Cálculo diferencial

NOTAS DE CLASE

Ivan Leonardo Galeano Saavedra

2009

Indice general

1. Introduccion 31.1. Logica Proposicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Terminos de Enlace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Tautologıas y Contradicciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Cuantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Teorıa de Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Operaciones entre Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Conjuntos Numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Numeros Naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Numeros Enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Numeros Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. Numeros Irracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5. Numeros Reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.6. Numeros Imaginarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.7. Numeros Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Axiomas de Cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Axiomas de Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. Subconjuntos de Reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.1. Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2. Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.3. Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Plano Cartesiano. 272.1. Algunos Subconjuntos de R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.1. Distancia entre dos Puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2. Punto Medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1. Ecuacion de la Recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2. Rectas Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3. Rectas Perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1. Circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2. Parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

iv INDICE GENERAL

2.3.3. Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.4. Hiperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Relaciones y Funciones 53

3.1. Relaciones en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2. Transformaciones de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2.3. Operaciones entre Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.4. Propiedades de Las Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4. Lımites y Continuidad. 79

4.1. Tangente a una Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Lımite de una funcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3. Lımites Laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4. Calculo de Lımites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.6. Lımites que Comprenden el Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.6.1. Lımites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.6.2. Lımites en el Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.6.3. Lımites Infinitos en el Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.6.4. Asıntotas (repaso). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5. Derivadas. 113

5.0.1. Tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.0.2. Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1. Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2. La Derivada Como Funcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3. Derivadas de Orden Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4. Reglas de Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4.1. Derivadas de Polinomios y Funciones Exponenciales. . . . . 125

5.4.2. Reglas del Producto y del Cociente. . . . . . . . . . . . . . 130

5.5. Derivadas de las funciones Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . 134

5.6. Regla de la Cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.7. Derivacion Implıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.7.1. Derivadas de Las Funciones Trigonometricas Inversas. . . . . 145

5.8. Derivadas de Funciones Logarıtmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.8.1. Derivacion Logarıtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.9. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

INDICE GENERAL v

6. Aplicaciones de las Derivadas. 1516.1. Signo De La Primera Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2. Derivadas de Variables Ligadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3. Signo de la Segunda Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.4. Construccion de una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.5. Teorıa de maximos y mınimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.6. Problemas de Maximos y Mınimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.7. Generalizacion del Teorema del Valor Medio. . . . . . . . . . . . . . 1686.8. Formas Indeterminadas y regla de L’Hospital . . . . . . . . . . . . 169

6.8.1. Productos Indeterminados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.8.2. Diferencias Indeterminadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.8.3. Potencias Indeterminadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.9. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

vi INDICE GENERAL

Prefacio

Los Orıgenes del Calculo se remontan a unos 2500 anos, por lo menos hastalos Antiguos griegos, quienes hallaban areas aplicando el metodo del agotamiento.Sabıan como hallar el area A de cualquier polıgono al dividirlo en triangulos y sumarlas areas de estos triangulos. Sea An el area del polıgono inscrito con n lados. AlAumentar n parece que An se aproxima cada vez mas al area del circulo. Decimosque el area del cırculo es el lımite de las areas de los polıgonos inscritos y escribimos

A = lımx→∞

An

Los griegos no aplicaron explıcitamente los lımites, sin embargo, por razonamientoindirecto, Euxodo (S V a.C.) utilizo el agotamiento para probar la conocida formulade un cırculo: A = π · r2 el problema del area es el problema central de la rama delcalculo conocida como Calculo Integral.

Estas notas estan disenadas para dar al estudiante conceptos de la manera masclara posible sin perder por ello su esencia y completad, mostrar conceptos elemen-tales no es sinonimo de ninguna manera de conceptos sencillos; es por ello quepresento mis mas sinceras disculpas por los errores incluidos en este trabajo.

1

2 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Logica Proposicional.

Vamos a trabajar con Proposiciones las cuales son enunciados de los cualesse puede afirmar que es absolutamente verdadero o falso. Las interrogaciones entreotras no son proposiciones. El asignarle Verdadero o Falso es asignarle el valor deverdad a dicha proposicion. Veamos ejemplos:

x + 2 = 7 si y solo si x = 3; esta proposicion es falsa.

Las piedras no piensan; esta proposicion es verdadera.

Habla en voz baja; no es una proposicion pues no se le puede asignar un valorde verdad.

Hola, Como estas?; no es proposicion.

Las proposiciones se dividen en dos clases: SIMPLES: (o atomica), son las maselementales si se juntan una o varias proposiciones simples con un termino de enlacese tiene una proposicion COMPUESTA (o molecular), las proposiciones simples nopresentan terminos de enlace, por ejemplo:

Hoy es Domingo; Proposicion Simple.

Hoy es Domingo y la manana esta frıa; Proposicion Compuesta.

En general las proposiciones simples se representan por las letras minusculas: p, q, r, s, t, . . .por ejemplo:

p : Hoy es domingo.

3

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION

q : La manana esta frıa.

p ∧ q : Hoy es Domingo y la manana esta frıa.

1.1.1. Terminos de Enlace.

Llamados tambien Conectores Logicos enlazan proposiciones, formando com-puestas de proposiciones simples; son:

1. Negacion (No) ∼.

2. Conjuncion (y) ∧.

3. Disyuncion inclusiva (o) ∨.

4. Disyuncion exclusiva (o) Y.

5. Implicacion (si . . . entonces . . .) ⇒.

6. Bicondicional ( . . . si y solo si . . .) ⇐⇒ .

Negacion

Para toda proposicion p, ∼ P se denomina la negacion de p, no es cierto que po no p. Es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera.

∣∣∣∣∣∣

P ∼ pV FF V

∣∣∣∣∣∣

Conjuncion.

Para proposiciones cualesquiera p y q, la proposicion compuesta p ∧ q:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

P q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Disyuncion.

Para proposiciones cualesquiera p y q, la proposicion compuesta p ∨ q:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

P q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1.1. LOGICA PROPOSICIONAL. 5

Disyuncion Exclusiva.

Para proposiciones cualesquiera p y q, la proposicion compuesta pY q, en dondelas dos no pueden darse al mismo tiempo:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

P q p Y qV V FV F VF V VF F F

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Implicacion.

Al combinar dos proposiciones mediante (Si . . . entonces . . .) se obtiene unaproposicion compuesta denominada implicacion material o proposicion condicional.Donde p⇒ q, p se llama el antecedente y q se llama el consecuente; este conectorlleva a una implicacion logica y se establece una relacion de dependencia, causalidad,consecuencia o deduccion entre el antecedente y el consecuente.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

P q p⇒ qV V VV F FF V VF F V

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Bicondicional.

Para proposiciones cualesquiera p y q, la proposicion compuesta p ⇐⇒ q:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

P q p ⇐⇒ qV V VV F FF V FF F V

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Leyes de la logica Proposicional.

Sean p, q y r proposiciones se tiene que:

Ley de la doble negacion: p ⇐⇒ ∼∼ p.

Ley de idempotencia: (p ∧ p) ⇐⇒ p.

Ley de idempotencia: (p ∨ p) ⇐⇒ p.

Ley del tercio excluido: p∨ ∼ p.

Ley de contrarrecıproco: (p⇒ q) ⇐⇒ (∼ p⇒∼ q).


Ley asociativa: p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r.

Ley asociativa: p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r.

Ley conmutativa: p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p.

Ley conmutativa: p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p.

Ley distributiva: p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).

Ley distributiva: p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

Ley de D’Morgan: ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ∼ p∧ ∼ q.

Ley de D’Morgan: ∼ (p ∧ q) ⇐⇒ ∼ p∨ ∼ q.

(p⇒ q) ⇐⇒ ∼ p ∨ q.

∼ (p⇒ q) ⇐⇒ p∧ ∼ q.

1.1.2. Tautologıas y Contradicciones.

Una proposicion compuesta es una tautologıa si es cierta, sin importar los valoresde verdad de las proposiciones simples que la componen. Por ejemplo:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p q ∼ p q∧ ∼ q ∼ p ∼ p⇒ (q∧ ∼ q) (∼ p⇒ (q∧ ∼ q))⇒ pV V F F F V VV F V F F V VF V F F V F VF F V F V F V

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p q ∼ p ∼ q ∼ p⇒∼ q p⇒ q (∼ p⇒∼ q)⇒ (p⇒ q)V V F F V V VV F F V F F VF V V F V V VF F V V V V V

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

El primer esquema corresponde a la prueba por contradiccion y el segundo ala prueba por la contrarrecıproca y realizando las tablas de verdad concluimos queambas son tautologıas. La negacion de una Tautologıa se llama Contradiccion,puesto que si ponemos cualquier valor de verdad la proposicion sera contradictoriao absurda.

1.2. TEORIA DE CONJUNTOS. 7

Condiciones de Suficiencia y Necesidad.

Una Condicion Suficiente es una circunstancia en cuya presencia el acontec-imiento debe ocurrir; p : Cae nieve, q : hace frio, p⇒ q : Si cae nieve entonces hacefrio (es suficiente) pero q ⇒ p : Si Hace frio entonces cae nieve (no es necesario)puesto puede hacer frio y no caer nieve mientras que si cae nieve no puede hacercalor.

Una Condicion Necesaria es aquella la cual es indispensable su cumplimientopara que se produzca un acontecimiento; p : Los animales nadan, q : Los peces sonanimales, q ⇒ p no siempre es cierta ya que hay animales que no nadan, pero p⇒ qsiempre es cierta ya que los peces son animales y nadan. Existen proposiciones quepueden ser necesarias y suficientes por ejemplo Si los seres piensan entonces losseres son humanos.

1.1.3. Cuantificadores.

La expresion Para Todo que se antepone a las proposiciones se denomina cuan-tificador Universal y se expresa por el sımbolo ∀ y se refiere a todos los elementosde un conjunto. La expresion Existe un x tal que que se antepone a las proposi-ciones se denomina cuantificador Existencial y se expresa por el sımbolo ∃ y serefiere a que existe(n) el(los) elemento(s) en un conjunto.

Para que el cuantificado universal sea verdadero todos los elementos que infieredeben cumplir dicha propiedad mientras que para el existencial basta que exista unelemento que cumpla la propiedad enunciada. Estos cumplen ciertas propiedades,donde p(x) y q(x) son proposiciones que cumplen la cualidad x:

1. ∼ [(∀(x))p(x)] ⇐⇒ (∃) ∼ p(x).

2. ∼ [(∃(x))p(x)] ⇐⇒ (∀) ∼ p(x).

3. ∀(x)(p(x)⇒ q(x))⇒ (∀(p(x))⇒ ∀(q(x))).

4. ∃(x)(p(x) ∧ q(x))⇒ (∃(p(x)) ∧ ∃(q(x))).

1.2. Teorıa de Conjuntos.

Un conjunto tomandonos la osadıa de definirlo dirıamos:

Definicion 1. 1 Un Conjunto es una coleccion de objetos ya sean numeros, puntos,proposiciones,. . .. Se denotan por letras mayusculas del abecedario. Los objetosse llaman elementos y se denotan por letras minusculas. Si a es un elemento delconjunto A se dice que pertenece al conjunto y se denota a ∈ A su negacion esa /∈ A.


Un conjunto se puede expresar por Extension: D = {a, e, i, o, u} se lee Des igual al conjunto cuyos elementos son :a, e, i, o y u. Y por Comprension:(cuando los elementos cumplen una propiedad comun) D = {x 1 p(x)} se leeD es igual al conjunto d los elementos x que cumplen la propiedad p. D ={x | es una vocal del alfabeto}. Si los elementos son interminables decimos queel conjunto es Infinito

Conjunto Vacio y Universal Referencial.

Un conjunto es vacio si no contienen elementos se nota φ o {}. El universal refer-encial es aquel que corresponde a los elementos tomados en su totalidad como refer-encia por ejemplo: El conjunto universal de los dıgitos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}cualquier numero se forma con sus elementos.

Inclusion, Igualdad y Conjuntos de las Partes.

Si cada elemento de A es un elemento de B entonces A es un subconjunto deB y se denota A ⊆ B. A * B significarıa que A no es subconjunto de B. Puestoque todo elemento de un conjunto A pertenece a A, resulta que tambien A ⊆ A,A es un subconjunto de A.

El conjunto vacio se considera un subconjunto de cualquier conjunto A y setiene que φ ∈ A. Tenemos que la inclusion cumple la propiedad transitiva demanera que si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C.

Definicion 1. 2 Decimos que Dos conjuntos son iguales si y solamente si tienenlos mismos elementos se denota A = B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).

Definicion 1. 3 Si A es un conjunto cualquiera, el conjunto de todos los subcon-juntos de A se denomina el Conjunto Potencia (conjunto de las partes) de A. Sedenota ℘(A) = {x | x ⊆ A} El conjunto de las partes del conjunto A es igual atodos los subconjuntos x tales que x es subconjunto de A.

Si A = {1, 2, 3} entonces ℘(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}de modo que si A posee n elementos entonces ℘(A) tiene 2n elementos haciendoalusion a su nombre de conjunto potencia.

1.2.1. Operaciones entre Conjuntos.

En ocasiones es necesario combinar dos o mas conjuntos para producir nuevosconjuntos veamos algunas maneras de hacerlo.

Interseccion.

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Denotada A ∩B se llama interseccion delos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos comunes de estos dos.Si la interseccion es vacıa se dice que son disyuntos o mutuamente excluyentes.

1.2. TEORIA DE CONJUNTOS. 9

A B

Union.

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Denotada A ∪ B se llama union de losconjuntos A y B al conjunto formado por los todos los elementos de estos dos.

A B

Diferencia.

A − B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}. Denotada A − B se llama Diferenciade los conjuntos A y B al conjunto formado por todos os elementos de A que noestan en B.

A B

Diferencia Simetrica.

A∆B = {x | x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)} = (A − B) ∪ (B − A).Denotada A∆B se llama Diferencia simetrica de los conjuntos A y B al conjuntoformado por la union de los elementos no comunes entre A y B.


A B

Complemento.

A′

= {x | x ∈ U ∧ x /∈ A} = (U−A). Denotada A′

se llama Complementode A al conjunto formado por Los elementos del conjunto Universal referencial queno estan en A.

A

U

Resultado de la Teorıa de Conjuntos.

Sean A, B y C se cumplen las siguientes leyes:

Ley de idempotencia: A ∪A = A.

Ley de idempotencia: A ∩A = A.

Ley Modulativa: A ∩ U = A.

Ley Modulativa: A ∪ φ = A.

Ley de Absorcion: A ∪ U = U .

Ley de Absorcion: A ∩ φ = φ.

Ley de Involucion: (A′

)′

= A.

Ley Conmutativa: A ∩B = B ∩A.

Ley Conmutativa: A ∪B = B ∪A.

Ley Asociativa: (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Ley Asociativa: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Ley Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

1.3. CONJUNTOS NUMERICOS. 11

Ley Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Ley de D’Morgan: (A∪)′

= A′ ∩B

′

.

Ley de D’Morgan: (A∩)′

= A′ ∪B

′

.

1.3. Conjuntos Numericos.

Un concepto para tener en cuenta es el siguiente

Definicion 1. 4 Sean A y B dos conjuntos. Decimos que el tamano de A es menorque el tamano de B (o que el cardinal de A es menor que el cardinal de B) si y solo

si existe una inyeccion de A en B. Notacion A ≤ B(donde A denota el cardinal deA).

1.3.1. Numeros Naturales.

Son los numeros que nos sirven para contar se denotan de la siguiente maneraN = {0, 1, 2, . . .} y cumplen las siguientes propiedades.

1. Tienen un primer elemento que es el cero (0).

2. El conjunto no tiene ultimo elemento, es decir es infinito.

3. Todos los numeros naturales tienen un sucesor que se obtiene sumandole 1 alnumero.

4. Conjunto Discreto (entre dos naturales existe un numero finito de naturales).

5. Entre dos numeros consecutivos no existe otro numero natural.

6. Se verifica la ley de la tricotomıa: (a < b, a = b, a > b).

7. Adicion (N + N → N).

Conmutatividad a + b = b + a.

Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c).

Uniformidad a = b ⇒ a + c = b + c.

Monotonıa para las desigualdades a < b ⇒ a + c < b + c.

Monotonıa para las desigualdades (a < b) ∧ (c < d) ⇒ a + c < b + d.

Modulo a + 0 = a

8. Multiplicacion (N · N → N).

Conmutatividad a · b = b · a.

Asociatividad (a · b) · c = a · (b · c).


Uniformidad a = b ⇒ a · c = b · c.Monotonıa para las desigualdades a < b ⇒ a · c < b · c.Monotonıa para las desigualdades (a < b) ∧ (c < d) ⇒ a · c < b · d.

Modulo a · 0 = a.

Las operaciones de sustraccion, division y radicacion no siempre son posibles en Npues no se cumple Siempre que (a− b), (a/b), b

√a sean numeros naturales.

1.3.2. Numeros Enteros.

Estan conformados por los numeros naturales y los respectivos negativos y sedenotan Z.

1. No tienen ni primero ni ultimo elemento.

2. Conjunto discreto (entre dos enteros existe un numero finito de enteros).

3. Entre dos numeros consecutivos no existe otro numero entero.

4. Tienen Sucesor y Antecesor (se obtienen de sumarle y restarle 1 respectiva-mente).

5. Se verifica la ley de la tricotomıa: (a < b, a = b, a > b).

6. Adicion (Z + Z → Z).

7. Sustraccion (Z− Z → Z).

8. Multiplicacion (Z · Z → Z).

9. Modulo a + 0 = 0 + a = a, (∀(a) ∈ Z).

10. Inverso a + (−a) = 0, (∀(a) ∈ Z).

11. En Z se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucion en N .

12. Cumplen las leyes de monotonıa

a < b ⇒ a · c < b · c (a, b, c ∈ Z+).

a < b ⇒ a · (−c) > b · (−c) (c ∈ Z+) ∧ (a, b ∈ Z).

Para los Z tenemos unos conceptos que no podemos dejar de lado:

Definicion 1. 5 Un Numero a ∈ Z es MULTIPLO de un numero b ∈ Z 6= 0 siexiste otro numero c ∈ Z tal que a = b · c.

Definicion 1. 6 Aquel Numero Z que esta contenido un numero c de veces endicho numero a y b ∈ Z y a,b 6= 0 se dice que a es DIVISOR de b si a · c = b.

Definicion 1. 7 Un Numero Z es PRIMO si: [p] = {1,−1, p,−p} es decir poseecuatro divisores exclusivamente; si un numero no es primo se dice que es compuesto.

1.3. CONJUNTOS NUMERICOS. 13

Definicion 1. 8 El MINIMO COMUN MULTIPLO entre dos o mas numeros esluego de realizar la descomposicion en factores primos se escogen los comunes y nocomunes con Maximo exponente:

Hallando m.c.m.(84, 36) teniendo que 84 = 22 · 3 · 7 y 36 = 22 · 32 entoncesm.c.m.(84, 36) = 22 · 32 · 7 = 252.

Definicion 1. 9 El MAXIMO COMUN DIVISOR entre dos o mas numeros esluego de realizar la descomposicion en factores primos se escogen los comunes conMENOR exponente:

Hallando M.C.D.(32, 40) teniendo que 32 = 25 y 40 = 23·5 entonces M.C.D.(32, 40) =23 = 8.

Si M.C.D.(a, b) = 1 se dice que a y b son PRIMOS RELATVOS, primos entresı o primos el uno con el otro.

1.3.3. Numeros Racionales.

El numero mn se llama numero racional donde Q = {m

n | m,n ∈ Z ∧ n 6= 0}

1. El conjunto Q es infinito. No tiene primero ni ultimo elemento.

2. Conjunto Denso entre dos Q existen infinitos numeros racionales.

3. Todo numero Z es Q (Z ⊂ Q).

4. Ningun numero Q tiene sucesor ni antecesor.

5. En Q es valida la ley de tricotomıa.

6. En Q se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucion en Z.

7. Cumplen Propiedad Conmutativa

8. Cumplen Propiedad Asociativa

9. Elemento Neutro para Suma y Resta

10. Todo racional tiene su inverso multiplicativo y aditivo.

Clases de Racionales.

Racionales Equivalentes: Dan a entender la misma cantidad numerica aunquecon distinta representacion 1

2 = 24 = . . . , a

2a → a · d = b · c.

Racional Propio: El numerador es menor que el denominador.

Racional Impropio: El numerador es mayor que el denominador.


1.3.4. Numeros Irracionales.

Los Q′

son numeros de infinitas cifras decimales no periodicas. Los Irracionalesfueron descubiertos cuando Pitagoras intentando hallar la longitud de la hipotenusade un triangulo rectangulo de longitud delo cateto 1 vislumbro la incertidumbre de√

2. Se podrıa demostrar facilmente que si p es un numero primo la√

p es irracional.Otros numeros racionales son π = 3, 14159274 y e = 2, 718281.

1.3.5. Numeros Reales.

Los pudieramos mostrar como la union de racionales e irracionales (Q∪Q′

= R).De esta manera el orden de los racionales, aunque es denso, esta sin embargoliteralmente repleto de huecos. La (infinita) subsanacion de esos huecos, pegandoentre sı todos los numeros, va a dar lugar al conjunto de los numeros reales.

1. Los reales son un conjunto infinito no enumerable que no posee primer niultimo elemento.

2. Los reales son un conjunto Denso.

3. los reales son un conjunto completo y ordenado (sin huecos).

4. se cumple la ley de tricotomıa.

5. Se cumple Conmutatividad, Asociatividad, Existe elemento Neutro e Inversosaditivos y multiplicativos.

1.3.6. Numeros Imaginarios.

Los podemos mostrar como el conjunto de todas las raıces de numeros negativosde ındice par. Surgen bajo la necesidad de dar solucion a todos los polinomios queno tienen solucion en los Reales.

Tenemos de esta manera x2 +1 = 0 de manera que la solucion de esta ecuacionserıa x =

√−1 y es de esta manera como definimos que i =

√−1 el cual cumple

lo siguiente:

1. i =√−1

2. i2 = −1

3. i3 = −√−1

4. i4 = 1

5. i5 =√−1

6. i6 = −1

1.4. AXIOMAS DE CUERPO. 15

1.3.7. Numeros Complejos.

Son la union de los Conjuntos numericos de los Reales e Imaginarios C = R∪ Io dicho de otra manera C = {x | x = a + bi ∴ a, b ∈ R ∧ i =

√−1}

Definicion 1. 10 Dado z = a+ bi ∈ C, el Conjugado de z (denotado z) se definepor z = a− bi (misma parte real, parte imaginaria opuesta).

El calculo diferencial se trabaja por lo general bajo los Numeros reales es poreso que profundizaremos mas en ellos, dejamos a libertad del estudiante la investi-gacion sobre los numeros complejos y sus aplicaciones que son bastante interesantes.

Presentamos a continuacion una tabla para recopilar las propiedades de los sis-temas numericos vistos.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Propiedad N Z Q R CAsociatividad (+, ·) si si si si si

Conmutatividad (+, ·) si si si si siDistributividad (· sobre +) si si si si siExistencia Neutros (+, ·) si si si si siExistencia Inversos (+) No si si si si

Existencia Inversos (6= 0)(·) No No si si siPrimer Elemento si No No No No

Existencia de Sucesor si si No No NoDensidad del orden No No si si No

Existencia de Todo Limite si si No si siExistencia Races Polinomios impares No No No si si

Existencia Races Todo Polinomio No No No No si

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1.4. Axiomas de Cuerpo.

Consideremos R un conjunto y dos operaciones que notaremos +, · que satis-facen los siguientes axiomas:

1. Para cada x, y elemento de R se tiene que x + y, x · y pertenece a R.

2. Para cada x, y elemento de R se tiene que x + y = y + x y x · y = y · x.

3. Para cada x, y, z elementos de R se tiene que son asociativos x + (y + z) =(x + y) + z y x · (y · z) = (x · y) · z.

4. Para cada x, y, z elementos de R se tiene que x · (y + z) = (x · y) + (x · z).


5. Para cada x, y elemento de R se tiene que existe algun modulo talque x+0 =0 + x = x y x · 1 = 1 · x = x ∴ 0 6= 1.

6. Para cada x elemento de R existe su inverso tal que x + (−x) = 0.

7. Para cada x elemento de R existe su inverso tal que x · x−1 = 1 si x 6= 0

Definicion 1. 11 Si un Conjunto R y dos operaciones +, · satisface todos los ax-iomas anteriores decimos que (R,+, ·) Es un Cuerpo.

Haciendo referencia a los conjuntos vistos ya mostraremos a continuacion cualesde ellos son cuerpos y cuales no. Dejamos como actividad al estudiante verificarcuales axiomas se incumplen para que no sea cuerpo (con solo un axioma que seincumpla deja de ser cuerpo).

(N,+, ·) No es cuerpo.

(Z,+, ·) No es cuerpo.

(Q,+, ·) Si es cuerpo.

(Q′

,+, ·) No es cuerpo.

(R,+, ·) Si es cuerpo.

Veamos un ejemplo de Cuerpo en un conjunto finito:

Ejemplo 1

Definimos (Z3,+, ·) Z3 = {0, 1, 2} un conjunto con tres elementos y dos op-eraciones en donde lo construimos con una condicion si el resultado de la operaciondada es mayor de 2 lo dividimos por 3 y anotamos el residuo como el resultado:

(Z3,+, ·) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

• 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Cumple todos los Axiomas y por eso podemos afirma que es cuerpo.

Veamos un ejemplo de un conjunto finito que no es Cuerpo:

Ejemplo 2

Definimos (Z4,+, ·) Z3 = {0, 1, 2, 3} un conjunto con cuatro elementos y dosoperaciones en donde lo construimos con una condicion si el resultado de la op-eracion dada es mayor de 3 lo dividimos por 4 y anotamos el residuo como el

1.5. AXIOMAS DE ORDEN. 17

resultado:

(Z4,+, ·) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

• 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Podemos ver como solamente incumple el axioma 6 porque no existe el numeroque al multiplicarlo por 2 de el modulo que es 1 y por ello no es cuerpo.

1.5. Axiomas de Orden.

Sea p un conjunto de R, cuyos elementos llamaremos positivos que cumple:

1. Para cada a, b ∈ p se tiene que a + b y a · b tambien pertenece a p.

2. Si a ∈ R y a 6= 0 entonces se tiene exactamente una de las siguientes opciones:a ∈ p o −a ∈ p.

3. 0 /∈ p

Como (R,+, ·) satisface los 10 axiomas se llama cuerpo ordenado. Los Racionalestambien son un cuerpo ordenado la razon por la cual se trabaja en calculo con losreales es porque estos son completos y no llenos de huecos como los racionales comoya vimos (seccion 1,1,5) de manera que estos x2 − 2 = 0 tendra solucion mientrasque en los racionales no la tendrıa.

Podemos ademas con los reales hacer una correspondencia entre el conjuntonumerico y la recta que llamaremos Recta Real en donde a cada punto de dicharecta le corresponde un unico numero real y viceversa:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

||

72

−72

1.6. Subconjuntos de Reales.

1.6.1. Intervalos.

Supongamos que a, b ∈ R con a ≤ b:

Intervalo Abierto: (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

Intervalo Cerrado: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

Intervalo Semiabierto: [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}


(a,+∞) = {x ∈ R | x > a}

(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}

[a,+∞) = {x ∈ R | x ≥ a}

(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}

(−∞,+∞) = {x ∈ R}

Debemos tener en cuenta que ∞ no es un numero sino un sımbolo, el intervalosemiabierto puede serlo en cualquiera de los dos extremos, que un lado este abiertoimplica que se acerca al numero dado pero nunca llega a el, mientras que un ladocerrado significa que si llega a tocar dicho numero. Cabe resaltar que los intervalosdonde aparece∞ nunca puede ir cerrado el lado del sımbolo ya que nunca se puedellegar a tocar el ultimo elemento de los reales puesto no existe. La representaciongrafica es como se muestra a continuacion:

( )

a b

Intervalo Abierto

[ ]

a b

Intervalo Cerrado

[ )

a b

Intervalo Semiabierto

1.6.2. Desigualdades.

Al trabajar con desigualdades se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Si a < b, entonces a + c < b + c.

2. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.

3. Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.

4. Si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c.

5. Si 0 < a < b, entonces 1a > 1

b .

Teniendo en cuenta estas sencillas reglas vamos a resolver algunas desigualdades:Ejemplo 1 veamos que el conjunto solucion de 5x + 8 > 6 es S = (−2

5 ,+∞):

5x + 8 > 6

5x > −2

x >−2

5

1.6. SUBCONJUNTOS DE REALES. 19

Ejemplo 2

x2 − 2x ≥ −7x− 6

x2 + 5x + 6 ≥ 0

(x + 3)(x + 2) ≥ 0

(x ≥ −3) ∧ (x ≥ −2) ∨ (x ≤ −3) ∧ (x ≤ −2)

| |(x + 3)

(x + 2)

−3 −2

⊕ ⊕− − +

− + +

De esta manera el conjunto solucion es S = (−∞,−3] ∪ [−2,+∞).

Ejemplo 3

5− 2x

x + 4≥ 3

1− x5− 2x

x + 4− 3

1− x≥ 0

(5− 2x)(1− x)− 3(x + 4)

(x + 4)(1− x)≥ 0

2x2 − 10x− 7

(x + 4)(1− x)≥ 0 (Factorizando)

2(x− 5+

√39

2 )(x + 5+√

392 )

(x + 4)(1− x)≥ 0

(5+

√39

2

)

(5−

√39

2

)

(x + 4)(1− x)

−4 5−√

392

1 5+√

392

−−−−

⊕

−−+−

−+

+−

⊕

−+

++

+

+

++

⊕

De esta manera el conjunto solucion es S =(− 4, −5−

√39

2

]∪(1, 5+

√39

2

].


Ejemplo 4

6

x− 7>

x

36

x− 7− x

3> 0

18 + 7x− x2

3(x− 7)> 0

(x + 2)(x− 9)

−3(x− 7)> 0

−3(x + 2)(x− 9)(x− 7)

−2 7 9

−−−−

⊕

−+−−

−+−+

⊕

−+++

De esta manera el conjunto solucion es S = (−∞,−2) ∪ (7, 9)

1.6.3. Valor Absoluto.

Definicion 1. 12 El valor absoluto de un numero a denotado por |a|, es la distan-cia de a a 0 sobre el eje de los numeros reales. Las distancias son siempre positivaso 0, por lo que tenemos: |a| ≥ 0 ∀(a)

En general tenemos:

1. |a| = a si a ≥ 0.

2. |a| = −a si a ≤ 0.

3.√

a2 = |a|.

4. |a · b| = |a| · |b|.

5. |a

b| = |a|

|b| (b 6= 0).

6. |an| = |a|n.

7. |x| = a si y solo si x = ±a.

8. |x| < a si y solo si −a < x < a

9. |x| > a si y solo si x > a o x < −a

1.6. SUBCONJUNTOS DE REALES. 21

Ejemplo 1

Exprese |3x− 2| sin usar el sımbolo de valor absoluto:

|3x− 2| ={

3x− 2 si 3x− 2 ≥ 0−(3x− 2) si 3x− 2 < 0

=

{3x− 2 si x ≥ 2

32− 3x si x < 2

3

Ejemplo 2

Resuelva|x−3||2x−5| = 1

|x− 3| = |1| · |2x− 5||x− 3| − |2x− 5| = 0

(x− 3)

(2x− 5)

352

−−

+

−+

+

caso I (−∞, 52 )

−(x− 3)− [−(2x− 5)] = 0

2x− 5− x + 3 = 0

x = 2 (Solucion 1)

caso II [ 52 , 3]

−(x− 3)− (2x− 5) = 0

−2x− x + 3 + 5 = 0

x =8

3(Solucion 2)

caso III (3,+∞)

(x− 3)− (2x− 5) = 0

−2x + x− 3 + 5 = 0

x = 2 (No es respuesta)


Ejemplo 3

Resuelva |5−xx+2| ≤ 3:

−3 ≤ 5− x

x + 2≤ 3

−3 ≤ 5− x

x + 2∧ 5− x

x + 2≤ 3

0 ≤ 5− x

x + 2+ 3 ∧ 5− x

x + 2− 3 ≤ 0

0 ≤ 5− x + 3x + 6

x + 2∧ 5− x− 3x− 6

x + 2≤ 0

0 ≤ 2x + 11

x + 2∧ −4x− 1

x + 2≤ 0

(2x + 11)

(x + 2)

−2−112

−−

⊕

−+

+

+

⊕

S1 : (−∞, −112 ] ∪ (−2,+∞)

(−4x− 1)

(x + 2)

−14

−2

−+

+

+

⊕

+

−

S2 : (−∞,−2) ∪ [−14 ,+∞)

S1 ∩ S2 S2

S1

−112 −2 −1

4

| | |

•

◦

◦

•

S : (−∞, −112 ] ∪ [−1

4 ,+∞)

1.7. EJERCICIOS. 23

Ejemplo 4

Resuelva |3x + 2| ≥ 4:

|3x + 2| ≥ 4

3x + 2 ≥ 4 ∨ 3x + 2 ≤ −4

3x ≥ 2 ∨ 3x ≤ −6

x ≥ 2

3∨ x ≤ −2

S : (−∞,−2] ∪ [ 23 ,+∞)

1.7. Ejercicios.

1. Sabiendo que a es un numero racional y que r, s son numeros irracionales,que se puede decir del resultado de las siguientes operaciones:

a) a + r

b) a · rc) r + s

d) r · se) r−1

2. Efectue las siguientes operaciones:

a) 19, 3133133313331 . . . + 18, 24224222422224 . . .

b) 58, 23223222322223 . . . + 40, 77777777777777 . . .

c)√

7 ·√

7

d)√

2 ·√

3

e) 1, 45 + 2, 36

f ) 1, 45 · 2, 36

3. a) Cuantos numeros irracionales hay entre 1 y 2? Si es posible muestrecinco.

b) Cuantos numeros irracionales hay entre 2, 9 y 3? Si es posible muestrecinco.

c) Cuantos numeros irracionales hay entre 0,9999 y 1? Si es posible muestrecinco.

d) Si es posible escriba cinco racionales entre 2830 y 29

30 .

4. Suponga que a es un numero real que cumple 0 < a ≤ 1.


a) Cual numero es menor entre a2, 1a3 , y a ?

b) Cual es el mayor entre a3, 1a , y a ?

c) Ordene de menor a mayor los numeros a, a2,a3, 1a , 1

a2 y 1a3 .

d) Realice nuevamente el ejercicio 4 pero con −1 ≤ a < 0.

5. Verifique si Z5 , Z6 y Z7 son cuerpos. Que se podrıa conjeturar?

6. Si se sabe que |2− x| > 3, cuales de las siguientes afirmaciones son falsas ycuales verdaderas?

a) 1 < |x| < 5.

b) |x| > 5.

c) 12 < |x|.

d) |x| ≥ 1.

7. Represente y exprese matematicamente cada uno de los siguientes conjuntos:

a) El conjunto de los numeros reales que distan 5 unidades de 4.

b) El conjunto de los numeros reales que distan menos de 3 unidades de π.

c) El conjunto de los numeros reales que distan dos unidades o menos decero.

d) El conjunto de los numeros reales que distan tres unidades o mas de −3.

e) El conjunto de los numeros reales que distan 32 unidades de −4

5 .

8. Reescriba cada expresion sin usar el sımbolo de valor absoluto:

a) |√

5− 5|.b) |x2 + 1|.c) |π − 2|.d) || − 2| − | − 3||.e) |1− 2x2|.

9. Encuentre el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones y exprese elresultado usando intervalos:

a) −8(2x− 5) < 3 + (3 + 4x)

b) 2x− 9 < 7x3 + 2−3x

5 .

c) 2x−12x ≤ 4.

d) 4−xx+1 ≥ 8

9 .

e) x3 + 3x < 4x2.

f ) −3 < 1x ≤ 1.

10. Halle todas las soluciones de cada ecuacion:

1.7. EJERCICIOS. 25

a) | x+32x−5 | = 1

b) | 3x−14−2x | = −6.

c) | 3x−14−2x | = 0.

d) | 3x−14−2x | = 6.

e) |x− 1||x + 2| = 2.

f ) |3x + 5| = |7x− 2|.g) |x− 1|+ |x + 1| = 0.

h) |7x| = 4− x.

11. Halle el Conjunto Solucion de las siguientes inecuaciones:

a) |3− 7x| ≤ 6.

b) | 3−2x2+x | < 4.

c) 3x2 + 5x− 2 < 0.

d) |2x +√

7| ≤ −17 .

e) | 3x−14−2x | = 0.

f ) |x− 1|+ |x + 1| < 1.

g) |x− 1|+ |x− 2| > 1.

Capıtulo 2

Plano Cartesiano.

Los puntos en un plano pueden identificarse por medio de pares ordenados denumeros reales. Comenzamos dibujando dos lıneas que se intersecan en el origen Osobre cada lınea. Usualmente una lınea es Horizontal con direccion positiva hacia laderecha y se llama eje x o de abscisas; la otra lınea en vertical con direccion positivahacia arriba y se llama eje y o eje ordenado. Posee la caracterıstica de que las doslıneas perpendiculares dividen el plano en cuatro cuadrantes (I, II, III, IV ).

-2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

3

�

(x, y)

I

III

II

IV

x

y

Lo podemos nombrar ası: R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}. Este sistemacoordenado se llama sistema coordenado rectangular o sistema coordenadocartesiano en honor del matematico frances Rene Descartes (1596 − 1650) Sucontribucion mas notable a las matematicas fue la sistematizacion de la geometrıaanalıtica. Fue el primer matematico que intento clasificar las curvas conforme altipo de ecuaciones que las producen y contribuyo tambien a la elaboracion de lateorıa de las ecuaciones. Fue el responsable de la utilizacion de las ultimas letrasdel alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para lasconocidas. Tambien invento el metodo de los exponentes (como en x2) para indicarlas potencias de los numeros. Aunque otro frances, Pierre Fermat (1601 − 1665),invento los principios de la geometrıa analıtica aproximadamente al mismo tiempoque Descartes.

27

28 CAPITULO 2. PLANO CARTESIANO.

2.1. Algunos Subconjuntos de R2.

Mostraremos algunas regiones representadas por parejas de reales sobre el planocartesiano.

A = {(x, y) ∈ R2 | x = 4}

�

4

B = {(x, y) ∈ R2 | |y| = 3}

�

3

C = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 4 ∧ |y| ≥ 3}

◦ ◦

◦ ◦4||

−4

3

−3

D = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1 ∧ |y − 2| ≤ 1}

1||

−1

3

1

2.1. ALGUNOS SUBCONJUNTOS DE R2. 29

E = {(x, y) ∈ R2 | d((x, y)(1,−3)) < 2}

�−3

1|

F = {(x, y) ∈ R2 | y > x + 1}

◦ 1

2.1.1. Distancia entre dos Puntos.

Para encontrar la distancia |P1P2| entre dos puntos cualquiera P1(x1, y1) yP2(x2, y2) notamos que el triangulo P1P2P3 en la figura es un triangulo rectanguloy entonces por el teorema de Pitagoras tenemos:

� �

�

|x2 − x1|

|y2 − y1|

| |x1 x2

y2 −

y1 −P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

P3(x2, y2)

|P1P2| =√

|P1P3|2 + |P2P3|2

=√

|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2

=√

|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2


De esta manera podemos decir que La Distancia entre los puntos P1(x1, y1) yP2(x2, y2) es:

|P1P2| =√

|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2

Ejemplo

Encuentre la distancia entre los siguientes puntos (2,65, 6) y (0, 25,−58):Aplicando la ecuacion anterior obtenemos:

|P1P2| =√

|(0,25)− (2,65)|2 + |(−58)− (6)|2

=√

| − 2,4|2 + | − 64|2

=√

(5,76 + 4096)

= 64,04498419

La Distancia entre dichos puntos es de 64,04498419 unidades.

2.1.2. Punto Medio.

Para encontrar la coordenada del punto medio entre dos puntos cualquiera vamosa emplear las proporciones en un triangulo (4MPB ' 4AOB). De esta manera lalongitud BM es proporcional a BA como BP lo es a BO ası obtenemos BM

BA = BPBO :

� �

�

| | |xx1 x2

y2 −

y −

y1 −A

B

O

MP

y − y1 = y2 − y

2y = y2 + y1

y =y2 + y1

2

De manera similar se obtiene x = x2+x1

2; de modo que La Coordenada del

Punto Medio entre dos puntos cualquiera (x, y)=(

x2+x1

2, y2+y1

2

)

.

2.2. RECTAS. 31

Ejemplo

Encuentre el punto medio entre los siguientes puntos (−2,65, 6,3) y (−0, 25, 72):

Aplicando la ecuacion anterior obtenemos:

(x, y) =( (−2,65− 0,25)

2,(6,3 + 72)

2

)

=(−2,9

2,78,3

2

)

=(−29

20,783

20

)

La Coordenada del punto medio entre dichos puntos es

(−2920

, 78320

)

.

2.2. Rectas.

Para encontrar la ecuacion de una recta L usamos su pendiente, que es unamedida de la inclinacion de la recta.

Definicion 2. 1 La pendiente de una recta no vertical (La pendiente de una rectavertical no esta definida) que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es:

m =∆y

∆x=

y2 − y1

x2 − x1

�

�

∆x = x2 − x1

∆y = y2 − y1

L

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Ası entonces la pendiente de una recta es la razon de cambio en y (∆y) alcambio e x (∆x) la pendiente es por lo tanto la razon de cambio de y con respectoa x. El hecho de que la lınea es recta significa que la razon de cambio es constante.


2.2.1. Ecuacion de la Recta.

La ecuacion general de la recta es Ax + By + C = 0, encontraremos ahorauna ecuacion de la recta que pasa por un punto dado P1(x1, y1)) con pendiente m.Un punto P (x, y) con x 6= x1 se encuentra sobre esta recta si y solo si la pendiente

de la recta por P1 y P es igual a m; es decir,y−y1

x−x1

= m y esta ecuacion se reescribe

en la forma:

y − y1 = m(x− x1)

Esta es la ecuacion de la recta que pasa por un punto dado con pendiente mtambien llamada Ecuacion Punto-Pendiente de una recta.

Supongamos que una recta no vertical tiene pendiente m e intercepcion y convalor de b.

�

y = mx + b

b

Esto significa que interseca al eje y en el punto (0, b), por lo que la forma punto-pendiente de la ecuacion de la recta, con x1 = 0 y y1 = b es y − b = m(x − 0)simplificado obtenemos la Forma Pendiente-Intercepcion de la ecuacion de larecta, donde hallamos una ecuacion de la recta con pendiente m, que interseca conb es:

y = mx + b

En particular, si una lınea es horizontal, su pendiente es m = 0, por lo que suecuacion es y = b, donde b interseca con y. Una lınea vertical no tiene pendientepero podemos escribir su ecuacion como x = a, donde a es la intercepcion x, porquela coordenada x de todo punto sobre la lınea es a.

Cuando decimos que y es una Funcion Lineal de x, queremos decir que lagrafica de la funcion es una recta, por lo que podemos usar la formula pendiente-intercepcion para escribir una t’formula para la funcion como y = f(x) = mx + b.

2.2. RECTAS. 33

�

�

y = b

x = a

b

a

Ejemplo

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (5, 3) y (8, 4):

Hallamos la pendiente aplicando la formula:

m =(4− 3)

(8− 5)=

1

3

Usando la formula de punto-pendiente con x1 = 5 y y1 = 3:

y − 3 =1

3(x− 5)

De manera que podemos escribir la ecuacion como 3y − x = 4.

2.2.2. Rectas Paralelas.

Definicion 2. 2 Sean L1 y L2 dos rectas del plano. Notamos como L1||L2 dosrectas paralelas si:

1. L1 = L2 es decir se intersecan en todos los puntos.

2. L1 6= L2 No se intersecan.

Teorema 2. 1 Dos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas Si y solamente Si suspendientes son iguales.


�

�

�

��

�

| |x1 x2

y2 −

y1 −A B

C

A′

B′

C′

Prueba.⇒) Suponemos que las dos rectas son paralelas debemos ver que sus pendientes

son iguales:

En la grafica podemos notar que: m1 = y2−y1

x2−x1

; m2 = y3−y4

x2−x1

.

Ademas (4ABC ' 4A′

B′

C ′) (por criterio angulo-lado-angulo).

Entonces obtenemos por lo anterior que y3 − y4 = y2 − y1.

De manera que ∆yL1= ∆yL2

entonces tenemos:

∆yL1

∆x=

∆yL2

∆x=⇒ m1 = m2

⇒) Suponemos que m1 = m2 debemos ver que L1||L2:

En la grafica podemos notar que: m1 = y2−y1

x2−x1

; m2 = y3−y4

x2−x1

.

Como las pendientes son iguales ambas poseen igual ∆x de manera que obten-emos y3 − y4 = y2 − y1.

Por lo anterior podemos obtener que (4ABC ' 4A′

B′

C ′) (por criterio angulo-lado-angulo), ademas como ∆yL1

= ∆yL2:

L1||L2

�

2.2.3. Rectas Perpendiculares.

Definicion 2. 3 Sean L1 y L2 dos rectas del plano. Notamos como L1⊥L2 dosrectas paralelas si se intersecan formando angulos rectos.

2.2. RECTAS. 35

Teorema 2. 2 Dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares Si y solamenteSi el producto de sus pendientes m1 y m2 es −1.

�

|L1

|L2

|x1 x0 x2

y2 −

y1 −

y0 −

A

B

D

C

D

E

Dejamos la prueba como ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 1

Dada la recta de ecuacion 2x−3y +5 = 0 hallar la ecuacion de la recta paralelaque contiene al punto (1,−3).

Despejando y en la ecuacion obtenemos y = 23x+ 5

3 y de allı como son paralelasposeen la misma pendiente de manera que m = 2

3 .

Utilizando la ecuacion punto-pendiente tenemos:

[y − (−3)] =2

3(x− 1)

y =2

3x− 2

3− 3

y =2

3x− 11

3

Ası la ecuacion es y = 23x− 11

3.

Ejemplo 2

Dada la recta de ecuacion 2x − 3y + 5 = 0 hallar la ecuacion de la recta per-pendicular que contiene al punto (1,−3).

Despejando y en la ecuacion obtenemos y = 23x + 5

3 y de allı como son perpen-

diculares la pendiente de la recta que buscamos es m2 = −12

3

.


Utilizando la ecuacion punto-pendiente tenemos:

[y − (−3)] =−3

2(x− 1)

y =−3

2x +

3

2− 3

y =−3

2x− −3

2

Ası la ecuacion es y = −32

x− −32

.

Rectas Notables de un Triangulo 4ABC

1. Se llama Mediatriz a cada una de las rectas que es perpendicular a uno delos lados del triangulo por su punto medio.

2. Se llama Mediana a cada una de las rectas que contiene uno de los verticesdel triangulo y el punto medio del lado opuesto.

3. Se llama Altura a cada una de las rectas que contiene a uno de los verticesdel triangulo y es perpendicular al lado opuesto.

4. Se llama Bisectriz a cada una de las rectas que contiene uno de los verticesdel triangulo y un punto del lado opuesto, la cual divide dicho angulo en dosde la misma magnitud.

2.3. Conicas

Definicion 2. 4 Desde un punto de vista analıtico se puede definir conica como lacurva que responde a una ecuacion del tipo:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Los valores que toman A, B, C, D, E y F , determinan el tipo de la conicay su posicion en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cua-lesquiera, ademas de los cuatro tipos de conicas, se obtienen conicas degeneradase incluso conicas imaginarias.

Cada una de las curvas conicas se obtienen al cortar una superficie de un conopor un plano que no pasa por su vertice. El tipo de curva que se obtiene dependedel angulo α de la superficie conica y del angulo β que forma el plano con el eje x.

Si β > α entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie conicay, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si β ≤ α se obtiene una curva abierta.A continuacion se exponen con mas detalle los distintos casos que se pueden darsegun los valores que tome β.

2.3. CONICAS 37

Si β = 90 la interseccion del plano con la superficie conica es una circunferencia.

α

Circunferencia

Si β > α y β < 90 se obtiene una elipse tanto mas alargada cuanto menor (masproximo a α) sea el angulo β.

αβ

Elipse

Si β = α el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curvaabierta llamada parabola.

α

β

Parabola

Si β < α entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < β < α)como cuando es paralelo a el (β = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertasllamada hiperbola.


α

Hiperbola

2.3.1. Circunferencia.

Definicion 2. 5 Es el lugar geometrico de todos los puntos del plano que tienen lamisma distancia constante llamada radio r a un punto fijo llamado centro c = (h, k).Ecuacion General de la circunferencia:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

�

�

|h

k −r

(x, y)

Segun la definicion tenemos que es la distancia d de los puntos (x, y) a un puntofijo (h, k) d((x, y) : (h, k)) = r ası que aplicando la ecuacion de la distancia de dospuntos obtenemos

√

(x− h)2 + (y − k)2 = r de manera que elevando al cuadradolos dos lados de la igualdad obtenemos la Ecuacion Canonica de la circunferencia

2.3. CONICAS 39

:(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Ejemplo

Encontrar el Radio y centro de la siguiente circunferencia 5x2 + 5y2 + 10x −30y + 30 = 0.

5(x2 + 2x) + 5(y2 − 6y) = −30 (Completamos Cuadrados)

5(x2 + 2x + 1) + 5(y2 − 6y + 9) = −30 + 5 + 45

5(x + 1)2 + 5(y − 3)2 = 20 (Simplificamos por 5)

(x + 1)2 + (y − 3)2 = 4

El centro de la circunferencia es c = (−1, 3) y el radio es r = 2.

Las posibles opciones del radio luego de factorizar de la ecuacion general son:

1. Cuando r > 0 es una circunferencia.

2. Cuando r = 0 es un punto en el plano.

3. Cuando r < 0 es un conjunto vacio.

2.3.2. Parabola.

Definicion 2. 6 Es el lugar geometrico de todos los puntos del plano que equidistande un punto fijo f , llamado foco y una recta llamada directriz; el foco no pertenecea la directriz.

Las ecuaciones generales de las parabolas son:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0

By2 + Dy + Ex + F = 0

��

D

A B

f

L

|h

k− }p

}p�

f

|h

k−

�

P


Elementos de una parabola:

1. Eje de Simetrıa: Es una recta que pasa por el foco y es perpendicular a ladirectriz D.

2. Vertice: Es el punto de corte del eje focal con la parabola (h, k).

3. Distancia p: Longitud que hay entre el foco y el vertice y del vertice a ladirectriz.

4. Lado Recto: Segmento rectilıneo perpendicular al eje focal que corta al foco.

5. Cuerda focal: Une dos puntos de la parabola pasando por el foco.

6. La excentricidad en una parabola es uno.

Vamos a deducir la ecuacion canonica partiendo de un punto p y una parabolacon vertice en el origen (0, 0), foco en (0, p) y directriz y = −p.

distancia(punto, foco) = distancia(Punto,Directriz)√

(x− 0)2 + (y − p)2 =√

(x− x)2 + (y + p)2

x2 + y2 − 2yp + p2 = y2 + 2py + p2

x2 = 4py

Se deja al estudiante para que realice las deducciones de las Ecuaciones Canoni-cas de las parabolas con centro en (h, k):

1. (y − k)2 = 4p(x− h):

p > 0 abre a la derecha.

p < 0 abre a la izquierda.

2. (x− h)2 = 4p(y − k):

p > 0 abre hacia arriba.

p < 0 abre hacia abajo.

Lado Recto.

En El grafico podemos observarlo (AB) se puede notar claramente como A(x1, k+p) y B(x2, k + p) de donde tenemos utilizando la formula canonica:

(x− h)2 = 4p(y − k)

(x1 − h)2 = 4p(k + p− k)

(x1 − h)2 = 4p2

|x1 − h| = |2p|x1 − h = 2p ∨ x1 − h = −2

x1 = h + 2p ∨ x1 = h− 2p

2.3. CONICAS 41

De manera que si p > 0 tenemos que la distancia de AB = 4p. Ası la longitud dellado recto sera |4p|. y las coordenadas son: A(h−2p, k+p) y B(h+2p, k+p).

Ejemplo 1

Halle una ecuacion de la parabola la cual el eje de simetrıa es paralelo al eje xy pasa por los puntos A(−1, 2), B(1,−1) y C(2, 1):

Como sabemos que es paralelo el eje x al eje de simetrıa utilizamos la ecuacion(y − k)2 = 4p(x− h) ası:

(2− k)2 = 4p(−1− h)

4− 4k + k2 = −4p− 4ph

k2 + 4ph = −4p + 4k − 4 (1)

(−1− k)2 = 4p(1− h)

1 + 2k + k2 = 4p− 4ph

k2 + 4ph = 4p− 2k − 1 (2)

(1− k)2 = 4p(2− h)

1− 2k + k2 = 8p− 4ph

k2 + 4ph = 8p + 2k − 1 (3)

Igualando (1) y (2):

−4p + 4k − 4 = 4p− 2k − 1

−8p + 6k − 3 = 0 (4)

Igualando (2) y (3):

4p− 2k − 1 = 8p + 2k − 1

4p + 4k = 0

p = −k

Reemplazando p = −k y (4):

−8p + 6(−p)− 3 = 0

p =−3

14(deducimos aquı mismo)

k =3

14


Buscamos h reemplazando los datos obtenidos en una ecuacion inicial:

k2 + 4ph = −4p + 4k − 4

h =−4p + 4k − 4− k2

4p

k =457

168

Ası la ecuacion buscada es (y − 314

)2 = −67

(x− 457168

).

Ejemplo 2

Lleve a la forma canonica la siguiente ecuacion y = 5x2 − 3x + 2:

Completando cuadrado y resolviendo:

y − 2 = 5(x2 − 3

5x)

y − 2 +9

20= 5(x2 − 3

5x +

9

100)

y − 31

20= 5(x− 3

10)2

(x− 3

10)2 =

1

5(y − 31

20)

Podemos decir ademas que el Vertice se encuentra en ( 310

, 3120

) y p = 19 .

2.3.3. Elipse.

Definicion 2. 7 Es el lugar geometrico de todos los puntos del plano tales que lasuma de su distancia a dos puntos fijos f1 y f2 llamados focos es constante 2a. Laformula general es

Ax2 + Cy2 + Dy + Ex + F = 0

2.3. CONICAS 43

!"

#

$

%

& '

|h

W1

W2

V1 V2k −

f1

f2

P

f1

f2

b

c

a

(

)

*

+

|h

k−

Elementos de las Elipses.

1. Focos: Son dos puntos fijos f1 y f2.

2. Ejes de simetrıa: Recta que cruza por los dos focos (tambien llamado eje desimetrıa focal) y recta perpendicular a la primera que cruza por el centro.

3. Vertices: Son los puntos de corte de la elipse con los ejes de simetrıa .

4. Centro: Es el punto medio entre los dos focos , o los dos vertices .

5. Eje Menor: Segmento perpendicular al eje de simetrıa focal.

6. Eje Mayor: Segmento del eje de simetrıa focal entre los dos vertices.

Caracterısticas de las elipses:

1. La distancia entre los focos es menor que 2a (2a > f1f2).

2. La medida entre los dos focos es igual a 2c.

3. Se cumple que 0 < c < a y 0 < b < a.

4. a, b y c se relacionan de la siguiente manera a2 = b2 + c2.

5. V1V2 es llamado eje mayor y W1W2 eje menor.

6. La excentricidad cumple 0 < e < 1 en donde e = ca . Cuando e ≈ 0 genera

una elipse mas redonda y cuando e ≈ 1 genera una elipse mas alargada.


Deduccion de la Ecuacion Canonica de una elipse con centro (0, 0)

distancia(Punto, foco1) + distancia(Punto, foco2) = 2a√

(x + c)2 + (y − 0)2 +√

(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a

x2 + 2xc + c2 + y2 − x2 − c2 − y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 − 2xc

4cx− 4a2 = −4a√

(x− c)2 + y2

a4 − 2a2cx + c2x2 = a2(x2 − 2cx + c2 + y2)

a4 − 2a2cx + c2x2 = a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2

a4 − a2c2 = (a2 − c2)x2 + a2y2

a2(a2 − c2) = (a2 − c2)x2 + a2y2 (∗)a2b2 = b2x2 + a2y2

1 =x2

a2+

y2

b2

(∗) recordemos que en la caracterıstica 4 tenıamos que a2 = b2 + c2 despejamos by lo reemplazamos por (a2 − c2).

Se deja al estudiante para que realice las deducciones de las Ecuaciones Canoni-cas de las elipses con centro en (h, k):

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1 (horizontales)

(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1 (verticales)

Debemos tener en cuenta que para(x−h)2

A+ (y−k)2

B= 1:

1. Si A > B es una elipse horizontal.

2. Si A < B es una elipse vertical.

3. Si A = B es una Circunferencia.

.Ejemplo

Lleve a la forma canonica la siguiente ecuacion de la elipse 25x2 + 9y2 + 50x−54y − 119 = 0:

25x2 + 9y2 + 50x− 54y + 119 = 0

25(x2 + 2x) + 9(y2 − 6y) = −119

25(x2 + 2x + 1) + 9(y2 − 6y + 9) = −119 + 25 + 81

25(x + 1)2 + 9(y − 3)2 = 225

(x + 1)2

9+

(y − 3)2

25= 1

2.3. CONICAS 45

Ademas podemos decir que es una elipse vertical con centro en (−1, 3), la distanciadel eje mayor al centro es 5 y la del eje menor 3, la excentricidad es e = a

c es decire = 4

5 .

Despues de llevar una ecuacion general a una canonica se dan tres opciones:

1. (x−h)2

A + (y−k)2

B = 1 en donde es una elipse.

2. (x−h)2

A + (y−k)2

B = 0 en donde es un punto.

3. (x−h)2

A + (y−k)2

B = −n (n ∈ R+) el conjunto es vacio.

2.3.4. Hiperbola.

Definicion 2. 8 Es el lugar geometrico de todos los puntos del plano tales que ladiferencia de sus distancias a dos puntos fijos f1 y f2 llamados focos es constante2a. La formula general es:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

,

-

.

/

0

1 2

V1

V2

W1

W2

|f

f

h

k− 34 5

6

|

P

h

ab

c

k−

Elementos de las hiperbolas.

1. Focos: Son dos puntos fijos f1 y f2.

2. Eje de simetrıa: Recta que cruza por los dos focos.

3. Vertices: Son los puntos de corte de la hiperbola con el eje de simetrıa.

4. Centro: Es el punto medio entre los dos focos , o los dos vertices.

5. Eje imaginario: Recta que corta perpendicularmente el eje de simetrıa en elcentro.

6. Eje transverso: Segmento de recta entre los dos vertices .


7. Radios vectores: Segmentos de recta trazados entre un punto cualquiera Pde la hiperbola y los dos focos.

8. Eje transverso: Se denomina ası al segmento V1V2.

9. Eje conjugado: Se denomina ası al segmento W1W2.

10. Asıntotas de la hiperbola: Son las lıneas que marcan la X y que se cortan enel centro de la hiperbola.

Caracterısticas de las Hiperbolas.

1. |distancia(Punto foco1)− distancia(Punto foco2| = 2a.

2. La medida entre los dos focos es igual a 2c.

3. Se tiene que 0 < a < c y a puede ser mayor, menor o igual que b.

4. a, b y c se relacionan de la siguiente manera c2 = a2 + b2.

5. Toda hiperbola es siempre una relacion cuadratica nunca una funcion.

6. La excentricidad cumple e > 1 en donde e = ca .

Deduccion de la Ecuacion Canonica de una hiperbola con centro en (0, 0).√

(x + c)2 + y2 −√

(x− c)2 + y2 = 2a√

(x + c)2 + y2 = 2a +√

(x− c)2 + y2

x2 + 2cx + c2 + y2 − x2 − c2 − y2 = 4a2 + 4a√

(x− c)2 + y2 − 2cx

cx− a2 = a√

(x− c)2 + y2

c2x2 − 2a2cx + a4 = a2(x2 − 2cx + c2 + y2)

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2) (∗)b2x2 − a2y2 = a2b2

x2

a2− y2

b2= 1

(*) recordemos que en la caracterıstica 4 tenıamos que c2 = a2 + b2 despejamos by lo reemplazamos por (c2 − a2).

Se deja al estudiante para que realice las deducciones de las Ecuaciones Canoni-cas de las hiperbolas con centro en (h, k):

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1 (horizontales)

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1 (verticales)

Debemos tener en cuenta que si la ecuacion canonica esta es igual a cero tenemosson un par de rectas. En las hiperbolas no se puede generar el conjunto vacio cuandose pasa de la formula general a la formula canonica.

2.3. CONICAS 47

Formulas de las asıntotas

Las vamos a deducirlas de las hiperbolas horizontales utilizando la formula punto-pendiente:

Para los puntos (h, k) y (h + a, k + b) tenemos:

(y − k) =b

a(x− h)

y − k

b=

x− h

a

Para los puntos (h, k) y (h + a, k − b) tenemos:

(y − k) =−b

a(x− h)

y − k

b= −x− h

a

En general las formulas son:

y − k

b= ±x− h

a(Hiperbolas horizontales)

y − k

a= ±x− h

b(Hiperbolas verticales)

Ejemplo

Lleve a la forma canonica las siguientes ecuaciones 25x2−9y2+100x−54y+19 =0 y 25x2 − 9y2 + 100x− 54y − 206 = 0 y diga si es hiperbola o dos rectas:

25x2 − 9y2 + 100x− 54y + 19 = 0

25(x2 + 4x)− 9(y2 + 6y) = −19

25(x2 + 4x + 4)− 9(y2 + 6y + 9) = −19 + 100− 81

25(x + 2)2 − 9(y + 3)2 = 0

(x + 2)2

9− (y + 3)2

25= 0 (Dos rectas)

25(x + 2)2 = 9(y + 3)2

5|x + 2| = 3|y + 3|

±5

3(x + 2)− 3 = y

25x2 − 9y2 + 100x− 54y − 206 = 0

25(x2 + 4x)− 9(y2 + 6y) = 206

25(x2 + 4x + 4)− 9(y2 + 6y + 9) = 206 + 100− 81

25(x + 2)2 − 9(y + 3)2 = 225

(x + 2)2

9− (y + 3)2

25= 1 (Hiperbola)


2.4. Ejercicios.

1. Dibujar en un mismo plano cartesiano los subconjuntos de R2 que aparecenen cada literal:

a) {(x, y) ∈ R2 | x = y}, {(x, y) ∈ R2 | x−5 = y} y {(x, y) ∈ R2 | 2x+1 =y}.

b) {(x, y) ∈ R2 | |x| = y} y {(x, y) ∈ R2 | |x− 5| = y}.c) {(x, y) ∈ R2 | |2x + 1| = y} y{(x, y) ∈ R2 | |x + 5| = y}

2. Utilizar las graficas anteriores para resolver las siguientes desigualdades en R:

a) |x| ≥ |x− 5|b) |2x + 1| ≤ |x− 5|

3. a) Hallar el(los) valor(es) de a tal(es) que el triangulo con vertices en (0, 0),(4, 0) y (2, a) es equilatero.

b) Mostrar que el triangulo con vertices en (1,−2), (−4, 2) y (1, 6) esisosceles.

c) Mostrar que el triangulo con vertices en (0, 2), (3, 0) y (4, 8) es rectan-gulo.

d) Mostrar que los puntos (2,−1), (1, 3) y (−3, 2) son vertices de uncuadrado y hallar el cuarto vertice.

e) Hallar los puntos de la recta 2x−y +2 = 0 que estan a cuatro unidadesdel punto (1, 2).

4. Escoger tres puntos no colineales y formar el triangulo que tenga estos pun-tos como vertices. Hallar el punto medio de dos de los lados y construir elsegmento que los une. Demostrar que este segmento es paralelo al otro ladodel triangulo y que su longitud es la mitad de dicho lado.

5. a) Los puntos (1, 1), (3, 2), (7, 3) y (0, 9) son los vertices de un cuadrilatero.Mostrar que los puntos medios de los lados son vertices de un paralelo-gramo.

b) Los puntos (2, 3), (4, 1), (−5,−3) y (0,−8) son los vertices de uncuadrilatero. Determinar si se trata de un trapecio, un cuadrado, unrectangulo, un paralelogramo, o un rombo.

6. Determinar en cada caso si los puntos son colineales:

a) (4, 1), (2, 1) y (−1, 5).

b) (−2, 1), (0, 3) y (4, 7).

7. En los siguientes ejercicios se dan las condiciones sobre una recta. Dar, en cadacaso, la ecuacion de esa recta e las formas Ax + By + C = 0 y y = mx + b(si no es posible, explicar por que). Hacer la grafica:

2.4. EJERCICIOS. 49

a) Pendiente 2. Pasa por (1, 5).

b) Pasa por (−5, 2) y (6,−1).

c) Pasa por (4, 2) y (−1, 2).

d) Pasa por (3, 0) y (3,-3).

e) Pendiente − 54 . Interseccion con el eje y en 3.

f ) Pendiente − 32 . Pasa por el punto medio del segmento que une (2,−7)

y (5,−1).

g) Pasa por (1,−5) y es paralela a la recta 2x + y − 3 = 0.

h) Pasa por (1,−5) y es perpendicular a la recta 2x + y − 3 = 0.

i) Pasa por (1,−4) y es paralela a la recta y = −2.

j) Pasa por (−8, 4) y es perpendicular a la recta x0.

k) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta y = 2x.

8. A precio de $17 500 kilo, la demanda de cierto artıculo es de 450 kilos, mientrasque a un precio de $15 000 kilo, la demanda es de 500 kilos. Suponiendo quela demanda es lineal:

a) Encontrar la ecuacion de la demanda.

b) Hallar el numero de quilos a un precio de $19 000.

9. Encuentre si es posible la ecuacion de la conica pedida que cumpla las condi-ciones senaladas. Si no es posible explique por que:

a) Circunferencia con centro sobre el eje x que pasa por los puntos (2, 2) y(6,−4).

b) Circunferencia que pasa por los puntos (3,−4), (0, 2) y (5, 4).

c) Circunferencia que pasa por los puntos (−3, 2), (2, 52 ) y (1, 3).

d) Parabola con vertice en el origen, eje coincidente con el eje y y que pasapor (−2, 4)

e) Parabola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (−1, 1), (11,−2)y (5,−1).

f ) Parabola con eje paralelo al eje y y que pasa por los puntos (2, 5), (−2,−3)y (1, 6).

g) Conica con focos en (8, 0) y (−8, 0) y excentricidad 0,2.

h) Conica con vertices en (0, 1) y (0,−1) y excentricidad 3.

i) Elipse con vertices (8, 0) y (−8, 0) y focos (5, 0) y (−5, 0).

j) Elipse con focos en (−1, 1) y (−1, 7) y longitud del eje mayor 16.

k) Hiperbola con vertices en (3, 0) y (−3, 0) y focos en (5, 0) y (−5, 0).

l) Hiperbola que pasa por los puntos (−2, 4) y (−6, 7), su eje de simetrıafocal es el eje y y tiene centro en el origen.


10. Dadas las siguientes ecuaciones, identifique el tipo de conica o curva querepresentan, halle sus datos caracterısticos y haga su grafica:

a) 8x2 + 4y2 = 16

b) 4x2 + 9y2 − 32x− 36y + 64 = 0

c) x2 − 9y2 + 8x + 7 = 0

d) y2 − 4y − 2x− 4 = 0

e) 4x2 + 9y2 − 16x + 54y + 97 = 0

f ) 3x2 + 4y2 − 18x + 8y + 19 = 0

g) 8x + x2 − 8y + 32 = 0

h) 4x2 − y2 − 40x− 8y + 88 = 0

i) 4x2 + 8x− 9y2 + 18y − 5 = 0

j) 4x2 + 4y2 − 12x + 16y + 21 = 0

k) x2 + 9y2 + 4x− 5 = 0

l) x = y2 − 4y

m) x2 − 2y + 6x + 5 = 0

n) 25x2 − 9y2 + 100x− 54y + 10 = 0

n) 16x2 + 4y2 + 24 + 100 = 0

o) x2 − 2y2 = 8

11. Considere la ecuacion 9x2 − 4y2 − 54x + 8y + α = 0. Encuentre todos losvalores de α para los cuales esta ecuacion representa :

a) Una Hiperbola.

b) Un par de rectas.

12. Considere la ecuacion x2 + 4y2 + 2x − 12y + β = 0. Encuentre todos losvalores de β para los cuales esta ecuacion representa :

a) Una elipse.

b) Un punto.

c) El conjunto vacıo.

13. Considere la ecuacion 2y2 + 6y + γ = 0. Encuentre todos los valores de γpara los cuales esta ecuacion representa :

a) Dos rectas paralelas..

b) Una parabola.

c) Una recta.

d) El conjunto vacıo.

2.4. EJERCICIOS. 51

14. Utilizando la informacion y las graficas del punto 10 dibuje el conjunto solucionde

a) 3x2 + 4y2 − 18x + 8y + 19 < 0

b) 4x2 − y2 − 40x− 8y + 88 ≥ 0

c) x2 − 9y2 + 8x + 7 ≥ 0

d) (4x2 + 4y2 − 12x + 16y + 21 ≤ 0) ∧ (y < x− 72 )

Capıtulo 3

Relaciones y Funciones

3.1. Relaciones en R.

Definicion 3. 1 Sean A,B dos conjuntos. El Producto (Cartesiano) de A y B esel conjunto de parejas ordenadas A×B = {(x, y) | x ∈ A∧ y ∈ B}. Una relacionR de A en B es un subconjunto de A×B : R ⊆ A×B.

Si A es una relacion R se puede representar graficamente en el plano cartesiano.Los siguientes son ejemplos de relaciones:

A = {(x, y) ∈ R2 | x = 3}

3

B = {(x, y) ∈ R2 | y2 − 5x− 4y + 4 < 0}

2−

53

54 CAPITULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES

C = {(x, y) ∈ R2 | (x−3)2

4 + (y+2)2)9 ≤ 1 ∧ |x− 3| > 1}

7

◦

◦ ◦

◦

3

|

−2−

Definicion 3. 2 Sea A una relacion en R (A ⊂ R2):

Se llama Dominio de A al conjunto formado por las primeras componentes delos elementos de A.

Dom(A) = {x | (x, y) ∈ A} ⊂ R

Se llama Imagen de A al conjunto formado por las segundas componentes delos elementos de A (la imagen de A es tambien llamada rango o recorrido.

Im(A) = {y | (x, y) ∈ A} ⊂ R

En los dibujos anteriores tenemos segun estas definiciones:

En el ejemplo A Dom(A) = {3} e Im(A) = R.En el ejemplo B Dom(B) = (0,+∞) e Im(A) = R.

En el ejemplo C Dom(A) = [1, ]2) ∪ (4, 5] e Im(A) = (−2−√

272 ,−2 +

√272 ).

Siendo D = {(2, 3); (−1, 1); 4, 5); (6,−2)} entonces Dom(D) = {2,−1, 4, 6} eIm(D) = {3, 1, 5,−2}.

Definicion 3. 3 Sea A una relacion en R (A ⊂ R2):

1. Simetrıa Respecto al eje x: A es simetrica respecto al eje X, si para cada(x, y) ∈ A se tiene que (x,−y) ∈ A.

2. Simetrıa Respecto al eje y: A es simetrica respecto al eje y, si para cada(x, y) ∈ A se tiene que (−x, y) ∈ A.

3. Simetrıa Respecto al origen: A es simetrica respecto al origen, si para cada(x, y) ∈ A se tiene que (−x,−y) ∈ A.

3.1. RELACIONES EN R. 55

Teorema 3. 1 Si A es simetrica al eje X y al eje y entonces A es simetrica alorigen.

Prueba. Sea (x, y) ∈ A entonces (x,−y) ∈ A porque A es simetrica al eje X.Entonces (−x,−y) ∈ A porque A porque A es simetrica al eje y. Ası es simetricaal origen. �

Definicion 3. 4 Sea R una relacion definida en A se tiene que la relacion es:

1. Reflexiva: Si para todo x ∈ A, (x, x) ∈ R.

2. Simetrica: Si para todo (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R.

3. Transitiva: Si para todo (x, y) ∧ (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.

4. Antisimetrica: Si para todo (x, y) ∧ (y, x) ∈ R, entonces x = y.

Ejemplo 1

Sea T = {(m,n) | m = |n|} y T definida en Z:

T no es reflexiva porque (−2,−2) /∈ T pues −2 6= | − 2|.T no es simetrica porque (2,−2) ∈ T pero (−2, 2) /∈ T pues | − 2| = 2.T si es transitiva porque (m,n) ∈ T y (n, j) ∈ T de modo que m = |n| y n = |j|,entonces m = |n| = ||j|| = |j| entonces (m, j) ∈ T .

Ejemplo 2

Demostrar que 4x2 − y2 = 4 es simetrica al origen.

Podemos notar que es la ecuacion de una hiperbola entonces: Si (x, y) ∈ Hentonces necesitamos ver que (−x,−y) ∈ 4x2 − y2 = 4:

4(−x)2 − (−y)2 = 4

4x2 − y2 = 4

Vemos como (−x,−y) ∈ 4x2 − y2 = 4 entonces es simetrica al origen.

Definicion 3. 5 Sea R una relacion es de equivalencia si verifica reflexividad,simetrıa y transitividad.

Definicion 3. 6 Sea R una relacion es de orden en A si verifica reflexividad, an-tisimetrıa y transitividad. Denotaremos (x, y) mediante a ≤ b, y adoptaremos elconvencional usual, segun el cual a es menor o igual que b y b es mayor o igualque a. Sea a ∈ A; a es un elemento maximal (para el orden ≤) si y solo si noposee un elemento estrictamente mayor en el orden (con cuidado esto se expresaen la forma ∀b ∈ A(a ≤ b → b = a)); similarmente, a es un elemento mini-mal si y solo si posee un elemento estrictamente menor en el orden (formalmente,


∀b ∈ A(b ≤ a → b = a)). Sea ahora S ⊆ A, un subconjunto no vacıo; S poseeun mınimo m = min(S) si y solo si m es un elemento de S menor que todos losdemas elementos de S (formalmente, m ∈ S y ∀s ∈ S, m ≤ s); en forma similar, Sposee un maximo m = max(S) si y solo si m es un elemento de S mayor que todoslos demas elementos de S (formalmente, m ∈ S y ∀s ∈ S, s ≤ m). Sea de nuevoS ⊆ A (pero ahora S podrıa ser vacio), y sea a ∈ A; a es una cota superior de Ssi y solo si a es mayor que todos los elementos de S (formalmente, ∀s ∈ S, s ≤ a);similarmente a es una cota inferior de S si y solo si a es menor que todos los ele-mentos de S (formalmente, ∀s ∈ S, a ≤ s); S posee un ınfimo (denotado inf(S))si y solo si S posee una maxima cota inferior; similarmente posee un supremo (de-notado sup(S)) si y solo si S posee una mınima cota superior. La relacion de orden≤ es un orden total si y solo si todo par de elementos son comparables en el orden(formalmente, ∀a, b ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a)).

Definicion 3. 7 Sea R una relacion de A en B (R ⊆ A×B). la Inversa de R sedefine por R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}. Observe que, por definicion, R−1 ⊂ B×A.Sea R una relacion de A en B (R ⊆ A× B), sea S una relacion de B en C (S ⊆B×C). La Compuesta de R y S se define por S ◦R = {(x, z) | ∃((x, y)∧ (y, z))}.Por la definicion se tiene que S ◦R ⊆ A× C.

3.2. Funciones

Las funciones son cierto tipo de relaciones en las que se conserva una suertede canonicidad simple en la composicion, de tal manera que todos los elementoscorrelacionados se situan dentro del ambito de lo uno y no dentro del ambito de lomultiple. Desde comienzos del siglo XIX, toda la matematica moderna dependeen forma imprescindible del concepto de funcion.

Definicion 3. 8 Sea R una relacion de A en B. R es un Funcion (de A en B) siy solo si se cumplen dos condiciones:

1. Dom(R) = A (Todo elemento de A esta relacionado con al menos un ele-mento de B).

2. ∀x(x ∈ A ∧ (x, y) ∧ (x, z)→ y = z). (Todo elemento de A esta relacionadocon a lo sumo un elemento de B)

Es decir a cada x del dominio de R le corresponde una unica y como segundacomponente tal que (x, y) ∈ R; En otras palabras en R no puede haber dos parejasordenadas distintas con la misma primera componente.

A = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x− 1}

3.2. FUNCIONES 57

|2

3−

B = {(x, y) ∈ R2 | y = 3}

3

Definicion 3. 9 La prueba grafica de si una relacion es funcion consiste trazar cadaRecta Vertical que debe intersecar a la relacion como maximo en un punto.

C = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 ∧ −2 ≤ x ≤ 5}

2

2−

|

Las circunferencias No representan funciones, lo mismo sucede con las elipses ylas hiperbolas. Las parabolas algunas representan funciones y = ax2+x+c llamadasfunciones cuadraticas.

NOTACION

Las funciones se representan con letras minusculas f, g, h . . .. Si la relacion f esuna funcion y x ∈ Dom(f) existe un unico elemento y talque la pareja (x, y) ∈ f ,por esta razon decimos y es la imagen de x por la funcion f y lo notamos:

y = f(x) : la imagen de x por f es y.


f = {(x, y) ∈ R2 | y = f(x)}

Se nota:

f : Dom f −→ Ry = f(x)

O simplemente y = f(x) si se entiende cual es el dominio de f . Cuando eldominio de f no se relaciona explıcitamente, se toma como el subconjunto masgrande de R donde la expresion y = f(x) tiene sentido.

Ejemplo 1

Tenemos la funcion g(x) = x2 en la cual el dominio son todos los realesDom(g) = R y la imagen Im(g) = R tambien.

−2|

2|

Ejemplo 2

Halle el dominio de la siguiente funcion g(x) =√

x2 − 1.

x2 − 1 ≥ 0 (Raıces de numeros negativos no son reales)

x2 ≥ 1

|x| ≥ 1

x ≥ 1 ∨ x ≤ −1

De esta manera el Dom(g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

Definicion 3. 10 Dos funciones f y g son iguales si:

1. Dom (f) = Dom (g).

2. f(x) = g(x) para cada x que x ∈ Dom(f) = Dom(g).

3.2. FUNCIONES 59

3.2.1. Tipos de funciones

1. Funcion Constante: f(x) = a, a ∈ R son de la forma:

a

2. Funcion Lineal: f(x) = mx + b son de la forma:

8b

3. Funcion Cuadratica: f(x) = ax2 + bx+ c con a, b, c constantes y a 6= 0 sonde la forma:

4. Funcion Polinomica: f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + · · ·+ a1x +a0 donde an, an−1, an−2, . . . , a1, a0 constantes. Son constantes y ademas sudominio es R, se llama grado del polinomio al mayor valor de n tal que an 6= 0.Por ejemplo x4 − 3x2 + x:


5. Funcion Racional: f(x) = P (x)Q(x) donde P (x), Q(x) son polinomios no nulos

por ejemplo f(x) = 2x4−x2+1x2−4 :

6. Funcion Algebraica: Una funcion f recibe este nombre si puede construirseusando operaciones algebraicas (adicion, sustraccion, multiplicacion, divisiony potenciacion) a partir de polinomios. Automaticamente se tiene que una

funcion racional es una funcion algebraica. Por ejemplo h(x) = x23 (x− 2)2:

7. Funcion Valor Absoluto:

f(x) = |x| ={

−x si x < 0.

x si x ≥ 0.

3.2. FUNCIONES 61

8. Funcion Parte entera: f(x) = ‖x‖

|−2

|−1

|1

|2

−2

−1

−−1

−−2

Donde ‖x‖ es el mayor entero que es menor o igual que x para esta funciontenemos Dom(f) = R e Im(f) = Z.

9. Funcion a Trozos:

f(x) = |x| =

3 si x < 3.

2x si 3 ≤ x < 5.

−x2 si 5 ≤ x.

10. Funciones Exponenciales: Son las funciones de la forma f(x) = ax, dondela base a 6= 1 es un numero real positivo. Estas son muy utiles para mod-elar muchos fenomenos naturales como el crecimiento de la poblacion y eldecaimiento radiactivo. Son de la forma:

11. Funciones Logarıtmicas: Son las funciones de la forma f(x) = loga x, dondela base a es un numero real positivo, son de la forma:


12. Funciones Trascendentes: Se trata de las funciones que no son algebraicas.El conjunto de las funciones trascendentes incluye las trigonometricas, lasinversas trigonometricas, las exponenciales y las logarıtmicas, ası como unvasto numero de otras funciones que nunca han sido nombradas.

13. Funciones Trigonometricas: vamos realizar un recuento de trigonometrıa:

a

bc

α

sin α = b

ccos α = a

c

tan α = sin α

cos αcot α = cos α

sin α

sec α = 1

cos αcsc α = 1

sin α

Estas definiciones solo dependen del angulo α puesto son independientes detriangulo. Vamos ahora utilizando estas definiciones a deducir la siguienteidentidad tambien conocida como la Identidad Pitagorica.

c2 = a2 + b2 (Por ser triangulo rectangulo)

c2

c2=

a2

c2+

b2

c2(Dividiendo por c2)

1 =(a

c

)2

+(b

c

)2

1 = cos2 α + sin2 α

Si a esta la dividimos por sin2 α y por cos2 α obtenemos respectivamente:

sec2 α = tan2 α + 1

csc2 α = cot2 α + 1

Sea un triangulo isosceles (dos lados iguales) rectangulo de hipotenusa= 1como sigue; tenemos que si aplicamos teorema de Pitagoras para hallar los

3.2. FUNCIONES 63

catetos obtenemos que estos miden x =√

22

y como el triangulo no influyetenemos:

x

x1

45◦

sin 45◦ =√

2

2

cos 45◦ =√

2

2

Sea un triangulo equilatero (todos sus lados iguales) de lado= 1 como sigue;

vamos a hallar la altura con el teorema de Pitagoras de modo que h =√

32 y

como el triangulo no influye tenemos:

12

1

45◦

30◦ sin 30◦ = 1

2cos 30◦ =

√3

2

sin 60◦ =√

3

2cos 60◦ = 1

2

De esta manera lo vamos a representar en la circunferencia unitaria

9

:

;

√3/2√2/2

1/2

√3

2

√2

212

60◦45◦

30◦

∣∣∣∣∣∣

Funcion 30◦(π6 ) 45◦(π

4 ) 60◦(π3 )

sin 1/2√

2/2√

3/2

cos√

3/2√

2/2 1/2

∣∣∣∣∣∣


Graficas de las funciones trigonometricas

La Grafica de la funcion f(x) = sinx se obtiene trazando los puntos para0 ≤ x ≤ 2π y luego usando la naturaleza periodica de la funcion (sin(θ+2π) =sin θ) para completar la grafica. Notese que los ceros de la seno ocurren enlos multiplos enteros de π.

| | | |||||π

2π 3π

22π−π

2−π−3π

2−2π

1−

−1−

La grafica de coseno se obtiene desplazando la grafica del seno un cantidadπ2 hacia la izquierda. Notese que para las funciones seno y coseno, el dominioes (−∞,+∞) y el rango es el intervalo cerrado [−1, 1].

| | | |||||π

2π 3π

22π−π

2−π−3π

2−2π

1−

−1−

Las graficas de las cuatro restantes funciones trigonometricas se muestrana continuacion donde se indican sus dominios. Notese que la tangente y lacotangente tienen rangos (−∞,+∞), mientras que la secante y la cosecantetienen rangos (−∞,−1]∪ [1,∞). Las cuatro funciones son periodicas: la tan-gente y la cotangente tienen periodo π, mientras que la secante y la cosecante2π.

3π

2ππ

2−π

2−π−3π

2

3π

2ππ

2−π

2−π−3π

2−3π

2

y = tan x y = cot x

3.2. FUNCIONES 65

3π

2

|ππ

2

|−π

2

|−π 3π

2π|

π

2−π

2−π|

−3π

2−3π

2

y = cscx y = secx

14. Funciones Trigonometricas Inversas: Cuando tratamos de encontrar lasfunciones trigonometricas inversas, nos enfrentamos con una pequena dificul-tad. Como las funciones trigonometricas no son uno a uno, ellas no tieneninversas. Esta dificultad se supera restringiendo los dominios de esas funcionesde manera que resulten uno a uno.

De esta manera vamos a restringir el dominio de la funcion sin x de estamanera Dom(sin−1 x) = [−1, 1] e Im(sin−1 x) = [−π

2 , π2 ] ası la grafica

serıa:

<

=

−1

1

π2

−π2

Realizando el mismo procedimiento con cosx sin x entonces Dom(cos−1 x) =[−1, 1] e Im(cos−1 x) = [0, π] ası la grafica serıa:

>

?

−1 1

π

π2

Aplicando este mismo procedimiento:Dom(tan−1 x) = R e Im(tan−1 x) = (−π

2 , π2 ).


Dom(cot1 x) = R e Im(cot−1 x) = (0, π).Dom(sec−1 x) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) e Im(sec−1 x) = [0, π]− {π

2 }.Dom(csc−1 x) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) e Im(sec−1 x) = [−π

2 , π2 ]− {0}

Las respectivas graficas son:π2

−π2

y = tan−1 x

π

π2

y = cot−1 x

@

Aπ2

−π2

y = csc−1 x

| |−1

1

B

C

π

π2

| |−1 1

y = sec−1 x

3.2.2. Transformaciones de Funciones

Al aplicar ciertas transformaciones a la grafica de una funcion dada podemosobtener las graficas de ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir eltrabajo al trazar esas graficas. En primer lugar, consideramos las traslaciones. Si ces un numero positivo, entonces la grafica de y = f(x) + c es precisamente la dey = f(x) desplazada hacia arriba una distancia e c unidades (debido a que la coor-denada y se incrementa el mismo numero c). Del mismo modo, si g(x) = f(x− c),donde c > 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en x− c (cunidades a la izquierda de x). Por lo tanto la grafica de f(x − c) es precisamentela de y = f(x) desplazada c unidades a la derecha.

Resumiendo esto supongamos que c > 0, para obtener la grafica de:

y = f(x) + c , se desplaza la grafica de y = f(x) hacia arriba c unidades.

y = f(x)− c , se desplaza la grafica de y = f(x) hacia abajo c unidades.

y = f(x− c) , se desplaza la grafica de y = f(x) hacia la derecha c unidades.

y = f(x + c) , se desplaza la grafica de y = f(x) hacia la izquierda c unidades.

3.2. FUNCIONES 67

D

E

F

G H

y = f(x + c) y = f(x)

y = f(x− c)

y = f(x) + c

y = f(x)− c

c c

c

c

Traslacion de la grafica f

y = f(c · x)

y = f(x)

y =(

1c

)· f(x)

y = −f(x)

y = f(−x)

Alargamiento y reflexion de f

Consideremos ahora las transformaciones de alargamiento y reflexion. Si c > 1,entonces la grafica de y = c · f(x) es la de y = f(x) alargada un factor de c enla direccion vertical (porque cada coordenada y se multiplica por el mismo numeroc). La grafica de y = −f(x) es la de y = f(x) reflejada respecto al eje x, porqueel punto (x,−y) reemplaza al punto (x,y).

y = c · f(x) , alarguese la grafica de y = f(x) verticalmente c unidades.

y =(1

c

)

· f(x) , comprımase la grafica de y = f(x) verticalmente c unidades.

y = f(c · x) , comprımase la grafica de y = f(x) horizontalmente c unidades.

y = f(x

c

)

, alarguese la grafica de y = f(x) horizontalmente c unidades.

y = −f(x) , reflejese la grafica de y = f(x) respecto al eje x.

y = f(−x) , reflejese la grafica de y = f(x) respecto al eje y.

3.2.3. Operaciones entre Funciones

Se pueden operar dos funciones f y g para formar las nuevas funciones f +g, f − g, f · g y f/g, de manera semejante a las que aplicamos al operar connumeros reales. Sean f, g funciones reales tales que:

f : Dom f −→ R g : Dom g −→ R

Definicion 3. 11 Definimos f ± g la suma y resta por:

(f ± g)(x) = f(x)± g(x)

Dom(f ± g) = Dom(f) ∩Dom(g)


Definicion 3. 12 Definimos f · g el producto por:

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Dom(f · g) = Dom(f) ∩Dom(g)

Definicion 3. 13 Definimos f/g el cociente por:

(f

g

)

(x) =f

g

Dom(f

g

)

= Dom(f) ∩Dom(g)− {x |g(x) = 0}

Definicion 3. 14 Definimos f ◦ g la compuesta por:

(f ◦ g)(x) = f(x) ◦ g(x)

Dom(f ◦ g) = {x ∈ Dom(g) | g(x) ∈ Dom(f)}

Ejemplo

Sean f(x) = x, g(x) = 2x− 3, h(x) = x2, l(x) = 1x−1 y r(x) =

√x realice:

1. (h ◦ g) = (x) = h(g(x)) = h(2x− 3) = (2x− 3)2 en donde:Dom(h ◦ g) = {x ∈ R | 2x− 3 ∈ R} = R.

2. (g ◦ h)(x) = h(g(x)) = g(x2) = 2x2 − 3 en donde:Dom(g ◦ h) = {x ∈ R | x2 ∈ R} = R.

3. (h− g) = h(x)− g(x) = x2 − (2x− 3) = x2 − 2x + 3 en donde:Dom(h− g) = R ∩ R = R.

4. (l ◦ h)(x) = l(h(x)) = l(x2) = 1x2−1 en donde:

Dom(l ◦ h) = {x ∈ R | x2 6= (±1) ∈ R} = R− {−1, 1}.

5. (h ◦ l)(x) = h(l(x)) = h( 1x−1 ) = 1

x2−2x+1 en donde:

Dom(h ◦ l) = {x ∈ R− {1} | 1x2−2x+1 ∈ R} = R− {1}.

6. (h ◦ r)(x) = h(r(x)) = h(√

x) = (√

x)2 = x en donde:Dom(h ◦ r) = R ∩ [0,+∞) = [0,+∞).

7. (r ◦ h) = r(h(x)) = r(x2) =√

(x2) = |x| en donde:Dom(r ◦ h) = {x ∈ Dom(h) | h(x) ∈ Dom(r)} = R.

8. (h/l) = h(x)l(x) = x2

1x−1

= x2(x− 1) = x3 − 1 en donde:

Dom(h/l) = R ∩ R− {1} = R− {1}.

9. (f · r) = f(x) · r(x) = x(√

x) = x√

x en donde:Dom(f · r) = R ∩ [0,+infty) = [0,∞).

3.2. FUNCIONES 69

Podemos ver en estos ejemplos que la composicion de funciones NO es conmutativapero si es asociativa observemoslo de una manera mas clara:

Teorema 3. 2 Sean f, g y h tres funciones reales, veamos que (f ◦g)◦h = f ◦(g◦h)es decir la composicion de funciones es asociativa:

Prueba. Veamoslo primero en la parte operacional:

(f ◦ g) ◦ h(x) = (f ◦ g)h(x)

= f(g(h(x)))

f ◦ (g ◦ h)(x) = f((g ◦ h)(x))

= f(g(h(x)))

Veamoslo ahora para los dominios:

Dom(f ◦ g) ◦ h(x) = {x ∈ Dom(h) | h(x) ∈ Dom(f ◦ g)}= {x ∈ Dom(h) | h(x) ∈ Dom(g) ∧ g(h(x)) ∈ Dom(f)}

Dom(f) ◦ (g ◦ h(x)) = {x ∈ Dom(g ◦ h) | (g ◦ h)(x) ∈ Dom(f)}= {x ∈ Dom(h) ∧ h(x) ∈ Dom(g) | g(h(x)) ∈ Dom(f)}

�

3.2.4. Propiedades de Las Funciones

1. Funciones Pares: Una funcion es par si f(x) = f(−x), para todo x ∈Dom(f) por ejemplo:

y = |x| y = x2

Graficamente, una funcion es par si es simetrica respecto al eje y: Prueba.Si (x, y) ∈ f , entonces y = f(x) = f(−x) entonces (−x, y) ∈ f de maneraque es simetrica respecto al eje y.

�


2. Funciones impares: Una funcion es impar si f(−x) = −f(x) para todox ∈ Dom(f) por ejemplo:

y = x y = x3

Graficamente, una funcion es par si es simetrica respecto al origen: Prueba.Si (x, y) ∈ f , entonces y = f(−x) = −f(x) = −y entonces (−x,−y) ∈ fde manera que es simetrica respecto al origen.

�

3. Funcion Inyectiva Una funcion f es inyectiva (o uno a uno) si para cadaa, b ∈ Dom(f) con a 6= b se tiene f(a) 6= f(b), es decir puntos distintos deldominio tienen imagenes distintas, es decir si f(a) = f(b) entonces a = b.

Ejemplo 1:

Sea la funcion f(x) = 3x− 8 diga si es o no inyectiva:

3a− 8 = 3b− 8

3a = 3b

a = b Si es inyectiva

Ejemplo 2:

Sea la funcion f(x) = x2 − x diga si es o no inyectiva:

y = x · (x− 1) (Factorizando)

g(−1) = 2 (Evaluando)

g(2) = 2 No es inyectiva (−1 6= 2)

Graficamente, una funcion f es inyectiva si al trazar cada recta horizontalinterseca a la funcion a lo sumo en un punto.

4. Funcion Periodica: Una funcion f es periodica si existe a > 0 tal quef(x) = f(x + a), ∀x ∈ Dom(f), por ejemplo:

3.2. FUNCIONES 71

y = 3

3

y = − cos x

Para el ejemplo y = 3 existe a = 0 tal que f(a+x) = 3 pero por definicion nolo podemos utilizar ası que utilizamos cualquier otro real f(0,1 + x) = 3. Pael ejemplo y = − cos x sabemos que el periodo es 2π de manera que a = 2πtal que f(x + 2π) = − cos x.

5. Funcion Inversa: Sea f una funcion real inyectiva se llama funcion inversade f : f−1 a la funcion que satisface:

(x, y) ∈ f ⇐⇒ (y, x) ∈ f−1

∴ y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y)

Graficamente f−1 se obtiene reflejando a f a traves de la recta y = x.

Veamos ahora un ejemplo con f(x) =√

x:Tenemos para esta funcion que Dom(f) = [0,+∞) e Im(f) = [0,+∞) de

manera que para la inversa tenemos Dom(f−1) = [0,+∞) e Im(f−1) = [0,+∞):

I

y =√

x

f−1(x)

En general para obtener la funcion inversa de f(x) debemos:

1. Tener una funcion f(x). (y =√

x).

2. Despejar x. y2 = x.

3. Intercambiar x y y. y = x2.

4. Tener en cuenta que Dom(f−1) = Im(f).

Ahora mostraremos algunos ejemplos que nos muestre una vision mas clara deeste modo de obtener funciones inversas:


Ejemplo 1:Sea h(x) = 5x−4 veamos cual es la funcion inversa (Se debe ver que es inyectiva):

y = 5x− 4

y + 4 = 5xy + 4

5= x

h−1(x) =x + 4

5

J

y = 5x− 4

h−1(x)

Ejemplo 2:

Sea g(x) =√

x− 3 veamos cual es la funcion inversa (Se debe ver que esinyectiva): Ademas Dom(g) = [3,+∞) e Im(g) = [0,+∞).

y =√

x− 3

y2 = x− 3

y2 + 3 = x

g−1(x) = x2 + 3

y =√

x− 3

g−1(x)

Vamos a realizar algunas operaciones:

1. (g ◦ g−1)(x) : x ∈ Dom(g−1) de modo que g(x2 + 3) =√

(x2 + 3)− 3 =√x2 = |x| entonces |x| = x porque Im(g) = [0,∞).

2. (g−1 ◦g)(x) : x ∈ Dom(g) de modo que g−1(√

x− 3) = (√

x− 3)2 +3 = x.

De esta misma manera podrıamos ver en un sin fin de ejemplos.

3.2. FUNCIONES 73

Teorema 3. 3 Sea f una funcion real inyectiva donde f−1 sea su inversa, entonces:

(x, y) ∈ f ⇐⇒ (y, x) ∈ f−1

y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y)

Dom(f) = Im(f−1) ⇐⇒ Dom(f−1) = Im(f)

Ademas su inverso es unico y se tiene que

{

(f ◦ f−1)(x) = x ∀x ∈ Dom(f−1)

(f−1 ◦ f)(x) = x ∀x ∈ Dom(f).

Prueba.

1. La primera parte del teorema se tiene por definicion de funcion inversa.

2. a) ⇒) Sea x ∈ Dom(f−1) = Im(f)

(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) llamamos y = f−1(x)

= f(y) de igual manera que arriba x = f(y)

= x

b) ⇐) Sea x ∈ Dom(f) = Im(f−1)

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) llamamos y = f(x)

= f−1(y) de igual manera que arriba x = f−1(y)

= x

3. Para la unicidad Supongamos que g y h son inversas de f , es decir supongamosque f no tiene una unica funcion inversa:

a) Como g es inversa de f y ademas h es inversa de f tenemos:

x ∈ Dom(g) ⇐⇒ x ∈ Im(f)x ∈ Dom(h) ⇐⇒ x ∈ Im(f)

De donde Dom(g) = Dom(h).

b) Sea x ∈ Im(f) = Dom(g) = Dom(h). Existe a talque (a, x) ∈ f demodo que

(x, a) ∈ h ∴ (x, a) ∈ g Puesto ambas son inversas de f

h(x) = a ∴ g(x) = a

Puesto g y h tienen el mismo dominio y la misma imagen tenemos queg = h = f−1 de modo que la funcion inversa de una funcion es unica.

�


Debemos tener en cuenta que a una funcion se le puede restringir el dominio aun intervalo para hallar su inversa, por ejemplo:

Ejemplo:

f(x) = x2 no posee inversa pero si Dom(f) = [0,+∞) entonces su inversa esy =√

x. De igual modo si Dom(f) = (−∞, 0] entonces su inversa es y = −√x.

3.3. Ejercicios.

1. Representar graficamente cada una de las siguientes relaciones, indicar sudominio y rango:

a) {(x, y) | x2 + y2 < 37 ∧ x + y > 5}.b) {(x, y) | x2 < 2y ∧ 2x− 2y < 1}.c) {(x, y) | x2 + y2 > 10 ∧ 9x2 + y2 < 18}.d) {(x, y) | x2 + y2 < 25 ∧ 9x2 − 9y2 < 36}.

2. Estudiar las simetrıas de las siguientes relaciones en R:

a) |y| < 2.

b) x4 − x2y2 − 2y4 = 0.

c) y > 4x2.

d)√

y +√

x = 5.

e) xy = 4.

3. Determina si cada una de las siguientes relaciones sobre Z es SIMETRICA,REFLEXIVA o TRANSITIVA:

a) {(m,n) | m− n esdivisible por 4}.b) {(m,n) | 5 < |m + n|}.c) {(m,n) | m = |n|}.d) {(m,n) | 4m2 + 9n2 ≤ 36}.

4. Dada la relacion R = {(x, y) ∈ R2 | y − 4 = −x2 ∧ 0 ≤ x ≤ 3}:

a) Hallar una relacion S1 sobre los reales, simetrica respecto al eje x, quecontenga a R y tal que si existe otra relacion T ⊂ R simetrica respectoal eje x, entonces S1 ⊂ T .

b) Hallar una relacion S2 sobre los reales, simetrica respecto al eje y, quecontenga a R y tal que si existe otra relacion T ⊂ R simetrica respectoal eje y, entonces S2 ⊂ T .

c) Hallar una relacion S3 sobre los reales, simetrica respecto al origen, quecontenga a R y tal que si existe otra relacion T ⊂ R simetrica respectoal origen, entonces S3 ⊂ T .

3.3. EJERCICIOS. 75

d) Hallar una relacion S4 sobre los reales, simetrica, que contenga a R ytal que si existe otra relacion T ⊂ R simetrica, entonces S4 ⊂ T .

5. Es la relacion R del ejercicio anterior reflexiva(transitiva)? De no ser reflexi-va(transitiva) es posible encontrar una relacion S que sea reflexiva(transitiva)y que contenga a R?

6. Mostrar que la hiperbola 4x2 − y2 = 4 no es simetrica, pero sı lo es respectoal origen. Encontrar la relacion simetrica mas pequena que contenga a estahiperbola.

7. Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =√−x.

b) h(x) = 1x .

c) β(x) =√

2−√x.

d) γ(x) =√

1x − 1.

e) α(x) =√

1+‖2x‖2 .

f ) g(x) = 1(5x−2)2 .

g) αβ .

h) f + h.

8. a) Si f es par y g es impar, que puede decir de f + g, f · g, f ◦ g y g ◦ f?Y si f y g son pares? Y si f y g son impares?.

b) Muestre que cualquier funcion f de dominio R puede escribirse de man-era unica en la forma f = P + I donde P es una funcion par e I es unafuncion impar. (suponga primero que tales P e I existen y encuentre suexpresion en terminos de f).

c) Encuentre P e I para la funcion definida por f(x) = |x − 8|, g(x) =x2 − 4, h(x) = sin x y j(x) = 5x− 2.

9. Encuentre el dominio e imagen, haga la grafica, determine cuales son inyecti-vas, cuales son pares, cuales impares, cuales periodicas y encuentre el periodo,de las siguientes funciones:

a) x‖x‖ .

b) g(w) = 5 + w − w2.

c) h(t) = ‖t‖ − t.

d) j =√

1|s| .

e) f(x) =

−2x− 2 si x ≤ −1.

x2 − 2 si −1 < x < 1

2x− 2 si x ≥ 1.

.


f ) e(x) =

−5 si x < −5.

x si −5 ≤ x ≤ 5

5 si x > 5.

.

g) l(x) = 1x3 .

h) m(x) = |2− 3x|.i) n(x) = (x− 1)2 − 1.

j) d(x) = cos 1x .

k) a(x) = cot 1x .

l) b(x) =√

1−cos 2x2 .

m) c(x) = sin−1(2x− 4).

n) o(x) = cos−1(3 + 2x− x2).

n) r(x) = tan−1(x2 − 1).

o) Defina f + j, h + l, f · h, jl , j2 + f · g y g−h

f .

10. Utilizando las graficas del punto anterior haga las siguientes graficas:

a) y = m(x) + 2, y = m(x)− 2, y = m(x− 2) y y = m(x + 2).

b) y = 2 · h(x), y = 12 · h(x), y = h(2 · x) y y = h

(x2

).

c) y = h(|x|), y = |h(x)|, y = m(−x) y y = −m(x).

d) y = n(−x), y = −n(x), y = n(|x|) y y = |n(x)|.

11. Expresar el area A y el perımetro P de un triangulo equilatero como funcionesde la longitud l de un lado. Expresar el area superficial A y el volumen V deuna esfera como funciones de su diametro d.

12. El costo del envıo de un paquete, a nivel nacional, en cierta empresa de correosdepende del peso p del paquete. Si el paquete pesa 50 gramos o menos, elcosto es $3000 y por cada 25 gramos o menos, adicionales, se incrementa elcosto en $1000. Represente la funcion costo c.

13. Un punto (x, y) en el primer cuadrante, esta en la elipse 25x2+4y2−100 = 0 yes vertice de un rectangulo inscrito en dicha elipse. Dibuje la situacion descritay exprese el area del rectangulo en funcion de x.

14. Sea g(x) =√

4− x2. Encontrar la expresion en cada una de las formulassiguientes e indicar para que valores de a, y, s y t son validas.

a) g(a− 2), g(2y) y g(

s2

).

b) g(

1t

), g(1− |y|), 1

2+g(t) .

15. Sean f(x) = sin x; g(x) = x2; h(x) = 1x ; j(x) = πx complete:

a) (f ◦ g)(1) =

3.3. EJERCICIOS. 77

b) (h ◦ f)(2π) =

c) (h ◦ j ◦ g ◦ f)(−π) =

d) (g2)(

13

)=

e) h(g(j(−1

2

))) =

f )(

fg ◦ h

g

)(π) =

16. En cada caso defina f ◦ g y g ◦ f y halle sus dominios:

a) f(x) = 13x−5 ; g(x) = 3x− 5.

b) sin x : g(x) =√

x2 − 1.

c) f(x) =

{

x2 + 1 si x ≤ 1.

x− 5 si x > 1.; g(x) = |x|.

d) f(x) =√

x2 − 1; g(x) =√

1− x2.

e) f(x) =√

x + 7; g(x) = x4.

17. Exprese en cada caso la funcion h como la compuesta de dos funciones(pueden existir mas de una respuesta).

a) h(x) = |x− 4|.b) h(x) = 3

x2+2 .

c) h(x) =√

x2 − 6.

d) h(x) = sin(sec3 x).

18. Sean f, g y h funciones. En cada caso demuestre la igualdad o muestreejemplos para los cuales no se cumple:

a) f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.

b) (g + h) ◦ f = g ◦ f + h ◦ f .

c) 1f◦g = f ◦ 1

g .

d) 1f◦g = 1

f ◦ g.

e) (f · g) ◦ h = (f ◦ g) · (f ◦ h).

f ) f ◦ (g · h) = (f ◦ g) · (f ◦ h).

19. Considere f(x) = sinx. Encuentre el dominio, la imagen y haga la grafica dela funcion g.

a) g(x) = f(−x), g(x) = −f(x), g(x) = |f(x)|, g(x) = f(|x|).b) g(x) = f(x + π), g(x) = f(x− π), g(x) = f(x) + 1, g(x) = f(x)− 1.

c) g(x) = 2f(x), g(x) = 12 · f(x), g(x) = f(2x), g(x) = f

(12x).


20. Determine las funciones f ◦ e y e ◦ f , sus dominios y recorrido, considerandolas funciones definidas por:

f(x) =

−2x− 2 si x ≤ −1.

x2 − 2 si −1 < x < 1

2x− 2 si x ≥ 1.

e(x) =

−5 si x < −5.

x si −5 ≤ x ≤ 5

5 si x > 5.

.

21. Hallar la inversa de cada una de las siguientes funciones, si es posible. Si no esposible, encuentre dos restricciones de cada dominio para cada una y definapara estas su inversa.

a) e(x) = 4− 3x.

b) g(x) = 1(x−4)2 .

c) h(x) = 11−x .

d) f(x) = (x− 2)3 + 1.

e) l(x) = x2 − 8x + 5.

f ) j(x) = x+1x−3

22. Sea f(x) = x2 + 1 Encuentre una funcion g tal que (f ◦ g)(x) = x para todox ∈ Dom(g).

23. Sean f(x) = cos x, g(x) = ax + b y h(x) = c · x, con a 6= 0 6= c. Considerela funcion j(x) = (h ◦ f ◦ g)(x).

a) Grafique j si a = 3, b = 2 y c = −2.

b) Halle la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase para la funcion jde la parte anterior.

c) Exprese en forma general, el periodo y el corrimiento de fase de la funcionj en terminos de a, b y c.

24. Un avion vuela a una velocidad de 600 Km/h, a una altitud de un kilometroy pasa directamente sobre una estacion de radar en el instante t = 0.

a) Exprese la distancia horizontal d(en kilometros) que el avion ha voladocomo funcion del tiempo.

b) Exprese la distancia s entre el avion y la estacion de radar como funcionde d.

c) Aplique la composicion para expresar s como funcion de t.

Capıtulo 4

Lımites y Continuidad.

4.1. Tangente a una Curva.

Vamos a ver como surgen los lımites cuando intentamos hallar la tangente a unacurva en un punto. La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, lacual significa tocar. De este modo, una tangente a una curva es una recta que tocaa esta ultima.

Para un cırculo, podrıamos seguir la idea de Euclides y decir que la tangentees una recta que interseca ese cırculo una vez y solo una vez. Para curvas mascomplicadas, esta definicion es inadecuada en la figura se muestran dos rectas, l yt, que pasan por un punto P de una curva C. La recta l interseca C solo una vez,pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otraparte, la recta t parece una tangente pero interseca C dos veces.

K

l

L C

l

t

P

Vamos a encontrar la ecuacion de la recta tangente t de la curva y = x2 enel punto P (1, 1) y para ello vamos a encontrar su pendiente m. La dificultad de

79

80 CAPITULO 4. LIMITES Y CONTINUIDAD.

encontrar la pendiente radica en que solo conocemos un punto de manera quepodemos solamente calcular una aproximacion para m de manera que tomamos unpunto cercano Q(x, x2) entonces vamos a calcular la pendiente de la recta secantePQ, entonces:

mPQ =x2 − 1

x− 1

Por ejemplo para el punto Q(1,5, 2,25) tenemos:

mPQ =2,25− 1

1,5− 1=

1,25

0,5= 2,5

La tabla a continuacion muestran los valores de mPQ para varios valores de xacercandonos a 1. Entre mas cerca esta Q de P , mas lo esta x de 1 y, por lo quese ve en la tabla, mPQ esta mas proxima a 2 esto sugiere que la pendiente de larecta tangente t debe ser m = 2.

∣∣∣∣

x 0 0,5 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,5 2mPQ 1 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5 3

∣∣∣∣

Decimos que la pendiente de la recta tangente es el Lımite de las pendientesde las rectas secantes y, simbolicamente, expresamos esto al escribir

lımQ→P

mPQ = m

lımx→1

x2 − 1

x− 1= 2

Si se supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, usamos laforma punto-pendiente de la ecuacion de la recta para escribir la ecuacion de la rectatangente que pasa por (1, 1) como: y = 2x − 1. En la siguiente figura se muestrael proceso de tender hacia el lımite que se presenta en este ejemplo. Conforme Q seaproxima a P a lo largo de la parabola, las rectas secantes correspondientes giranen torno a P y se acercan a la recta tangente t.

MQ P

N

O

Q

P

P

Q

Q

P

R

4.2. LIMITE DE UNA FUNCION. 81

4.2. Lımite de una funcion.

Definicion 4. 1 Sea f(x) una funcion a, L ∈ R Escribimos

lımx→a

f(x) = L

Y decimos El lımite de f(x) cuando x tiende a a, es igual a L.

En Terminos generales esto afirma que los valores de f(x) se aproximan cadavez mas al numero L cuando x se acerca a a sea por derecha o por izquierda, perox 6= a; una notacion alternativa es:

f(x)→ L Conforme x→ a

Que se suele leer f(x) tiende a L cuando x tiende a a. Debemos tener cuidadopuesto x 6= a esto consiste en que cuando hayamos el lımite de f(x) con x tendien-do a a nunca consideramos x = a. De hecho, incluso no es necesario que f(x) estedefinida en el cuando x = a. Lo unico que importa es como esta definida f Cercade a.

Ejemplo 1:

Encuentre el valor de lımx→1

x−1x2−1 .

Debemos tener en cuenta que esta funcion no esta definida cuando x = 1 peroeso por lo mencionado anteriormente no nos causa ningun inconveniente. de maneraque calculando los valores con calculadora obtenemos:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999mPQ 0,666667 0,526316 0,502513 0,50025 0,500025

x 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001mPQ 0,4 0,47619 0,497512 0,49975 0,499975

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Con base en la tabla, conjeturamos que:

lımx→1

x− 1

x2 − 1= 0,5

Veamos este asunto graficamente:

ST0,5

|→ 1←

→←


Ejemplo 2:

Encuentre el valor de lımx→0

sin πx .

Debemos tener en cuenta que esta funcion no esta definida cuando x = 0. Si seevalua la funcion en valores pequenos de x resulta

∣∣∣∣∣

x 1 1/2 1/3 1/4 1/10 1/100f(x) 0 0 0 0 0 0

∣∣∣∣∣

Con base en la tabla, podrıamos sentirnos tentados a presumir que:

lımx→0

sinπ

x= 0

Pero, en esta ocasion esta conjetura es erronea. Note que, aun cuando f(1/n) =sin nπ = 0, para cualquier valor entero n, tambien se cumple que f(x) = 1 par unnumero infinito de valores de x que tienden a 0.[De hecho, sin(π/x) = 1 cuandoπ/x = π/2 + 2nπ]. Observemos la grafica:

1

−1

1−1||

En la grafica esta oscilacion siempre va a permanecer por mas que nos acerque-mos a x = 0 de manera que como los valores de f(x) no tienden a un numero fijotenemos que:

lımx→0

sinπ

x= No existe

4.3. Lımites Laterales.

Definicion 4. 2 Escribimos

lımx→a−

f(x) = L

Y decimos que el lımite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a [o el lımitede f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda] es igual a L, si podemosaproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogiendo una x lobastante cerca de a pero menor que a.

Advierta que la anterior definicion difiere de la definicion del Lımite de unaFuncion solo en que x debe ser menor que a. De manera analoga, si requerimos

4.3. LIMITES LATERALES. 83

que x sea mayor que a, obtenemos el Lımite por la derecha de f(x) cuando xtiende a a es igual a L y escribimos:

lımx→a+

f(x) = L

Por lo tanto el sımbolo x→ a+ significa que consideramos solo x > a. observemosesta situacion ilustrando las definiciones.

f(x) L

x→ a

f(x)L

a← x

lımx→a−

f(x) = L lımx→a+

f(x) = L

Definicion 4. 3 Al comparar la definicion de Lımite de una Funcion con la deLımites laterales vemos que el Lımite de una funcion lo podemos definir como:

lımx→a

f(x) = L si y solo si lımx→a−

f(x) = L ∧ lımx→a+

f(x) = L

Ejemplo:

Segun la siguiente grafica de f(x) usela para dar los valores (si existen) de lossiguientes lımites:

1. lımx→2−

f(x).

2. lımx→2+

f(x).

3. lımx→2

f(x).

4. lımx→5−

f(x).

5. lımx→5+

f(x).

◦3 −2 −1 −

U

V◦◦

| |2 5

A partir de la grafica, vemos que los valores de f(x) tienden a 3 cuando x tiendea 2 desde la izquierda, pero se acercan a 1 cuando x tiende a 2 desde la izquierda,pero se acercan a 1 cuando x se aproxima a 2 desde la derecha. por lo tanto

lımx→2−

f(x) = 3 ∧ lımx→2+

f(x) = 1


Como los lımites por la derecha y por la izquierda son diferentes con base enla definicion de lımite basada en lımites laterales concluimos que lım

x→2f(x) no existe.

La grafica muestra que:

lımx→5−

f(x) = 2 ∧ lımx→5+

f(x) = 2

En esta ocasion los lımites por la izquierda y por la derecha son los mismos y,por tanto con base en la misma definicion tenemos lım

x→5f(x) = 2. A pesar de este

hecho debemos tener en cuenta que f(5) 6= 2.

4.4. Calculo de Lımites.

En las pasadas secciones usamos calculadoras y graficas para presumir loa valoresde los lımites, pero vimos que esos metodos no siempre conducen a la respuesta cor-recta. En esta seccion aplicaremos las propiedades siguientes de los lımites conocidascomo las leyes de los lımites, para calcularlos

Leyes de los Lımites:

Supongase que c es una constante y que los limites lımx→a

f(x) y lımx→a

g(x) existen.

Entonces

lımx→a

[f(x) + g(x)] = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x) [1]

lımx→a

[f(x)− g(x)] = lımx→a

f(x)− lımx→a

g(x) [2]

lımx→a

[c · f(x)] = c · lımx→a

f(x) [3]

lımx→a

[f(x) · g(x)] = lımx→a

f(x) · lımx→a

g(x) [4]

lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)(Si lım

x→ag(x) 6= 0) [5]

lımx→a

[f(x)]n =[

lımx→a

f(x)]n

[6]

lımx→a

c = c [7]

lımx→a

x = a [8]

lımx→a

xn = an (Donde n es un entero positivo) [9]

4.4. CALCULO DE LIMITES. 85

lımx→a

n√

x = n√

a (Si n es par positivo consideramos a ≥ 0) [10]

lımx→a

n√

f(x) = n

√

lımx→a

f(x) (Si n es par positivo consideramos lımx→a

f(x) ≥ 0) [11]

lımx→a

f(x) = f(a) (Si f es un polinomio o una funcion racional y a ∈ Dom(f)) [12]

Estas leyes se pueden expresar verbalmente como:

1. El lımite de una suma es la suma de los lımites.

2. El lımite de una diferencia es la diferencia de los lımites.

3. El lımite de una constante multiplicada por una funcion es la constante mul-tiplicada por el lımite de la funcion.

4. El lımite de un producto es el producto de los lımites.

5. El lımite de un cociente es el cociente de los lımites (siempre que el lımite deldenominador no sea cero).

6. El lımite de una potencia es el lımite elevado a dicha potencia..

7. El lımite de una constante es la misma constante.

8. El lımite de una variable es la constante a donde tiende el lımite.

9. El lımite de una potencia de una variable es la constante a donde tiende ellımite elevado a dicha potencia.

10. El lımite de una raız de una variable es la raız de la constante a la que tiendeel lımite.

11. El lımite de una raız de una funcion es la raız del lımite de la funcion.

12. El lımite de una funcion racional o polinomio es el resultado de evaluarlo haciadonde tiende el lımite.

Las funciones que cumplen la ley 12 de sustitucion directa se llaman continuasen a y se estudiaran en la siguiente seccion. Sin embargo no todos los lımites sepueden evaluar por sustitucion directa como algunos de los ejemplos siguientes.


Ejemplo 1:

Evalue lımx→5

(2x2 − 3x + 4) y justifique cada paso.

lımx→5

(2x2 − 3x + 4) = lımx→5

(2x2)− lımx→5

(3x) + lımx→5

(4) (por las leyes 1 y 2)

= 2 lımx→5

x2 − 3 lımx→5

x + lımx→5

4 (por la ley 3)

= 2(52)− 3(5) + 4 (por la leyes 7, 8 y 9)

= 39

Ejemplo 2:

Evalue lımx→−2

x3+2x2−15−3x y justifique cada paso.

lımx→−2

x3 + 2x2 − 1

5− 3x=

lımx→−2

(x3 + 2x2 − 1)

lımx→−2

(5− 3x)(por la ley 5)

=lım

x→−2x3 + 2 lım

x→−2x2 − lım

x→−21

lımx→−2

5− 3 lımx→−2

x(por las leyes 1, 2 y 3)

=(−2)3 + 2(−2)2 − 1

5− 3(−2)(por las leyes 7, 8 y9)

= − 1

10

Se debe tener cuidado al usar la ley 5 puesto el denominador debe ser distinto de 0.

Ejemplo 3:

Encuentre lımx→1

x2−1x−1 .

No podemos hallar el lımite al sustituir x = 1 porque f(1) no esta definido.Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el lımite del denominador es 0.En lugar de ello, necesitamos algo de algebra preliminar. Factorizamos el numeradorcomo una diferencia de cuadrados y lo cancelamos con el denominador. Al calcularel lımite cuando x tiende a 1, nunca tomamos x = 1 sino alrededor, muy cercade 1 como nos lo dice la definicion (no importa que en este caso en 1 no estedefinido), pero nunca tomamos el valor de x en 1 es por esa razon que es lıcitorealizar la cancelacion, de otra manera serıa imposible porque estarıamos dividiendo

4.4. CALCULO DE LIMITES. 87

y multiplicando por 0 y es ası por lo que la expresion lımx→a

solo desaparece en el

momento que vamos a calcular el lımite, nunca desaparece antes.

lımx→1

x2 − 1

x− 1= lım

x→1

(x + 1)(x− 1)

x− 1

= lımx→1

(x + 1)

= lımx→1

x + lımx→1

1

= 1 + 1 = 2

Ejemplo 4:

Encuentre lımh→0

(3+h)2−9h .

lımh→0

(3 + h)2 − 9

h= lım

h→0

(9 + 6h + h2)− 9

h

= lımh→0

(h2 + 6h)

h= lım

h→0(h + 6)

= lımh→0

h + lımh→0

6 = 0 + 6 = 6

Ejemplo 5:

Encuentre lımt→0

√t2+9−3

t2 .

lımt→0

√t2 + 9− 3

t2= lım

t→0

√t2 + 9− 3

t2·√

t2 + 9 + 3√t2 + 9 + 3

= lımt→0

(t2 + 9)− 9

t2(√

t2 + 9 + 3)= lım

t→0

t2

t2(√

t2 + 9 + 3)

= lımt→0

1√t2 + 9 + 3

=1

√

lımt→0

t2 + 9 + 3

=1

3 + 3=

1

6

Teorema 4. 1 Existe un lımite bilateral si y solo si los dos lımites laterales existeny son iguales

lımx→a

f(x) = L si y solo si lımx→a−

f(x) = L ∧ lımx→a+

f(x) = L


La prueba del teorema es bastante sencilla puesto que ya existe una definicionque lo justifica. Basados en este teorema observemos algunos ejemplos que nos clar-ifican su uso.

Ejemplo 6:

Muestre que lımx→0|x| = 0. Recordemos que

|x| ={

−x si x < 0.

x si x ≥ 0.

Como |x| = x para x > 0, tenemos

lımx→0+

|x| = lımx→0+

x = 0

Para x < 0, tenemos |x| = −x y por consiguiente

lımx→0−

|x| = lımx→0−

−x = 0

Y por el teorema anterior tenemos

lımx→0|x| = 0

Ejemplo 7:

Muestre que lımx→0

|x|x no existe.

lımx→0+

|x|x

= lımx→0+

x

x= lım

x→01 = 1

lımx→0−

|x|x

= lımx→0−

−x

x= lım

x→0−1 = −1

Como los dos lımites son distintos, por el teorema anterior concluimos que el lımiteno existe.

Teorema 4. 2 Si f(x) ≤ g(x), cuando x esta cerca de a (excepto posiblemente ena) y los lımites de f y g existen cuando x tiende a, entonces

lımx→a

f(x) ≤ lımx→a

g(x)

Teorema 4. 3 Teorema del Emparedado Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), cuando x estacerca de a (excepto posiblemente en a) y

lımx→a

f(x) = lımx→a

h(x) = L

entonceslımx→a

g(x) = L

4.5. CONTINUIDAD. 89

En la siguiente figura se ilustra el teorema del emparedado, a veces conocidocomo el teorema de la compresion o del apreton afirma que si g(x) se comprimeentre f(x) y h(x), cerca de a, y si f y h tienen el mismo lımite L en a, entonceses forzoso que g tenga el mismo lımite L en a.

W

y = x2

y = −x2

y = x2 sin 1x

Ejemplo 8:

Muestre que lımx→0

x2 1x = 0.

No podemos aplicar la ley del producto para lımites porque en uno de los factoresel lımite no existe [ lım

x→0

1x ] sin embargo por el rango de las funciones trigonometricas

−1 ≤ sin1

x≤ 1

Tenemos de esta manera multiplicando todo por x2

−x2 ≤ x2 sin1

x≤ x2

Sabemos quelımx→0

x2 = 0 ∧ lımx→0−x2 = 0

Al tomar f(x) = −x2, g(x) = x2 sin 1x y h(x) = x2 en el teorema del emparedado

obtenemos

lımx→0

x2 sin1

x= 0

4.5. Continuidad.

En la seccion anterior hicimos notar que se puede hallar el lımite de una funcioncuando x tiende a a, con solo calcular el valor de la funcion en a. Se dice quelas funciones con esta propiedad son continuas en a. Veremos que la definicionmatematica de continuidad corresponde ıntimamente al significado de la palabracontinuidad en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradual-mente, sin interrupcion ni cambio abrupto).


Definicion 4. 4 Una funcion f es continua en un numero a si

lımx→a

f(x) = f(a)

Si f no es continua en a, decimos que f es discontinua en a o que tieneuna discontinuidad en a. Advierta que esta definicion requiere implıcitamente trescosas si f es continua en a:

1. f(a) esta definido (es decir, a ∈ Dom(f)).

2. lımx→a

f(x) existe (de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto

que contiene a a).

3. lımx→x

f(x) = f(a).

La definicion afirma que f es continua en a si f(x) tiende a f(a) cuando xtiende a a. por lo tanto, una funcion continua tiene la propiedad de que un cambiopequeno en x solo produce una pequena alteracion en f(x). De hecho, el cambioen f(x) se puede mantener tan pequeno como deseemos, restringiendo el cambioen x lo necesario.

Geometricamente, una funcion continua en todo numero en un intervalo se puedeconcebir como una funcion cuya grafica no se rompe en este ultimo. La grafica sepuede trazar sin levantar el esfero del papel.

Ejemplo 1:

Diga donde es discontinua la siguiente funcion f(x) = x2−x−2x−2 .

Tenemos que f(2) no esta definido por lo que no cumple el primer requerimientode continuidad por lo que decimos que es discontinua en 2.

X◦

1 −

3 −

| |1 2

Ejemplo 2:

Diga donde es discontinua la siguiente funcion f(x) =

{1x2 si x 6= 0

1 si x = 0.

En este caso, f(0) = 1 esta definido pero lımx→0

f(x) = lımx→0

1x no existe. Ası

entonces, f es discontinua en 0.


Y1 −

Ejemplo 3:

Diga donde es discontinua la siguiente funcion f(x) = ‖x‖.La funcion mayor entero f(x) = ‖x‖ tiene discontinuidades en todos los enteros

porque lımx→n‖x‖ no existe si n es un entero.

|−2

|−1

|1

|2

−2

−1

−−1

−−2

Podemos observar que en el ejemplo 1 se presenta una discontinuidad por unagujero en la grafica mientras que en el ejemplo 2 se presenta es un salto de maneraque a la primera la llamamos Discontinuidad Removible y a la segunda Discon-tinuidad Infinita, A la del ejemplo la llamamos Discontinuidad por salto.

Definicion 4. 5 Una funcion f es continua desde la derecha en un numero asi

lımx→a+

f(x) = f(a)

y f es continua desde la izquierda en un numero a si

lımx→a−

f(x) = f(a)

Ejemplo 4:

En cada entero n, la funcion f(x) = ‖x‖ es continua desde la derecha perodiscontinua desde la izquierda porque:

lımx→n+

f(x) = lımx→n+

‖x‖ = n = f(n)

lımx→n+

f(x) = lımx→n−

‖x‖ = n− 1 6= f(n)


Definicion 4. 6 Una funcion f es continua sobre un intervalo si es continua entodo numero en el intervalo. (En un punto extremo del intervalo, entendemos quequiere decir continua desde la derecha o continua desde la izquierda.)

Ejemplo 5:

muestre que la funcion f(x) = 1−√

1− x2 es continua sobre el intervalo [−1, 1].

Si −1 < a < 1 entonces al aplicar las leyes de los lımites tenemos

lımx→a

f(x) = lımx→a

(1−√

1− x2)

= 1− lımx→a

√

1− x2

= 1−√

lımx→a

1− x2

= 1−√

1− x2

= f(a)

Por la definicion 1, es continua en a si −1 < a < 1. Calculos similares hacenver que:

lımx→−1+

f(x) = 1 = f(−1) ∧ lımx→1−

f(x) = 1 = f(1)

De modo que f es continua desde la derecha en −1 y continua desde la izquierdaen 1. Por consiguiente, segun la definicion anterior, f es continua sobre [−1, 1].

En lugar de aplicar las definiciones anteriores de continuidad para comprobarla continuidad de una funcion, a menudo resulta conveniente aplicar el siguienteteorema, el cual muestra como formar funciones continuas complicadas a partir defunciones sencillas.

Teorema 4. 4 Si f y g son continuas en a y c es una constante, entonces lasfunciones siguientes tambien son continuas en a:

1. f + g.

2. f − g.

3. c · f .

4. f · g.

5. fg si g(a) 6= 0.


Prueba. Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley de loslımites correspondiente. Por ejemplo Demostraremos la parte 1 puesto que f y gson continuas en a tenemos:

lımx→a

f(x) = f(a) ∧ lımx→a

g(x) = g(a)

por lo tanto

lımx→a

(f + g)(x) = lımx→a

[f(x) + g(x)]

= lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x)

= f(a) + g(a) = (f + g)(a)

Esto prueba que f + g es continua en a.

�

Teorema 4. 5 1. Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir escontinuo sobre R = (−∞,+∞).

2. Cualquier funcion racional es continua, siempre que este definida; es decir, escontinua en todo su dominio.

Prueba.

1. Un polinomio es una funcion de la forma

P (x) = cnxn + cn−1xn−1 + · · ·+ c1x + c0

Donde cn, cn−1, . . . + c1, c0 son constantes. Sabemos que

lımx→a

c0 = c0

lımx→a

xm = am m = 1, 2, . . . , n

Esta ecuacion es precisamente la proposicion de la funcion f(x) = xm es unafuncion continua. Por tanto, con base en la parte 3 del teorema exactamenteanterior, la funcion g(x) = cxm es continua. Dado que p es una suma defunciones continuas es continua se deduce que P es continua.

2. Una funcion racional es una funcion de la forma

f(x) =P (x)

Q(x)

donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D = {x ∈ R | Q(x) 6= 0}.Sabemos, con base en el inciso Primero de este teorema, que P y Q soncontinuas en todas partes. De esta forma, f es continua en todo numero enD, de acuerdo con la parte 5 del teorema anterior se tiene que se justifica elteorema. �


Ejemplo 6:

Encuentre lımx→−2

x3+2x2−15−3x .

La funcion

f(x) =x3 + 2x2 − 1

5− 3x

Es racional, de modo que por teorema es continua sobre su dominio, el cual es{x | x 6= 5

3}. Por lo tanto,

lımx→−2

x3 + 2x2 − 1

5− 3x= lım

x→−2f(x) = f(−2)

=(−2)3 + 2(−2)2 − 1

5− 3(−2)= − 1

11

Resulta que la mayor parte de funciones conocidas son continuas en todo numeroen su dominio. Por ejemplo, la ley de los lımites 10 es exactamente la proposicionde que las funciones raız son continuas.Con base en el aspecto de las funciones Seno y Coseno supondrıamos que soncontinuas. De acuerdo con la definicion de sin θ y cos θ sabemos que las coordenadasdel punto P de la siguiente figura son (cos θ, sin θ). Cuando θ → 0, vemos que Ptiende al punto (1, 0) y, por consiguiente, cos θ → 1 y sin θ → 0. Por lo tanto,

Definicion 4. 7lımθ→1

cos θ = 1 ∧ lımθ→0

sin θ = 0

Z P (cos θ, sin θ)

θ

1

(1, 0)|

Puesto que cos 0 = 1 y sin 0 = 0, las ecuaciones dadas en la definicion anteriorafirman que las funciones seno y coseno son continuas en 0. Entonces se puedenaplicar las formulas de la adicion para coseno y seno para deducir que estas funcionesson continuas en todas partes . De la misma manera podemos afirmar que tangentees continua puesto tan θ = sin x

cos x excepto claro donde cosx = 0. Esto sucede cuandox es multiplo impar de π/2, de modo que y = tan x tiene discontinuidades infinitascuando x = ±π/2,±3π/2,±5π/2, . . . ası sucesivamente.


La funcion inversa de cualquier funcion continua tambien es continua (Lagrafica de f−1 se obtiene reflejando la grafica de f respecto a la recta y = x. Asıentonces, si la grafica de f no tiene alguna ruptura, tampoco la tiene la grafica def−1). Por tanto, las funciones trigonometricas inversas son continuas.

Teorema 4. 6 Los siguientes tipos de funciones son continuos en todo numero ensus dominios:

Polinomios, Funciones Racionales, Funciones Raız, Funciones trigonometricas,Funciones trigonometricas inversas, Funciones Exponenciales y Funciones Logarıt-micas.

Ejemplo 7:

Diga en donde es continua la funcion f(x) = ln x+tan−1 xx2−1 .

Por el teorema anterior, sabemos que la funcion y = ln x es continua para x > 0y que y = tan−1 x es continua sobre R por lo tanto, ln x + tan−1 x es continuasobre (0,∞). El denominador es un polinomio de modo que es continuo en todaspartes. por lo tanto es continuo en todos los numeros de x excepto ±1 ası estafuncion es continua en (0, 1) ∪ (1,∞)

Teorema 4. 7 Si f es continua en b y lımx→a

g(x) = b, entonces, lımx→a

f(g(x)) = f(b).

En otras palabras,

lımx→a

f(g(x)) = f(

lımx→a

g(x))

A nivel intuitivo este teorema resulta razonable porque si x esta cerca de a,entonces g(x) esta cerca de b y como f es continua en b, si g(x) esta cerca de bentonces f(g(x)) esta cerca de f(b).

Ejemplo 8:

Evalue lımx→1

sin−1( 1−√

x1−x

).

Debido a que sin−1 es una funcion continua podemos realizar:


lımx→1

sin−1(1−√x

1− x

)

= sin−1(

lımx→1

1−√x

1− x

)

= sin−1(

lımx→1

1−√x

(1−√x)(1 +√

x)

)

= sin−1(

lımx→1

1

1 +√

x

)

= sin−1 1

2=

π

6

Teorema 4. 8 Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces (f ◦g)(x) =f(g(x)) es continua en a. Una funcion continua de una funcion continua es unafuncion continua

Prueba. Como g es continua en a, tenemos lımx→a

g(x) = g(a). Dado que f es

continua en b = g(a), podemos realizar

lımx→a

f(g(x)) = f(g(a))

que es la proposicion de la continuidad en a de la funcion h(x) = f(g(x)); es decir,f ◦ g es continua en a.

�

Ejemplo 9:

Diga en donde es continua h(x) = |x|.

Puesto que |x| =√

x2 para todo x tenemos h(x) = f(g(x)), donde g(x) = x2

y f(x) =√

x. Ahora bien, g es continua sobre R, puesto es un polinomio, y f escontinua sobre el rango de g, [0,∞), en virtud de que f es una funcion raız. Portanto, por el teorema enunciado h = f ◦ g es continua en R.

Ejemplo 10:

Diga en donde es continua F (x) = ln(1 + cos x).

Sabemos que f(x) = ln x es continua y g(x) = 1 + cosx tambien lo es. porlo tanto por el teorema anterior F8x) = f(g(x)) es continua siempre que estedefinida. Ahora bien, ln(1 + cos x) esta definida cuando 1 + cos > 0. Por tanto, noesta definido cuando cos x = −1 y esto sucede cuando x = ±π,±3π, . . .. Por tantoF tiene discontinuidades cuando x es un multiplo impar de π y es continuo sobrelos intervalos entre estos valores.


Teorema 4. 9 del Valor Intermedio. Suponga que f es continua sobre el intervalocerrado [a, b] y sea N cualquier numero estrictamente entre f(a) y f(b). Entoncesexiste un numero c en (a, b) tal que f(c) = N .

El teorema del valor intermedio afirma que una funcion continua toma los valoresintermedios entre los valores de la funcion f(a) y f(b). Este hecho se ilustra En lasiguiente figura. Note que el valor de N se puede tomar una vez [como en la partea)] o mas de una vez [como en la parte b)].

f(a)

N

f(b)

a c f(b)a)

y = f(x)

f(a)

N

f(b)

a c3c2c1 f(b)b)

y = f(x)

Si pensamos en una funcion continua como una funcion cuya grafica no tieneagujeros o rupturas, entonces es facil ver que el teorema de valor intermedio escierto. En terminos geometricos, dice que si se da cualquier horizontal y = N entrey = f(a) y y = f(b), como en la figura anterior entonces la grafica de f debe inter-secar y = N en alguna parte. Este teorema no se cumple para funciones que no seancontinuas, su uso es para hallar las raıces de ecuaciones como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 11:

Demuestre que la ecuacion 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 tiene una raız entre 1 y 2.

Sea f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x− 2. Estamos buscando una solucion a la ecuaciondada; es decir, un numero c entre 1 y 2 tal que f(c) = 0 por lo tanto por el teorematomamos a = 1, b = 2 y N = 0:

f(1) = 4− 6 + 3− 1 = −1 < 0

f(2) = 32− 24 + 6− 2 = 12 > 0

Por lo tanto, f(1) < 0 < f(2); es decir, N = 0 es un numero entre f(1) y f(2).Ahora bien f es continua porque es un polinomio, de modo que el teorema del valorintermedio afirma que existe un numero c entre 1 y 2 tal que f(c) = 0. En otraspalabras, la ecuacion 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 tiene por lo menos una raız en c enel intervalo (1, 2).


De hecho podemos localizar con precision aplicando el teorema. Puesto que

f(1,2) = −0,128 < 0 ∧ f(1,3) = 0,548 > 0

una raız se debe encontrar entre 1,2 y 1,3. Una calculadora da por tanteos,

f(1,22) = −0,007008 < 0 ∧ f(1,23) = 0,056068 > 0

De modo que una raız se debe encontrar entre 1,22 y 1,23.

4.6. Lımites que Comprenden el Infinito.

En esta seccion investigaremos el comportamiento global de las funciones y, enparticular, si sus graficas tienden hacia asıntotas, verticales u horizontales.

4.6.1. Lımites Infinitos.

Notemos que lımx→0

1x2 = no existe para indicar este tipo de comportamiento,

usamos la notacion

lımx→0

1

x2=∞

Esto no significa que nos refiramos a ∞ como un numero ni que exista el lımite;simplemente expresa la forma particular en que el lımite no existe: Podemos hacer1/x2 tan grande como deseemos escogiendo un x suficientemente cercano a 0.

Definicion 4. 8 Sea f una fusion definida a ambos lados de a, excepto quizas enel propio a. Entonces

lıma→a

f(x) =∞

Significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tangrandes como deseemos) eligiendo un x lo bastante cerca de a (pero no igual a a).

Otra notacion esf(x)→∞ cuando x→ a

De nuevo, el sımbolo ∞ no es un numero pero, a menudo, la expresion lımx→a

f(x) =

∞ se lee como El lımite de f(x), cuando x tiende a a, es infinito o f(x) tiendeal infinito cuando x tiende a a o f(x) crece sin cota cuando x tiende a a.

De manera analoga lımx→a

f(x) = −∞ significa que los valores de f(x) son tan

grandes negativos como deseemos para todos los valores de x que esten suficiente-mente cerca de a, pero sin ser iguales a a.

Se pueden dar definiciones similares para los lımites infinitos laterales

lımx→a−

f(x) =∞ lımx→a+

f(x) =∞

4.6. LIMITES QUE COMPRENDEN EL INFINITO. 99

lımx→a−

f(x) = −∞ lımx→a+

f(x) = −∞

En la siguiente ilustracion se muestra se ilustra la definicion de un lımite infinito

a

Definicion 4. 9 La recta x = a se llama Asıntota vertical de la curva y = f(x)si se cumple por lo menos una de las siguientes proposiciones:

lımx→a

f(x) = ∞ lımx→a−

f(x) =∞ lımx→a+

f(x) =∞

lımx→a

f(x) = −∞ lımx→a−

f(x) = −∞ lımx→a+

f(x) = −∞

Poe ejemplo el eje y es una asıntota vertical de la curva y = 1/x2 porquelımx→0

(1/x2) =∞.

Ejemplo 1:

Encuentre lımx→3+

2x−3 y lım

x→3−

2x−3 :

Si x esta cercano a 3, pero es mayor que 3, entonces el denominador x − 3 esun numero positivo pequeno y, por consiguiente, 2/(x − 3) es un numero positivogrande. Por tanto, de manera intuitiva vemos que lım

x→3−

2x−3 = −∞.

De modo semejante, si x esta cerca de 3, pero es menor que 3, entonces x− 3es un numero negativo pequeno y, de este modo, 2/(x − 3) es una valor negativonumericamente grande. Por tanto lım

x→3+

2x−3 =∞. Veamoslo graficamente.

x = 3


Dos funciones conocidas que poseen asıntotas verticales son y = tan x y y = ln xvemos en las figuras que:

3π

2ππ

2−π

2−π−3π

2

lımx→(π/2)−

tan x =∞ lımx→0+

ln x = −∞y por lo tanto, la recta x = 0 (el eje y) es una asıntota vertical para ln x. De

hecho lo mismo es cierto para y = loga x, siempre que x > 1. Para tan x, la rectax = π/2 es una asıntota vertical. De hecho, las rectas x = (2n + 1)π/2, n es unentero, son asıntotas verticales de esta funcion.

Ejemplo 2:

Encuentre lımx→0

ln(tan2 x).

Introducimos una nueva variable t = tan2 x. Entonces, t ≥ 0 y t = tan2 x →tan2 0 = 0 cuando x → 0, porque tan x es una funcion continua. de modo que,tenemos

lımx→0

ln(tan2 x) = lımt→0+

ln t = −∞

4.6.2. Lımites en el Infinito.

Al calcular lımites infinitos, hicimos que x tendiera a un numero y el resultadofue que los valores de y se hicieron grandes (positivos o negativos) de manera arbi-traria. En este caso, permitamos que x se vuelva arbitrariamente grande (positivoo negativo) y veamos que le sucede a y.

Empecemos investigando por el comportamiento de la funcion f definida por

f(x) = x2−1x2+1 . Cuando x se hace arbitrariamente grande. la tabla de de valores de

esta funcion nos muestra que y tiende hacia 1.

|1

1


∣∣∣∣

x ±0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±10 ±50 ±100 ±1000f(x) −1 0 0,6 0,8 0,882353 0,92077 0,980198 0,9992 0,9998 0,999998

∣∣∣∣

Conforme x crece mas y mas, se puede ver que los valores de f(x) se aproximancada vez mas a 1. De hecho, parece que podemos acercar cuanto queramos losvalores de f(x) a 1 eligiendo una x lo bastante grande. Esta situacion se expresaen forma simbolica escribiendo

lımx→∞

x2 − 1

x2 + 1= 1

Definicion 4. 10 Sea f una funcion definida en el intervalo (a,∞) entonces

lımx→∞

f(x) = L

significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como deseemos siescogemos un x suficientemente grande.

Otra notacion para lımx→∞

f(x) = L es

f(x)→ L cuando x→∞

El sımbolo ∞ no representa un numero. No obstante, la expresion lımx→∞

f(x) = L

a menudo se lee como El lımite de f(x), cuando x tiende al infinito, es L.

Si volvemos a la figura f(x) = x2−1x2+1 , veremos que para los valores negativos

numericamente grandes de x, los valores de f(x) estan cercanos a 1. Al reducir x atraves de los valores negativos sin cota, podemos acercar f(x) a 1 cuanto queramos.Esto se expresa escribiendo

lımx→−∞

f(x) = L

Definicion 4. 11 La recta y = L se llama Asıntota Horizontal de la curva y =f(x) si

lımx→∞

f(x) = L o lımx→−∞

f(x) = L

Un ejemplo de una curva con dos asıntotas horizontales es y = tan−1 x en efectolım

x→−∞tan−1 x = −π

2 y lımx→∞

tan−1 x = π2 :

π2

−π2


De modo que y = −π/2 y y = π/2 son asıntotas horizontales. (esto se concluyea partir del hecho de que las rectas y = ±π/2 son asıntotas verticales de la graficade tan x).

Ejemplo 1:

Encuentre lımx→−∞

1x y lım

x→∞1x .

Observe que cuando x es grande, 1/x es pequeno. Por ejemplo 1/100 = 0,01,1/100 = 0,0001 y 1/1000000 = 0,0000001. De hecho, si elegimos un x suficiente-mente grande podemos aproximar 1/x a 0 cuanto queramos. Por lo tanto, segunla definicion tenemos lım

x→∞1x = 0. Un razonamiento similar hace ver que cuando

x es grande negativo, 1/x es pequeno negativo; de este modo, tambien tenemoslım

x→−∞1x = 0. Se infiere que la recta y = 0 es una asıntota horizontal de la curva

y = 1/x (es una hiperbola equilatera).

La mayor parte de las leyes de los lımites tambien se cumplen para los lımitesen el infinito. Se puede probar que las leyes de los lımites (con la excepcion de lasleyes 8, 9 y 10) tambien son validas si x → a se reemplaza con x → ∞ o conx → −∞. En particular, si combinamos la ley 6 con los resultados del ejemploanterior, obtenemos la importante regla que sigue para el calculo de lımites.

Definicion 4. 12 Si n es un entero positivo, entonces

lımx→∞

1

xn= 0 lım

x→−∞1

xn= 0

Ejemplo 2:

Evalue lımx→∞

3x2−x−25x2+4x+1 :

Para evaluar el lımite de una funcion racional, dividimos el numerador y el de-nominador entre la mayor potencia de x que se halla en el denominador. (Podemossuponer que x 6= 0, puesto que solo estamos interesados en los valores grandes dex). En este caso, la mayor potencia de x es x2, con lo cual tenemos, luego de aplicar


las leyes de los lımites,

lımx→∞

3x2 − x− 2

5x2 + 4x + 1= lım

x→∞

3x2−x−2x2

5x2+4x+1x2

= lımx→∞

3− 1x − 2

x2

5 + 4x + 1

x2

=lım

x→∞

(

3− 1x − 2

x2

)

lımx→∞

(

5 + 4x + 1

x2

)

=lım

x→∞3− lım

x→∞1x − lım

x→∞2x2

lımx→∞

5 + lımx→∞

4x + lım

x→∞1x2

=3− 0− 0

5 + 0 + 0=

3

5

Ejemplo 3:

Evalue lımx→∞

(√

x2 + 1− x):

Multiplicamos el numerador y el denominador por el radical conjugado,

lımx→∞

(√

x2 + 1− x) = lımx→∞

(√

x2 + 1− x) ·√

x2 + 1 + x√x2 + 1 + x

= lımx→∞

(x2 + 1)− x2

√x2 + 1 + x

= lımx→∞

1√x2 + 1 + x

Se podrıa aplicar el teorema del emparedado para demostrar que este lımite es0. Pero un metodo mas facil es dividir el numerador y el denominador entre x. Alhacerlo recordando que x =

√x2 para x > 0, obtenemos

lımx→∞

(√

x2 + 1− x) = lımx→∞

1x

√

1 + 1x2 + 1

= lımx→∞

0√1 + 0 + 1

= 0

La grafica de la funcion exponencial natural y = ex tiene la recta y = 0 (eje x)como asıntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier funcion exponencialcon base a > 1). En efecto, a partir de la grafica y la tabla correspondiente devalores tenemos:

lımx→−∞

ex = 0


1

y = ex

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x ex

0 1−1 0,36788−2 0,133534−3 0,04979−5 0,00674−8 0,00034−10 0,00005

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ejemplo 4:

Evalue lımx→0−

e1/x.

Si Hacemos t = 1/x, sabemos que, t→ −∞ cuando x→ 0−. Por lo tanto

lımx→0−

e1/x = lımx→−∞

et = 0

Ejemplo 5:

Evalue lımx→∞

sin x.

Cuando x crece, los valores de sin x oscilan entre 1 y −1 infinitamente por lotanto lım sinx no existe.

4.6.3. Lımites Infinitos en el Infinito.

La notacionlım

x→∞f(x) =∞

Se usa para indicar que los valores de f(x) se agrandan cuando x se hace grande.Se asocian significados semejantes a los sımbolos siguientes:

lımx→−∞

f(x) =∞ lımx→−∞

f(x) = −∞ lımx→−∞

f(x) = −∞

Por ejemplo

lımx→∞

ex =∞ lımx→−∞

x3 = −∞ lımx→∞

x3 =∞

Ejemplo 1:

Encuentre lımx→∞

(x2 − x).

Note que no podemos escribir lımx→∞

(x2 − x) = lımx→∞

x2 − lımx→∞

x = ∞−∞.

Las leyes de los lımites no se pueden aplicar a los lımites infinitos porque ∞ no esun numero (∞−∞ es indefinible). Sin embargo, podemos escribir

lımx→∞

(x2 − x) = lımx→∞

x(x− 1) =∞


porque tanto x como x− 1 se hacen arbitrariamente grandes.

Ejemplo 2:

Encuentre lımx→∞

x2+x3−x .

Dividimos el numerador y el denominador entre x (la mayor potencia de x queaparece en el denominador en este caso),

lımx→∞

x2 + x

3− x= lım

x→∞x + 13x − 1

= −∞

Porque x + 1→∞ y 3/x− 1→ −1 cuando x→∞.

4.6.4. Asıntotas (repaso).

Definicion 4. 13 Una recta L es asıntota de una grafica de la funcion y = f(x) sial alejarnos del origen de la funcion la grafica y la recta se acercan cada vez massin llegar a ser iguales

Asıntota Vertical.

La recta x = a es asıntota vertical (como en el dibujo de la derecha) de y = f(x)si:

lımx→a

f(x) = ±∞ ∨ lımx→a+

f(x) = ±∞ ∨ lımx→a−

f(x) = ±∞

Asıntota Horizontal.

La recta y = b es asıntota horizontal (como en el dibujo del centro) de y = f(x)si:

lımx→+∞

f(x) = b ∨ lımx→−∞

f(x) = b

Asıntota Oblicua.

La recta y = mx + b es asıntota oblicua (como en el dibujo de la izquierda) de

y = f(x) = P (x)Q(x) donde el grado de p(x) = Q(x) + 1 si:

lımx→±∞

[f(x)− (mx + b)] = 0


Ejemplo:

Encuentre las asıntotas de f(x) = x3+2x−8xx2−x−2 .

Por el numerador sabemos los puntos de corte con el eje x son (0, 0) y (−4, 0).Si hacemos f(0) obtenemos x = 0 de manera que con el eje y se corta en (0, 0).

Factorizando tenemos f(x) = x(x−2)(x+4)(x+1)(x−2) de manera que el dominio es Dom(f) =

R− {1, 2}.

lımx→2

x(x− 2)(x + 4)

(x + 1)(x− 2)= 4

lımx→−1+

x(x− 2)(x + 4)

(x + 1)(x− 2)= −∞

lımx→−1−

x(x− 2)(x + 4)

(x + 1)(x− 2)= +∞

Podemos decir que Tiene una discontinuidad removible en x = 2 y una Asıntotavertical en x = −1.

lımx→+∞

x3 + 2x− 8x

x2 − x− 2= ±∞

De manera que no posee Asıntotas horizontales ya que el lımite no tiende a unnumero en particular. Realizando la division de polinomios entre el numerador y eldenominador ya que la del denominador es grado 3 y la del denominador es grado2 entonces:

x3 + 2x2 − 8x + 0 |x2 − x− 2

−x3 + x2 + 2x + 0 x + 3

3x2 − 6x + 0

−3x2 + 3x + 6

−3x + 6

De esta manera f(x) = (x + 3) + −3x+6x2−x−2 y tomando el lımite tenemos:

lımx→±∞

[

(x + 3) +−3x + 6

x2 − x− 2− (x + 3)

]

= lımx→±∞

[ −3x + 6

x2 − x− 2

]

= 0

De manera que y = x + 3 es una asıntota oblicua de la grafica tenemos:

4.7. EJERCICIOS. 107

[◦

| |−4

−1 2

f(x) = x3+2x−8xx2−x−2

4.7. Ejercicios.

1. Muestre que:

a) lımx→−1

−9x + 2 6= 10.

b) lımx→−1

1x2 6= 2.

c) lımx→9

f(x) = 1 si f(x) =

{

1 si x ∈ Q

x− 8 si x ∈ R−Q

d) Si f(x) =

{

1 si x ∈ Q

x− 8 si x ∈ R−Qentonces lım

x→−1f(x) no existe.

2. En cada una de las siguientes preguntas justifique plenamente su respuesta.Nota: Aquı Existe significa Existe y es finito.

a) Si no existen los lımites lımx→a

f(x) y lımx→a

g(x). Puede existir lımx→a

[f(x) +

g(x)]? Puede existir lımx→a

f(x) · g(x)?

b) Si existen lımx→a

f(x) y lımx→a

[f(x) + g(x)]. Debe existir lımx→a

g(x)?

c) Si existe lımx→a

f(x) y no existe lımx→a

g(x). Puede existir lımx→a

[f(x)+g(x)]?

d) Si existen lımx→a

f(x) y lımx→a

f(x)·g(x). Se sigue de ello que exista lımx→a

g(x)?

e) Dar un ejemplo en el que exista lımx→a

f(x2) pero no exista lımx→a

f(x).

f ) Supongase f(x) ≤ g(x) para todo x. Demostrar que lımx→a

f(x) ≤ lımx→a

g(x)

siempre que los lımites existan.

g) Si f(x) < g(x) para todo x. Se sigue necesariamente que lımx→a

f(x) <

lımx→a

g(x)?


3. Calcule los siguientes lımites, si existen:

(a) lımx→3

x3 − 27

x− 3(b) lım

x→−3

x3−27x−3 (c) lım

x→2

x2 − 7x + 10

x− 2

(d) lımx→1

xn − 1

x− 1, n ∈ Z (e) lım

x→0

1−√

1−x2

x (f) lımx→0

1−√

1− x2

x2

(g) lımx→8

3√

x− 2

x− 8(h) lım

h→0

(3+h)−1−(3)−1

h (i) lımx→2

x− 2

|x− 2|

(j) lımx→0

x− 2

|x− 2| (k) lımx→3−

6x2−9 (l) lım

x→2−

x5 − 4x

x2 − 4

(m) lımx→4+

7− 5x

x− 4(n) lım

x→4−

7−5xx−4 (o) lım

x→−∞1

x2

(p) lımx→−∞

x3 − 5x2 + 8

−2x4 + 9x2 − x(q) lım

x→+∞x6−3x9+1

x3−x (r) lımx→−∞

x3 + x− 2

5− 4x3

(s) lımx→+∞

2√

x + x−1

3x− 7(t) lım

x→−∞

3√

x−2x4x+x2/3−1

(u) lımx→+∞

sin 2x

x

(v) lımx→−∞

− cos x

3x(w) lım

x→−∞x sin 1

x (x) lımx→+∞

( 3

x2− cos

1

x

)(

1 + sin1

x

)

(y) lımx→0

sin 2x

x(z) lım

x→0

3xtan 5x (A) lım

x→0

sin(sin x)

x

(B) lımx→0

3− 3 cos 2x

x(C) lım

x→0

1−cos 2xsin 3x (D) lım

x→0

sin 4x

cos 3x− 1

(E) lımx→π/2

(sin x)− 1

x− π/2(F ) lım

x→π/2

cos xx−π/2 (G) lım

x→0sin x sin

1

x

(H) lımx→∞

√1 + 4x2

4 + x(I) lım

x→0

1+cos2 x−2 cos xx2 (J) lım

x→π/2x cscx

4. a) Haga la grafica de una funcion f : R −→ R que satisfaga simultanea-mente todas las condiciones:

(a) lımx→−∞

f(x) = +∞ (b) lımx→3

f(x) = 3

(c)f(4) = 0 (d) lımx→0

f(x) = +∞(e) lım

x→1−

f(x) = −1 (f) lımx→1+

f(x) = f(1) = 0

(g) lımx→5−

f(x) = +∞ (h) lımx→5+

f(x) = −∞

(i)f(5) = 0 (j) lımx→+∞

f(x) = 2

b) Defina Una funcion f : R −→ R que satisfaga simultaneamente todaslas condiciones anteriores.


5. En cada caso de ejemplos de funciones que verifiquen:

a) lımx→a

f(x) = +∞, lımx→a

g(x) = +∞, lımx→a

f(x)g(x) = π.

b) lımx→a


g(x) = −∞, lımx→a

f(x)g(x) = −3.

c) lımx→a



f(x) + g(x) = 0.

d) lımx→a



f(x) + g(x) = +∞.

e) lımx→a



f(x) + g(x) = −∞.

f ) lımx→a



f(x) · g(x) = −∞.

g) lımx→a

f(x) = 0, lımx→a


f(x) · g(x) = 1.

h) lımx→a



f(x)g(x) = 0.

i) lımx→a



f(x)g(x) = +∞.

j) lımx→a

f(x) = −∞, lımx→a


f(x)g(x) = 2.

6. Halle las asıntotas verticales, horizontales u oblicuas de:

a) f(x) = 6x3−8x+1x2−2 .

b) g(x) = x3+x−216−2x3 .

c) h(x) = −2x2−4x+6x3−1 .

7. Defina una funcion f(x) que cumpla simultaneamente las siguientes condi-ciones:

a) y = −3 es asıntota de f .

b) f tiene una discontinuidad infinita en 2.

c) f(−1) = 0.

d) f tiene una discontinuidad removible en −4.

e) f es continua en todo a ∈ R− {−4, 2}.

8. Defina una funcion g(x) que cumpla simultaneamente las siguientes condi-ciones:

a) y = 2 es asıntota de f .

b) g es continuidad en todo a ∈ R− {3, 5}.c) y = x + 1 es una asıntota de g.

d) g tiene una discontinuidad removible en 5.

e) g tiene una discontinuidad de salto en 3, pero es continua por izquierdaen 3.


9. Sea a un numero real arbitrario pero fijo. Hallar una funcion que sea continuaen a pero no sea continua en ningun otro punto.

10. Para cada una de las siguientes funciones, decidir cuales estan acotadas supe-riormente e inferiormente en el intervalo indicado, y cuales de ellas alcanzanmaximo o mınimo:

a) f(x) = x2 en (−1, 1).

b) h(x) = x2 en [0,∞).

c) k(x) = x3 en (−1, 1).

d) g(x) =

{

x si x ∈ Q

0 si x /∈ Qen [0, a].

e) j(x) =

{

0 si x /∈ Q1p si x = p

q irreducibleen (0, 1].

f ) l(x) = ‖x‖ en [0, a].

11. Para cada una de las siguientes funciones hallar un entero n tal que f(x) = 0para algun x entre n y n + 1.

a) f(x) = x3 − x + 3

b) f(x) = x5 + 5x4 + 2x + 1

c) f(x) = x5 + x + 1

d) f(x) = 9x2 − 6x + 1

12. Demostrar que existe algun numero x tal que:

a) x131 + 1571+x2+sin2 x

= 39.

b) sinx = x− 1

13. Suponga que f es continua en [a, b] y f(x) es siempre racional. Que podemosdecir de f?.

14. Muestre que si f y g son funciones continuas en R y f(x) = g(x) para todox ∈ Q entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ R.

15. Hallar la mınima cota superior y la maxima cota inferior (si existen) de lossiguientes conjuntos. Decidir tambien cuales tienen maximo y cuales tienenmınimo.

a) { 1n+1 | n ∈ N}.

b) { 1n | n 6= 0 ∧ n ∈ Z}

c) { 1n + (−1)n | n ∈ N− {0}}

d) {x | x = 0 ∨ x = 1n+1 para algun n ∈ N}

e) {x | x2 + x + 1 ≥ 0}


f ) {x | x < 0 ∧ x2 + x− 1 < 0}g) {x | 0 ≤ x ≤

√2 ∧ x ∈ Q}

h) {x | x2 + x− 1 < 0}

16. Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas y justifiquesu eleccion:

a) Toda funcion continua es acotada.

b) Si f no es continua en [a, b] entonces f no es acotada en [a, b].

c) Toda ecuacion de la forma anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 = c con

an 6= 0, tiene solucion para todo c real si n es impar.

d) Toda ecuacion de la forma anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 = c con

an 6= 0, tiene solucion para todo c real si n es par.

e) Si f toma maximo en [a, b] entonces f es continua en [a, b]

Capıtulo 5

Derivadas.

5.0.1. Tangentes.

Regresaremos al problema de la tangente y ahora al problema de la velocidadpero con la habilidad de calcular pendientes de tangentes y velocidades. Si unacurva C tiene la ecuacion y = f(x) y queremos hallar la tangente a C en el puntoP (a, f(a)), entonces consideramos en un punto cercano Q(x, f(x)), donde a 6= a,

y calculamos la pendiente de la recta secante lımx→a

mpq = f(x)−f(a)x−a . En seguida

acercamos Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mpq tiendea un numero m entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por P conpendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posicion lımite dela recta secante PQ cuando Q tiende a P ).

\

]

x− a

f(x)− f(a)

P (a, f(a))

Q(x, f(x))

xa

Definicion 5. 1 La PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE a la curva y =f(x) en el punto P (a, f(a)) es

m = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

113

114 CAPITULO 5. DERIVADAS.

Ejemplo 1:

Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la parabola y = x2 en el punto(1, 1).

En este caso, tenemos a = 1 y f(x) = x2, de manera que la pendiente es

m = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a= lım

x→1

x2 − 1

x− 1

= lımx→1

(x− 1)(x + 1)

x− 1

= lımx→1

(x + 1) = 1 + 1 = 2

Con la formula punto-pendiente de la ecuacion de una recta, encontramos queuna ecuacion de la recta tangente en (1, 1) es

y − 1 = 2(x− 1) ∨ y = 2x− 1

A veces nos referimos a la pendiente de la recta tangente a una curva en unpunto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si nos acercamoslo suficiente al punto, La curva arece una lınea recta. Existe otra expresion para lapendiente de la recta que a veces es mas facil de usar. Sea

h = x− a Entonces

x = a + h

de modo que la pendiente de la recta secante PQ es

mpq =f(a + h)− f(a)

h

Adviertase que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 y, de este modo, la expresionpara la pendiente de la recta tangente queda:

Definicion 5. 2

m = lımh→0

f(a + h)− f(a)

h

Ejemplo 2:

Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la hiperbola y = 3/x en el punto(3, 1).

Sea f(x) = 3/x. Entonces, la pendiente de la tangente en (3, 1) s

115

m = lımh→0

f(3 + h)− f(3)

h

= lımh→0

33+h − 1

h= lım

h→0

3−(3+h)3+h

h

= lımh→0

−h

h(3 + h)= lım

h→0

−1

3 + h

= −1

3

Por lo tanto una ecuacion de la tangente en el punto (3, 1) es

y − 1 = −1

3(x− 3) ∨ x + 3y − 6 = 0

5.0.2. Velocidades.

Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una lınea recta, de acuerdo conuna ecuacion de movimiento s = f(t), donde s es el desplazamiento (distanciadirigida) del objeto respecto al origen, en el instante t. La funcion f que describeel movimiento se conoce como funcion de la posicion del objeto. En el intervalot = a hasta el intervalo t = a + h, el cambio en la posicion es f(a + h)− f(a). Lavelocidad promedio en este periodo es

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=

f(a + h)− f(a)

h

Que es lo mismo que la pendiente de la secante PQ que habıamos deducido.

^

_

h

f(a + h)− f(a)

P (a, f(a))

Q((a + h), f(a + h))

a + ha

Suponga ahora que calculamos las velocidades promedio en los lapsos [a, a + h]mas y mas cortos. En otras palabras, haciendo que h tienda a 0.


Definicion 5. 3 Definimos la VELOCIDAD INSTANTANEA como el lımite delas velocidades promedio

v(a) = lımh→0

f(a + h)− f(a)

h

Esto significa que la velocidad en el instante t = a es igual a la pendiente de larecta tangente en P .

Ejemplo 3:

Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de una torre,450m arriba del suelo. Cual es la velocidad de la pelota despues de 5 segundos?.Con que velocidad baja cuando choca contra el suelo?.

Usemos la ecuacion del movimiento s = f(t) = 4,9t2 para hallar la velocidadde a segundos:

v(a) = lımh→0

f(a + h)− f(a)

h= lım

h→0

4,9(a + h)2 − 4,9a2

h

= lımh→0

4,9(a2 + 2ah + h2 − a2)

h= lım

h→0

4,9(2ah + h2)

h

= lımh→0

4,9(2a + h) = 9,8a

La velocidad despues de 5 segundos es v(5) = (9,8)(5) = 49 m/s.Como la pelota esta a 450m arriba del suelo, la pelota chocara contra este en elinstante t1, cuando s(t1) = 450; es decir

4,9t21 = 450 donde t1 =

√450

4,9≈ 9,6 segundos

por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es:

v(t1) = 9,8t1 ≈ (9,8)(9,6) ≈ 94m/s

5.1. Derivadas.

En la seccion anterior definimos la pendiente de la tangente a una curva conecuacion y = f(x) en un punto donde x = a, como

m = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

De hecho, siempre que calculamos una razon de cambio en cualquiera de las ciencias,los lımites de esa forma surgen como una razon de cambio en la quımica, una

5.1. DERIVADAS. 117

velocidad instantanea en la fısica o un costo marginal en la economıa. Dada lafrecuencia con que se presenta este tipo de lımite, se le da un nombre y una notacionespecial

Definicion 5. 4 La Derivada de una funcion f en un numero a, denotada conf

′

es:

f′(a) = lım

h→0

f(a + h)− f(a)

h

si este lımite existe.

Si escribimos x = a + h, entonces h = x− a y h tiende a 0 si y solo si x tiendea a. Por lo tanto, una manera equivalente de enunciar la definicion de la derivada,como vimos al hallar rectas tangentes es

f′

(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

Ejemplo 1:

Encuentre la derivada de la funcion f(x) = x2 − 8x + 9 en el numero a.

Utilizando la definicion tenemos

f′

(a) = lımh→0

f(a + h)− f(a)

h

= lımx→0

[(a + h)2 − 8(a + h) + 9]− [a2 − 8a + 9]

h

= lımx→0

a2 + 2ah + h2 − 8a− 8h + 9− a2 + 8a− 9

h

= lımx→0

2ah + h2 − 8h

h= lım

x→0(2a + h− 8) = 2a− 8

Interpretacion de la derivada como la pendiente de una tangente.

La recta tangente a y = f(x), en (a, f(x)), es la recta que pasa por (a, f(a))cuya pendiente es igual a f

′

(a), la derivada de f en a.

Ejemplo 2:

Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la parabola f(x) = x2 − 8x + 9en el punto (3,−6).


Con base en el ejemplo anterior, sabemos que la derivada de f(x) = x2−8x+9en el numero a es f

′

(a) = 2x−8. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en(3,−6) es f

′

(3) = 2(3)−8 = −2. De esta forma una ecuacion de la recta tangentees

y − (−6) = (−2)(x− 3) ∨ y − 2x = 0

Interpretacion de la derivada como una razon de cambio.

La derivada f′

(a) es la razon instantanea de cambio de y = f(x) con respectoa x cuando x = a

Definimos como el cambio en x como ∆x = x2−x1 y el cambio correspondienteen y es ∆y = f(x2)− f(x1), de manera que

razon de cambio instantanea = lım∆x→0

∆x

∆y= lım

x2→x1

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

Ejemplo 3:

La posicion de una partıcula se da con la ecuacion del movimiento s = f(t) =1/(1 + t) donde t se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad y larapidez despues de 2 segundos.

f′

(a) = lımh→0

f(2 + h)− f(2)

h

= lımx→0

11+(2+h) − 1

1+2

h

= lımx→0

13+h − 1

3

h= lım

x→0

3−(3+h)3(3+h)

h

= lımx→0

−h

3(3 + h)h= lım

x→0

−1

3(3 + h)= −1

9

Por lo tanto, la velocidad despues de 2 segundos es f′

(2) = −1/9 m/s y larapidez es |f ′

(2)| = | − 1/9| = 1/9 m/s.

5.2. La Derivada Como Funcion.

Anteriormente consideramos la derivada de una funcion f en un numero fijo a:

f′

(a) = lımh→0

f(a + h)− f(a)

h

5.2. LA DERIVADA COMO FUNCION. 119

En este punto, cambiamos nuestro punto de vista y hacemos que el numero a varıe.si en la ecuacion anterior reemplazamos el NUMERO a con una VARIABLE x,obtenemos

f′

(x) = lımx→0

f(x + h)− f(x)

h

Dado cualquier numero x para el cual este lımite exista, asignamos a x el numerof

′

(x). De modo que podemos considerar f′

como una nueva funcion, llamadaderivada de f y definida por medio de esta ecuacion. Sabemos que el valor de f

′

en x se puede interpretar geometricamente como la pendiente de la recta tangentea la grafica f en el punto (x, f(x).

La funcion f′

se conoce como derivada de f , porque se ha derivado de fpor medio de la operacion de hallar el lımite , El Dominio de f

′

es el conjuntoDom(f

′

) = {x | f ′

(x) existe} y puede ser menor que el dominio de f .

Ejemplo 1:

Si f(x) = x3 − x, encuentre una formula para f′

(x) e ilustrela comparandolacon la grafica de f(x).

Cuando Se usa la definicion para calcular una derivada, hay que tener en cuentaque la variable es h y que x se considera temporalmente una constante, durante elcalculo del lımite.

f′

(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

[(x + h)3 − (x + h)]− [x3 − x]

h

= lımh→0

x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x− h− x3 + x

h

= lımh→0

3x2h + 3xh2 + h3 − h

h

= lımh→0

3x2 + 3xh + h2 − 1

h= 3x2 − 1

Graficando obtenemos la figura de la izquierda. Notese que cuando f tienetangentes horizontales f

′

(x9 = 0 cuando tiene pendientes de tangentes positivas escreciente y cuando son negativas es decreciente.

f

f′


Ejemplo 2:

Encuentre la derivada de f(x) =√

x y establezca el dominio de f′

.

f′

(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

√x + h−√x

h

= lımh→0

√x + h−√x

h·√

x + h +√

x√x + h +

√x

= lımh→0

(x + h)− x

h(√

x + h +√

x)

=1√

x +√

x=

1

2√

x

Vemos que f′

(x) existe si x > 0, de modo que dominio de f′

(x) es (0,∞). Estees menor que el dominio de f , el cual es [0,∞)

Otras notaciones.

Si usamos la notacion tradicional y = f(x) para indicar que la variable indepen-diente es x y la dependiente y, entonces algunas otras notaciones comunes para laderivada son:

f′

(x) = y′

=dy

dx=

df

dx=

d

dxf(x) = Df(x) = Dxf(x)

Los sımbolos D y d/dx se llaman operadores de derivacion porque indican laoperacion de derivacion, que es el proceso de calcular una derivada.

El sımbolo d/dx (introducido por Leibniz) no se debe considerar como una razon(por ahora); es sencillamente un sinonimo de f

′

(x). No obstante, es una notacionutil y sugerente, en especial cuando se usa en la notacion de incrementos. Con baseen estas notaciones podemos escribir la definicion de la derivada en la notacion deLeibniz en la forma

dy

dx= lım

∆x→0

∆ y

∆ x

Si deseamos indicar el valor de una derivada dy/dx en la notacion de Leibniz enun numero especıfico a, usamos la notacion que son sinonimos para f

′

(a):

dy

dx

∣∣∣∣∣x=a

∨ dy

dx

]

x=a

Definicion 5. 5 Una funcion f es Diferenciable en a si f′

(a) existe. Es Difer-enciable en un intervalo abierto (a, b), [o (a,∞) o (−∞, a) o (−∞,∞)] si esdiferenciable en todo numero del intervalo.

5.2. LA DERIVADA COMO FUNCION. 121

Ejemplo 3:

Donde es diferenciable la funcion f(x) = |x|?

Si x > 0, entonces |x| = x y podemos elegir h lo suficientemente pequeno quex + h > 0 y de donde |x + h| = x + h. Por lo tanto para x > 0 tenemos

f′

(x) = lımh→0

|x + h| − |x|h

= lımh→0

(x + h)− x

h= lım

h→0

h

h= lım

h→01 = 1

y ası es diferenciable para cualquier x > 0. De manera similar, para x < 0 podemoselegir h lo suficientemente pequeno que x + h < 0 y de donde |x + h| = −(x + h).Por lo tanto para x < 0 tenemos

f′

(x) = lımh→0

|x + h| − |x|h

= lımh→0

−(x + h)− (−x)

h= lım

h→0

−h

h= lım

h→0−1 = −1

Con lo que f es diferenciable para cualquier x < 0. Para x = 0 tenemos queinvestigar

f′

(0) = lımh→0

−(0 + h)− (0)

h

= lımh→0

|0 + h| − |0|h

Comparemos los lımites por izquierda y por derecha por separados

lımh→0+

|0 + h| − |0|h

= lımh→0+

|h|h

= lımh→0+

h

h= lım

h→0+1 = 1

lımh→0−

|0 + h| − |0|h

= lımh→0−

|h|h

= lımh→0−

−h

h= lım

h→0−

−1 = −1

Puesto que son diferentes, f′

(0) no existe. Por lo tanto, f es diferenciable entoda x excepto 0, la expresion

f′

(x)

{

1 si x > 0

−1 si x < 0


Da una formula para f′

y su grafica aparece en la figura de la derecha. La inexistenciade f

′

(0) se refleja geometricamente en que la curva y = |x| no tiene recta tangenteen (0, 0).

f

f′

Tanto la continuidad como la diferenciabilidad son propiedad deseables para unafuncion y el teorema siguiente muestra como se relacionan ambas.

Teorema 5. 1 Si f es diferenciable en a entonces es continua en a.

Prueba. Para probar que f es continua en a, tenemos que probar que lımx→a

f(x) =

f(a). llevamos a cabo esto demostrando que la diferencia f(x)− f(a) tiende a 0.La informacion que tenemos es que f es diferenciable en a; es decir,

f′

(a) = lımh→0

f(x)− f(a)

x− a

existe. Para vincular lo dado con lo desconocido, dividimos y multiplicamos f(x)−f(a) por x− a (lo cual es variable cuando x 6= a):

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a(x− a)

Por lo tanto, si usamos la ley de producto podemos escribir

lımx→a

[f(x)− f(a)] = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a(x− a)

= lımx→a

f(x)− f(a)

x− alımx→a

(x− a)

= f′

(a) · 0 = 0

Para utilizar lo que acabamos de probar, partimos de f(x) y le sumamos y restamosf(a):

lımx→a

f(x) = lımx→a

[f(a) + (f(x)− f(a))]

= lımx→a

f(a) + lımx→a

(f(x)− f(a))

= f(a) + 0 = f(a)

por lo tanto, f es continua en a. �

El inverso del teorema es falso; es decir hay funciones que son continuas perono son diferenciables. Por ejemplo la funcion f(x) = |x| es continua pero no esdiferenciable en 0.

5.3. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. 123

Como Deja de ser diferenciable una funcion.

En general si la grafica de una funcion tiene esquinas o retorcimientos, la graficade f no tiene tangente en esos puntos y f no es diferenciable allı, puesto al tomar loslımites laterales vemos que son diferentes. Ademas por el teorema anterior podemosobservar que por cualquier discontinuidad en la funcion automaticamente deja de serdiferenciable. Una tercera posibilidad es que la curva presente una tangente verticala pesar de ser continua.

5.3. Derivadas de Orden Superior.

Si f es una funcion diferenciable, entonces su derivada f′

tambien es una fun-cion; por lo tanto, f

′

puede tener una derivada, denotada con (f′

)′

= f′′

. Estanueva funcion se llama Segunda Derivada con la notacion de Leibniz, escribimosla segunda derivada de y = f(x) como

d

dx

(

dy

dx

)

=d2

dx2

Ejemplo 4:

Si f(x) = x3 − x encuentre e interprete f′′

(x).

En un ejemplo anterior vimos que la primera derivada es f′

= 3x2 − 1. Por lotanto la segunda derivada es

f′′

= lımh→0

f′

(x + h)− f′

(x)

h

= lımh→0

[3(x + h)2 − 1]− [3x2 − 1]

h

= lımh→0

3x2 + 6xh + 3h2 − 1− 3x2 + 1

h

= lımh→0

(6x + 3h) = 6x


Vemos a continuacion las figuras de f , f′

y f′′

. observe que f′′

es negativacuando y = f

′

(x) tiene pendiente negativa y positiva cuando y = f′

(x) tienependiente positiva.

f′′

f′

f

En General podemos interpretar la segunda derivada como la razon de cambiode una razon de cambio. El ejemplo mas famoso es esto es la aceleracion, la cualdefinimos como sigue.

Definicion 5. 6 La razon instantanea del cambio de velocidad con respecto al tiem-po se llama aceleracion a(t) del objeto. Por lo tanto, la funcion aceleracion es laderivada de la funcion velocidad y, por consiguiente es la segunda derivada de lafuncion de posicion:

a(t) = v′

(t) = s′′

(t) o bien a =dv

dt=

d2s

dt2

La Tercera Derivada es la derivada de la segunda derivada f′′′

= (f′′

)′

. Deeste modo la tercera derivada se puede interpretar como la pendiente de la curvay = f

′′

(x) o como la razon de cambio de f′′

(x). con la notacion de Leibniz,escribimos la segunda derivada de y = f(x) como

y′′′

= f′′′

(x) =d

dx

(

d2

dx2

)

=d3

dx3

El Proceso puede continuar. la cuarta derivada suele notarse con f (4). En general,la n−esima derivada de f se nota con f (n) y se obtiene derivando f n veces. Siy = f(x) escribimos

y(n) = f (n)(x) =d

dx

(

dn−1

dxn−1

)

=dn

dxn

La tercera Derivada de la funcion posicion es decirla derivada de la funcion acel-eracion se conoce como TIRON, por lo tanto el tiron es la razon de cambio dela aceleracion. El nombre es apropiado porque un gran tiron representa un cambiosubito en la aceleracion, lo cual produce un movimiento abrupto en un vehıculo.

5.4. REGLAS DE DERIVACION 125

5.4. Reglas de Derivacion

5.4.1. Derivadas de Polinomios y Funciones Exponenciales.

En esta Seccion aprenderemos la manera de derivar funciones constantes, fun-ciones potencias, polinomios entre otra. Empecemos por la mas sencilla de todas, lafuncion constante f(x) = c. la grafica de esta funcion es la recta horizontal y = c lacual tiene pendiente 0, de modo que debemos tener f

′

(x) = 0. Una demostracionformal, a partir de la definicion de derivada tenemos:

f′

(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

c− c

h

= lımh→0

0 = 0

Teorema 5. 2 La Derivada de una Funcion Constante es

d

dx(c) = 0

Teorema 5. 3 Regla de la Potencia: Si n es Cualquier real, entonces

d

dx(xn) = nxn−1

Prueba. Si f(x) = xn entonces

f′

(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

(x + h)n − xn

h

Al hallar la derivada debemos desarrollar el producto notable (x + h)n ası queaplicando el teorema del binomio:

f′

(x) = lımh→0

[

xn + nxn−1h + n(n+1)2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

]

− xn

h

= lımh→0

nxn−1h + n(n+1)2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

h

= lımh→0

[

nxn−1h +n(n + 1)

2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn

]

= nxn−1

Porque todos los terminos, excepto el primero, tienen h como factor y por lo tantotienden a 0. Ası que demostrado para n entero positivo queda al alumno realizar oinvestigar sobre n cualquier real.

�


Vamos a Ilustrar con varios ejemplos el uso de la regla de la potencia:

Ejemplo 1:

Si f(x) = x6 ⇒ f′

(x) = 6x5.

Si y = x100 ⇒ y′

= 100x99.

Si y = t4 ⇒ dx

dt= 4t3.

Sid

dxr3 = 3r2.

Sid

dx

1

x=

d

dxx−1 = −1x−2 = − 1

x2.

Sid

dx

√x =

d

dxx1/2 = −x−1/2

2= − 1

2√

x.

Ejemplo 2:

Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la curva y = x√

x, en el punto(1, 1), e ilustre.

La derivada de f(x) = x√

x = x3/2 es

f′

(x) =3

2x(3/2)−1 =

3

2x1/2 =

3

2

√x

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f′

(1) = 3/2. Porconsiguiente, una ecuacion de la recta tangente es

y − 1 =3

2(x− 1) ∨ y =

3

2x− 1

2

f(x)

f′

(x)1 −

|1

`

Teorema 5. 4 Regla Del Multiplo Constante: Si c es una constante y f es unafuncion diferenciable entonces

d

dx[c · f(x)] = c · d

dxf(x)


Prueba. Sea g(x) = cf(x). Entonces

g′

(x) = lımh→0

g(x + h)− g(x)

h= lım

h→0

cf(x + h)− cf(x)

h

= lımh→0

c

[

f(x + h)− f(x)

h

]

= c lımh→0

f(x + h)− f(x)

h(por la ley 3 de los lımites)

= c · f ′

(x)

�

Ejemplo 3:

a)d

dx(3x4) = 3

d

dx(x4) = 3(4x3) = 12x3.

b)d

dx(−x) =

d

dx[(−1)x] = (−1)

d

dx(x) = (−1)1 = −1.

Teorema 5. 5 Regla De la Suma: Si tanto f como g son diferenciables, entonces

d

dx[f(x) + g(x)] =

d

dxf(x) +

d

dxg(x)

Prueba. Sea F (x) = f(x) + g(x). Entonces

F′

(x) = lımh→0

F (x + h)− F (x)

h

= lımh→0

[f(x + h) + g(x + h)]− [f(x) + g(x)]

h

= lımh→0

[

f(x + h)− f(x)

h+

g(x + h)− g(x)

h

]

= lımh→0

f(x + h)− f(x)

h+ lım

h→0

g(x + h)− g(x)

h

= f′

(x) + g′

(x)

�

Esta regla se puede nombrar como La derivada de una suma de Funciones es lasuma de las derivadas de las funciones.


La regla de la suma se puede extender a la suma de cualquier numero de fun-ciones. Por ejemplo, si se aplica este teorema por dos veces obtenemos:

(f + g + h)′

= [(f + g) + h]′

= (f + g)′

+ h′

= f′

+ g′

+ h′

Al escribir f − g como f + (−1)g y al aplicar la regla del multiplo constanteobtenemos la formula

Teorema 5. 6 Regla De la Diferencia: Si tanto f como g son diferenciables,entonces

d

dx[f(x)− g(x)] =

d

dxf(x)− d

dxg(x)

Estas Cuatro reglas se pueden combinar para derivar cualquier polinomio, como semuestra en lo ejemplos siguientes.

Ejemplo 4:

Derive El siguiente polinomio x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x + 5

d

dx(x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x + 5)

=d

dx(x8) + 12

d

dx(x5)− 4

d

dx(x4) + 10

d

dx(x3)− 6

d

dx(x) +

d

dx(5)

= 8(x7) + 15(5x4)− 4(4x3) + 10(3x2)− 6(1) + 0

= 8x7 + 60x4 − 16x3 + 30x2 − 6

Ejemplo 5:

Encuentre los puntos donde la curva x4 − 6x + 4 tiene tangentes horizontales:

Sabemos que las tangentes son horizontales cuando la pendiente es cero demanera que

d

dx=

d

dx(x4)− 6

d

dx(x2) +

d

dx(4)

= 4x3 − 12x + 0 = 4x(x2 − 3)

De donde d/dx = 0 SI X = 0 O (X2 − 3) = 0, por lo tanto la curva tiene tan-gentes horizontales cuando X = 0, x =

√3 y x = −

√3. De manera que evaluando

en f(x) estos puntos obtenemos que son los puntos del plano cartesiano (0, 4),(√

3,−5) y (−√

3,−5).


Ejemplo 6:

La ecuacion del movimiento de una partıcula es s = 2t3 − 5t2 + 3t + 4 donde sse mide en centımetros y t en segundo. Encuentre la aceleracion como funcion deltiempo. Cual es la aceleracion despues de 2 segundos?

La velocidad y la aceleracion son:

v(t) =ds

dt= 6t2 − 10t + 3

a(t) =dv

dt= 12t− 10

La aceleracion despues de 2 segundos es a(2) = 14 cm/s2.

Intentemos calcular la derivada de la funcion exponencial f(x) = ax, aplicandola definicion de la derivada:

f′

(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

ax+h − ax

h

= lımh→0

axah− ax

h= lım

h→0

ax(ah− 1

h

El factor ax no depende de h, de manera que podemos llevarlo afuera del lımite ası:

f′

(x) = lımh→0

ax ah− 1

h

Advierta que el lımite es el valor de la derivada de f en 0; esto es,

lımh→0

ax ah− 1

h= f

′

(0)

Por lo tanto hemos demostrado que si la funcion exponencial f(x) = ax es diferen-ciable en 0, entonces es diferenciable en todas partes y

Teorema 5. 7 La razon de cambio de cambio de cualquier Funcion Exponenciales proporcional a la altura

f′

(x) = f′

(0)ax

Definicion 5. 7 e es el numero tal que

lımh→0

ex − 1

h= 1


Geometricamente, esto significa que de todas las funciones exponenciales posi-bles y = ax, la funcion f(x) = ex es aquella cuya tangente en (0,1) tiene unapendiente f

′

(0) = 1.

Si suponemos a = e y por lo tanto f′

(0) = 1 en la proporcionalidad de lafuncion exponencial decimos

Teorema 5. 8 Derivada de la funcion Exponencial Natural:

d

dx(ex) = ex

El significado geometrico de esto es que la pendiente de la recta tangente a la curvay = ex es igual a la ordenada y del punto.

Ejemplo 7:

Si f(x) = ex − x encuentre f′

y f′′

.

Si se aplica la regla de la diferencia tenemos:

f′

(x) =d

dx(ex − x) =

d

dx(ex)− d

dx(x) = ex − 1

f′′

(x) =d

dx(ex − 1) =

d

dx(ex)− d

dx(1) = ex

5.4.2. Reglas del Producto y del Cociente.

Regla del Producto.

Por analogıa con las reglas de la suma y la diferencia, podrıa sentirse la tentacionde presumir (Como lo hizo Leibniz) que la derivada de un producto es el producto delas derivadas. Sin embargo, podemos ver que esta suposicion es erronea al considerarun ejemplo particular. Sea f(x) = x2 y g(x) = x. Entonces derivando obtenemosf

′

(x) = 2x y g′

(x) = 1 y (f · g)(x) = x3 y (f · g)′

(x) = 3x2. Por lo tanto(f · g)

′ 6= f′ · g′

. La formula fue descubierta poco tiempo despues de su falso inicioy se llama la regla del producto.

uv v∆u

∆u∆vu∆v∆v

∆v

u ∆u


Antes de enunciar la regla del producto, veamos como podrıamos descubrirla enel caso en el que tanto u = f(x) como v = g(x) son funciones positivas, podemosinterpretar el producto uv como un area de un rectangulo, si x cambia una cantidad∆x, entonces los cambios correspondientes en u y v son

∆u = f(x + ∆x)− f(x) ∆v = g(x + ∆x)− g(x)

y el nuevo valor del producto (u + ∆u)(v + ∆v) se puede interpretar como el areadel rectangulo del rectangulo de la pagina anterior (siempre que ∆u y ∆v seanpositivos). El cambio en el rectangulo es

∆(uv) = (u + ∆u)(v + ∆v)− uv = u∆v + v∆u + ∆u∆v

= la suma de las tres areas sombreadas

Si dividimos entre ∆x, obtenemos:

∆(uv)

∆x= u

∆(v)

∆x+ v

∆(u)

∆x+ ∆u

∆(v)

∆x

Si ahora hacemos que ∆x→ 0, obtenemos la derivada de uv:

d

dx(uv) = lım

∆x→0

∆(uv)

∆x= lım

∆x→0

(

u∆(v)

∆x+ v

∆(u)

∆x+ ∆u

∆(v)

∆x

)

= u lım∆x→0

∆(v)

∆x+ v lım

∆x→0

∆(u)

∆x+

(

lım∆x→0

∆(u)

)(

lım∆x→0

∆(v)

∆x

)

= udv

dx+ v

du

dx+ 0 · dv

dx

= udv

dx+ v

du

dx

Notese que ∆u→ 0 cuando ∆x→ 0, puesto que f es diferenciable y por lo tantocontinua. Aun cuando se partio de la hipotesis (para la interpretacion geometrica)que todas las cantidades son positivas, observamos que la ecuacion que se deducedel rectangulo siempre es verdadera. (El algebra es valida si u, , v ∆u y ∆v sonpositivas o son negativas). De modo que hemos probado que la lınea final de ladeduccion es la regla del producto, para todas las funciones diferenciables u y v.

Teorema 5. 9 Regla Del Producto: Si tanto f como g son diferenciables, en-tonces

d

dx[f(x) · g(x)] = f(x)

d

dx[g(x)] + g(x)

d

dx[f(x)]

La derivada de un producto de dos funciones es la primera funcion multiplicadapor la derivada de la segunda funcion, mas la segunda funcion multiplicada por laderivada de la primera funcion.


Ejemplo 1:

Encuentre la n−esima derivada de f(x) = xex.Vamos a hallar por la regla del producto la primera derivada:

f′

(x) =d

dx(xex) = x

d

dx(ex) + ex d

dx(x)

= xex + ex · 1 = (x + 1)ex

Hallando la segunda derivada obtenemos

f′′

(x) =d

dx((x + 1)ex) = (x + 1)

d

dx(ex) + ex d

dx(x + 1)

= (x + 1)ex + ex · 1 = (x + 2)ex

De la misma manera para la tercera y cuarta derivada obtenemos

f (3)(x) = (x + 3)ex f (4)(x) = (x + 4)ex

De hecho en cada derivacion se agrega otro termino de manera que

f (n)(x) = (x + n)ex

.Ejemplo 2:

Derive la funcion f(t) =√

t(1− t).Aplicando la regla del producto

f′

(t) =d

dt(√

t(1− t)) = (√

t)d

dt(1− t) + (1− t)

d

dt(√

t)

=√

t(−1) + (1− t) · 12t−1/2

= −√

t +1− t

2√

t=

1− 3t

2√

t

Ejemplo 3:

Si f(x) =√

xg(x), donde g(4) = 2 y g′

(4) = 3, encuentre f′

(4).Aplicando la regla del producto

f′

(x) =d

dx(√

xg(x)) = (√

x)d

dxg(x) + g(x)

d

dx(√

x)

=√

xg′

(x) + g(x) · 12x−1/2

=√

xg′

(x) +g(x)

2√

x

f′

(4) =√

4g′

(4) +g(4)

2√

4= 3 · 3 +

2

2 · 2 = 6,5


Regla del Cociente.

Suponga que f y g son funciones diferenciables. Si establecemos la hipotesis deque la funcion cociente F = f/g es diferenciable, entonces no es difıcil hallar unaformula para F

′

, en terminos de f′

y g′

. Dado F (x) = f(x)/g(x), podemos escribirf(x) = F (x)g(x) y aplicar la regla del producto.

f′

= F (x) + g(x)F′

(x)

Si se resuelve esta ecuacion para F′

(x), obtenemos

F′

(x) =f

′

(x)− F (x)g′

(x)

g(x)=

f′

(x)− f(x)g(x) g

′

(x)

g(x)

=g(x)f

′

(x)− f(x)g′

(x)

[g(x)]2

(

f(x)

g(x)

)′

=g(x)f

′

(x)− f(x)g′

(x)

[g(x)]2

Teorema 5. 10 Regla Del Cociente: Si tanto f como g son diferenciables, en-tonces

d

dx

[

f(x)

g(x)

]

=g(x) d

dx [f(x)]− f(x) ddx [g(x)]

[g(x)]2

La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada delnumerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, tododividido entre el cuadrado del denominador.

Ejemplo 3:

Sea y = x2+x−2x3+6 halle la derivada de y.

f′

(x) =x2 + x− 2

x3 + 6

=(x3 + 6) d

dx (x2 + x− 2)− (x2 + x− 2) ddx (x3 + 6)

(x3 + 6)2

=(x3 + 6)(2x + 1)− (x2 + x− 2)(3x2)

(x3 + 6)2

=(2x4 + x3 + 12x + 6)− (3x4 + 3x3 − 6x2)

(x3 + 6)2

=−x4 − 2x3 + 6x2 + 12x + 6

(x3 + 6)2


Ejemplo 4:

Encuentre una ecuacion de la recta tangente a la curva f(x) = ex/(1− x2) enel punto (1, e/2).

De Acuerdo con la regla del cociente, tenemos

d

dxf(x) =

(1 + x2) ddx (ex)− (ex) d

dx (1 + x2

(1 + x2)2

=(1 + x2)(ex)− (ex)(2x)

(1 + x2)2=

ex(1− x)x2

(1 + x2)2

De modo que la pendiente de la recta tangente en (1, e/2) es f′

(0) = 0, esto sig-nifica que una recta horizontal ası que la respuesta serıa f(x) = e/2.

Nota: No se utilice la regla del cociente cada vez que se vea un cociente. Aveces es mas facil volver a escribir un cociente y ponerlo en forma mas sencilla queresolverlo utilizando la regla. Por ejemplo aun cuando es posible derivar la funcion

F (x) =3x2 + 2

√x

x

aplicando la regla del cociente es mucho mas sencillo dividir primero y escribir lafuncion como

F (x) = 3x + 2x1/2

antes de derivar.

5.5. Derivadas de las funciones Trigonometricas.

Antes de iniciar es importante recordar que cuando hablamos de la funcion fdefinida para todos los numeros reales x definida por f(x) = sin x se entiende quesin x significa el seno del angulo cuya medida en radianes es x. se cumple una con-vencion similar para las demas funciones trigonometricas . Recordemos ademas quetodas las funciones trigonometricas son continuas en cada numero en sus dominios.

Teorema 5. 11 Si f(x) = sin x entonces f′

(x) = cosx.

5.5. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. 135

Prueba. A partir de la definicion de la derivada, tenemos

f′

(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h

= lımh→0

sin(x + h)− sin(x)

h

= lımh→0

sinx cos h + cosx sin h− sinx

h

= lımh→0

[

sin x

(

cos h− 1

h

)

+ cos x

(

sinh

h

)]

= lımh→0

sinx · lımh→0

cosh− 1

h+ lım

h→0cosx · lım

h→0

sinh

h

Dos de estos cuatro lımites son faciles de evaluar. Puesto que consideramosx como una constante cuando calculamos un lımite cuando h → 0, tenemoslımh→0

sinx = sin x y lımh→0

cosx = cos x. Con base en la evidencia numerica deci-

mos que lımh→0

cos hh .

Oh C A

E

D

B

O

BE

A

Ahora usaremos un argumento geometrico para probar este ultimo lımite. Supon-ga primero que h se encuentra entre 0 y π/2 se muestra un sector del cırculo concentro en O, angulo central h y radio 1. BC se traza perpendicularmente a OA porla definicion de radian, tenemos que arc AB = h. Asimismo, |BC| = |OB| sin h =sin h con base en el diagrama, vemos que

|BC| < |AB| < arc AB

por lo tanto sinh < h de modo que sin hh < 1. Supongase que las tangentes en A y B

se cruzan en E. Puede ver, con base en la figura de la derecha que la circunferenciade un cırculo es menor que la longitud de un polıgono circunscrito, de modo quearc AB < |AE|+ |EB|. Por lo tanto

h = arc AB < |AE|+ |EB|< |AE|+ |ED|= |AD| = |OA| tan h

= tan h


Por lo cual tenemos

h <sin h

cosh

de modo que

cos h <sinh

cos h< 1

Sabemos que lımh→0

1 = 1 y lımh→0

cos h = 1; por lo tanto, por el teorema de la

compresion tenemos

lımh→0+

sin h

h= 1

Pero la funcion (sin h)/h es una funcion par, de suerte que sus lımites por la derechay la izquierda deben ser iguales. De donde tenemos

Teorema 5. 12 Lımite trigonometrico Fundamental

lımh→0

sinh

h= 1

Podemos deducir el valor del lımite restante como sigue

lımh→0

cos h− 1

h= lım

h→0

[

cos h− 1

h· cosh + 1

cosh + 1

]

= lımh→0

cos2 h− 1

h(cosh + 1)

= lımh→0

− sin2 h

h(cos h + 1)= − lım

h→0

sin h

h· sinh

cosh + 1

= − lımh→0

sinh

h· lım

h→0

sin h

cosh + 1

= −1

(

0

1 + 1

)

= 0

de modo que otro

Teorema 5. 13 Lımite trigonometrico Fundamental

lımh→0

cos h− 1

h= 0

Si ahora ponemos los lımites en donde dejamos el teorema obtenemos

f′

(x) = lımh→0

sin x · lımh→0

cos h− 1

h+ lım

h→0cos x · lım

h→0

sin h

h

= (sin x) · 0 + (cos x) · 1 = cos x

�

5.5. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. 137

Si seguimos los mismos metodos podemos se puede probar que

Teorema 5. 14

d

dx(cos x) = − sin x

Ejemplo 1:

Encuentre la derivada de tan x:

d

dx(tan x) =

d

dx

(

sinx

cos x

)

=cos x d

dx (sin x)− sin x ddx (cos x)

cos2 x

=cos x cos x− sin x(− sin x)

cos2 x

=cos2 x + sin2 x

cos2 x

=1

cos2 x= sec2 x

Derivadas de las Funciones trigonometricas.

d

dx(sin x) = cosx

d

dx(csc x) = − csc x cot x

d

dx(cos x) = − sin x

d

dx(sec x) = secx tan x

d

dx(tan x) = sec2 x

d

dx(cot x) = − csc2

Ejemplo 2:

Derive f(x) = sec(x)1+tan x para cuales valores de x la grafica de f tiene una tan-

gente horizontal?


La regla del cociente da

f′

=(1 + tan) d

dx (sec x)− secx ddx (1 + tan x)

(1 + tan x)2

=(1 + tan)(sec x tan x)− secx(sec2 x)

(1 + tan x)2

=secx[tan x + tan2 x− sec2 x]

(1 + tan x)2

=secx(tan x− 1)

(1 + tan x)2

Como secx nunca es 0, vemos que f′

= 0 cuando tan x = 1 y esto sucedecuando x = nπ + π/4, donde n es un entero.

Las funciones trigonometricas se usan con frecuencia en el modelado de feno-menos del mundo real. En particular, los movimientos elasticos y otras cantidadesque varıan de manera periodica se pueden describir con las con las funciones trigonometri-cas. En el ejemplo siguiente, analizamos un caso de movimiento armonico simple.

Ejemplo 3:

Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplazahacia abajo 4 cm mas alla de su posicion de reposo, para estirar el resorte, y se dejaen libertad en el instante t = 0. Su posicion en el instante t es

s = f(t) = 4 cos t

Encuentre la velocidad y la aceleracion en el instante t y uselas para analizar elmovimiento del objeto.La velocidad y la aceleracion son

v =ds

dt=

d

dt(4 cos t) = 4

d

dt(cos t) = −4 sin t

a =dv

dt=

d

dt(−4 sin t) = 4

d

dt(sin t) = −4 cos t

El objeto oscila desde el punto mas bajo (s = 4 cm) hasta el punto mas alto(s = −4cm) (teniendo en cuenta que hacia arriba es negativo y hacia abajo espositivo y el reposo es el origen). El periodo de oscilacion es 2π, el periodo de cos t.La rapidez (magnitud de la velocidad) es |v| = 4| sin t|, la cual es maxima cuando| sin t| = 1; es decir, cuando cos t = 0. De modo que el objeto se mueve con lamayor rapidez cuando pasa por su posicion de equilibrio (s = 0). Su rapidez es 0cuando sin t = 0, esto es, en los puntos alto y bajo.

La aceleracion a = −4 cos t = 0 cuando s = 0. Tiene la magnitud maxima enlos puntos alto y bajo.

5.6. REGLA DE LA CADENA. 139

5.6. Regla de la Cadena.

Suponga que se le pide derivar la funcion

F (x) =√

x + 1

las formulas anteriores de este capıtulo no son armas para realizarlo. Observe que Fes una funcion compuesta. si hacemos y = f(u) =

√u y g(x) = x2 + 1. Entonces

podemos escribir y = F (x) = f(g(x)); es decir F = f ◦ g en terminos de lasderivadas de f y g. Resulta que la derivada de la funcion compuesta f ◦ g es elproducto de las derivadas de f y g. Este hecho es uno de los mas importantes de lasreglas de derivacion y se llama regla de la cadena. Parece plausible, si interpretamoslas derivadas como razones de cambio. Considere dy/dx como la razon de cambiode t con respecto a x. Si u cambia el doble de rapido que x y y tres veces de rapidode u, entonces resulta razonable que y cambie seis veces de rapido que x y, porconsiguiente, esperamos que

dy

dx=

dy

du

du

dx

Teorema 5. 15 Regla de la Cadena: Si tanto f como g son funciones diferencia-bles y F = f ◦ g es la funcion compuesta definida por F (x) = f(g(x)), entonces Fes diferenciable y el producto expresa F

′

F′

(x) = f′

(g(x)) g′

(x)

En la notacion de Leibniz, si tanto y = f(u) como u = g(x) son funciones diferen-ciables, entonces

dy

dx=

dy

du

du

dx

Comentarios: Sea ∆u el cambio en u correspondiente a un cambio de ∆x en x;es decir

∆u = g(x + ∆x)− g(x)

Entonces el cambio correspondiente en y es

∆y = f(u + ∆u)− f(u)

resulta tentador escribir

dy

dx= lım

∆x

∆y

∆x

= lım∆x→0

∆y

∆u· ∆u

∆x

= lım∆x→0

∆y

∆u· lım∆x→0

∆u

∆x

= lım∆u→0

∆y

∆u· lım∆x→0

∆u

∆x

=dy

du

du

dx


El unico defecto de este razonamiento es que, podrıa ser que ∆u = 0 (inclusocuando ∆x 6= 0) y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. No obstante, esterazonamiento por lo menos sugiere que la regla de la cadena es verdadera. Se puededar un argumento mas sutil para suprimir el defecto, pero no se presentara en estetexto. La regla de la cadena se puede escribir con apostrofos

(f ◦ g)′

(x) = f′

(g(x))g′

(x)

o bien, si y = f(u) y u = g(x), en la notacion de Leibniz:

dy

dx=

dy

du

du

dx

La ecuacion anterior es facil de recordar porque, si dy/du y du/dx fueran cocientes,entonces podrıamos cancelar d(u). Sin embargo, recuerde que du no se ha definidoy no sebe considerar du/dx como un cociente real.

Ejemplo 1:

Encuentre F′

(x) si f(x) =√

x2 + 1.

Expresamos que F (x) = f(g(x)) de manera que f(u) =√

u y g(x) = x2 +1entonces tenemos que

f′

(u) =1

2√

u∧ g

′

(x) = 2x

entonces

F′

(x) = f′

(g(x))g′

(x)

=1

2√

x2 + 1· 2x =

x√x2 + 1

Nota: En la aplicacion de la regla de la cadena, trabajamos del exterior hacia elinterior. La formula expresa que derivaos la funcion exterior f [en la funcion interiorg(x)] y, a continuacion, multiplicamos por la derivada de la funcion interior

d

dxf︸︷︷︸

F. ext.

g(x)︸︷︷︸

Evaluada en F. int.

= f′

︸︷︷︸

Der. F. ext.

(g(x))︸︷︷︸

Evaluada en F. int.

g′

(x)︸︷︷︸

Der. F. int.

Ejemplo 2:

Derive y = sin(x2)

d

dxsin︸︷︷︸

F. ext.

(x2)︸︷︷︸

Evaluada en F. int.

= cos︸︷︷︸

Der. F. ext.

(x2)︸︷︷︸

Evaluada en F. int.

(x)︸︷︷︸

Der. F. int.

= 2x cos(x2)

5.6. REGLA DE LA CADENA. 141

Ejemplo 3:

Derive y = sin2(x)

d

dx(sin x)2︸︷︷︸

F. int.

= 2︸︷︷︸

Der. F. ext.

(sin x)︸︷︷︸

Evaluada en F. int.

(cos x)︸︷︷︸

Der. F. int.

= 2 sin x cos x = sin 2x

Teorema 5. 16 Regla de la Potencia combinada con la regla de la CadenaSi n es cualquier numero real y u = g(x) es diferenciable, entonces

d

dx(un) = nun−1 du

dx

de modo alternativod

dx[(g(x)]n = n[g(x)]n−1 · g′

(x)

Ejemplo 4:

Derive y = (x3 − 1)100.

dy

dx=

d

dx(x3 − 1)100 = 100(x3 − 1)99

d

dx(x3 − 1)

= 100(x3 − 1)99 · 3x2

= 300x2(x3 − 1)99

Ejemplo 5:

Derive f(x) = 13√

x2+x+1.

En primer lugar reescribimos la funcion de la forma f(x) = (x2 + x + 1)−1/3

f′

(x) = −1

3(x2 + x + 1)−4/3 d

dx(x2 + x + 1)

= −1

3(x2 + x + 1)−4/3(2x + 1)

Ejemplo 6:

Derive g(t) =(

t−22t+1

)9.


Combinando la regla de la potencia la regla del cociente y la regla de la cadenaobtenemos

g′

(t) = 9

(

t− 2

2t + 1

)8d

dt

(

t− 2

2t + 1

)

= 9

(

t− 2

2t + 1

)8(t− 2) · 1− 2(t− 2)

(2t + 1)2

=45(t− 2)8

(2t + 1)10

Ejemplo 7:

Derive y = (2x + 1)5(x3 − x + 1)4.

En este ejemplo debemos aplicar la regla del producto antes que aplicar la reglade la cadena:

dy

dx= (2x + 1)5

dy

dx(x3 − x + 1)4 + (x3 − x + 1)4

dy

dx(2x + 1)5

= (2x + 1)5 · 4(x3 − x + 1)3dy

dx(x3 − x + 1)

+(x3 − x + 1)4 · 5(2x + 1)4dy

dx(2x + 1)

= 4(2x + 1)5(x3 − x + 1)3(3x2 − 1) + 5(x3 − x + 1)4(2x + 1)4 · 2

En ocasiones es necesario aplicar la regla de la cadena dos veces en ese caso sim-plemente tomamos v = s(x) ası F (x) = f(g(v)) entonces F

′

(x) = f′

(g(s(x))) +g

′

(s(x)) + s′

(x) de esta manera se puede aplicar n−veces.

Teorema 5. 17 Derivada de Funciones Exponenciales General:

d

dx(ax) = ax ln a

5.7. Derivacion Implıcita.

La mayor parte de las funciones que hemos encontrado hasta ahora se puedendescribir expresando una variable explıcitamente en terminos de otra variable y =f(x). Sin embargo, algunas funciones se definen implıcitamente por medio de unarelacion entre x y y como

x3 + y3 = 6xy

5.7. DERIVACION IMPLICITA. 143

en algunos casos es posible resolver una ecuacion de este tipo pero las expresionesserıan muy complicadas de manera que cuando queremos decir que una funcionimplıcita damos a entender

x3[f(x)]3 = 6xf(x)

es verdadera para todos los valores de x en el dominio de f . Por fortuna no esnecesario resolver la ecuacion para y en terminos de x en lugar de ello podemosaplicar el metodo de Derivacion Implıcita. Este consiste en derivar ambos ladosde la ecuacion y a continuacion resolver para y

′

.

Ejemplo 1:

Encuentre la ecuacion de la tangente al cırculo x2 + y2 = 25 en el punto (3, 4).

Derivando tenemos:

d

dx(x2 + y2) =

d

dx25

d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

Recuerde que y es una funcion de x, aplique la reglad de la cadena y tendra

d

dx(y2) = 2y · dy

dx

Por lo tantod

dx(x2) + 2y · dy

dx= 0

Despejando dydx

dy

dx=−x

y

En el punto (3, 4), tenemos x = 3 y y = 4, de modo que

dy

dx=−3

4

Por lo tanto una ecuacion de la recta tangente al cırculo dado en el punto men-cionado es

y − 4 = −3

4(x− 3) ∨ 3x + 4y = 25

Ejemplo 2:

Halle la tangente al folio de Descartes (x3 + y3 = 6xy), en el punto (3, 3).


Derivando ambos miembros de x3 + y3 = 6xy con respecto a x, considerandoy como funcion de x y usando la regla de la cadena en el termino y3 y la regla delproducto en el termino 6xy, obtenemos:

3x2 +3 y2y′

= 6y + 6xy′

x2 + y2y′

= 2y + 2xy′

Ahora despejamos y′

(y2 − 2x)y′

= 2y − 2x2

y′

=2y − x2

y2 − 2x

Evaluando en y′

cuando x = 3 = y

y′

=2(3)− (3)2

(3)2 − 2(3)= −1

Por lo tanto una ecuacion de la recta tangente al Folio de Descartes en el puntomencionado es

y − 3 = −1(x− 3) ∨ x + y = 6

a

(3, 3)

Ejemplo 3:

Encuentre la derivada de sin(x + y) = y2 cos x

Si deriva implıcitamente respecto a x recuerda que y es una funcion de x obten-emos:

cos(x + y) · (1 + y′

) = 2yy′

cos x + y2(− sin x)

Por lo que

y′

=y2 sin x + cos(x + y)

2y cosx− cos(x + y) =

5.8. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS. 145

5.7.1. Derivadas de Las Funciones Trigonometricas Inver-sas.

Podemos utilizar la derivacion implıcita para hallar las derivadas de las funcionestrigonometricas inversas, solo debemos recordar que y = sinx implica sin y = x y−π

2 ≤ y ≤ π2 .

Si deriva sin y = x implıcitamente con respecto a x obtenemos:

cos ydy

dx= 1 ∨ dy

dx=

1

cos y

Ahora bien, cos y ≥ 0 ya que −π/2 ≤ x ≤ π/2 de modo que

cos y =

√

1− sin2 y =√

1− x2

por lo tantody

dx=

1

cos y=

1√1− x2

=d

dxsin−1(x)

Derivadas:

dy

dxsin−1 x =

1√1− x2

dy

dxcsc−1 x =

−1

|x|√

x2 − 1

dy

dxcos−1 x =

−1√1− x2

dy

dxsec−1 x =

1

|x|√

x2 − 1

dy

dxtan−1 x =

1

1 + x2

dy

dxcot−1 x =

−1

1 + x2

Ejemplo 4:

Derive x tan−1√

x

f′

(x) = tan−1√

x + x1

1 + (√

x)2· 12x−1/2

tan−1√

x +

√x

2(1 + x)

5.8. Derivadas de Funciones Logarıtmicas.

En esta seccion usaremos la derivacion logarıtmica para halla las derivadas delas funciones logarıtmicas y = loga x y en particular las de la funcion logarıtmicanatural y = ln x.


Teorema 5. 18d

dxloga x =

1

x ln a

Prueba. Sea y = loga x, entonces

ay = x

Si se deriva implıcitamente con respecto a x, por derivadas de funciones exponen-ciales

ay(ln a)d

dx= 1

y por consiguientedy

dx=

1

ay ln a=

1

ln a

�

Una consecuencia inmediata de este teorema es

d

dxln x =

1

x

En general si combinamos esta ultima consecuencia con la regla de la cadenaobtenemos

d

dx(ln u) =

1

u

du

dx∨ d

dx[ln g(x)] =

g′

(x)

g(x)

Ejemplo 1:

Encuentre ddx ln x+1√

x−2

Simplificamos la ecuacion aplicando las leyes de los logaritmos, entonces

d

dxln

x + 1√x− 2

=d

dx[ln(x + 1)− 1

2ln(x− 2)]

=1

x + 1− 1

2· 1

x− 2

5.8.1. Derivacion Logarıtmica.

Con frecuencia, el calculo de derivadas de funciones complicadas que compren-den productos cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. Elmetodo que se aplica en el ejemplo siguiente se llama Derivacion logarıtmica.

Ejemplo 2:Derive

y =x3/4√

x2 + 1

(3x + 2)5

5.8. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS. 147

Tomamos logaritmos a ambos miembros de la ecuacion y aplicamos las leyes delos logaritmos para simplificar:

ln y =3

4ln x +

1

2ln(x2 + 1)− 5 ln(3x + 2)

Al derivar implıcitamente con respecto a x, resulta

1

y

dy

dx=

3

4· 1x

+1

2· 2x

x2 + 1− 5 · 3

3x + 2

Resolvemos para dy/dx y obtenemos

dy

dx= y

(

3

4x+

x

x2 + 1− 15

3x + 2

)

=x3/4√

x2 + 1

(3x + 2)5

(

3

4x+

x

x2 + 1− 15

3x + 2

)

Pasos de La Derivacion Logarıtmica.

1. Tome logaritmos naturales de ambos miembros de una ecuacion y = f(x) yutilice las leyes de los logaritmos para simplificar.

2. Derive implıcitamente con respecto a x.

3. Resuelva la ecuacion resultante para y′

.

Ejemplo 3:

Derive y = x√

x.

Derivando logarıtmicamente

ln y = ln x√

x =√

x ln x

y′

y=

1

2√

x· ln x +

√x · 1

x

y′

= y

(

ln x

2√

x+

1√x

)

= x√

x

(

ln x + 2

2√

x

)

El Numero e como lımite.

Hemos visto que si f(x) = ln x entonces f′

= 1/x. Por lo tanto, f′

(1) = 1.Apliquemos ahora esto para expresar el numero e como un lımite. Partiendo de ladefinicion de derivada tenemos:


f′

(1) = lımh→0

f(1 + h)− f(1)

h= lım

x→0

f(1 + x)− f(1)

x

= lımx→0

ln(1 + x)− ln(1)

x= lım

x→0

1

xln(1 + x)

= lımx→0

ln(1 + x)1/x = ln[

lımx→0

(1 + x)1/x]

Debido a que f′

(1) = 1 entonces

ln[

(1 + x)1/x]

= 1

Por lo tantolımx→0

(1 + x)1/x = e

5.9. Ejercicios.

1. a) Si la recta tangente a y = f(x) en (5, 4) pasa por el punto (−2, 2),encuentre f(5) y f

′

(5) .

b) si g(x) = x2

1−3x encuentre g′

(a) y usela para hallar una ecuacion de la

recta tangente a la curva y = x2

1−3x en el punto (−3, 9/10).

c) Si h(x) = cot x encuentre la ecuacion de la recta tangente a la graficaen el punto (π/4, 1).

2. Para cada una de las siguientes funciones determine el dominio de la funcion,su derivada y el dominio de la derivada:

a) 2x3

x4−1

b)√

|x| − 1

c) sin x1+cos x

3. En cada caso encuentre los valores de x para los cuales la grafica de f tienetangente horizontal.

a) f(x) = sin x1+cos x

b) f(x) = cos x1−cosx

4. a) Si f + g es derivable en a, diga si las dos funciones son necesariamentederivables en a.

b) Si fg y f son derivables en a, que condicion para f implica que g seaderivable en a?


5. a) Demostrar que si f(x) = 1/x2, entonces f′

(a) = −2/a3 para a 6= 0

b) Demostrar que la tangente a la grafica de f en (a, 1/a2) corta f en otropunto.

6. Hallar f′

para

a) f(x) =∥∥x

2

∥∥

b) f(x) = x2/3

7. Utilizando la definicion de derivada demostrar que:

a) Si g(x) = f(x + c) entonces g′

(x) = f′

(x + c).

b) Si g(x) = f(cx) entonces g′

(x) = cf′

(cx).

8. Suponga que f s derivable y periodica con periodo a(f(x + a) = f(x) paratodo x). Demostrar que f

′

es tambien periodica.

9. En cada literal (a) a (c) de un ejemplo de una funcion f que cumpla lacondicion dada.

a) f es derivable por izquierda en a pero no es derivable en a.

b) f es derivable por derecha en a pero no es derivable en a.

c) f es derivable por izquierda en a pero no es derivable por derecha en a.

d) Diga si existe alguna funcion f tal que f sea derivable por izquierda ena, derivable por derecha en a, pero no sea derivable en a.

10. Es posible encontrar un polinomio P (x) = ax3 + bx2 + cx+d tal que P (0) =1, P (1) = 2 y P

′′

(0) = 8?. Diga si al ser posible el polinomio es unico. Si seagrega la condicion de P

′′

(−2) = 3 diga es posible encontrar el polinomio ysi es unico.

11. Determinar la derivada g′

en funcion de f′

(x) si

a) g(x) = f(sec2 x) + f(cot2x)

b) g(x) = f(f(f(x)))

12. a) Calcule las cuatro primeras derivadas de la funcion sin x. Encuentre unaformula para calcular la derivada n−esima para cualquier n natural.

b) Encuentre una formula para calcular la derivada n−esima de la funcioncos x, para cualquier n natural.

13. En cada caso halle f(f′

(x)) y f′

(f(x))

a) f(x) = cosx.

b) f(x) = x2.

c) f(x) = 3.


14. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

a) f(x) = (6x4 − 7x3 − x) sin x.

b) h(x) = tan−1 6x3.

c) g(x) = 3x2+2x+1√x+6

d) i(x) =3√

x−63√

x+5

e) j(x) = x1+x2

f ) k(x) = 1x4 + secx

Capıtulo 6

Aplicaciones de lasDerivadas.

6.1. Signo De La Primera Derivada.

Aplicacion al Trazado De Curvas. Vamos A ver como el conocimiento delsigno de la derivada nos facilita nueva informacion sobre la curva. En la figuravemos trazada una curva y = f(x), y sobre ella varios puntos A, B, C, D, y E. Enel punto A se dice que la funcion es creciente, con lo que indicamos que f(x) creceal crecer x. En un punto como el A la pendiente de la tangente a la curva, dy/dx,es positiva. Lo mismo se aplica en el punto E, mientras que en C diremos que lafuncion es decreciente, lo cual viene indicado por el valor negativo de dy/dx en C.En B y D la pendiente es nula. Hagamos aplicacion de estas ideas al trazado de lacurva de la derecha.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

b

c

de

f

AB

C

D

E

crece decrece crece

1 3

cuya ecuacion esta dada por

y =1

3x3 − 2x2 + 3x + 2

151

152 CAPITULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

Derivando tenemos

dy

dx= x2 − 4x + 3 = (x− 1)(x− 3)

Para determinar donde es positiva o negativa la derivada, calculamos primero enque puntos es nula (es decir dy/dx = 0) por lo tanto para x = 1 y x = 3, ya queestos nos indicaran donde pasa la pendiente de positiva a negativa, o viceversa. Elsigno de dy/dx depende del signo del factor x− 1 y del factor x− 3. Ası, el signoresultante para dy/dx = (x− 1)(x− 3) es el que indica la lınea final de la figura

1 3

(x− 1) − + +

(x− 3) − − +

(x− 1)(x− 3) ⊕ ⊕

De esta manera decimos que la grafica crece en el intervalo de (−∞, 1) decreceen el intervalo (1, 3) y vuelve a crecer en el intervalo (3,∞), para el valor de x = 1decimos que es un maximo local puesto el cambio de signo en la figura es depositivo a negativo de izquierda a derecha y para x = 3 decimos que es un mınimolocal puesto el cambio de signo en la figura es de negativo a positivo de izquierdaa derecha.

6.2. Derivadas de Variables Ligadas.

Vamos a ver a lo largo de este capıtulo que las aplicaciones de la derivacionvan relacionadas directamente con ejercicios de calculos y datos de esta manera nosintroducimos a la resolucion de problemas con uso de las derivadas.

En los problemas donde intervienen derivadas de variables relacionadas entre sıse llaman problemas con derivadas ligadas, y es tıpico en ellos que

1. Ciertas variables estan relacionadas de forma determinada para todos los val-ores de t que se consideran en el problema.

2. Se conocen los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadaspara un instante dado.

3. Se pide hallar la derivada de una o varias de las variables en dicho instante.

Las variables se pueden considerar como funciones del tiempo t, y si derivamosrespecto a t las ecuaciones que las ligan entonces las igualdades ası obtenidas nosexpresaran como estan relacionadas las derivadas de estas variables.

6.2. DERIVADAS DE VARIABLES LIGADAS. 153

Ejemplo 1:

Una escalera de 8 m de longitud se apoya en un muro vertical. En un instantedeterminado, el pie de la escalera que dista 3 m de la base del muro se aleja de estea razon de 4 m. Diga cual es la rapidez con que se desplaza a lo largo del muro elextremo superior de la escalera.

Muro

SueloEscaleray

x

4 m/s

La figura anterior nos muestra la posicion de la escalera teniendo en cuenta quenombramos ahora con x = 3 la distancia del pie de la escalera con el muro ydenotamos y a la altura vertical de la escalera. Como el suelo y el muro hacen unangulo recto tenemos una relacion de un triangulo rectangulo donde podemos decirx2 + y2 = 8 derivando implıcitamente obtenemos

2xdx

dt+ 2y

dy

dt= 0

y de aquı despejando dy/dt

dy

dt=−x

y

dx

dt

Para x = 3, (por Pitagoras) y ≈ 7,42 y dy/dt = 4 (desplazamiento), no da que

dy

dt=−3

7,42· (4) ≈ −1,61725

lo que significa que y decrece a razon de 1,61725 metros en cada segundo.

Ejemplo 2:

Considere un deposito conico que recibe agua a razon de 2 litros por minuto. Di-ga cual es la rapidez con que se eleva el nivel del lıquido cuando su altura es de 6 dm.


10 dm

5 dm

x

y

Designemos por v = volumen (dm3) de agua en el deposito en el instante t(min); x = radio (dm) de la seccion del cono al nivel del lıquido; y = altura delagua (dm) en el instante t. Escribimos dv/dt = 2 para indicar que el agua entraa razon de 2 litros/min, y la cuestion se reduce a hallar dy/dt para y = 6.

La relacion entre el volumen de agua v y la altura y es

v =1

3πx2y

en la que podemos eliminar x, ya que por semejanza de triangulos se tiene

x

y=

5

10es decir x =

1

2y

y por consiguiente

v =1

12πy3

Derivando respecto a t, obtenemos:

dv

dt=

1

4πy2 dy

dt;

dy

dt=

4dv/dt

πy2

de manera que para dv/dt = 2 e y = 6 calculando

dy

dt=

2

9π≈ 0,071(dm/min)

6.3. Signo de la Segunda Derivada.

Hemos visto como puede servirnos el reconocimiento de la primera derivadady/dx para el trazado de una curva. Recordemos que en los intervalos en quedy/dx es positiva, al funcion es creciente, y es decreciente para los intervalos enque dy/dx es negativa; por lo tanto, los arcos de curva ascendentes estan en generalseparados de los descendentes por puntos en los que la tangente es horizontal. Sinembargo , es tambien posible que dy/dx se anule en puntos que no corresponden amaximos o a mınimos de la curva: por ejemplo

y = (x− 2)3 + 1;dy

dx= 3(x− 2)2

6.3. SIGNO DE LA SEGUNDA DERIVADA. 155

y aunque dy/dx = 0 para x = 2 eso no implica que este punto sea ni un maximo niun mınimo. Tambien ocurre a veces que los intervalos de crecimiento y decrecimientoestan separados por puntos donde no existe la derivada como en el dibujo de laderecha.

|2

y = (x− 2)3 + 1y = x2/3

Vamos a ver ahora que el signo de la derivada segunda nos dice si la curva econcava hacia la region positiva del eje y (arriba)[y

′′

es positiva] o concava haciala region negativa del eje y (abajo)[y

′′

es negativa]. Consideremos la curva de laizquierda, la grafica de la primera derivada es la del centro y la segunda derivada enla derecha. El arco ABC de la curva y es concavo hacia arriba, el CDE lo es haciaabajo y el EF es nuevamente concavo hacia arriba. Para fijar las ideas consideremosun pequeno arco del entorno de A. Aquı y

′

es negativa y la curva sera decreciente,pero si nos movemos sobre la curva de izquierda a derecha, la pendiente crece (sehace menos negativa). Es decir, y

′

es creciente; entonces y′′

sera positiva. El mismorazonamiento es aplicable a cualquier punto del arco ABC, de modo que para elarco ABC, y

′

es una funcion creciente y y′′

es positiva. Ası vemos que el arcoA

′′

B′′

C′′

esta por encima del eje x.

g

h

i

j

k

l

A

B

C

D

E

F

y

m

n

o

p

q

r

AB

C

D

E

F

y′

s

t

u

v

w x

AB

C

D

EF

y′′

Analogamente, cuando la curva y es concava hacia abajo (arco CDE), y′′

esdecreciente, y su pendiente (es decir y

′′

) negativa. Por consiguiente la concavidadesta dirigida:

1. Hacia arriba, si la segunda derivada es positiva.

2. Hacia abajo, si la segunda derivada es negativa.

Un Puntos de inflexion es donde la concavidad cambia de sentido, es decir,pasa de ser hacia arriba a selo hacia abajo, o viceversa.


En la figura anterior (y) ocurre esto en los puntos C y E, los cuales estancaracterizados por el cambio de signo de y

′′

. Pero este cambio de signo de laderivada segunda puede ocurrir porque primero d2y/dx2 = 0 o bien d2y/dx2 dejede existir en el punto.

6.4. Construccion de una curva.

El estudio de las secciones anteriores puede resumirse a fin de establecer elprocedimiento a seguir para dibujar una curva de ecuacion dada y = f(x).

1. Se calculan dy/dx y d2y/dx2.

2. Se determinan los intervalos de x donde dy/dx es positiva o negativa. Secalculan y y d2y/dx2 en aquellos puntos en que dy/dx pasa de positiva anegativa o viceversa. Estos pueden corresponder a maximos o mınimos de lacurva.

3. Se determinan los valores de x donde d2y/dx2 e positiva y aquellos donde esnegativa, y se calculan los de y y dy/dx en los puntos en que d2y/dx2 cambiade signo. Estos pueden ser puntos de inflexion de la curva.

4. Se dibujan alguno9s puntos mas, elegidos de modo de modo que esten situa-dos entre los puntos hallados donde la curva ofrece particularidades. Se debenbuscar si es posible los cortes con los ejes. Tambien debe indicarse el compor-tamiento de la curva para los valores grandes de |x|.

5. Se unen por un trazo continuo los puntos obtenidos, a menos que la curva osu primera derivada presentes discontinuidades. Tengase presente que a curvaasciende o desciende segun el signo de dy/dx, y que tiene su concavidad haciaarriba o hacia abajo segun el signo de d2y/dx2.

Ejemplo 1:

Grafique y = 1/6(x3 − 6x2 + 9x− 6):

Derivando tenemos

dy

dx= 1/6(3x2 − 12x + 9) = 1/2(x2 − 4x + 3) = 1/2(x− 1)(x− 3)

d2y

dx2= 1/2(2x− 4) = x− 2

Los dos factores cambian de signo en x = 1 y x = 3. Se ve facilmente qued2ydx2 = x− 2 es negativa la izquierda de x = 2 y positiva a la derecha, ası que hayun punto de inflexion en x = 2.

6.4. CONSTRUCCION DE UNA CURVA. 157

1 3

signo de (x− 1) − + +

signo de (x− 3) − − +

signo de dydx

⊕ ⊕

Mediante estos datos confeccionamos la siguiente tabla con la cual se puede

hacer el trazado aproximado de la curva:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y y′

y′′

Observaciones−1 −5/3 + − Creciente; Concava hacia abajo0 1 +3/2 − Creciente; Concava hacia abajo1 5/3 0 − Maximo2 4/3 −1/2 0 Decreciente; punto de inflexion3 1 0 + Mnimo4 5/3 +3/2 + Creciente; Concava hacia arriba

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −

5/3−4/3−

| | |1 2 3

y = 1/6(x3 − 6x2 + 9x− 6)

Ejemplo 2:

Grafique y = x + 1x = x + x−1:

Derivando tenemos

dy

dx= 1− x−2 = 1− 1

x2=

x2 − 1

x2

d2y

dx2= 2x−3 =

2

x3

El signo de dydx es el mismo de x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) puesto x2 es siempre

positivo y no a influir. Pero para x proximo a cero, |y| se hace muy grande e y,dydx y d2y

dx2 tienden a infinito cuando x tiende a cero. Ademas recordando asıntotasdecimos que lım

x→±∞[f(x)− x] = 0 de donde la recta y = x es una asıntota oblicua.


−1 1

signo de (x− 1) − − +

signo de (x + 1) − + +

signo de dydx

⊕ ⊕

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y y′

y′′

Observaciones−4 −17/4 + − Creciente; Concava hacia abajo−2 −5/2 + − Creciente; Concava hacia abajo−1 −2 0 −2 Maximo−1/2 −5/2 − − Decreciente; Concava hacia abajo−1/4 −17/4 − − Decreciente Concava hacia abajo1/4 17/4 − + Decreciente; Concava hacia arriba1/2 5/2 − + Decreciente; Concava hacia arriba1 2 0 +2 Minimo2 5/2 + + Creciente; Concava hacia arriba4 17/4 + + Creciente; Concava hacia arriba

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −

2 −

3 −

4 −

−1

−2

−3

−4

| | | |||||1 2 3 4−1−2−3−4

y = x + 1x

6.5. TEORIA DE MAXIMOS Y MINIMOS. 159

6.5. Teorıa de maximos y mınimos.

Se dice que una funcion y = f(x) tiene un maximo relativo (o local) en x = asi

f(a) ≥ f(a + h)

para todo valor positivo o negativo de h lo suficientemente proximo a cero. Delmismo modo, se dira que tiene un mınimo relativo en x = b, si

f(a) ≤ f(a + h)

para todos los valores de h de un entorno de 0. Se usa la palabra relativo o localpara distinguir estos puntos de los llamados maximos (o mınimos) absolutos, enlos cuales

f(a) ≥ f(x)

para todo x de un intervalo9 (no necesariamente pequeno) que contenga a a; porejemplo en la grafica anterior veıamos que donde x = 1 corresponde a un mınimolocal pero no es absoluto puesto existen valores mas pequenos que el en la funcion.Analogamente x = −1 corresponde a un maximo local pero no absoluto puestoexisten valores mas grandes que el en la grafica.

Teorema 6. 1 Sea la funcion y = f(x), definida para a ≤ x ≤ b y que tiene unmaximo o un mınimo relativo en x = c, siendo a < c < b. Si existe la derivada def

′

y es finita en x = c se tiene que f′

(c) = 0

Prueba. Haremos la demostracion para los casos en que haya un mınimo relativoen x = c; es decir

f(c) ≤ f(c + h)

para todos los valores de h proximos a cero (o sea, c+h es proximo a c). Por hipotesis

f′

(c) = lımh→0

f(c + h)− f(c)

h

existe y es finito; vamos a probar que es cero. El cociente del segundo miembro deeste lımite satisface a

f(c + h)− f(c)

h≥ 0 si h > 0

y af(c + h)− f(c)

h≤ 0 si h < 0

puesto que en ambos casos el numerador es positivo o nulo. Si hacemos tender h acero tomando solo valores positivos, se tiene

f′

(c) ≥ 0

para la hipotesis (h > 0) , y si hacemos que h→ 0 por valores negativos se tendra

f′

(c) ≤ 0


para hipotesis (h < 0). Puesto que hemos supuesto la existencia de la derivada enx = c, debe obtenerse el mismo lımite en ambos casos, ası que

0 ≤ f′

(c) ≤ 0

de donde necesariamente

f′

(c) = 0

�

Se deja al estudiante que demuestre el caso en que existe un maximo relativoen x = c. Debe tenerse presente el alcance del teorema para no incurrir en errores.El teorema nada nos dice acerca de lo que ocurre

1. En un punto c donde no existe la derivada.

2. En uno de los extremos del intervalo de definicion de la funcion.

3. No afirma que la funcion haya de tener necesariamente un maximo o mınimoen todo punto donde la derivada es cero.

De la demostracion del teorema se deduce que cuando existe un maximo o unmınimo en el extremo de un intervalo de existencia de cierta funcion, la derivada endicho punto no es necesariamente nula. Si el punto x = c es el extremo inferior delcampo de existencia de la funcion, no es posible considerar h negativo ya que noexiste f(x + h) con h < 0. En rigor f

′

(c) no existe en estas circunstancias, aunquepuede existir tang3ente a la derecha en un extremo de la curva, y tangente a laizquierda de la curva. El punto (0, 0) de la curva y = x3 es un ejemplo de puntodonde la curva tiene pendiente nula sin que haya en el maximo o mınimo.

Corrientemente se llaman Puntos Estacionarios de la curva aquellos dondef

′

(x) = 0. Los valores de x que satisfacen la ecuacion f′

(x) = 0 se denominanvalores crıticos; de otro modo: los valores crıticos de x corresponden a puntosestacionarios de la curva y = f(x).

6.6. Problemas de Maximos y Mınimos.

El calculo diferencial es un poderoso instrumento para resolver los problemasque dependen de hacer maxima o mınima una funcion. Vamos a considerar algunosejemplos, y a continuacion daremos un resumen de la tecnica a seguir en este tipode cuestiones.

Ejemplo 1:

Hallense dos numeros positivos cuya suma sea 20 y tales que su producto sea lomayor posible.

6.6. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS. 161

Si uno de los numeros es x el otro necesariamente sera x− 20 y su producto

y = x(20− x) = 20x− x2

Puesto que ambos numeros han de ser positivos, tendremos:

x > 0 y 20− x > 0

o bien0 < x < 20

derivando (el producto de los dos numeros) resulta

dy

dx= 20− 2x = 2(10− x)

La cual es positiva para x < 10 negativa para x > 10 y nula para x = 10. Ademas

d2y

dx2= −2

es siempre negativa y la curva representativa es concava hacia abajo en todo punto.Los numeros buscados son x = 10 y 20− x = 10.

Ejemplo 2:

Con una cartulina cuadrada de a centımetros de lado se desea hacer una cajaabierta, del mayor volumen posible, recortando un cuadrado en cada uno de suscuatro vertices. Hallense las dimensiones de esos cuadrados.

x

x

a− 2x

a− 2x

a− 2x

x

En la figura se han trazado las lıneas por donde se han de doblar y recordar lahoja, llamandose x al lado de cada uno de los cuadrados que es necesario quitar. Elvolumen resultante sera

y = x(a− 2x)2 0 ≤ x ≤ a/2

Las restricciones impuestas por la desigualdad anterior significan que no podemosrecortar cantidades negativas de material ni tampoco cortar mayor cantidad queel total del cual se dispone. Es evidente, ası mismo que para x = 0 es y = 0, y


tambien y = 0 para x = a/2, ası que el volumen y sera maximo para algun valor dex comprendido entre 0 y a/2. La funcion tiene derivada en todo punto del intervalo0 ≤ x ≤ a/2, luego Cuando y es maximo dy/dx ha de ser nula.

y = a2 − 4ax2 + 4x3

dy

dx= a2 − 8ax + 12x2

= (a− 2x)(a− 6x)

Sı quedy

dx= 0 para s =

a

2o para x =

a

6

Para representar la curva con mas precision obtendremos la derivada segunda:

d2y

dx2= 24x− 8a = 24

(

x− a

3

)

y ası vemos que la curva es concava hacia abajo para x < a3 y concava hacia arriba

para x > a3 y en particular en x = a/6 y x = a/2 la primera derivada se anula

dy/dx = 0 y la segunda derivada d2y/dx2 = −4a y d2y/dx2 = 4a respectivamente.Por lo que la curva es descendente a la derecha y a la izquierda de x = a/6 y estees el unico punto entre x = 0 y x = a/2 donde puede existir maximo relativo delvolumen y. Los cuadrados recortados de las esquinas deberan tener por lado a/6para que la caja resulte de volumen maximo.

a/6 a/3 a/2| | |

2r

h

Ejemplo 3:

Se desea construir un deposito de aceite en forma cilındrica circular recto, concapacidad para V litros. Determınese sus dimensiones con el fin de emplear la mınimacantidad de material. De acuerdo con la figura superior derecha se verifica

V = πr2h dm3

si la altura y el radio esta dados en decımetros. La condicion emplear la mınimacantidad de material ignora los desperdicios de fabricacion, ası como el espesor del


material utilizado. Se trata, pues de halla las dimensiones de h y r que hagan mınimael area total

A = 2πr2 + 2πrh

y satisfaga al mismo tiempo la ecuacion del volumen.

Esta area es una funcion de dos variables r y h, ligadas entre sı por la ecuaciondel volumen la cual nos permite expresar como funcion explicita de r,

h =V

πr2

o bien r como funcion explıcita de h

r =

√

V

πh

en donde debemos tomar la raız positiva, ya que el radio no puede ser negativo.Las divisiones que entranan estas funciones explicitas son lıcitas por h y r sondistintos de cero. Sustituyendo la funcion explicita de altura en la ecuacion del areaobtenemos

A = 2πr2 +2V

r, 0 < r <∞

siendo ahora a funcion de la unica variable r, solo existira un mınimo de A paraaquellos valores de r tales que

dA

dr= 4πr − 2V r−2 = 0

es decir para

4πr =2V

r2; r =

3

√

V

2π

y este valor de r se tiene

d2A

dr2= 4π + 4V r−3 = 12π > 0

ası que la curva que representa a A de r tiene da/dr = 0 y d2A/dr2 positiva en elpunto r = 3

√

V/2π, lo que corresponde a un mınimo relativo puesto que la segundaderivada es constantemente positiva para 0 < r <∞, la curva es siempre concavahacia arriba y no existe ningun otro mınimo absoluto de las derivadas de maneraque las dimensiones del deposito son

r = 3√

V/2π y h = 2 3√

V/2π

Ejemplo 4:

Se pregunta como ha de cortase dos trozos de una cuerda de longitud L paraque formando con uno de ellos un cuadrado y con el otro una circunferencia , seamaxima la suma de estas dos figuras.


|4x 2πr

x

xr

Con las notaciones de la figura la suma de las areas es

A = πr2 + x2

donde r y x satisfacen la relacion

L = 2πr + 4x

en esta ultima podrıamos despejar x en funcion de r; sin embargo derivaremos ambasecuaciones considerando A y x como funciones de r en el intervalo 0 ≤ 2πr ≤ L.Resulta ası:

dA

dr= 2πr + 2x

dx

dr∧ dL

dr= 2π + 4

dx

dr= 0,

dx

dr= −π

2

en donde dL/dr es nula porque L es constante. Sustituyendo dx/dr en dA/dr seobtiene

dA

dr= π(2r − x)

y observemos qued2A

dr2= π

(

2− dx

dr

)

= π

(

2 +π

2

)

es constante y positiva, ya que la curva que representa A como funcion de r essiempre concava hacia arriba.

Ahora biendA

dr= 0 para x = 2r

y sustituyendo en la ecuacion de sumas de longitudes

L = 2πr + 4(2r) = (2π + 8)r

o seadA

dr= 0 para r =

L

2π + 8x =

L

π + 4

Este valor de r da un valor mınimo para A, ya que hemos visto que la segundaderivada es positiva; como el problema planteado pide el valor maximo, debemosexaminar los valores de A en los extremos del intervalo ≤ r ≤ L/2π. Para

r = 0 : x = L/4, A =1

16L2


y para

r = L/2π : x = 0, A =1

4πL2

Vemos como el area es mayor cuando r = L/2π de manera que se obtendra el areamaxima formando con toda la cuerda una circunferencia. Por consiguiente, si seexige que se deba cortar la cuerda el problema no tiene solucion. Pues, por pequenoque sea el trozo utilizado para formar el cuadrado, se obtendra siempre mayor areatotal si se toma un trozo aun menor.

Mediante la solucion detallada de estos problemas se ha dejado ver que la tecnicaseguida puede resumirse en las siguientes reglas:

1. Cuando sea posible, dibujese una figura y rotulense aquellas partes que seanimportantes para el problema. Hagase tambien distincion clara entre las can-tidades constantes y las variables.

2. Escrıbase una ecuacion cuyo primer miembro sea la magnitud que ha de hac-erse maxima o mınima. Si designamos esta magnitud por y, se procuraraexpresarla en funcion de una sola variable independiente x. Para ello habrande utilizarselas condiciones auxiliares del problema, eliminando mediante cal-culos algebraicos, las restantes variables.

3. Si y = f(x) es la funcion que ha de extremarse, es decir, hacerse maxima omınima hallense los valores de x que verifiquen la ecuacion

dy

dx= f

′

(x) = 0

4. Compruebese cada uno de los valores para los cuales f′

(x) = 0 con objeto dedeterminar si efectivamente dan maximo o mınimo. Los ensayos suelen ser:

a) Si d2ydx2 es positiva cuando dy

dx = 0, y es mınimo.

Si d2ydx2 es negativa cuando dy

dx = 0, y es maximo.

Si d2ydx2 = 0 cuando dy

dx = 0, y nada puede asegurarse.

b) Si dydx es

positiva para x < xc

nula para x = xc

negativa para x > xc

hay maximo para x = xc. Pero si dy/dx cambia de negativa a positivacuando x pasa por xc, hay mınimo. Si dy/dx no cambia de signo al pasarpor xc no hay maximo ni mınimo.

5. Si no existe la derivada de algun punto, este debera estudiarse como posibleextremo.


6. Si la funcion y = f(x) esta definida solo en un intervalo finito a ≤ x ≤ b,examınense los valores x = a y x = b como posibles valores extremos de lafuncion.

El simple conocimiento de un cero de la primera derivada nos asegura la exis-tencia de un maximo o un mınimo sin necesidad de recurrir a la segunda derivadani a ningun otro criterio.

Ejemplo 5:

Sea un fabricante capaz de vender x artıculos por semana a un precio P =200 − 0,01x pesos, siendo y = 50x + 20000 pesos el costo total de produccion.Hallese el nivel de produccion para que el beneficio sea maximo.

El ingreso total por semana es

xP = 200x− 0,01x2

El beneficio t del fabricante sera:

T = xP − y = (200− 0,01x2)− (50x + 20000) = 150x− 0,01x2 − 20000

para hacer maximo T hallamos

dt/dx = 150− 0,02x

que se anula parax = 7500

Deducimos que este nivel de produccion corresponde al beneficio maximo ya quela derivada segunda d2T/dx2 = −0,02 es negativa. Cabe aplicar tambien la obser-vacion hecha anteriormente. Para vender 7500 artıculos, el fabricante debe fijar unprecio de 1,25 pesos por unidad.

Teorema 6. 2 de Rolle. Si la funcion y = f(x) esta definida y es continua en elintervalo cerrado a ≤ x ≤ b, siendo derivable en el intervalo abierto a < x < b; siademas

f(a) = f(b) = 0

existe por lo menos un numero c entre a y b en el que f′

(x) = 0; es decir, f′

(c) = 0para cierto valor c tal que a < c < b.

Prueba. Si la funcion f(x) es identicamente nula para todo x

a ≤ x ≤ b

el teorema es evidente. En caso contrario, la funcion sera positiva en unos y negativaen otros. En cualquier caso, la funcion tendra un maximo positivo, o un maximo


negativo, o bien ambos; es decir, tendra un extremo en un punto c en el que f(c) esnegativa (en el caso de un mınimo) o f(c) es positiva /en el caso de un maximo).En uno y otro caso c no coincide ni con a ni con b, puesto que

f(a) = f(b) = 0, f(c) 6= 0

por consiguiente, c esta entre a y b y la derivada debe anularse en x = c:

f′

(c) = 0 para cierto c, a < c < b

�

Nota 1: Puede haber mas de un punto entre a y b donde la derivada es cero.Nota 2: Una consecuencia del Teorema de Rolle si se cumplen

1. f(a) y su primera derivada f′

(x) son continuas para a ≤ x ≤ b.

2. f(a) y f(b) tiene signos opuestos.

3. f′

(x) es diferente de cero para todos los valores de x comprendidos entre a yb

Existe entonces una raız real unica de la ecuacion f(x) = 0 comprendida entrea y b.

Vamos a enunciar el siguiente teorema omitiendo su demostracion ya que noscentraremos en la demostracion de la generalizacion del mismo.

Teorema 6. 3 del Valor Medio. Sea y = f(x) una funcion continua para a ≤x ≤ b y con derivada en todo x, a < x < b. Existe entonces un valor c al menosentre a y b tal que

f(a)− f(b) = f′

(b− a)

Observese que este teorema expresa que la pendiente (f′

(c)) de la curva en el puntoc [(c, f(c))] es la misma que la pendiente [f(b) − f(a)]/(b − a) de la cuerda queune los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)).

y

| | |a c b


6.7. Generalizacion del Teorema del Valor Medio.

Teorema 6. 4 del Valor Medio Generalizado (caso especial). Supongamos quetanto f(x) como su derivada f

′

(x) son continuas en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b,y que existe ademas la derivada segunda f

′′

(x) en el intervalo abierto a < x < b.en tal hipotesis, hay un numero c2 comprendido entre a y b tal que

f(b) = f(a) + f′

(a)(b− a) + 1/2f′′

(c2)(b− a)2

Prueba. Sea k el numero definido por la igualdad

f(b) = f(a) + f′

(a)(b− a) + K(c2)(b− a)2

consideremos la funcion F8x) obtenida al substituir b por x en la anterior ecuaciony al restar el segundo miembro del primero:

F (x) = f(x)− f(a) + f′

(a)(b− a) + K(c2)(b− a)2

Por sustitucion directa comprobamos que

F (a) = 0

y tambien

F (b) = 0

Tanto F como su primera derivada son continuas en a ≤ x ≤ b, y

F′

(x) = f′

(x)− f′

(a)− 2K(x− a)

Por tanto F satisface las hipotesis del teorema de Rolle, de donde se deduce laexistencia de un numero c1, comprendido entre a y b, tal que

F′

(c1) = 0

Podemos aplicar el teorema de Role a la funcion derivada F′

, considerada en elintervalo a ≤ x ≤ c1, y deducir que existe un numero c2 entre a y c1 tal que

F′′

(c2) = 0

Por derivacion se obtiene

F′′

(x) = f′′

(x)− 2K

haciendo x = c2 en la anterior ecuacion, igualando el resultado a cero y despejandoK resulta

K = 1/2f′′

(c2)

sustituido este valor en la primera ecuacion de la demostracion se obtiene finalmentela ecuacion que querıamos demostrar.

Mediante un metodo analogo es facil ver el siguiente teorema mas general.

6.8. FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’HOSPITAL 169

Teorema 6. 5 del Valor Intermedio Generalizado (Caso General). Sea f(x) ysus n − 1 primeras derivadas, f

′

(x), f′′

(x), . . . , f (n−1)(x), funciones continuas enel intervalo cerrado a ≤ x ≤ b, y supongamos la existencia de la enesima derivadaf (n)(x) en el intervalo abierto a < x < b. en tales condiciones existe un numero cn

entre a y b que satisface a

f(b) = f(a) + f′

(a)(b− a) +1

2f

′

(a)(b− a)2 + · · ·

· · ·+ 1

(n− 1)!f (n−1)(a)(b− a)(n−1) +

1

n!f (n)(a)(b− a)n

Observacion: Aparece evidente la ley de formacion de los terminos en el segundomiembro de este teorema. Esta ecuacion constituye la base de un poderoso metodogeneral para calcular una amplia clase de funciones indefinidamente derivables. Sesupone como ejercicio la demostracion de este teorema. Si reemplazamos el valorconstante de b por el de la variable x podemos hallar los Polinomios de Taylor loscuales son aproximaciones polinomiales a una curva con centro en a.

6.8. Formas Indeterminadas y regla de L’Hospital

Suponga que intentamos analizar el comportamiento de la funcion

F (x) =ln x

x− 1

Aunque F no esta definida cuando x = 1, necesitamos saber como se comporta Fcerca de 1. En particular, nos gustarıa conocer el valor del lımite

lımx→1

ln x

x− 1

pero no podemos aplicar la ley 5 de los lımites porque el lımite del denominador es0. De hecho, aun cuando el lımite existe, su valor no s obvio porque el numeradortiende a 0 y 0

0 no esta definido. En General si tenemos un lımite de la forma

lımx→0

f(x)

g(x)

donde tanto f(x) → 0 como g(x) → 0 cuando a → a, entonces este lımite puedeexistir y se conoce como la forma indeterminada del tipo 0

0.

Se tiene otra situacion en que un lımite no es obvio cuando buscamos unaasıntota horizontal de F y necesitamos evaluar el lımite

lımx→∞

ln x

x− 1


no es evidente como evaluar este lımite porque e3l numerador y el denominador sehacen grandes cuando x → ∞. Existe una lucha entre el numerador y el denomi-nador. En General si tenemos un lımite de la forma

lımx→a

f(x)

g(x)

donde tanto f(x)→∞ como g(x)→∞ entonces el lımite puede o no existir y seconoce como forma indeterminada del tipo ∞

∞

Definicion 6. 1 Regla de L’Hospital. Supongase que f y g son diferenciables yque g

′

(x) 6= 0 cerca de a (excepto quiza en a). Supongase que

lımx→a

f(x) = 0 ∧ lımx→a

g(x) = 0

o quelımx→a

f(x) = ±∞ ∧ lımx→a

g(x) = ±∞

Entonces

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f′

(x)

g′(x)

Si el lımite del segundo miembro existe (o es ∞ o es −∞).

Nota 1: La regla d L’Hospital afirma que el lımite de un cociente de funciones esigual al lımite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfaga las condicionesdadas. Es muy importante comprobar las condiciones referentes a los lımites de f yg, antes de aplicar la regla.

Nota 2: La regla de L’Hospital tambien es valida para los lımites laterales y loslımites en el infinito o en el infinito negativo.

Nota 3: Para el caso especial en que f(a) = g(a) = 0, f′

y g′

son continuas yg

′

(a) 6= 0, es facil ver que la regla de L’Hospital es verdadera.

Ejemplo 1:

Encuentre lımx→1

ln xx−1 .

Puesto quelımx→1

ln x = 0 ∧ lımx→1

(x− 1) = 0

podemos aplicar la regla de L’Hospital

lımx→1

ln x

x− 1= lım

x→1

ddx (ln x)ddx (x− 1)

= lımx→1

1/x

1= lım

x→1

1

x= 1

6.8. FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’HOSPITAL 171

Ejemplo 2:

Calcule lımx→∞

ln x3√

x

Dado que ln x→∞ y 3√

x→∞, puede aplicarse la regla de L’Hospital

lımx→∞

ln x3√

x= lım

x→∞

1x

13x−2/3

Advierta que ahora el lımite es indeterminado del tipo 00 aplicando nuevamente la

regla tenemos:

lımx→∞

ln x3√

x= lım

x→∞

1x

13x−2/3

= lımx→∞

33√

x= 0

6.8.1. Productos Indeterminados.

Si lımx→a

f(x) = 0 y lımx→a

g(x) = ∞, entonces no resulta claro cual es el valor de

lımx→a

f(x)g(x), si lo hay. Esta clase de Limite se llama forma indeterminada del

tipo 0 · ∞. Y podemos manejarla escribiendo el producto como un cociente:

fg =f

1/g∨ fg =

g

1/f

esto lo convierte en una forma indeterminada del tipo 0/0 o ∞/∞, de modo quepodemos aplicar la regla de L’Hospital.

Ejemplo 3:

Evalue lımx→0+

x ln x.

Primero lo tratamos de manera que lımx→0+

x ln x = lımx→0+

ln x1x

aplicando la regla

de L’Hospital da

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

ln x1x

= lımx→0+

1x−1x2

= lımx→0+

(−x) = 0

6.8.2. Diferencias Indeterminadas.

Si lımx→a

f(x) =∞ y lımx→a

g(x) =∞ entonces el lımite

lımx→a

[f(x)− g(x)] =∞

se conoce como forma indeterminada del tipo ∞ − ∞ intentaremos convertirla diferencia en un cociente (por ejemplo usando un denominador comun , racional-izacion o factorizacion ) de modo que tengamos una forma indeterminada en donde


podamos aplicar la regla de L’Hospital.

Ejemplo 4:

Calcule lımx→(π/2)−

(sec x− tan x).

En primer lugar advierta que sec → ∞ y tan → ∞ cuando x → (π/2)− demodo que el lımite es indeterminado. En este caso, usemos un denominador comun:

lımx→(π/2)−

(sec x− tan x) = lımx→(π/2)−

(

1

cos x− sinx

cos x

)

= lımx→(π/2)−

1− sin x

cosx= lım

x→(π/2)−

− cos x

− sin x= 0

Observe que la se justifica el uso de la regla de L’Hospital porque 1− sin x→ 0y cosx→ 0, cuando x→ (π/2)−.

6.8.3. Potencias Indeterminadas.

Varias formas surgen del lımite

lımx→a

[f(x)]g(x)

1. lımx→a


g(x) = 0 tipo 00.

2. lımx→a

f(x) =∞ y lımx→a

g(x) = 0 tipo ∞0.

3. lımx→a


g(x) = ±∞ tipo 1∞.

Cada uno de estos se puede tratar usando el logaritmo natural. Sea

y = [f(x)]g(x) ⇒ ln y = g(x) ln f(x)

o bien, al escribir la funcion como una exponencial

[f(x)]g(x) = eg(x) ln f(x)

(recuerde que se usaron estos dos metodos al derivar esas funciones.) Cualquiera delos dos conduce al producto indeterminado g(x) ln f(x), que es del tipo 0 · ∞.

Ejemplo 5:

Calcule lımx→0+

(1 + sin 4x)cot x.

En primer lugar, advierta que cuando x → 0+, tenemos 1 + sin 4x → 1 ycot x→∞, por lo que el lımite es indeterminado. Sea

y = (1 + sin 4x)cot x


Entonces

ln y = ln[(1 + sin 4x)cot x = cot x ln(1 + sin 4x)

de modo que la regla de L’Hospital da

lımx→0+

ln y = lımx→0+

ln(1 + sin 4x)

tan x

= lımx→0+

4 cos 4x1+sin 4x

sec2 x= 4

Hasta ahora hemos calculado el lımite de ln y, pero lo que deseamos es el lımite y.Para hallarlo apliquemos y = eln x:

lımx→0+

(1 + sen4x)cot x = lımx→0+

y = lımx→0+

eln y = e4

6.9. Ejercicios.

1. Considere f(x) = 3x−3x2−2x+3 en el intervalo [2, 3]. Diga si existe c ∈ (2, 3) tal

que f′

(c) = 0. Clarifique la razon.

2. Considere f(x) = x+2x2+4x+3 en el intervalo [−4,− 3

2 ]. Diga si existe c ∈(−4,− 3

2 ) tal que f′

(c) = 0. Clarifique la razon.

3. Encuentre y clasifique los puntos crıticos en cada una de las siguientes fun-ciones:

a) f(x) = x4 + 83x3

b) g(x) = x + 4x−2 − 2

c) h(z) = z52 − 5z

32 − 50z

12

d) i(x) = 3x−4x+2

e) j(x) = cos2 x en [−π/2, π/2]

4. Calcule los siguientes lımites:

lımx→2

x3 − 8

x4 − 16lım

x→∞

√x2 + 4

xlım

x→∞6x + 5

3x− 8lım

x→π/2

2x− π

cosx

lımx→0

x− tan−1 x

x3lımt→0

sin 3t

tan 5tlımx→0

sin x− tan x

x3lımx→0

x

tan 2x

lımx→π/2

secx

tan xlımx→0

√3 + 2x−

√3 + x

xlımx→0

tan−1 2x

tan−1 3x


lımx→∞

tan−1 2x

tan−1 3xlım

x→π/2tan x cos 3x lım

x→1

2x2 − (3x + 1)√

x + 2

x− 1

lımx→0+

1

x− 1√

xlım

x→∞

√

x2 + x−√

x2 − x lımx→π/2

(tan x− secx)

lımx→∞

x + sin x

3x + cosxlımx→π

(x− π) csc x lımu→0

u tan−1 u

1− cosu

lımx→2

√x2 + 5− 3

x2 − 4lım

θ→π/2

1 + cos 2θ

1− sin 2θlımx→0

x cot x

lımx→2+

1√x2 − 4

− 1

x− 2lımx→2

x− 2 cos πx

x2 − 4lım

x→∞3x3 − 1

4x3 − x− 3

lımx→π/4

sinx cos x

x− π/4lımt→0

10(sin t− t)

t3lım

x→∞(√

x + 1−√

x)

lımθ→0+

1− cos√

x

θlım

x→∞

√x3 + x√2x3 − 4

lımx→0

√1 + 3x− 1

xlım0→0

1

x− cot x

lımx→0

2x

x + 7√

xlım

x→∞

√x2 − 1√4x2 − x

lımx→1/2

2x− sin πx

4x2 − 1

5. De la siguiente lista de funciones escoja para cada literal una de ellas queverifique la propiedad enunciad. Muestre que su escogencia es correcta:

f(x) =x2 + x− 6

−3x2 + 3x + 6k(x) = x4 − 2x2 − 2 l(x) =

sin x

x

h(x) = tan x j(x) = |x− 3| − 5 n(x) = ‖3x‖

m(x) = −x2 + 4x− 8 o(x) = x5 − x t(x) =5x2/3

2− x5/3

5


p(x) =

1x−2 si x > 2

x2 si 2 ≤ x ≤ 01x si x < 0

g(x) =−x2 − 2x + 8

x2 − 4x− 5w(x) =

x3 − 8

x2 + 2

a) La funcion tiene exactamente 2 asıntotas verticales.

b) La funcion tiene una discontinuidad evitable.

c) La funcion no es derivable en infinitos puntos.

d) La funcion tiene al menos una asıntota horizontal.

e) La funcion es decreciente en (8,∞).

f ) La funcion tiene exactamente un mınimo local.

g) La funcion tiene exactamente un maximo local.

h) la funcion tiene mınimo absoluto y lo toma en dos puntos.

i) la funcion tiene una asıntota oblicua.

j) la funcion tiene un mınimo local en un cierto real c; es continua en c;pero la derivada en c no es cero.

k) Existen a, b, c ∈ R, a < b, c 6= 0 tales que la derivada en x es c paratodo x ∈ (a, b).

l) La grafica de la funcion es concava hacia abajo en todos los reales pos-itivos.

6. Hallar dos numeros cuyo producto sea 10 y cuya suma sea la mınima posible.

7. Entre todos los rectangulos inscritos en una circunferencia de radio a, digacual es el de mayor area.

8. Hallar la distancia mas corta del punto (4,−2) a la recta y = x2 + 4.

9. Un veterinario dispone de 300 m de tela de alambre y quiere construir 5 jaulasrectangulares para perros, haciendo un rectangulo exterior y luego dividien-dolo con cercas paralelas a uno de los lados. Encuentre las dimensiones delrectangulo para que el area de las jaulas sea la mayor posible.

10. Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta,debe tener un volumen de 10 m3. El largo de su base es el doble del ancho. Elmaterial para la base cuesta 10 dolares por metro cuadrado y el material paralos costados cuesta 6 dolares por metro cuadrado. Encuentre las dimensionesdel recipiente para que el costo sea el mınimo posible.

11. Un globo esferico se infla a razon de 100 cm3 por segundo. Diga la rapidezcon la que crece l radio del globo en el instante en que este es de 50 cm.


12. Un tanque conico de altura igual al radio se llena de agua a razon de un litropor segundo. Diga con que rapidez aumenta el nivel del agua cuando la alturaes un metro.

13. La diagonal de un cuadrado crece a razon de de cm por segundo Diga larapidez con la cual crece el area del cuadrado cuando esta es de 10 cm.

14. Un barco A se desplaza de sur a norte a 50 km/h. Un barco B se desplazade este a oeste a 20 km/h. Si los dos barcos salieron del mismo puerto a las10 a.m., diga la rapidez con que se alejan el uno del otro a las 12 del dıa.

15. Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un tanque en forma decono, a una taza de 3π m3/min. Si el tanque tiene un radio de 2,5 m en suparte superior y una altura de 10 m. Diga con que velocidad varıa el nivel delaceite cuando este ha alcanzado 8 m de profundidad.

16. La base de un triangulo decrece a razon de 1 cm/s mientras que su alturacrece a razon de 2 cm/s. Diga como varia el area del triangulo cuando la basemide 2 cm y la altura es de 6 cm.

17. Del filtro conico de una cafetera cae cafe (tinto) a razon de 10 pulg3/minsobre una jarra cilındrica de diametro 6 pulg. Si el filtro tiene de altura 6 pulgy radio mayor 3 pulg:

a) Diga la rapidez con que se eleva el nivel de cafe de la jarra cuando elcafe tiene 5 pulgadas de profundidad en el cono.

b) Diga con que rapidez baja el nivel de cafe del cono en ese instante.

18. La ecuacion de movimiento s(t) = 4t3 + 6t + 2 denota el desplazamiento deuna partıcula que se mueve en lınea recta. En dicha expresion t se mide ensegundos y se recorre en metros.

a) Encontrar la velocidad de la partıcula en los instantes t = a, t = 1, t = 2y t = 3.

b) Hallar la aceleracion de la partıcula en el instante t = 1 s.

19. Hallese el volumen del mayor cono circular recto que puede inscribirse en unaesfera de radio r.

20. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchopor el cuadrado de altura . Calculense las dimensiones de la viga de resistenciamaxima que puede aserrarse de un tronco de madera cilındrico de radio r.

Cálculo diferencial

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