Universidad Nacional de IngenierıaFacultad de CienciasEscuela Profesional deMatematica Ciclo 2015-II

[Cod: CM211 Curso: Calculo Diferencial e Integral Avanzado][Tema:Funciones vectoriales; dominio, rango, limite, continuidad, diferenciabilidad.matriz jacobiana. Transformaciones, transformac. coordenadas cilindricas, esfericas.Regla de la cadena. ][Prof:J. Mayta, J. Yarasca, J. Zamudio ]

Practica Dirigida N o 8

1. Calcular la matriz jacobiana de lafuncion siguiente en el punto indi-cado

a) f(x, y) = (ax + by, cx + dy) en(x0, y0)

b) f(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z) en(x0, y0, z0)

c) f(x, y) = (sin(x), sin(x)cos(y), cos(y))en (0, π2 )

d) f(x, y, z) = (ln(x2 − y2 − z), xyz2)en (−3, 1, 2)

2. Sea la funcion f : Rm → Rn.Probarque si

∀x, y ∈ Rm, ‖f(x)−f(y)‖ ≤ ‖x−y‖

entonces f es continua.

3. Sea la funcion f : Rm → Rn dondef = (f1, · · · , fn).Probar que si

lımx→a

f(x) = b⇔ lımx→a

fi(x) = bi

donde b = (b1, · · · , bn)

4. Hallar las graficas de los conjuntossiguientes mediante la transforma-cion cilindrica.

a) A = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 3, z = 3}b) B = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ z ≤

2, π ≤ θ ≤ 2π}

c) C = {(r, θ, z)|2 ≤ r ≤ 3, 1 ≤ z ≤2, 0 ≤ θ ≤ π}

d) D = {(r, θ, z), 2 ≤ z ≤ 3, θ = π4 }

e) D = {(r, θ, z), 2 ≤ r ≤ 3, θ = π2 }

f) D = {(r, θ, z), r = 4, 1 ≤ z ≤ 3}

5. Expresar en coordenadas cilındri-cas:

a) La region limitada superior-mente por el plano z = 2x e in-feriormente por el paraboloidez = x2 + y2.

b) La region limitada por las grafi-cas x2+z2 = 9, y+z = 3 e y = −3.

6. Probar:

a) Sea D = [0, 1] × [0, 1] y dada latransformacion T (u, v) = (−u2 +4u, v) es inyectiva.

b) Sea

T (x, y) =

(x− y√

2,x+ y√

2

)T hace rotar al cuadrado D =[0, 2]× [0, 2]

7. Determinar las coordenadas carte-sianas de los puntos cuyas coorde-nadas esfericas (ρ, θ, φ) son:

a) (1, 0, π2 )

b) (1, , π3 , 0)

1

c) (2, π2 ,3π4 )

8. Asignar mediante coordenadas esfe-ricas los puntos cuyas coordenadascartesianas son:

a) (1, 0, 0)

b) (0,√

3,−1)

c) (1, 1, 0)

d) (32,−25, 18)

9. Describir en coordenadas esfericasel solido S limitado por la esfera

x2 + (y − a)2 + z2 = a2

y a la izquierda por el cono

y =√x2 + z2

10. Exprese en coordenadas cilidricas laregion acotada por las superficies:

z = x2 + y2, z = 27− 2x2 − 2y2

11. Exprese en coordenadas cilidricas laregion acotada por las superficies:

x2 + y2 + z2 = 13, z − 1 = x2 + y2, 1 ≤ z

12. Halle las coordenadas esfericas(ρ, θ, φ) del punto con coordenadasrectangulares (3, 3, 3).

13. Halle las coordenadas esfericas(ρ, θ, φ) del punto en coordenadas ci-lindrias (r, θ, z) = (2, 2π3 , 6).

14. Halle la matriz jacobiana y su de-terminante para la trasformacion

T (r, θ) =(ercos(θ), e2sin(θ)

)Probar que la determinante nuncase hace cero y que existen puntosdistintos (r1, θ1), (r2, θ2) tales que

T (r1, θ1) = T (r2, θ2)

15. Sea u = x4y + y2z3 + φ(xy

), donde

x = 1 + rset, y = rs2e−t, z = r2ssen(t)

Calcule ∂u∂s cuando r = 2, s = 1, t = 0,

sabiendo que φ(3/2)′ = −1

16. Halle una ecuacion en coordenadasrectangulares de la ecuacion dadaen coordenadas esfericas

ρ = 1− cos(φ)

Observe que no depende de θ.Demuestre que ρ es una funcion cre-ciente de φ, (φ ∈ [0, π])

Uni, 22 y 23 de Octubre del 20151

1Hecho en LATEX

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