .
La proposición es FALSA.
Contraejemplo:
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente No de esos
deter ción
co
Muest ca de
con os
f
c (de x))
co s
m
Calific ente
m
(def ) y
sarrolla proccoherentes que conduzcan a minar si la fun
es continua en el punto x=0 o califica rrectamente la
proposición sin justificar
ra la gráfialguna función pero la misma no cumple con
la hipótesis de tinuidad en tod
los reales, o no define expresamente las unciones g(x) y h(x)
Establece un ontraejemplo
finiendo g(x) y h(la misma que es ntinua en todos lo
reales pero no justifica completamente si la isma es derivable en
x=a.
a correctamla proposición ostrando algúncontraejemplo iniendo g(x)y h(x)
estableciendo la validez del mismo.
0 1 4 2‐3
Tema 2
Calcule cada uno de los siguientes límites
a. (5 puntos) lim
lim1
1 5 5
lim1
1 5 5
lim1
5 1 55 5 5
5
lim1
5 1 55 5 5
5
lim
Se conoce que:
0 , lim 1 , lim 0 , lim 1
lim1
1 5 5
Por lo tanto:
15
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No de esos
det ite
Agrupa mente
de el
Proce ción
ad y
deno una
estab
si
Evalúa ente sarrolla proccoherentes que conduzcan a erminar el lím
adecuadalos términos, pero no muestra procesos adicionales que conlleva a la terminación d
límite.
de a la agrupade términos ecuadamentedivide tanto al numerador y minador, para
expresión que conduce a límites de funciones
conocidas, leciendo su valor,
pero se equivoca al mplificar la expresión
resultante.
correctamel límite dado
0 1‐2 5 3‐4
b. (5 puntos) lim √
lim√ 1 1
2
lim√ 1 1
2
√ 1 1√ 1 1
lim1 1
2 √ 1 1
lim2
2 √ 1 1
lim1
√ 1 1
Por lo tanto:
lim√ 1 1
212
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No de esos
de
Mul nto d
num fica
d
sim la e c
Calcul ente
pr y
sarrolla proccoherentes que conduzcan a la terminación de lo
solicitado
tiplica, taenominador comonumerador, por la conjugada del erador y simpli
términos semejantes, pero no simplifica los
factores del enominador ynumerador.
Procede a la plificación de
xpresión resultante yalcula el límite, pero se
equivoca en la evaluación
a correctamel límite mostrado ocesos coherentes
correctos
0 3‐4 5 1‐2
c. (5 puntos) lim | |
Se conoce que:
| 4| 4, 4 4, 4
| 4| 4 4
lim| 4| 1
3
Observe que, debido a que se solicita el límite de la función cuando x tiende a 3, entonces para valores cercanos a 3 se tiene que:
Por lo que:
lim4 1
3
lim3
3
Por lo tanto:
lim| 4| 1
31
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No de esos
det ite
Aplica ón de
abs er
corre de la
compo de la
p
Evalúa ente sarrolla proccoherentes que conduzcan a erminar el lím
la definicila función valor oluto para obten
la regla de spondencia
función por la derecha y la izquierda del punto x=2, pero se equivoca al escoger la expresión
resultante.
Analiza el rtamiento
función por la derecha y por la izquierda del unto x=2 y calcula loslímites, pero no
concluye
correctamel límite solicitado
0 3‐4 5 1‐2
d. (5 puntos) lim √ 8 9 √ 8 9
lim
8 9 8 9
lim
8 9 8 98 9√ √ 8 9
√ 8 9 √ 8 9
lim
8 9 8 9√ 8 9 √ 8 9
lim
16√ 8 9 √ 8 9
lim
16
√ 8 9 √ 8 9
lim
16
√ 8 9 √ 8 9
lim
16
8 9 8 9
lim
16
1 8 9 1 8 9
Por lo tanto:
lim
8 9 8 9 8
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos coherentes que conduzcan a la
dete lo
Multiplica y divide por la conjugada y procede a la simplificación expres
p
Procede a dividir tanto numerador como
minador para la x
e
Determina el límite solicitado
correctamente mos el rminación de
solicitado
de la
denomáxión resultante
ero no realiza artificiosadicionales que permita
calcular el límite solicitado.
ima potencia desimplificando la
expresión resultante (máximo 3 puntos) y calcula el límite (4 puntos), pero se
quivoca en los cálculos
trando todoproceso.
0 5 1‐2 3‐4
Tema 3
a. (5 puntos) Sea la función con regla de correspondencia , 0
, 0. De ser
posible hallar el valor de para que sea continua en 0.
lim
1 3
Considere:
1
1
13
1
Por lo que:
lim
1 3
lim 1
3 1
lim
31
1
lim
3
11
3
lim
11
Por lo tanto:
lim
1 3
3
3
Desempeño
Por lo que:
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente No desarrolla procesos
coherentes que conduzcan a la
determinación de lo
Aplica el cambio de variable pertinente que permita transformar la función original encon lím punto x
v
n
Realiza manipulaciones algebraicas a la función transformada con el fin
tener el límite en el p se
Determina correctamente lo
solicitado mostrado el desarrollo completo y correc cicio. solicitado
otra de obite en el
=0 conocido, pero seequivoca en la
tendencia de la nueva variable, o determina el alor de A calculando ellímite directamente sin
ingún proceso.
unto x=0, peroequivoca en algún
cálculo (por ejemplo no evalúa el logaritmo natural a la expresión
resultante)
to del ejer
0 5 1‐2 3‐4
b. (5 puntos) Utilizar la definición formal de límites para demostrar que lim √ 1 1
Determinemos un tal que
0 | 2| √ 1 1
que: Puesto
| 2| | 1 1|
√ 1
1 √ 1 1
como
√ 1Y
1 1 Entonces:
| 2| √ 1 1 √ 1 1
√ 1 1
Reescribiendo lo anterior se tiene que:
√ 1
1 | 2| √ 1 1
Por lo tanto:
esempeño DInsuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos coherentes que co
determinación de lo solicitado
Establece la definición de límite para la
función dada e intenta establecer la relación entre delta y épsilon.
Realiza un acotamiento que permite
establecer la relación entre el antecedente y el consecuente de la
nición de límite, pero n el
Demuestra correctamente el límite
de la función dada estableciendo
claramente la relación entre delta y épsilon
nduzcan a la lo
defi se equivoca eacotamiento.
0 1‐2 3‐4 5
c. puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la región , siendo
, /0 3
(4
,
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos coherentes que
Identifica la gráfica de alguna de las
conduzcan a la determinación de lo
solicitado
ecuaciones pero se equivoca
significativamentelos pa de la
esta de l radio recta
Bosqueja correctamente la
gráfica de la circunferencia, así
la de las rectas, per la reg a.
Sombrea correctamente la región
solicitada,
en comorámetros
misma (por ejemplo, no blece el centro
a circunferencia ni elo coloca la
en una posición incorrecta)
o no sombreaión solicitad
0 4 1 2‐3
Tema 4
a. puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la gráfica de una función que umpla con las siguientes condiciones:
0 0 0 | | | 3|
0 0 0 3
0 0 0 3
1 |
0 0 | |
(5c
0 0 |
Desempeño Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos coherentes que conduzcan a la
deter inación de lo licitado
Interpreta correctamente las
definiciones formales de límites dadas, pero
no realiza la interpretación gráfica
de las mismas
Grafica las asíntotas oblicuas y verticales y a lo mucho 2 de las otras condiciones de límites
propuestas
Grafica correctamente la función solicitada, mostrando claramente las asíntotas verticales y oblicuas así como las otras condiciones establecidas.
mso
0 1‐2 3‐4 5
b. (5 puntos) Cons
ider con n
i.
e la gráfica mostrada a tinuación de una funció de variable real
estime, de ser posible:
12
∆∆
0,60,2
3
ii.
1∆∆
1
30.4
7,5
iii.
12
∆∆
10,8
1,25
iv.
1∆∆
1
11
1
v. 2 No es derivable en 2
o s aplica en cada literal del ejercicio.
Desempeño
Est e
Insuficiente Regular Excelente No desarrolla procesos
coherentes que conduzcan a la determinación de lo solicitado
Grafica de manera coherente la recta
tangente a la curva en cada punto dado (excepto en el quinto literal en el
cual la derivada no existe), pero se equivoca
significativamente en la estimación de la
pendiente de la recta tangente (por ejemplo, no considera el signo de la pendiente, o escoge
valores que no se ajusta a la recta graficada por el
estudiante)
Grafica y estima adecuadamente el valor de la pendiente de la recta tangente (excepto en el quinto literal en el cual la derivada no existe)
0 0,5 1