Matemtica AplicadaProfesor Jess Muoz Tema II. Caracas , 10 de Mayo de 2009.

Clculo diferencial e integral.En este tema se trata los conceptos relacionados con el clculo diferencial e integral, su representacin y aplicacin en funciones matemticas, y administracin de todos estos conceptos y procedimientos con el software matemtico Wolfram Mathematica.

Clculo diferencial e integral.INTRODUCCINClculo,ramadelasmatemticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores mximo y mnimo de funciones y de la determinacin de longitudes, reas y volmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniera, siempre que haya cantidades que varen de forma continua.

Clculo diferencial e integral.Derivada de una funcin matemtica.Elclculodiferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuacin y = f(x), en donde la funcin f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeo incremento h en la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x vara de x0 a x0 + h. La grfica de la funcin y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra a continuacin:

Clculo diferencial e integral.Derivada de una funcin matemtica.El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x vara de x0 a x0 + h. La grfica de la funcin y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra a continuacin:

Clculo diferencial e integral.Derivada de una funcin matemtica.Sihtiendehacia0,para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantneo de la y en x0; geomtricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. As, se define la derivada f(x0) de la funcin y = f(x) en x0 como el lmite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Derivada de una funcin matemtica.Software matemtico.El clculo incursiona muchas reas cientficas, los software matemticos incorporan siglos de desarrollos matemticos en comandos informticos de gran alcance mediante algoritmos desarrollados por investigadores del rea de informtica.En el software matemtico Mathematica Wolfram el clculo diferencial se realiza mediante las sentencias siguientes: Dt[f,x] da la derivada de una funcin f(x). Dt[f,{x,n}] da la derivada de orden n (dn f(x)/d xn) de una funcin f(x) . Para funciones f(x,y) de varias variables independientes tenemos que su derivada parcial es :

Derivada de una funcin matemtica.Software matemtico. D[f[x,y],x] , da la derivada parcial f / x D[f[x, y], x,y] da la derivada parcial cruzada f / x yEjemplos:Determine las derivadas de las siguientes funciones:a) y= x^2 -3x.b) y = 2Cos(x) ecos(x) c) y= x^3 / ex d) y(x,y) = (x^2 + Y^2 ) /y^3

Clculo diferencial e integral.La Integral de una funcin matemtica. Elclculointegralse basa en el proceso inverso de la derivacin, llamado integracin. Dada una funcin f, se busca otra funcin F tal que su derivada es F = f; F es la integral, f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx. Es decir como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2 esto se escribe : 2xdx = x2 + c.En donde c es una constante cualquiera llamada constante de integracin; esto es debido a que la derivada de una constante es 0. Unaaplicacinbienconocida de la integracin es el clculo de reas.

Clculo diferencial e integral.La Integral de una funcin matemtica.Sea A el rea de la regin delimitada por la curva de una funcin y = f(x) y por el eje x, para a x b ,la integral de f(x) en el dominio computa el rea bajo la curva, tal como se muestra a continuacin:

La Integral de una funcin matemtica.Software matemtico.El procedimiento de integracin mediante el software matemtico es el siguiente:La integral indefinida de f(x) es Integrate[f[x] , x] mediante la paleta de comando f(x) dx .Ejemplos: y(x)= x2 + 2x Integrate[y[x],x]= x2+ x3/3 f[x] dx = x2+ x3/3

La integral definida de una funcin f(x) viene dada por la expresin siguiente:Integrate[f[x],{x, xmin,xmax }] (paletas de comandos).

Ejemplos.Determine la integral indefinida y definida de las siguientes funciones:a) y= cos(x) en el dominio [-Pi/2, Pi/2]b) y= e2x en el dominio [0, Pi]c) y= Log10(x) en el dominio [0, 5]

Fuentes de informacinSitios Web de utilidad.www.wolfram.comBibliografa consultada.Anlisis Numrico con Aplicaciones. Gerald Wheatley .Prentice HallThomas: Clculo de una variable. Prentice Hall.

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