CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN R

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN Rn

Narciso Roman-Roy 1

Departamento de de MatematicasC/ Jordi Girona 1; Edificio C-3, Campus Norte UPC

E-08034 Barcelona

15 de marzo de 2021

1e-mail: [email protected]

Indice general

1. Topologıa de Rn. Sucesiones 3

1.1. Nociones de Topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Espacios metricos y normados. Caso particular de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Bolas y rectangulos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4. Abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Sucesiones en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Sucesiones. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3. Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Lımites y continuidad de funciones en Rn 15

2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Lımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Lımite de una funcion en un punto y en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Lımites segun curvas. Lımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Funciones continuas. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2. Continuidad uniforme. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Diferencial de funciones en Rn 25

3.1. Diferenciabilidad de funciones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. Diferenciabilidad de una funcion en un punto. Interpretacion geometrica . . . . . . . . 25

3.1.2. Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Aproximacion lineal . . . . . . . . . . . . 27

3.1.3. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Propiedades elementales (linealidad y otras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3. Regla de la cadena. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.4. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.5. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Funciones de clase Ck . . 37

i

N. Roman Roy: Calculo Diferencial e Integral en Rn. ii

3.2.6. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.7. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.8. Teoremas del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1. Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.3. Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales. Campos solenoidales . . . . 49

3.3.4. Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones armonicas . . . . . . . . . . 52

3.3.5. Expresion de los operadores diferenciales en otras coordenadas . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.6. Otras propiedades de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.7. Determinacion de funciones potenciales escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Subvariedades: curvas y superficies en Rn 55

4.1. Subvariedades de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1. Subvariedades regulares de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2. Espacio tangente y variedad tangente de una subvariedad regular . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1. Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.3. Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.4. Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1. Superficies en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.2. Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.3. Plano tangente y recta normal a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.4. Superficies orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.5. Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Estudio local de funciones en Rn 73

5.1. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1. Formula de Taylor. Expresion del resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1. Extremos libres. Puntos crıticos. Condicion necesaria de extremo . . . . . . . . . . . . 75

5.2.2. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.3. Condiciones suficientes de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.4. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.5. Metodo de los multiplicadores de Lagrange (condicion necesaria de extremo condicio-nado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.6. Condicion suficiente de extremo condicionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.7. Extremos absolutos de una funcion continua en un compacto . . . . . . . . . . . . . . 82

6. Integral de funciones escalares en Rn 84

N. Roman Roy: Calculo Diferencial e Integral en Rn. iii

6.1. Concepto de integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.1. Integral multiple en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.2. Medida y contenido cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1.3. Condiciones de integrabilidad. Funciones integrables en un rectangulo . . . . . . . . . 90

6.1.4. Integral multiple en una region mas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2. Propiedades de la integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.1. Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.2. Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivacion bajo el signo integral) 96

6.2.3. Calculo de integrales multiples por iteracion: Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . 97

6.2.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.1. Region de integracion no acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.2. Funcion no acotada en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7. Integrales de lınea y de superficie 110

7.1. Integrales de lınea de campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.1.1. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.1.2. Integral de lınea de un campo escalar. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.3. Integral de lınea de un campo vectorial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2. Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2.1. Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2.2. Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2.3. Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8. Teoremas del Analisis Vectorial 124

8.1. Teorema del rotacional o de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.1.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.1.2. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 127

8.1.3. Teorema de Stokes en R3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.1.4. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . 134

8.1.5. Caracterizacion de campos conservativos mediante integrales de lınea . . . . . . . . . . 138

8.2. Teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.2.1. Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.2.2. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Gauss-Ostrogradskii . . . . . 144

8.2.3. Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.2.4. Caracterizacion de campos solenoidales por integrales de superficie . . . . . . . . . . . 146

8.3. Otras aplicaciones de los teoremas del Analisi Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.3.1. Resolucion de ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante . . . . . . . . . . . . 148

8.3.2. Definicion intrınseca de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9. Formas diferenciales 151

9.1. Campos vectoriales y formas diferenciales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

N. Roman Roy: Calculo Diferencial e Integral en Rn. iv

9.1.1. Campos vectoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.1.2. Formas diferenciales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.1.3. Operaciones con formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.2. Integracion de formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.2.1. Subvariedades de Rn. Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.2.2. Integracion de formas en Rn y en subvariedades de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.2.3. Teorema de Stokes en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Preliminares

Estructura afın de Rn

Recuerdese que un espacio afın n-dimensional modelado sobre E es un triplete (A,E, ϕ), donde A es unconjunto (cuyos elementos denominaremos puntos), E es un espacio vectorial n-dimensional y

ϕ : A×A −→ E(p, q) 7→ vpq

.

con las siguientes propiedades:

1. ∀ p ∈ A, la aplicacion ϕp:A −→ E, tal que ϕp(q) = vpq, es biyectiva.

2. ∀ p, q, r ∈ A, se tiene que ϕ(p, q) + ϕ(q, r) = ϕ(p, r).

De esta manera, fijado un punto cualquiera p ∈ A (que se denomina origen), A se identifica biunivocalemtecon el espacio vectorial E.

A lo largo del curso se va a trabajar en el conjunto

Rn :=:=

n︷︸︸︷R× . . .× R = (x1, . . . , xn) ≡ x ; xi ∈ R ;

es decir, el conjunto de las n-tuplas ordenadas de numeros reales; cuyos elementos son puntos y donde losnumeros reales xi se denominan coordenadas cartesianas del punto.A ≡ Rn es un espacio afın n-dimensional,lo cual significa que, una vez fijado un punto p ∈ Rn, se identifica Rn con un espacio vectorial n-dimensionalsobre R que se denota E ≡ Rnp y se denomina espacio tangente a Rn en p 1. Por el momento, cometeremosun abuso de notacion, denotando igualmente por Rn al espacio vectorial asociado E ≡ Rnp , ∀ p ∈ Rn.

Salvo indicacion contraria, en Rn se trabajara con sistemas de coordenadas cartesianas (con la orientaciondextrgira de los ejes) y en el espacio vectorial asociado E ≡ Rn se tomara la base canonica usual asociada adichas coordenadas; es decir, la que esta formada por vectores coordenados que denotaremos eii=1...n ≡(e1, . . . , en).

Cometiendo, pues, un abuso de terminologıa, los elementos x ∈ Rn se pueden considerar indistintamentecomo puntos, que vendran especificados por medio de sus coordenadas x ≡ (x1, . . . , xn), o como vectores(que serıan los vectores de posicion de dichos puntos), en cuyo caso los valores de las coordenadas del puntoson las componentes escalares del vector de posicion, esto es,

x = x1e1 + . . .+ xnen ≡n∑i=1

xiei .

Sistemas de coordenadas en Rn

Eventualmente, tambien se manejaran otros sistemas de coordenadas en R2 y R3; en particular:

1 Mas adelante quedara justificada esta denominacion y, en aprticular, en el capıtulo 9 volveremos sobre este asunto.Observese que el espacio vectorial es el mismo para todos los puntos p ∈ Rn.

1

N. Roman Roy: Calculo Diferencial e Integral en Rn. 2

Coordenadas polares en R2.

Se designan por (r, φ); con r ∈ (0,∞), θ ∈ [0, 2π). La relacion con las coordenadas cartesianas (x, y)en R2 es

x = r cos φ , y = r sin φ

Coordenadas cilındricas en R3.

Se designan por (r, φ, z); con r ∈ (0,∞), φ ∈ [0, 2π), z ∈ (−∞,∞). La relacion con las coordenadascartesianas (x, y, z) en R3 es

x = r cos φ , y = r sin φ , z = z

Coordenadas esfericas en R3.

Se designan por (r, φ, θ); con r ∈ (0,∞), φ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π). La relacion con las coordenadascartesianas (x, y, z) en R3 es

x = r sin θ cosφ , y = r sin θ cos φ , z = r cos θ

Capıtulo 1

Topologıa de Rn. Sucesiones

Introduccion

Antes de comenzar el estudio de las funciones reales de varias variables, es preciso hacer algunas consi-deraciones sobre el espacio en que se definen, esto es, Rn. En terminos mas precisos, lo primero que se va ahacer en este capıtulo preliminar es una somera introduccion a ciertas nociones topologicas genericas 1 y suparticularizacion sobre Rn, que permiten generalizar algunos conceptos basicos bien conocidos en la rectareal R, (como son las nociones de distancia entre puntos o de intervalo, entre otras). La exposicion concluiraanalizando otras caracterısticas de Rn relacionadas con las sucesiones, que estan en ıntima relacion con suspropiedades topologicas como, p. ej., la completitud.

1.1. Nociones de Topologıa

1.1.1. Espacios metricos y normados. Caso particular de Rn

Definicion 1 Sea un conjunto M . Se denomina distancia en M a una aplicacion d:M ×M −→ R tal que;∀x, y, z ∈M ,

1. (Definida positiva): d(x, y) ≥ 0.

2. (No degenerada): d(x, y) = 0⇐⇒ x = y.

3. (Simetrıa): d(x, y) = d(y, x).

4. (Desigualdad triangular): d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Un espacio metrico es una pareja (M,d) (un conjunto M dotado de una distancia d).

Definicion 2 Dado un espacio vectorial real E, se denomina norma en E a una aplicacion ‖·‖: E −→ Rtal que; ∀x,y ∈ E y ∀λ ∈ R,

1. (Definida positiva): ‖x‖ ≥ 0.

2. (No degenerada): ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0.

3. (Multiplicacion): ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.

4. (Desigualdad triangular:) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Un espacio normado es una pareja (E, ‖·‖) (un espacio vectorial real E dotado de una norma ‖·‖).

1 La Topologıa es la parte de las matematicas que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes por transfor-maciones que los “deforman” (sin “romperlos”) y, por tanto, independientes de los sistemas coordenados elegidos.

3


Proposicion 1 Si (E, ‖·‖) es un espacio normado, entonces (E, d) es un espacio metrico, con la distanciaasociada a la norma:

d(x,y) = ‖x− y‖ , ∀x,y ∈ E .

( Dem. ) Las propiedades (1), (2) y (4) de la definicion 1 se obtienen directamente de las propiedadescorrespondientes de la definicion 2; mientras que para la simetrıa, aplicando la propiedad (3), se tiene:

d(x,y) = ‖x− y‖ = ‖ − (y − x)‖ = | − 1|‖y − x‖ = d(y,x) .

Definicion 3 Dado un espacio vectorial real E, se denomina producto escalar (euclıdeo) en E a una apli-cacion 〈, 〉: E×E −→ R tal que, ∀α, β ∈ R, ∀x,y, z ∈ E:

1. (Bilineal): 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉+ β〈x, z〉 ; 〈z, αx + βy〉 = α〈z,x〉+ β〈z,y〉 2.

2. (Simetrıa): 〈x,y〉 = 〈y,x〉.

3. (Definida positiva): 〈x,x〉 ≥ 0, ∀x ∈ E

4. (No degenerada): 〈x,x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0 3.

Un espacio euclıdeo es una pareja (E, 〈, 〉) (un espacio vectorial real E dotado de un producto escalar 〈, 〉).

Proposicion 2 Si (E, 〈, 〉) es un espacio euclıdeo, entonces (E, ‖·‖) es un espacio normado, con la normaasociada al producto escalar:

‖x‖ =√〈x,x〉 , ∀x ∈ E ,

y, por consiguiente, (E, d) es un espacio metrico con la distancia asociada a esta norma.

( Dem. ) Basta comprobar que esa aplicacion es una norma.

Algunas propiedades importantes de esta norma son las siguientes:

Proposicion 3 Sea (E, 〈, 〉) un espacio euclıdeo (finito dimensional). Entonces, ∀x,y ∈ E, ∀λ ∈ R,

1. |〈x,y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (desigualdad de Cauchy-Schwarz).

2. ‖x− y‖ ≥ ‖x‖ − ‖y‖.

3. ‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2. (Identidad del paralelogramo).

4. ‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 = 4〈x,y〉. (Identidad de polarizacion).

5. Si x ≡ (xi) (en la base ortonormal asociada al producto escalar), entonces |xi| ≤ ‖x‖ ≤n∑i=1

|xi|.

( Dem. ) Se basan en las propiedades del producto escalar. Se demostrara unicamente 1. Se tiene quedemostrar que:

(

n∑i=1

xiyi)2 ≤ (

n∑i=1

xi)2(

n∑i=1

yi)2.

En efecto, se observa que (

n∑i=1

xiz + yi)2 ≥ 0, ∀z ∈ R. Haciendo A =

n∑i=1

x2i , B =

n∑i=1

xiyi y C =

n∑i=1

y2i se

tiene Az2 + 2Bz+C ≥ 0 y por tanto la ecuacion de 2o grado Az2 + 2Bz+C, o tiene una solucion real doble,o no tiene ninguna, lo que implica B2 −AC ≤ 0 que es la desigualdad buscada.

Se ha supuesto que A 6= 0. Si A = 0 la demostracion es trivial pues todos los xi son nulos.

2 Esta segunda condicion es consecuencia de la primera y de la siguiente.3 Si no se asume la condicion 3 (y el producto escalar es no euclıdeo) la condicio 4 se expresa en forma mas general como

sigue: ∀x ∈ E, 〈x,y〉 = 0 ⇐⇒ y = 0.


Lema 1 (Rn, 〈, 〉2) es un espacio euclıdeo con el producto escalar

〈x,x〉2 :=

n∑i=1

xiyi , ∀x = (xi) , y = (yi) ∈ Rn .

Por consiguiente, (Rn, ‖·‖2) es un espacio normado y (Rn, d2) es un espacio metrico con la norma y ladistancia asociadas a este producto escalar 4:

‖x‖2 = 〈x,x〉1/22 =

√√√√ n∑i=1

x2i , d2(x,y) = ‖x− y‖2 =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2 ; ∀x,y ∈ E .

( Dem. ) Basta comprobar que la operacion resenada es, en efecto, un producto escalar.

1.1.2. Bolas y rectangulos abiertos y cerrados

En todo cuanto sigue, se asumira que (M,d) es un espacio metrico (se puede considerar que M = Rn, encuyo caso los siguientes conceptos generalizan las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R).

Definicion 4 Sea un punto p ∈M y un escalar r ∈ R+.

1. Se denomina esfera con centro en p y radio r al conjunto

S(p, r) = Sr(p) ≡ x ∈M | d(x, p) = r .

2. Se denomina bola abierta con centro en p y radio r al conjunto

B(p, r) = Br(p) ≡ x ∈M | d(x, p) < r .

3. Se denomina bola cerrada con centro en p y radio r al conjunto

B(p, r) = Br(p) ≡ Br(p) ∪ Sr(p) ≡ x ∈M | d(x, p) ≤ r .

4. Se denomina bola perforada con centro en p y radio r al conjunto

B∗r (p) = Br(p)− p .

Definicion 5 Un conjunto A ⊂ M se dice que esta acotado si ∃Br(p), con p ∈ M , tal que A ⊂ Br(p)(existe alguna bola que lo contenga).

Definicion 6 Se denomina entorno de un punto p ∈ M a todo conjunto E(p) tal que es acotado y ∃Br(p)tal que Br(p) ⊆ E(p) (contiene una bola con centro en p).

Definicion 7 En (Rn, d2), se denomina rectangulo abierto H (respectivamente rectangulo cerrado H) alproducto cartesiano de n intervalos abiertos (resp. cerrados) de R:

H ≡ (a1, b1)× . . . (an, bn) ≡n∏i=1

(ai, bi)

H ≡ [a1, b1]× . . . [an, bn] ≡n∏i=1

[ai, bi]

En ambos casos, se denomina centro del rectangulo al punto de Rn cuyas coordenadas son las de los puntosmedios de los correspondientes intervalos; es decir,

c ≡(a1 + b1

2, . . . ,

an + bn2

)4 Que generalizan en Rn las nociones de valor absoluto y distancia en R.


Comentario:

Existen rectangulos que no son ni abiertos ni cerrados: son aquellos formados a partir de productoscartesianos de intervalos abiertos, cerrados y/o semiabiertos indistintamente.

Una relacion entre bolas y rectangulos esta dada por la siguiente propiedad:

Proposicion 4 1. Toda bola contiene un rectangulo y, a su vez, esta contenida en un rectangulo, todoscon el mismo centro.

2. Todo rectangulo contiene una bola y, a su vez, esta contenido en una bola, todos con el mismo centro.

( Dem. ) Evidente.

Comentarios:

Como consecuencia de esta propiedad, a partir de un punto se puede construir una secuencia infinitaalternada de bolas y rectangulos, cada uno incluyendo al precedente, que tienen como centro dichopunto.

Realmente, las nociones de bola y rectangulo son topologicamente equivalentes puesto que el paso deuna a otra se lleva a cabo por una mera “deformacion” del espacio Rn, esto es, matematicamentehablando, por medio de un cambio de coordenadas (p. ej., de cartesianas a esfericas).

Observese que cuando n = 1 de ambas definiciones se recupera la nocion de intervalo.

1.1.3. Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera

A fin de poder hacer consideraciones de tipo topologico sobre conjuntos que no sean ni bolas ni rectangu-los, es necesario introducir nuevos conceptos.

Definicion 8 Sea un conjunto A ⊂M . Se denomina complementario de A al conjunto

Ac := M \A = x ∈M | x 6∈ A

Definicion 9 Sea un conjunto A ⊂M y x ∈M .

1. Se dice que x es un punto interior de A si ∃Br(x) tal que Br(x) ⊂ A 5.

Se denomina interior de A, y se designa por A o bien IntA, al conjunto formado por todos sus puntosinteriores.

2. Se dice que x es un punto adherente de A si ∀Br(x), Br(x) ∩A 6= Ø.

Se denomina adherencia (tambien clausura o cierre) de A, y se designa por A, al conjunto formadopor todos sus puntos adherentes.

En particular, los puntos adherentes pueden ser de dos tipos:

a) Se dice que x es un punto de acumulacion de A si ∀B∗r (x), B∗r (x)∩A 6= Ø (B∗r (x) contiene puntosde A 6).

Se denomina acumulacion de A, y se designa por A′, al conjunto formado por todos sus puntosde acumulacion.

b) Se dice que x es un punto aislado de A si es adherente pero no es de acumulacion; esto es, ∃Br(x)tal que Br(x) ∩A = x 7.

5 Lo que implica que x ∈ A.6 Lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A.7 Lo que implica que x ∈ A.


3. Se dice que x es un punto exterior de A si no es adherente; esto es, ∃Br(x) tal que Br(x)∩A = Ø (o,equivalentemente, Br(x) ⊂ Ac) 8.

Se denomina exterior de A, y se designa por ExtA, al conjunto formado por todos sus puntos exteriores.

4. Se dice que x es un punto frontera de A si ∀Br(x), Br(p) ∩A 6= Ø y Br(p) ∩Ac 6= Ø (Br(x) contienepuntos de A y puntos que no son de A) 9.

Se denomina frontera (topologica) de A, y se designa por FrA, al conjunto formado por todos suspuntos frontera.

Las siguientes propiedades son inmediatas a partir de las definiciones (se dejan como ejercicio).:

Proposicion 5 ∀A ⊂ M , IntA, ExtA y FrA establecen una particion de M ; esto es, todo punto de Mpertenece a uno, y solo uno, de estos tres conjuntos; es decir,

1. IntA ∪ ExtA ∪ FrA = M .

2. IntA ∩ ExtA = Ø, ExtA ∩ FrA = Ø, IntA ∩ FrA = Ø,

Proposicion 6 ∀A ⊂ M ; se tiene que FrA = FrAc , IntA = ExtAc , ExtA = IntAc .

Proposicion 7 ∀A ⊂M ; se tiene que A ⊂ A′ ⊂ A.

Proposicion 8 ∀A ⊂ M ; se tiene que A ≡ A ∪ FrA (y, por tanto, A ≡ IntA ∪ FrA).

Proposicion 9 Si p es un punto de acumulacion de A, entonces toda bola B∗r (p) (y, por tanto, tambientoda bola Br(p)) contiene infinitos puntos de A.

( Dem. ) (Reduccion al absurdo). Supongamos que exista alguna bola B∗r (p) que contiene solamente npuntos de A, p1, ... , pn. Sea d = mind(p, p1), ... , d(p, pn) 6= 0, entonces B∗d′(p), d

′ < d, no contiene ningunpunto de A y, por tanto, p no es punto de acumulacion de A.

Y como consecuencia inmediata se tiene que:

Corolario 1 Los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulacion.

Comentarios y ejemplos: En (Rn, d2):

Todo punto aislado es un punto frontera.

Un punto frontera puede ser de acumulacion (p. ej., los puntos frontera de un intervalo) o no.

Un conjunto infinito puede tener puntos de acumulacion (p. ej.; si A = 1/n, n ∈ N, entonces 0 espunto de acumulacion de A), o no tenerlos (como el conjunto B = 1, ... , n, ...).Ademas, en un conjunto infinito de puntos aislados todos sus elementos son puntos frontera, peropuede haber mas de estos que no son del conjunto, ya que si hay puntos de acumulacion de A queno pertenecen a A, estos son tambien puntos frontera. (Como ejemplo, el lımite de una sucesion en Restrictamente creciente (o decreciente) convergente es un punto frontera de la sucesion pero no es unelemento de la misma; ademas es el unico punto de acumulacion del conjunto).

La frontera de una bola es la esfera con el mismo centro y de igual radio. Si la bola es abierta, suspuntos frontera no le pertenecen, si es cerrada sı.

Si A ⊂ Rn es un conjunto finito de puntos aislados se tiene que

IntA = Ø , ExtA = Ac , FrA = A .

8 Lo que implica que x 6∈ A.9 Lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A.


1.1.4. Abiertos y cerrados

Se acaba de comentar y ver que los puntos frontera de un conjunto pueden pertenecerle o no. Basandonosen esta observacion vamos a introducir una nueva caracterizacion de los conjuntos de Rn.

Definicion 10 Sea un conjunto A ⊂ M .

1. A es abierto si coincide con su interior: A = IntA.

2. A es cerrado si su complementario es un abierto.

Los conjuntos cerrados se caracterizan por las siguientes propiedades equivalentes:

Proposicion 10 Sea A ⊂M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es cerrado.

2. A = A.

3. FrA ⊆ A.

4. A′ ⊆ A.

( Dem. ) La demostracion se basa en que A es cerrado si Ac es abierto; por consiguiente, ∀x 6∈ A, x ∈IntAc = ExtA y, de aquı, ∀y ∈ A se tiene que y ∈ A. El resto de equivalencias son consecuencias directasde la proposicion 8 y de que A′ ⊂ A.

Como consecuencia inmediata de esta proposicion se tiene que:

Proposicion 11 ∀A ⊂M ,

1. A es cerrado y es el menor cerrado que contiene a A; es decir, si B ⊂M es cerrado y A ⊂ B, entoncesA ⊆ B.

2. A es abierto y es el mayor abierto contenido en A; es decir, si B ⊂ M es abierto y B ⊂ A, entoncesB ⊆ A.

( Dem. )

1. A es cerrado, luego ∀x ∈ A se tiene que, o bien x ∈ FrA, o bien x ∈ IntA. Obviamente IntA ⊂ A ⊂ B.Por otra parte, si x ∈ FrA entonces ∀Br(x) contiene puntos de A y, por lo tanto, de B (dado queA ⊂ B, luego x 6∈ ExtB y, como B es cerrado, eso implica que x ∈ B. De ahı FrA ⊂ B. Por consiguienteIntA ∪ FrA ≡ A ⊂ B.

2. Analogo.

Proposicion 12

Las bolas abiertas son abiertos.

Las bolas cerradas son cerrados.

( Dem. ) Vease J.M. Mazon: Calculo Diferencial, pags. 6,7.

Ejemplos: En (Rn, d2):

Un conjunto finito de puntos aislados es cerrado.


Un conjunto infinito de puntos aislados no necesariamente es cerrado, depende de si tiene o no puntos

de acumulacion: p. ej., sobre la recta los puntos de la sucesion A =

(1 +

1

n

)n, n ∈ N

.

Los conjuntos N y Z son cerrados. Q no es ni abierto ni cerrado, ya que FrQ = R.

El conjunto vacıo Ø y el total Rn son los unicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez 10.

Comentario:

Obviamente, hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (p. ej., un rectangulo formado por elproducto cartesiano de intervalos semiabiertos).

Finalmente se tiene la siguiente propiedad sobre la union y la interseccion de abiertos y cerrados:

Proposicion 13 1. La union de abiertos es un abierto.

2. La interseccion finita de abiertos es un abierto.

3. La interseccion de cerrados es un cerrado.

4. La union finita de cerrados es un cerrado.

( Dem. )

1. Sea F una coleccion arbitraria de abiertos y sea S =⋃A∈F

A. ∀x ∈ S existe A ∈ F tal que x ∈ A, y

como es abierto existe Br(x) ⊂ A ⊂ S, por tanto x ∈ IntS luego S es un abierto.

2. Sea S = A1 ∩ . . . ∩ An. Para todo x ∈ S existen Br1(x) ⊂ A1, . . . Brn(x) ⊂ An. Sea r =minr1, . . . , rn 6= 0, entonces Br(x) ⊂ S y, por tanto, todo punto de S es interior luego S es abierto.

3. La interseccion de cerrados es el complementario de la union de los complementarios, que son abiertos,y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado.

4. Se razona como en la anterior.

Contraejemplos:

La interseccion infinita de abiertos puede ser un cerrado: En Rn, para la familia (infinita) de bolasabiertas B1+ 1

n(p)n∈N, se tiene que ⋂

n∈N

(B1+ 1

n(p))

= B1(p)

La union infinita de cerrados puede ser un abierto: En Rn, para la familia (infinita) de bolas cerradasB1− 1

n(p)n∈N, se tiene que ⋃

n∈N

(B1− 1

n(p))

= B1(p)

10 Esta es una propiedad que caracteriza a los espacios topolgicos que son conexos.


1.2. Sucesiones en espacios metricos

1.2.1. Sucesiones. Convergencia

El concepto de sucesion de numeros reales se generaliza a cualquier espacio metrico (M,d).

Definicion 11 Una sucesion en M es una aplicacion N→M .

Comentarios:

Se usa la misma terminologıa y notacion que para sucesiones numericas. Ası, las imagenes de la apli-cacion se denominan terminos o elementos de la sucesion. El termino general de una sucesion vectorialse designa por xm.

Observese que en M = Rn, si xm ≡ (xm1 , . . . , xmn ), entonces una sucesion en Rn induce n sucesiones

numericas, que son las de las coordenadas: xm ≡ (xm1 , . . . , xmn ).

Definicion 12 Sea xm una sucesion en M . Un punto a ∈M es el lımite de la sucesion si, ∀ε > 0, ∃ν ∈ Ntal que si µ > ν, entonces d(a, xµ) < ε. Se usara la notacion lım

m→∞xm = a , o tambien xm m→∞−→ a.

Si una sucesion tiene lımite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente.

Comentario:

Notese que la definicion de lımite significa que, a partir del termino ν-esimo todos los terminos estancontenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε.

Proposicion 14 Sean xm, ym sucesiones en M .

1. lımm→∞

xm = a si, y solo si lımm→∞

d(xm, a) = 0.

2. Si xm es convergente entonces esta acotada.

3. Si xm tiene lımite entonces este es unico.

En (Rn, d2) 11:

4. lımm→∞

xm = a si, y solo si lımm→∞

xmi = ai (i = 1, . . . , n), (las sucesiones de la coordenadas convergen

a las coordenadas de a 12).

5. Si lımm→∞

xm = a y lımm→∞

ym = b, entonces lımm→∞

xm ± ym = a± b .

6. Si lımm→∞

xm = a, entonces, ∀λ ∈ R, lımm→∞

λxm = λa .

7. Si lımm→∞

xm = a y lımm→∞

ym = b, entonces para la sucesion de los productos escalares se tiene que

lımm→∞

〈xm,ym〉 = 〈a,b〉 .

8. Si lımm→∞

xm = 0 y ym es otra sucesion tal que ‖ym‖ acotada, entonces lımm→∞

〈xm,ym〉 = 0

( Dem. )

1. Como en R.

2. Como en R.

11 Todos los enunciados para este espacio metrico en particular son tambien validos para todas las distancias que estanasociadas a normas equivalentes (ver definicion 28).

12 Teniendo en cuenta esta propiedad, el calculo de lımites de sucesiones de vectores se reduce al calculo de lımites desucesiones numericas (las sucesiones de las cooordenadas.


3. Como en R.

4. Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 5 de la proposicion 3,

|xmi − ai| ≤ ‖xm − a‖ ≤n∑i=1

|xmi − ai| .

5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular,

‖xm + ym − a− b‖ ≤ ‖xm − a‖+ ‖ym − b| .

6. Inmediata.

7. Observese que

〈xm,ym〉 − 〈a,b〉 = 〈xm − a,ym〉+ 〈a,ym〉 − 〈a,b〉 = 〈xm − a,ym〉+ 〈a,ym − b〉 .

y ambas sucesiones tienen lımite igual a 0.

8. Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que

|〈xm,ym〉| ≤ ‖xm‖ ‖ym‖ m→∞−→ 0 .

Los siguientes resultados relacionan las sucesiones y la topologıa de los conjuntos en un espacio metrico.

Proposicion 15 Sea A ⊂M . ∀x ∈ A existe una sucesion xm de puntos de A cuyo lımite es x.

( Dem. ) Si x ∈ A se puede construir una sucesion de bolas B1/m(x) cada una de las cuales contiene puntosde A (por definicion de punto adherente), entonces basta tomar uno de ellos en cada bola xm ∈ B1/m(x) yse tiene una sucesion xm ⊂ A que obviamente tiene como lımite x.

Proposicion 16 A ⊂ M es cerrado si, y solo si, ∀xm sucesion de puntos de A convergente, su lımite esun punto x ∈ A.

( Dem. ) (=⇒) Si A es cerrado y xm → x, con xm ⊂ A, entonces en todo entorno de x hay puntosde xm (por definicion de lımite), esto es puntos de A, luego x ∈ A = A.

(⇐=) ∀x ∈ FrA ⊂ A, de acuerdo con la proposicion anterior, ∃xm ⊂ A con xm → x. Pero, porhipotesis, toda sucesion de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x ∈ A. Por consiguienteFrA ∈ A, luego A es cerrado.

Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass para sucesiones). En (Rn, d2), toda sucesion acotada xm ⊂ Rn tienealguna subsucesion xmk ⊂ Rn convergente.

( Dem. ) Se demuestra por induccion sobre n.

Para n = 1 (sucesiones de numeros reales) ya esta probado 13.

Supongamos que es valido para n − 1. Sea xm ≡ xm1 , . . . , xmn ) ⊂ Rn acotada. Considerese

(xm1 , . . . , xmn−1) ⊂ Rn−1, que esta acotada luego, por hipotesis de induccion, tiene una subsucesion conver-

gente (xmk1 , . . . , xmkn−1) ⊂ Rn−1. Sea ahora la subsucesion (de xm ⊂ Rn) xmk ≡ (xmk1 , . . . , xmkn ) ⊂ Rn;la sucesion xmkn ⊂ R esta acotada por la hipotesis del teorema, luego tiene una subsucesion convergente

xmkjn ⊂ R; por consiguiente la subsucesion xmkj ≡ (x

mkj1 , . . . , x

mkjn ) ⊂ Rn es convergente (pues toda

subsucesion de una sucesion convergente es convergente).

Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado:

13 En cualquier curso o libro de Calculo de una variable.


Proposicion 17 (Bolzano-Weierstrass para conjuntos). En (Rn, d2), sea A ⊂ Rn un conjunto acotado coninfinitos puntos, entonces existe al menos un punto de Rn que es punto de acumulacion de A.

( Dem. ) Como A tiene infinitos elementos, se puede construir una sucesion xm ⊂ A que tenga infinitosterminos distintos y que esta acotada al estarlo A; por consiguiente segun el teorema anterior, tiene algunasubsucesion convergente a p ∈ Rn que, como es el lımite de una sucesion con infinitos elementos distintos,por definicion de lımite, es un punto de acumulacion de la subsucesion y, por tanto, de A.

1.2.2. Compacidad

Sea (M,d) un espacio metrico.

Definicion 13 Un conjunto K ⊂M es compacto por sucesiones (o tambien se dice que tiene la propiedadde Bolzano-Weierstrass) si, para toda sucesion xm ⊂ K, se puede extraer una subsucesion xmkk∈Nconvergente a un punto p ∈ K.

Definicion 14 Sea un conjunto K ⊂M . Un recubrimiento de A es una familia (no necesariamente finita)de conjuntos U1, U2, . . ., con Ui ⊂M , cuya union contiene a K; K ⊆

⋃i Ui.

Definicion 15 Un conjunto K ⊂ M es compacto por recubrimientos (o tambien se dice que tiene la pro-

piedad de Heine-Borel) si, para todo recubrimiento K ⊆⋃i∈I

Ui, con Ui abiertos, se puede extraer un subre-

cubrimiento finito K ⊆n⋃j=1

Uj.

Teorema 2 (Bolzano-Weierstrass). Sea K ⊂M ; entonces K tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass si,y solo si, K tiene la propiedad de Heine-Borel.

( Dem. ) Ver J.E. Marsden, M.J. Hoffman: Analisis clasico elemental, pags. 165-167.

Definicion 16 Un conjunto K ⊂ M es compacto si satisface la propiedad de Bolzano-Weierstrass o la deHeine-Borel (es compacto por sucesiones o por recubrimientos).

Teorema 3 (Heine-Borel). Si K ⊂M es compacto entonces K es cerrado y acotado.

( Dem. ) (Reduccion al absurdo):

Si K no es cerrado ⇒ ∃x ∈ Fr K con x 6∈ K. Sea xm ⊂ K tal que xm → x, entonces cualquiersubsucesion de esta converge a x 6∈ K, contra la hipotesis.

Si K no esta acotado entonces, dado p ∈ K, ∀m ∈ R+, ∃xm ∈ K tal que d(xm, p) > m. Entonces,tomando m ∈ N, se puede formar una sucesion xm divergente no acotada que, por tanto, no puede tenersubsucesiones convergentes (ya que cualquier subsucesion es necesariamente no acotada); contra la hipotesis.

Proposicion 18 (Heine-Borel). En (Rn, d2) todo conjunto cerrado y acotado es compacto.

( Dem. ) Sea K cerrado y acotado y una sucesion xm ⊂ K, Si la sucesion xm tiene un numero finitode terminos es facil extraer subsucesiones convergentes. Si xm tiene infinitos terminos, como esta tambienacotada, por el teorema 1 tiene alguna subsucesion convergente a p ∈ Rn que, por la proposicion 17 es unpunto de acumulacion de A, y como K es cerrado entonces p ∈ A′ ⊂ K.

Comentario:

Aunque en algunos teoremas sobre funciones en Rn los compactos tienen el mismo papel que losintervalos cerrados en R, ambos conceptos no son equivalentes en R. En efecto, en R todo intervalocerrado es un compacto, pero no todo compacto es semejante a uno o varios intervalos cerrados. Ladiferencia esta en que en los intervalos cerrados todos sus puntos son de acumulacion, en los compactosno necesariamente (p. ej., un conjunto finito de puntos aislados es un compacto).


1.2.3. Sucesiones de Cauchy. Completitud

Como siempre (M,d) es un espacio metrico. Igual que para las sucesiones numericas, se define el siguienteconcepto:

Definicion 17 Una sucesion xm en M es una sucesion de Cauchy si ∀ε > 0, ∃ν ∈ N tal que si µ > ρ > ν,entonces d(xµ, xρ) < ε.

Comentario:

Notese que esta definicion significa que, a partir del termino ν-esimo todos los terminos de la sucesionestan contenidos en una bola abierta de diametro ε.

Teniendo en cuenta los comentarios hechos en el apartado anterior, es evidente que:

Proposicion 19 En (Rn, d2), xm es una sucesion de Cauchy si, y solo si, lo son las n sucesiones numeri-cas componentes xmi .

( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 5 de la proposicion 3,

|xµi − xρi | ≤ ‖x

µ − xρ‖ ≤n∑i=1

|xµi − xρi |

Con todos estos conceptos ya estamos en condiciones de explorar las relaciones entre las sucesiones(convergentes) de vectores y las propiedades topologicas de M . De este modo, es posible establecer en Mpropiedades analogas a las que ya se verificaban para la recta real R, como son el teorema de Bolzano-Weierstrass 14 y, en particular:

Proposicion 20 Si xm ⊂M es una sucesion convergente entonces es de Cauchy.

( Dem. ) Inmediato (como en R).

Definicion 18 Un espacio metrico (M,d) es completo si toda sucesion de Cauchy en M es convergente.

Proposicion 21 (Completitud de Rn): (Rn, d2) es completo.

( Dem. ) Es una consecuencia directa de aplicar la proposicion 19 y el teorema de completitud de R a cadauna de las sucesiones componentes de toda sucesion de Cauchy en Rn.

Proposicion 22 1. Si xm ⊂M es una sucesion de Cauchy entonces xm esta acotada.

2. Si xm ⊂M es una sucesion de Cauchy y xmk es una subsucesion convergente a p ∈M , entonces

xm m→∞−→ p.

( Dem. )

1. Dado ε > 0, sea ν ∈ N tal que si µ > ρ > ν, entonces d(xµ, xρ) < ε. Sea d = maxd(xi, xj) , ∀i, j ∈N / i < j ≤ ν; entonces todos los terminos de la sucesion estan en una bola Bd+ε(x

1).

2. Inmediato.

14 Que enuncia que toda sucesion acotada tiene alguna subsucesion convergente.


Proposicion 23 Si (M,d) es un espacio metrico completo y A ⊂M , entonces (A, d) es completo si, y solosi, A es cerrado.

( Dem. ) (=⇒) Si p ∈ A, como ya se ha demostrado anteriormente, ∃ xm ⊂ A tal que xm m→∞−→ p,luego xm es una sucesion convergente en M , luego es de Cauchy en M y, por tanto, tambien es de Cauchyen A; pero como A es completo, entonces p ∈ A; por tanto A = A y A es cerrado.

(⇐=) Supongase que A es cerrado. Si xm es una sucesion de Cauchy en A, al ser A ⊂M , tambien

es de Cauchy en M y, como M es completo, xm m→∞−→ p ∈M ; pero como xm ∈ A, ∀m, se tiene que p ∈ A′,por lo que, al ser A cerrado (A′ ⊂ A), resulta que p ∈ A; luego A es completo.

Definicion 19 Un espacio normado y completo se denomina espacio de Banach.

Capıtulo 2

Lımites y continuidad de funciones enRn

Introduccion

En la naturaleza hay fenomenos para cuya descripcion matematica se requieren funciones que dependende mas de una variable y que, en Fısica, suelen denominarse campos. Ası, p. ej.,

La temperatura de una region del espacio (a lo largo del tiempo):

T (x, y, z, t):R4 −→ R .

La velocidad de las partıculas de un fluido en movimiento

v(x, y, z):R3 −→ R3 .

La fuerza gravitatoria en el entorno de una distribucion de masa

F (x, y, z):R3 −→ R3 .

En este capıtulo se va a hacer una presentacion de este tipo de funciones, comenzando ya a estudiarlos conceptos analıticos con ellas relacionados, tal como se hizo en su momento con las funciones de unavariable. Concretamente, se empezara introduciendo las nociones de lımite y continuidad y, en los siguientescapıtulos, se abordaran las cuestiones relativas a la diferenciabilidad e integrabilidad de estas funciones.

(A partir de ahora, siempre que no se diga explıcitamente lo contrario, se toman los dominios de lasfunciones abiertos a fin de evitar problemas de aproximacion a los puntos frontera).

2.1. Funciones de varias variables

2.1.1. Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel

Definicion 20 Se denomina campo o funcion (real) de varias variables a una aplicacion

F :A ⊆ Rn −→ Rm (n > 1, m ≥ 1) .

1. Si m = 1 entonces se dice que F es un campo o funcion escalar.

2. Si m > 1 entonces se dice que F es un campo o funcion vectorial. En este caso se tiene

f : A ⊆ Rn −→ Rmx ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x))

.

15


donde fj :A ⊆ Rn → R (j = 1, . . . ,m) son funciones escalares que se denominan funciones componentesde f 1.

Ejemplos:

Funciones escalares: temperatura, presion, densidad,...

Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrostatico, electromagnetico...

Comentario: Es evidente, a partir de lo expuesto en la definicion, que el estudio de una funcion vectorialse reduce al de sus funciones componentes. Por ese motivo, en adelante se prestara atencion preferente alanalisis de las funciones escalares.

Definicion 21 Sea f :A ⊆ Rn → Rm.

1. El dominio de f es la region A ⊆ Rn donde esta definida la aplicacion 2,

Dom f := x ∈ Rn | ∃y = f(x) ∈ Rm .

2. La imagen de f es el conjunto de puntos que son imagen de algun punto del dominio,

Im f := y ∈ Rm | f(x) = y, x ∈ A .

3. Si f = (f1, . . . , fm), se denomina grafica de la funcion al conjunto graf f ⊂ Rn+m dado por

graf f := (x, f(x)) |x ∈ A≡ (x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) | (x1, . . . , xn) ∈ A, y1 = f1(x1, . . . , xn), . . . , ym = fm(x1, . . . , xn) .

4. Sea f :A ⊆ Rn → R. Se denomina conjunto de nivel k o equiescalar al conjunto de puntos del dominiodonde la funcion tiene el mismo valor k, es decir,

Ck(f) := x ∈ A | f(x) = c (ctn.) .

Si f :A ⊆ Rn → Rm (m > 1), se denomina conjunto de nivel q a

Cq(f) := x ∈ A | f(x) = q (ctn.) ,

y si q = (qi), es la interseccion de conjuntos de nivel Cqi de cada una de sus funciones componentes fi.

5. Sea f :A ⊆ Rn → R. Se denomina seccion de la grafica de f a la interseccion de graf f con hiperplanosde Rn+1. (Es habitual considerar los hiperplanos coordenados o hiperplanos paralelos a estos).

Comentarios:

Para una funcion vectorial con funciones componentes f = fi, se tiene que Dom f =

m⋂i=1

Dom fi.

Un campo escalar f :A ⊆ R → R tiene como grafica, en general, una curva en R2 cuya ecuacion esy = f(x); lo que se denomina expresion explıcita de la curva. Igualmente, si f :A ⊆ R2 → R, la graficade f esta en R3 y es, generalmente, una superficie cuya expresion explıcita es z = f(x, y).

Si se trata de una funcion de dos variables, un conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuaciones F (x, y) = cte. Se dice que es una curva dada en forma ımplicita. En el caso de funciones de tresvariables, un conjunto de nivel es, en general, una superficie que, en forma ımplicita, se expresa comoF (x, y, z) = cte.

1 Los valores que toman estas funciones componentes en cada punto del dominio de f son las componentes de un vector deRm (de ahı el nombre de funciones vectoriales).

2 El dominio de una funcion de varias variables suele estar dado por una o varias expresiones analıticas del tipoh(x1, . . . , xn) ≤ 0.


Observese que, en particular, para funciones de dos variables f ≡ f(x, y), las secciones obtenidas alintersectar la grafica de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectan sobre las curvasde nivel de la funcion (y analogamente sucede para funciones de mas variables).

El estudio de las secciones y superficies de nivel es util con vistas a tener una idea aproximada de comoes la grafica de la funcion.

Finalmente, dadas f ,g:Rn → Rm, se definen las funciones f + g, λf , fg:Rn → Rm como la suma oproducto componente a componente; es decir,

(f + g)(x) := ((f1 + g1)(x), . . . , (fm + gm)(x)) .

(λf)(x) := (λf1(x), . . . , λfm(x)) .

fg(x) := (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)) .

Analogamente la funcion producto escalar 〈f ,g〉:Rn → R esta dada por

〈f ,g〉(x) := f1(x)g1(x) + . . .+ fm(x)gm(x) .

Por otra parte, si f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rl, se define la funcion compuesta g f :C ⊂ Rn → Rlpor

(g f)(x) = g(f(x)) .

Notar que C = Dom (g f) = A ∩ f−1(B).

2.2. Lımites de funciones

2.2.1. Lımite de una funcion en un punto y en el infinito

Comenzaremos el analisis de las funciones de varias variables propiamente dicho estudiando el compor-tamiento de una funcion en el entorno de un punto. La primera nocion sobre este particular es la de lımite:

Definicion 22 Sea f :A ⊆ Rn → Rm, a ∈ A′ y p ∈ Rm. p es el lımite de f en a si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que,si x ∈ A− a y d(x,a) < δ, entonces d(f(x),p) < ε. Se escribira lım

x→af(x) = p, o bien f(x)

x→a−→ p 3.

Una definicion alternativa de este concepto viene dada por la siguiente propiedad:

Proposicion 24 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion, a ∈ A′ y p ∈ Rm. p es el lımite de f en a si, y solosi, ∀xk ⊂ A, sucesion de puntos en A con lım

k→∞xk = a , se tiene que para la sucesion de las imagenes,

lımk→∞

f(xk) = p.

( Dem. ) Como en el caso de una variable.

Las propiedades de los lımites de funciones de varias variables son analogas a las de las del caso de unavariable:

Proposicion 25 Sean f ,g:A ⊆ Rn → Rm funciones, a ∈ A′ y p,q ∈ Rm.

1. Si lımx→a

f(x) = p entonces p es unico.

2. Si m > 1, lımx→a

f(x) = p si, y solo si, lımx→a

fj(x) = pj (j = 1, . . . ,m) 4.

3. Si lımx→a

f(x) = p y lımx→a

g(x) = q , entonces lımx→a

(f(x)± g(x)) = p± q .

4. Si lımx→a

f(x) = p y λ ∈ R, entonces lımx→a

λf(x) = λp .

3 Esta es la misma definicion que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma.4 Ası, el calculo de lımites de funciones vectoriales se reduce al calculo de lımites de sus funciones componentes.


5. Si lımx→a


g(x) = q, y (fg)(x) := (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)), entonces lımx→a

(fg)(x) =

(p1q1, . . . , pmqm).

6. Si lımx→a


g(x) = q , entonces lımx→a〈f(x),g(x)〉 = 〈p, q〉.

7. Si lımx→a

f(x) = p, entonces lımx→a‖f(x)‖ = ‖p‖

8. Si f tiene lımite en a, entonces ∃Br(a) tal que f(Br(a) ∩A) esta acotado.

9. Sean f :A ⊆ Rn → Rm y g:B ⊆ Rm → Rl, con f(A) ⊂ B, y tales que a es punto de acumulacion de A,b = lım

x→af(x) es un punto de acumulacion de B y lım

y→bg(y) = c, entonces lım

x→a(g f)(x) = c, siempre

que b 6∈ B o g es continua en b 5.

10. Si m = 1, lımx→a

f(x) = p 6= 0 y f(x) 6= 0, ∀x ∈ E(a)∩A, entonces1

f(x)esta bien definida en E(a)∩A

y lımx→a

1

f(x)=

1

p

11. Si m = 1, f tiene lımite en a y este es positivo (resp. negativo), entonces ∃B∗r (a) tal que f(x) > 0(resp. f(x) < 0), ∀x ∈ B∗r (a) ∩A.

12. Si m = 1 y f ≤ h ≤ g en un entorno perforado de a, y lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = b, entonces lımx→a

h(x) = b.

( Dem. ) Se demuestran facilmente a partir de las definiciones y propiedades dadas.

Definicion 23 Sea f :A ⊂ Rn → R, y a ∈ A′. f tiene lımite infinito en a si, ∀L > 0, ∃δ > 0 tal que, six ∈ A− a y d(x,a) < δ, entonces ‖f(x)‖ > L. Se expresa lım

x→af =∞.

2.2.2. Lımites segun curvas. Lımites direccionales

En el calculo de lımites de funciones de varias variables no se dispone de tecnicas analogas a las del casode una variable 6. Ello obliga a desarrollar otros metodos de calculo nuevos basados en los conceptos que sevan a exponer en este apartado. Dado que, segun se ha visto en el primer punto de la proposicion 25, el lımitede una funcion vectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, solo vamos a considerar, enadelante, el caso de funciones escalares.

En el apartado anterior hemos podido observar (proposicion 24) que el lımite de una funcion en un puntopuede alcanzarse tomando una sucesion en el dominio que tenga como lımite ese punto, y analizando elcomportamiento de la sucesion de las imagenes. Es en este hecho en el que se va a basar la tecnica que vaa ser desarrollada. Ası, estudiaremos el comportamiento de la funcion en un punto acercandonos al mismopor medio de una sucesion de puntos que esten sobre una lınea. Esta es la idea que subyace en la siguientedefinicion:

Definicion 24 Sea f :A ⊆ Rn → Rm, C ⊂ Rn tal que A ∩ C 6= Ø, a ∈ (A ∩ C)′ y p ∈ Rm.

1. p es el lımite de f en a segun el conjunto C si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈ (A ∩ C) − a yd(x,a) < δ, entonces d(f(x),p) < ε 7.

2. En particular, si C = Im c, donde c: I ⊂ R → A es una curva parametrizada 8 continua 9 que pasapor a (esto es, c(t0) = a), se denomina lımite de f en a segun la curva c(t) al valor lım

t→t0f(c(t)) (si

existe) 10.

5Ver seccion siguiente.6 P. ej., no existe nada semejante a la regla de L’Hopital.7 Y analogamente para lımites en el infinito.8Ver capıtulo 4.9 En el sentido de que sus funciones componentes ci(t) son continuas.

10 Observese que se trata de un lımite de funciones de una variable.


3. Concretamente, se denomina lımite direccional de f en a al lımite segun la recta c(t) := a + tv; estoes, al valor lım

t→0f(a + tv) (si existe).

Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en formaexplıcita se tiene que, si f :A ⊆ R2 → R y a ≡ (x0, y0) ∈ A un punto de acumulacion de A,

1. El lımite de f en a segun la curva y = g(x) (que pasa por a) es el valor lımx→x0

f(x, g(x)) (si existe)

2. En particular, el lımite direccional de f en a es el lımite segun la recta y = mx+ b (que pasa por a);esto es, el valor lım

x→x0

f(x,mx+ b) (si existe).

Comentarios:

Los lımites segun curvas son la generalizacion al caso de varias variables, de la nocion de lımite lateraldel caso de una variable.

A este respecto, podrıa enunciarse un resultado analogo al correspondiente a lımites laterales en lossiguientes terminos:

Proposicion 26 Si lımx→a

f(x) = p entonces los lımites segun cualquier curva continua que pase por a existen

y son iguales a p.

Y un obvio corolario de este resultado, referido a los lımites direccionales es:

Corolario 2 Si lımx→a

f(x) = p entonces los lımites direccionales segun cualquier recta que pase por a existen

y son iguales a p.

Teniendo esto en cuenta, se puede asegurar que el lımite de una funcion en un punto no existe si se daalguno de los siguientes casos:

1. Si el lımite segun una curva depende de la curva elegida. En particular, si al hacer lımites direc-cionales, no existe el lımite para alguna recta o su valor depende de m (esto es, de la recta que setoma).

2. Si existiendo y siendo iguales todos los lımites direccionales, no existe o es diferente de los ante-riores el lımite segun alguna otra curva.

Una manera de indagar si existe el valor del lımite en un punto para funciones de dos o de tres variablesconsiste en hacer un cambio de coordenadas a polares (en R2) o a esfericas (en R3) y hacer r → 0 ( siel lımite es en el origen 11).

Para concluir esta seccion, hay que senalar que existen tambien los denominados lımites reiterados que,para una funcion de dos variables, son los del tipo

lımx→x0

lımy→y0

f(x, y) , lımy→y0

lımx→x0

f(x, y)

cuyo valor, en caso de existir y ser el mismo, no tiene por que coincidir con lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y). En particular,

se tiene que:

Si lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = p, y existen lımx→a1

f(x, y) y lımy→a2

f(x, y), entonces existen los lımites reiterados

de f y valen p.

Puede ocurrir que exista lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) y no existir alguno de los reiterados.

Si existen el lımite de la funcion y los reiterados en un mismo punto, estos han de coincidir.

11 Si no, hay que hacer previamente otro cambio de coordenadas que lleve el punto en cuestion al origen.


2.3. Continuidad

2.3.1. Funciones continuas. Propiedades

Definicion 25 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A′ ⊂ Rn.

1. f es continua en a si

a) a ∈ A; es decir, ∃f(a), y

b) lımx→a

f(x) = f(a) 12.

2. f es continua en un conjunto B ⊆ A si lo es ∀x ∈ B.

Las propiedades de las funciones continuas se basan en las del lımite:

Proposicion 27 Sean f ,g:A ⊆ Rn → Rm funciones y a ∈ A′.

1. Si m > 1, f es continua en a si, y solo si, lo son todas y cada una de sus funciones componentes.

2. Si f y g son continuas en a, entonces f ± g es continua en a.

3. Sea λ ∈ R. Si f es continua en a, entonces λf es continua en a.

4. Si f y g son continuas en a, entonces 〈f ,g〉 es continua en a.

5. Si f es continua en a, entonces ‖f‖ es continua en a.

6. Si f y g son continuas en a, entonces fg es continua en a.

7. Si f es continua en a, entonces f esta acotada en algun entorno E(a); es decir, f(E(a)) esta acotado.

8. Si g:B ⊆ Rm → Rk, b = f(a) ∈ B′ y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g f escontinua en a.

9. Si m = 1, f(x) 6= 0 y f es continua en a, entonces f no cambia de signo en algun entorno E(a).

10. Si m = 1 y f(x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces1

f(x)esta bien definida en A y si f es continua en a, entonces

1

f(x)es continua en a.

Se tienen tambien las siguientes caracterizaciones:

Teorema 4 La funcion f :A ⊆ Rn → Rm es continua si, y solo si, ∀xk ⊂ A, sucesion de puntos en A conlımk→∞

xk = a, se tiene que para la sucesion de las imagenes, lımk→∞

f(xk) = f(a).

( Dem. ) (1 ⇐⇒ 2) Es una consecuencia inmediata de la proposicion 24 y de la definicion de continuidad.

Teorema 5 Sea f :A ⊆ Rn → Rm. Las afirmaciones siguientes son equivalentes.

1. f es continua en A.

2. Para todo abierto V ⊂ Rm, existe un abierto U ⊂ Rn tal que f−1(V ) = U ∩A 13.

3. Para todo cerrado C ⊂ Rm, existe un cerrado U ⊂ Rn tal que f−1(C) = U ∩A.

12 Es la misma definicion que para funciones de una variable.13 Recuerdese que f−1(V ) := x ∈ A | f(x) ∈ V ≡W ; es decir, tal que f(W ) ⊆ V .


( Dem. ) (1 ⇒ 2) Sea V ⊆ Rm un abierto y a ∈ f−1(V ). Se ha de probar que a ∈ U ∩A, con U abierto.Sea f(a) = b, como V es abierto, existe Bε(b) ⊂ V . Por ser f continua en A, como consecuencia del apartado7 de la proposicion anterior, existe Bδa(a) tal que f(Bδa(a) ∩A) ⊂ Bε(b); de donde

Bδa(a) ∩A = f−1(f(Bδa(a) ∩A)) ⊂ f−1(Bε(b)) ⊂ f−1(V ) ,

y al considerar este resultado ∀a ∈ f−1(V ), esto implica que⋃

a∈f−1(V )

Bδa(a) recubre f−1(V ), luego

f−1(V ) =⋃

a∈f−1(V )

[Bδa(a) ∩A] = [⋃

a∈f−1(V )

Bδa(a)] ∩A = U ∩A ,

donde U =⋃

a∈f−1(V )

Bδa(a) es un abierto por ser la union de abiertos.

(2 ⇒ 1) Sea a ∈ A y f(a) = b. Veamos que f es continua en a. Sean ε > 0 y Bε(b) ⊆ Rm una bolaabierta. Por hipotesis f−1 (Bε(b)) = U ∩ A, con U abierto en Rn. Como a ∈ U ∩ A y U es abierto, existeδ > 0 tal que Bδ(a) ⊂ U ; luego

Bδ(a) ∩A ⊂ U ∩A = f−1 (Bε(b)) =⇒ f (Bδ(a) ∩A) ⊂ Bε(b) .

De este modo, ∀ε > o, ∃δ > 0 tales que se verifica la definicion y f es continua en a.

(2 ⇒ 3) C cerrado equivale a que Rn \ C es abierto. Luego, por 2, f−1(Rn \ C) = U ∩A, donde Ues un abierto de Rn. Pero

f−1(C) = A \ f−1(Rn \ C) = A \ (U ∩A) = (Rn \ U) ∩A

y Rn \ U es cerrado por ser U abierto.

(3 ⇒ 2) Analogo al caso anterior.

Ejemplo:

Sea f :R2 → R dada por f(x, y) =1

x2 + y2, y V = [1,∞) (que es cerrado en R). Se tiene que

f−1(V ) = B∗1(0, 0) = B1(0, 0) ∩ (R2 \ (0, 0)) ≡ U ∩Dom f .

Corolario 3 Sean f, g:Rn −→ R funciones continuas, entonces:

1. A = x ∈ Rn | f(x) > g(x) es abierto.

2. B = x ∈ Rn | f(x) ≥ g(x) es cerrado.

( Dem. ) Inmediato tomando la funcion f − g, que es continua por ser la diferencia de funciones continuas,y aplicando la propiedad anterior.

Los siguientes resultados establecen relaciones entre las funciones continuas y la topologıa de Rn.

Teorema 6 (Weierstrass): Sea f :K ⊂ Rn → Rm una funcion continua. Si K es compacto, entonces f(K)es compacto.

( Dem. ) Sea yk ⊂ f(K) una sucesion. Sea xk ⊂ K tal que f(xk) = yk. Por ser K compacto, existeuna subsucesion xki convergente en K, esto es, existe lım

i→∞xhi = a ∈ K. Por ser f continua, la sucesion

f(xki) es convergente con lımi→∞f(xki) = f(a) ∈ f(K) ⊂ Rm. Por consiguiente f(K) es compacto.

Son consecuencias de este teorema:

Proposicion 28 (Weierstrass): Sea f :K ⊂ Rn → R una funcion continua. Si K es compacto, entonces ftoma en K valores extremos.


( Dem. ) Por el teorema anterior f(K) es un compacto, o sea cerrado y acotado. Sea y = ınf f(K), entoncesy es un punto adherente de f(K), que es un cerrado, lo que implica y ∈ f(K) = f(K). Por tanto, existe unx ∈ K tal que f(x) = y, luego f alcanza el ınfimo. Igualmente se demostrarıa la existencia del supremo.

Corolario 4 Sea f :K ⊂ Rn → Rm una funcion continua. Si K es compacto, entonces:

1. Cada componente de f toma en K valores extremos.

2. ‖f‖ toma en K valores extremos.

( Dem. ) En el primer apartado, basta tener en cuenta la proposicion anterior (en R se considera la topologıainducida por la de Rn).

El segundo apartado es inmediato porque f continua ⇒ ‖f‖ continua.

Proposicion 29 Sea f :Rn −→ Rm una funcion continua. Si A ⊆ Dom f , entonces f(A) ⊆ f(A)

( Dem. ) Si x ∈ A, por la Proposicion 15, hay una sucesion xk ⊂ A tal que lımk→∞

xk = x. Por ser f

continua, la sucesion f(xk ⊂ f(A) converge a f(x) y, por consiguiente, f(x) es un punto adherente de lasucesion y, por tanto, f(x) ∈ f(A).

Definicion 26 Sea A ⊂ Rn. A es un conjunto arco-conexo si ∀x,y ∈ A, existe una curva c: [a, b] ⊂ R →A ⊂ Rn continua tal que c(a) = x, c(b) = y.

Comentario:

En R, los conjuntos arco-conexos son intervalos.

Proposicion 30 Sean f :A ⊂ Rn → Rm continua y B ⊂ A un conjunto arco-conexo. Entonces f(B) esarco-conexo.

( Dem. ) Sean y1,y2 puntos de f(B). Existen x1,x2 ∈ A tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2. Por ser Barco-conexo, existe una curva continua c: [t1, t2] ⊂ R → B ⊂ Rn tal que c(t1) = x1 y c(t2) = x2. Entoncesf c: [t1, t2] ⊂ R→ f(B) ⊂ Rm es una curva continua (por ser composicion de funciones continuas f y c talque (f c)(t1) = y1 y (f c)(t2) = y2. Luego f(B) es arco-conexo.

Teorema 7 (del valor intermedio): Sea f :A ⊂ Rn −→ R una funcion continua y A un conjunto arco-conexo;entonces, para todo par x,y ∈ A y para todo c ∈ [f(x), f(y)] ⊂ R, existe z ∈ A tal que f(z) = c.

( Dem. ) Por ser A arco-conexo, existe una curva continua c tal que c(t1) = x1 y c(t2) = x2. Entonces, elresultado se obtiene de aplicar el teorema del valor medio a la funcion continua de una variable f c: [t1, t2] ⊂R→ f(B) ⊂ R.

2.3.2. Continuidad uniforme. Propiedades

Definicion 27 Sea f :A ⊆ Rn → Rm. f es uniformemente continua en A si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, six,y ∈ A y d(x,y) < δ, entonces d(f(x), f(y)) < ε 14.

Las propiedades de las funciones uniformemente continuas son las mismas que en el caso de una variable.

Proposicion 31 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion uniformemente continua en A. Entonces:

14 Es la misma definicion que para funciones de una variable, sustituyendo valor absoluto por norma y tiene, por tanto, lamisma interpretacion geometrica.


1. f es continua en A.

2. Si xk es una sucesion de Cauchy, tambien lo es f(xk).

( Dem. ) La primera propiedad es inmediata (en la definicion de continuidad uniforme, se fija x, se dejalibre y y se obtiene la definicion de continuidad en x).

Para la segunda, sean las sucesiones xk ⊂ Rn y f(xk) ⊂ Rm. Si f es uniformemente continua,∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si d(xµ,xρ) < δ, entonces d(f(x)µ, f(xρ)) < ε. Pero, al ser xk de Cauchy, dado δ,∃ν ∈ N tal que, ∀µ, ρ > ν (µ, ρ ∈ N), se cumple que d(xµ,xρ) < δ y, por tanto, de acuerdo con lo anterior,d(f(x)µ, f(xρ)) < ε; por lo que f(xk) es de Cauchy.

Proposicion 32 Sea f :A ⊆ Rn −→ Rm una aplicacion continua. Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:

1. f no es uniformemente continua.

2. Existe ε > 0 tal que, ∀δ > 0, existen x,y ∈ A tales que d(x,y) < δ y d(f(x), f(y)) > ε

3. Existe ε > 0 y sucesiones xk ⊂ A, yk ⊂ A tales que lımk→∞

d(xk,yk) = 0 y d(f(xk), f(yk)) > ε,

∀k ∈ N.

( Dem. ) La equivalencia entre (1) y (2) es la negacion de la definicion.

La equivalencia con (3) es una consecuencia de (2) (tomando una sucesion δk que converja hacia 0, seconstruyen las sucesiones de puntos que satisfacen la condicion).

Teorema 8 (Heine-Cantor): Sea f :K ⊂ Rn → Rm una funcion continua. Si K es compacto, entonces f esuniformemente continua en K.

( Dem. ) Supongase que f no es uniformemente continua. Entonces,usando la proposicion anterior, tomensesendas sucesiones xm, ym en K tales que

lımk→∞

d(xk,yk) = 0 , d(f(xk), f(yk)) > ε ; ∀k ∈ N . (2.1)

Al ser K compacto, existe una subsucesion xki tal que lımi→∞xki = x ∈ K; con lo que necesariamente

lımi→∞yki = x ∈ K. De aquı, como f es continua, se deduce que para las sucesiones de las imagenes

es lımi→∞f(xki) = lım

i→∞f(yki) = f(x) ∈ f(K), por tanto, lım

i→∞d(f(xki), f(yki)) = 0, lo cual esta en

contradiccion con (2.1).

2.3.3. Otras propiedades

Las definiciones y la mayorıa de las propiedades dadas en los apartados precedentes sobre lımites, continui-dad y continuidad uniforme 15 son trivialmente extensibles a aplicaciones entre espacios metricos, f :M → N ,sin mas que utilizar las correspondientes distancias en M y N .

A continuacion se presentan otras definiciones y resultados relevantes en este contexto.

Definicion 28 En un espacio normado M , dos normas ‖·‖ i ‖·‖′ son equivalentes si existen λ > µ > 0tales que µ‖x‖′ ≤ ‖x‖ ≤ λ‖x‖′, ∀x ∈M .

Obviamente, dos normas son equivalentes si, y solo si, sus distancias asociadas no cambian la topologıadel espacio (los abiertos y los cerrados son los mismos).

15 Salvo las que hacen referencia a las funciones componentes de funciones vectoriales o hacen uso de propiedades exclusivasde Rn.


Teorema 9 En Rn todas las normas son equivalentes.

Definicion 29 Sea un espacio metrico M .

1. Dos distancias d i d′ en M son equivalentes si Id: (M,d) −→ (M,d′) es continua 16, biyectiva y tieneinversa continua.

2. Dos distancias d y d′ en M son uniformemente equivalentes si Id: (M,d) −→ (M,d′) es uniformementecontinua 17, biyectiva y tiene inversa uniformemente continua.

Definicion 30 Sea (M,d) un espacio metrico. Una aplicacion f :M −→M es k-contractiva si, ∀x, y ∈M ,d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y), con 0 ≤ k < 1.

Proposicion 33 Si f :M −→M es k-contractiva, entonces f es uniformemente continua.

( Dem. ) Dado ε ∈ R+, tomando δ = ε/k se cumple la definicion.

Teorema 10 (de la aplicacion contractiva o del punto fijo): Sea (M,d) un espacio metrico completo yf :M −→M una aplicacion k-contractiva; entonces existe un unico x ∈M tal que f(x) = x.

( Dem. ) Se demuestra, primero, la existencia. Sea xo ∈M y considerese la siguiente sucesion xn ⊂M :

x1 = f(xo) , x2 = f(x1) , . . . , xn+1 = f(xn) , . . .

Si x1 = f(xo) = xo (o xn = f(xn), para algun n) entonces ese es un punto fijo. Si no es ası, se va a probar,primero, que esa sucesion es de Cauchy: ∀ε ∈ R+, ∃N ∈ N tal que, si n,m ∈ N con m > n > N , esd(xm, xn) < ε; donde expresaremos m = n+ p con p ∈ N. Se tiene que d(x1, xo) > 0, con lo que

d(x2, x1) = d(f(x1), f(xo) ≤ k d(x1, xo))

d(x3, x2) = d(f(x2), f(x1) ≤ k d(x2, x1)) ≤ k2 d(x1, xo)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d(xn+1, xn) ≤ kn d(x1, xo) .

Ademas, por la desigualdad triangular, resulta que

d(xn+p, xn) ≤ d(xn+p, xn+p−1)+d(xn+p−1, xn+p−2)+. . .+d(xn+1, xn) ≤ (kn+p−1+kn+p−2+. . .+kn) d(x1, xo).(2.2)

Pero la serie geometrica

∞∑i=1

ki, con 0 ≤ k < 1, es convergente, por lo que satisface la condicion de Cauchy

para series; es decir, para ε′ ∈ R+, existe N ′ ∈ N tal que, si n′,m′ ∈ N con m′ > n′ > N ′, es d(sm′, sn

′) =

|sm′ − sn′ | < ε′; entonces, tomando ε′ =ε

d(x1, xo), n′ = n− 1 > max N,N ′ y m′ = n+ p− 1, se tiene que

kn+p−1 + kn+p−2 + . . .+ kn < ε′ =ε

d(x1, xo),

con lo que, de (2.2), se llega a que d(xn+p, xn) < ε, ∀n > N y p ∈ N; luego xn es una sucesion de Cauchyy, como M es completo, es convergente, lım

n→∞xn = x ∈ M . Como f es k-contractiva, es uniformemente

continua y, por tanto, continua; luego lımn→∞

f(xn) = f(x) ∈M . Pero f(xn) = xn+1, por lo que tambien

lımn→∞

f(xn) = lımn→∞

xn+1 = x. De aquı se concluye que f(x) = x (x es punto fijo).

Para demostrar la unicidad, supongase que y ∈M es otro punto fijo; es decir, f(y) = y. Entonces

d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) ⇐⇒ (1− k) d(x, y) ≤ 0 .

pero k < 1, luego 1− k > 0, con lo que necesariamente d(x, y) = 0 y, por tanto, x = y.

16 Esto significa que ∀a ∈M y ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈M − a y d(x, a) < δ, entonces d′(x, a) < ε.17 Esto significa que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x, y ∈M y d(x, y) < δ, entonces d′(x, y) < ε.

Capıtulo 3

Diferencial de funciones en Rn

Introduccion

En este capıtulo se trata esencialmente de introducir la nocion de derivada o, mas exactamente, dediferencial de una funcion de varias variables y sus propiedades. Como ya es costumbre, se busca generalizarel concepto ya existente en el caso de una variable. Por ello conviene recordar que, en ese caso, hay dosmaneras de entender esta cuestion, que corresponden a otras tantas maneras de interpretar el concepto dederivada:

la interpretacion analıtica de la derivada como lımite del cociente incremental, y

la interpretacion geometrica de la derivada como aplicacion lineal que permite definir la recta tangentea la grafica de la funcion. En esta interpretacion se apoya precisamente la aplicacion de la aproximacionlineal de funciones.

Ademas de ello, se han de tener presente las propiedades analıticas de la derivada que la hacen tan util(reglas algebraicas, regla de la cadena, etc.).

Si para generalizar este concepto al caso de varias variables se sigue el primer metodo se llega a la nocionde derivada parcial o, mas genericamente, al de derivada direccional. Sin embargo, el resultado obtenido esinsatisfactorio por cuanto sus propiedades distan mucho de ser las esperadas (no se satisface la regla de lafuncion compuesta ni es adecuado para obtener aproximaciones lineales, como ya veremos). Sin embargo,siguiendo el segundo metodo se llega tambien a las nociones anteriores y se obtiene un concepto plenamentesatisfactorio en lo referente a sus propiedades analıtico-geometricas. Este sera, por tanto, el camino queseguiremos en la exposicion.

Finalmente, tambien se van a introducir los diversos operadores diferenciales: gradiente, rotacional, di-vergencia y laplaciana, conceptos relacionados como son las nociones de campo conservativo, irrotacional ysolenoidal, y las propiedades mas relevantes de estos operadores.

3.1. Diferenciabilidad de funciones en Rn

3.1.1. Diferenciabilidad de una funcion en un punto. Interpretacion geometrica

Recordemos que, en el caso de una variable, dada una funcion f :A ⊆ R→ R y a ∈ A, se podıa interpretarla derivada de f en a como una aplicacion lineal

f ′a : R −→ Rh 7−→ αh

con α =df

dx(a) ≡ f ′(a) . La interpretacion geometrica era que la imagen de esta aplicacion daba una

aproximacion al valor f(a+ h)− f(a); esto es, de forma mas rigurosa,

f(a+ h) = f(a) + αh+R1(h) , (con R1(h) = o(h) si h→ 0)

25


Se sabe, ademas, que, si la funcion es derivable en a, la ecuacion de la recta tangente a graf f en el punto(a, f(a)) es precisamente

y = f(a) + α(x− a)

luego el valor de la aproximacion f(a) +αh es la ordenada del punto de esta recta cuya abcisa es x = a+ h.Observese que, el que esta recta sea tangente a la grafica esta determinado por el hecho de que la diferenciaR1(h) = f(a+ h)− (f(a) + αh) es un infinitesimo de primer orden cuando h→ 0.

Todo esto daba origen a la siguiente caracterizacion de la derivada de una funcion en un punto:

Definicion 31 Sea f :A ⊆ R → R y a ∈ A, con a ∈ A′. f es derivable en a si existe una aplicacion linealf ′a:R −→ R tal que

1. f(a+ h) = f(a) + f ′a(h) +R1(h) = f(a) + αh+R1(h).

2. R1(h) = o(‖h‖) cuando h→ 0.

En tal caso se denomina derivada de f en a al valor 1

f ′(a) ≡ α = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

Teniendo esto en cuenta, es posible generalizar la definicion 31 en los siguientes terminos:

Definicion 32 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. 2. f es diferenciable en a si existe una aplicacion linealDf(a):Rn −→ Rm tal que

1. f(a + h) = f(a) + Df(a)(h) + R1(h),

2. R1(h) = o(‖h‖) cuando h→ 0,

o, equivalentemente (combinando ambas condiciones), que

lımh→0

f(a + h)− (f(a) + Df(a)(h))

‖h‖= lım

x→a

f(x)− (f(a) + Df(a)(x− a))

‖x− a‖= 0 . (3.1)

En tal caso se denomina diferencial de f en a a la aplicacion Df(a).

La funcion f es diferenciable en A si es diferenciable ∀a ∈ A.

Notacion: Se suele denotar Df(a) o tambien Daf .

Proposicion 34 Sea f :A ⊆ Rn → Rm, m > 1, y a ∈ A. La funcion f es diferenciable en a si, y solo si, loson todas y cada una de sus funciones componentes fi.

( Dem. ) La aplicacion lineal Df(a) tiene por matriz asociada

Jf(a) =

α11 . . . αn1...

...α1m . . . αnm

con lo que, si f ≡ (f1, . . . , fm), la condicion (3.1) puede escribirse como

lımx→a

1

‖x− a‖

f1(x)

...fm(x)

− f1(a)

...fm(a)

− α1

1 . . . αn1...

...α1m . . . αnm

x1 − a1

...xn − an

=

0...0

1 Que se obtiene directamente a partir de estas condiciones.2 Si A no es abierto, ha de ser a ∈ A′, y ası se asumira en adelante.


lo cual es equivalente a que, ∀fi,

lımx→a

fi(x)− fi(a)−n∑j=1

αji (xj − aj)

‖x− a‖= 0 ,

que es la condicion (3.1) para cada funcion componente fi de f .

Interpretacion geometrica: Para funciones escalares de dos variables, f :A ⊆ R2 → R y a ≡ (a1, a2) ∈A, se tiene una aplicacion lineal

Df(a) : R2 −→ Rh 7−→ Df(a)(h)

tal quef(a + h) = f(a) + Df(a)(h) +R1(h) , con R1(h) = o(‖h‖) ,

y si se designa por Jf(a) = (α β) la matriz asociada a esta aplicacion lineal, la expresion precedente adoptala forma explıcita

f(x) = f(a) + h) = f(a) + αh1 + βh2 +R1(h) = f(a) + α(x− a1) + β(y − a2) +R1(x− a) .

Si z ≡ f(x, y) se tiene quez = f(a1, a2) + α(x− a1) + β(y − a2)

es la ecuacion de un plano en R3 tal que la condicion (3.1) hace que sea tangente a la graf f en el punto(a, f(a)) ∈ R3.

En el caso de funciones escalares de n variables, f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, se tendran hiperplanos en Rn+1

cuyas ecuaciones serıan

z = f(a) +

n∑i=1

αi(xi − ai)

y tal que, por la condicion (3.1), son tangentes a las graficas graf f en (a, f(a)) ∈ Rn+1.

Finalmente, para el caso mas general de funciones vectoriales de n variables, se tendrıa esta interpretacionpara cada funcion componente.

Comentario: La condicion (3.1) se acostumbra a denominar condicion de tangencia.

3.1.2. Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Aproximacion lineal

Llegados a este punto, queda por demostrar que la aplicacion diferencial existe y es unica. Una formade hacerlo es probando que la condicion (3.1) permite determinar de manera unıvoca los coeficientes de unamatriz asociada.

Partiendo de la condicion (3.1) y teniendo en cuenta que la existencia del lımite de una funcion en unpunto obliga a la existencia e igualdad de todos los lımites direccionales segun cualquier recta que pase porel punto (corolario 2), se pueden elegir caminos de aproximacion al punto h = 0 que sean rectas de ecuacionh = tv (con v un vector director de la recta) 3 y como h→ 0⇔ t→ 0, se tendra que cumplir que

0 = lımt→0

f(a + tv)− f(a)−Df(a)(tv)

‖tv‖=

1

‖v‖lımt→0

f(a + tv)− f(a)− tDf(a)(v)

|t|,

donde se ha hecho uso de que Df(a) es una aplicacion lineal. Esto implica que

0 = lımt→0

f(a + tv)− f(a)− tDf(a)(v)

|t|= lımt→0

t

|t|

(f(a + tv)− f(a)

t−Df(a)(v)

),

y de aquı se obtiene que

lımt→0

f(a + tv)− f(a)

t−Df(a)(v) = 0 ⇐⇒ Df(a)(v) = lım

t→0

f(a + tv)− f(a)

t,

3 Notese que se trata de una ecuacion vectorial (h1, . . . , hn) = t(v1, . . . , vn).


con lo que la aplicacion Df(a) queda univocamente determinada por el valor de este lımite, cuando se tomauna base de vectores v de Rn.

Esta igualdad, escrita en forma matricial, es α11 . . . αn1...

...α1m . . . αnm

v1

...vn

= lımt→0

1

t

f1(a + tv)

...fm(a + tv)

− f1(a)

...fm(a)

(3.2)

En particular, se puede tomar la base canonica de los vectores e1, . . . , en asociados a un sistema decoordenadas cartesianas (x1, . . . , xn) en Rn, y las rectas que pasan por a que los tienen como vectoresdirectores (las rectas paralelas a los ejes coordenados). Entonces, tomando el primer vector e1 = (1, 0, . . . , 0)(esto es, la la recta que tiene por ecuacion h1 = t, h2 = . . . = hn = 0), se obtienen los siguientes coeficientesde la matriz

α1j = lım

t→0

fj(a1 + t, a2, . . . , an)− fj(a1, . . . , an)

t

y tomando sucesivamente el resto de los vectores de la base canonica se obtienen todos los demas coeficientesque estan dados por

αij = lımt→0

fj(a1, . . . , ai + t, . . . , an)− fj(a1, . . . , an)

t

Definicion 33 Sean f :A ⊆ Rn → Rm, a ∈ A y v ∈ Rn un vector. Se denomina derivada direccional de fen a segun v al valor del siguiente lımite (si existe)

Dvf(a) ≡ ∂f

∂v(a) := lım

t→0

f(a + tv)− f(a)

t. (3.3)

En particular, se denomina derivada parcial de f en a respecto a la variable xi o tambien derivada parciali-esima de f en a a la derivada direccional de f en a segun el vector ei de la base canonica asociada a unsistema de coordenadas cartesianas de Rn; esto es, al valor del siguiente lımite (si existe) 4

∂f

∂xi(a) ≡ Dif(a) := lım

t→0

f(a1, . . . , ai + t, . . . , an)− f(a1, . . . , an)

t.

Si las derivadas parciales (resp. direccionales) existen ∀x ∈ B ⊆ A, se denomina funcion derivada parcial def respecto a la variable xi (resp. funcion derivada direccional de f respecto al vector v) o tambien funcionderivada parcial i-esima de f a la funcion

∂f

∂xi: B ⊂ Rn −→ Rm

a 7−→ ∂f

∂xi(a)

;Dvf : B ⊂ Rn −→ Rm

a 7−→ Dvf(a)

Definicion 34 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si existen todas la derivadas parciales de f en a, se denominamatriz jacobiana de f en a a la matriz que tiene por componentes los valores de estas derivadas parciales:

Jf(a) ≡

∂f1

∂x1(a) . . .

∂f1

∂xn(a)

......

∂fm∂x1

(a) . . .∂fm∂xn

(a)

Si Jf(a) es una matriz cuadrada, se denomina jacobiano a su determinante.

Y con toda esta terminologıa se ha probado que:

Proposicion 35 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si f es diferenciable en a entonces:

4 Se observa que esta es la generalizacion inmediata de la definicion analıtica de derivada como lımite del cociente incrementalque se tenıa para funciones de una variable.


1. La aplicacion diferencial Df(a) es unica.

2. Existen todas las derivadas direccionales de sus funciones componentes en a y, en particular, susderivadas parciales en a.

3. Jf(a) es una matriz asociada a la aplicacion diferencial Df(a).

Como obvio corolario de esta proposicion y de acuerdo con la definicion de derivada direccional (ecuacion(3.3)) y la igualdad (3.2), se tiene que:

Corolario 5 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A. Si f es diferenciable en a entonces

Dvf(a) = Df(a)(v) ≡ Jf(a)(v)

(es decir, la derivada direccional de una funcion en un punto segun un vector dado es la imagen de dichovector por la aplicacion diferencial de la funcion en ese punto).

Como consecuencia de este resultado, si una funcion es diferenciable en un punto, necesariamente susderivadas direccionales en ese punto son funciones lineales de las componentes del vector v. Ademas, paradeterminarlas es suficiente con conocer las derivadas parciales de la funcion en el punto.

Comentarios:

La derivada direccional de una funcion escalar en un punto segun un vector dado da cuenta de lavariacion de la funcion en un entorno de dicho punto, en la direccion dada.

En la definicion de derivada direccional no se ha prefijado el modulo del vector v. De esta manera,el valor de dicha derivada depende de este modulo y, por tanto, con la definicion dada, no es posiblecomparar los valores de las derivadas direccionales, a menos que se realicen todas con vectores con elmismo modulo (p. ej., unitarios). Para soslayar esto, en muchos textos, la derivada direccional se definesiempre respecto a vectores de modulo unidad.

La derivada direccional de f respecto v en a es la derivada de la restriccion de la funcion sobre larecta c(t) = a + tv en t = 0; es decir, la derivada de la funcion compuesta (f c)(t) = f(a + tv).En particular, derivar parcialmente una funcion f :A ⊆ Rn → R respecto xj en a = (a1, . . . , an) es lomismo que tomar la recta cj(t) = (a1, . . . , aj−1, aj + t, aj+1, . . . , an) = (a1, . . . , aj−1, t, aj+1, . . . , an) yla funcion gj(t) := (f cj)(t) = f(a1, . . . , aj−1, aj + t, aj+1, . . . , an) y derivarla en t = 0.

Esto significa que, si se define la funcion f(xj) := f(a1, . . . , aj−1, xj , aj+1, . . . , an), entonces

∂f

∂xj(a1, . . . , an) = lım

t→0

f(a1, . . . , aj + t, . . . , an)− f(a1, . . . , an)

t= lımt→0

f(aj + t)− f(aj)

t=

df

dxj(aj) .

De este modo, la derivada parcial de una funcion de varias variables no es otra cosa que la derivadaordinaria respecto a una de las variables, manteniendo las otras constantes.

Las derivadas direccionales (o parciales) son vectores si m > 1, o numeros si m = 1; esto es, segun setrate de una funcion vectorial o escalar. En particular, una funcion escalar de n variables puede tenerhasta n derivadas parciales en cada punto.

Es obvio que tomando otras derivadas direccionales en a que no fueran segun los vectores de la basecanonica de Rn se obtendrıa otra matriz asociada a la aplicacion lineal Df(a). La matriz jacobianaJf(a) es pues la matriz asociada a la aplicacion lineal Df(a) referida a la base canonica.

La existencia de las derivadas parciales no garantiza la diferenciabilidad, tal como queda puesto demanifiesto en los siguientes contraejemplos:

Ejemplos:

• f(x, y) ≡ x1/3y1/3, en el origen a = (0, 0).


Tiene derivadas parciales:

∂f

∂x(0, 0) = lım

t→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t= lımt→0

t1/30− 0

t= 0

∂f

∂y(0, 0) = lım

t→0

f(0, t)− f(0, 0)

t= lımt→0

0t1/3 − 0

t= 0

las cuales tambien se obtienen observando que f(x, 0) = 0 = f(0, y) y, por tanto,∂f

∂x(0, 0) =

d

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

y∂f

∂y(0, 0) =

d

dyf(0, y)

∣∣∣y=0

. Sin embargo, la funcion no es diferenciable por no

cumplirse la condicion de tangencia, ya que

lımh→0

f(h)− f(0, 0)− ∂f

∂x(0, 0)h1 −

∂f

∂y(0, 0)h2

‖h‖= lım

(h1,h2)→(0,0)

h1/31 h

1/32 − 0− 0− 0√h2

1 + h22

no existe (como se comprueba, p. ej., haciendo el lımite direccional segun la recta h1 = h2, queda ∞).

• f(x, y) =

1 si x = 0 o y = 00 si x 6= 0 y y 6= 0

, en el origen a = (0, 0).

Tiene derivadas parciales:

∂f

∂x(0, 0) = lım

t→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t= lımt→0

1− 1

t= 0

∂f

∂y(0, 0) = lım

t→0

f(0, t)− f(0, 0)

t= lımt→0

1− 1

t= 0 ,

las cuales tambien se obtienen observando que f(x, 0) = 1 = f(0, y) y, por tanto,∂f

∂x(0, 0) =

d

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

y∂f

∂y(0, 0) =

d

dyf(0, y)

∣∣∣y=0

. Sin embargo, la funcion no es diferenciable por no

cumplirse la condicion de tangencia, ya que

lımh→0

f(h)− f(0, 0)− ∂f

∂x(0, 0)x− ∂f

∂y(0, 0)y

‖h‖= lım

(h1,h2)→(0,0)

0− 1− 0− 0√h2

1 + h22

= −∞

A raiz de todo lo expuesto y a modo de conclusion, senalemos que el que una funcion f :A ⊆ Rn → Rsea diferenciable en un punto a ∈ A es equivalente a que

1. Exista la aplicacion lineal dada por la matriz jacobiana (o equivalente); lo que implica que existan lasderivadas parciales (o direccionales) de la funcion en el punto en cuestion.

2. Se cumpla la condicion (3.1).

Si existen las derivadas parciales de f en a definen un (hiper)plano en Rn+1 cuya ecuacion general es

xn+1 = f(a) +

n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai) ≡ f(a) + Jf(a)(x− a) (3.4)

o, en forma vectorial,

0P = (a, f(a)) + λ1(1, 0, . . . ,∂f

∂x1(a)) + . . .+ λn(0, . . . , 1,

∂f

∂xn(a)) (3.5)

Si la funcion es, ademas, diferenciable en a, dicho (hiper)plano es tangente a graf f en (a, f(a)) y el valor

de cada derivada parcial∂f

∂xi(a) es la pendiente de la recta tangente en (a, f(a)) a la curva obtenida al

intersectar graf f con el (hiper)plano

x1 = a1 , . . . , xi−1 = ai−1 , xi+1 = ai+1 , . . . , xn = an


cuya ecuacion es, por tanto,

xn+1 = f(a) +∂f

∂xi(a)(xi − ai) ; x1 = a1 , . . . , xi−1 = ai−1 , xi+1 = ai+1 , . . . , xn = an

Definicion 35 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a.

1. Se denomina (hiper)plano tangente a la graf f en (a, f(a)) al (hiper)plano de Rn+1 definido por ladiferencial de f en a (que tiene por ecuacion las expresiones (3.4) y (3.5)).

2. Se denomina aproximacion lineal de la funcion f en a al valor obtenido al utilizar la ecuacion del(hiper)plano como aproximacion de la funcion en un entorno E(a). (Es decir, al valor obtenido alcalcular con la aplicacion lineal Df(a)).

3.1.3. Vector gradiente

Asociado al concepto de derivada direccional esta el siguiente:

Definicion 36 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable. Se denomina (vector) gradiente de f ena ∈ A al unico vector gradf(a) ∈ Rn que verifica que

〈gradf(a),v〉 := Dvf(a) , ∀v ∈ Rn .

Se denomina gradiente de f a la funcion que asigna a cada punto el gradiente de la funcion en dichopunto:

gradf : A ⊆ Rn −→ Rna 7→ grad f(a)

.

Expresion en coordenadas: Si xi son coordenadas cartesianas en R y v = (v1, . . . , vn) (en la basecanonica de vectores asociada), entonces, del corolario 5 se obtiene que

Dvf(a) = Jf(a)v =

(∂f

∂x1(a) . . .

∂f

∂xn(a)

) v1...vn

=

n∑i=1

∂f

∂xi(a)vi = 〈gradf(a),v〉 ,

y, como esto es valido ∀v ∈ Rn, de aquı se concluye que gradf(a) es el vector cuyas componentes son losvalores de las derivadas parciales de f en a 5:

gradf(a) ≡(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a)

).

En estas coordenadas, la funcion gradiente es, por tanto la funcion vectorial cuyas componentes son

gradf =

(∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

).

En muchos textos se adopta este resultado como definicion.

Notacion:

Es habitual utilizar la notacion operacional, introduciendo el llamado operador nabla

∇ :=

(∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

),

entonces gradf(a) ≡ ∇f(a) y gradf ≡ ∇f 6.

5 Aunque, a efectos de calculo, sean equivalentes, no debe confundirse el gradiente de una funcion (escalar) en un punto conla diferencial (esto es, la matriz jacobiana) de la funcion en dicho punto: lo primero es un vector de Rn, lo segundo representauna aplicacion lineal.

6 Esta es una notacion muy usada, sobre todo en Fısica.


La interpretacion geometrica del gradiente esta obviamente relacionada con la de la derivada direccionaly es la siguiente:

Proposicion 36 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable en a ∈ A y tal que ∇f(a) 6= 0. Entonces:

1. El valor max Dvf(a) ; v ∈ Rn , ||v|| = 1 = ‖∇f(a)‖ y se alcanza cuando v =∇f(a)

‖∇f(a)‖.

2. El valor mın Dvf(a) ; v ∈ Rn , ||v|| = 1 = −‖∇f(a)‖ y se alcanza cuando v = − ∇f(a)

‖∇f(a)‖.

3. Dvf(a) = 0 si, y solo si, v ⊥ ∇f(a).

( Dem. ) Teniendo en cuenta que

Dafv) = 〈∇f(a),v〉 = ‖∇f(a)‖‖v‖ cos(∇f(a),v)

ambos resultados se obtienen de forma inmediata.

Ası pues, grad f(a) indica la direccion en la cual la derivada direccional de f en a es maxima; esto es, lade maxima variacion de la funcion, creciendo en el sentido de grad f(a) y decreciendo en sentido opuesto.El valor de dicha derivada es ±‖grad f(a)‖ (si se toman vectores unitarios 7). La derivada direccional de fen a es nula si, y solo si, dicha direccion es perpendicular a grad f(a).

Comentario: El gradiente de una funcion en un punto tiene otras caracterısticas geometricas relevantes.Ası, si f :A ⊆ Rn −→ R es diferenciable en A y Ck = x ∈ A | f(x) = k es el conjunto de nivel k ∈ R de f ,entonces ∇f(a) es perpendicular a Ck en a ∈ Ck 8.

La justificacion de este resultado esta en el segundo apartado de la proposicion anterior, ya que sobrelos puntos de una superficie de nivel la funcion es constante, por definicion, luego a lo largo de cualquiervector tangente a la superficie en a, la derivada direccional de f en a es nula y, por tanto, dicho vector esnecesariamente perpendicular a grad f(a).

3.2. Propiedades de las funciones diferenciables

3.2.1. Propiedades elementales (linealidad y otras)

Las propiedades elementales de la diferenciabilidad son las siguientes:

Proposicion 37 Sean f ,g:A ⊆ Rn → Rm funciones diferenciables en a ∈ A.

1. (Linealidad de la diferencial): ∀λ, µ ∈ R, λf + µg es diferenciable en a y

D(λf + µg)(a) = λDf(a) + µDg(a)

2. Para m = 1 (funciones escalares): fg es diferenciable en a y

D(fg)a) = Dfa) g(a) + f(a)Dg(a)

3. Para m = 1 (funciones escalares): Si g(x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces f/g esta bien definida en A, esdiferenciable en a y

D(f/g)(a) =1

g(a)2(Df(a) g(a)− f(a)Dg(a))

4. 〈f ,g〉 es diferenciable en a y

D〈f ,g〉(a) = D

m∑j=1

(fjgj)(a) =

m∑j=1

(Dfj(a) gj(a) + fj(a)Dgj(a))

7 Por convenio, esta es la eleccion que se hace en muchos los casos.8 Ver el lema 3, para la demostracion rigurosa de este resultado.


( Dem. ) Todas son inmediatas. Basta tener en cuenta que trabajar con las diferenciales es equivalentea hacerlo con sus matrices jacobianas asociadas, con lo que esas igualdades matriciales lo son entre loselementos de dichas matrices, que son derivadas parciales y, por tanto, lımites de cocientes incrementales;con lo que la demostracion es como en el caso de una variable.

3.2.2. Diferenciabilidad y continuidad

Vamos a analizar seguidamente algunas condiciones para la diferenciabilidad. Para empezar estudiaremosla relacion entre diferenciabilidad y continuidad. De manera equivalente al caso de una variable se tiene que:

Proposicion 38 Si f :A ⊆ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A, entonces es continua en a.

( Dem. ) Por definicion, f :A ⊆ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A si f(a + h) = f(a) + Df(a)(h) + R1(h),con R1(h) = o(‖h‖) para a→ 0 y, por tanto, lım

h→0R1(h) = 0 . Entonces, como lım

h→0Df(a)(h) = 0 , se tiene

que lımh→0

f(a + h) = f(a) , luego f es continua en a.

Comentario:

La sola existencia de las derivadas parciales en un punto, o direccionales en general, no garantizala continuidad de la funcion en dicho punto, como pone de manifiesto el segundo de los ejemplosconsiderados al final del apartado anterior y tambien el siguiente:

Ejemplo:

Sea f :R2 → R definida por f(x, y) =

xy2

x2 + y4si x 6= 0

0 si x = 0. Sea v = (v1, v2), entonces

D0f(v) = lımt→0

f(tv1, tv2)− f(0, 0)

t= lım

t→0

v1v22

v21 + t2v4

2

=

v22

v1si v1 6= 0

0 si v1 = 0

luego la funcion tiene derivadas direccionales en (0, 0), sin embargo el lımite de la funcion segun lacurva x = y2 es

lımy→0

f(y2, y) =y4

y4 + y4=

1

26= f(0, 0) = 0

y por tanto la funcion no es continua en (0, 0).

Sin embargo, existen resultados relativos exclusivamente a las derivadas parciales, o direccionales engeneral, que dan condiciones suficientes para la diferenciabilidad. El principal es el siguiente:

Proposicion 39 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A′. Si f tiene todas sus derivadas parciales definidas en unentorno (abierto) E(a) y son funciones continuas en a, entonces f es diferenciable en a.

( Dem. ) Si f es una funcion vectorial, basta con demostrarlo para sus funciones componentes y, por tanto,se probara para funciones escalares.

Sea x ∈ E(a), se tiene

f(x)− f(a) = f(x1, . . . , xn)− f(a1, x2, . . . , xn) + f(a1, x2, . . . , xn)− f(a1, a2, x3 . . . , xn) +

f(a1, a2, x3 . . . , xn)− f(a1, a2, a3, x4 . . . , xn) + . . .+ f(a1, . . . , an−1, xn)− f(a1, . . . , an)

y utilizando el teorema del valor medio del calculo de una variable para la funcion F (x1) ≡ f(x1, x2, . . . , xn)(x2, . . . , xn se consideran fijos), se tiene que ∃u1 ∈ [a1, x1], si a1 < x1, (o u1 ∈ [x1, a1], si x1 < a1), tal que

f(x1, . . . , xn)− f(a1, x2, . . . , xn) = F (x1)− F (a1) = F ′(u1)(x1 − a1) =∂f

∂x1(u1, . . . , xn)(x1 − a1) ,


y lo mismo se tiene para los demas terminos, con lo que

f(x)− f(a) =∂f

∂x1(u1, . . . , xn)(x1 − a1) + . . .+

∂f

∂xn(a1, . . . , an−1, un)(xn − y1) ≡

n∑i=1

∂f

∂xi(ui)(xi − ai) ,

donde ui = (a1, . . . , ai−1, ui, xi+1 . . . , xn). De este modo, usando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣∣f(x)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑i=1

(∂f

∂xi(ui)−

∂f

∂xi(a)

)(xi − ai)

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

∣∣∣∣( ∂f∂xi (ui)− ∂f

∂xi(a)

)(xi − ai)

∣∣∣∣ =

n∑i=1

∣∣∣∣ ∂f∂xi (ui)− ∂f

∂xi(a)

∣∣∣∣ |xi − ai| ,y como las derivadas parciales son continuas en a, (por la definicion de lımite) se tiene que, ∀εi ∈ R+,

∃δi ∈ R+ tal que, si ‖x − a‖ < δi, entonces

∣∣∣∣ ∂f∂xi (x)− ∂f

∂xi(a)

∣∣∣∣ < εi y, por tanto,

∣∣∣∣ ∂f∂xi (ui)− ∂f

∂xi(a)

∣∣∣∣ < εi

(esto es, si x ∈ Bδi(a) ⊂ E(a), entonces∂f

∂xi(x) ∈ Bεi

(∂f

∂xi(a)

)y, por tanto,

∂f

∂xi(ui) ∈ Bεi

(∂f

∂xi(a)

)).

Entonces, tomando ε = maxεi,∣∣∣∣∣f(x)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai)

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

εi|xi − ai| ≤ εn∑i=1

|xi − ai| ,

y, de aquı, usando que |xi − ai| ≤ ‖x− a‖,∣∣∣∣∣f(x)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai)

∣∣∣∣∣‖x− a‖

≤ε

n∑i=1

|xi − ai|

‖x− a‖= ε

n∑i=1

|xi − ai|‖x− a‖

≤ nε ,

por lo que, tomando ε→ 0, que implica que x→ a, se concluye que

lımx→a

∣∣∣∣∣f(x)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai)

∣∣∣∣∣‖x− a‖

= 0 =⇒ lımx→a

f(x)− f(a)−n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai)

‖x− a‖= 0 ,

y, por tanto, f es diferenciable en a.

Esto da origen a la siguiente definicion:

Definicion 37 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y U ⊂ A. f es una funcion de clase C1 o tambien diferenciable concontinuidad en U si f tiene todas sus derivadas parciales definidas y son funciones continuas en U .

Y, como consecuencia inmediata:

Corolario 6 Si f :A ⊆ Rn es de clase C1 en U ⊆ A, entonces es diferenciable en U .

Finalmente, tambien se tiene que:

Proposicion 40 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y f tiene todas sus derivadas parciales definidas en un abierto U ⊆ Ay son funciones acotadas en U , entonces f es uniformemente continua en U .

( Dem. ) Igualmente, se probara para funciones escalares. Para todo punto a ∈ U , si∣∣∣ ∂f∂xi

(x)∣∣∣ < k,

i = 1, . . . , n, en todos los puntos x ∈ Br(a) ⊂ U , entonces, procediendo como en el caso anterior,

|f(x + h)− f(x)| = |f(x1 + h1, . . . , xn + hn)− f(x1, x2 + h2, . . . , xn + hn) + f(x1, x2 + h2, . . . , xn + hn)

+ . . .+ f(x1, . . . , xn−1, xn + hn)− f(x1, . . . , xn)|

=∣∣∣h1

∂f

∂x1(u1, x2 + h2, . . . , an + hn) + . . .+ hn

∂f

∂xn(x1, . . . , xn−1, un)

∣∣∣≤

∣∣∣h1∂f

∂x1(u1, x2 + h2, . . . , xn + hn)

∣∣∣+ . . .+∣∣∣hn ∂f

∂xn(x1, . . . , xn−1, un)

∣∣∣≤ (|h1|+ . . .+ |hn|)k ,


ya que (x1, . . . , ui, . . . , xn) ∈ Br(a), ∀i = 1, . . . , n; entonces, tomando ε = (|h1| + . . . + |hn|)k y δ = ε/k =|h1|+ . . .+ |hn|, se cumple la definicion de continuidad uniforme.

3.2.3. Regla de la cadena. Aplicaciones

Una de las propiedades mas relevantes de las funciones diferenciables es la generalizacion de la regla dela cadena al caso de varias variables; esto es, la regla de diferenciacion de funciones compuestas.

Teorema 11 Sean f :A ⊆ Rn → Rm y g:B ⊆ Rm → Rp con f(A) ⊆ B y tales que f es diferenciable ena ∈ A y g es diferenciable en b = f(a) ∈ B. Entonces g f ≡ h es diferenciable en a y

D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a) (3.6)

( Dem.) Que f sea diferenciable en a significa que

f(a + h) = f(a) + Df(a)h + R1(h)

con R1(h) = o(‖h‖). Que g lo sea en b = f(a) significa que

g(b + k) = g(b) + Dg(b)k + T1(k)

con T1(k) = o(‖k‖). Se tiene que

(g f)(a + h) = g(f(a + h)) = g(f(a) + Df(a)h + R1(h)) = g(b + k) = (∗)

donde k = Df(a)h + R1(h) = f(a + h)− f(a), con lo cual, usando la expresion anterior,

(∗) = g(f(a)) + Dg(f(a))(Df(a)h + R1(h)) + T1(k)

= (g f)(a)) + [Dg(f(a)) Df(a)]h + Dg(f(a))(R1(h)) + T1(k)

≡ (g f)(a)) + [Dg(f(a)) Df(a)]h +R1(h) ,

donde R1(h) = Dg(f(a))(R1(h)) + T1(k), y se trata de probar que R1(h) = o(‖h‖). Por una parte, al serDg(f(a)) una aplicacion lineal

lımh→0

Dg(f(a))(R1(h))

‖h‖= lım

h→0Dg(f(a))

R1(h)

‖h‖= 0 ⇐⇒ Dg(f(a))(R1(h)) = o(‖h‖) .

Por otra parte,T1(k)

‖h‖=

T1(k)

‖k‖‖k‖‖h‖

; y, como h→ 0 ⇒ k→ 0 y lımh→0

T1(k)

‖k‖= 0; para que T1(k) = o(‖h‖)

basta con probar que‖k‖‖h‖

esta acotada. Pero esto es ası, ya que, por ser Df(a) una aplicacion lineal, ∃M ∈ R+

tal que ‖Df(a)h‖ ≤M‖h‖, con lo que

‖k‖‖h‖

=‖Df(a)h + R1(h)‖

‖h‖≤ ‖Df(a)h‖

‖h‖+‖R1(h)‖‖h‖

≤M +‖R1(h)‖‖h‖

−→h→0 M ,

luego‖k‖‖h‖

esta acotada y lımh→0

R1(h)

‖h‖= 0. Ası pues, se ha demostrado que la aplicacion lineal Dg(f(a))Df(a)

satisface la condicion de la definicion 32 para la funcion g f ; luego, por la unicidad de la diferencial, esD(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a).

Comentarios:

Dado que el segundo miembro de la expresion (3.6) es una composicion de aplicaciones, puede enten-derse como un producto de matrices (jacobianas)

J(g f)(a) = Jg(f(a)) Jf(a)

Ası, si

f : A ⊆ Rn −→ A ⊆ Rmx ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x))

;g : A ⊆ Rm −→ Rp

y ≡ (y1, . . . , ym) 7→ (g1(y), . . . , gp(y))


al hacer la composicion h := g f , se tiene

h ≡ g f : Rn f−→ Rm g−→ Rpx ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (y1 ≡ f1(x), . . . , ym ≡ fm(x)) 7→ (g1(y), . . . , gp(y))

con lo cual∂h1

∂x1(a) . . .

∂h1

∂xn(a)

......

∂hp∂x1

(a) . . .∂hp∂xn

(a)

=

∂g1

∂y1(f(a)) . . .

∂g1

∂yn(f(a))

......

∂gm∂y1

(f(a)) . . .∂gm∂yn

(f(a))

∂f1

∂x1(a) . . .

∂f1

∂xn(a)

......

∂fn∂x1

(a) . . .∂fn∂xn

(a)

esto es,

∂hk∂xi

(a) =

m∑j=1

∂gk∂yj

(f(a))∂fj∂xi

(a) (∀i = 1, . . . , n) (∀k = 1, . . . , p)

Una aplicacion particular de la regla de la cadena es el cambio de variables.

La composicion de dos funciones no diferenciables puede ser diferenciable. En tal caso su diferencialha de calcularse a partir de la expresion de la funcion compuesta, ya que no es aplicable la regla de lacadena.

Ejemplo:

• Sean las funciones

f(x) =

x si x < 0x2 si x ≥ 0

g(y) =

y2 si y < 0y si y ≥ 0

ninguna de ellas es diferenciable en el origen, pero su composicion (g f)(x) = x2 sı lo es.

La mera existencia de las derivadas parciales no garantiza la validez de este resultado, puesto que elhecho de que dos funciones tengan derivadas parciales en un punto no asegura que su composiciontambien las tenga (a menos que la funcion sea diferenciable).

Ejemplo:

• Sean las funciones g(x, y) ≡ x1/3y1/3 y f(x) ≡ (x, x) y su composicion (g f)(x) ≡ x2/3. Ambas,f y g tienen derivadas parciales en el origen:

∂g

∂x(0, 0) = 0 ,

∂g

∂y(0, 0) = 0

∂f1

∂x(0) = 1 ,

∂f2

∂x(0) = 1

pero su composicion no es derivable en x = 0.

3.2.4. Teoremas del valor medio

Teorema 12 (del valor medio): Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion diferenciable en un abierto U ⊆ A yp1,p2 ∈ U tales que p1p2 ⊂ U , entonces:

1. Si f = (f1, . . . , fm), existen q1, . . . ,qm ∈ p1p2 tales que fi(p2)− fi(p1) = Dfi(qi)(p2 − p1).

2. Existe q ∈ p1p2 tal que ‖f(p2)− f(p1)‖ ≤ ‖Df(q)(p2 − p1)‖.

( Dem. )


1. Considerese la funcion escalar fi y su restriccion sobre el segmento de recta c(t) = p1 + t(p2 − p1),que une los puntos p1,p2 ∈ U ,

hi = fi c : [0, 1] ⊂ R −→ Rn −→ Rt 7→ p1 + t(p2 − p1) 7→ fi(p1 + t(p2 − p1))

.

Esta funcion es derivable en (0, 1) por ser composicion de funciones diferenciables, y verifica quehi(0) = fi(p1) y hi(1) = fi(p2). Por el teorema del valor medio para funciones de una variable,∃ti ∈ (0, 1) tal que

fi(p2)−fi(p1) = hi(1)−hi(0) = h′i(ti)(1−0) = h′i(ti) = Dfi(p1+ti(p2−p1))(p2−p1) ≡ Dfi(qi)(p2−p1) ,

donde se ha aplicado la regla de la cadena y se ha tomado qi = p1 + ti(p2 − p1).

2. Ver J.M. Mazon Ruiz, Calculo Diferencial (1996), p. 54.

3.2.5. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Funcionesde clase Ck

Sea f :A ⊆ Rn → R 9. Si sus derivadas parciales existen ∀x ∈ D ⊆ A, cabe preguntarse por su continuidady diferenciabilidad como funciones

∂f

∂xi:D ⊂ Rn −→ R .

Entonces:

Definicion 38 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A. Se denomina derivada parcial de segundo orden de f en arespecto a las variables xi y xj a la derivada parcial en a (respecto a xj) de la funcion derivada parcial

(respecto a xi):∂2f

∂xj∂xi(a) ≡ ∂

∂xj

(∂f

∂xi

)(a).

Si la anterior derivada parcial de segundo orden de f existe ∀a ∈ D ⊆ B, se denomina funcion derivadaparcial de segundo orden de f respecto a las variables xi y xj a la funcion

∂2f

∂xj∂xi: D ⊂ Rn −→ R

a 7−→ ∂2f

∂xj∂xi(a)

La definicion se puede iterar sucesivamente y, de este modo, se denominan derivadas parciales de ordenk de f a las derivadas parciales de las derivadas de orden k − 1 de f ,

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik:D ⊂ Rn −→ R .

En particular, se denominan derivadas cruzadas a las derivadas parciales de orden superior obtenidas deri-vando respecto a las mismas variables pero en orden diferente.

Definicion 39 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que existen todas la derivadas parciales de segundo ordende f en a. Se denomina matriz hessiana de f en a a la matriz que tiene por componentes los valores de estasderivadas parciales:

Hf(a) ≡

∂2f

∂x21

(a) . . .∂2f

∂xn∂x1(a)

......

∂2f

∂x1∂xn(a) . . .

∂2f

∂x2n

(a)

Hf(a) es una matriz cuadrada y su determinante se denomina hessiano.

9 f puede ser una funcion componente de un campo vectorial.


Entonces, atendiendo a la continuidad de estas funciones se define:

Definicion 40 Sea f :A ⊆ Rn → R y U ⊆ A. f es una funcion de clase Ck en U si existen las derivadasparciales de orden k de f y son funciones continuas en U .

La funcion f es de clase C∞ o suave en U si f es una funcion de clase Ck en U , ∀k ∈ N.

Comentario:

Observese que, si una funcion es de clase Ck, entonces las derivadas parciales de orden k− 1 son todasfunciones diferenciables y por tanto, continuas; luego tambien lo son las de cualquier orden inferior.

Proposicion 41 1. La combinacion lineal de funciones de clase Ck es una funcion de clase Ck.

2. El producto de funciones de clase Ck es una funcion de clase Ck.

3. La composicion de funciones de clase Ck es una funcion de clase Ck.

( Dem. ) Son oncsecuencias de las mismas propiedades para funciones continuas y diferenciables y, en eltercer caso, ademas, de la regla de la cadena y de las dos anteriores.

Comentario:

Todas las funciones elementales son de clase C∞ en sus dominios. Por consiguiente, cualquier combi-nacion lineal, producto o composicion de ellas tambien lo es.

El orden en que se deriva para obtener las derivadas parciales de orden superior es relevante, ya que nosiempre se cumple que las derivadas cruzadas sean iguales.

Ejemplo: La funcion

f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

tiene derivadas parciales en todo su dominio:

∂f

∂x=

x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2si (x, y) 6= (0, 0)

lımt→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t= 0 si (x, y) = (0, 0)

∂f

∂y=

x5 − 4x3y2 − xy4

(x2 + y2)2si (x, y) 6= (0, 0)

lımt→0

f(0, t)− f(0, 0)

t= 0 si (x, y) = (0, 0)

mientras que las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son

∂2f

∂x∂y=

x6 − y6 + 9x4y2 − 7x2y4

(x2 + y2)3si (x, y) 6= (0, 0)

lımt→0

∂f∂y (t, 0)− ∂f

∂y (0, 0)

t= 1 si (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂y∂x=

x6 − y6 + 9x4y2 − 7x2y4

(x2 + y2)3si (x, y) 6= (0, 0)

lımt→0

∂f∂x (0, t)− ∂f

∂x (0, 0)

t= −1 si (x, y) = (0, 0)

Es decir que∂2f

∂y∂x(0, 0) 6= ∂2f

∂x∂y(0, 0)

En relacion con el problema de la igualdad de las derivadas cruzadas, vamos a estudiar a continuacionbajo que condiciones se puede garantizar esta o, lo que es lo mismo, cuando la matriz hessiana es simetrica.La respuesta a esta cuestion la da el siguiente teorema:


Teorema 13 (de Schwarz): Sea f :A ⊆ Rn → R. Si f tiene derivadas parciales cruzadas de segundo ordencontinuas en un abierto U ⊆ A, entonces

∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a) (∀i, j; ∀a ∈ U) .

( Dem. ) Basta probarlo para el caso bidimensional (permutacion de dos variables). Sea, por tanto, f(x, y)con derivadas segundas cruzadas continuas en U y a = (a1, a2) ∈ U . Entonces, ∀h, k ∈ R+, considerese lasiguiente cantidad (“diferencia de diferencias”)

Shk = [f(a1 + h, a2 + k)− f(a1 + h, a2)]− [f(a1, a2 + k)− f(a1, a2)] (3.7)

y la funcion gk(x) := f(x, a2 +k)−f(x, a2), que es derivable por tener f derivadas parciales de primer ordenen U ; luego, por el teorema del valor medio (para funciones de una variable) existe chk ∈ (a1, a1 +h) tal que

Shk = gk(a1 + h)− gk(a1) = g′k(chk)h ,

pero, por la definicion de gk se tiene que

g′k(chk) = f ′(chk, a2 + k)− f ′(chk, a2) =∂f

∂x(chk, a2 + k)− ∂f

∂x(chk, a2) .

Tomando ahora la la funcion de una variable F (y) =∂f

∂x(chk, y), que es derivable al existir las derivadas

segundas cruzadas de f (ya que F ′ =∂2f

∂y∂x); se puede volver a aplicar el teorema del valor medio, con lo

que, para algun dhk ∈ (a2, a2 + k), se tiene

Shk =

(∂f

∂x(chk, a2 + k)− ∂f

∂x(chk, a2)

)h = (F (a2 + k)− F (a2))h = F ′(dhk) k h =

∂2f

∂y∂x(chk, dhk) k h .

Si ahora se rescribe (3.7) en la forma

Shk = [f(a1 + h, a2 + k)− f(a1, a2 + k)]− [f(a1 + h, a2)− f(a1, a2)]

y se repite todo el razonamiento (intercambiando h y k, y x e y) se llega a que

Shk =∂2f

∂x∂y(chk, dhk)h k ;

de modo que, igualando ambos resultados, al hacer h, k → 0 (con lo que (chk, dhk)→ (a1, a2) y (chk, dhk)→(a1, a2)) se tiene

lım(chk,dhk)→(a1,a2)

∂2f

∂y∂x(chk, dhk) = lım

(chk,dhk)→(a1,a2)

∂2f

∂x∂y(chk, dhk) ,

y teniendo en cuenta la continuidad de las derivadas cruzadas se concluye que

∂2f

∂x∂y(a1, a2) =

∂2f

∂y∂x(a1, a2) .

Una consecuencia inmediata de este teorema es el siguiente:

Corolario 7 Sea f :A ⊆ Rn → R. Si f es una funcion de clase Ck en un abierto U ⊆ A, entonces lasderivadas cruzadas de cualquier orden m (con m = 2, . . . , k) en a ∈ U , respecto a m variables cualesquiera,son iguales:

∂mf

∂xi1 . . . ∂xim(a) =

∂mf

∂xσ(i1) . . . ∂xσ(im)(a) (∀m = 2, . . . , k) ;

(donde σ indica una permutacion cualquiera en los ındices i1, . . . , im).

( Dem. ) Inmediata.


3.2.6. Teorema de la funcion inversa

Este resultado es la generalizacion del teorema del mismo nombre en el caso de una variable.

Teorema 14 (de la funcion inversa): Sea f :A ⊆ Rn → Rn y a ∈ A, tal que f es de clase Ck en A (k ≥ 1).

La condicion necesaria y suficiente para que existan abiertos U ⊂ A, con a ∈ U , y V = f(U), en los quela funcion f :U ⊂ Rn → V ⊂ Rn tiene inversa f−1:V ⊂ Rn → U ⊂ Rn de clase Ck, es que det Jf(a) 6= 0; esdecir, Df(a) es un isomorfismo (y, por tanto, es una aplicacion lineal invertible). Ademas

Df−1(f(a)) = Df(a)−1 .

( Dem. ) (=⇒) Si existe f−1 en V = f(U), por definicion f−1 f = IU (y f f−1 = IV ). Ademas, al serf y f−1 de clase Ck, son diferenciables, luego aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que ladiferencial de la (aplicacion lineal) identidad I es ella misma (en todos los puntos), se tiene que, ∀a ∈ U ,

D f−1(f(a)) D f(a) = D I(a) = I ,

(y lo mismo si se parte de f f−1 = IV ). Por consiguiente, la aplicacion lineal D f−1(f(a)) satisface lascondiciones de la definicion de inversa de la aplicacion lineal D f(a), luego se concluye que

Df−1(f(a)) = Df(a)−1 ;

es decir, que la aplicacion lineal Df(a) es invertible y, por tanto, ha de ser un isomorfismo y det Jf(a) 6= 0.

(⇐=) Para simplificar esta demostracion se usa el siguiente:

Lema 2 Sea f :A ⊆ Rn → Rn, y a ∈ A, tal que f es de clase Ck en A (con k ≥ 1) y det Jf(a) 6= 0. Sea lafuncion f = Df(a)−1 f :A ⊆ Rn → Rn. Entonces:

1. La funcion f es de clase Ck en A y Df(a) = I (luego det Jf(a) 6= 0).

2. Si existe una inversa local f−1 de clase Ck, tambien existe una inversa local f−1 de clase Ck y esf−1 = f−1 Df(a)−1.

( Dem. ) Considerese la aplicacion lineal Df(a)−1 (cuya existencia esta garantizada por la condicion de quedet Jf(a) 6= 0) y la funcion f = Df(a)−1 f .

1. Df(a)−1 es de clase Ck, por ser aplicacion lineal, y la composicion de funciones de clase Ck es Ck.

Ademas, aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que la diferencial de una aplicacion lineales la propia aplicacion lineal (en todos los puntos), se tiene que

Df(a) = D(Df(a)−1 f)(a) = D(Df(a)−1)(f(a)) Df(a) = Df(a)−1 Df(a) = I .

2. De la definicion de f se obtiene que f = Df(a) f ; con lo que, si existe una inversa local f−1 resulta

f−1 = (Df(a) f)−1 = f−1 Df(a)−1 ,

y, en efecto,(f−1 Df(a)−1) f = (f−1 Df(a)−1) (Df(a) f) = I ,

(y tambien f (f−1 Df(a)−1) = I). Ademas, f−1 es es de clase Ck por ser composicion de funcionesde clase Ck.

Como consecuencia de este lema, si f cumple las condiciones de ser Ck y det Jf(a) 6= 0, entonces ftambien las cumple y, por tanto, es equivalente probar el resultado para f que para f , teniendo en cuenta,ademas, que Df(a) es la identidad en Rn.

• Obtencion de una inversa local (usando el teorema del punto fijo):


Se va a probar que, ∀y ∈ E(f(a)), ∃!x ∈ E(a) tal que y = f(x); es decir, que f es localmente biyectiva y,por tanto, invertible. Para ello, se define la funcion g(x) = x− f(x), que tiene las siguientes propiedades:

- Es de clase Ck (k ≥ 1), al serlo f

- Dg(a) = I− I = 0 (por ser Df(a) = I).

- Eso significa que las n funciones ∇gi:A ⊆ Rn → Rn (cuyas funciones componentes son∂gi∂xj

) son continuas.

De este modo, por la continuidad en a, si se toma ε =1

2n, existe δ ≡ r > 0 tal que, si ‖x− a‖ < r, entonces

‖∇gi(x)−∇gi(a)‖ = ‖∇gi(x)‖ < 1

2n.

donde se ha tenido en cuenta que, por ser Dg(a) = 0, resulta que∂gi∂xj

(a) = 0 y ∇gi(a) = 0.

- Por otra parte, por el teorema del valor medio, ∃q1, . . . ,qn ∈ Br(a) tales que gi(x)−gi(a) = Dgi(qi)(x−a)y, como consecuencia de todo ello, resulta que

‖g(x)− g(a)‖ ≤n∑i=1

|gi(x)− gi(a)| =n∑i=1

|Dgi(qi)(x− a)| =n∑i=1

|〈∇gi(qi),x− a〉|

≤n∑i=1

‖∇gi(qi)‖ ‖x− a‖ < ‖(x− a)‖2

<r

2; (3.8)

donde se ha utilizado la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ası pues, se concluye que g transforma la bolaBr(a) en la bola Br/2(g(a)) 10.

Ahora, para cada y ∈ Br/2(g(a)), se construye la funcion gy(x) := y + g(x) = y + x − f(x). Entonces,si x1,x2 ∈ Br(a) son dos puntos cualesquiera, teniendo en cuenta (3.8),

‖gy(x2)− gy(x1)‖ = ‖g(x2)− g(x1)‖ < 1

2‖x2 − x1‖ , (3.9)

por lo que gy resulta ser una aplicacion K-contractiva en Br(a) ⊂ Rn, con K = 1/2, y por consiguientetiene un unico punto fijo x ∈ Br(a); es decir,

x = gy(x) = y + x− f(x) ⇐⇒ y = f(x) ;

y esto es valido ∀y ∈ Br/2(g(a)), luego f es inyectiva entre Br(a) y Br/2(g(a)) y, por tanto, existe una

inversa local f−1:Br/2(g(a)) −→ Br(a).

• La inversa f−1 es continua:

∀y1,y2 ∈ Br/2(g(a)), si x2 = f−1(y2) y x1 = f−1(y1), recordando la definicion de la funcion g(x), de(3.9) se tiene que

‖x2−x1‖ = ‖g(x2)−g(x1)+f(x2)−f(x1)‖ ≤ ‖g(x2)−g(x1)‖+‖f(x2)−f(x1)‖ < 1

2‖x2−x1‖+‖f(x2)−f(x1)‖ ,

de donde‖x2 − x1‖ < 2‖f(x2)− f(x1)‖ . (3.10)

Entonces‖f−1(y2)− f−1(y1)‖ = ‖x2 − x1‖ < 2‖f(x2)− f(x1)‖ = 2‖y2 − y1‖ ;

luego ∀ε ∈ R+, tomando δ = ε/2 ∈ R+, si ‖y2 − y1‖ < δ, se cumple la definicion de continuidad uniformepara f en esa bola y, por tanto, la de su continuidad ∀y1 ∈ Br/2(g(a)).

• La inversa f−1 es diferenciable:

Sean y ∈ Br/2(g(a)), con x = f−1(y) (es decir, y = f(x)), e y + k ∈ Br/2(g(a)), con x + h = f−1(y + k)

(es decir, y + k = f(x + h)). Se trata de probar que existe la aplicacion lineal Df(x)−1 tal que

f−1(y + k)− f−1(y) = Df−1(y) (k) + R1(k) , con R1(k) = o(‖k‖) . (3.11)

10 Es, de hecho, una aplicacion K-contractiva, con K = 1/2 (como se demuestra usando la desigualdad triangular).


Por ser f diferenciable en x se tiene que

k = f(x + h)− f(x) = Df(x) (h) + T1(h) , con T1(h) = o(‖h‖) .

Ahora, por ser f de clase Ck, sus derivadas parciales son funciones continuas y, por tanto, tambien es continuala funcion det Jf :Rn → R; por tanto, como det Jf(a) 6= 0, existe un entorno abierto E(a) ⊆ Br(a) (si noes ası, se toma su interseccion con la bola) tal que det Jf(x) 6= 0 y, consecuentemente, ∃Df(x)−1, para todox ∈ E(a). De este modo, tomando h tal que x + h ∈ E(a) (y, por tanto, y + k ∈ f(E(a)) ≡ E(f(a))),aplicando el isomorfismo Df(x)−1 a la igualdad anterior se tiene que

Df(x)−1(k) = h + Df(x)−1(T1(h)) ,

y de aquı quef−1(y + k)− f−1(y) = h = Df(x)−1(k)−Df(x)−1(T1(h)) ;

luego, si se demuestra que D f(x)−1(T1(h)) = o(‖k‖), se habra probado (3.11), con Df−1(y) = Df(x)−1.Para ello, teniendo en cuenta que Df(x)−1 es una aplicacion lineal, ∃M ∈ R+ tal que ‖Df(x)−1(T1(h))‖ ≤M ‖T1(h)‖ y entonces∥∥∥∥∥Df(x)−1(T1(h))

‖k‖

∥∥∥∥∥ =‖Df(x)−1(T1(h))‖

‖k‖≤ M ‖T1(h)‖

‖k‖= M

‖T1(h)‖‖h‖

‖h‖‖k‖

.

Al ser f−1 continua se tiene que k→ 0 =⇒ h→ 0, y como T1(h) = o(‖h‖), solo hay que ver que‖h‖‖k‖

esta

acotado. Pero, teniendo en cuenta (3.10), tomando x1 = a y x2 = a + h, queda

‖h‖ = ‖(x + h)− x‖ < 2‖f(x + h)− f(x)‖ = 2‖k‖ =⇒ ‖h‖‖k‖

< 2 ,

con lo cual

lımk→0

∥∥∥∥∥Df(x)−1(T1(h))

‖k‖

∥∥∥∥∥ = 0 =⇒ lımk→0

Df(x)−1(T1(h))

‖k‖= 0 .

Ası pues, queda demostrado que f−1:E(f(a)) ⊂ Rn → E(a) ⊂ Rn es diferenciable.

• La inversa f−1 es de clase Ck:

En el apartado anterior se ha probado que, en los abiertos correspondientes, Df−1(y) = Df(x)−1; luegolas derivadas parciales de f−1 se obtienen haciendo sumas y productos de las derivadas parciales de f ydividiendo por det Jf(x). Si f es de clase C1, todas estas funciones son continuas y las operaciones conservanla continuidad; luego f−1 es de clase C1.

Si f es de clase Ck, la matriz de Df(x) tiene elementos de clase Ck−1 y, por el mismo argumento que enel caso C1, lo mismo le ocurre a los elementos de la matriz de Df−1(y) que, como son las derivadas parcialesde (las funciones componentes de) f , hace que f sea de clase Ck.

• La inversa f−1 existe y es de clase Ck:

Aplicando el apartado 2 del Lema 2 se obtiene que existe f−1:V ⊂ Rn → U ⊂ Rn; donde U =Df(a)−1(E(a)) y V = Df(a)−1(f(E(a))), y es diferenciable de clase Ck en su dominio.

Comentarios:

Observese que este es un teorema de existencia local pues, en general, no puede asegurarse que lafuncion inversa exista globalmente (p. ej., la funcion y = sinx solo tiene inversas locales).

El teorema da condiciones para que exista (localmente) la inversa de una funcion, asegura su diferen-ciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer explıcitamente la expresion de lafuncion inversa.

La condicion necesaria del teorema es consecuencia de pedir que la existencia de inversa de clase Ck

(y, por tanto, diferenciable). Sin embargo, la hipotesis no es necesaria para la existencia de inversano diferenciable (hay funciones que sin ser diferenciables tienen inversa. (p. ej., la funcion y = x3 enx = 0).


Definicion 41 La funcion f :A ⊆ Rn → Rn es un difeomorfismo local (de clase Ck) en U ⊆ A si

1. f es diferenciable (de clase Ck) en U .

2. ∃ f−1 en f(U).

3. f−1 es diferenciable (de clase Ck) en f(U).

Si las condiciones se cumplen en todo el Dom f = A entonces se dice que f es un difeomorfismo (global).

Ası pues, el teorema de la funcion inversa afirma que si f es de clase Ck, k ≥ 0, con jacobiano no nuloen un punto, entonces f es un difeomorfismo local en un entorno de dicho punto. En lo que respecta a laexistencia de inversas globales diferenciables (de clase Ck) se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 42 Sea f :A ⊆ Rn → Rn y a ∈ A, tal que f es de clase Ck en A (k ≥ 1) y f es inyectiva en A.Entonces, la condicion necesaria y suficiente para que f tenga inversa (y, por tanto, sea un difeomormismo(global)) de clase Ck, es que det Jf(x) 6= 0, ∀x ∈ A.

( Dem. ) La inyectividad de f garantiza la existencia de la inversa global y la condicion sobre el jacobianoasegura la diferenciabilidad (de clase Ck) en el entorno de todos los puntos.

Ejemplos:

Los cambios de coordenadas son difeomorfismos (locales). En particular:

Coordenadas polares. La aplicacion:

f : (0,+∞)× (0, 2π) −→ R2 − (x, 0), x ≥ 0(r, φ) 7−→ (r cosφ, r sinφ) = (x, y)

donde

J(r,φ)f =∂(x, y)

∂(r, φ)=

(cosφ −r sinφsinφ r cosφ

)con jacobiano det Jf(r, φ) = r.

Coordenadas cilındricas. La aplicacion:

f : (0,+∞)× (0, 2π)× R −→ R3 − (x, 0, z), x ≥ 0(r, φ, z) 7−→ (r cosφ, r sinφ, z) = (x, y, z)

donde

Jf(r, φ, z) =∂(x, y, z)

∂(r, φ, z)=

cosφ −r sinφ 0sinφ r cosφ 0

0 0 1

con jacobiano det Jf(r, φ, z) = r.

Coordenadas esfericas. La aplicacion:

f : (0,+∞)× (0, π)× (0, 2π) −→ R3 − (x, 0, z), x ≥ 0(r, θ, φ) 7−→ (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ) = (x, y, z)

donde

Jf(r, θ, φ) =∂(x, y, z)

∂(r, θ, φ)=

sin θ cosφ r cos θ cosφ −r sin θ sinφsin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφ

cos θ −r sin θ 0

con jacobiano det Jf(r, θ, φ) = r2 sin θ.


3.2.7. Teorema de la funcion implıcita

La ecuacion de un conjunto de nivel de una funcion (en general, una hipersuperficie en Rn) esta dadapor medio de una ecuacion del tipo F (x1, . . . , xn) = 0, denominada expresion implıcita de la hipersuperficie.Un problema que se plantea es si es posible siempre describir dicho conjunto por medio de una expresionexplıcita del tipo xn = f(x1, . . . xn−1).

La generalizacion de este problema es la siguiente: dadas m expresiones del tipoFi(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0, si es posible siempre aislar m variables en funcion de las n restantes;esto es, obtener m expresiones explıcitas (a ser posible diferenciables, si las originales lo son)

y1 = f1(x1, . . . xn) , . . . , ym = fm(x1, . . . xn) .

La respuesta es negativa en ambos casos, como se pone de manifiesto con algunos ejemplos sencillos:

Ejemplos:

Un ejemplo tıpico es la circunferencia en el plano. Su expresion implıcita es

F (x, y) ≡ x2 + y2 − 1 = 0

y no se puede obtener una expresion explıcita que describa la circunferencia globalmente. Ası, poniendo

y = f(x) ≡ ±√

1− x2

podemos describir arcos de circunferencia; esto es, se tiene una descripcion local de la curva en elentorno de cada punto de la misma (excepto para los puntos (±1, 0)).

Otro ejemplo lo constituye un sistema lineal de m ecuaciones con n+m variables

0 = Ax +By − C ≡ F(x,y)

donde x ≡ (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y ≡ (y1, . . . , ym) ∈ Rm, A ∈ M(m,n)(R) (es una matriz real de orden(m,n)), B ∈ M(m,m)(R) y C es una matriz columna de m componentes. La cuestion es si se puededespejar el vector y como funcion de x. Para ello la c.n.s. es que detB 6= 0, en cuyo caso

y = B−1(C −Ax) ≡ f(x)

(Observese que B =

(∂F

∂y

)).

El siguiente teorema da condiciones para poder asegurar la existencia (local) de este tipo de funcionesexplıcitas garantizando, ademas, su diferenciabilidad.

Teorema 15 (de la funcion implıcita): Sean

F : W ⊆ Rn+m = Rn × Rm −→ Rm(x,y) ≡ (x1, . . . xn; y1, . . . , ym) 7→ (F1(x,y), . . . , Fm(x,y))

y p ≡ (a,b) ∈ Rn+m con a ∈ Rn, b ∈ Rm tales que:

1. F(p) = 0.

2. F es de clase Ck (k ≥ 1) en un entorno abierto E(p).

3. det

(∂Fi∂yj

(p)

)6= 0, (1 ≤ i, j ≤ m); (es decir, rang JF(p) = m 11).

Entonces existen sendos abiertos A ⊂ Rn y B ⊂ Rm con a ∈ A y b ∈ B, y una unica funcion

f : A ⊂ Rn −→ B ∈ Rmx ≡ (x1, . . . xn) 7→ y ≡ (y1 = f1(x), . . . , ym = fm(x))

tal que

11 Tengase en cuenta que las variables yj a despejar pueden ser m cualesquiera de las n+m variables de las que depende F.


1. F(x1, . . . , xn; f1(x), . . . , fm(x)) = 0 12, ∀x ∈ A. (En particular, F(a, f(a)) = 0 y, por tanto, b = f(a)).

2. f es de clase Ck en A.

La funcion f se denomina funcion implıcita definida por F.

( Dem. ) La demostracion se basa en usar el teorema de la funcion inversa. Para ello, se define la funcion

G : W ⊆ Rn × Rm −→ Rn × Rm(x,y) 7→ (IRn ,F)(x,y) = (x,F(x,y))

que es obviamente de clase Ck. Ademas, si (x,y) ∈ E(p) es tal que F(x,y) = (0,0), se tiene que G(x,y) =(x,0) y, en particular, G(p) = G(a,b) = (a,0). Introduciendo las matrices

(∂F

∂x(p)

)=

∂F1

∂x1(p) . . .

∂F1

∂xn(p)

......

∂Fm∂x1

(p) . . .∂Fm∂xn

(p)

;

(∂F

∂y(p)

)=

∂F1

∂y1(p) . . .

∂F1

∂ym(p)

......

∂Fm∂y1

(p) . . .∂Fm∂ym

(p)

,

se tiene que

J G(p) =

(Id)n×n (0)n×m(∂F

∂x(p)

) (∂F

∂y(p)

) ,

verificandose que det JG(p) = det

(∂F

∂y(p)

)6= 0. Entonces, por el teorema de la funcion inversa, existen

abiertos U ⊂ E(p) (con p ∈ U) y V = G(U) (con G(p) = (a,0) ∈ V ) y una funcion inversa

G−1:V ⊂ Rn × Rm → U ⊂ Rn × Rm ,

de clase Ck. Dado que G es la identidad sobre las n primeras variables, necesariamente existe una funcionh:V ⊂ Rn × Rm → Rm, que es de clase Ck, tal que

G−1(x, y) = (IRn ,h)(x, y) = (x,h(x, y)) ,

para todo (x, y) ∈ V . Entonces,

(x, y) = (G G−1)(x, y) = G(x,h(x, y)) = (x,F(x,h(x, y)))

=⇒ y = F(x,h(x, y)) = F(G−1(x, y)) . (3.12)

Sea ahora A = x ∈ Rn | (x,0) ∈ V (que es la proyeccion sobre Rn del conjunto (x,0) ⊂ V ), entonces sepuede definir una funcion

f : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rmx 7→ y = h(x,0)

(A y B son abiertos tales que a ∈ A y b ∈ B). La funcion f es obviamente de clase Ck y, tomando y = 0 en(3.12), se tiene que, ∀x ∈ A,

0 = F(x,h(x,0)) = F(x, f(x)) .

Ademas, f es unica ya que, si no es ası y g es otra funcion distinta satisfaciendo estas condiciones, ∃x ∈ Atal que f(x) 6= g(x) y, de acuerdo con lo anterior, se tendrıa que 0 = F(x, f(x)) = F(x,g(x)), con lo que Gno serıa inyectiva en U (ya que G(x, f(x)) = (x,0) = G(x,g(x))), y no podrıa existir la inversa local G−1.

Comentarios:

Observese que este es un teorema de existencia local pues, en general, no puede asegurarse que existaglobalmente la funcion implıcita.

12 Como graf f = (x, f(x)) ∈ Rn+m | x ∈ A, esta condicion significa que graf f esta en el conjunto de nivel 0 de F.


Este teorema da condiciones suficientes para que exista (localmente) la funcion implıcita, asegura sudiferenciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer explıcitamente la expresionde la funcion implıcita. En efecto:

Corolario 8 Con las hipotesis del teorema, los elementos de la matriz jacobiana Jf(a) se obtienen resol-viendo el sistema (lineal)

0 =∂Fk∂xi

(p) +

m∑j=1

∂Fk∂yj

(p)∂fj∂xi

(a) (k = 1, . . . ,m ; i = 1, . . . , n) (3.13)

cuya solucion es

Jf(a) ≡(∂f

∂x(a)

)= −

(∂F

∂y(p)

)−1(∂F

∂x(p)

). (3.14)

( Dem. ) Basta considerar la siguiente composicion de funciones

Rn g−→ Rn × Rm F−→ Rm(x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xn, y1 = f1(x), . . . , ym = fm(x)) 7→ (F1(x, f(x)) = 0, . . . , Fm(x, f(x))) = 0

a 7→ p 7→ F(p)

Se observa que, de acuerdo con la primera conclusion del teorema de la funcion implıcita, F g = 0Rm .Ademas, ambas funciones son diferenciables en a y p respectivamente (por las hipotesis del teorema) luegose puede aplicar la regla de la cadena, con lo que se obtiene

D(F g)(a) = DF(g(a)) Dg(a) = 0 ,

y escribiendo las matrices jacobianas correspondientes se tiene

0 . . . 0...

...0 . . . 0

=

∂F1

∂x1(p) . . .

∂F1

∂xn(p)

∂F1

∂y1(p) . . .

∂F1

∂ym(p)

......

......

∂Fm∂x1

(p) . . .∂Fm∂xn

(p)∂Fm∂y1

(p) . . .∂Fm∂ym

(p)

1 . . . 0...

...0 . . . 1

∂f1

∂x1(a) . . .

∂f1

∂xn(a)

......

∂fm∂x1

(a) . . .∂fm∂xn

(a)

;

es decir, en forma abreviada,

(0) =

(∂F

∂x(p)

)+

(∂F

∂y(p)

)(∂f

∂x(a)

)que da lugar al sistema (3.13), el cual es compatible y determinado en virtud de las hipotesis del teorema(concretamente la tercera). A partir de aquı la solucion se obtiene de manera inmediata y es (3.14).

Comentarios:

Los elementos de la matriz Jf(a) se obtienen, por tanto, haciendo

∂fj∂xi

(a) =

∣∣∣∣ ∂(F1, . . . , Fm)

∂(y1 . . . yj−1, xi, yj+1 . . . ym)(p)

∣∣∣∣ ∣∣∣∣∂(F1, . . . , Fm)

∂(y1 . . . ym)(p)

∣∣∣∣−1

≡∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂F1

∂y1(p) . . .

∂F1

∂yj−1(p)

∂F1

∂xi(p)

∂F1

∂yj+1(p) . . .

∂F1

∂ym(p)

......

......

...∂Fm∂y1

(p) . . .∂Fm∂yj−1

(p)∂Fm∂xi

(p)∂Fm∂yj+1

(p) . . .∂Fm∂ym

(p)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂F1

∂y1(p) . . .

∂F1

∂ym(p)

......

∂Fm∂y1

(p) . . .∂Fm∂ym

(p)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1

Como caso particular, si F (x, y) es una funcion que cumple las condiciones del teorema de la funcionimplıcita, lo cual permite despejar y = f(x) en un entorno de un punto ≡= (a, b) de su dominio,entonces el resultado anterior conduce a:

0 =∂F

∂x(p) +

∂F

∂y(p)

∂f

∂x(a) ⇒ ∂f

∂x(a) = −

∂F

∂x(p)

∂F

∂y(p)


3.2.8. Teoremas del rango

Consecuencias de los teoremas de la funcion inversa y la implıcita son los siguientes teoremas:

Teorema 16 (de rectificacion del dominio): Sea F:A ⊂ Rn+m −→ Rm de clase Ck en A (abierto, conk ≥ 1), y (a,b) ∈ A tal que rang D F(a,b) = m 13. Entonces existen U , V abiertos de Rn+m, con (a,b) ∈ U ,y un difeomorfismo local H:V ⊂ Rn+m −→ U ⊂ Rn+m de clase Ck, tal que F(H(x,y)) = y, ∀ (x,y) ∈ V .

U ⊂ Rn+m -F Rm

6H

F H

V ⊂ Rn+m

(Una funcion que satisfaga estas condiciones se denomina submersion).

( Dem. ) Reordenando las variables (que es hacer una aplicacion lineal invertible) se puede conseguir que elmenor de orden m no nulo de JF(a,b) sea el formado por las ultimas m columnas. Entonces, el resultado esun corolario inmediato del teorema de la funcion implıcita y basta con tomar en la demostracion H = G−1

y tener en cuenta (3.12).

Observar que este teorema asegura la existencia de un cambio de variables H en Rn+m, de tal maneraque convierte a F en una proyeccion de Rn+m en Rm sobre las m ultimas variables.

Teorema 17 (de rectificacion de la imagen): Sea F:A ⊂ Rn −→ Rn+m de clase Ck en A (abierto, conk ≥ 1), y a ∈ A tal que rang D F(a) = n 14. Entonces existen U , V abiertos de Rn+m, con F(a) ∈ U , y undifeomorfismo local H:U ⊂ Rn+m −→ V ⊂ Rn+m de clase Ck, tal que H(F(x)) = (x,0), ∀x ∈ F−1(U).

Rn -F

U ⊂ Rn+m

@@@R

H F?H

V ⊂ Rn+m

(Una funcion que satisfaga estas condiciones se denomina inmersion).

( Dem. ) Nuevamente se pueden reordenar las variables (que es hacer una aplicacion lineal invertible) paraconseguir que el menor de orden n no nulo de JF(a) sea el formado por las primeras n filas. Entonces seconsidera la funcion

G : A× Rm ⊂ Rn+m −→ Rn+m

(x,y) 7→ F(x) + (0,y)

que es obviamente de clase Ck y, ∀(x,y) ∈ A× Rm,

J G(a,y) =

(∂Fi∂x

(a)

)i=1,...,n

(0)n×m(∂Fj∂x

(a)

)j=n+1,...,n+m

(Id)m×m

;

luego, en particular, det J G(a,0) = det

(∂Fi∂x

(a)

)6= 0. Por el teorema de la funcion inversa, existe una

inversa local G−1 ≡ H:U ⊂ Rn+m −→ V ⊂ Rn+m, con (a,0) ∈ V , tal que, ∀ (x,0) ∈ V , satisface que

(x,0) = (H G)(x,0) = H(F(x) + (0,0)) = H(F(x)) .

Observar que este teorema asegura la existencia de un cambio de variables H en Rn+m, de tal maneraque convierte a F en una aplicacion de Rn en Rn+m que es la identidad sobre las n primeras variables y laaplicacion constante 0Rm en las m restantes.

13 Es decir, D F(a,b) es sobreyectiva.14 Es decir, D F(a) es inyectiva.


Teorema 18 (general del rango): Sea F:A ⊂ Rr+m −→ Rr+n de clase Ck en A (abierto, con k ≥ 1), y(a,b) ∈ A tal que rang D F(a,b) = r. Entonces existen U1, U2 abiertos de Rr+m, con (a,b) ∈ U2, y V1, V2

abiertos de Rr+n, con F(a,b) ∈ V1, y difeomorfismos locales

H:U1 ⊂ Rr+m −→ U2 ⊂ Rr+m , G:V1 ⊂ Rr+n −→ V2 ⊂ Rr+n ,

de clase Ck, tales que (G F H)(x) = (x1, . . . , xr; 0, . . . , 0), ∀x ∈ U1.

U2 ⊂ Rr+m -FV1 ⊂ Rr+n

6H

?G

U1 ⊂ Rr+m -G F HV2 ⊂ Rr+n

( Dem. ) Vease J.E. Marsden, M.J. Hoffman, Analisis clasico elemental, pag.428.

3.3. Operadores diferenciales

3.3.1. Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos

Para poder abordar otras aplicaciones geometricas del calculo diferencial es preciso introducir ciertosconceptos nuevos 15. Todos ellos se referiran a funciones diferenciables. El primero de ellos es el gradiente,cuya definicion y propiedades fueron estudiados en la seccion 3.1.3

En relacion con este concepto, cabe plantearse la siguiente cuestion: si el gradiente de cualquier funcionescalar es una funcion vectorial de Rn en Rn, ¿toda funcion vectorial de esta guisa es el gradiente de algunafuncion escalar? La respuesta es negativa (aunque la justificacion de ello queda aplazada hasta el ultimocapıtulo, sobre el teorema de Stokes). Esto da origen al siguiente concepto:

Definicion 42 Sea f :A ⊂ Rn → Rn.

1. f es un campo conservativo si gradϕ = f , para alguna funcion escalar diferenciable ϕ:A ⊂ Rn → R.

2. Se denomina funcion potencial escalar de un campo vectorial conservativo f a cualquier funcion escalardiferenciable ϕ:A ⊆ Rn → R de la cual sea gradiente; esto es, tal que f = ∇ϕ.

Comentarios:

Es evidente que dos funciones escalares son funciones potenciales del mismo campo conservativo si,y solo si, difieren en una constante. Un campo conservativo tiene, por tanto, infinitos potencialesescalares.

Toda funcion escalar es funcion potencial escalar de algun campo vectorial: su gradiente; sin embargo,no toda funcion vectorial tiene asociada una funcion potencial escalar: solo los campos conservativos.

El que un campo vectorial sea gradiente de otro (esto es, conservativo) tiene interesantes interpreta-ciones de caracter fısico-geometrico, cuyo analisis queda aplazado hasta el capıtulo sobre las integralesde linea en que volveremos a abordar este tema

Ejemplos: Campos newtonianos.

Potencial electrostatico (creado por una carga q): f :=1

4πε0

q

r(r = ‖r‖).

Campo electrostatico : E = −∇f =1

4πε0

q

r2

r

r.

Potencial gravitatorio (creado por una masa M): f :=GM

r.

Campo gravitatorio: G = −∇f =GM

r2

r

r.

15 Las definiciones se daran referidas a sistemas de coordenadas cartesianas en Rn. Al final del ultimo capıtulo se drandefiniciones independientes de las coordenadas para algunos de ellos.


3.3.2. Divergencia de un campo vectorial

Hay dos maneras de obtener funciones “derivadas” de un campo vectorial diferenciable dado: una nuevafuncion vectorial y otra funcion escalar. En el presente apartado vamos a analizar la manera de obtener estaultima.

Definicion 43 Sea f :A ⊂ Rn → Rn, con f = (f1, . . . , fn), una funcion diferenciable. Se denomina diver-gencia de f en a ∈ A al valor

div f(a) :=∂f1

∂x1(a) + . . .+

∂fn∂xn

(a) .

Se denomina divergencia de f a la funcion que asigna a cada punto la divergencia de la funcion en dichopunto:

div f : A ⊆ Rn −→ Ra 7→ div f(a)

.

Es decir, al campo escalar definido por

div f :=∂f1

∂x1+ . . .+

∂fn∂xn

.

Notacion:

Utilizando la notacion del operador nabla, se tiene que div f := ∇ · f .

Comentarios:

Observar que la divergencia de una funcion en un punto es justamente la traza de la matriz jacobianade la funcion en dicho punto.

Como el gradiente y el rotacional, la divergencia tiene tambien una interpretacion fısico-geometrica:si f representa el campo de velocidades de un fluido (o cualquier otro campo fısico), entonces div frepresenta la variacion de la masa de fluido (o la magnitud fısica del que se trate) por unidad devolumen y de tiempo. Entonces, que el campo tenga divergencia nula significa que no hay “fuentes” ni“sumideros” o, en el caso de fluidos, tambien esta relacionado con la “incompresibilidad” del fluido 16.

Esta interpretacion queda puesta mas de manifiesto a partir del teorema de la divergencia que seraestudiado en el ultimo capıtulo.

3.3.3. Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales. Campos sole-noidales

Al igual que a todo campo escalar se le puede asociar una funcion vectorial “derivada” del primero (elgradiente) que tiene un significado geometrico claro y da origen al concepto de campo conservativo; a uncampo vectorial se le puede asociar una nueva funcion vectorial que, de alguna manera, tambien “deriva” deaquel y tienen, a su vez, interesantes propiedades.

Vamos a considerar, en este apartado, el primero de ellos. Aunque todas las definiciones pueden extendersea Rn (n ≥ 3), solo vamos a referirlas a n = 2, 3, que es el marco que va a interesarnos en este curso.

Definicion 44 Sea f :A ⊂ R3 → R3, con f = (f1, f2, f3), una funcion diferenciable. Se denomina rotacionalde f en a ∈ A al vector de R3 cuyas componentes son

rot f(a) :=

(∂f3

∂y(a)− ∂f2

∂z(a),

∂f1

∂z(a)− ∂f3

∂x(a),

∂f2

∂x(a)− ∂f1

∂y(a)

).

16 En algunos textos a los campos vectoriales con divergencia nula (o sin divergencia) se les suele denominar campos solenoi-dales. No obstante, en este curso se reservara esa terminologıa para referirnos a campos que, ademas verifican una condicionsuplementaria que vamos a tratar de inmediato.


Se denomina rotacional de f a la funcion que asigna a cada punto el rotacional de la funcion en dicho punto:

rotf : A ⊆ R3 −→ R3

a 7→ rot f(a).

Es decir, al campo vectorial que tiene por funciones componentes

rot f :=

(∂f3

∂y− ∂f2

∂z,∂f1

∂z− ∂f3

∂x,∂f2

∂x− ∂f1

∂y

).

Notacion:

Utilizando la notacion operacional del operador nabla, que en R3 es ∇ :=

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

), es habitual

escribir rot f := ∇× f .

Esta definicion se puede extender a campos vectoriales en R2 del siguiente modo:

Definicion 45 Sea f :A ⊂ R2 → R2, con f = (f1, f2), una funcion diferenciable. Se denomina rotacionalescalar de f en a ∈ A al valor

rot f(a) :=∂f2

∂x(a)− ∂f1

∂y(a) .

Se denomina rotacional escalar de f a la funcion que asigna a cada punto el rotacional escalar de la funcionen dicho punto:

rot f : A ⊆ R2 −→ Ra 7→ rot f(a)

.

Es decir, al campo escalar

rot f :=∂f2

∂x− ∂f1

∂y.

Observacion:

Una funcion f :R2 → R2, con f = (f1(x, y), f2(x, y)) se puede considerar como funcion F:R3 → R3,con F = (f1(x, y), f2(x, y), 0); entonces el rotacional escalar de f es la unica componente no nula de

rot F =

(0, 0,

∂f2

∂x− ∂f1

∂y

).

De este modo, la definicion del rotacional escalar se obtiene a partir de la del rotacional en R3, comocaso particular.

Esta definicion da origen al siguiente concepto:

Definicion 46 Sea f :A ⊂ Rn → Rn (n = 2, 3), con f = (f1, f2, f3), una funcion diferenciable. f es uncampo irrotacional si rot f = 0.

Expresion explıcita:

Si f :A ⊂ R3 → R3, con f = (f1, f2, f3), entonces, recordando la expresion explıcita de rot f , querot f = 0 significa que

∂fi∂xj

=∂fj∂xi

(i, j = 1, 2, 3)

En el caso particular de R2, la condicion de irrotacionalidad es simplemente

∂f1

∂y=∂f2

∂x(3.15)

Comentario:


Como el gradiente, el rotacional tiene tambien una interpretacion fısico-geometrica, que esta dada atraves del concepto de campo irrotacional: si f representa el campo de velocidades de un fluido (ocualquier otro campo fısico) entonces, que el campo sea irrotacional significa que no tiene “remolinos”17. Observese que esto no implica que las lıneas de corriente no puedan ser cerradas.

Existen propiedades que relacionan los diversos operadores diferenciales. La primera de ellas se refiere algradiente y el rotacional y permite una primera comparacion entre los campos conservativos e irrotacionales.

Proposicion 43 Sea ϕ:A ⊆ R3 → R de clase C2, entonces

rot(gradϕ) = 0 .

Como consecuencia, si f :A ⊆ R3 → R3 es de clase C1 y es un campo conservativo entonces es irrotacional.

(Dem.) Dada ϕ, si f = ∇ϕ, entonces rot f = rot∇ϕ tiene por componentes

∂fi∂xj− ∂fj∂xi

=∂2ϕ

∂xj∂xi− ∂2ϕ

∂xi∂xj,

y si ϕ es de clase C2 todas ellas son nulas.

La segunda afirmacion es una consecuencia de la primera.

El recıproco de esta propiedad no es cierto, a menos que se impongan condiciones adicionales, como severa en el ultimo capıtulo, cuando se estudien las aplicaciones del teorema de Stokes.

Ejemplo: La funcion f(x, y) :=

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

)es irrotacional, pero no tiene potencial escalar (en

todo su dominio), ya que, aunque la funcion ϕ(x, y) = − arctan

(x

y

)cumple que gradϕ = f , no esta definida

en los puntos del dominio de f tales que y = 0.

La propiedad que se va a considerar a continuacion tiene relacion con la anterior en el sentido de quetambien podemos cuestionarnos sobre los campos vectoriales que son el rotacional de algun otro. Entonces:

Definicion 47 Sea f :A ⊂ R3 → R3.

1. f es un campo solenoidal si rot g = f , para alguna funcion vectorial diferenciable g:A ⊂ R3 → R3.

2. Se denomina funcion potencial vectorial de un campo vectorial solenoidal f a cualquier funcion vectorialdiferenciable g:A ⊂ R3 → R3 de la cual sea rotacional; esto es, tal que f = ∇× g.

Comentarios:

Teniendo en cuenta la proposicion 43, en la cual se enuncia que el rotacional de un gradiente es nulo(esto es, que todo campo campo conservativo de clase C1 es irrotacional), es evidente que dos funcionesvectoriales son funciones potenciales del mismo campo solenoidal si, y solo si, difieren en un gradientede una funcion de clase C2 (esto es, en un campo conservativo). Un campo solenoidal tiene, por tanto,infinitos potenciales vectoriales.

Es evidente que toda funcion vectorial es una funcion potencial de algun campo vectorial: su rotacional.Sin embargo no toda funcion vectorial tiene asociada una funcion potencial vectorial: solo los campossolenoidales.

Los campos solenoidales pueden ser caracterizados por medio de su divergencia, tal como enuncia elsiguiente resultado, que establece una relacion entre los operadores rotacional y divergencia:

17 Al colocar en su seno una rueda con aspas, esta se mueve a lo largo de las lıneas de corriente, pero sin girar.


Proposicion 44 Sea g:A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C2. entonces

div(rot g) = 0

Como consecuencia, si f :A ⊆ R3 → R3 es de clase C1 y es un campo solenoidal, entonces su divergenciaes nula.

(Dem.) Si f = rot g entoncesdiv f = div(rot g) = ∇ · (∇× g) = 0 (3.16)

lo cual es inmediato a partir de la expresion explıcita de los operadores y los campos, y del teorema deSchwarz.

El recıproco de esta propiedad no es cierto, a menos que se impongan condiciones adicionales, como severa en el ultimo capıtulo, cuando se estudien las aplicaciones del teorema de Gauss-Ostrogradskii.

Ejemplo: La funcion f(x, y, z) :=r

r3tiene divergencia nula, pero no tiene potencial vectorial (en todo

su dominio).

3.3.4. Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones armonicas

Aparte de los operadores diferenciales introducidos (gradiente, rotacional y divergencia), otro operadormuy usual en las aplicaciones fısicas es el siguiente:

Definicion 48 1. Sea f :A ⊂ Rn → R una funcion dos veces diferenciable. Se denomina laplaciana delcampo escalar f a la funcion escalar ∆f := div (grad f), esto es,

∆f ≡ ∇2f := ∇ · ∇f :A ⊂ Rn → R ,

cuya expresion explıcita es, consecuentemente,

∆f =∂2f

∂x21

+ . . .+∂2f

∂x2n

.

Se denomina laplaciana de f en a ∈ A al valor ∆f(a) ≡ ∇2f(a).

2. Sea f :A ⊂ Rn → Rn, con f = (f1, . . . , fn), una funcion dos veces diferenciable. Se denomina laplacianadel campo vectorial f a la funcion vectorial ∆f :A ⊂ Rn → Rn cuyas funciones componentes son laslaplacianas de sus funciones componentes:

∆f := (∇2f1, . . . ,∇2fn) := ∇2f .

Se denomina laplaciana de f en a ∈ A al vector ∆f(a) ≡ ∇2f(a) = (∇2f1(a), . . . ,∇2fn(a)).

A partir de aquı, se define:

Definicion 49 1. Sea f :A ⊂ Rn → R una funcion de clase C2. f es una funcion armonica si ∆f = 0.

2. Sea f :A ⊂ Rn → Rn una funcion de clase C2. f es una funcion armonica si ∆f = 0; esto es, si lo sonsus funciones componentes.

3.3.5. Expresion de los operadores diferenciales en otras coordenadas

Se deja como ejercicio comprobar, utilizando la regla de la cadena, que las expresiones de los operadoresdiferenciales en coordenadas polares en R2 y cilındricas o esfericas en R3 son las siguientes:


Coordenadas polares en R2:

grad f =

(∂f

∂r,

1

r

∂f

∂φ

)rot f =

1

r

(∂(rf2)

∂r− ∂f1

∂φ

)div f =

1

r

(∂(rf1)

∂r+∂f2

∂φ

)∆f =

1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1

r2

∂2f

∂φ2

Coordenadas cilındricas en R3:

grad f =

(∂f

∂r,

1

r

∂f

∂φ,∂f

∂z

)rot f =

1

r

(∂(f3)

∂φ− ∂(rf2)

∂z,∂f1

∂z− ∂f3

∂r,∂(rf2)

∂r− ∂f1

∂φ

)div f =

1

r

(∂(rf1)

∂r+∂f2

∂φ+∂(rf1)

∂z

)∆f =

1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1

r2

∂2f

∂φ2+∂2f

∂z2

Coordenadas esfericas en R3:

grad f =

(∂f

∂r,

1

r

∂f

∂θ,

1

r sin θ

∂f

∂φ

)rot f =

1

r2 sin θ

(∂(r sin θf3)

∂θ− ∂(rf2)

∂φ,∂f1

∂φ− ∂(r sin θf3)

∂r,∂(rf2)

∂r− ∂f1

∂θ

)div f =

1

r2 sin θ

(∂(r2 sin θf1)

∂r+∂r sin θf2

∂θ+∂(rf1)

∂φ

)∆f =

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂f

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂2(sin θf)

∂θ2+

1

r2 sin θ

∂2f

∂φ2

3.3.6. Otras propiedades de los operadores diferenciales

A continuacion se recopilan algunas otras propiedades de los operadores diferenciales:

Proposicion 45 (Con las adecuadas hipotesis sobre la diferenciabilidad con continuidad de las funcionesque intervienen):

1. (Linealidad del gradiente): ∇(αϕ± βψ) = α∇ϕ± β∇ψ.

2. (Gradiente del producto): ∇(ϕψ) = ψ∇ϕ+ ϕ∇ψ.

3. (Gradiente del producto escalar): ∇(f · g) = (g · ∇)f + (f · ∇)g + g × (∇× f) + f × (∇× g).

4. (Gradiente del producto vectorial): ∇(f × g) = g · (∇× f)− f · (∇× g).

5. (Linealidad del rotacional): ∇× (αf ± βg)α∇× f ± β∇× g.

6. (Rotacional del producto): ∇× (ϕf) = ϕ∇× f +∇ϕ× f .

7. (Rotacional del producto vectorial): ∇× (f × g) = (g · ∇)f − f(∇ · g)− (f · ∇)g + g(∇ · f).

8. (Rotacional del rotacional): ∇× (∇× f) = ∇(∇ · f)−∆f .

9. (Rotacional del gradiente): ∇× (∇ϕ) = 0.


10. (Linealidad de la divergencia): ∇ · (αf ± βg) = α∇ · f ± β∇ · g.

11. (Divergencia del producto): ∇ · (ϕf) = ϕ∇ · f +∇ϕ · f .

12. (Divergencia del producto vectorial): ∇ · (f × g) = g · (∇× f)− f · (∇× g).

13. (Divergencia del rotacional): ∇ · (∇× f) = 0.

(Dem.) Utilizar las propiedades de las funciones diferenciables y las expresiones explıcitas de los operadores.

3.3.7. Determinacion de funciones potenciales escalares y vectoriales

Dado un campo conservativo f ≡ (f1, . . . , fn), el calculo de una funcion potencial escalar puede efectuarsede la siguiente manera: por definicion la funcion potencial escalar ha de verificar que

∂ϕ

∂xi= fi

luego la determinacion de ϕ se realiza a partir de n integrales (indefinidas) del tipo

ϕ =

∫fidxi

El resultado final esta determinado salvo por una constante (he aquı la arbitrariedad en la eleccion de lafuncion potencial escalar a la que se acaba de hacer alusion). Sin embargo, lo habitual es fijar el valor dela funcion potencial en un punto determinado (denominado origen de potencial), con lo cual aquella quedadeterminada unıvocamente.

La manera de obtener un potencial vectorial para un campo solenoidal consiste en utilizar su definicion,lo que lleva a resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. A continuacion se describe un metodopara obtenerlo: Sea f :A ⊂ R3 → R3, con f = (f1, f2, f3), un campo solenoidal con dominio A abierto. Setrata de obtener un potencial vectorial g = (g1, g2, g3) de f ; por lo que el sistema a resolver es

∂g3

∂y− ∂g2

∂z= f1 ;

∂g1

∂z− ∂g3

∂x= f2 ;

∂g2

∂x− ∂g1

∂y= f3

1. Dado que se busca una solucion particular, se puede tomar, p. ej., g1(x, y, z) = 0.

2. Integrando la tercera ecuacion se obtiene

g2(x, y, z) =

∫f3(x, y, z)dx+ ϕ2(y, z)

y en esta solucion se puede volver a elegir la funcion arbitraria ϕ2(y, z) = 0.

3. Integrando la segunda ecuacion se obtiene

g3(x, y, z) = −∫f2(x, y, z)dx+ ϕ3(y, z)

4. Con los resultados precedentes la primera ecuacion queda en la forma

∂ϕ3

∂y− ∂g2

∂z= f1

que integrada determina la funcion ϕ3(y, z), salvo una funcion arbitraria φ(z), que puede tomarsetambien nula.

5. Cualquier otro potencial vectorial se obtiene a partir de este sumandole un gradiente.

Capıtulo 4

Subvariedades: curvas y superficies enRn

Introduccion

Siguiendo con el estudio de las aplicaciones del calculo diferencial con funciones de varias variables, sededicara este capıtulo a introducir los conceptos geometricos relacionados con la descripcion de subvariedadesde Rn y, en particular, de curvas y superficies en Rn.

4.1. Subvariedades de Rn

4.1.1. Subvariedades regulares de Rn

Definicion 50 Un conjunto M ⊂ Rn, M 6= Ø, es una subvariedad regular de dimension r 1 de clase Ck

de Rn (r ≤ n, r ∈ N; k ≥ 1), si ∀ p ∈ M , existe un abierto U ⊂ Rn, con p ∈ U 2, y un difeomorfismoΦ:U ⊂ Rn → V ⊂ Rn de clase Ck tal que 3

Φ(U ∩M) = V ∩ (Rr × 0n−r) = V ∩ (x1, . . . , xr, . . . , xn) ∈ Rn | xr+1 = . . . = xn = 0 .

Comentarios:

Cuando r = 1 se dice que la subvariedad es una curva regular en Rn.

Cuando r = 2 se dice que la subvariedad es una superficie regular en Rn.

Cuando r = n− 1 se dice que la subvariedad es una hipersuperficie regular en Rn.

Los dos primeros casos se estudian con mas detalle en las siguientes secciones.

El siguiente teorema da las tres maneras de describir analıticamente una subvariedad regular:

Teorema 19 Un conjunto M ⊂ Rn, M 6= Ø, es una subvariedad regular de dimension r de clase Ck de Rnsi se satisface cualquiera de las condiciones siguientes:

1. M es, localmente, un conjunto de nivel de una funcion F:W ⊆ Rn −→ Rn−r de clase Ck; es decir,∀p ∈M , existe un abierto U ⊂W ⊆ Rn, con p ∈ U , tal que

U ∩M = x ∈ U |F(x) = 0,1 Tambien se dice de codimension n− r.2 Se puede tomar U = Bδ(p) (una bola abierta).3 La condicion dada significa que en un entorno de cada punto la superficie se identifica con un abierto de Rr.

A veces se anade tambien la condicion de que Φ(p) = 0. Esta condicion siempre se puede alcanzar mediante un adecuadocambio de coordenadas (una traslacion).

55


y rang DF(x) = n−r, ∀x ∈ U∩M . En tal caso, se dice que la subvariedad esta dada en forma implıcita4.

2. M es, localmente, la grafica de una funcion f :A ⊆ Rr −→ Rn−r de classe Ck; es decir, ∀p ∈ M ,existe un abierto U ⊂ Rn, con p ∈ U , tal que

U ∩M = (x1, · · · , xn) ∈ U | (x1, · · · , xr) ∈ A, (xr+1, · · · , xn) = f(x1, · · · , xr) .

En tal caso, se dice que la subvariedad esta dada en forma explıcita.

3. M es, localmente, la imagen de una funcion σ:D ⊂ Rr → Rn de classe Ck; es decir, ∀p ∈ M , existeun abierto U ⊂ Rn, con p ∈ U , tal que:

a) σ es inyectiva.

b) σ(D) = U ∩M .

c) rang Dσ(t) = r, ∀ t ∈ D.

En tal caso, se dice que la subvariedad esta dada en forma parametrica o, tambien que es una subva-riedad parametrizada regular de Rn y σ es una parametrizacion regular local de M .

Si D ⊆ Rr y σ(D) = M , entonces σ es una parametrizacion regular global de M .

( Dem. ) La equivalencia de (1) con la definicion 50 se obtiene directamente de la demostracion del teoremade la funcion implıcita (teor. 15), pues la funcion G = (IRr ,F) que allı aparece cumple las condiciones deldifeomorfismo local Φ de la definicion 50. Recıprocamente, dada Φ, sus ultimas n−r funciones componentesdefinen la funcion F de (1).

(1) y (2) son equivalentes. En efecto; si se verifica (2), entonces la funcion F(x,y) := y − f(x) definelocalmente a M en forma implıcita y, recıprocamente, de (1) se obtiene (2) sin mas que aplicar el propioteorema de la funcion implıcita.

El resultado (3) se obtiene del teorema 16 (de rectificacion de la imagen), pues la funcion H que allıaparece cumple las condiciones del difeomorfismo local Φ de la definicion 50. Recıprocamente, si en ladefinicion 50 se toma D = V ∩ (Rr ×0n−r), entonces la restriccion Φ−1|D es una parametrizacion regularlocal de la subvariedad M .

Observar que las funciones de este teorema y de la definicion 50 no tienen por que ser unicas.

4.1.2. Espacio tangente y variedad tangente de una subvariedad regular

Considerese el caso particular de una subvariedad regular parametrizada 1-dimensional C ⊂ Rn deRn; es decir, una curva parametrizada regular y una parametrizacion regular c: I ⊆ R → Rn, con c(t) =

(x1(t), . . . , xn(t)). La condicion de que rang Dc(t) = 1 se traduce en que c′(t) ≡

dx1

dt(t)

...dxndt

(t)

6= 0; ∀t ∈ I.

Por otra parte, por ser la parametrizacion regular, es diferenciable, luego se cumple la condicion

lımλ→0

c(t0 + λ)− c(t0)− c′(t0)λ

λ= 0 .

Pero γ(λ) = c(t0) + c′(t0)λ es la ecuacion de la recta que pasa por el punto c(t) y tiene por vector directorc′(t), luego, recordando la interpretacion geometrica de la condicion anterior en el caso de funciones escalares(tangencia del hiperplano definido por la diferencial a la grafica de la funcion), en este caso se concluyeque dicha condicion da cuenta de la tangencia de la mencionada recta a la curva en el punto c(t0) o,equivalentemente, del vector c′(t0).

4 M es la interseccion de conjuntos de nivel de las funciones componentes Fi (i = 1, . . . , n− r)


Definicion 51 c′(t) se denomina vector tangente a la curva en el punto c(t) (asociado a la parametrizaciondada).

La variedad afın c(t0) + c′(t0)λ se denomina recta tangente a la curva en el punto c(t0).

Estas ideas se generalizan del siguiente modo:

Definicion 52 Sea M una subvariedad regular r-dimensional de Rn y p ∈M . Un vector v ∈ Rn es tangentea M en p si existe una curva regular parametrizada de Rn y una parametrizacion regular c: I ⊂ R −→ Rntal que:

1. Im c ⊂M .

2. ∃ to ∈ I tal que c(to) = p y c′(to) = v (v es un vector tangente a la curva en p).

La curva c se dice que es un representante de v.

Proposicion 46 Sea M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional y p ∈M . El conjunto de los vectorestangentes a M en p, junto con el vector 0 ∈ Rn, es un espacio vectorial de dimension r, que se denotaTpM . Ademas, si Φ el difeomorfismo de la definicion 50 y e1, . . . , er; er+1, . . . , en es la base canonica deRn asociada a las coordenadas xiı=1,...,n, entonces

TpM = 〈(DΦ(p))−1(e1), . . . , (DΦ(p))−1(er)〉 .

( Dem. ) Observese que 〈e1, . . . , er〉 = TΦ(p)(V ∩ (Rr × 0n−r)). Considerense las rectas ci(t) = Φ(p) +

tei ⊂ Φ(V ∩ (Rr × 0n−r)), que pasan por Φ(p) y tienen por vectores directores e1, . . . , er, y cuyastransformadas son curvas (Φ−1 ci)(t) ⊂ U ⊂M . Entonces, usando la regla de la cadena y el teorema de lafuncion inversa, se tiene que

(Φ−1 ci)′(0) = DΦ−1(Φ(p)) c′i(0) = DΦ(p)−1(ei) .

Por definicion, estos vectores son tangentes a las curvas parametrizadas Φ−1 ci en t = 0 y, por tanto,tangentes a M en p y, al ser DΦ(p) un isormorfismo, son linealmente independientes y forman una base deTpM . En efecto, si no fuera ası, existirıa alguna curva γ(t) en M tal que p = γ(0) y un vector tangente aella, v = γ′(0) ∈ TpM , linealmente independiente respecto a los (DΦ(p))−1(ei). Entonces (Φ γ)(t) es unacurva en V ∩ (Rr × 0n−r) que pasa por Φ(p) y cuyo vector tangente en ese punto

(Φ γ)′(0) = DΦ((p)) γ′(0) = DΦ(p)(v) .

serıa tambien linealmente independiente respecto a los ei, lo cual estarıa en contradiccion con el hecho deque son una base de TΦ(p)(V ∩ (Rr × 0n−r)).

De aquı se tiene que dim TpM = r.

Definicion 53 Sea M una subvariedad regular r-dimensional de Rn y p ∈M .

1. El espacio vectorial TpM se denomina espacio tangente a M en p .

El complemento ortogonal de TpM , TpM⊥, se denomina espacio ortogonal (o normal) a M en p 5.

2. La variedad afın p + TpM es la variedad lineal tangente a M en p.

La variedad afın p + TpM⊥ es la variedad lineal ortogonal (o normal) a M en p 6.

Lema 3 Si M esta dada en forma implıcita por una funcion F(x) = (F1(x), . . . , Fn−r(x)), entonces losvectores gradiente de las funciones Fi en cada punto x son perpendiculares a M ; es decir, ∇Fi(x) ∈ TxM

⊥,∀x ∈M , y forman una base de TxM

⊥.

5 Es, obviamente, un subespacio vectorial de Rn de dimension n− r.6 Ambas son subvariedades regulares en Rn de dimensiones r y n− r, respectivamente.


( Dem. ) Se trata de probar que, ∀x ∈ M , los vectores gradiente son ortogonales a todos los vectorestangentes a M en x. Recordando que Fi(x) = 0, i = 1, . . . , n − r; considerese una curva cualquiera c: I ⊆R→M ⊂ Rn; entonces (Fi c)(t) = 0; t ∈ I (es una funcion constante); por tanto

0 = (Fi c)′(t) = DFi(c(t)) c′(t) = 〈∇Fi(c(t)), c′(t)〉 ⇐⇒ ∇Fi(x) ⊥ c′(t) ,

y como el resultado es valido para cualquier curva, por la definicion de vector tangente a M , resulta que∇Fi(x) son ortogonales a todos los vectores tangentes a M en x; luego ∇Fi(x) ∈ TxM

⊥. Ademas, por lacondicion de rango maximo de F, estos vectores son linealmente independientes y, al haber n − r, formanuna base de TxM

⊥.

Proposicion 47 Sea M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional y p ∈M .

1. Si M esta dada en forma implıcita por una funcion F, entonces

TpM = ker DF(p) .

2. Si σ:D ⊂ Rr → Rn es una parametrizacion regular de M de Rn y p = σ(t), entonces

TpM =

⟨∂σ

∂t1(t), . . . ,

∂σ

∂tr(t)

⟩.

1. De acuerdo con el lema precedente, los vectores ∇F1(p), . . . ,∇Fm(p) son perpendiculares a M .Ademas, F es diferenciable (de clase Ck) y al ser rang DF(p) = n− r = m, se tiene que esos vectoresson no nulos y linealmente independientes; por tanto, forman una base del espacio TpM

⊥.

Estos vectores son, ademas, las filas de la matriz JF(p); entonces, ∀v ∈ ker DF(p), se tiene que

DF(p)(v) = 0 ⇐⇒ v ∈ (TpM⊥)⊥ = TpM ;

luego ker DF(p) = TpM .

2. Sea un punto to = (to1, . . . , tor) ∈ D y ci(s) = (to1, . . . , s(i), . . . , tor) parametrizaciones (regulares)de las curvas coordenadas en D que pasan por to, entonces σ ci son parametrizaciones regulares delas curvas imagen de estas en M por σ. Los vectores tangentes asociados a estas curvas se obtienenaplicando la regla de la cadena y, si t = ci(toi) (∀ i), son

D(σ ci)(toi) = Dσ(t) c′i(toi) =

(∂σ

∂t1(t) . . .

∂σ

∂tr(t)

)

0...

1(i)...0

=

(∂σ

∂ti(t)

)

y de aquı el resultado.

Comentario: Si M esta dada en forma explıcita por la funcion f , para obtener TpM basta con construir lafuncion F(x,y) := y − f(x), que define localmente a M en forma implıcita, y aplicar el apartado (2) de laproposicion precedente.

4.2. Curvas

4.2.1. Curvas en Rn

Comenzaremos esta seccion introduciendo los primeros objetos geometricos con los que vamos a trabajarque son las curvas en Rn. Hay tres aproximaciones diferentes a este concepto:


Definicion 54 1. Se denomina curva en Rn a la grafica de toda funcion vectorial f : I ⊆ R→ Rn−1; estoes

C := graf f := (x, y1, . . . , yn−1) ∈ Rn | x ∈ I, yi = fi(x), (i = 1, ..., n− 1) (4.1)

(Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma explıcita).

2. Se denomina curva en Rn a la interseccion de los conjuntos de nivel (hipersuperficies) de n−1 funcionesescalares; es decir, si F:A ⊆ Rn → Rn−1 con F = (F1, . . . Fn−1),

C := (x1, . . . , xn) ∈ Rn | Fi(x1, . . . , xn) = ki (ki = ctn.) (4.2)

(Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma implıcita).

3. Se denomina curva parametrizada en Rn a toda funcion vectorial

c: I ⊆ R −→ Rnt 7→ (x1(t), . . . , xn(t))

(4.3)

(Tambien se dice que la curva esta dada en forma parametrica).

En este caso, es habitual denominar curva a la imagen de esta aplicacion, esto es, a su representaciongrafica, C := Im c, y parametrizacion a la propia funcion c.

Comentarios:

En (1) y (3), se denomina arco de curva a la restriccion de f y c a un intervalo (propio) contenido enI.

Como caso particular de la definicion precedente, estan las curvas en R2:

1. (Forma explıcita): Se denomina curva en R2 a la grafica de toda funcion escalar f :A ⊆ R → R;esto es

C := graf f := (x, y) ∈ R2 | x ∈ A, y = f(x)

2. (Forma implıcita): Se denomina curva en R2 a un conjunto de nivel de toda funcion escalarF :B ⊆ R2 → R; esto es

C := (x, y) ∈ R2 | F (x, y) = k (k = ctn.)

3. Forma parametrica): Se denomina curva en Rn a la imagen de una funcion

c: I ⊆ R → R2

t 7→ (x1(t), x2(t))

esto es, C := Im c.

El paso de una forma a otra no siempre es factible. Ası, p. ej., con curvas en R2 siempre puede pasarsede una expresion en forma explıcita a otra en forma implıcita (p. ej., poniendo F (x, y) ≡ y−f(x) = 0),o en forma parametrica (p. ej., haciendo x = t, y = f(t), o por medio de otras expresiones mascomplicadas), pero no al reves 7.

En algunos casos no es posible dar una parametrizacion de toda la curva a la vez y hay que hacerlopor trozos.

Para una curva dada existen infinitas parametrizaciones.

Ejemplo: Considerense las dos siguientes parametrizaciones de la recta bisectriz del primer y tercercuadrante en R2:

c: I ⊆ R → R2 ; c: I ⊆ R → R2

t 7→ (t, t) t 7→ (t3, t3)(4.4)

7 Traducido en terminos geometricos, significarıa que toda curva (de nivel o parametrizada) fuera la grafica de una funcionde una variable, lo cual se sabe que no es cierto.


Ejemplos:

Recta en R3, que pasa por el punto (2, 1, 3) y tiene como vector director (1, 3,−1):

1. (x, y, z) ∈ R3 | y = 3x− 5, z = −x+ 5, x ∈ R.

2.

(x, y, z) ∈ R3 | x− 2

1=y − 1

3=z − 3

−1

.

3. c(t) = (2, 1, 3) + t(1, 3,−1) = (2 + t, 1 + 3t, 3− t), t ∈ R

Elipse (interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano z = x+ y):

1. (x, y, z) ∈ R3 | y = ±√

1− x2, z = x±√

1− x2, x ∈ (−1, 1).2. (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 − 1 = 0, z − x− y = 0.3. c(t) = (cos t, sin t, cos t+ sin t), t ∈ [0, 2π)

Atendiendo a las caracterısticas geometricas de las curvas se puede establecer la siguiente terminologıa:

Definicion 55 1. Una curva es plana si su representacion grafica esta en R2. En caso de no ser ası, lacurva se denomina alabeada.

2. Una curva es simple si su representacion grafica no tiene autointersecciones.

Si c: I ⊆ R→ Rn es una parametrizacion, esto equivale a que c sea inyectiva.

3. Una curva es conexa si su representacion grafica tiene una sola rama.

Si c: I ⊆ R→ Rn es una parametrizacion, esto equivale a que c sea continua.

4. Una curva c: I ⊆ R→ Rn es cerrada 8 si

a) es conexa.

b) I = [a, b] (es un intervalo cerrado), y

c) c(a) = c(b).

5. Una curva c: I ⊆ R→ Rn es de Jordan si es cerrada y simple en (a, b).

Atendiendo a las caracterısticas analıticas de las curvas se define:

Definicion 56 Una curva parametrizada c: I ⊆ R → Rn es diferenciable (respecto a esa parametrizacion)en un punto o en un intervalo, si lo es la funcion c. La curva es diferenciable a trozos si I descompone enun numero finito de subintervalos en cada uno de los cuales la curva es diferenciable.

Una curva dada en forma explıcita o implıcita es diferenciable en un punto o en un intervalo, si esdiferenciable la funcion que la define.

4.2.2. Curvas regulares

Comenzaremos definiendo este concepto para curvas parametrizadas, tal como ya se hizo al comienzo delapartado 4.1.2.

Definicion 57 Sea una curva parametrizada c: I ⊆ R→ Rn, C = Im c, diferenciable.

1. c es una curva parametrizada regular o suave (tambien se dice que es una parametrizacion regular osuave de la curva C) si

a) La funcion c es inyectiva.

b) La funcion c es de clase C1.

8 Observese que toda curva cerrada, considerada como conjunto de puntos en Rn, es un cerrado, pero no toda curva quesea un conjunto cerrado ha de ser cerrada.


c) c′(t0) ≡

dx1

dt(t0)

...dxndt

(t0)

6= 0; para todo t0 ∈ I.

Si para un punto p = c(t0) ∈ C = Im c, t0 ∈ I, se cumplen estas condiciones (en un entorno delmismo), entonces p es un punto regular de la parametrizacion considerada. En caso contrario, se diceque es un punto singular 9.

2. Una curva parametrizada es regular a trozos si I es la union de un numero finito de subintervalos enel inerior de cada uno de los cuales la parametrizacion es regular 10.

Comentarios:

Si la curva es cerrada, entonces la regularidad de la parametrizacion requiere tambien que sea c′(a) =c′(b) 6= 0.

Una curva parametrizada de diversas formas equivalentes puede ser regular (resp. diferenciable) en unpunto para una parametrizacion y no serlo para otra.

Ejemplo: Para las parametrizaciones dadas en (4.4), ambas de clase C∞, en t0 = 0 se tiene respecti-vamente c′(0) = (1, 1) y c′(0) = (0, 0).

No obstante, el concepto de regularidad (resp. diferenciabilidad) es intrınseco y esta relacionado conel hecho de que la curva tenga vector tangente en un punto dado; esto es, que localmente la curvasea semejante a un segmento de recta en un entorno de dicho punto. Como consecuencia, los puntosangulosos no son regulares.

Definicion 58 Sean c1: I1 → Rn y c2: I2 → Rn dos curvas parametrizadas regulares de Rn. Se dice queambas curvas son regularmente equivalentes si existe un difeomorfismo g: I1 ⊆ R→ I2 ⊆ R de clase C1 talque c1 = c2 g.

I1 -c1 Rn

@@@R

g 6c2

I2

Esto significa que ambas parametrizaciones definen la misma curva; es decir, c1(I1) = c2(I2) = C.

Ademas si g′(t) > 0, para todo t ∈ I1, entonces ambas parametrizaciones recorren la curva en el mismosentido; es decir, dan la misma orientacion de la curva 11.

Para curvas dadas en forma explıcita e implıcita, la nocion de regularidad se obtiene a partir de ladefinicion dada:

Proposicion 48 Sea C ⊂ Rn una curva.

1. Si C esta dada en forma explıcita mediante (4.1), p ≡ (x0, f1(x0), . . . , fn−1(x0))) ∈ C y f es de claseC1 en un entorno E(x0), entonces p es un punto regular de C y un vector tangente a C en p es(

1,df1

dx(x0), . . . ,

dfn−1

dx(x0)

).

2. Sea C dada en forma implıcita mediante (4.2) y p ≡ (x0, . . . , xn) ∈ C. Si F es de clase C1 en unentorno E(p) y JpF tiene rango maximo k−1, entonces p es un punto regular de C y un vector normala C en p se obtiene a partir del teorema de la funcion implıcita.

(Dem.)

9 Una curva es regular para una parametrizacion dada, si todos sus puntos son regulares para esa parametrizacion.10 Por tanto, su representacion grafica es la union de un numero finito de imagenes de curvas parametrizadas regulares. (P.

ej., un polıgono es una curva regular a trozos).11Ver deficicion 61.


1. Basta considerar la aplicacion

c : I ⊆ R −→ Rnx 7→ (x, f1(x), . . . , fn−1(x))

con x0 ∈ I tal que c(x0) = p, que es una parametrizacion de C de clase C1. Entonces c′(x0) =(1, f ′1(x0), . . . , f ′n−1(x0)) 6= 0 es un vector tangente a C en p y la grafica de f es una curva regular enp, de acuerdo con la definicion precedente.

2. Si el rango de F es maximo, o sea n−1, quiere decir que n−1 de las variables se pueden expresar comofuncion de la n-esima y, por tanto, los puntos de C se pueden expresar como (x, f1(x), . . . , fn−1(x)) y,segun el apartado anterior, tendrıamos una curva regular.

Un vector tangente se obtiene a partir del teorema de la funcion implıcita 12 (corolario 8).

Comentario:

Como caso particular, si una curva en R2 esta dada en forma implıcita o explıcita, un vector tangentea la curva en un punto p se obtiene del siguiente modo:

• Forma implıcita: Dada F (x, y) = 0, con F funcion diferenciable en p tal que ∇F (p) 6= 0. Encada punto, ∇F (p) es perpendicular a la curva, de acuerdo con el lema 3 y, por tanto, cualquiervector perpendicular a este es un vector tangente.

Consecuentemente, una curva dada en forma implıcita en R2 es regular en un punto si la funcionque la define es de clase C1 en un entorno de dicho punto y su diferencial en el punto es no nula,con lo cual su gradiente en dicho punto tambien lo es.

• Forma explıcita: Dada y = f(x), a ∈ Dom f , con f funcion diferenciable en a. Un vectortangente en (a, f(a)) se puede obtener directamente a partir de la ecuacion de la recta tangentea graf f en (a, f(a)). Tambien se puede tomar F (x, y) ≡ y− f(x), con lo que la curva en cuestiones la curva de nivel cero de F , y aplicar el resultado anterior. En ambos casos el vector tangente

es

(1,

df

dt(a)

).

Como consecuencia, una curva dada en forma explıcita en R2 es regular si la funcion que la definees de clase C1.

Finalmente:

Definicion 59 Sean C1, C2 ⊂ Rn dos curvas y p ∈ Rn tal que p ∈ C1 y p ∈ C2, y p es un punto regularde C1 y C2. Se denomina angulo formado por las superficies en dicho punto al formado por sus rectas ovectores tangentes en el.

4.2.3. Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones

Definicion 60 Sea C ⊂ Rn una curva regular en p ∈ C y v ∈ Rn un vector tangente a C en p.

1. Se denomina recta tangente a la curva en el punto p a la recta que pasa por dicho punto y tiene comovector director v.

Su ecuacion vectorial es, por consiguiente,

x = p+ λv ↔

x1...xn

=

p1...pn

+ λ

v1...vn

(λ ∈ R)

12Para el caso de curvas en R3, tambien haciendo el producto vectorial ∇F1(p)×∇F2(p) se tiene un vector tangente.


2. Se denomina (hiper)plano normal a la curva en el punto p al (hiper)plano que pasa por dicho punto yes perpendicular al vector tangente v.

Su ecuacion vectorial es, por consiguiente,

〈x− p,v〉 = 0 ↔ (x1 − p1)v1 + . . .+ (xn − pn)vn = 0

La manera de obtener explıcitamente la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a una curva enun punto dado depende de la forma en que este dada la superficie y, por tanto, dicho vector.

Otras aplicaciones relacionadas con curvas regulares son las dos siguientes:

Un problema que tiene relacion con el calculo de vectores tangentes es el de la obtencion del vectortangente a la transformada de una curva, y se plantea del siguiente modo: Considerese una funcionf :A ⊆ Rn → Rm diferenciable. Sea c: I ⊆ R→ Rn, con c(I) ⊂ A, una curva diferenciable en t0 ∈ I, yc′(t0) su vector tangente en c(t0). Al realizar la composicion

C = f c : I ⊆ R c−→ Rn f−→ Rmt 7→ (c1(t), . . . , cm(t)) 7→ (C1(t), . . . , Cm(t))

se obtiene una nueva curva que se denomina transformada de la curva c por la funcion f . Se trata decalcular su vector tangente en el punto C(t0) = f(c(t0)). Dado que estamos en presencia de sendas fun-ciones diferenciables, tiene sentido aplicar nuevamente la regla de la cadena para calcular la diferencialde la funcion compuesta, con lo que, en representacion matricial, se tiene que

JtoC = Jc(to)fJtoc ≡

∂f1∂x1

(c(t0))) . . . ∂f1∂xn

(c(t0))

......

∂fm∂x1

(c(t0)) . . . ∂fm∂xn

(c(t0))

dc1dt (t0)

...dcndt (t0)

≡

dC1

dt (t0)...

dCndt (t0)

luego pueden identificarse JtoC y Jtoc con los respectivos vectores tangentes de C y c en los puntoscorrespondientes, luego se concluye que

C′(t0) = Jc(to)f(c′(t0))

es decir, el vector tangente a la curva C en el punto c(t0) = f(c(t0) es el transformado del vectortangente a c por la aplicacion Dc(to)f

13.

Otra aplicacion relacionada con este tema es la siguiente: considerese una funcion f :A ⊆ Rn → Rmdiferenciable y una curva diferenciable c: I ⊆ R→ Rn, con c(I) ⊂ A. La cuestion es determinar comovarıa la funcion al pasar de un punto a = c(t0) (con t0 ∈ I) a otro a+ h en sus inmediaciones que estesituado sobre la graf c, esto es, a+ h = c(t0 + λ). Dado que, como ya es sabido, una aproximacion alvalor de la variacion de una funcion en el entorno de un punto viene dada por medio de la diferencial,la resolucion del problema pasa por el calculo de la diferencial de la funcion compuesta F = f c ent0. Para ello, dado que las funciones son ambas diferenciables, basta aplicar la regla de la cadena yobtener

Dto(f c)) = Dc(to)f Dtoc

que no es otra cosa que la derivada direccional de la funcion en la direccion de la recta tangente a lacurva dada en el punto en cuestion.

4.2.4. Orientacion

Dada una curva, se puede establecer un sentido de recorrido o, lo que es equivalente, asignar un sentidoa los vectores tangentes en todos los puntos de la curva. Esta idea se plasma en el siguiente concepto:

Definicion 61 Sea una curva parametrizada regular c: I ⊆ R→ Rn. Se denomina orientacion natural de lacurva (respecto a la parametrizacion dada) a la aplicacion que asigna a cada punto c(t) de la curva el vector

tangente unitario t =c′(t)

‖c′(t)‖.

Una curva dotada de una orientacion se dice que esta orientada. Un arco de curva orientada se denominacamino o trayectoria.

13 Por esta razon, en Geometrıa Diferencial, a la aplicacion diferencial se la denomina, tambien, aplicacion tangente.


Comentarios:

En general, orientar una curva equivale a dar una funcion continua que asigna a cada punto de C unvector tangente unitario t.

En ese sentido, la orientacion natural dada por una parametrizacion es la definida por el sentidocreciente del parametro que la describe.

Una curva simple tiene dos unicas orientaciones posibles: la natural y la opuesta.

4.3. Superficies

4.3.1. Superficies en R3

Vamos a introducir, a continuacion, el concepto de superficie en R3, que es el caso que nos va a interesara lo largo de este curso.

Hay tres aproximaciones diferentes al concepto de superficie (en R3):

Definicion 62 1. Se denomina superficie a la grafica de toda funcion escalar f :A ⊆ R2 → R; esto es

S := graf f := (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A, z = f(x, y) (4.5)

(Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma explıcita).

2. Se denomina superficie a un conjunto nivel de toda funcion escalar F :B ⊆ R3 → R; esto es

S := (x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = k (k = ctn.) (4.6)

(Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma implıcita).

3. Se denomina superficie parametrizada a toda funcion vectorial

σ: D ⊆ R2 −→ R3

(u, v) 7→ (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))(4.7)

(Tambien se dice que la superficie esta dada en forma parametrica).

En este caso es habitual denominar superficie a la imagen de esta aplicacion, esto es, a su representa-cion grafica, S := Imσ, y parametrizacion a la propia funcion σ.

Figura 4.1: Superficie en forma explıcita, z = f(x, y).

Comentarios:

Es interesante senalar que, contra lo que pudiera parecer, no toda superficie es inmersible en R3 (p.ej., el plano proyectivo o la botella de Klein).


Estas tres definiciones no son equivalentes. En efecto:

• (1) ⇒ (2): pues la grafica de toda funcion escalar de dos variables f :A ⊆ R2 → R puede serconsiderada como la superficie de nivel de la funcion escalar de tres variables F (x, y, z) = f(x, y)−z.

• (1) ⇒ (3): pues la grafica de toda funcion escalar de dos variables puede ser parametrizada (p.ej., (x, y, z) = (u, v, f(u, v))).

• La superficie de nivel de toda funcion escalar de tres variables F :A ⊆ R3 → R no siempre es lagrafica de otra funcion escalar de dos variables (p. ej., la esfera (en R3)).

Tampoco es, en muchos casos, parametrizable.

• Una superficie parametrizada no siempre es la superficie de nivel de alguna funcion escalar de tresvariables, ni la grafica de otra de dos variables.

Sin embargo, usando el teorema de la funcion implıcita (siempre que se cumplan las condiciones deregularidad establecidas como hipotesis en dicho teorema), es posible demostrar que, localmente, lastres concepciones de superficie dadas en la definicion anterior son equivalentes.

En algunos casos no es posible dar una parametrizacion de toda la superficie a la vez y hay que hacerlopor trozos.

Para una superficie parametrizada existen infinitas parametrizaciones.

Ejemplos:

Plano:

1. (x, y, z) | z = ax+ by (a, b ∈ R).

2. (x, y, z) | ax+ by − z = 0.

3. x = u, y = v, z = au+ bv; (u, v) ∈ R2

Cono:

1. (x, y, z) | z =√x2 + y2.

2. (x, y, z) |√x2 + y2 − z = 0.

3. x = r sinα cos v, y = r sinα sin v, z = r cosα;

(0 ≤ r, 0 ≤ v < 2π, α = ctn.).

Esfera:

1. (x, y, z) | x2 + y2 + z2 = R2.

2. x = R sinu cos v, y = R sinu sin v, z = R cosu;

(0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v < 2π,R = ctn.).

Toro:

1. x =

(a+ b

2+a− b

2cosu

)cos v ,

y =

(a+ b

2+a− b

2cosu

)sin v ,

z =a− b

2sinu ;

(0 ≤ u < 2π), (0 ≤ v < 2π).

De manera analoga a como se hizo con las curvas, se puede establecer la siguiente terminologıa:

Definicion 63 Dada una superficie S (definida en uno o varios de los sentidos dados en la definicion 62):

1. Es una superficie plana si S es inmersible en R2. En caso de no ser ası, se denomina alabeada.


2. Es una superficie simple si S no tiene autointersecciones. En el caso de tratarse de una superficieparametrizada, esto es equivalente a que σ sea inyectiva.

Puede demostrarse que:

Proposicion 49 Si σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie parametrizada simple entonces toda curva cerradasimple en D tiene como imagen por σ una curva cerrada simple en S.

4.3.2. Superficies regulares

Atendiendo a las caracterısticas analıticas de las superficies se establece la siguiente terminologıa (parasuperficies parametrizadas):

Definicion 64 Una superficie parametrizada σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie continua (resp. diferencia-ble) respecto a la parametrizacion dada si lo es la funcion σ.

Definicion 65 Dada una superficie parametrizada diferenciable σ:D ⊆ R2 → R3, se definen las funciones(vectoriales)

Tu ≡∂σ

∂u:=

(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

), Tv ≡

∂σ

∂v:=

(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)1. Se denomina producto vectorial fundamental en (u, v) ∈ D (respecto a la parametrizacion dada) a

Tu(u, v)×Tv(u, v) :=

(∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)(u, v)

∣∣∣, ∣∣∣∂(x, z)

∂(u, v)(u, v)

∣∣∣, ∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)(u, v)

∣∣∣) (4.8)

2. σ es una superficie parametrizada regular o suave (tambien se dice que es una parametrizacion regularo suave de la superficie S) si

a) σ es inyectiva.

b) σ es de clase C1 (y, por tanto, las funciones∂σ

∂uy∂σ

∂vson continuas).

c) Tu(u, v)×Tv(u, v) 6= 0 o, lo que es equivalente, rang J(u,v)σ = 2; para todo (u, v) ∈ D.

Si para un punto p = σ(u, v) se cumplen estas condiciones (en un entorno del mismo), entonces p esun punto regular de la parametrizacion En caso contrario, se dice que es un punto singular 14.

3. Una superficie parametrizada es regular o suave a trozos si D es la union de un numero finito dedominios en el interior de cada uno de los cuales la parametrizacion es regular 15.

Comentarios:

Tal como ha sido definido, el resultado de hacer el producto vectorial fundamental depende de la pa-rametrizacion. Esto significa que un punto puede ser regular para una parametrizacion y singular paraotra y, por consiguiente, el concepto de regularidad parece que depende de la parametrizacion. Real-mente esto no es ası ya que, geometricamente, una superficie regular se caracteriza porque localmentese asemeja a un trozo de plano y, consecuentemmente, tiene vector normal en los puntos regulares (portanto, no tiene “pliegues” ni “esquinas” 16). Consecuentemente, este es un concepto intrınseco (inde-pendiente de la parametrizacion). En este sentido, la definicion dada es imprecisa, pero sera suficientepara cubrir los objetivos del curso 17.

14 Una superficie es regular para una parametrizacion dada, si todos sus puntos son regulares para esa parametrizacion.15 Por tanto, su representacion grafica es la union de un numero finito de imagenes de superficies parametrizadas regulares.

(P. ej., un poliedro es una superficie regular a trozos).16 Ası, son superficies no regulares aquellas que no son diferenciables (esto es, tienen “puntos angulosos”) o bien aquellas

para las que, en algun punto, Tu = λTv (λ 6= 0).17 Existen definiciones intrınsecas que soslayan estos problemas.


En caso de que la superficie este dada en forma explıcita o implıcita, para asegurar la regularidad enun punto basta con pedir que sean de clase C1 las funciones f(x, y) o F (x, y, z) respectivamente (y, eneste ultimo caso, que el gradiente de F sea no nulo en dicho punto).

La interpretacion geometrica de los vectores Tu(u, v) y Tv(u, v) es la siguiente: si en D ⊆ R2 se consideranlas curvas coordenadas u = u0 y v = v0, sus imagenes por σ, σ(u0, v) y σ(u, v0), son curvas en R3 que estanobviamente contenidas en S = Imσ y reciben el nombre de curvas coordenadas de la superficie. Entonces:

Proposicion 50 Si σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie parametrizada y p = σ(uo, vo) ∈ S, (u0, v0) ∈ D, esun punto regular, entonces:

1. Tu(uo, vo) y Tv(uo, vo) son vectores tangentes en el punto p a las curvas coordenadas sobre la superficieque pasan por p (y, por tanto, a la propia superficie S en p) 18.

2. Consecuentemente, Tu(uo, vo)×Tv(uo, vo) es un vector perpendicular a S en x y se denomina vectornormal a la superficie (en el punto correspondiente).

Se designa por n el vector normal unitario en p.

(Dem.) Si cu(t) = (t, vo) y cv(s) = (uo, s) son parametrizaciones (regulares) de las curvas coordenadas enD, entonces σ cu y σ cv son parametrizaciones regulares de las curvas coordenadas en S. Entonces, losvectores tangentes asociados a estas parametrizaciones se obtienen sin mas que aplicar la regla de la cadenay, si cu(to) = cv(so) = (uo, vo), son

D(σ cu)(to) = Dσ(uo, vo) c′u(to) =

xu xvyu yvzu zv

(uo,vo)

(10

)=

xuyuzu

(uo,vo)

= Tu(uo, vo)

D(σ cv)(so) = Dσ(uo, vo) c′v(so) =

xu xvyu yvzu zv

(uo,vo)

(01

)=

xvyvzv

(uo,vo)

= Tv(uo, vo) ,

y de aquı el resultado.

18 Esto es, el plano que definen es tangente a la superficie en el punto en cuestion.


Definicion 66 Sean σ1:D1 ⊆ R2 → R3 y σ2:D2 ⊆ R2 → R3 dos parametrizaciones regulares. Se dice queσ1 y σ2 son regularmente equivalentes si existe un difeomorfismo g:D1 ⊆ R2 → D2 ⊆ R2 de clase C1 talque σ1 = σ2 g.

D1 -σ1 R3

@@@R

g 6σ2

D2

Esto implica que ambas parametrizaciones representan la misma superficie; esto es, σ1(D1) = σ2(D2) = S.

Ademas, si det Jg(u, v) > 0, entonces ambas parametrizaciones definen la misma orientacion de la su-perficie y dan orientaciones contrarias si det Jg(u, v) < 0 19.

Teniendo en cuenta los comentarios hechos sobre la relacion entre las tres concepciones de superficiedadas en la definicion 62, se obtienen facilmente las expresiones del producto vectorial fundamental (y, portanto, del vector normal) cuando la superficie esta dada en forma explıcita o implıcita.

Proposicion 51 Sea S ⊂ R3 una superficie.

1. Si S esta dada en forma explıcita mediante (4.5), p ≡ (x0, y0, f(x0, y0)) ∈ S y f es de clase C1

en un entorno E(x0, y0), entonces p es un punto regular de S y un vector normal a S en p es(−∂f∂x

(x0, y0),−∂f∂y

(x0, y0), 1

).

2. Si S esta dada en forma implıcita mediante (4.6), p ≡ (x0, y0, z0) ∈ S, F es de clase C1 en un entornoE(p) y ∇F (p) 6= 0, entonces p es un punto regular de S y un vector normal a S en p es ∇F (p).

(Dem.)

1. Tomando la parametrizacion σ(x, y) = (x, y, f(x, y)), se tiene que

∂σ∂x =

(1, 0, ∂f∂x

)∂σ∂y =

(0, 1, ∂f∂y

) =⇒ Tu ×Tv =

(−∂f∂x,−∂f

∂y, 1

)(4.9)

Tambien, tomando F (x, y, z) ≡ z− f(x, y), la superficie en cuestion es la superficie de nivel cero de F ,por lo que basta tener en cuenta el lema 3 para obtener el mismo resultado.

2. Basta tener en cuenta que ∇F , en cada punto, es perpendicular a la superficie de nivel de F , de acuerdocon el lema 3.

Tambien, asumiendo que se cumplen las hipotesis del teorema de la funcion implıcita, existe localmentela funcion z = f(x, y) tal que F (x, y, f(x, y)) = 0. Entonces, a partir de dicho teorema se obtiene que

∂f

∂x= −

∂F

∂x∂F

∂z

,∂f

∂y= −

∂F

∂y∂F

∂z

Luego, teniendo en cuenta lo expuesto en el caso anterior, resulta que

Tu ×Tv =

∂F

∂x∂F

∂z

,

∂F

∂y∂F

∂z

, 1

=∇F∂F

∂z

(4.10)

Finalmente:

Definicion 67 Sean S1, S2 ⊂ R3 dos superficies y p ∈ R3 tal que p ∈ S1 y p ∈ S2, y p es un punto regularde S1 y S2. Se denomina angulo formado por las superficies en dicho punto al formado por sus rectas ovectores normales en el.

19Ver definicion 69.


4.3.3. Plano tangente y recta normal a una superficie

Al igual que al estudiar las curvas diferenciables introdujimos las nociones de recta tangente y planonormal a la curva en un punto, algo analogo se puede hacer cuando se trata de superficies.

De esta manera, teniendo en cuenta que, de acuerdo con los resultados de la seccion 4.3.2, toda superficieregular en un punto tiene bien definido un vector normal a la superficie en dicho punto, se define:

Definicion 68 Sea S ⊂ R3 una superficie regular en el punto a ∈ S.

1. Se denomina plano tangente a la superficie en el punto a al plano que pasa por a y tiene como vectorcaracterıstico un vector normal a S en a.

2. Se denomina recta normal a la superficie en el punto a a la recta que pasa por a y tiene como vectordirector un vector normal a S en a (y, por consiguiente, es perpendicular al plano tangente).

La manera de obtener la ecuacion del plano tangente y de la recta normal a una superficie en un puntodado depende de la forma en que este dada la superficie:

Forma parametrica : (Ec. (4.7)). Un vector normal a la superficie es su producto vectorial fundamentalen a, luego la ecuacion del plano tangente a S en a es:

0 = 〈(x, y, z)−σ(a),Tu(a)×Tv(a)〉 = (x−a1)∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)(a)∣∣∣+(y−a2)

∣∣∣∂(z, x)

∂(u, v)(a)∣∣∣+(z−a3)

∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)(a)∣∣∣

o, equivalentemente(x, y, z) = σ(a) + λTu(a) + µTv(a)

Una ecuacion vectorial de la recta normal es, por tanto,

(x, y, z) = σ(a) + λTu(a)×Tv(a)

Forma implıcita : (Ec. (4.6)). De acuerdo con el lema 3, un vector normal a la superficie es gradF (a),luego la ecuacion del plano tangente a S en a es:

0 = 〈(x, y, z)− (a1, a2, a3),∇F (a)〉 = (x− a1)∂F

∂x(a) + (y − a2)

∂F

∂y(a) + (z − a3)

∂F

∂z(a)


(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ∇F (a)

Tambien se puede tomar el vector normal dado en la expresion (4.10).

Forma explıcita : (Ec. (4.5)). La ecuacion del plano tangente a graf f en (a, f(a)) es, como ya sabemos,

z − f(a) = (x− a1)∂f

∂x(a) + (y − a2)

∂f

∂y(a)


(x, y, z) = (a1, a2, f(a)) + λ(∇f(a),−1)

Tambien se obtienen tomando la funcion F (x, y, z) ≡ f(x, y) − z, definiendo S como su superficie denivel cero y empleando el metodo anterior.

Finalmente, tambien se puede tomar la parametrizacion y el vector normal dado en la expresion (4.9)y emplear el primer metodo.


4.3.4. Superficies orientadas

Dada una superficie, es intuitivo que, en un entorno de cada punto de la misma, se pueden distinguir doslados. Una manera de senalar uno de los lados es por medio de un vector en cada punto que sea perpendiculara la superficie y apunte en el sentido deseado. Esta es la idea que subyace en el siguiente concepto:

Definicion 69 Sea una superficie parametrizada regular σ:D ⊆ R2 → R3. Se denomina orientacion naturalde la superficie (respecto a la parametrizacion dada) a la aplicacion que asigna a cada punto σ(u, v) de la

curva el vector normal unitario n =Tu(u, v)×Tv(u, v)

‖Tu(u, v)×Tv(u, v)‖.

Una superficie dotada de una orientacion se dice que esta orientada.

Comentarios:

En general, orientar una superficie equivale a dar una funcion continua que asigna a cada punto de Sun vector tangente unitario n.

Observese que al dar un vector normal en cada punto de una superficie se estan distinguiendo dossentidos: el del vector y su opuesto, cada uno de los cuales corresponde a una de las orientaciones dela superficie. Por tanto, una superficie tiene, en un entorno de cada punto, solo dos orientaciones; estoes, dos lados.

La propiedad anterior es, en general, solo local, pues hay superficies que, al ser consideradas en sutotalidad, solo tienen una cara 20. Esto significa que, partiendo de un punto σ(u, v), donde se tiene unaorientacion dada por un vector normal unitario n, existe algun camino cerrado en S tal que, al desplazareste vector a lo largo del mismo, cuando se vuelve al punto de partida dicho vector ha cambiado su sentidoy coincide con −n; es decir se ha cambiado la orientacion.

Las superficies que, consideradas en su totalidad, tienen dos lados reciben el nombre de superficiesorientables, en contraposicion a las que solo tienen un lado que son las superficies no orientables Masprecisamente:

Definicion 70 Dada una superficie regular S, en general no es posible describirla enteramente por unaparametrizacion regular y es necesario hacerlo a trozos con varias de ellas. Entonces, se dice que S esorientable si existe una parametrizacion regular a trozos tal que las parametrizaciones de cada trozo definenla misma orientacion en cada punto. En caso contrario S es una superficie no orientable.

20 P. ej., la banda de Mobius.


Observacion:

Toda superficie simple es orientable.

4.3.5. Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos

Antes de abordar la nocion de “conectividad” en un conjunto, es necesario introducir el siguiente concepto:

Definicion 71 Sea A ⊆ Rn.

1. Sean c1, c2: [a, b] ⊂ R → A ⊂ Rn, con C1 = Im c1, C2 = Im c2, dos curvas simples continuas conextremos comunes (esto es, c1(a) = c2(a) ≡ p; c1(b) = c2(b) ≡ q). Una deformacion homotopica de lacurva C1 en la curva C2 en A es una funcion continua F: [a, b]× [0, 1] ⊂ R2 → A ⊆ Rn, tal que

a) F(t, 0) = c1(t), F(t, 1) = c2(t); ∀t ∈ [a, b].

b) Para todo s ∈ [0, 1], F(t, s) ≡ Fs(t) es una curva simple con extremos en p y q (esto es, F(a, s) ≡Fs(a) = p, F(b, s) ≡ Fs(b) = q).

En tal caso, se dice que las curvas C1 y C2 son homotopicas en A 21.

2. Una curva de Jordan c: [a, b] ⊂ R→ A ⊂ Rn, C = Im c, se dice que es contractil al punto p = c(a) =c(b) ∈ C si se puede deformar homotopicamente en A a la curva constante cp(t) = p ∈ A; esto es, siexiste una funcion continua F: [a, b]× [0, 1] ⊂ R2 → A ⊂ Rn, tal que

a) F(t, 0) = c(t) y F(t, 1) = p, ∀t ∈ [a, b].

b) Para cada s ∈ [0, 1], F(t, s) ≡ Fs(t) es una curva de Jordan con F(a, s) = F(b, s) = p.

Esta idea de deformacion continua se puede extender a superficies:

Definicion 72 Sea A ⊆ Rn. Sean σ1,σ2:D ⊂ R2 → Rn, con S1 = Imσ1, S2 = Imσ2, dos superficiessimples continuas tales que σ1(FrD) = σ1(FrD) = C. Un homeomorfismo en A entre las superficies S1 yS2 es una funcion continua F:D × [0, 1] ⊂ R3 → A ⊆ Rn, tal que:

1. F(u, v; 0) = σ1(u, v), F(u, v; 1) = σ2(u, v); ∀(u, v) ∈ D.

2. Para cada s ∈ [0, 1], F(u, v; s) ≡ Fs(u, v) es una superficie simple tal que Fs(FrD) = C.

Se dice que las superficies S1 y S2 son homeomorfas en A.

La idea de “conectividad” juega un papel importante en el desarrollo de algunos de los conceptos quevan a ser tratados a partir de ahora. Basicamente, hay dos maneras (no equivalentes) de pensar en laconectividad de un conjunto. La primera se basa en la conexion de puntos por medio de curvas simplesy quedo ya establecida en la definicin 26. La segunda nocion de conectividad utiliza curvas cerradas y seestablece en los siguientes terminos:

Definicion 73 Sea A ⊂ Rn (n ≥ 2).

1. A es un conjunto simplemente conexo si toda curva de Jordan C ⊂ A es contractil a un punto p ∈ A.

Equivalentemente, si cualesquiera dos curvas en A con extremos comunes son homotopicas en A.

2. A es un conjunto multiplemente conexo si es arco-conexo pero no simplemente conexo.

Observaciones:

En R2, un conjunto simplemente conexo es una region que no tiene agujeros.

21 F es una deformacion continua en A que transforma una en otra.


En R3, los conjuntos multiplemente conexos son topologicamente equivalentes a un toro (o a una coronacircular).

Ejemplos:

De regiones simplemente conexas: Bolas y rectangulos en Rn, R2 menos una semirecta, R3 −p1, . . . , pn.

De regiones multiplemente conexas: R2 − p1, . . . , pn, R3 menos una recta, R3 menos una curvacerrada.

Definicion 74 Dada una superficie S (definida en uno o varios de los sentidos dados en la definicion 62),S es una superficie arco-conexa (resp. simplemente conexa o multiplemente conexa) si S es un conjuntoarco-conexo (resp. simplemente conexo o multiplemente conexo).

Definicion 75 Sea A ⊂ Rn.

1. A es un conjunto estrellado si existe algun punto p ∈ A tal que, ∀x ∈ A, el segmento px ⊂ A.

2. A es un conjunto convexo si es estrellado respecto a todos sus puntos; esto es, ∀x, y ∈ A, el segmentoxy ⊂ A.

Comentario:

Si un conjunto es estrellado, es tambien simplemente conexo.

Capıtulo 5

Estudio local de funciones en Rn

Introduccion

El presente capıtulo esta dedicado a analizar aplicaciones de tipo analıtico de la diferenciabilidad defunciones de varias variables. En concreto, se va a estudiar primero el problema de la aproximacion local defunciones por medio de la generalizacion de la formula de Taylor para, a continuacion abordar el problemade la identificacion y calculo de extremos (y puntos crıticos) de funciones en diversos casos.

5.1. Formula de Taylor

5.1.1. Formula de Taylor. Expresion del resto.

Estamos ya en condiciones de generalizar la formula de Taylor para funciones de varias variables.

Teorema 20 (de Taylor): Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A tal que f es una funcion de clase Ck en un entornoabierto E(a). Si x ≡ a + h ∈ E(a) tal que el segmento ax ⊂ E(a), entonces

f(x) = f(a + h) = Pk(f ; a) +Rk(f ; a)

= f(a) +

n∑i=1

∂f

∂xi(a) (xi − ai) +

1

2!

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a) (xi − ai)(xj − aj) + . . .

+1

k!

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a) (xi1 − ai1) . . . (xik − aik) +Rk(f ; a)

= f(a) +

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi +

1

2!

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a)hihj + . . .+

1

k!

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)hi1 . . . hik

+Rk(f ; a)

donde Pk(f ; a) recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado k asociado a f en a y Rk(f ; a) es el restode Taylor de orden k que verifica que Rk(f ; a) = o(‖h‖k) cuando h→ 0.

Si, ademas, f es una funcion de clase Ck+1 en E(a), entonces

Rk(f ; a) =1

(k + 1)!

n∑i1,...,ik,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik∂xik+1

(ξ)hi1 . . . hikhik+1

donde ξ ∈ ax. Esta es la denominada expresion de Lagrange del resto.

( Dem. ) Se va a hacer directamente la demostracion de la formula de Taylor con la expresion de Lagrangedel resto.

73


Considerese la recta parametrizada c:R → Rn dada por c(t) = a + t(x − a) = a + th. Obviamentec([0, 1]) = ax ⊂ E(a). Sea la funcion F := f c:R→ R; es decir, F (t) := f(a + th), que es de clase Ck+1 y,aplicando la formula de Taylor para funciones de una variable en to = 0, con la expresion de Lagrange delresto, se tiene que

F (1) = F (0) +

k∑m=1

1

m!F (m)(0) +

1

(k + 1)!F (k+1)(tξ) ; tξ ∈ (0, 1) . (5.1)

Aplicando la regla de la cadena resulta

F ′(t) = Df(c(t)) c′(t) = 〈∇f(a + th),h〉 =

n∑i=1

∂f

∂xi(a + th)hi

y, en particular,

F ′(0) =

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi .

Derivando de nuevo,

F”(t) =

n∑i=1

hi D∂f

∂xi(c(t)) c′(t) =

n∑i=1

hi

⟨∇ ∂f

∂xi(a + th),h

⟩=

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a + th)hihj

y, en particular,

F”(0) =

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a)hihj .

Procediendo inductivamente se obtiene que, ∀ k ∈ N,

F (k)(0) =

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)hi1 . . . hik

F (k)(tξ) =

n∑i1,...,ik=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik∂xik+1

(a + tξh)hi1 . . . hikhik+1.

Como F (1) = f(a + h), denotando ξ = a + tξh y llevando todo esto a (5.1) queda

f(a + h) = f(a) +

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi + . . .+

1

k!

n∑i1,...,ik=1

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)hi1 . . . hik +

1

(k + 1)!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 . . . ∂xik+1

(ξ)hi1 . . . hik+1;

con ξ ∈ ax, si tξ ∈ (0, 1).

Notacion: Introduciendo la notacion

Dkh f(a) := Di1...ik f(a)hi1 . . . hik ≡

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)hi1 . . . hik ,

la formula de Taylor se escribe como

f(x) = f(a) +

n∑k=1

1

k!Dk

h f(a) +1

(n+ 1)!Dn+1

h f(ξ)hi1 . . . hin+1

Comentarios:

Observese que los coeficientes de los terminos de primer y segundo grado del polinomio de Taylor sonlos coeficientes de las matrices jacobiana y hessiana de f en a, respectivamente.

Los teoremas de acotacion del resto del caso de funciones de una variable se generalizan de manerainmediata a este caso general.


5.2. Extremos locales

5.2.1. Extremos libres. Puntos crıticos. Condicion necesaria de extremo

Como en el caso de una variable, se define:

Definicion 76 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A.

1. f tiene un mınimo local en a si, ∃Br(a) ⊂ A tal que f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ Br(a).

2. f tiene un maximo local en a si, ∃Br(a) ⊂ A tal que f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ Br(a).

En cualquier caso se dice que f tiene un extremo local en a. Si las desigualdades son estrictas, entonces sedenomina extremo local estricto (mınimo o maximo local estrictos respectivamente).

Una primera caracterizacion de los extremos locales viene dada por la siguiente condicion (necesaria):

Proposicion 52 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Si f tiene un extremo localen a entonces Df(a) = 0

( Dem. ) Si f tiene un extremo local en a entonces la funcion f restringida sobre cualquier recta c(t) = a+tv(que pase por a), esto es, cualquier curva (f c)(t) = f(a + tv) presenta necesariamente un extremo en elpunto t = 0. Entonces

0 = (f c)′(0) ≡ Dvf(a) (∀v)

es decir, todas las derivadas direccionales en a son nulas luego, en particular, lo son las derivadas parcialesen a y, por tanto, Df(a) = 0.

A tenor de este resultado se define:

Definicion 77 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. La funcion f tiene un puntocrıtico en a si Df(a) = 0

Ası pues, la proposicion precedente asegura que todo extremo local es un punto crıtico. Entonces:

Definicion 78 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. f tiene un punto de silla en asi a es un punto crıtico pero no es un extremo local de f .

Comentarios:

El nombre “punto de silla” se justifica porque puede demostrarse que, en un entorno del punto, existenregiones en las que la funcion toma indistintamente valores mayores y menores que f(a).

Ejemplo: f(x, y) ≡ x2 − y2 en (0, 0).

Los puntos de silla son el equivalente, en varias variables, de la nocion de punto de inflexion (contangencia horizontal) del caso de una variable.

5.2.2. Formas cuadraticas

Para abordar el estudio de las condiciones suficientes para la existencia de extremos locales de las funcionesde varias variables, es preciso efectuar un breve repaso sobre formas cuadraticas, ya que sus propiedades sonesenciales en este estudio.


Definicion 79 Sea E un espacio euclıdeo (real) n-dimensional, (e1, . . . , en) una base de E y A ∈ Mn(R)una matriz de orden n cuyos coeficientes referidos a esa base son A = (aij). Se denomina forma cuadraticaasociada a la matriz A a la aplicacion

A : E → R

x =

n∑i=1

xiei 7→ A(x) :=

n∑i=1

aijxixj

es decir,

A(x) = (x1 . . . xn )

a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

x1...xn

Definicion 80 Sea A una forma cuadratica.

1. A es definida positiva (resp. semidefinida positiva) si A(x) > 0 (resp. ≥ 0), ∀x 6= 0 1.

2. A es definida negativa (resp. semidefinida negativa) si A(x) < 0 (resp. ≤ 0), ∀x 6= 0.

3. A es indefinida en cualquier otro caso; es decir, si si A(x) > 0, para algun x ∈ E, y A(y) < 0, paraalgun y ∈ E.

Comentario:

Observese que si A es definida positiva, entonces −A es definida negativa y recıprocamente.

Las formas cuadraticas definidas se pueden caracterizar de la siguiente manera:

Proposicion 53 Sea A una forma cuadratica.

1. A es definida positiva si, y solo si, ∃λ ∈ R+ tal que, ∀x ∈ E, A(x) ≥ λ‖x‖2.

2. A es definida negativa si, y solo si, ∃λ ∈ R− tal que, ∀x ∈ E, A(x) ≤ λ‖x‖2.

A efectos de calculo, existen algunos criterios para discernir si una forma es definida o no y de que clase.

Proposicion 54 (Criterio de los valores propios:) Sea A una forma cuadratica, asociada a una matrizsimetrica A ∈Mn(R)

1. La c.n.s. para que A sea definida positiva es que todos los valores propios de A sean estrictamentepositivos.

2. La c.n.s. para que A sea semidefinida positiva es que exista algun valor propio de A nulo y todos losdemas sean estrictamente positivos.

3. La c.n.s. para que A sea definida negativa es que todos los valores propios de A sean estrictamentenegativos.

4. La c.n.s. para que A sea semidefinida negativa es que exista algun valor propio de A nulo y todos losdemas sean estrictamente negativos.

5. La c.n.s. para que A sea indefinida es que existan valores propios positivos y negativos.

Un criterio alternativo (aunque menos preciso) es el siguiente:

1 Observar que A(x) = 0 si x = 0.


Proposicion 55 (Criterio de Silvester:) Sea A una forma cuadratica, asociada a una matriz simetricaA ∈ Mn(R) (de orden n). Sean ∆i, i = 1, . . . , n, los sucesivos determinantes orlados o menores principalesde la matriz A 2:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

...an1 an2 . . . ann

; ∆1 = a11 , ∆2 = a11a22 − a12a21 , . . . , ∆n = |A|

1. La c.n.s. para que A sea definida positiva es que

∆i > 0 , ∀i

2. La c.n.s. para que A sea definida negativa es que

(−1)i∆i > 0 , ∀i

es decir, los signos de los determinantes orlados vayan alternandose de la siguiente manera:

∆2k−1 < 0 , ∆2k > 0 , (k ∈ N)

3. En el resto de los casos:

a) Si ∆n 6= 0, entonces A es indefinida.

b) Si, ∆n = 0, entonces A puede ser semidefinida o indefinida.

En particular, si ∆n = 0 y se cumple la condicion (1) (resp. (2)) para el resto de los menoresprincipales, entonces A es semidefinida positiva (resp., negativa).

Comentario: Para dim E = 2 ambos criterios son equivalente. Para dim E ≥ 3, el de los valores propioses mas general.

5.2.3. Condiciones suficientes de extremo

Analizaremos, a continuacion las posibles condiciones suficientes que permitan discernir si un punto crıticoes o no un extremo local. En primer lugar se introduce la siguiente nomenclatura:

Definicion 81 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es dos veces diferenciable en a. Se denomina Hessianade f en a a la forma cuadratica asociada a la matriz hessiana Hf(a), y se designa por Hf(a).

Cabe ahora interrogarse sobre cuando esta forma es definida (positiva o negativa) o no, y la relacion queeste hecho pueda tener con el comportamiento de la funcion en a. La respuesta la da el siguiente resultado:

Proposicion 56 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que f es de clase C2 en un entorno de a y a es un puntocrıtico de f .

1. Si Hf(a) es una forma definida positiva entonces f presenta un mınimo local (estricto) en a.

2. Si Hf(a) es una forma definida negativa entonces f presenta un maximo local (estricto) en a.

3. Si Hf(a) es una forma indefinida entonces f presenta un punto de silla en a.

4. Si Hf(a) es una forma semidefinida entonces no se puede afirmar nada sobre el caracter de a.

( Dem. )

2 Estos son los determinantes de las sucesivas submatrices cuadradas a lo largo de la diagonal de A.


1. Haciendo el desarrollo de Taylor de f en a hasta el segundo orden, teniendo en cuenta que a es puntocrıtico de f ⇐⇒ Df(a) = 0 ⇔ Jf(a) = 0 y que, de acuerdo con la proposicion 53, Hf(a)(h) ≥ λ‖h‖2,se tiene que

f(a + h) = f(a) + Jf(a) h +Hf(a)(h) +R2(h) ≥ f(a) +1

2λ‖h‖2 +R2(h) ,

de ahıf(a + h)− f(a)

‖h‖2>

1

2λ+

R2(h)

‖h‖2h→0−→ 1

2λ > 0 ,

luego, para h suficientemente pequeno, f(a+h) > f(a), por tanto f presenta un mınimo local (estricto)en a, de acuerdo con la definicion.

2. Igual que el caso anterior.

3. El razonamiento es similar al de los casos anteriores.

4. El razonamiento es similar al de los casos anteriores.

El siguiente resultado da un metodo operativo para identificar el caracter de los puntos crıticos. Sudemostracion se basa (en parte) en la aplicacion de las proposiciones anterior y en la 54.

Proposicion 57 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto crıtico de f , tal que f es de clase C2 en un entornode a. Sea Hf(a) la matriz hessiana de f en a.

1. Si todos los valores propios de Hf(a) son estrictamente positivos entonces f presenta un mınimo localestricto en a.

2. Si todos los valores propios de Hf(a) son estrictamente negativos entonces f presenta un maximo localestricto en a.


a) Si hay valores propios de Hf(a) positivos y otros negativos, entonces f presenta un punto de sillaen a.

b) En los demas casos (hay valores propios nulos y positivos o nulos y negativos) no se puede afirmarnada sobre el caracter de a.

Tambien, de la proposicion 55 se obtiene el siguiente criterio:

Proposicion 58 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto crıtico de f , tal que f es de clase C2 en un entornode a. Sean ∆i los determinantes orlados de Hf(a).

1. Si ∆i > 0, ∀i, entonces f presenta un mınimo local estricto en a.

2. Si (−1)i∆i > 0, ∀i, entonces f presenta un maximo local estricto en a.


a) Si ∆n 6= 0, entonces f presenta en a punto de silla.

b) Si ∆n = 0 no se puede afirmar nada sobre el caracter de a.

Caso particular: funciones de dos variables

Dado que es el caso con el que nos encontraremos mas frecuentemente a lo largo del curso, vamos aespecificar alguno de los resultados anteriores para funciones de dos variables.

Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto crıtico de f , tal que f es de clase C2 en un entorno de a. Sean ∆i

(i = 1, 2) los determinantes orlados de Hf(a); es decir,

∆1 =∂2f

∂x2(a) , ∆2 =

∂2f

∂x2(a)

∂2f

∂y2(a)−

(∂2f

∂y∂x(a)

)2

Los casos posibles son los siguientes:


1. ∆2 > 0

∆1 > 0 f presenta en a un mınimo local. (Ej.: f(x, y) = x2 + y2 en (0, 0)).∆1 < 0 f presenta en a un maximo local. (Ej.: f(x, y) = −(x2 + y2) en (0, 0)).

∆1 = 0 No es posible pues implicarıa que ∆2 = −(∂2f

∂y∂x(a)

)2

.

2. ∆2 < 0

∆1 > 0 f presenta en a un punto de silla. (Ej.: f(x, y) = x2 − y2 en (0, 0)).∆1 < 0 f presenta en a un punto de silla. (Ej.: f(x, y) = −x2 + y2 en (0, 0)).∆1 = 0 f presenta en a un punto de silla. (Ej.: f(x, y) = y2 + 2xy en (0, 0)).

3. ∆2 = 0 En general, no se puede asegurar nada y hay que hacer un estudio aparte. (Ej.: f(x, y) =(y − 3x2)(y − x2) en (0, 0)).

Ejemplo: f(x, y) = 1− x2.∂f

∂x= 2x = 0 ⇔ x = 0

∂f

∂y= 0

=⇒ Ptos. crıticos (0, y0)

Pero f(0, y0) = 1 mientras que ∀(x, y) ∈ Br(0, y0), f(x, y) = 1−x2 ≤ 0 = f(0, y0), luego (0, y0) son maximosno estrictos, de acuerdo con la definicion.

5.2.4. Extremos condicionados

En las dos siguientes secciones se analiza un problema menos general que el planteado anteriormente.Si antes se trataba de localizar los extremos locales de una funcion en todo su dominio, ahora se trata dehallar los extremos de la funcion sobre una subvariedad (regular) de Rn en el dominio. Este problema tienemultiples aplicaciones fısicas y geometricas.

Definicion 82 Sea f :A ⊆ Rn → R, M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional de clase Ck (r < n,m = n− r, k ≥ 1) y a ∈ A ∩M .

1. f tiene en a un mınimo local condicionado sobre la subvariedad M (estricto) si ∃Bδ(a) ⊂ A tal que,∀x ∈ Bδ(a) ∩M , se tiene que f(x) ≥ f(a) (f(x) > f(a)).

2. f tiene en a un maximo local condicionado sobre la subvariedad M (estricto) si ∃Bδ(a) ⊂ A tal que,∀x ∈ Bδ(a) ∩M , se tiene que f(x) ≤ f(a) (f(x) < f(a)).

En cualquier caso se dice que f tiene en a un extremo local condicionado sobre la subvariedad M .

Comentarios:

Si M esta localmente definida implıcitamente por una funcion g:A ⊂ Rn → Rm, con g = (g1, . . . , gm)y m = n− r; entonces las relaciones g1(x) = . . . = gm(x) = 0 se denominan condiciones o ligaduras yM es la interseccion de los correspondientes conjuntos de nivel de las funciones componentes gi.

Los extremos libres de una funcion no son necesariamente extremos condicionados, ni recıprocamente.No obstante:

Proposicion 59 Sean f :A ⊆ Rn −→ R, M ⊂ Rn una subvariedad regular y σ:D ⊂ Rr → M ⊂ Rn unaparametrizacion regular de M . Si σ(to) = a, entonces a ∈ A ∩M es un extremo local de f condicionado aM si, y solo si, to es un extremo local de f σ.

( Dem. ) Es consecuencia directa de la definicion de extremo condicionado.

Ası pues, teniendo en cuenta este resultado, para determinar los extremos condicionados de una funcionla manera mas directa consistirıa en restringir la funcion dada sobre los puntos de M .


5.2.5. Metodo de los multiplicadores de Lagrange (condicion necesaria de ex-tremo condicionado)

Para solventar el problema que se acaba de senalar, existe un procedimiento alternativo conocido comometodo de los multiplicadores de Lagrange, el cual se basa en la aplicacion de los siguientes resultados:

Lema 4 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable (de clase Ck), M ⊂ Rn una subvariedad regularr-dimensional de clase Ck (r < n, m = n− r, k ≥ 1). Si a ∈M ∩A es un extremo local de f condicionadoa M , entonces ∇f(a) es un vector ortogonal a M en a; es decir, ∇f(a) ∈ TaM

⊥.

( Dem. ) Si f tiene en a un extremo condicionado a M entonces, para cualquier curva parametrizada(regular) c: I ⊆ R→M ⊂ Rn, con a = c(to), la funcion f c: I ⊆ R→ R, tiene necesariamente un extremolocal en to y, por tanto, (f c)′(to) = 0, luego

(f c)′(to) = Df(c(to)) c′(to) = 〈∇f(a), c′(to)〉 = 0 ,

luego ∇f(a) es ortogonal a todos los vectores tangentes a M en a y, por consiguiente, es ortogonal a M .

Teorema 21 (de Lagrange): Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable (de clase Ck) y M ⊂ Rn unasubvariedad regular r-dimensional de clase Ck (r < n, m = n − r, k ≥ 1), definida en forma implıcitapor medio de una funcion g = (g1, . . . , gm):A ⊆ Rn → Rm, y a ∈ A ∩M . Si f presenta en a un extremocondicionado a M , entonces ∃λ1, . . . , λm ∈ R tales que

∇f(a) = λ1∇g1(a) + . . .+ λm∇gm(a) ,

o, lo que es equivalente,D(f − λ1g1 − . . .− λmgm)(a) = 0 .

Los coeficientes λ1, . . . , λm se denominan multiplicadores de Lagrange.

( Dem. ) Por el lema 3, los vectores ∇g1(a), . . . ,∇gm(a) forman una base del espacio TaM⊥. Pero, segun

el lema precedente, ∇f(a) ∈ TaM⊥ y, por consiguiente, ha de ser una combinacion lineal de los anteriores.

Comentario: El metodo de los multiplicadores de Lagrange consiste, por consiguiente, en hallar los puntosx ≡ (x1, . . . , xn) que sean solucion del siguiente sistema de n + m ecuaciones (con n + m incognitas: las ncoordenadas xi y los m multiplicadores λj),

g1(x) = 0 . . . gm(x) = 0 (m ecuaciones)

∇f(x) = λ1∇g1(x) + . . .+ λm∇gm(x) (n ecuaciones) .

Este sistema se obtiene de forma equivalente definiendo la funcion de n+m variables 3

h(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) ≡ f(x1, . . . , xn)−m∑j=1

λjgj(x1, . . . , xn) ,

e imponiendo queDh(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = 0 .

Ası pues, el teorema de Lagrange equivale a buscar los puntos crıticos de esta funcion h.

Sobre este sistema se pueden hacer los siguientes comentarios:

El sistema puede ser incompatible:

• Por no ser compatibles las ligaduras; esto es, no definen una region en A (el problema esta malplanteado).

Ejemplo: g1(x, y, z) ≡ x2 + y2 − z = 0; g2(x, y, z) ≡ 1 + z = 0.

3 Que, a veces, se denomina lagrangiana.


• Por no tener la funcion f extremos condicionados a las ligaduras dadas (esto es, la funcion res-tringida sobre las ligaduras es creciente o decreciente en sentido estricto).

Ejemplo: f(x, y) ≡ x2y; g(x, y) ≡ 1− xy = 0.

Parametrizacion de la ligadura: c(t) = (t, 1/t)

Funcion restringida: (f c)(t) = t.

El sistema puede ser indeterminado.

Ejemplo: Si la condicion fuera una superficie de nivel de la propia funcion f entonces ∇f(x) = ∇g(x),∀x, con lo que las n ultimas ecuaciones del sistema anterior serıan identidades y todos los puntos quesatisfacieran la ligadura serıan solucion (la funcion f es constante sobre todos ellos).

Ejemplo: f(x, y) ≡ x2 − y2; g(x, y) ≡ x+ y = 0.

Se tiene que ∇f(x, y) = (2x,−2y), ∇g(x, y) = (1, 1); y la igualdad ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) se traduce enel sistema

2x = λ , −2y = λ

que se satisface automaticamente en todos los puntos que cumplen la ligadura (y = −x, por lo quetodos ellos son solucion.

Comentarios:

En el caso en que solo haya una ligadura g(x) = 0, la interpretacion geometrica del teorema de Lagrangees que las superficies de nivel de f y g son tangentes en los puntos extremos condicionados.

Un caso especial a resenar es cuando, en la resolucion del problema, se obtiene que λ1 = . . . = λm = 0.Entonces ∇f(a) = 0, lo cual significa que la funcion tiene un punto crıtico en a independientementede las condiciones. En tal caso se analiza si es un extremo (libre) usando el metodo descrito en lassecciones previas y, si lo es, tambien es un extremo condicionado.

Ejemplo: f(x, y) = x2 + y2 + 1; g(x, y) ≡ y = 0.

La solucion del sistema da λ = 0 y (x, y) = (0, 0), que es un punto crıtico de f (pues D(0,0)f = (0, 0))y corresponde a un mınimo local (como pone de manifiesto el analisis de la hessiana de f en dichopunto).

5.2.6. Condicion suficiente de extremo condicionado

El teorema de Lagrange solo da una condicion necesaria para la existencia de extremos condicionados;por tanto, una vez resuelto el sistema hay que hacer un analisis para ver si los puntos hallados son realmenteextremos de la funcion restringida 4. Existen metodos analıticos que resuelven este problema; en particular:

Theorem 1 Sea f :A ⊆ Rn → R, M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional de clase Ck (k ≥ 2),definida en forma implıcita por medio de una funcion g:A ⊆ Rn → R, y sea a ∈ A ∩M tal que ∃λ ∈ R

verificando que ∇f(a) =

n∑=1

λi∇gi(a). Considerese la funcion

F (x1, . . . , xn) := f(x1, . . . , xn)

n∑=1

λi gi(x1, . . . , xn)

y la forma cuadratica asociada a su matriz hessiana en (a), que se denota HF (a).

1. Si HF (a) es definida positiva en TaM (es decir, HF (a)(h > 0, ∀h ∈ TaM), entonces f tiene en aun mınimo local condicionado a M .

2. Si HF (a) es definida negativa en TaM (es decir, HF (a)(h > 0, ∀h ∈ TaM), entonces f tiene en aun mınimo local condicionado a M .

4 En particular, si por algun razonamiento previo (de tipo geometrico, por ejemplo) se concluye que ha de haber un numerodado de extremos condicionados y por el metodo de Lagrange se obtiene el mismo numero de puntos candidatos, entonces estosson necesariamente los extremos condicionados buscados.


( Dem. ) Vease J.M. Mazon: Calculo Diferencial, pag. 129.

Tambien enunciamos (sin demostracion) este otro criterio:

Proposicion 60 Sea f :A ⊆ Rn → R, M ⊂ Rn una subvariedad regular r-dimensional de clase Ck (k ≥ 2),definida en forma implıcita por medio de una funcion g:A ⊆ Rn → R, y sea a ∈ A ∩M tal que ∃λ ∈ R

verificando que ∇f(a) =

n∑=1

λi∇gi(a). Considerese la matriz hessiana para la funcion

h(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) := f(x1, . . . , xn)

n∑=1

yi gi(x1, . . . , xn)

en el punto (a,λ) = (x1, . . . , xn;λ1, . . . , λm), que es 5 (0)m×m −Jg(a)

−Jg(a)T(

∂2h

∂xi∂xj(a,λ)

) .

y sus determinantes orlados principales de orden ≥ 3, ∆3, . . . ,∆n. Entonces:

1. Si ∆1 < 0, ∀i = 3, . . . , n; entonces f tiene en a un mınimo local condicionado a M .

2. Si (−1)i∆i < 0, ∀i = 3, . . . , n; entonces f tiene en a un maximo local condicionado a M .

3. Si no se da ninguno de los dos casos anteriores, pero ∆i 6= 0, ∀i = 3, . . . , n; entonces f tiene en a unpunto de silla (condicionado a M).

4. En el resto de los casos no se puede concluir nada sobre la naturaleza de a.

(Revisar este enunciado)

5.2.7. Extremos absolutos de una funcion continua en un compacto

Definicion 83 Sea f :A ⊆ Rn −→ R.

1. f tiene en a ∈ A un maximo absoluto si f(a) ≥ f(x), ∀x ∈ A.

2. f tiene en a ∈ A un mınimo absoluto si f(a) ≤ f(x), ∀x ∈ A.

En ambos casos se dice que f tiene en a un extremo absoluto (estrico si las desigualdades son estrictas).

El ultimo problema que se va a considerar se plantea en los siguientes terminos:

Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion continua y K ⊂ A un compacto. De acuerdo con el teorema de Bolzano-Weierstrass, f alcanza en K valores maximo y mınimo absolutos. Se trata de determinar los puntos de Kdonde esto sucede.

Para resolverlo, asumiremos las siguientes hipotesis adicionales:

1. f es diferenciable (de clase Ck) en K.

5 (p. ej.; para el caso de una sola ligadura es0 −

∂g

∂x1(a, λ) −

∂g

∂x2(a, λ) . . . −

∂g

∂xn(a, λ)

−∂g

∂x1(a, λ)

∂2h

∂x21(a, λ)

∂2h

∂x2∂x1(a, λ) . . .

∂2h

∂xn∂x1(a, λ)

......

......

−∂g

∂xn(a, λ)

∂2h

∂x1∂xn(a, λ)

∂2h

∂x2∂xn(a, λ) . . .

∂2h

∂x2n(a, λ)

.


2. K es un conjunto compacto cuya frontera es la union de un numero finito de subvariedades regularesde Rn (curvas, superficies,hipersuperficies) y, eventualmente, de vertices.

En tal caso el procedimiento consiste en:

1. Determinar los puntos crıticos de f en IntK.

2. Determinar los (candidatos a) extremos condicionados de f en cada elemento regular de la frontera,que es un problema de extremos condicionados.

3. Determinar los valores que toma f en cada uno de los puntos obtenidos y en los vertices, si los hubiere,y a partir de ahı obtener los extremos absolutos.

Los casos concretos que nos van a interesar son:

f :A ⊆ R2 → R; K ⊂ A.

Con las hipotesis asumidas, FrK esta formada por un numero finito de arcos de curvas diferenciablesque intersectan en un numero finito de vertices.

En este caso, el segundo punto del procedimiento se traduce en un problema de extremos condicionadoscon una sola ligadura, para cada arco de curva.

f :A ⊆ R3 → R; K ⊂ A.

Con las hipotesis asumidas, FrK esta formada por un numero finito de superficies diferenciables queintersectan en un numero finito de arcos de curvas diferenciables que, a su vez, intersectan en unnumero finito de vertices.

En este caso, el segundo punto del procedimiento se desglosa en dos partes:

1. Un problema de extremos condicionados con una sola ligadura para cada superficie.

2. Un problema de extremos condicionados con dos ligaduras para cada arco de curva.

Capıtulo 6

Integral de funciones escalares en Rn

Introduccion

En este capıtulo se va a generalizar el concepto de integral, ya conocido para funciones de una variable,al caso de funciones de varias variables (reales); esto es, el concepto de integral multiple.

Asi como en una variable la integral de una funcion en un intervalo se interpreta como el area de laregion del plano R2 entre la grafica de la funcion y el intervalo, para funciones de varias variables se puedehacer una interpretacion analoga y ası, las integrales dobles (es decir, de funciones escalares de dos variables)daran el volumen de una region de R3 entre la grafica de la funcion y la region de R2 donde se integra.Esta interpretacion puede extrapolarse a integrales multiples en general (esto es, de funciones de un numeroarbitrario de variables).

De las tres aproximaciones existentes al concepto de integral, Cauchy, Riemann, y Lebesgue, estudiaremosla segunda (Riemann), aunque debe advertirse que la teorıa mas completa al respecto es la de Lebesgue.

El proceso a seguir va a ser el siguiente: se comenzara introduciendo la nocion de integral multiplesobre un rectangulo, para despues considerar otros dominios de integracion mas generales. Seguidamentese enunciaran y discutiran las propiedades mas importantes de la integracion multiple y se contemplara lageneralizacion del concepto de integral impropia en este contexto. En todo momento se prestara especialatencion al caso de las integrales dobles, por ser las que permiten dar ideas mas intuitivas y las que mas sevan a utilizar. Por descontado, todas las funciones con las que se trabajara son escalares.

6.1. Concepto de integral multiple

6.1.1. Integral multiple en un rectangulo

Para acceder al concepto de integral multiple en un rectangulo se sigue un proceso que es la generalizaciondel correspondiente al caso de una variable.

Definicion 84 Sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado. Se denomina volumen, area o medida de N al productode las longitudes de sus lados: v(N) :=

∏i(bi − ai).

Comentario:

La medida en R es, obviamente, la longitud del correspondiente intervalo, mientras que en R2 es elarea del rectangulo en cuestion.

Definicion 85 Sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado.

1. Se denomina particion P de N al producto cartesiano de particiones de los lados del rectangulo; esdecir, P = P1 × . . .× Pn, donde Pi es una particion del intervalo [ai, bi] ⊂ R.

84


Como consecuencia, una particion P de un rectangulo N define un conjunto de (sub)rectangulos Njtal que N = ∪jNj y

Ni ∩

Nj = Ø, ∀i, j.

2. Se denomina diametro de la particion P a δP := max d((aj1, . . . , ajn), (bj1, . . . , bjn)),∀j; esto es, ala longitud de la mayor de las diagonales de todos sus (sub)rectangulos Nj.

3. Una particion P = P1× . . .×Pn es regular si todas las particiones Pi de los intervalos [ai, bi] tienen elmismo numero m de puntos (o subintervalos) y en cada particion Pi las longitudes de los subintervalos

son igualesbi − aim

(por tanto, todos los subrectangulos de la particion son iguales).

4. Dadas dos particiones P y P ′ de N , se dice que P es mas fina que P ′ (o que P ′ es mas gruesa que P)si P ′ ⊆ P; es decir, si todo (sub)rectangulo de P ′ es union de (sub)rectangulos de P.

Observese que, si P es mas fina que P ′, entonces δP ≤ δP′ .Tambien es evidente que, dadas dos particiones, siempre hay otra que es mas fina que ambas (p. ej., la

que se obiene al hacer la union de ellas, P ∪P ′), de la cual se dice que es un refinamiento de las anteriores.

Figura 6.1: Particion de Q en subrectangulos.

En adelante, sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado, P una particion y f :N → R una funcion acotada en N .Evidentemente, f esta acotada en cada uno de los rectangulos de la particion; por tanto se pueden definir

mj = inff(x), ∀x ∈ Nj ; Mj = supf(x), ∀x ∈ Nj .

Definicion 86 Se denominan suma inferior y suma superior de f en N referidas a la particion P a

s(f,P) :=∑Nj∈P

mjv(Nj) ; S(f,P) :=∑Nj∈P

Mjv(Nj) .

Proposicion 61 1. Para cualquier particion P de N , si m = minf(x), ∀x ∈ N y M = maxf(x), ∀x ∈N, entonces

mv(N) ≤ s(f,P) ≤ S(f,P) ≤Mv(N) .

2. Si P y P ′ son particiones de N y P es mas fina que P ′, entonces:

s(f,P ′) ≤ s(f,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P ′).

3. Si P y P ′ son particiones cualesquiera de N , entonces

s(f,P) ≤ S(f,P ′).

(es decir, cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, independientementede la particion que se tome).

(Dem.)

1. Para cualquier particion P de N se tiene que m ≤ mj ≤ Mj ≤ M , para todo j, con lo que al serv(N) = v(Nj) resulta que

mv(N) = m∑j

v(Nj) ≤∑j

mjv(Nj) ≤∑j

Mjv(Nj) ≤M∑j

v(Nj) = Mv(N) ,

y de ahı el resultado.


2. Para la primera desigualdad se tiene que si P es mas fina que P ′, todo subrectangulo N ′j de P ′ esuna union N ′j = Nj1 ∪ . . . ∪ Njh de subrectangulos de P. Sean m′j = inff(x), ∀x ∈ N ′j y mjk =inff(x), ∀x ∈ Njk, 1 ≤ k ≤ h; entonces m′j ≤ mjk ya que Njk ⊆ Nj y, por tanto,

s(f,P)− s(f,P ′) =∑jk

mjkv(Njk)−∑j

m′jv(N ′j) =∑jk

(mjk −m′j)v(Njk) ≥ 0

y de ahı el resultado. La segunda desigualdad se razona de modo analogo.

3. Para cualquier par de particiones P y P ′, la particion P ∪P ′ es un refinamiento de ambas, por lo queaplicando los resultados anteriores se obtiene

s(f,P) ≤ s(f,P ∪ P ′) ≤ S(f,P ∪ P ′) ≤ S(f,P ′) .

Figura 6.2: Infimo y supremo de f en Ni.

Ası pues, consideradas todas las posibles particiones de un rectangulo, el conjunto de las sumas superiorese inferiores esta acotado: una cota inferior (el ınfimo) es la suma inferior correspondiente a la particion trivial(el propio rectangulo), que es mv(N), mientras que una cota superior (el supremo) es la suma superior enesta misma particion, Mv(N). Entonces, el conjunto de las sumas inferiores y el de las sumas superiorestambien estan acotados, luego tienen supremo e ınfimo respectivamente. Ello permite definir:

Definicion 87 Se denominan integral inferior e integral superior de f en N al supremo de las sumasinferiores y al ınfimo de las sumas superiore de f en N , respectivamente:∫

N

f := sups(f,P), ∀P ;

∫N

f := infS(f,P), ∀P .

Se prueba facilmente (por reduccion al absurdo) que la integral inferior es menor o igual que la superior.

Definicion 88 f es integrable (en el sentido de Riemann) en N si las integrales superior e inferior de fen N son iguales: ∫

N

f =

∫N

f := I ≡∫N

f .

En tal caso, el numero real I se denomina integral (de Riemann) de f en N .

Notacion:


Para las integrales dobles, triples, etc., se emplea habitualmente la siguiente notacion:∫ ∫N

f ,

∫ ∫ ∫N

f ,

o tambien (Leibnitz) ∫ ∫N

f(x, y)dxdy ,

∫ ∫ ∫N

f(x, y, z)dxdydz .

Como consecuencia de la definicion, se tiene la siguiente c.n.s. de integrabilidad:

Teorema 22 Sea N ⊂ Rn y f :N → Rn acotada. La c.n.s. para que f sea integrable en N es que, ∀ε ∈ R+,exista alguna particion P tal que S(f,P)− s(F,P) < ε.

(Dem.) (=⇒) Si f es integrable en N entonces

∫N

f =

∫N

f =

∫N

f . Dado ε ∈ R+, por definicion de

supremo e ınfimo se tiene que existe alguna particion P tal que∫N

f − s(f,P) <ε

2, S(f,P)−

∫N

f <ε

2

de donde, sumando ambas desigualdades, S(f,P)− s(F,P) < ε.

(⇐=) (Contrarecıproco). Si f no es integrable en N entonces

∫N

f −∫N

f = d > 0 y, para toda

particion P, se tiene

S(f,P)− s(F,P) ≥∫N

f −∫N

f = d ;

luego para ε = d no se cumple la condicion.

Corolario 9 Sea N ⊂ Rn y f :N → Rn acotada y sea Pnn∈N una sucesion de particiones de N cuyosdiametros cumplen que lım

n→∞δPn = 0. Entonces f es integrable en N si, y solo si, para las correspondientes

sucesiones de sumas superiores e inferiores se verifica que

lımn→∞

S(f,Pn)− s(f,Pn) = 0 .

En tal caso se tiene que ∫N

f = lımn→∞

S(f,Pn) = lımn→∞

s(f,Pn) .

(Dem.) Inmediata a partir del anterior teorema.

A la misma nocion de integral se llega usando la generalizacion del concepto de suma de Riemann parafunciones de varias variables en un rectangulo, en vez de los de suma superior e inferior aquı empleados. Ası:

Definicion 89 Sea N ⊂ Rn y f :N → Rn acotada. Si P es una particion de N formada por subrectangulosNj, una familia de puntos intermedios es un conjunto de puntos x ≡ xj tales que xj ∈ Nj. Entonces sedenomina suma de Riemann de f en N referida a la particion P y a la familia x al numero

R(f,P,x) :=∑j

f(xj)v(Nj) .

Obviamente, para una particion dada, el valor de la suma de Riemann esta comprendido entre los de lasuma inferior y la superior para la misma particion. Entonces, teniendo esto en cuenta, del corolario 9 seobtiene inmediatamente que


Teorema 23 Sea N ⊂ Rn y f :N → Rn acotada y sea Pnn∈N una sucesion de particiones de N cuyosdiametros cumplen que lım

n→∞δPn = 0. Entonces f es integrable en N si, y solo si, la correspondiente sucesion

de sumas de Riemann R(f,Pn,xn) es convergente, independientemente de las familias xn elegidas. En talcaso, ∫

N

f = lımn→∞

R(f,Pn,xn) .

Finalmente, las siguientes propiedades se obtienen de forma casi inmediata a partir de las definiciones previas(se enuncian sin demostracion, ya que la prueba es como en el caso de una variable):

Proposicion 62 Sea N ⊂ Rn un rectangulo.

1. (Linealidad). Si f y g son funciones integrables en N y µ, λ ∈ R, entonces µf ±λg es integrable en N :∫N

µf ± λg = µ

∫N

f ± λ∫N

g .

2. (Monotonıa). Si f(x) ≥ 0, ∀x ∈ N , y f es integrable en N entonces∫N

f ≥ 0 .

3. (Monotonıa). Si f y g son funciones integrables en N y f ≤ g en N entonces∫A

f ≤∫A

g .

4. (Valor absoluto). Si f es integrable en N , entonces | f | es integrable en N y∣∣∣ ∫N

f∣∣∣ ≤ ∫

N

| f | .

6.1.2. Medida y contenido cero

Para abordar la generalizacion del concepto de integral multiple a regiones mas generales, es necesariointroducir ciertas nociones previas.

Definicion 90 Un conjunto A ⊂ Rn tiene medida cero si, ∀ε ∈ R+, existe un recubrimiento numerable por

rectangulos cerrados, Ni, tal que

∞∑i=1

v(Ni) < ε

Comentarios:

En la definicion pueden sustituirse los intervalos cerrados por abiertos.

Es evidente que si un conjunto A tiene medida cero, entonces cualquier subconjunto B ⊂ A tambientiene medida cero.

Es tambien obvio que la union finita de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

Si la union es de un numero infinito se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 63 La union de un numero infinito numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.


(Dem.) Si A = ∪∞i=1Ai , como cada Ai tiene medida cero, se pueden tomar recubrimientos

N1j de A1 con∑j v(N1j ) < ε/2

N2j de A2 con∑j v(N2j ) < ε/22

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Nij de Ai con

∑j v(Nij ) < ε/2i

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

con lo que v(A) =∑i

v(Ai) <∑i

ε/2i = ε

Ejemplos:

Un punto tiene medida cero.

Todo conjunto con un numero finito de puntos tiene medida cero.

Todo conjunto con un numero infinito pero numerable de puntos tiene medida cero.

Como casos particulares, en R, el conjunto de los numeros racionales Q tiene medida cero y, porconsiguiente, tambien el de los enteros Z y los naturales N.

Definicion 91 Sea un conjunto A ⊂ Rn. A tiene contenido cero si, ∀ε ∈ R+, existe un recubrimiento finito

por rectangulos cerrados, Nii=1,...,n, tal que

n∑i=1

v(Ni) < ε

Comentarios:

En la definicion pueden sustituirse los intervalos cerrados por abiertos.

Es evidente que si un conjunto A tiene contenido cero, entonces cualquier subconjunto B ⊂ A tambientiene contenido cero.

Un segmento de recta en R (es decir, [a, b] ⊂ R) no tiene contenido cero ni medida cero (ya quev([a, b]) = b− a). Sı lo tiene cuando se considera como subconjunto de Rn (n > 1).

Todo conjunto con un numero finito de puntos tiene contenido cero.

Obviamente, si A tiene contenido cero, entonces tiene medida cero. El recıproco no es cierto, en general(p. ej., Q en R). Sin embargo:

Proposicion 64 Si A es compacto y tiene medida cero entonces tiene contenido cero.

(Dem.) Inmediato teniendo en cuenta que si un conjunto es compacto, de todo recubrimiento del mismo sepuede extraer un recubrimiento finito.

Proposicion 65 La grafica de toda funcion continua en un rectangulo cerrado N ⊂ Rn tiene contenido ceroen Rn+1 (y, por tanto, medida cero).

(Dem.) En efecto, f es continua en N y, al ser N compacto, f es uniformemente continua en N , luego si

∀ε ∈ R+ se toma ε′ =ε

v(N), entonces ∃δ ∈ R+ tal que, si d(x1, x2) < δ, para x1, x2 ∈ N , se tiene que

| f(x1)− f(x2) |< ε′ =ε

v(N). (6.1)

Si se toma un recubrimiento finito de N por rectangulos cerrados Nj tales que el diametro de cada

rectangulo es δNj < δ y∑j

v(Nj) = v(N) (para lo cual basta con tomar una particion finita P de N con

δP < δ), entonces, ∀x1, x2 ∈ Nj , se cumple (6.1) y, por tanto, graf(f |Nj ) esta contenida en un rectangulo

Nj ⊂ Rn+1 cuya medida es v(Nj) = ε′v(Nj); luego la medida de graf(f |N ) es

v(graf(f |N )) < v(∪jNj) =∑j

ε′v(Nj) = ε′∑j

v(Nj) = ε′v(N) = ε ,

luego N tiene contenido cero.


Figura 6.3: Grafica de contenido nulo en R2.

6.1.3. Condiciones de integrabilidad. Funciones integrables en un rectangulo

El resultado fundamental es el siguiente:

Teorema 24 (Lebesgue) Sea N ⊂ Rn un rectangulo cerrado, f :N → R una funcion acotada en N y C ⊂ Nel conjunto de puntos de discontinuidad de f en N . Entonces f es integrable en N si, y solo si, C tienemedida cero.

La demostracion de este teorema requiere la introduccion de un nuevo concepto y la de algunos resultadosprevios.

Definicion 92 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion acotada, p ∈ A y δ ∈ R+. Se definen el mınimo de f en ppara δ y el maximo de f en p para δ respectivamente como

mδ(f, p) ≡ mBδ(p)(f) := inf f(x) ; x ∈ A ∩Bδ(p) = inf f(x) ; x ∈ A, ‖x− p‖ < δMδ(f, p) ≡MBδ(p)(f) := sup f(x) ; x ∈ A ∩Bδ(p) = sup f(x) ; x ∈ A, ‖x− p‖ < δ .

Entonces, la oscilacion de la funcion en p es

o(f, p) := lımδ→o

[Mδ(f, p)−mδ(f, p)] .

Proposicion 66 La funcion acotada f :A ⊆ Rn → R es continua en p ∈ A si, y solo si, o(f, p) = 0 1.

(Dem.) (=⇒) Si f es continua en a, dado ε ∈ R+, ∃δ ∈ R+ tal que, si ‖x−p‖ < δ, entonces | f(x)−f(p) |<ε, con lo que Mδ(f, p)−mδ(f, p) ≤ 2ε y, como esto es valido para todo ε se concluye que o(f, p) = 0.

(⇐=) Dado ε ∈ R+, ∃δ ∈ R+ tal que Mδ(f, p)−mδ(f, p) ≤ ε; entonces, ∀x ∈ Bδ(p) ∩A se tiene que| f(x)− f(p) |≤Mδ(f, p)−mδ(f, p) < ε, luego f es continua en p.

Lema 5 Si A es compacto y f :A ⊆ Rn → R es una funcion acotada, entonces, ∀ε ∈ R+, el conjuntoCε = x ∈ A | o(f, x) ≥ ε es cerrado y, por tanto, compacto.

(Dem.) Se demostrara que Rn − Cε es abierto. Si x ∈ Rn − Cε entonces o(f, x) < ε y hay dos opciones:

Si x 6∈ A =⇒ x ∈ Rn−A, que es abierto, luego existe un entorno V de x tal que V ⊂ Rn−A ⊂ Rn−Cε,

luego x ∈︷︸︸︷

Rn − Cε.1 En el caso de tener la funcion una discontinuidad de primera especie en p, la oscilacion coincide con el valor del “salto”.


Si x ∈ A, se tiene, ademas, que o(f, x) < ε. Supongase que todo entorno de x intersecta a Cε;considerando la sucesion de entornos B 1

n(x)n∈N y tomando un punto en cada uno de ellos que

pertenezca a Cε, xn ∈ B 1n

(x)∩ Cε, se tiene una sucesion xn con lımn→∞

xn = x y, asociada a esta, la

sucesion o(f, xn) con o(f, xn) ≥ ε, ∀n ∈ N. Entonces, ∀δ ∈ Rn, ∃1/n < δ tal que B 1n

(x) ⊂ Bδ(x) y

B 1n

(xn) ⊂ Bδ(x); con lo cual se tiene que

MBδ(x)(f)−mBδ(x)(f) ≥MB 1n

(xn)(f)−mB 1n

(xn)(f) ≥ o(f, xn) ≥ ε ∀δ ∈ R+ ,

de donde se concluye que o(f, x) ≥ ε, en contradiccion con que o(f, x) < ε. Ası pues, ha de haber algun

entorno V de x disjunto con Cε y, por tanto, tal que tal que V ⊂ Rn − Cε, luego x ∈︷︸︸︷

Rn − Cε.

Por tanto, se concluye que Rn − Cε es abierto, luego Cε es cerrado y, al ser subconjunto de A acotado,tambien es acotado y, por tanto, compacto.

Lema 6 Sea N un rectangulo cerrado y f :N ⊆ Rn → R una funcion acotada tal que o(f, x) < ε ∈ R+, paratodo x ∈ N . Entonces, existe una particion P de N tal que S(f,P)− s(f,P) < εv(N).

(Dem.) Para todo x ∈ N existe Bδ(x) tal que, MBδ(x)(f) −mBδ(x)(f) < ε. Entonces tambien hay algun

rectangulo cerrado Ux ⊂ Bδ(x) tal que x ∈Ux y MUx(f)−mUx(f) < ε.

La familia de rectangulos Ux recubre N y, como N es compacto, hay una familia finita de puntos xitales que los correspondientes rectangulos Ui de este tipo forman un recubrimiento finito de N (teoremade Heine-Borel). Entonces, basta con tomar una particion P de N formada por subrectangulos Nj talesque Nj ⊆ Ui ∩N , para todo Nj y para algun Ui, con lo que

S(f,P)− s(f,P) =∑j

[MNj (f)−mNj (f)]v(Nj) < ε∑j

v(Nj) = εv(N) .

(Demostracion del teorema de Lebesgue.) Sea C = x ∈ N | f es discontinua en x.(=⇒) El conjunto C se puede expresar como union de un numero infinito numerable de conjuntos

C = C1∪C 12∪C 1

3∪ . . . C 1

n∪ . . . tales que C 1

n=

x ∈ N | o(f, x) ≥ 1

n

. Se va a demostrar que cada uno de

estos conjuntos tiene medida cero; con lo que C tiene medida cero por ser la union numerable de conjuntosde medida cero (proposicion 63).

Si f es integrable en N , dado ε ∈ R+, tomando ε′ =ε

n, existe una particion P de N tal que S(f,P) −

s(f,P) < ε′ =ε

n. Para un C 1

ndado, sea S el conjunto de subrectangulos Nj de la particion tales que

Nj ∩ C 1n6= Ø. Ası pues, S es un recubrimiento de C 1

n. Entonces MNj (f)−mNj (f) ≥ 1

n, con lo que

1

n

∑Nj∈S

v(Nj) ≤∑Nj∈S

[MNj (f)−mNj (f)]v(Nj) ≤ (∗)

y si se anaden el resto de rectangulos de la particion P se tiene que

(∗) ≤∑Nk∈P

[MNk(f)−mNk(f)]v(Nk) =∑Nk∈P

[MNk(f)v(Nk)−mNk(f)v(Nk)] = S(f,P)− s(f,P) <ε

n,

de donde∑Nj∈S

v(Nj) < ε, luego C 1n

tiene medida cero. Realmente tiene tambien contenido cero pues, al ser

C 1n

compacto (lema 5), se puede tomar un subrecubrimiento So ⊂ S finito por rectangulos Noi y∑

Noi∈So

v(Noj ) ≤

∑Nj∈S

v(Nj) < ε .


(⇐=) Si C tiene medida cero, sea ε ∈ R+ y Cε = x ∈ N | o(f, x) ≥ ε ⊂ C; entonces Cε tambientiene medida cero y, al ser compacto (lema 5), tiene contenido cero (proposicion 64), por lo que existe un

recubrimiento finito de Cε por rectangulos cerrados Uk tales que∑Uk

v(Uk) < ε. Puesto que la interseccion

de rectangulos es un rectangulo, se puede asumir tambien que cada Uk ⊂ N .

Sea P una particion de N tal que sus subrectangulos pertenecen a una de las dos siguientes familias:

S1 = Ni ∈ P | Uk =⋃i′

Ni′ , para algunos Ni′ 2.

S2 = Nj ∈ P | Nj 6∈ S1 3.

Como f esta acotada en N , tambien lo esta | f |. Sea, entonces, M ∈ R+ tal que | f |< M y, consecuente-mente, se tiene que MS(f)−mS(f) < 2M , para todos los subrectangulos S de la particion P. Entonces:

Para los rectangulos Ni ∈ S1 se tiene que∑Ni∈S1

[MNi(f)−mNi(f)]v(Ni) < 2M∑Ni∈S1

v(Ni) = 2M∑Uk

v(Uk) < 2Mε . (6.2)

Para los rectangulos Nj ∈ S2 resulta que o(f, x) < ε, para x ∈ Nj ; luego por el lema 6 existe una

particion Pj en cada Nj tal que∑Njl∈Pj

[MNjl(f)−mNjl

(f)]v(Njl) < ε∑

Njl∈Pj

v(Njl) = εv(Nj) ,

con lo que, sumando para todos los rectangulos de la familia S2 se obtiene que∑Nj∈S2

∑Njl∈Pj

[MNjl(f)−mNjl

(f)]v(Njl) < ε∑Nj∈Pj

v(Nj) < εv(N) . (6.3)

Tomese ahora una particion P ′ de N que refine a todas las anteriores a la vez; es decir, refina P y refina cadauna de las particiones Pk en cada rectangulo Nk. Esto significa que cada uno de los subrectangulos N ′de P ′ pertenece tambien a una de las dos subfamilias S1 y S2 y, en particular, cada uno de los rectangulosoriginales Nk ⊂ S2 es union de subrectangulos de esta nueva particion. Por tanto, para ellos valen lasacotaciones (6.2) y (6.3), luego

S(f,P ′)− s(f,P ′) =∑N ′∈P′

[MN ′(f)−mN ′(f)]v(N ′) =∑

N ′i′∈S1

[MN ′i′

(f)−mN ′i′

(f)]v(N ′i′)

+∑

N ′jl′⊂Nj∈S2

[MN ′jl′

(f)−mN ′jl′

(f)]v(Njl′) < 2Mε+ εv(N) ≡ ε′ .

Como M y v(N) son fijos y este resultado es valido para todo ε ∈ R+, es valido tambien para todo ε′ ∈ R+;luego se ha encontrado una particion para la cual se cumple la condicion necesaria y suficiente dada en elteorema 22 para que f sea integrable en N .

Teniendo en cuenta que contenido cero implica medida cero, se obtiene como corolario inmediato delteorema precedente el siguiente resultado:

Corolario 10 Sea N ⊂ Rn un rectangulo, f :N → R una funcion acotada en N y A ⊂ N el conjunto depuntos de discontinuidad de f . Si A tiene contenido cero, entonces f es integrable en N .

Y, en particular, para funciones continuas se tiene que:

Proposicion 67 Toda funcion continua en un rectangulo cerrado N es integrable en el.

2 Esto es, los subrectangulos de P cuya union es un rectangulo Uk.3 Esto implica que Nj ∩ Uk = Ø, para todo Uk y Nj .


(Dem.) Es un corolario inmediato del teorema de Lebesgue.

Tambien puede demostrarse igual que en el caso de una variable. En efecto; por ser f continua en el

rectangulo N , esta acotada y por tanto existen

∫N

f y

∫N

f . Tenemos que ver que son iguales. Como N es

un compacto y f es continua en N entonces es uniformemente continua, luego para cada ε > 0 existe unaparticion en un numero finito de subrectangulos N1, . . . , Nn tales que la variacion de f en cada uno de elloses menor que ε. Sean Mi y mi el maximo y mınimo absolutos de f en cada rectangulo Ni, 1 ≤ i ≤ n dela particion, que existen por ser una funcion continua en un compacto. Se tiene que Mi − mi < ε, parai = 1, . . . , n.

Sean s y t dos funciones (“escalonadas”) tales que s(x) ≤ f(x) ≤ t(x), ∀x ∈ N , definidas por s(x) = mi

y t(x) = Mi, ∀x ∈ Ni. Entonces∫N

s =

n∑i=1

miv(Ni) ;

∫N

t =

n∑i=1

Mv(Ni) .

Entonces ∫N

t−∫N

s =

n∑i=1

(Mi −mi) v(Ni) < εn∑i=1

v(Ni) = ε v(N) .

Pero como

∫N

s ≤∫N

f ≤∫N

f ≤∫N

t, se tiene que

0 ≤∫N

f −∫N

f ≤ ε v(N) , ∀ε > 0

luego

∫N

f =

∫N

f y, por tanto, existe

∫N

f .

6.1.4. Integral multiple en una region mas general

Hasta el momento solo se han tratado integrales de funciones acotadas sobre rectangulos. Sin embargo,se pueden considerar regiones de integracion mas generales, pero acotadas. Estos casos se reducen al anteriorsiguiendo el procedimiento que, a continuacion, se describe.

Definicion 93 Sea A ⊂ Rn una region acotada, y f :A→ R acotada. La extension de f a Rn es la funcion

f(x) :=

f(x), si x ∈ A

0, si x 6∈ A

Entonces, la integral (de Riemann) de f en A (si existe) es la integral de su extension f en cualquierrectangulo N ⊃ A; es decir ∫

A

f :=

∫N

f .


Comentario:

Es evidente que la extension del concepto de integral que se acaba de dar es independiente del rectanguloN elegido, ya que f es nula fuera de A.

Definicion 94 Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado.

1. Se denomina funcion caracterıstica de A a la extension a Rn de la funcion constante unidad en A:

χA(x) :=

1, si x ∈ A0, si x 6∈ A

2. El conjunto A es medible de Jordan si su funcion caracterıstica es integrable en A.

En tal caso, la integral

∫A

χA es la medida, area o volumen de A.

Obviamente, los puntos de discontinuidad de f en N son los puntos de discontinuidad de f en A y,eventualmente, los de FrA. Entonces, los siguientes resultados son consecuencias inmediatas del teorema deLebesgue:

Proposicion 68 Un conjunto acotado A es medible de Jordan si, y solo si, su frontera tiene medida cero.

Teorema 25 (Lebesgue para regiones acotadas). Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado y medible de Jordan, yf :A ⊂ Rn → R una funcion acotada. Entonces f es integrable en A si, y solo si, el conjunto de puntos dediscontinuidad de f en A tiene medida cero.

Proposicion 69 Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado de medida cero y f :A ⊂ Rn → R una funcion acotada.

Entonces f es integrable en A y

∫A

f = 0.

(Dem.) El conjunto C de puntos de discontinuidad de f en A es un subconjunto de A y, al tener A medidacero, C tambien tiene medida cero; por tanto f es integrable en A. Ademas, si m = inff(x);∀x ∈ A


y M = supf(x);∀x ∈ A, se verifican las desigualdades mv(A) ≤∫A

f ≤ Mv(A), y como v(A) = 0 se

concluye que

∫A

f = 0.

6.2. Propiedades de la integral multiple

6.2.1. Primeras propiedades

Usando la extension de las funciones a rectangulos que contengan los dominios de integracion, a partir dela proposicion 62 es inmediato probar que las propiedades de linealidad, monotonıa y valor absoluto tambiense verifica para integrales en regiones acotadas en general; esto es:

Proposicion 70 Sea A ⊂ Rn una region acotada.

1. (Linealidad). Si f y g son funciones integrables en A y µ, λ ∈ R, entonces µf ± λg es integrable en A:∫A

µf ± λg = µ

∫A

f ± λ∫A

g .

2. (Monotonıa). Si f(x) ≥ 0, ∀x ∈ A, y f es integrable en A entonces∫A

f ≥ 0 .

3. (Monotonıa). Si f y g son funciones integrables en A y f ≤ g en A entonces∫A

f ≤∫A

g .

4. (Valor absoluto). Si f es integrable en A, entonces | f | es integrable en A y∣∣∣ ∫A

f∣∣∣ ≤ ∫

A

| f | .

Tambien, siguiendo la misma pauta de demostracion se puede probar que:

Proposicion 71 (Aditividad del dominio): Si A1 ⊂ Rn, A2 ⊂ Rn son regiones acotadas y f es una funcionintegrable en A1 y A2, entonces f es integrable en A1 ∪A2 y en A1 ∩A2 y∫

A1∪A2

f =

∫A1

f +

∫A2

−∫A1∩A2

f .

Finalmente, igual que en el caso de una variable se tiene:

Teorema 26 (del valor medio). Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado, compacto, conexo y medible de Jordan,y f :A→ R una funcion continua en A. Entonces ∃x0 ∈ A tal que∫

A

f = f(x0)v(A) .

(Dem.) Por las hipotesis, f es integrable en A y si m = minf(x),∀x ∈ A y M = maxf(x),∀x ∈ A setiene la acotacion

mv(A) ≤∫A

f ≤Mv(A) ⇐⇒ m ≤ 1

v(A)

∫A

f ≤M .

Pero, al ser f continua en A (compacto y conexo), por el teorema del valor medio, ∀y0 ∈ [m,M ], ∃xo ∈ A

tal que f(xo) = yo; luego si se toma yo =1

v(A)

∫A

f , se llega al resultado.


6.2.2. Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivacion bajoel signo integral)

Igual que sucedıa con el caso de funciones de una variable, existen funciones de varias variables queestan definidas por medio de integrales. En este apartado se va a hacer un rapido estudio de las principalespropiedades que conciernen a este tipo de funciones, ya que dichas propiedades van a ser inmediatamenteutilizadas para explorar nuevas caracterısticas de las integrales multiples.

La situacion mas general de interes que se va a presentar es la siguiente:

Definicion 95 Sean las funciones η1 ≡ η1(x1, . . . , xn), η2 ≡ η2(x1, . . . , xn) y

f : A ⊆ Rn+1 −→ R(x1, . . . , xn+1) 7→ f(x1, . . . , xn+1)

.

Se denomina integral dependiente de (n) parametros a la funcion (si existe)

ϕ(x1, . . . , xn) :=

∫ η2(x1,...,xn)

η1(x1,...,xn)

f(x1, . . . , xn+1)dxn+1

Comentario:

Como caso particular, si f :A ⊆ R→ R, η2 ≡ η2(x) y η1 ≡ η1(x) = a ∈ R, se obtiene

ϕ(x) :=

∫ η2(x)

a

f(t)dt

que es la funcion area del Calculo de una variable cuando η2(x) = x.

El primer resultado que vamos a analizar concierne a la continuidad de estas funciones.

Proposicion 72 En las condiciones de la definicion 95, si se cumplen las siguientes hipotesis:

1. A ≡ Dom f es compacto.

2. f es continua en A

3. ηi (i = 1, 2) son funciones continuas.

Entonces la funcion ϕ esta definida y es una funcion (uniformemente) continua en su dominio.

(Dem.) Por simplicidad haremos la prueba para el siguiente caso particular 4: f :A ⊂ R2 → R, A ≡[a, b] × [c, d], ηi:R → R con Im ηi ⊂ [a, b], (i = 1, 2). Por ser A compacto, f es uniformemente continua enA, luego, ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que, si P,Q ∈ A y |P −Q| < δ, entonces |f(P )− f(Q)| < ε. Sean α, β ∈ [a, b],con |α− β| < δ, entonces

|ϕ(α)− ϕ(β)| :=

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(α, y)dy −∫ b

a

f(β, y)dy

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(α, y)− f(β, y)|dy < ε|b− a|

(pues |(α, y), (β, y)| < δ). Luego ϕ es uniformemente continua en [c, d] y, por tanto, continua.

Sobre la cuestion de la diferenciabilidad, analizaremos unicamente el problema del calculo de las derivadasparciales de estas funciones. El resultado al respecto es:

Teorema 27 (de Leibnitz): En las condiciones de la definicion 95, si se cumplen las siguientes hipotesis:

4 La demostracion en el caso general difiere en cuestion de matices concernientes a los dominios de las funciones queintervienen en la definicion.


1. f es una funcion de clase C1.

2. ηi (i = 1, 2) son funciones continuas cuyas derivadas parciales∂ηi∂xj

existen ∀j = 1, . . . , n.

Entonces la funcion ϕ tiene derivadas parciales y

∂ϕ

∂xj=

∫ η2(x1,...,xn)

η1(x1,...,xn)

∂f

∂xjdxn+1+f(x1, . . . , xn+1 = η2(x1, . . . , xn))

∂η2

∂xj−f(x1, . . . , xn+1 = η1(x1, . . . , xn))

∂η1

∂xj

(Esta expresion recibe el nombre de formula de Leibnitz).

( Dem. ) Por simplicidad haremos la prueba para el siguiente caso particular: f :A ⊂ R2 → R, A ≡[a, b]× [c, d], η1 ≡ η1(x) = a y η2 ≡ η2(x) con Im η2 ⊂ [a, b].

Sea γ ∈ [a, b]; vamos a calcular ϕ′(γ). Se tiene que

ϕ(x) ≡∫ η2(x)

a

f(x, y)dy =

∫ η2(γ)

a

f(x, y)dy +

∫ η2(x)

η2(γ)

f(x, y)dy ≡ ϕ1(x) + ϕ2(x)

Entonces

ϕ′1(x) =

∫ η2(γ)

a

∂f(x, y)

∂xdy

mientras que para ϕ2 se tiene que

ϕ2(γ + h)− ϕ2(γ)

h=

1

h

[∫ η2(γ+h)

η2(γ)

f(γ + h, y)dy −∫ η2(γ)

η2(γ)

f(γ, y)dy

]= (∗)

y usando el teorema de la media integral, ∃ξ ∈ (η2(γ), η2(γ + h)) tal que

(∗) =1

h[f(γ + h, ξ)(η2(γ + h)− η2(γ))] = f(γ + h, ξ)

(η2(γ + h)− η2(γ)

h

)h→0−→ f(γ, η2(γ))η′2(γ)

y de ahı el resultado.

Comentarios:

El problema de estudiar la diferenciabilidad de ϕ se reduce ahora a comprobar la condicion de tangencia.

En los casos particulares en que f no depende de la variable xj (respecto a la cual se deriva), es obvioque el primer sumando no existe.

En concreto, en el caso particular anteriormente senalado en que ϕ(x) :=

∫ x

a

f(t)dt, la formula de

Leibnitz se reduce a la formula de Barrow del caso de una variable.

El problema de la integracion de este tipo de funciones va a ser tratado en el siguiente apartado, dondese va a analizar el metodo de resolucion de integrales multiples por iteracion.

6.2.3. Calculo de integrales multiples por iteracion: Teorema de Fubini

Vamos a abordar ya el problema del calculo de integrales multiples de forma practica. A fin de simplificarla exposicion, estudiaremos con detalle el caso de funciones de dos variables, esto es, de integrales dobles, yaque la generalizacion para un numero mayor de variables es inmediata.

El resultado fundamental de esta seccion hace alusion a un tipo especıfico de regiones acotadas sobrelas que se realiza la integracion., que son aquellas cuya frontera esta formada por (porciones de) graficas defunciones continuas definidas en conjuntos compactos (e.d.; curvas, superficies,. . .). Concretamente:

Definicion 96 Sea A ⊂ Rn una region acotada.


1. Se dice que A ⊂ R2 es una region elemental o simple en R2 si es de uno de los siguientes tipos:

a) A es una region de tipo I o y-simple si es de la forma

A = (x, y) ∈ R2 | φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) , a ≤ x ≤ b ; φ1, φ2 continuas .

b) A es una region de tipo II o x-simple si es de la forma

A = (x, y) ∈ R2 | ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) , c ≤ y ≤ d ; ψ1, ψ2 continuas .


c) A es una region de tipo III o xy-simple si es, a la vez del tipo I y del tipo II y, por tanto, estadefinida simultaneamente como:

A = (x, y) ∈ R2 | φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) , a ≤ x ≤ b ; φ1, φ2 continuas= (x, y) ∈ R2 | ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) , c ≤ y ≤ d ; ψ1, ψ2 continuas .

2. A ⊂ Rn es una region elemental en Rn (n ≥ 3) si es de la forma

A = (x1, . . . , xn−1, xn) ∈ Rn | γ1(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ γ2(x1, . . . , xn−1) ,

(x1, . . . , xn−1) ∈ D ⊂ Rn−1 ; D region elemental en Rn−1; γ1, γ2 continuas .

Si, en particular, D es un rectangulo cerrado, entonces se dice que A es una region simple en Rn.


Comentario:

Observar que toda region simple es medible de Jordan.

Comenzaremos enunciando el teorema de Fubini para integrales dobles en rectangulos.

Teorema 28 (Fubini en R2). Sea N := [a, b]× [c, d] y f :N → R una funcion acotada e integrable en N .

1. Si la funcion Φ(x) :=

∫ d

c

f(x, y)dy existe ∀x ∈ [a, b], entonces la integral

∫ b

a

Φ(x)dx existe y

∫N

f =

∫ b

a

Φ(x)dx :=

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx (6.4)

2. Si la funcion Ψ(y) :=

∫ b

a

f(x, y)dx existe ∀y ∈ [c, d], entonces la integral

∫ d

c

Ψ(y)dy existe y

∫N

f =

∫ d

c

Ψ(y)dy :=

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

3. Si todas las condiciones se cumplen simultaneamente, se tiene que 5

∫N

f =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

Estas integrales reciben el nombre de integrales iteradas.

5 Es habitual utilizar tambien la siguiente notacion∫ b

a

Φ(x)dx :=

∫ b

a

dx

∫ d

c

f(x, y)dy

y lo mismo para la integral de φ(y).


(Dem.)

1. Para probar el apartado (1) hay que demostrar que la funcion Φ(x) es integrable en [a, b] y que se cumple(6,4). Sean P1 una particion de [a, b] en subintervalos Ii, P2 una particion de [c, d] en subintervalos Jj ,y P = P1 × P2 una particion de N en los subrectangulos Nij = Ii × Jj . Se tiene que

s(f,P) =∑i,j

mij(f)v(Nij) =∑i

∑j

mij(f)v(Jj)v(Ii) , (6.5)

donde mij(f) = inff(x),∀x ∈ Nij. Para cada xo ∈ Ii y para cada j es mij(f) ≤ mj(fxo) =inff(xo, y),∀y ∈ Jj; por tanto, si existe la funcion Φ(x), ∀x ∈ [a, b], resulta que∑

j

mij(f)v(Jj) ≤∑j

mj(fxo)v(Jj) ≤∫ d

c

f(xo, y)dy = Φ(xo) .

Como estas desigualdades valen para cualquier xo ∈ Ii, resulta que los valores que toma la funcion Φen Ii acotan superiormente la suma anterior; por consiguiente, si mi(Φ) = infΦ(x),∀x ∈ Ii se tiene∑

j

mij(f)v(Jj) ≤ mi(Φ) ,

y llevando este resultado a (6.5) queda

s(f,P) ≤∑i

mi(Φ)v(Ii) = s(Φ, P1) .

Un argumento analogo para las sumas superiore conduce a que S(Φ, P1) ≤ S(f,P), con lo que

s(f,P) ≤ s(Φ, P1) ≤ S(Φ, P1) ≤ S(f,P) ,

y como esto vale para cualquier particion P de N y, lo que es lo mismo, para cualesquiera particionesP1 de [a, b] y P2 de [c, d], tomando los supremos de las sumas inferiores y los ınfimos de las superioresqueda ∫

A

f ≤∫ b

a

Φ ≤∫ b

a

Φ ≤∫A

f ;

pero si f es integrable en A es

∫A

f =

∫A

f =

∫A

f ; por tanto

∫ b

a

Φ =

∫ b

a

Φ, luego Φ es integrable en

[a, b] y se verifica (6.4).

2. La demostracion del apartado (2) es identica.

3. El apartado (3) es consecuencia inmediata de los anteriores.

No obstante una demostracion alternativa de la invariancia en el orden de integracion para el caso en

que f sea una funcion continua en N es la siguiente: Si f es continua en N , entonces

∫N

f existe y

Φ(x) y Ψ(y) son funciones continuas en sus intervalos de definicion, de acuerdo con la proposicion 72.Considerense, ahora, las funciones

F (t) :=

∫ t

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy , G(t) :=

∫ b

a

∫ t

c

f(x, y)dydx

que estan bien definidas por ser f continua y en virtud del lema anterior. Se observa que F (c) = G(c)y, ademas, F ′(t) = G′(t), ya que, de acuerdo con el teorema de Barrow,

F ′(t) =

∫ b

a

f(x, t)dx

y por el teorema de Leibnitz,

G′(t) =

∫ b

a

∂

∂t

(∫ t

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ b

a

f(x, t)dx

De ambas igualdades se deduce que F (t) = G(t) y, por consiguiente, que F (d) = G(d), que es elresultado que se querıa probar.


Interpretacion geometrica:

La justificacion geometrica del teorema se basa en el denominado principio de Cavalieri para el calculo

de volumenes: tal como ya se indico,

∫N

f es el volumen comprendido entre el rectangulo N y la grafica de

f ; pero, por otra parte, Φ(x) :=

∫ d

c

f(x, y)dy es el area de la seccion transversal a la direccion 0Y en cada

punto del eje, por tanto Φ(x)dx es el volumen de una lamina infinitesimal transversal a dicho eje, por lo que∫ b

a

Φ(x)dx sera el volumen total.

La interpretacion en la direccion 0X es analoga.

Figura 6.4: Volumen de V .

La generalizacion del teorema de Fubini para integrales dobles en regiones de integracion no rectangularesacotadas es:

Teorema 29 (Fubini generalizado en R2). Sea A ⊂ Rn una region acotada y f :N → R una funcion acotadae integrable en A.

1. Si A es una region de tipo I y la funcion Φ(x) :=

∫ φ2(x)

φ1(x)

f(x, y)dy existe ∀x ∈ [a, b] entonces existe

tambien la integral

∫ b

a

Φ(x)dx y se verifica que

∫A

f =

∫ b

a

Φ(x)dx =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

f(x, y)dydx

2. Si A es una region de tipo II y la funcion Ψ(y) :=

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dx existe ∀y ∈ [c, d] entonces existe

tambien la integral

∫ d

c

φ(y)dy y se verifica que

∫A

f =

∫ d

c

Ψ(y)dy =

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dxdy

3. Si A es una region de tipo III y las condiciones anteriores se verifican simultaneamente, entonces∫A

f =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

f(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dxdy


Figura 6.5: Volumen de la region V .

(Dem.) La demostracion se basa en la del teorema precedente, tomando la extension f de la funcion a unrectangulo N que contenga A.

El caso general (del cual los anteriores teoremas son casos particulares) se enuncia como sigue:

Teorema 30 (Fubini generalizado en Rn). Sea A ⊂ Rn una region elemental y f :N → R una funcionacotada e integrable en A. Si la funcion

Γ(x1, . . . , xn−1) :=

∫ γ2(x1,...,xn−1)

γ1(x1,...,xn−1)

f(x1, . . . , xn−1, xn)dxn

existe ∀(x1, . . . , xn−1) ∈ D, entonces tambien existe la integral

∫D

Γ y 6

∫A

f =

∫D

Γ =

∫D

∫ γ2(x1,...,xn−1)

γ1(x1,...,xn−1)

f(x1, . . . , xn−1, xn)dxn .

(Dem.) La demostracion se hace primero para el caso en que A es un rectangulo, siguiendo las mismaspautas que en el teorema 28 y entonces se generaliza a regiones elementales como en el teorema 29.

Comentarios:

Existe una version mas general del teorema de Fubini en el que no se asume la hipotesis de la existenciade la(s) integral(es) intermedia(s). En tal caso la tesis del teorema, para el caso (1) del teorema 28serıa simplemente que ∫

N

f =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx

y analogamente en el caso (2). Observese que en la demostracion esto tiene sentido ya que, realmente,solo se acota con el ınfimo (resp. supremo) de los valores de la funcion Φ(x) en cada subintervalo de

la particion P1 y, en caso de que la existencia de la funcion Φ(x) ≡∫ d

c

f(x, y)dy no este garantizada,

la prueba serıa igual tomando la integral inferior Φ(x) ≡∫ d

c

f(x, y)dy (resp. la integral superior

Φ(x) ≡∫ d

c

f(x, y)dy). Este mismo comentario es tambien valido en las otras versiones del teorema que

se han enunciado.

6 Si f es continua y A es simple, entonces D es un rectangulo cerrado y la existencia de la integral

∫D

Γ esta asegurada.


En cualquier caso, si en el teorema de Fubini se anade la hipotesis de que la funcion f sea continua yla region de integracion simple, entonces la existencia de las integrales intermedias esta garantizada.

El teorema de Fubini para integrales dobles permite reducir su calculo a hacer dos integrales simplesiteradas; es decir, a integrar sucesivamente respecto a cada una de las dos variables, sin importar elorden en que se haga, si se esta en el caso 3. En este ultimo caso es, pues, un teorema de invarianciarespecto al intercambio en el orden de integracion.

La generalizacion del teorema al caso de integrales de funciones de mas variables es obvia: se hace laprimera integral iterada indicada em el teorema 30 y, despues, para calcular la integral en D, vuelve aaplicarse el teorema reiteradamente. Es decir, bajo las condiciones correspondientes, la integral multiplese obtiene integrando sucesivamente respecto a cada una de las variables, sin importar el orden en quese haga, en el mejor de los casos. En este sentido, el teorema de Fubini permite reducir el calculode integrales multiples al calculo de integrales simples iteradas. Ası, p. ej., para integrales triples,integrando en un determinado orden, se tendrıa∫

A

f =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ γ2(x,y)

γ1(x,y)

f(x, y, z)dzdydx

En muchas ocasiones, evaluar la integral multiple integrando en un cierto orden puede ser mas facilque hacerlo en otro orden distinto. Incluso puede darse el caso de que realizar la integracion en unorden no sea factible (por no existir alguna de las integrales iteradas intermedias o por no saber hallaralguna primitiva), pero sı lo sea en otro orden diferente.

6.2.4. Cambio de variable

En el problema del calculo de primitivas de funciones de una variable es muy habitual realizar cambiosde variables que reducen la dificultad de la integracion, al cambiar la funcion del integrando por otra massencilla. Ası, si f :R→ R es integrable en [a, b] y g:R→ R es una funcion de clase C1, se tiene que∫ b

a

f =

∫ d

c

(f g)g′ :=

∫ d

c

F

donde a = g(c) y b = g(d), y si g es inyectiva (cambio de variable), entonces∫ b

a

f =

∫ d

c

(f g)|g′|

Este es basicamente el enunciado del teorema del cambio de variable para integrales de funciones de unavariable.

La generalizacion de este resultado a la integracion de funciones de varias variables es el siguiente:

Teorema 31 (del cambio de variables). Sea A ⊂ Rn una region abierta, medible de Jordan, g:A ⊂ Rn →g(A) ⊂ Rn un difeomorfismo 7 de clase C1 y f : g(A) ⊂ Rn → R integrable en g(A), entonces (f g)|det (Jg)|es integrable en A y ∫

g(A)

f =

∫A

(f g)|det (Jg)|

(Dem.) (Vease J.E. Marsden, M.J. Hoffman: Analisis Clasico Elemental, p. 523 − 530 o M. Spivak:Calculo en variedades, p. 62 − 67. Ver tambien J. Schwartz: “The formula for change of variables ina multiple integral”, Am. Math. Monthly 61(2) (1954) 81 − 85, donde se comparan y discuten diversasaproximaciones a la demostracion).

La demostracion sigue las pautas que se detallan a continuacion:

Lema 7 Si g:Rn → Rn es una transformacion lineal que cumple las hipotesis del teorema y A ⊂ Rn es unaregion medible de Jordan, entonces g(A) es medible de Jordan y v(g(A)) = |det (Jg)| v(A).

7 Es decir, g ha de ser inyectiva en Rn, diferenciable y tener inversa diferenciable en g(A).


La demostracion se basa en tomar transformaciones lineales elementales (transformaciones que cambianuna sola coordenada en un multiplo de ella misma o en la suma de esa coordenada con otra), probar quetoda transformacion lineal es composicion lineal de estas y comprobar el resultado. Tambien directamentede la interpretacion geometrica de |det (Jg)| que se discute en la pagina siguiente.

Corolario 11 Si g:Rn → Rn es una transformacion lineal que cumple las hipotesis del teorema y A ⊂ Rnes una region medible de Jordan, entonces el teorema se cumple para la funcion f = 1

En efecto,

v(g(A)) =

∫g(A)

1 ; |det (Jg)| v(A) = |det (Jg)|∫A

1 =

∫A

(1 g)|det (Jg)| .

y del resultado anterior se obtiene que

v(g(A)) = |det (Jg)| v(A) ⇐⇒∫g(A)

1 =

∫A

(1 g)|det (Jg)| .

Lema 8 Si el teorema es cierto para f = 1, entonces se cumple para cualquier funcion f integrable en g(A).

Para probarlo, se extiende la funcion f a un rectangulo N ⊃ g(A) y se estudian las sumas superior einferior en una particion cualquiera, comparando con la integral del enunciado.

Como consecuencia de ambos lemas se concluye directamente que:

Lema 9 Si g es una transformacion lineal que cumple las hipotesis del teorema, entonces el teorema escierto para cualquier funcion f .

Lema 10 Si el teorema es cierto para g1:A ⊂ Rn → Rn y para g2:B ⊂ Rn → Rn, con g1(A) ⊆ B, entonceses cierto para g2 g1:A ⊂ Rn → Rn.

Es una mera comprobacion (usando la regla de la cadena).

Lema 11 Si U ⊂ Rn es una region abierta, medible de Jordan, g:A ⊂ Rn → g(A) ⊂ Rn es un difeomorfismode clase C1 y A ⊂ Rn es una region abierta, medible de Jordan tal que A ⊂ U , entonces g(A) es medible deJordan.

Resulta del analisis de la imagen de la frontera de A por g. Llegados a este punto, y utilizando los lemasprecedentes, el problema de la demostracion se reduce a trabajar en rectangulos con las extensiones de lasfunciones, usando particiones adecuadas y las acotaciones correspondientes.

Comentario:

El teorema anterior es tambien cierto aun cuando g no sea inyectiva, esto es existe un subconjuntoC ⊂ A en el que det(Jg(x))| = 0, ya que 8:

Si g es de clase C1, A es abierto y C := x ∈ A | |det(J g(x))| = 0, entonces g(C) tiene medidacero (teorema de Sard).

Interpretacion geometrica:

Puede demostrarse que el valor absoluto del jacobiano |det(Jg)| de una transformacion es una medi-da de como dicha transformacion distorsiona el volumen de la region de Rn sobre la que se aplica dichatransformacion. Vamos a precisar mas esta afirmacion en el caso de funciones de dos variables:

Con las hipotesis del teorema, si p = (xo, yo) ∈ A ⊂ R2 y se consideran ∆x,∆y ∈ R+ suficientementepequenos para que No = [x0, xo + ∆y]× [y0, yo + ∆y] ⊂ A, entonces

|det J g(p)| = lım(∆x,∆y)→(0,0)

v(g(No))

v(No).

8 Esto sucede, por ejemplo, en algunos cambios de coordenadas cuando se extiende el dominio de g a regiones abiertas enlas que la funcion deja de ser un difeomorfismo.


En efecto, el resultado se justifica como sigue: Se tiene que v(No) = ∆x∆y. Bajo la accion de g, estaregion se transforma en g(N0). Una aproximacion al area de g(N0) se obtiene del siguiente modo: si se tomala aproximacion lineal de g = (g1, g2) se obtiene

g(xo + ∆x, yo) ≈ g(xo, yo) + J g(xo, yo)

(∆x∆y

)=

(g1(xo, yo)g2(xo, yo)

)+

∂g1

∂x(p)

∂g2

∂x(p)

∆x ≡ p1

g(xo, yo + ∆y) ≈ g(xo, yo) + J g(xo, yo)

(∆x∆y

)=


)+

∂g1

∂y(p)

∂g2

∂y(p)

∆y ≡ p2

g(xo + ∆x, yo + ∆y) ≈ g(xo, yo) + J g(xo, yo)

(∆x∆y

)=


)+

∂g1

∂x(p)

∂g2

∂x(p)

∆x+

∂g1

∂y(p)

∂g2

∂y(p)

∆y ≡ p3

y si po = g(xo, yo), de este modo se obtiene un paralelogramo N con vertices en los puntos po, p1, p2, p3 ylados determinados por los vectores

Tx :=

(∂g1

∂x(p),

∂g2

∂x(p)

)∆x , Ty :=

(∂g1

∂y(p),

∂g2

∂y(p)

)∆y .

Como ya es sabido, el area de un paralelogramo es, precisamente, el valor absoluto del determinante de lamatriz cuyos elementos son las componentes de los vectores que delimitan sus lados, luego en este caso es

v(N ) = ‖Tx × Ty‖ = |det Jg(p)|∆x∆y = |det Jg(p)| v(No) (6.6)

y como v(g(N0)) ≈ v(N ), de ahı el resultado 9.

Figura 6.6: Rectangulo de lados ∆u y ∆v y su imagen por g.

Este resultado se generaliza trivialmente a dimension superior sin mas que tener en cuenta que la medidade un rectangulo en Rn (es decir, el (hiper)volumen de un paralelepıpedo en Rn) lo da igualmente el valorabsoluto del determinante de la matriz cuyos elementos son las componentes de los vectores que delimitansus lados.

Hecha esta observacion, el resultado del teorema se justifica de forma inmediata. En efecto, se trata de

obtener

∫g(A)

f(x, y)dxdy en funcion de u, v. Observemos que (dx,dy) es la variacion de la funcion g al pasar

de evaluarla en el punto (u, v) al punto (u+ du, v+ dv). Por tanto, el producto dxdy determina el area de laregion transformada; esto es, dA′, por lo que, basta tener en cuenta la expresion (6.6) para llegar al resultadoenunciado.

Ejemplos:

9 Si el jacobiano es nulo significa que los vectores Tx y Ty son paralelos; es decir, la region se transforma en una curva en elentorno del punto en cuestion.


6.3. Integrales impropias

Se trata, ahora, de dar unas ideas muy generales sobre como se generaliza el concepto de integral impropiadel calculo en una variable al caso de integrales multiples. Dado que no se va a hacer un analisis exhaustivodel tema, vamos a limitar la presentacion unicamente al caso de funciones no negativas, f(x) ≤ 0, x ∈ Dom f .

Al igual que en el caso de una variable, se pueden distinguir dos situaciones basicas.

6.3.1. Region de integracion no acotada

Este es el caso en que se tiene una funcion acotada en una region no acotada.

Definicion 97 Sea A ⊂ Rn una region no acotada y f :A ⊆ Rn → R acotada en A tal que, si p ∈ A, f

es integrable en cualquier region A ∩Br(p). La integral

∫A

f es una integral impropia (de primera especie).

Entonces:

1. La integral

∫A

f existe y converge si existe el lımite lımr→∞

∫A∩Br(p)

f (y su valor es independiente de

p) . En tal caso el valor de dicho lımite es, por definicion, el valor de esa integral.

2. La integral

∫A

f existe pero no converge (diverge) si lımr→∞

∫A∩Br(p)

f =∞ (independientemente de p).

3. La integral

∫A

f no existe si no existe lımr→∞

∫A∩Br(p)

f (independientemente de p) .

Ejemplo:

∫R2

e−x2−y2dxdy.

6.3.2. Funcion no acotada en el entorno de un punto

Este es el caso en que se tiene una funcion en una region acotada pero que no esta acotada en el entornode un punto o que no esta definida en un punto.

Definicion 98 Sea A ⊂ Rn una region abierta y acotada, p ∈ A y f :A − p ⊂ Rn → R tal que f es

integrable en cualquier region A − Br(p), con Br(p) ⊂ A, pero f no es integrable en A. La integral

∫A

f es

una integral impropia (de segunda especie). Entonces:

1. La integral

∫A

f existe y converge si existe el lımite lımr→0

∫A−Br(p)

f . En tal caso el valor de dicho lımite

es, por definicion, el valor de esa integral.

2. La integral

∫A

f existe pero no converge (diverge) si lımr→0

∫A−Br(p)

f =∞.

3. La integral

∫A

f no existe si no existe lımr→0

∫A−Br(p)

f .

Ejemplo:

∫Br(0)

1

rm, m ∈ N.

Esta situacion se puede generalizar considerando funciones no acotadas o no definidas en un subconjuntode A, por ejemplo en la frontera de A. Entonces:


Definicion 99 Sea A ⊂ Rn una region abierta, acotada y medible de Jordan, y f :A ⊂ Rn → R pero noacotada en A (o no definida en FrA), y tal que, si p ∈ A, f es integrable en cualquier region A ∩Br(p). La

integral

∫A

f es una integral impropia (de segunda especie). Entonces:

1. La integral

∫A

f existe y converge si existe el lımite lımr→∞

∫A∩Cr(p)

f . En tal caso el valor de dicho

lımite es, por definicion, el valor de esa integral.

2. La integral

∫A

f existe pero no converge (diverge) si lımr→∞

∫A∩Cr(p)

f .

3. La integral

∫A

f no existe si no existe lımr→∞

∫A∩Cr(p)

f .

Ejemplo:

∫B1(0,0)

1

1− x2 − y2dxdy.

Comentarios:

En las definiciones 97 y 98 se pueden sustituir las n-bolas Br(p) por n-cubos centrados en p, Cr(p) =[p1 − r, p1 + r]× . . . [pn − r, pn + r] ⊂ A, con p = (p1, . . . , pn) ∈ A.

El caso general (integrales impropias de tercera especie) se generaliza de manera obvia, toda vez quees conocido el procedimiento para una variable.

Capıtulo 7

Integrales de lınea y de superficie

Introduccion

Continuando con la teorıa de la integracion de funciones de varias variables, si en el capıtulo anteriorse trato el problema de integrar funciones escalares sobre regiones de Rn, en los dos capıtulos que siguena continuacion se van a tratar algunas situaciones que, de forma inmediata, nos llevaran a considerar laintegracion con funciones vectoriales y, finalmente, nos conduciran a los teoremas fundamentales del Analisisvectorial. Estos teoremas, que son debidos a G. Stokes, G. Green y K.F. Gauss-M.V. Ostrogadsky , establecenla vinculacion entre el Calculo diferencial y el Calculo integral en varias variables. Todos tienen importantesaplicaciones fısicas y, de hecho, tienen su origen en problemas fısicos relacionados con la teorıa de camposgravitatorios y electromagneticos, teorıa del calor e hidrodinamica, por citar algunos.

Ası, en este capıtulo, se tratara la cuestion de la integracion de funciones escalares, no sobre regionesarbitrarias de Rn en general, sino a lo largo de curvas en Rn y el caso mas general de la integracion de funcionesvectoriales, a lo largo de curvas (ambos problemas tiene importantes aplicaciones fısicas y tecnicas); es decir,la nocion de integral de lınea. Tambi se introduciran las integrales de superficie de funciones escalares yvectoriales y sus propiedades y aplicaciones.

7.1. Integrales de lınea de campos escalares y vectoriales

7.1.1. Longitud de un arco de curva

Antes de entrar en la definicion de integral de lınea, vamos a resolver el problema del calculo de la longitudde un arco de curva, puesto que estas cuestiones guardan una estrecha relacion entre si.

Definicion 100 Sea c: I = [a, b] ⊆ R → Rn una curva parametrizada, con C = Im c. Sea P ≡ t0 =a, t1, . . . , tm−1, tm = b una particion del intervalo I. Se denomina poligonal asociada a C respecto a laparticion P a la lınea compuesta por todos los segmentos rectilıneos que unen los puntos c(tj), ∀j = 0, . . . ,m

La longitud de la poligonal es pues

L(C,P) =

m∑j=1

√(x1(tj)− x1(tj−1))2 + . . . , (xn(tj)− xn(tj−1))2 ,

y esta longitud siempre es menor que la longitud de la propia curva (si existe) 1. Considerese ahora el conjuntode las longitudes de todas las posibles poligonales asociadas a C (respecto a todas las posibles particionesde I). Este conjunto esta acotado superiormente por la longitud de la curva (si existe). Entonces:

1 Ya que un segmento de lınea recta entre dos puntos es la curva de menor longitud entre esos puntos.

110


Definicion 101 Sea c: I = [a, b] ⊆ R → Rn una curva parametrizada, con C = Im c. La curva C esrectificable si existe el numero

L(C) := sup L(C,P), para toda particion P de I .

En tal caso, L(C) es la longitud del arco de curva C.

Proposicion 73 Sea c: I = [a, b] ⊆ R → Rn una curva parametrizada rectificable, con C = Im c y seaPkk∈N una sucesion de particiones de I tales que

(i) Pk ⊂ Pk+1 (Pk+1 es mas fina que Pk).

(ii) la sucesion de sus diametros δPkk∈N converge a 0, lımk→∞

δPk = 0.

Sea L(C,Pk)k∈N la sucesion de las longitudes de las poligonales asociadas a C respecto a estas particiones.Entonces L(C) = lım

k→∞L(C,Pk).

(Dem.) Basta observar que la sucesion L(C,Pkk∈N es monotona creciente y que, si la curva es rectıficable,esta acotada superiormente por L(C) y, al ser este valor la menor de las cotas superiores, se tiene el resultado.

La identificacion que hace esta definicion de la longitud de un arco de curva con la del lımite de laslongitudes de poligonales recibe el nombre de rectificacion del arco de curva.

Teniendo en cuenta esta caracterizacion, se obtiene que:

Proposicion 74 Sea C ⊂ A ⊂ Rn una curva regular rectificable y c: I = [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn unaparametrizacion regular, con c(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)). La longitud del arco de curva C es

L(C) =

∫ b

a

‖c′(t)‖dt =

∫ b

a

√(x′1(t))2 + . . . , (x′n(t))2dt (7.1)

(Dem.) Sea Pkk∈N una sucesion de particiones regulares de I tal que satisface las condiciones impuestasen la proposicion precedente. Para cada Pk, la longitud de la poligonal asociada es

L(C,Pm) =

m−1∑j=0

√(x1(tj + ∆t)− x1(tj))2 + . . . , (xn(tj + ∆t)− xn(tj))2 ,

donde δPk = ∆t es el diametro de la particion (la longitud de todos sus subintervalos, al ser la particionregular). Al ser las funciones xi(t) diferenciables de clase C1, aplicando el teorema del valor medio del calculodiferencial se tiene que

xi(tj + ∆t)− xi(tj) = x′i(τij)∆t , τij ∈ (tj , tj + ∆t) ,

con lo que

L(C,Pk) =

m−1∑j=0

√x′1(τ1j)2 + . . . , x′n(τnj)2 ∆t .

El miembro de la derecha se identifica con una suma de Riemann de la funcion L(t) ≡√x′1(t)2 + . . . , x′n(t)2,

que es integrable en [a, b] por ser continua. Entonces, tomando todas las particiones de la sucesion se obtieneque los miembros de la izquierda forman una sucesion de longitudes de poligonales cuyo lımite es L(C) (porla proposicion anterior); mientras que los de la derecha son una sucesion de sumas de Riemann que, cuando∆t→ 0 ⇒ m→∞, converge al valor de la integral de Riemann de dicha funcion L(t) en I; con lo que

L(C) = lımk→∞

L(C,Pk) = lımm→∞

m−1∑j=0

√x′1(τ1j)2 + . . . , x′n(τnj)2 ∆t

=

∫ b

a

√(x′1(t))2 + . . . , (x′n(t))2dt .

Comentario: Puede demostrarse que este resultado es independiente de la parametrizacion elegida, comose vera en la proposicion 77.


Definicion 102 Sea c: I = [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn una curva regular (a trozos) y (x1(t), . . . , xn(t)) unaparametrizacion de la misma. Se denomina vector diferencial de longitud de arco al vector

dl := c′(t)dt = u‖c′(t)‖dt := udl

(donde u =c′(t)

‖c′(t)‖es el vector tangente unitario); con lo que

L(C) :=

∫C

dl =

∫C

‖dl‖

7.1.2. Integral de lınea de un campo escalar. Propiedades

En el capıtulo anterior hemos definido la integral de funciones escalares sobre regiones de Rn. Unasituacion diferente pero particularmente interesante (por sus aplicaciones) se presenta cuando se tiene unacurva en el dominio de la funcion y se trata de integrar la funcion a lo largo de dicha curva. Este conceptosurge, de hecho, como una generalizacion de la expresion obtenida en el apartado anterior, que permitıadeterminar la longitud de un arco de curva.

Definicion 103 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → R y una curva parametrizada regular c: I = [a, b] ⊆ R →A ⊆ Rn. Se denomina integral de lınea de la funcion escalar f a lo largo de la curva C = Im c o tambienintegral de lınea de primera especie a la siguiente integral (si existe)∫

C

fdl :=

∫ b

a

f(c(t))‖c′(t)‖dt . (7.2)

Si C es cerrada se usa la notacion

∮C

fdl .

Se pueden dar condiciones suficientes que garantizan la existencia de la integral anterior:

Proposicion 75 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → R y una curva c: I ⊆ R → A ⊆ Rn. Si f c es integrable(en particular, si f es continua), entonces existe la integral (7.2).

(Dem.) Trivial.

La interpretacion geometrica de este concepto esta dada por el siguiente resultado:

Proposicion 76 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → R continua y una curva parametrizada regular c: I = [a, b] ⊆R→ A ⊆ Rn. El area de la superficie cuya base es la curva C = Imc y cuya altura en cada punto de la baseesta dada por la funcion f , viene determinada por la siguiente integral∫ b

a

f(c(t))‖c′(t)‖dt

(Dem.) El area de cada elemento de superficie que se levanta sobre el correspondiente elemento de arco dles dS = f(x)dl = f(c(t))dl. Aproximando la longitud del arco de curva por poligonales y siguiendo el mismoproceso de paso al lımite que en la proposicion 7.1 se obtiene que dicha area es∫ b

a

f(x1(t), . . . , xn(t))√x′1(t)2 + . . .+ x′n(t)2dt =

∫ b

a

f(c(t))‖c′(t)‖dt .


Ası, algunos problemas geometricos y fısicos que dan lugar a este tipo de integrales son los siguientes:

Calculo del area de una superficie cuya base es la grafica de una curva c(t) y cuya altura en cada puntode la base esta dada por una funcion f(x) (x ∈ R2).

Calculo de la masa de un alambre cuya forma esta dada por la grafica de una curva c(t) y su densidades una funcion f(x) (x ∈ Rn, n = 2 o n = 3).

Proposicion 77 Si c1: [a, b] → Rn y c2: [c, d] → Rn son dos parametrizaciones regularmente equivalentesde la curva C tales que existe la integral de lınea del campo escalar f a lo largo de C para ambas parametri-zaciones, entonces ∫ b

a

f(c1(t))‖c′1(t)‖ dt =

∫ d

c

f(c2(s))‖c′2(s)‖ds ;

es decir, la integral de lınea de un campo escalar f a lo largo de C no depende de la parametrizacion ni dela orientacion de la curva 2.

(Dem.) Si c1: [a, b]→ Rn y c2: [c, d]→ Rn son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de la curvaC, recordando la definicion 58, existe un difeomorfismo de clase C1, g: [a, b]→ [c, d], tal que c1(t) = c2(g(t))y, por tanto, c′1(t) = c′2(g(t))g′(t). Si la integral de lınea del campo escalar f a lo largo de C existe para laparametrizacion c2, entonces ∫

C

f dl =

∫ d

c

(f c2)(s) ‖c′2(s)‖ ds .

Si en esta integral se hace el cambio de variable s = g(t), y por tanto ds = g′(t)dt, en el caso que ambasparametrizaciones tengan la misma orientacion, es decir g′(t) > 0 y por tanto g(a) = c y g(b) = d, resulta∫C

f dl =

∫ b

a

(f c2)(g(t)) ‖c′2(g(t))‖ g′(t) dt =

∫ b

a

(f c2 g)(t) ‖(c2 g)′(t)‖ dt =

∫ b

a

(f c1)(t) ‖c′1(t)‖ dt .

2 Tomando f = 1 en este resultado, se obtiene como corolario que la longitud de un arco de curva es independiente de laparametrizacion.


Si g′(t) < 0 se tiene g(a) = d y g(b) = c y por tanto∫ d

c

(f c2)(s) ‖c′2(s)‖ ds =

∫ a

b

(f c2)(g(t)) ‖c′2(g(t))‖ g′(t) dt = −∫ b

a

(f c2)(g(t)) ‖c′2(g(t))‖ g′(t) dt

=

∫ b

a

(f c2)(g(t)) ‖c′2(g(t))‖ (−g′(t)) dt =

∫ b

a

(f c2 g)(t) ‖(c2 g)′(t)‖ dt

=

∫ b

a

(f c1)(t) ‖c′1(t)‖ dt .

Observese que la independencia de la orientacion proviene del hecho de que esta esta fijada por el vectortangente c′(t), pero la integral solo depende de su modulo.

Comentarios:

Ası pues, el calculo de una integral de lınea de este tipo se reduce al calculo de una integral ordinaria(de una funcion de una variable) sobre un intervalo.

Como consecuencia, las propiedades de las integrales de lınea de primera especie son las de las integrales(de Riemann) de funciones de una variable (linealidad, monotonıa, aditividad del intervalo,. . .).

Como caso particular, tomando la funcion f = 1 en la integral, se obtiene la expresion (7.1) paracalcular la longitud de un arco de curva.

Todas las definiciones y resultados anteriores son tambien validos si las curvas son regulares (o diferen-ciables) a trozos. En tales casos, las integrales descomponen en suma de integrales sobre cada intervalodonde las curvas son regulares.

7.1.3. Integral de lınea de un campo vectorial. Propiedades

Otra situacion distinta pero relacionada con la anterior consiste en integrar una funcion vectorial a lolargo de una curva definida en el dominio de la funcion. Esto da origen a la siguiente definicion:

Definicion 104 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn y una curva parametrizada regular c: I = [a, b] ⊆Rn → A ⊆ Rn. Se denomina integral de lınea de la funcion vectorial f a lo largo de la curva C = Im c otambien integral de lınea de segunda especie a la siguiente integral (si existe)∫

C

f · dl :=

∫ b

a

f(c(t)) · c′(t)dt . (7.3)

El resultado de esta integral de lınea se denomina circulacion del campo f a lo largo de C.

Hay diversos problemas fısicos que dan origen a este tipo de integrales; por ejemplo:

En Mecanica: el problema fısico por excelencia que da lugar a estas integrales es el calculo del trabajorealizado por un campo de fuerzas sobre una partıcula que se mueve a lo largo de una trayectoria.

En Electromagnetismo: calculo de la fuerza electromotriz inducida en un conductor lineal por uncampo electrico.

Partiendo de la primera interpretacion vamos a justificar esta definicion. Sea una funcion vectorial f :A ⊆Rn → Rn y una curva diferenciable c: I = [a, b] ⊆ Rn → A ⊆ Rn. Sea (x1(t), . . . , xn(t)) una parametrizacionde la curva y Pk una sucesion de particiones regulares de I cuyos diametros convergen a cero. Dos puntosti y ti + ∆t de cualquiera de estas particiones definen un vector

∆li := (x1(ti + ∆t), . . . , xn(ti + ∆t))− (x1(ti), . . . , xn(ti))

Se construye, entonces, la suma de productos escalares∑i

f(c(ti)) ·∆li que, en el lımite k →∞, definira la

integral

∫C

f ·dl, cuyo resultado, si f representa un campo de fuerzas y c una trayectoria, da (por definicion)

el trabajo realizado.


Notacion:

Es habitual expresar este tipo de integrales del siguiente modo: si f = (f1, . . . , fn), teniendo en cuentaque dl = (dx1, . . . ,dxn), ∫

C

f · dl :=

∫C

f1dx1 + . . . fndxn

Si C es cerrada se usa la notacion

∮C

f · dl .

Se pueden dar condiciones suficientes que garantizan la existencia de la integral (7.3):

Proposicion 78 Sea una funcion f :A ⊆ Rn → Rn y una curva c: I ⊆ R→ A ⊆ Rn. Si f c es integrable,en el sentido de que lo son sus funciones componentes, (en particular, si f es continua), entonces existe la

integral

∫C

f · dl .

(Dem.) Trivial.

Comentarios:

Como en el caso precedente, el calculo de una integral de lınea de este tipo se reduce al calculo de unaintegral ordinaria (de una funcion de una variable) sobre un intervalo.

Como consecuencia, las propiedades de las integrales de lınea de segunda especie son las de las integrales(de Riemann) de funciones de una variable (linealidad, monotonıa, aditividad del intervalo,. . .).

Todas las definiciones y resultados son tambien validos si las curvas son regulares (o diferenciables) atrozos. En tales casos, las integrales descomponen en suma de integrales sobre cada intervalo donde lascurvas son regulares.

La interpretacion del producto escalar que aparece en el integrando, en la proposicion precedente, esla siguiente: el campo vectorial f asigna, en cada punto c(t), un vector (en Rn) que se multiplicaescalarmente por el vector tangente a la curva en dicho punto.

A este respecto, debe tenerse en cuenta que el vector tangente en un punto tiene dos orientacionesposibles. Entonces, para realizar la integral, debe tomarse aquella que coincide con el sentido en quese recorre la curva (ya que al cambiar el sentido del vector tangente varıa el signo del producto escalardel integrando). Ası pues:

Proposicion 79 Si c1: [a, b] → Rn y c2: [c, d] → Rn son dos parametrizaciones regularmente equivalen-tes de la curva C tales que existe la integral de lınea del campo vectorial f a lo largo de C para ambasparametrizaciones, entonces ∫ b

a

f(c1(t)) · c′1(t) dt = ±∫ d

c

f(c2(s)) · c′2(s) ds ;

es decir, el valor absoluto de la integral de lınea de un campo vectorial f a lo largo de C no depende de laparametrizacion. El signo depende de la orientacion de la misma, siendo positivo cuando las parametriza-ciones orientan la curva en el mismo sentido y negativo en caso contrario (se dice que la integral de lıneade un campo vectorial es una integral orientada).

(Dem.) La demostracion es semejante a la de la proposicion 77. Si c1: [a, b] → Rn y c2: [c, d] → Rnson dos parametrizaciones regularmente equivalentes de la curva C, recordando la definicion 58, existe undifeomorfismo de clase C1, g: [a, b] → [c, d], tal que c1(t) = c2(g(t)) y, por tanto, c′1(t) = c′2(g(t))g′(t).Calculando la integral de lınea del campo vectorial f f a lo largo de C para la parametrizacion c2∫

Cf · dl =

∫ d

c

(f c2)(s) · c′2(s) ds .


Si en esta integral se hace el cambio de variable s = g(t), y por tanto ds = g′(t)dt; en el caso que ambasparametrizaciones tengan la misma orientacion, es decir g′(t) > 0, se tiene que g(a) = c y g(b) = d, mientrasque si g′(t) < 0 (esto es, se tienen orientaciones opuestas), resulta que g(a) = d y g(b) = c. Ası pues,∫C

f ·dl = ±∫ b

a

(f c2)(g(t)) ·c′2(g(t)) g′(t) dt = ±∫ b

a

(f c2 g)(t)) ·(c2 g)′(t) dt = ±∫ b

a

(f c1)(t) ·c′1(t) dt ,

el signo positivo rige para el caso en que las parametrizaciones c1 y c2 orienten la curva C en el mismosentido y el negativo cuando la orientan en sentido contrario.

Finalmente, las integrales de lınea de campos vectoriales estan relacionadas con las integrales de lınea decampos escalares. En efecto:

Proposicion 80 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn y una curva parametrizada regular c: I =[a, b] ⊆ Rn → A ⊆ Rn, con C = Im c ⊆ A. Entonces∫

C

f · dl :=

∫ b

a

[f(c(t)) · u(t)]‖c′(t)‖dt

donde u(t) :=c′(t)

‖c′(t)‖es el vector unitario tangente a C. (Es decir, la circulacion de un vector f a lo largo

de una curva C es la integral de su componente tangencial respecto a la curva).

Dem.) Sea c(t) una parametrizacion de la curva C, entonces∫C

f · dl =

∫ b

a

(f c)(t) · c′(t) dt =

∫ b

a

(f c)(t) · c′(t)

‖c′(t)‖‖c′(t)‖ dt =

∫C

fT dl ,

donde fT (t) := (f c)(t) · c′(t)

‖c′(t)‖es la componente tangencial del campo vectorial f sobre la curva C.

7.2. Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales

7.2.1. Area de una superficie

Del mismo modo que el estudio de las integrales de lınea comenzo obteniendo previamente la expresionpara la determinacion de la longitud de un arco de curva, nos introduciremos en el analisis de las integralesde superficie deduciendo la expresion para el calculo del area de una porcion de superficie (parametrizada).

Sea σ:D ⊆ R2 → R3, S = Imσ, una superficie parametrizada regular, para la que asumiremos que D esuna region acotada y medible de Jordan. Sea N ⊂ R2 un rectangulo tal que D ⊂ N y P una particion de N3. Considerese la familia N formada por los rectangulos de la particion que estan contenidos en D. Sea unrectangulo No ⊂ D con vertices en los puntos (uo, vo), (uo+4u, vo), (uo, vo+4v) y (uo+4u, vo+4v), cuyaarea es, por consiguiente, A(No) = 4u4v. Se trata de calcular el area del elemento de superficie σ(No). Unaaproximacion al valor de dicha area se obtiene de la siguiente forma: considerese el segmento de extremos(uo, vo) y (uo +4u, vo). Su imagen por σ es una curva sobre la superficie S cuya longitud, para valores 4upequenos, se puede aproximar mediante la aproximacion lineal de la funcion σ en (uo, vo) por

‖σ(uo +4u, vo)− σ(uo, vo)‖ ≈∥∥∥Jσ(uo, vo)

((uo +4u

vo

)−(uovo

))∥∥∥=

∥∥∥ ∂x

∂u∂y∂u∂z∂u

(uo,vo)

∥∥∥4u = ‖Tu(uo, vo)‖4u .

Igualmente el segmento de extremos (uo, vo) y (uo, vo +4v) tiene como imagen por σ una curva sobre lasuperficie S cuya longitud, para valores 4v pequenos, estara aproximada en primer orden por

‖σ(uo, vo +4v)− σ(uo, vo)‖ ≈∥∥∥Jσ(uo, vo)

((uo

vo + ∆v

)−(uovo

))∥∥∥3 Que se puede suponer regular, sin que ello suponga una merma de generalidad.


=∥∥∥ ∂x

∂v∂y∂v∂z∂v

(uo,vo)

∥∥∥4v = ‖Tv(uo, vo)‖4v .

Ası pues, σ(No) es un paralelogramo curvo sobre S cuya area esta aproximada en primer orden por el areadel paralelogramo que, situado en el plano tangente a S en σ(uo, vo), esta determinado por los vectoresTu(uo, vo)4u y Tv(uo, vo)4v y cuyo valor es, por tanto,

Ao = ‖Tu(uo, vo)4u×Tv(uo, vo)4v‖ = ‖Tu(uo, vo)×Tv(uo, vo)‖4u4v .

De este modo, sumando para todos los rectangulos de S, resulta

A(N ) ≡∑Nj⊂N

‖Tu(uj , vj)×Tv(uj , vj)‖A(Nj) . (7.4)

Tomese, ahora, una sucesion de particiones Pmm∈N tales que

(i) Pm ⊂ Pm+1 (Pm+1 es mas fina que Pm).

(ii) la sucesion de sus diametros δPmm∈N converge a 0, lımk→∞

δPm = 0,

y considerese la correspondiente sucesion de familias Nm, entonces:

Definicion 105 Se denomina area de la superficie S = Imσ a A(S) = lımm→∞

A(Nm).

Observese que, al ser D medible de Jordan, la contribucion a esta area de los rectangulos de las particionesque recubren FrD, en el lımite, es negligible.

Proposicion 81 Sea σ:D ⊆ R2 → R3 una superficie parametrizada regular (para la que se cumplen lascondiciones precedentes). El area de la superficie S := Imσ es

A(S) =

∫D

‖Tu(u, v)×Tv(u, v) ‖ dudv =

∫D

√∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(x, z)

∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣2dudv


(Dem.) En efecto, de la definicion anterior y (7.4) se concluye que

A(S) = lımm→∞

A(Nm) =

∫D

‖Tu(u, v)×Tv(u, v) ‖ dudv ,

ya que el miembro de la derecha de (7.4) es una suma de Riemann de la extension de la funcion ‖Tu(u, v)×Tv(u, v) ‖ al rectangulo N 4.

Comentario: Con esta demostracion se acaba de dar otra interpretacion geometrica al producto vectorialfundamental: su modulo es el factor de amplificacion entre el area de un rectangulo elemental en el dominiode una superficie, y el area del elemento de superficie imagen de dicho rectangulo.

A partir de este resultado se pueden obtener las correspondientes expresiones para el calculo del areacuando la superficie esta dada en forma explıcita o implıcita:

Corolario 12 Sea S una superficie regular.

1. Si la superficie esta dada en forma explıcita,

f :A ⊆ R2 → R , S = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A, z = f(x, y)

entonces

A(S) =

∫A

√1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

dxdy

2. Si la superficie esta dada en forma implıcita,

F :B ⊆ R3 → R , S := (x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = k

y se cumplen las hipotesis del teorema de la funcion implıcita, existiendo localmente la funcion z =f(x, y) tal que F (x, y, f(x, y)) = 0, con dominio A′ ⊂ R2, entonces

A(S) =

∫A′

√(∂F∂x

)2+(∂F∂y

)2

+(∂F∂z

)2|∂F∂z |

dxdy

(Dem.) Basta tener en cuenta las expresiones del producto vectorial fundamental para estos casos.

Casos particulares:

Si la superficie esta dada en forma explıcita y su grafica esta contenida en un plano paralelo al plano

coordenado XY (donde se halla el dominio de la funcion), entonces∂f

∂x=∂f

∂y= 0 y queda

A(S) =

∫A

dxdy

que es la conocida expresion para el calculo del area de una superficie contenida en dicho plano coor-denado.

Si la superficie esta dada en forma explıcita y su grafica esta contenida en un plano que forma unangulo α con el plano coordenado XY (donde se halla el dominio A de la funcion), entonces

A(S) =

∫A

dxdy

cosα=A(A)

cosα

Definicion 106 Sea σ:D ⊆ R2 → R3 una superficie regular. Se denomina vector diferencial de superficieal vector

dS := (Tu ×Tv) dudv = n‖Tu ×Tv‖ dudv := n dS

(donde n es el vector normal unitario); con lo que

A(S) ≡∫S

dS =

∫S

‖dS‖4 En la que se ha descartado la contribucion de los rectangulos que recubren la frontera de D.


Figura 7.1: Regla del coseno para un rectangulo.

7.2.2. Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades

Estamos ya preparados para introducir la nocion de integral de una funcion escalar sobre una superficie.Al igual que las integrales de lınea de funciones escalares eran una generalizacion de la expresion que daba lalongitud de un arco de curva, las integrales de funciones escalares sobre superficies lo son de la que determinael area de una superficie. De cualquier modo, hay tambien toda una diversidad de problemas en Geometrıay Fısica que dan origen a este tipo de integrales:

El ya mencionado calculo de areas.

Calculo de masas de figuras bidimensionales de densidad superficial variable y, por extension, calculode centros de masa y de gravedad.

Calculo de momentos de inercia de figuras planas respecto a ejes coplanarios con ellas.

Ası pues, por analogıa con las integrales de lınea, se define:

Definicion 107 Sea una funcion f :A ⊆ R3 → R y una superficie parametrizada regular σ:D ⊆ R2 → R3

tal que S ≡ Imσ ⊂ A. Se denomina integral de superficie de la funcion escalar f sobre la superficie S otambien integral de superficie de primera especie a la siguiente integral (si existe)∫

S

f dS :=

∫D

f(σ(u, v))‖Tu(u, v)×Tv(u, v)‖ dudv

Expresion explıcita

Sea f = (f1, f2, f3). Teniendo en cuenta la expresion explıcita del producto vectorial fundamental(ecuacion (4.8)), se tiene que∫

S

f dS :=

∫D

f(σ(u, v))‖Tu(u, v)×Tv(u, v)‖dudv

=

∫D

f(σ(u, v))

√∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(z, x)

∂(u, v)

∣∣∣2 +∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣2dudv ,

que es la expresion explıcita de las integrales de superficie (de primera especie).


Proposicion 82 Sea una funcion f :A ⊆ R3 → R y una superficie parametrizada diferenciable (a trozos)σ:D ⊆ R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊂ A. Si f σ es integrable (en particular, si f es continua y D es una

region medible de Jordan), entonces existe la integral

∫S

fdS .


(Dem.) Trivial.

Comentarios:

Ası pues, el calculo de una integral de superficie de este tipo se reduce al calculo de una integral doble.

Como consecuencia, las propiedades de las integrales de superficie de primera especie son las de las inte-grales (de Riemann) de funciones de dos variables (linealidad, monotonıa, aditividad del dominio,. . .).

Como caso particular, tomando la funcion f = 1 en la integral, se obtiene la expresion para calcular elarea de la superficie.

Todas las definiciones y resultados anteriores son tambien validos si las superficies son regulares (odiferenciales) a trozos. En tales casos, las integrales descomponen en suma de integrales sobre cadadominio donde las superficies son regulares.

Si la superficie estuviera dada en forma explıcita o implıcita, la definicion dada es aplicable sin ningunproblema, teniendo en cuenta todo lo expuesto en los apartados precedentes.

El resultado de una integral de superficie de primera especie no depende de la orientacion (es evidente)ni tampoco de la parametrizacion de la superficie. En efecto:

Proposicion 83 Si σ1:D1 ⊆ R2 → R3 y σ2:D2 ⊆ R2 → R3 son dos parametrizaciones regularmenteequivalentes de la superficie S tales que existe la integral de superficie del campo escalar f sobre S paraambas parametrizaciones, entonces∫

D1

f(σ1(u, v))∥∥∥∂σ1

∂u(u, v)× ∂σ1

∂v(u, v)

∥∥∥dudv =

∫D2

f(σ2(s, t))∥∥∥∂σ2

∂s(s, t)× ∂σ2

∂t(s, t)

∥∥∥ dsdt ;

es decir, la integral de superficie de un campo escalar f sobre S no depende de la parametrizacion ni de laorientacion de la superficie 5.

(Dem.) Si σ1 y σ2 son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de S, recordando lla definicion 66,existe un difeomorfismo g:D1 ⊂ R2 → D2 ⊂ R2 de clase C1 tal que σ1 = σ2 g. Entonces, aplicando laregla de la cadena se tiene que

Dσ1(u, v) =

∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∂z

∂u

∂z

∂v

(u,v)

= Dσ2(g(u, v)) Dg(u, v) =

∂x

∂s

∂x

∂t

∂y

∂s

∂y

∂t

∂z

∂s

∂z

∂t

g(u,v)

∂s

∂u

∂s

∂v

∂t

∂u

∂t

∂v

(u,v)

=

∂x

∂s(g(u, v))

∂s

∂u(u, v) +

∂x

∂t(g(u, v))

∂t

∂u(u, v)

∂x

∂s(g(u, v))

∂s

∂v(u, v) +

∂x

∂t(g(u, v))

∂t

∂v(u, v)

∂y

∂s(g(u, v))

∂s

∂u(u, v) +

∂y

∂t(g(u, v))

∂t

∂u(u, v)

∂y

∂s(g(u, v))

∂s

∂v(u, v) +

∂y

∂t(g(u, v))

∂t

∂v(u, v)

∂z

∂s(g(u, v))

∂s

∂u(u, v) +

∂z

∂t(g(u, v))

∂t

∂u(u, v)

∂z

∂s(g(u, v))

∂s

∂v(u, v) +

∂z

∂t(g(u, v))

∂t

∂v(u, v)

≡

(∂σ2

∂s

∂s

∂u+∂σ2

∂t

∂t

∂u,∂σ2

∂s

∂s

∂v+∂σ2

∂t

∂t

∂v

)(u,v)

,

de donde ∥∥∥(∂σ1

∂u× ∂σ1

∂v

)(u,v)

∥∥∥ =∥∥∥(∂σ2

∂s

∂s

∂u+∂σ2

∂t

∂t

∂u

)(u,v)

×(∂σ2

∂s

∂s

∂v+∂σ2

∂t

∂t

∂v

)(u,v)

∥∥∥5 Tomando f = 1 en este resultado, se obtiene como corolario que el area de una superficie es independiente de la parame-

trizacion.


=∥∥∥(∂σ2

∂s× ∂σ2

∂t

)g(u,v))

(∂s

∂u

∂t

∂v− ∂s

∂v

∂t

∂u

)(u,v)

∥∥∥=

∥∥∥(∂σ2

∂s× ∂σ2

∂t

)g(u,v))

∥∥∥ |det Jg(u, v)| .

Si ahora se calcula la integral de f en S utilizando la parametrizacion σ2 y se hace en ella el cambio devariable (s, t) = g(u, v) se tiene∫D2

f(σ2(s, t))

∥∥∥∥∥(∂σ2

∂s× ∂σ2

∂t

)(s,t)

∥∥∥∥∥ dsdt =

∫D1

f(σ2(g(u, v)))

∥∥∥∥∥(∂σ2

∂u× ∂σ2

∂v

)g(u,v)

∥∥∥∥∥ |det Jg(u, v)|dudv

=

∫D1

f(σ1(u, v))

∥∥∥∥∥(∂σ1

∂u× ∂σ1

∂v

)(u,v)

∥∥∥∥∥ dudv

que es la integral de f en S utilizando la parametrizacion σ1.

7.2.3. Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades

La nocion de integral de lınea de un campo vectorial tiene tambien su analogıa en el caso de integralesde superficie.

El problema fısico que da origen a este tipo de integrales es el calculo del flujo de un fluido que fluyea traves de una superficie que corta a sus lıneas de corriente (esto es, la masa de fluido que atraviesa lasuperficie en la unidad de tiempo). Un problema similar en teorıa de campos es el calculo del flujo de uncampo de fuerzas a traves de superficies que cortan a sus lıneas de fuerza.

Definicion 108 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ R3 → R3 y una superficie parametrizada regular σ:D ⊆R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊂ A. Se denomina integral de superficie de la funcion vectorial f sobre lasuperficie S o tambien integral de superficie de segunda especie a la siguiente integral (si existe)∫

S

f · dS :=

∫D

f(σ(u, v)) · (Tu ×Tv)dudv

El resultado de esta integral de superficie se denomina flujo del campo f a traves de S 6.

Expresion explıcita y notacion

Sea f = (f1, f2, f3). Teniendo en cuenta la expresion explıcita del producto vectorial fundamental(ecuacion (4.8)), se tiene que∫

S

f · dS :=

∫D

f(σ(u, v)) · (Tu ×Tv)dudv

=

∫D

(f1(σ(u, v))

∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)

∣∣∣+ f2(σ(u, v))∣∣∣∂(z, x)

∂(u, v)

∣∣∣+ f3(σ(u, v))∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣)dudv

que es la expresion explıcita de las integrales de superficie (de segunda especie).

Es habitual introducir la siguiente notacion∫S

f · dS =

∫S

f1dy ∧ dz + f2dz ∧ dx+ f3dx ∧ dy


Proposicion 84 Sea una funcion f :A ⊆ R3 → R3 y una superficie parametrizada diferenciable σ:D ⊆R2 → R3 tal que S ≡ Imσ ⊂ A. Si f σ es integrable (en particular, si f es continua y D es una region

medible de Jordan), entonces existe la integral

∫S

f · dS .

6 En la primera interpretacion fısica que se ha dado de este problema, f representa el campo de densidad de momento linealdel fluido (masa por velocidad dividido por volumen). El resultado de la integral es, por tanto, la masa neta de fluido queatraviesa la superficie.


(Dem.) Trivial.

Comentario:

Dado que las integrales de superficie de segunda especie son tambien integrales dobles, sus propiedadesson las de las integrales (de Riemann) de funciones de dos variables (linealidad, monotonıa, aditividaddel dominio,. . .).

Todas las definiciones y resultados son tambien validos si las superficies son regulares (o diferenciales)a trozos. En tales casos, las integrales descomponen en suma de integrales sobre cada dominio dondelas superficies son regulares.

Si la superficie estuviera dada en forma explıcita o implıcita, la definicion dada es aplicable sin ningunproblema, teniendo en cuenta todo lo expuesto en los apartados precedentes.

Es evidente que el signo de una integral de superficie de segunda especie depende de la orientacion,pues si se cambia esta, cambia el sentido (y, por tanto el signo) del producto vectorial en el integrando.Salvo este posible cambio de signo, el resultado de una integral de superficie de segunda especie nodepende de la parametrizacion. En concreto:

Proposicion 85 Si σ1:D1 ⊂ R2 → R3 y σ2:D2 ⊂ R2 → R3 son dos parametrizaciones regularmenteequivalentes de la superficie S tales que existe la integral de superficie de la funcion vectorial f para ambasparametrizaciones, entonces∫ ∫

D1

f(σ1(u, v)) · (Tu ×Tv) (u, v) dudv = ±∫ ∫

D2

f(σ2(s, t)) · (Ts ×Tt) (s, t) dsdt

es decir, el valor absoluto de la integral de superficie de un campo vectorial f sobre una S no depende dela parametrizacion. El signo depende de la orientacion de la misma, siendo positivo cuando las parametri-zaciones orientan la superficie en el mismo sentido y negativo en caso contrario (se dice que la integral desuperficie de un campo vectorial es una integral orientada).

(Dem.) La demostracion es como la de la Proposicion 83. Si se calcula la integral de f en S utilizando laparametrizacion σ2 y se hace el cambio de variable (s, t) = g(u, v) se tiene∫D2

f(σ2(s, t)) ·(∂σ2

∂s× ∂σ2

∂t

)(s,t)

dsdt =

∫D1

f(σ2(g(u, v))) ·(∂σ2

∂u× ∂σ2

∂v

)g(u,v)

|det Jg(u, v)|dudv

= ±∫D1

f(σ1(u, v)) ·(∂σ1

∂u× ∂σ1

∂v

)(u,v)

dudv ,

que corresponde al calculo de la integral de f en S utilizando la parametrizacion σ1.

Observese que el signo es + o − segun sea el signo del jacobiano de g o, lo que es lo mismo, si las dosparametrizaciones orientan S de la misma forma o no.

Finalmente, el calculo de integrales de superficie de campos vectoriales puede reducirse al de integralesde superficie de campos escalares. En efecto:

Proposicion 86 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ R3 → R3 y una superficie parametrizada regular σ:D ⊆R2 → R3, con S = Imσ ⊂ A. Entonces∫

S

f · dS =

∫D

f(σ(u, v)) · n(u, v) ‖(Tu ×Tv)(u,v)‖ dudv ,

donde n(u, v) :=(Tu ×Tv)(u,v)

‖(Tu ×Tv)(u,v)‖es el vector unitario normal a S. (Es decir, el flujo de un campo vectorial

f a traves de una superficie S es la integral de su componente normal respecto de la superficie).

Dem.) Sea σ(u, v) una parametrizacion de la superficie S, entonces∫S

f · dS =

∫D

(f σ)(u, v) · (Tu ×Tv)(u,v) dudv

=

∫D

(f σ)(u, v) ·(Tu ×Tv)(u,v)

‖(Tu ×Tv)(u,v)‖‖(Tu ×Tv)(u,v)‖dudv ≡

∫S

fN dS ,


donde fN (u, v) := (f σ)(u, v) ·(Tu ×Tv)(u,v)

‖(Tu ×Tv)(u,v)‖es la componente normal del campo vectorial f respecto

de la superficie S.

Capıtulo 8

Teoremas del Analisis Vectorial

Introduccion

En el capıtulo anterior se ha tratado sobre la integracion de funciones escalares y vectoriales a lo largode curvas y superficies. En el presente capıtulo vamos a estudiar los teoremas del Analisis vectorial, queconciernen a estos conceptos (teoremas del rotacional de Stokes y Green y de la divergencia o de Gauss-Ostrogadski). Como ya fue comentado en la introduccion del capıtulo anterior, todos estos temas tienen suorigen, en general, en problemas fısicos, como ya veremos.

Comenzaremos estableciendo el teorema de Stokes, primeramente su version en R2, que se conoce con elnombre de teorema de Green, y despues en R3. Se analizara su aplicacion en diversos contextos y se utilizarapara caracterizar los campos conservativos, retomando ası, de forma natural, algunas cuestiones relacionadascon este tipo de campos que habıan quedado planteadas en la parte del curso sobre Calculo Diferencial.

El siguiente paso sera establecer el teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogadsky en R3, sus casosparticulares y su aplicacion para caracterizar los campos solenoidales.

Hay que advertir que, aunque la mayorıa de los conceptos que van a estudiarse se pueden desarrollar enRn en general, en este curso solo se estudiaran en R3 y, eventualmente, en R2.

8.1. Teorema del rotacional o de Stokes

El teorema de Stokes o del rotacional es el primero de los teoremas fundamentales del Analisis vectorialque vamos a considerar. Aparte de sus implicaciones fısicas, la importancia analıtica de este teorema radica,entre otras razones, en que, a traves de el se relacionan los dos tipos de integrales que se han definido paracampos vectoriales: las integrales de lınea y las de superficie de segunda especie. Mas concretamente, el flujodel rotacional de un campo vectorial a traves de una superficie que tiene por borde una curva de Jordan,y la circulacion de dicho campo a lo largo de esa curva de Jordan. (De hecho, este teorema tiene su origenen las leyes fısicas que relacionan el flujo y la circulacion de los campos fısicos en esas condiciones). De estamanera, el teorema da sentido geometrico al concepto de rotacional.

El teorema de Stokes se puede enunciar para el caso general Rn, (n ≥ 2), aunque en este curso solo va aser utilizado en R2 y R3.

8.1.1. Teorema de Green

Comenzaremos con el caso de R2, que da origen al denominado teorema de Green. Este caso presentaciertas peculiaridades y sirve de base para la demostracion en dimension superior.

Previamente es importante senalar que en muchos de los enunciados de Analisis vectorial se usa el termino“frontera” (referido a un conjunto de puntos), no en el sentido topologico, sino en el geometrico; es decir,se esta haciendo referencia a los puntos, si existen, que delimitan geometricamente dicho conjunto, (queformaran en muchos casos una curva, superficie o hipersuperficie en Rn). Ası pues, hay que distinguir entre

124


la frontera topologica y la frontera geometrica o borde de un conjunto.

Se va a establecer primero la definicion para regiones en R2.

Definicion 109 Sea A ⊂ R2 (abierto) 1. Un punto p ∈ FrA = A − A es un punto frontera regular de laregion A si existe un abierto U ⊂ R2 que contiene a p y un difeomorfismo ϕ:U ⊂ R2 → V ⊂ R2 tal que

1. ϕ(p) = 0.

2. ϕ(U ∩A) = V ∩ (x, y) ∈ R2 | y > 0.

3. ϕ(U ∩ (A−A)) = V ∩ (x, y) ∈ R2 | y = 0.

Se denomina borde o contorno o frontera geometrica de A, y se designa por ∂A al conjunto de puntosfrontera regulares de A. Los puntos de FrA que no son regulares se denominan puntos frontera singulares.

Comentarios:

Observar que todos los puntos del conjunto ϕ−1(V ∩(x, y) ∈ R2 | y = 0) son puntos frontera regularesde D.

El borde de una region A ⊂ R2 son arcos de curvas regulares planas. Los puntos frontera singularesson vertices (y/o puntos aislados, si A es cerrado) .

Se puede asumir que det Jpϕ > 0 y que, por tanto, ϕ preserva la orientacion 2, con lo que:

Definicion 110 Sea e1, e2 la base ortonormal (dextrogira) para las coordenadas cartesianas en R2. Sidet J Dpϕ > 0, se denomina orientacion positiva de ∂D a la que asigna a cada punto p ∈ ∂D el vector(Dpϕ)−1(e1).

Por otra parte, dado que una curva de Jordan es una curva cerrada y simple, se puede establecer que:

Proposicion 87 (Teorema de la curva de Jordan): Toda curva de Jordan C ⊂ R2 divide el plano R2 en dosconjuntos abiertos, arco-conexos y disjuntos que tienen la curva como frontera comun. Una de esas regioneses acotada y se llama interior a C, mientras que la otra es no acotada y se llama exterior a C 3.

Si C es una curva de Jordan regular y D ⊂ R2 es el interior a C, entonces C = ∂D.

Intuitivamente la orientacion positiva de una curva de Jordan regular (a trozos) C = ∂D significa que lacurva se recorre de forma que la region D queda a la izquierda o, lo que es equivalente, en sentido “contrarioal de las agujas del reloj”.

Teniendo todo esto en cuenta, se establece:

Teorema 32 (de Green o de Stokes en R2): Sean f :A ⊂ R2 → R2, con f = (f1, f2) (con A abierto) yD ⊂ R2 una region abierta tales que


2. D ⊂ A.

3. ∂D = C es una curva de Jordan regular orientada positivamente 4.

1 La definicion es analoga si A es cerrado. En tal caso, p no puede ser un punto aislado y, en la condicion (2) es y ≥ 0.2 En Rn siempre existen difeomorfismos de este tipo.3 Para ciertas curvas de Jordan como circunferencias elipses o polıgonos elementales, es evidente la existencia de una region

interior acotada y otra exterior no acotada; pero demostrar que esto es cierto para cualquier cuva de Jordan no es trivial. La

prueba para ver si un punto p ∈ R2es del interior o del exterior a C consiste en trazar semirectas desde p: si intersectan a C en

un numero impar de puntos (sin ser tangente) entonces p es del interior, mientras que si lo hacen en un numero par de puntos,en ninguno o son tangentes a la curva, entonces p es del exterior.

4 Como consecuencia D es el interior a C y, por tanto, D es una region compacta.


Entonces ∮∂D=C

f · dl =

∫D

rot f ; (8.1)

(Dem.) En primer lugar, si c: [t1, t2] ⊂ R→ R2 es una parametrizacion regular de la curva C = ∂D es∮C

f ·dl ≡∫ t2

t1

(f1(c(t)), f2(c(t))) ·c′(t) dt =

∫ t2

t1

f1(c(t))x′(t) dt+

∫ t2

t1

f2(c(t))y′(t) dt ≡∮C

f1 dx+

∮C

f2 dy ,

con lo que (8.1) se expresa como∮∂D

f1dx+ f2dy =

∫D

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dx dy . (8.2)

Se va a demostrar el teorema de Green para regiones que son una union finita de regiones elementalesadyacentes de tipo III (esto es, a la vez de tipo I y de tipo II en R2). El procedimiento se realiza en dos etapas:se prueba el teorema para una region de tipo III, considerando que es de tipo I y de tipo II simultaneamente,y entonces se extiende el resultado a la union de estas regiones.

Sea, pues, D una region del tipo I; esto es,

D = (x, y) ∈ R2 | φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) , a ≤ x ≤ b ; (φ1, φ2 continuas) .

La frontera o borde C de D esta formada, en el caso mas general posible, por la union de cuatro curvas:C1 = graf φ1, C2 = graf φ2, C3 un segmento de la recta x = a y C4 un segmento de la recta x = b; cuyasparametrizaciones y orientaciones, teniendo en cuenta que C se ha de recorrer en sentido contrario al de lasagujas del reloj, son:

C1 : c1(t) = (t, φ1(t)) c′1(t) = (1, φ′1(t)) a ≤ t ≤ b en el sentido creciente de tC2 : c2(t) = (t, φ2(t)) c′2(t) = (1, φ′2(t)) a ≤ t ≤ b en el sentido creciente de tC3 : c3(t) = (a, t) c′3(t) = (0, 1) φ1(a) ≤ t ≤ φ2(a) en el sentido decreciente de tC4 : c4(t) = (b, t) c′4(t) = (0, 1) φ1(b) ≤ t ≤ φ2(b) en el sentido decreciente de t

Figura 8.1: Region tipo I.

Entonces, por una parte se tiene que

−∫D

∂f1

∂ydxdy = −

∫ b

a

[∫ φ2(x)

φ1(x)

∂f1

∂ydy

]dx =

∫ b

a

f1(x, φ1(x)) dx−∫ b

a

f1(x, φ2(x)) dx ;

y, por otra parte, ∮C

f1 dx =

∫C1

f1 dx+

∫C2

f1 dx+

∫C3

f1 dx+

∫C4

f1 dx ;


pero las integrales a lo largo de los segmentos verticales son nulas pues∫C3

f1(x, y) dx = −∫ φ2(a)

φ1(a)

f1(c3(t))x′(t) dt = 0

ya que x′(t) = 0 en C3, y lo mismo ocurre sobre la curva C4. Por tanto,∮C

f1 dx =

∫C1

f1 dx+

∫C2

f1 dx =

∫ b

a

f1(c1(t))x′(t) dt−∫ b

a

f1(c2(t))x′(t) dt

=

∫ b

a

f1(t, φ1(t)) dt−∫ b

a

f1(t, φ2(t)) dt ,

y ası se concluye que

−∫D

∂f1

∂ydxdy =

∮C

f1 dx .

Un razonamiento similar puede emplearse para demostrar que en regiones D del tipo II se cumple que∫D

∂f2

∂xdxdy =

∮C

f2 dy .

Entonces, para regiones que son a un tiempo de tipo I y de tipo II, sumando ambos resultados se obtiene laformula (8.2) y, por tanto, una demostracion del teorema de Green para regiones de tipo III.

Figura 8.2: Region cualquiera.

Puede ahora demostrarse el teorema para regiones D que son una union finita de regiones elementales ad-yacentes de tipo III. El procedimiento consiste en parcelar la region D introduciendo las divisiones necesariaspara conseguir subregiones de tipo III, se aplica el teorema a cada subregion y se suman los resultado. Lasintegrales a lo largo de los bordes comunes se anulan, y la suma de las integrales a lo largo de las fronterasno compartidas de las subregiones es igual a la integral de lınea a lo largo del borde de D.

8.1.2. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Green

∗ Extensiones del teorema

El teorema tambien es valido en el caso de que ∂D sean los puntos regulares de una curva de Jordanregular a trozos. Se dice, entonces, que el conjunto de puntos frontera singulares es negligible. En talcaso, la integral de lınea descompone en suma de integrales sobre cada arco regular de la curva.

El teorema de Green es valido tambien, en general, para curvas C de Jordan rectificables (no necesa-riamente regulares); esto es, curvas cerradas simples con longitud finita. La demostracion en este casoes bastante compleja.


∗ Teorema de Green en regiones multiplemente conexas

El teorema de Green es generalizable a regiones cuyo borde ∂D es una union finita de curvas de Jordanregulares (a trozos). En concreto, se puede generalizar y ser aplicado a regiones multiplemente conexas quetengan por borde curvas de Jordan regulares (a trozos):

Teorema 33 (de Green en regiones multiplemente conexas): Sea f :A ⊂ R2 → R2, con f = (f1, f2) (Aabierto), una funcion de clase C1. Sean C0, C1, . . . , Cn ⊂ A curvas de Jordan regulares a trozos tales que:

1. Todas las curvas C1, . . . , Cn estan situadas en el interior a C0.

2. La curva Ci esta en el exterior a la curva Cj, para cada i 6= j, i, j = 1, . . . , n.

Sea D la region que consite en la interseccion del interior a C0 y los exteriores a C1, . . . , Cn5. Entonces,∫

D

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dx dy =

∮C0

f · dl±n∑i=1

∮Ci

f · dl (8.3)

(donde el signo + rige si las integrales curvilineas se evaluan tomando orientaciones opuestas para C0 y Ciy el signo − en caso de que las orientaciones tengan el mismo sentido).

Figura 8.3: Region multiplemente conexa.

(Dem.) El teorema puede demostrarse introduciendo arcos de curvas regulares en D que conecten las curvasCi, de modo que la region D queda transformada en la union de un numero finito de regiones simplementeconexas bordeadas por curvas de Jordan regulares (a trozos). El teorema de Green se aplica separadamentea cada una de estas regiones y se suman las integrales correspondientes, con lo que las contribuciones de lasintegrales de lınea a lo largo de las curvas anadidas se compensan entre si.

Especificaremos el procedimiento para el caso n = 1 (por induccion se demuestra para un numerocualquiera n de curvas). La idea de la demostracion cuando n = 1 se ilustra en la figura, donde C es lacircunferencia exterior y C ′ es la circunferencia interior. Sea D′ la region cuya frontera orientada Γ1 es launion del segmento de recta que une los puntos A→ B, la semicircunferencia superior de C ′ que une B → D,el segmento de recta que une los puntos D → E recta y la semicircunferencia superior de C que une E → A.Considerese igualmente la frontera orientada Γ2 de la region D′′. Si se aplica el teorema de Green a cadauna de estas dos regiones se tiene∫

D

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dx dy =

∫R′

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy +

∫R′′

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy

=

∮C

f · dl +

∮C′

f · dl .

5 D es una region multiplemente conexa en R2.


<

>

<

>

>

<

>

<

C’

C

R’’

R’

EDBA

Figura 8.4: Region doblemente conexa.

El signo positivo aparece debido al sentido de recorrido tomado para C ′. Esta es la ecuacion (8.3) en el cason = 2.

∗ Deformacion de los contornos

Una consecuencia inmediata del teorema de Green para regiones multiplemente conexas es la siguiente:

Proposicion 88 (Deformacion de contornos en R2). Sea f :A ⊂ R2 → R2 de clase C1 en un abierto arco-conexo U ⊆ A. Sean C1 y C2 curvas de Jordan en U regulares (a trozos) orientadas en el mismo sentido,tales que:

1. C2 esta en el interior a C1.

2. La region D obtenida de la interseccion del interior a C1 y el exterior a C2 esta contenida en U .

3.∂f2

∂x=∂f1

∂yen D.

Entonces se cumple que ∮C1

f · dl =

∮C2

f · dl .

Figura 8.5: Deformacion de caminos.

(Dem.) Es consecuencia directa del teorema de Green en regiones multiplemente conexas.


Este resultado tambien puede expresarse diciendo que, bajo las condiciones de la proposicion(∂f1

∂y=∂f2

∂x

), el valor de la integral de lınea a lo largo de una curva cerrada simple en U no varıa si

el camino se cambia por deformacion en otra curva cerrada simple cualquiera de U de modo que todas lascurvas intermedias que se van obteniendo en la deformacion estan dentro de U . Se supone que U es unabierto y conexo; no es preciso que sea simplemente conexo.

∗ Aplicaciones

La primera aplicacion del teorema de Green es su utilidad para resolver integrales de lınea de segundaespecie (en las que la funcion del integrando no tenga una primitiva facil de evaluar), esto es, calculo decirculaciones. En ocasiones estas integrales de lınea, por aplicacion del teorema, dan lugar a integrales doblesmas sencillas de resolver.

Ademas el teorema de Green tiene otras aplicaciones y consecuencias fısicas y geometricas, como son:

∗ Calculo de areas

Otra aplicacion geometrica del teorema de Green es el calculo de areas.

Proposicion 89 Sea D ⊂ R2 la region interior a una curva de Jordan C regular a trozos y f = (f1, f2) una

funcion escalar de clase C1 tal que∂f2

∂x− ∂f1

∂y= 1 en D. Entonces,

A(D) =

∮C

f · dl .

(Dem.) En efecto, pues aplicando el teorema de Green resulta∮C

f · dl =

∫D

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dxdy =

∫D

dxdy = A(D) .

Se puede calcular tomando, por ejemplo, cualquiera de las siguientes funciones

f(x, y) ≡ (−y, 0) −→ A(D) =

∫D

dxdy =

∮C

−ydx

f(x, y) ≡ (0, x) −→ A(D) =

∫D

dxdy =

∮C

xdy

f(x, y)(D) =1

2(−y, x) −→ A(D) =

∫D

dxdy =1

2

∮C

−ydx+ xdy

Este resultado muestra la potencia del teorema, pues permite calcular el area de una region operandounicamente sobre su contorno.

8.1.3. Teorema de Stokes en R3. Aplicaciones

El teorema de Green expresa una relacion entre una integral doble extendida a una region plana y unaintegral de linea extendida a su frontera orientada. El teorema de Stokes (en R3) se puede considerar comouna generalizacion del teorema de Green cuando la region se transforma en una superficie en R3, y estableceuna relacion entre el flujo del rotacional de un campo vectorial a traves de una superficie S y la circulaciondel campo a lo largo del borde de S.

Como en el caso de R2, comenzaremos introduciendo una serie de conceptos previos.

Teniendo en mente que una superficie regular es una ”deformacion de una region plana”, se puedeestablecer una definicion del borde de una superficie similar a la definicion 109. Recuerdese, en primer lugar,


que por definicion S ⊂ R3 es una superficie regular si para cada p ∈ S, existe un abierto U ⊂ R3 que contienea p y un difeomorfismo ϕ:U ⊂ R3 → V ⊂ R3 tal que 6

ϕ(U ∩ S) = V ∩ (R2 × 0) = V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | z = 0

y, eventualmente, ϕ(p) = 0. Entonces:

Definicion 111 Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Un punto p ∈ S − S es un punto frontera regular de lasuperficie S si existe un abierto U ⊂ R3 que contiene a p y un difeomorfismo ϕ:U ⊂ R3 → V ⊂ R3 tal que

1. ϕ(p) = 0.

2. ϕ(U ∩ S) = V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | z = 0, y > 0.

3. ϕ(U ∩ (S − S)) = V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0.

Se denomina borde o contorno o frontera geometrica de S, y se designa por ∂S, al conjunto de puntosfrontera regulares de S. Los puntos de FrS que no son regulares se denominan puntos frontera singulares.

Se dice, entonces, que S ∪ ∂S es una superficie con borde.

Como caso particular se tiene que:

Definicion 112 Sea D ⊂ R2 un abierto con borde ∂D. Una superficie parametrizada regular con borde esuna aplicacion inyectiva σ:D ⊂ R2 → R3, tal que S = σ(D) es una superficie parametrizada regular 7. Ental caso, el borde de la superficie S es la imagen por σ del borde de D, ∂S = σ(∂D).

Esta definicion solo es valida para superficies parametrizadas simples, pero para parametrizaciones noinyectivas no es correcta. En efecto, para superficies no simples, si c: I ⊂ R → R2 es una parametrizacionregular de ∂D, entonces no es cierto que ∂S = Im(σ c), ya que σ c contiene arcos de curvas que no sonfrontera geometrica de S y que son, de hecho, los puntos de autointerseccion de la superficie (que hacen queesta no sea simple) 8.

Comentarios:

Observar que todos los puntos del conjunto ϕ−1(V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0) son puntos fronteraregulares de S.

El borde de una superficie S ⊂ R3 son curvas regulares en R3. Si la superficie no es regular en algunpunto, los puntos frontera singulares son vertices (y/o puntos aislados, si los hubiere).

La definicion de borde de una region A ⊂ R2 es un caso particular de la de borde de una superficieS ⊂ R3, cuando dicha superficie es plana.

La definicion anterior se puede extender a arcos de curvas en R3 o R2, en cuyo caso se obtiene de formainmediata que el borde lo constituyen sus extremos, si los tiene.

Se puede asumir que det Jpϕ > 0 y que, por tanto, ϕ preserva la orientacion. De este modo:

Definicion 113 Sea e1, e2, e3 la base ortonormal (dextrogira) para las coordenadas cartesianas en R3. Sidet Jpϕ > 0, entonces:

1. Se denomina orientacion positiva de ∂S a la que asigna a cada punto p ∈ ∂S el vector (Dpϕ)−1(e1).

2. Se denomina orientacion inducida sobre S por la orientacion positiva de ∂S a la que asigna a cadapunto p ∈ S el vector (Dpϕ)−1(e3).

Si se toma como orientacion del borde ∂S de la superficie la dada por (Dpϕ)−1(−e1), entonces laorientacion inducida sobre S es la opuesta, dada por (Dpϕ)−1(−e3).

6 La condicion dada significa que en un entorno de cada punto la superficie se identifica con un abierto del plano. Observarque ϕ−1 es una parametrizacion de la superficie S.

7 Una parametrizacion σ global de la superficie S puede no existir. En tal caso, la parametrizacion se construira medianteparametrizaciones locales definidas en abiertos de un recubrimiento de D.

8 Veremos algunos ejemplos en el siguiente apartado.


Comentarios:

Es evidente que, del mismo modo que la orientacion de la curva borde de una superficie induce unaorientacion sobre la superficie, el recıproco es igualmente cierto y una orientacion de una superficie conborde induce otra sobre la curva que constituye el borde.

En cualquier caso, la orientacion inducida se obtiene por la denominada “regla de la mano derecha”.

Como puede observarse, la orientacion inducida en el borde de una superficie S por la de la propiasuperficie es la que corresponde a recorrer la curva de tal manera que S este siempre a la izquierda.

Si σ:D ⊂ R2 → R3, con S = σ(D), es una superficie parametrizada regular con borde, entoncesla orientacion positiva de ∂S es la inducida por la orientacion positiva de ∂D a traves de σ y laorientacion inducida sobre S estara dada por el producto vectorial fundamental Tu × Tv asociado ala parametrizacion σ.


Teorema 34 (del rotacional o de Stokes en R3): Sean una funcion f :A ⊂ R3 → R3 y una superficie S ⊂ R3

tales que:


2. S es una superficie regular orientable tal que S ⊂ A.

3. C = ∂S es una curva de Jordan regular 9.

Entonces ∮C=∂S

f · dl =

∫S

rot f · dS (8.4)

donde la integral de superficie se evalua tomando la orientacion inducida en S por la orientacion de ∂S (orecıprocamente).

(Dem.) La demostracion se hara para superficies parametrizadas regulares con borde y en el siguienteapartado se extendera a otros tipos de superficies. En este caso, la orientabilidad de la superficie estagarantizada por ser la superficie simple.

Sea f = (f1(x, y, z), f2(x, y, z)f3(x, y, z) y σ:D ⊂ R2 → A ⊂ R3 una parametrizacion regular de clase C2

10 de S, con σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), para la cual se tiene que D es una region que satisface lashipotesis del teorema de Green. Indicaremos el producto vectorial fundamental asociado a esta parametri-zacion de forma abreviada como Tu ×Tv = (yuzv − yvzu, xvzu − xuzv, xuyv − xvyu). Entonces,∫

S

rot f · dS =

∫D

(rot f)(σ(u, v)) · (Tu ×Tv)(u, v) dudv

=

∫D

[(∂f3

∂y− ∂f2

∂z

) σ]

(yuzv − yvzu) +

[(∂f1

∂z− ∂f3

∂x

) σ]

(xvzu − xuzv)

+

[(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

) σ]

(xuyv − xvyu)

dudv

=

∫D

[(∂f1

∂z σ)

(xvzu − xuzv)−(∂f1

∂y σ)

(xuyv − xvyu)

+

(∂f2

∂x σ)

(xuyv − xvyu)−(∂f2

∂z σ)

(yuzv − yvzu)

+

(∂f3

∂y σ)

(yuzv − yvzu)−(∂f3

∂x σ)

(xvzu − xuzv)]

dudv .

9 Por tanto, S es compacto.10 Esta es una hipotesis adicional a las enunciadas en el teorema que se introduce para simplificar la demostracion. El teorema

es tambien cierto para superficies de clase C1.


Ahora bien, aplicando la regla de Leibnitz y la regla de la cadena, y teniendo en cuenta el teorema de Schwarzse obtiene que

∂

∂u((f1 σ)xv)−

∂

∂v((f1 σ)xu) =

[(∂f1

∂x σ)xu +

(∂f1

∂y σ)yu +

(∂f1

∂z σ)zu

]xv + (f1 σ)xuv

−[(

∂f1

∂x σ)xv +

(∂f1

∂y σ)yv +

(∂f1

∂z σ)zv

]xu − (f1 σ)xvu

=

(∂f1

∂z σ)

(xvzu − xuzv)−(∂f1

∂y σ)

(xuyv − xvyu)

y analogamente para los otros integrandos. De esta manera, denotando f = f σ, resulta que∫S

rot f · dS =

∫D

(∂

∂u(f1 xv)−

∂

∂v(f1 xu) +

∂

∂u(f2 yv)−

∂

∂v(f2 yu) +

∂

∂u(f3 zv)−

∂

∂v(f3 zu)

)dudv

=

∫D

(∂

∂u(f1 xv)−

∂

∂v(f1 xu)

)dudv +

∫D

(∂

∂u(f2 yv)−

∂

∂v(f2 yu)

)dudv

+

∫D

(∂

∂u(f3 zv)−

∂

∂v(f3 zu)

)dudv .

Observese que en cada integral aparece el rotacional escalar de una cierta funcion. Si ahora se toma unaparametrizacion regular α: [a, b] ⊂ R → R2 de ∂D, con α(t) = (u(t), v(t)), de tal manera que α′(t) =(u′(t), v′(t)) de la orientacion positiva de ∂D, aplicando el teorema de Green se llega a que∫

S

rot f · dS =

∫∂D

f1xu du+ f1xv dv +

∫∂D

f2yu du+ f2yv dv +

∫∂D

f3zu du+ f3zv dv .

Por otra parte, al ser S = Imσ una superficie parametrizada regular se tiene que ∂S = σ(∂D) y, por tanto,una parametrizacion regular de C = ∂S es c = σ α; esto es, c(t) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))).Por consiguiente

c′(t) = Dσ(α(t)) α′(t) =

xu xvyu yvzu zv

α(t)

(u′(t)v′(t)

)=

(xu α)u′(t) + (xv α)v′(t)(yu α)u′(t) + (yv α)v′(t)(zu α)u′(t) + (zv α)v′(t)

,

de manera que∫C=∂S

f · dl =

∫ b

a

f(c(t)) · c′(t) dt =

∫ b

a

[(f σ)(α(t)] · c′(t) dt

=

∫ b

a

f1(α(t))[(xu α)u′(t) + (xv α)v′(t)] dt+

∫ b

a

f2(α(t))[(yu α)u′(t) + (yv α)v′(t)] dt

+

∫ b

a

f3(α(t))[(zu α)u′(t) + (zv α)v′(t)] dt

≡∫∂D

f1xu du+ f1xv dv +

∫∂D

f2yu du+ f2yv dv +

∫∂D

f3zu du+ f3zv dv ;

con lo que la igualdad (8.4) queda probada 11.

Notacion:

Teniendo en cuenta la expresion explıcita del rotacional, es habitual utilizar la siguiente notacion 12:∫S

(∂f3

∂y− ∂f2

∂z

)dy ∧ dz +

(∂f1

∂z− ∂f3

∂x

)dz ∧ dx+

(∂f2

∂x− ∂f1

∂y

)dx ∧ dy =

∮C

f1dx+ f2dy + f3dz

Comentarios:

11 Vease el segundo comentario despues de la definicion 113, respecto a las orientaciones inducidas.12 Que quedara justificada en el siguiente capıtulo.


El teorema de Stokes establece, por tanto, la igualdad entre la circulacion de un campo vectorial a lolargo de una curva de Jordan y el flujo de su rotacional a traves de una superficie delimitada por dichacurva (su borde).

El teorema de Green se puede considerar como un caso particular del de Stokes cuando se aplica alcampo vectorial f(x, y, z) = (f1(x, y), f2(x, y), 0) y a la superficie plana S = D.

8.1.4. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Stokes

∗ Extensiones del teorema

El teorema tambien es valido en los casos en que:

• La superficie S y/o su borde C = ∂S son regulares a trozos. En tales casos las integrales desuperficie y/o de lınea descomponen en suma de integrales sobre cada elemento regular.

• Si la superficie es de clase C3 y el conjunto de puntos frontera singulares es negligible; esto es,es un conjunto finito de puntos que esta contenido en la union de un numero finito de curvas declase C1 que conforman una curva de Jordan regular a trozos.

En estos casos las integrales que aparecen descomponen en suma de integrales sobre cada elementoregular.

El teorema de Stokes tambien es valido, en general, para curvas C de Jordan rectificables; aunque sudemostracion es tecnicamente mas complicada.

El teorema de Stokes es aplicable a superficies simples regulares (a trozos) orientables de diversos tipos(pero no a superficies no orientables). Vamos a discutir con mas detalle como se aplica en estos casos.

∗ Superficies multiplemente conexas

El teorema de Stokes puede extenderse a superficies regulares simples mas generales. En particular, vamosa discutir brevemente la aplicacion del teorema de Stokes en superficies que no son simplemente conexaspero que tienen por borde varias curvas de Jordan regulares (a trozos).

Teorema 35 (de Stokes en R3 para superficies multiplemente conexas): Sea f :A ⊂ Rn → R2 una funcionde clase C1. Sea D ⊂ R2 una region para la que es valido el teorema de Green (multiplemente conexa con∂D = C0∪C1∪ . . .∪Cn, con C0, C1, . . . , Cn ⊂ A curvas de Jordan regulares a trozos). Sea σ:D ⊂ R2 → R3

una superficie parametrizada regular con borde (multiplemente conexa) tal que S = σ(D) ⊂ A ≡ Dom f .Entonces, ∫

S

rot f · dS =

∮σ(C0)

f · dl±∑i

∮σ(Ci)

f · dl (8.5)

donde el signo + rige si las integrales curvilineas se evaluan tomando la orientacion positiva de C0 y Cirespecto a S, y el signo − en caso de que las orientaciones de las curvas Ci sea la opuesta.

(Dem.) Sea S una superficie parametrizada simple regular definida por σ:D ⊂ R2 → R3, S = σ(D) = S,donde D es una region multiplemente conexa como la descrita en el teorema 33. Como σ es inyectiva,S = σ(D) contendra los mismos “agujeros” que D. Para extender el teorema de Stokes a tales superficies sesigue el mismo razonamiento que en la demostracion del teorema de Stokes, utilizando el teorema de Greenpara regiones multiplemente conexas (teorema 33).

De esta forma si D tiene por borde varias curvas de Jordan regulares Γ0,Γ1, . . . ,Γn (que contornean laregion D y sus .agujeros”), orientadas positivamente; es decir, de manera que la region quede a la izquierda,entonces S es una superficie multiplemente conexa cuyo borde ∂S esta formado por curvas de Jordan regularesC0, C1, . . . , Cn que son las imagenes por Γ0,Γ1, . . . ,Γn respectivamente. El teorema de Stokes es aplicablea esta superficie, y la integral de lınea que en el aparece descompone en suma de integrales de lınea sobrecada uno de los caminos que constituyen el borde de S; obteniendose ası la frmula (8.5 con el convenio paralos signos de las integrales de lınea establecido en el enunciado.


Figura 8.6: Superficie parametrizada con “agujeros”.

∗ Deformacion de los contornos

Una consecuencia inmediata del teorema de Stokes y de esta discusion es el siguiente resultado quegeneraliza la propiedad de deformacion de los contornos para curvas sobre superficies:

Proposicion 90 (Deformacion de contornos en R3): Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1. SeaD ⊂ R2 una region para la que es valido el principio de deformacion de contornos en R2 (proposicion 88)(D es multiplemente conexa con ∂D = C1 ∪ C2, con C1, C2 ⊂ A curvas de Jordan regulares a trozos). Seaσ:D ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular con borde (multiplemente conexa) tal que S = σ(D) ⊂A ≡ Dom f , y rot = 0 en S. Entonces, ∫

C1

f · dl =

∫C2

f · dl ,

donde C1 esta orientada positivamente y C2 negativamente respecto a S.

(Dem.) Basta aplicar la extension del teorema de Stokes para superficies multiplemente conexas a S.

∗ Superficies parametrizadas no simples

El teorema de Stokes tambien es valido para superficies regulares orientables que no son simples.

Ejemplo:

Cilindro: Considerese como superficie S un tronco de cilindro de radio R y altura h. Se puede parame-trizar S a trozos mediante

σ1(ϕ, z) = (R cosϕ,R sinϕ, z) , D1 = [0, π]× [0, h]

σ2(ϕ, z) = (R cosϕ,R sinϕ, z) , D2 = [π, 2π]× [0, h] ,

con lo que S es la reunion de dos superficies parametricas regulares simples S1 y S2, imagenes de dosrectangulos adyacentes D1 y D2 a traves de las aplicaciones σ1 y σ2, respectivamente.

Sean α1 y α2 parametrizaciones regulares (a trozos) de ∂D1 y ∂D2, orientadas positivamente. Entonceslas funciones c1(t) = σ1(α1(t)) y c2(t) = σ2(α2(t)) describen las imagenes C1 y C2 de ∂D1 y ∂D2.

Aplicando el teorema de Stokes a un campo vectorial f :R3 → R3 de clase C1 (con la orientacion delas superficies dadas por los vectores normales “hacia afuera”, que es la inducida por la orientacionpositiva de ∂D1 y ∂D2 sobre S) se obtiene∫

S

rot f · dS =

∫S1

rot f · dS +

∫S2

rot f · dS =

∫C1

f · dl +

∫C2

f · dl .


Figura 8.7: Superficie parametrizada no simple.

Es facil ver que c1 y c2 determinan orientaciones opuestas en cada arco de la interseccion C1 ∩ C2;por tanto, la ecuacion anterior queda∫

S

rot f · dS =

∫C′1

f · dl +

∫C′2

f · dl .

donde C ′1 y C ′2 son las dos circunferencias de radio R, situadas en los planos z = h y z = 0, que formanel borde superior e inferior de S, recorridas en sentidos opuestos, como corresponde a la orientacioninducida por la orientacion de S sobre ∂S = C ′1 ∪C ′2 (o, lo que es equivalente, la orientacion inducidapor las parametrizaciones de Γ1 y Γ2. Dado que C ′1 y C ′2 forman el borde de la superficie S, la ultimaecuacion expresa que el flujo de rot f a traves de la superficie S se puede calcular como una integralde linea de f a lo largo de la frontera geometrica orientada de S. Sea trata pues de la extension delteorema Stokes al cilindro.

∗ Superficies cerradas

Veamos con un ejemplo como se aplica el teorema de Stokes a superficies cerradas en R3; es decir, parasuperficies que encierran regiones compactas en R3 13.

Figura 8.8: Esfera como superficie orientable.

Ejemplo:

Esfera: Como en el ejemplo anterior, se puede considerar la superficie esferica de radio R como launion de dos superficies parametricas regulares simples S1 y S2 (hemisferios), esto es, la imagen deaplicaciones σ1 y σ2 definidas sobre un disco circular en el plano.

13 En el siguiente apartado se dara una definicion rigurosa de este concepto (definicion 117).


Sean c1, c2, C1 y C2 con el mismo significado que en el ejemplo anterior, pero ahora C1 y C2 co-rresponden al ecuador de la esfera. Si las parametrizaciones σ1 y σ2 se eligen para que la orientacioninducida sobre ambos hemisferios sea la misma (p. ej., la dada por la normal hacia el exterior de laesfera) entonces las direcciones de c1 y c2 son opuestas, con lo que si aplicamos el teorema de Stokesa cada hemisferio y sumamos los resultados, obtenemos que∫

S

rot f · dS =

∫S1

rot f · dS +

∫S2

rot f · dS =

∫C1

f · dl +

∫C2

f · dl = 0 ;

es decir, el flujo del rotacional de cualquier campo vectorial de clase C1 es nulo a traves de estasuperficie cerrada. Esto es valido para toda superficie cerrada, como se vera mas adelante.

∗ Superficies no orientables

El teorema de Stokes no es valido para superficies no orientables. Para mostrarlo, analicemos el siguienteejemplo:

Ejemplo:

Banda de Mobius: Como en el caso del cilindro, se puede considerar esta superficie como la union dedos superficies parametrizadas regulares simples S1 y S2, imagenes de dos rectangulos adyacentes D1

y D2; es decir,

σ1(ϕ, z) = (R+ u cos(v/2)) cos v,R+ u cos(v/2)) sin v, u sin(v/2)) , D1 = [−1, 1]× [0, π]

σ2(ϕ, z) = (R+ u cos(v/2)) cos v,R+ u cos(v/2)) sin v, u sin(v/2)) , D2 = [−1, 1]× [π, 2π] .

En este caso el borde de S = S1 ∪ S2 es una curva cerrada simple C ′ y no dos; mientras que sise toman parametrizaciones αi, i = 1, 2, de los contornos de Di; esto es, ∂Di = Imαi, entoncesIm (σ α1) ∪ Im (σ α2) = ∂S ∪ Γ1 ∪ Γ2.

Figura 8.9: Banda de Moebius.

Si se toma cualquier funcion vectorial f :R3 → R3 y se aplica el teorema de Stokes a cada una de laspartes S1 y S2 como se hizo en el cilindro, se obtiene la ecuacion∫

S

rot f · dS =

∫S1

rot f · dS +

∫S2

rot f · dS =

∫C1

f · dl +

∫C2

f · dl , (8.6)

donde Ci = σi(∂Di).

Cuando intentamos sumar las dos integrales de superficie del primer miembro surge una dificultadcon la orientacion de la superficie: las dos normales n1 y n2 inducidas por las parametrizaciones nocoinciden en sentido en toda la interseccion S1 ∩ S2, no obstante se puede definir n por

n =

n1 en S1 y en S1 ∩ S2

n2 en el resto.


Esto da una normal discontinua, pero el conjunto de de las discontinuidades constituye un conjunto demedida nula en el plano y no afecta a la existencia ni al valor de la integral de superficie.

La dificultad es mayor con las integrales de lınea del segundo miembro de la ecuacion 8.6. No es posibleque α1 y α2 determinen direcciones opuestas en cada uno de los arcos de la interseccion S1∩S2. Siempreuno de los arcos es recorrido dos veces en la misma direccion y, por consiguiente, las integrales de lıneasobre el no necesariamente se anularan.∫

S

rot f · dS =

∫∂S

f · dl + 2

∫Γ2

f · dl 6=∫∂S

f · dl ,

donde Γ es este segmento que cruza la banda y es recorrido dos veces en el mismo sentido. Luego lasuma de las integrales de lınea no es necesariamente igual a la integral de lınea sobre el borde C ′ de S.

Esta situacion se reproduce en cualquier superficie no orientable y, por consiguiente, el teorema deStokes no es valido para superficies no orientables.

∗ Aplicaciones

El teorema de Stokes tiene diversas aplicaciones fısicas y geometricas:

La primera aplicacion que mencionaremos es su utilidad para resolver integrales de lınea de segundaespecie (en las que la funcion del integrando no tenga una primitiva facil de evaluar), esto es, calculo decirculaciones. En ocasiones estas integrales de lınea, por aplicacion del teorema, dan lugar a integralesdobles mas sencillas de resolver.

Recıprocamente, en algunos casos simples, el teorema de Stokes puede ser tambien usado para el calculode areas de superficies por medio de integrales de lınea.

8.1.5. Caracterizacion de campos conservativos mediante integrales de lınea

Dada una funcion vectorial y dos puntos en su dominio, el resultado de evaluar la integral de lınea deesta funcion entre esos dos puntos depende, en general, de la curva que los une. Sin embargo hay casos enque esto no es ası. Entonces:

Definicion 114 Sea una funcion vectorial f :A ⊆ Rn → Rn, cuyo dominio A es arco-conexo, p1, p2 ∈ A y

C ∈ A una curva con extremos en p1 y p2. La integral

∫C

f · dl ≡∫ p2

p1C

f · dl es independiente del camino en

A si su valor es independiente de la curva C que une los puntos p1 y p2.

Alguna de las caracterizaciones alternativas de los campos conservativos provienen de investigar que tipode funciones vectoriales son las que tienen la propiedad de que su integral de lınea entre dos puntos esindependiente del camino. La respuesta a esta cuestion esta contenida en el siguiente:

Teorema 36 Sea f :A ⊆ Rn → Rn una funcion vectorial de clase C1, con dominio A abierto y arco-conexo.Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. f es un campo conservativo; es decir, existe alguna funcion ϕ:A ⊆ Rn → R tal que

f(x) = ∇ϕ(x) .

2. La integral de lınea de f entre dos puntos cualesquiera p1, p2 ∈ A es independiente del camino y suvalor es ∫ p2

p1

f · dl = ϕ(p2)− ϕ(p1) ,

(esto es, solo depende del valor de la funcion potencial en esos puntos)

3. La circulacion de f a lo largo de cualquier curva cerrada regular (a trozos) contenida en A es nula:∮C

f · dl = 0 , ∀C ⊂ A cerrada .


Un campo conservativo (de clase C1, con dominio arco-conexo) es una funcion vectorial que satisface estascondiciones.

(Dem.) Probaremos que (1)⇔ (2) y que (2)⇔ (3).

(1) ⇒ (2): Por ser A arco-conexo puede tomarse una curva regular cualquiera c: [a, b] ⊂ R → A ⊆ Rn,con p1 = c(a) y p2 = c(b). Se construye, entonces, la composicion de funciones:

F : [a, b] ⊂ R c−→ A ⊆ Rn ϕ−→ Rt 7→ c(t) 7→ ϕ(c(t))

y aplicando la regla de la cadena

F ′(t) = Dϕ(c(t)) Dc(t) = ∇ϕ(c(t)) · c′(t) = f(c(t)) · c′(t) .

Por otra parte, F ′ es una funcion continua, luego el teorema fundamental del Calculo permite expresar∫ p2

p1

f · dl =

∫ b

a

f(c(t)) · c′(t)dt =

∫ b

a

∇ϕ(c(t)) · c′(t)dt

=

∫ b

a

F ′(t)dt = F (b)− F (a) = ϕ(c(b))− ϕ(c(a)) = ϕ(p2)− ϕ(p1) .

(2)⇒ (1): Sea un punto fijo p ∈ A; se define la funcion escalar ϕ:A ⊆ Rn → R como

ϕ(x) :=

∫ x

p

f · dl , (∀x ∈ A) (8.7)

(integral de lınea a lo largo de cualquier camino regular (a trozos) entre p y x). Se va a probar que ϕ(x) esun potencial escalar de f ; esto es, que ∇ϕ(x) = f(x).

Hay que demostrar que se cumple que∂ϕ

∂xi(x) = fi(x), ∀x ∈ A, 1 ≤ i ≤ n; donde fi es la componente

i-esima de f . En efecto sean Br(x) una n-bola de centro x y radio r tal que Br(x) ⊂ A, que existe por ser Sabierto, y v un vector unitario en Rn. Como x+ hv ∈ A siempre que 0 < |h| < r se tiene

ϕ(x+ hv)− ϕ(x) =

∫ x+hv

x

f · dl

a lo largo de cualquier camino regular o regular a trozos que une x con x+hv. En particular, para el segmentode recta α: [0, 1] 7→ S, dado por α(t) = x+ thv, se observa que α′(t) = hv, de donde

ϕ(x+ hv)− ϕ(x)

h=

1

h

∫ x+hv

x

f · dl =1

h

∫ 1

0

f(x+ thv) · hv dt =

∫ 1

0

f(x+ thv) · v dt .

Tomando el i-esimo vector coordenado v = ei y haciendo el cambio de variable th = u se tiene que

ϕ(x+ hei)− ϕ(x)

h=

∫ 1

0

f(x+ thei) · ei dt =

∫ 1

0

fi(x+ thei) dt =1

h

∫ h

0

fi(x+ uei) du .

Al ser f un campo vectorial continuo se puede definir la funcion g: (−r, r)→ R como

g(t) =

∫ t

0

fi(x+ uei) du

y por el primer teorema fundamental del Calculo se cumple que g′(t) = fi(x+ tei) y, en particular, g′(0) =fi(x). Ası pues,

∂ϕ

∂xi(x) = lım

h→0

ϕ(x+ hei)− ϕ(x)

h= lımh→0

g(h)− g(0)

h= g′(0) = fi(x) .

(3) ⇔ (2): Basta con probarlo para curvas de Jordan, ya que toda curva de Jordan es cerrada y unacurva cerrada cualquiera es union de curvas de Jordan.


Dados dos puntos p1, p2 ∈ A, sea C una curva de Jordan cualquiera en A que los contenga. ExpresandoC como union de dos caminos C1 y C2 con extremos en esos puntos, se tiene que:

0 =

∮C

f · dl =

∫C1

f · dl +

∫C2

f · dl =

∫ p2

p1 C1

f · dl +

∫ p1

p2 C2

f · dl

⇔∫ p1

p2 C1

f · l = −∫ p1

p2 C2

f · dl =

∫ p2

p1 C2

f · dl .

Esto se cumple para cualquier curva de Jordan C que pase por esos puntos y, por tanto, tambien paracualquier par de caminos C1, C2 que los tengan como extremos. Luego, la nulidad de la circulacion de uncampo vectorial a lo largo de cualquier curva cerrada es equivalente a la independencia del camino de laintegral de lınea de dicho campo 14.

Comentarios:

La expresion (8.7) constituye una generalizacion del primer teorema fundamental del Calculo. Comose ve, esta generalizacion solo es valida para campos conservativos.

El calculo de funciones potenciales escalares de campos conservativos puede efectuarse tambien poraplicacion de la formula (8.7): El resultado depende, obviamente, del punto p elegido que es el origen depotencial y, por tanto, es en la eleccion de dicho punto donde reside la arbitrariedad en la determinacionde la funcion potencial en este metodo.

Finalmente, en el capıtulo 3 se establecio la propiedad de que, bajo las adecuadas hipotesis de diferen-ciabilidad, todo campo conservativo es irrotacional (proposicion 43). Si el recıproco de esta propiedad fueracierto, los campos conservativos y los irrotacionales quedarıan identificados. Sin embargo, las condicionespara que esto sea ası son mas restrictivas. El resultado, que se obtiene como corolario del teorema de Stokes,es el siguiente:

Teorema 37 Sea f :A ⊆ R3 → R3 tal que A ≡ Dom f es simplemente conexo y f es de clase C1. Si f es uncampo irrotacional entonces es conservativo 15.

(Dem.) De nuevo basta con probarlo para curvas de Jordan.

Si C es una curva de Jordan en A, al ser A simplemente conexo, C es contractil a un punto p ∈ C;por tanto se puede considerar que C es el borde de una superficie regular (a trozos), S ⊂ A 16. Entonces,aplicando el teorema de Stokes resulta que∮

C

f · dl =

∫S

rot f · dS = 0 ,

y de aquı el resultado se extiende a cualquier curva cerrada regular; lo cual es condicion necesaria y suficientepara que el campo vectorial f sea conservativo.

8.2. Teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradskii

8.2.1. Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R3. Aplicaciones

El teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradskii es otro de los teoremas fundamentales del Analisisvectorial y, como el teorema de Stokes, tiene implicaciones fısicas muy importantes. El teorema se puedeenunciar para el caso general Rn, (n ≥ 3), aunque en este capıtulo solo va a ser utilizado en R3 (y R2).

El teorema tiene bastantes similitudes con el de Stokes, en el sentido de que aquellos relacionan integralesde lınea de segunda especie, esto es, integrales simples, con integrales de superficie de segunda especie, esto

14 (2)⇒ (3) tambien se obtiene como consecuencia inmediata de la demostracion del apartado (1)⇒ (2), ya que para curvascerradas se tiene que c(a) = c(b).

15 Como es obvio, el resultado es tambien valido para funciones f :A ⊆ R2 → R2.

16 Esta superficie es la imagen de la funcion F de la definicion 2(2).


es, integrales dobles; mientras que este relaciona estas ultimas con integrales de volumen, es decir, integralestriples. Concretamente, el flujo de un campo vectorial a traves de una superficie cerrada y la integral de sudivergencia en el volumen limitado por dicha superficie. De esta manera, el teorema da sentido geometricoal concepto de divergencia.

Analogamente a como se hizo para regiones en R2, se define:

Definicion 115 Sea A ⊂ R3 (abierto). Un punto p ∈ FrA es un punto frontera regular de la region A siexiste un abierto U ⊂ R3 que contiene a p y un isomorfismo ϕ:U ⊂ R3 → V ⊂ R3 de clase C1 tal que

1. ϕ(p) = 0.

2. ϕ(U ∩A) = V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | z < 0.

3. ϕ(U ∩ (A−A)) = V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | z = 0.

Se denomina borde o contorno o frontera geometrica regular de A y se denota ∂A al conjunto de puntosfrontera regulares de A. Los puntos de FrA que no son regulares se denominan puntos frontera singulares.

Comentarios:

Observar que todos los puntos del conjunto ϕ−1(V ∩ (x, y, z) ∈ R3 | z = 0) son puntos fronteraregulares de D.

El borde de una region A ⊂ R3 lo constituyen puntos de superficies regulares. Los puntos fronterasingulares son vertices y/o puntos de las curvas interseccion de dichas superficies, si las hubiere (y/opuntos aislados de A en el caso de que A sea cerrado y los hubiere).

Si A ⊂ R3 es el interior a S, entonces S = ∂A.

Se puede asumir que det Jpϕ > 0 y que, por tanto, ϕ preserva la orientacion, con lo que:

Definicion 116 Sea A ⊂ R3 una region cuyo borde es una superficie regular S ⊂ R3. Sea e1, e2, e3 labase ortonormal (dextrogira) de vectores asociados a las coordenadas cartesianas en R3. Si det Jpϕ > 0, Sedenomina orientacion positiva del borde S = ∂A a la que asigna a cada punto p ∈ S el vector (Dpϕ)−1(e3).

Definicion 117 Una superficie S ⊂ R3 es cerrada (geometricamente) si es compacta y ∂S = Ø.

Comentarios:

Esta definicion es valida tambien para superficies cerradas en Rn con n ≥ 3.

Igual que sucedıa con las curvas de Jordan en R2, toda superficie cerrada S en R3 divide el espacio endos conjuntos abiertos, arco-conexos y disjuntos que tienen la superficie como frontera comun. Una deesas regiones es acotada y se llama interior a S, mientras que la otra es no acotada y se llama exteriora S. En Rn, con n > 3, esto no es necesariamente cierto.

Como consecuencia una superficie cerrada en R3 es siempre el borde de una region compacta 17.

Como consecuencia de lo anterior, en R3 toda superficie cerrada es orientable (no ası en Rn con n > 3).

Toda superficie cerrada en R3 es homeomorfa a una esfera, a un toro o a una suma conexa de esferasy toros (esfera “con asas”).

La orientacion positiva de una superficie cerrada corresponde a tomar el vector normal que senala haciael exterior a S.


Teorema 38 (de la divergencia o de Gauss-Ostrogradskii en R3): Sean f :A ⊆ R3 → R3 y V ⊂ R3 tales que:

17 Esta es, de hecho, una definicion alternativa, pero que solo es valida en R3.



2. V ⊂ A ≡ Dom f .

3. S ≡ ∂V es una superficie cerrada regular.

Entonces: ∫S=∂V

f · dS =

∫V

div f

donde la integral de superficie se evalua tomando la orientacion positiva de S 18.

(Dem.) En primer lugar recuerdese que dS = n dS, donde n es un vector unitario normal a la superficie encada punto cuyas componentes son, por tanto, n = (cosα, cosβ, cos γ), donde α, β, γ son los angulos que nforma con los ejes coordenados X,Y, Z, cuyo valor depende del punto19. Con esto, si f = (f1, f2, f3), resultaque ∫

S=∂V

f · dS =

∫S=∂V

f · n dS =

∫S=∂V

(f1 cosα+ f2 cosβ + f3 cos γ) dS ,

y se ha de demostrar la ecuacion∫V

(∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

)dxdy dz =

∫S=∂V

(f1 cosα+ f2 cosβ + f3 cos γ) dS .

Para ello se demostraran las siguientes igualdades∫V

∂f1

∂xdxdy dz =

∫S

f1 cosα dS (8.8)

∫V

∂f2

∂ydxdy dz =

∫S

f2 cosβ dS (8.9)∫V

∂f3

∂zdx dy dz =

∫S

f3 cos γ dS (8.10)

La demostracion se hara considerando que la region V es una region elemental en R3 respecto a los tresejes coordenados (en el siguiente apartado se mostrara como se generaliza la demostracion a otros tipos deregiones). Estos conjuntos se describen analıticamente de la siguiente manera

V = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D, ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)= (x, y, z) ∈ R3 | (x, z) ∈ R, φ1(x, z) ≤ y ≤ φ2(x, z)= (x, y, z) ∈ R3 | (y, z) ∈ T, ξ1(y, z) ≤ x ≤ ξ2(y, z) ,

donde D,R, T son regiones elementales conexas en R2 y las parejas de funciones (ψ1, ψ2), (φ1, φ2) y (ξ1, ξ2)son funciones continuas en D,R y T respectivamente. Estas regiones son, por tanto, proyectables sobre lostres planos coordenados 20.

Comencemos, pues, asumiendo que V es una region proyectable al plano XY (abreviadamente, unaregion XY -proyectable o Z-elemental) y, por tanto, que se puede describir de la primera manera 21. Vamosa demostrar la igualdad (8.10). Aplicando el teorema de Fubini se tiene que∫

V

∂f3

∂zdx dy dz =

∫D

[∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)

∂f3

∂zdz

]dxdy =

∫ ∫D

[f3(x, y, ψ2(x, y))− f3(x, y, ψ1(x, y))] dxdy .

18 De modo que el resultado de la integral sea el flujo de f que sale de la region V .19 En efecto, si v = (v1, v2, v3), entonces

n =v

‖v‖=

(v1√

v21 + v22 + v23

,v2√

v21 + v22 + v23

,v3√

v21 + v22 + v23

)= (cosα, cosβ, cos γ) .

20 Son ejemplos de este tipo de regiones ciertos conjuntos convexos en R3, como una esfera, un elipsoide con ejes paralelos a

los ejes o un cubo con caras paralelas a los planos coordenados.21 Son ejemplos de estas regiones, ademas de las mencionadas anteriormente, el toro con eje de rotacion paralelo al eje Z.


Por otra parte, en este caso, el borde de V es la union de la superficie S1, que es la grafica de ψ1(x, y),la superficie S2, que es la grafica de ψ2(x, y) y, eventualmente, de una superficie S3 que es una superficiecilındrica, paralela al eje Z, que proyecta sobre el contorno de D. Entonces∫

S

f3 cos γ dS =

∫S1

f3 cos γ dS +

∫S2

f3 cos γ dS +

∫S3

f3 cos γ dS . (8.11)

Figura 8.10: Solido V .

Para estas regiones, la normal exterior a ∂V tiene componente Z no negativa en S2, no positiva en S1 ynula en S3. De este modo, sobre S3 la normal n tiene tercera componente nula, y por tanto cos γ = 0, luegola tercera integral es nula. Si se parametrizan S1 y S2 respectivamente por

σ1 : D ⊂ R2 −→ R3 ; σ2 : D ⊂ R2 −→ R3

(x, y) 7−→ (x, y, ψ1(x, y)) (x, y) 7−→ (x, y, ψ2(x, y)),

los productos vectoriales fundamentales que dan esas orientaciones son

∂σ1

∂y× ∂σ1

∂x=

(∂ψ1

∂x,∂ψ1

∂y,−1

),

∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y=

(−∂ψ2

∂x,−∂ψ2

∂y, 1

);

por tanto, como

cos γ = −∥∥∥∥∂σ1

∂y× ∂σ1

∂x

∥∥∥∥−1

(sobre S1) ; cos γ =

∥∥∥∥∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y

∥∥∥∥−1

(sobre S2) ;

volviendo a la ecuacion (8.11) se obtiene que∫S

f3 cos γ dS = −∫ ∫

D

f3(x, y, ψ1(x, y))

∥∥∥∥∂σ1

∂x× ∂σ1

∂y

∥∥∥∥−1 ∥∥∥∥∂σ1

∂x× ∂σ1

∂y

∥∥∥∥ dxdy +∫D

f3(x, y, ψ2(x, y))

∥∥∥∥∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y

∥∥∥∥−1 ∥∥∥∥∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y

∥∥∥∥ dx dy

=

∫D

[f3(x, y, ψ2(x, y))− f3(x, y, ψ1(x, y))] dxdy .

Por consiguiente se cumple la igualdad (8.10).


Si se considera que la la region V es tambien proyectable sobre el plano Y Z, un razonamiento analogodemostrarıa la ecuacion (8.8). Igualmente, considerando que la la region V es tambien proyectable sobre elplano XZ y razonando de la misma manera se obtiene la ecuacion (8.9).

Notacion:

Si f = (f1, f2, f3), teniendo en cuenta la expresion explıcita de la divergencia, la formula de Gauss-Ostrogadski suele escribirse∫

S

f1 dy ∧ dz + f2 dz ∧ dx+ f3 dx ∧ dy =

∫V

(∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z

)dxdy dz .

Interpretacion:

El teorema de Gauss-Ostrogradskii establece la igualdad entre la integral de la divergencia de un campovectorial en una region del espacio y el flujo saliente de dicho campo a traves de la superficie cerradaque limita dicha region.

A la vista de la formula de Gauss-Ostrogradskii, es evidente que si div f(p) 6= 0, en algun punto p ∈ A,el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada que rodee ese punto es no nulo (y tieneel mismo signo que la integral anterior). Por ello, recordando la interpretacion del flujo de un campovectorial a traves de una superficie, los puntos del dominio de f en los que div f > 0 se denominanfuentes del campo y aquellos en los que div f < 0 se denominan sumideros del campo.

8.2.2. Extensiones, consecuencias y aplicaciones del teorema de Gauss-Ostrogradskii

∗ Extension del teorema a superficies regulares a trozos

El teorema de Gauss-Ostrogradskii es generalizable a regiones cuyo borde es una superficie regular atrozos, descomponiendo la integral de superficie en suma de integrales sobre cada trozo regular de S.

∗ Teorema de Gauss-Ostrogradskii en regiones no proyectables

Se ha demostrado el teorema de la divergencia en regiones proyectables sobre los tres planos coorde-nados. Sin embargo, el teorema de Gauss-Ostrogradskii tambien se cumple en algunas regiones que no sonproyectables sobre los tres planos coordenados. La estrategia consiste en expresar esas regiones como unionde otras que sı lo sean.

Ejemplo:

Toro con eje paralelo al eje z. (Este toro es proyectable XY pero no lo es XZ ni Y Z).

Para comprobar el teorema en esta region, se divide el toro en cuatro partes iguales por medio de los planoscoordenados xz y yz y se aplica el teorema a cada una de las las partes (que sı son proyectables sobre lostres planos coordenados). La suma de las cuatro integrales triples es la integral triple sobre el toro y al sumarlas integrales de superficie sobre las fronteras de las cuatro regiones las aportaciones de las caras comunes alas partes adyacentes se anulan unas con otras, puesto que las normales exteriores tienen sentidos opuestos.Luego la suma de las integrales de superficie sobre las cuatro partes es igual a la integral de superficie sobreel toro completo.

Este ejemplo permite ver como el teorema de la divergencia puede extenderse a ciertos regiones noconvexas.

∗ Teorema de Gauss-Ostrogradskii en regiones mas generales

El teorema de la divergencia es aplicable a regiones cuyo borde este constituida por un numero finito desuperficies cerradas regulares (a trozos).

Teorema 39 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1 y V ⊆ A una region compacta cuyo borde es launion de superficies cerradas regulares (a trozos) S0, Si (i = 1, . . . ,m), tales que:


1. Todas las superficies Si estan contenidas en el interior a S0.

2. Si esta en el exterior a Sj, ∀i, j.

Entonces ∫V

div fdV =

∫S0

f · dS +∑i

∫Si

f · dS

donde las integrales de superficie se evaluan tomando la orientacion de la normal “exterior” con respecto aV (esto es, se calcula el flujo “saliente” de f desde V ).

(Dem.) Como en el caso del teorema de Green en regiones multiplemente conexas, la demostracion consisteen descomponer V en union de regiones en las que sea aplicable el teorema de Gauss-Ostrogradskii. Cuandose calcula el flujo saliente de cada una de estas regiones y se suma, la contribucion de las superficies comunesse anula y solo queda la contribucion a traves de las superficies dadas.

∗ Aplicaciones

Este teorema es util para resolver integrales de superficie de segunda especie (en las que la funcion delintegrando no tenga una primitiva facil de evaluar), esto es, calculo de flujos. En ocasiones estas integralesde superficie, por aplicacion del teorema, dan lugar a integrales triples mas sencillas de resolver.

∗ Calculo de volumenes

Recıprocamente, el teorema de Gauss-Ostrogradskii puede ser tambien usado para el calculo de volumenesmediante el calculo de integrales de superficie. Esto puede hacerse tomando diferentes funciones; por ejemplo:

f(x, y, z) ≡ (x, 0, 0) −→ V =

∫V

dxdydz =

∫S

f · dS

f(x, y, z) ≡ (0, y, 0) −→ V =

∫V

dxdydz =

∫S

f · dS

f(x, y, z) ≡ (0, 0, z) −→ V =

∫V

dxdydz =

∫S

f · dS

f(x, y, z) ≡ 1

3(x, y, z) −→ V =

∫V

dxdydz =

∫S

f · dS

Este resultado es una muestra de la potencia del teorema, pues permite calcular el volumen de una regionoperando unicamente sobre la superficie que la delimita.

8.2.3. Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R2

El teorema de la divergencia puede tambien formularse para campos vectoriales en R2. Para ello, previa-mente hay que dar la siguiente definicion:

Definicion 118 Sean f :A ⊂ R2 → R2 una funcion diferenciable y C una curva regular. Se denomina flujodel campo f a traves del arco de curva C al resultado de la integral (si existe)∫

C

f · n dl

donde n es un vector unitario normal a la curva en cada punto, en el sentido adecuado.

Con esta definicion el teorema de la divergencia en R2 se enuncia de la siguiente manera:

Teorema 40 (de la divergencia o de Gauss-Ostrogadski en R2): Sean f :A ⊂ R2 → R2 una funcion y D ⊆ Auna region de R2 tales que:



2. D ⊂ A.

3. ∂D es una curva de Jordan regular (a trozos) orientada 22.

Entonces ∫D

div f =

∫∂D

f · n dl ,

donde el flujo a traves de la curva se evalua tomando la normal “exterior”, esto es, la del vector normal queapunta “hacia afuera” de la region D.

(Dem.) Se puede considerar como un caso particular del teorema de la divergencia en R3.

Tambien se puede probar a partir del teorema de Green, de la siguiente manera∮∂D

f · ndl =

∮∂D

(f1(c(t)), f2(c(t)) · (c′2(t),−c′1(t))

‖c(t)‖‖c(t)‖dl

=

∮∂D

(f1(c(t))c′2(t)− f2(c(t)c′1(t))dt

=

∮∂D

(−f2(c(t)), f1(c(t)) · (c′1(t), c′2(t))dt

=

∮∂D

f⊥ · c′(t)dt =

∫D

(−∂f

⊥1

∂y+∂f⊥2∂x

)dxdy

=

∫D

(∂f1

∂x+∂f2

∂y

)dxdy =

∫D

div f

donde f⊥ = (−f2, f1) denota el campo vectorial ortogonal a f .

Interpretacion:

Este teorema establece la igualdad entre la integral de la divergencia de un campo vectorial en R2 enuna region del plano y el flujo saliente de dicho campo a traves de la curva cerrada que delimita dicharegion.

8.2.4. Caracterizacion de campos solenoidales por integrales de superficie

En primer lugar, se puede discutir el recıproco de la proposicion 44, que establece una propiedad analogaa la que enuncia que, bajo las adecuadas hipotesis, todo campo irrotacional es conservativo. El resultado quese tiene es el siguiente:

Proposicion 91 (Lema de Poincare): Sea f :A ⊂ R3 → R3 y una region V ⊂ A tales que:

1. f es de clase C1 en V .

2. V es un conjunto estrellado.

3. div f = 0.

Entonces f es solenoidal en V .

(Dem.) Vease M. Spivak, Calculo en Variedades.

Como consecuencia del teorema de Gauss-Ostrogradskii se obtienen las propiedades de los campos sole-noidales.

22D es, pues, un compacto.


Teorema 41 Sea f :A ⊆ R3 → R3 una funcion de clase C1. Sea U ⊂ A ≡ Dom f un abierto estrellado. Lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. f es un campo solenoidal en U ; es decir, existe g:U ⊆ R3 → R3 tal que

f = ∇× g .

2. El flujo de f a traves de todas las superficies S ⊂ R3, con S ⊂ U , regulares (a trozos), orientables yque tienen por borde la misma curva de Jordan C regular (a trozos) 23 es el mismo y su valor es∫

S

f · dS =

∫C

g · dl (8.12)

donde S esta orientadas con la orientacion inducida por la de C = ∂S y g:U ⊂ R3 → R3 es unpotencial vectorial de f (es decir, las integrales de superficie de f solo dependen del contorno).

3. Para toda superficie S regular (a trozos) cerrada tal que S ⊂ U es∫S

f · dS = 0

(esto es, el flujo de f a traves de cualquier superficie cerrada es nulo).

(Dem.) Se probara que (1)⇐⇒ (2) y que (1)⇐⇒ (3)

(1)⇐⇒ (2) Sean S1, S2 dos superficies tales que ∂S1 = ∂S2 = C, y V la region de U ⊂ R3 que tiene porborde S1 ∪ S2. Aplicando el teorema de la divergencia∫

S1

f · dS +

∫S2

f · dS =

∫V

div f .

Ahora, si f es solenoidal, div f = 0 y

∫V

div f = 0, con lo que

∫S1

f · dS +

∫S2

f · dS = 0 ⇔∫S1

f · dS = −∫S2

f · dS ;

ambos flujos “salientes”, luego cambiando la orientacion de una de las superficies y, con ello el signo de lacorrespondiente integral, se obtiene el resultado para cualquier par de superficies S1, S2 con las condicionesespecificadas.

Recıprocamente, revertiendo el razonamiento se llega a que

∫V

div f dV = 0, para cualquier region V ⊂ U ,

luego div f = 0 en U y, como U es estrellado, se concluye por el lema de Poincare que f es solenoidal.

El resultado (8.12) se obtiene sin mas que aplicar el teorema de Stokes.

(1)⇐⇒ (3) Como se esta tomando cualquier superficie cerrada en U ⊂ R3, del teorema de la divergenciase obtiene que ∫

S=∂V

f · dS =

∫V

div f = 0 .

Si f es solenoidal, div f = 0 y

∫V

div f = 0, luego

∫S

f · dS = 0, para cualquier superficie cerrada en U .

Recıprocamente, si

∫S

f · dS = 0, para cualquier superficie cerrada en U , entonces

∫V

div f = 0, para

cualquier region V ⊂ U , luego div f = 0 en U y, como U es estrellado, se concluye por el lema de Poincareque f es solenoidal.

Comentarios

Estas propiedades se cumplen tambien en regiones no estrelladas. En tales casos, las correspondientesdemostraciones siguen pautas similares a las del teorema 36.

23 Estas superficies son homeomorfas en U .


La primera equivalencia es analoga a la que establecıa la equivalencia entre el concepto de campoconservativo y la propiedad de que la circulacion de dicho campo entre dos puntos fuera la mismaindependientemente de la curva que los uniera.

Una de las aplicaciones de esta propiedad es simplificar el calculo de integrales de lınea de segundaespecie sobre caminos cerrados, aplicando el teorema de Stokes, ya que, entonces, la integral de super-ficie que aparece es de un rotacional, esto es, de un campo solenoidal, por tanto puede evaluarse sobrecualquier superficie que tenga por contorno la misma curva y, en particular, se elegira aquella sobre laque sea mas facil evaluar la integral.

La segunda equivalencia es analoga a la que establecıa la equivalencia entre el concepto de campoconservativo y la nulidad de la circulacion de dicho campo a lo largo de cualquier curva cerrada.

Observese que esta propiedad establece que el flujo del rotacional de un campo vectorial (de claseC1) es nulo a traves de cualquier superficie cerrada regular (que cumpla las hip’otesis del teorema deGauss-Ostrogradskii).

A modo de resumen final, se puede establecer la siguiente tabla comparativa entre las propiedades de loscampos conservativos (o irrotacionales) y los solenoidales:

Conservativo Solenoidal

Irrotacional ∇× f = 0 Sin divergencia ∇ · f = 0

Circulacion (C cerrada)

∮C

f · dl = 0 Flujo (S cerrada)

∫S

f · dS = 0

Circulacion (C abierta) Solo dep. extremos Flujo (S abierta) Solo dep. contornoPotencial escalar f = ∇(ϕ+ k) Potencial vectorial f = ∇× (g +∇ϕ)

8.3. Otras aplicaciones de los teoremas del Analisi Vectorial

8.3.1. Resolucion de ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante

En este apartado vamos a considerar una aplicacion de los resultados del apartado 8.1.5 a la resolucionde cierto tipo de ecuaciones diferenciales.

Definicion 119 Una ecuacion diferencial del tipo

dy

dx= −f1(x, y)

f2(x, y)

o, equivalentementef1(x, y)dx+ f2(x, y)dy = 0 (8.13)

es una ecuacion diferencial exacta (e.d.e.) si existe una funcion ϕ(x, y) tal que

∂ϕ

∂x= f1 ,

∂ϕ

∂y= f2

En tal caso, la funcion ϕ(x, y) se denomina funcion potencial escalar de la ecuacion.

Es inmediato comprobar, utilizando el teorema de la funcion implıcita, que:

Proposicion 92 La solucion de una e.d.e. con funcion potencial escalar ϕ, esta dada por ϕ(x, y) = cte (esdecir, geometricamente, las curvas de nivel de la funcion potencial escalar).

Dada una ecuacion diferencial del tipo (8.13), el problema de analizar si es exacta y, por tanto, deobtener su solucion tal como enuncia la proposicion precedente, puede ser planteado en terminos de camposconservativos del siguiente modo 24:

24 Se asume previamente el cumplimiento de todas las hipotesis requeridas para poder aplicar los resultados que se citan.


Sea un campo vectorial f :R2 → R2, cuyas funciones componentes son f = (f1, f2), entonces, de acuerdocon las definiciones dadas, la cuestion de que la ecuacion (8.13) sea exacta es equivalente a que el campo fsea conservativo, lo cual es, a su vez, equivalente a que se satisfaga el teorema 37. Entonces la pauta a seguires:

Comprobar que se satisface este teorema

Obtener la funcion potencial escalar.

Si la ecuacion diferencial (8.13) no fuera exacta, entonces su solucion no puede hallarse por el metododescrito. No obstante, aun en este caso puede reconducirse el problema al caso anterior. Ası:

Definicion 120 Dada una ecuacion diferencial del tipo (8.13) no exacta, si existe una funcion µ(x, y) talque la ecuacion

µ(x, y)f1(x, y)dx+ µ(x, y)f2(x, y)dy = 0

entonces dicha funcion se denomina factor integrante de la ecuacion (8.13).

Teniendo en cuenta, de nuevo, la relacion 3.15, es evidente que:

Proposicion 93 Con las condiciones de regularidad apropiadas 25 µ es un factor integrante de la ecuacion

f1(x, y)dx+ f2(x, y)dy = 0

si, y solo si,∂(µf1)

∂y=∂(µf2)

∂x

o, lo que es equivalente, si, y solo si, µ es solucion de la ecuacion diferencial en derivadad parciales

∂µ

∂yf1 + µ

∂f1

∂y=∂µ

∂xf2 + µ

∂f2

∂x(8.14)

De este modo, la resolucion de ecuaciones diferenciales no exactas se puede reconducir al problema dehallar factores integrantes. Desgraciadamente, muchas veces tratar de resolver la ecuacion (8.14) es mas difıcilque integrar la ecuacion original. En cualquier caso, dado que solo interesa hallar alguna solucion particular(si existe) de la ecuacion (8.14), en muchos casos se resuelve esta ensayando soluciones particulares.

8.3.2. Definicion intrınseca de los operadores diferenciales

Los conceptos de rotacional y divergencia de un campo vectorial se han definido utilizando las componen-tes de la funcion, f = (f1, f2, f3), referidas a un sistema de coordenadas cartesianas. Esto es un inconvenienteya que, al hacer cambios de coordenadas es de esperar, como ası sucede realmente, que cambie la expresionde estos operadores. No obstante, estos son conceptos intrınsecos (no dependen de las coordenadas) y, uti-lizando los teoremas de Stokes y Gauss-Ostrogradskii, se pueden dar definiciones de ellos que no dependende las coordenadas elegidas.

Teorema 42 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1 con dominio A abierto y un punto p ∈ A.Considerese la bola Bt(p) y su borde la esfera St(p). Entonces

div f(p) = lımt→0

1

volBt(p)

∫St(p)

f · dS

(donde volBt(p) es el volumen de Bt(p)).

25 Vease la seccion ??.


(Dem.) Sea ϕ = div f . Dado ε > 0, hay que encontrar un δ > 0 tal que∣∣∣∣ϕ(p)− 1

volBt(p)

∣∣∣∣ ∫St(p)

f · dS < ε , 0 < t < δ . (8.15)

Como ϕ es continua en p, ∀ε > 0, ∃Bh(p) tal que |ϕ(x) − ϕ(p)| < ε/2, ∀x ∈ Bh(a); luego, si se escribeϕ(p) = ϕ(x) + (ϕ(p)−ϕ(x)) y se integran ambos miembros de la ecuacion sobre Bt(p), con t < h, se obtiene

ϕ(p) volBt(p) =

∫Bt(p)

ϕ(x) dV +

∫Bt(p)

(ϕ(p)− ϕ(x)) dV .

Si se aplica el teorema de la divergencia a la primera integral de la ecuacion anterior y se pasa este terminoal otro miembro de la ecuacion, queda∣∣∣∣∣ϕ(p) volBt(p)−

∫S(t)

f · n dS

∣∣∣∣∣ ≤∫V (t)

|ϕ(a)− ϕ(x)| dV ≤ ε

2|V (t)| < ε |V (t)| ,

y dividiendo la desigualdad resultante por volBt(p), se obtiene que la desigualdad 8.15 se cumple para δ = h.Esto demuestra el teorema.

En esta demostracion no se ha hecho uso especial de que Bt(p) sea una bola. El mismo razonamiento esvalido para regiones V (t) en las que el teorema de Gauss-Ostrogradskii sea valido, con tal de que contenganel punto p y lım

t→0V (t) = p. Por ejemplo, V (t) podrıa ser un cubo inscrito en la esfera de centro p y radio t.

El teorema permite tambien dar una interpretacion fısica de div f . Supongamos que f representa el vector

densidad de flujo de una corriente estacionaria. La integral de superficie

∫St(p)

f · dS mide la masa total de

fluido que pasa a traves de S en la unidad de tiempo en la direccion de n. El cociente1

volBt(p)

∫St(p)

f · dS

representa la masa por unidad de volumen que fluye a traves de S y en la direccion de n. Cuando t → 0el lımite de este cociente es la divergencia f en p que, por tanto, puede interpretarse como el coeficiente devariacion de masa por unidad de volumen y en la unidad de tiempo.

Teorema 43 Sea f :A ⊂ R3 → R3 una funcion de clase C1 con dominio A abierto y un punto p ∈ A.Considerese la bola Bt(p) y su borde la esfera St(p). Entonces

rot f(p) = lımt→0

1

volBt(p)

∫St(p)

(n× f) · ds

(donde volBt(p) es el volumen de Bt(p) y n la normal unitaria exterior a St(p)).

(Dem.) La demostracion es semejante a la del teorema anterior.

Capıtulo 9

Formas diferenciales

Introduccion

En el capıtulo anterior se han presentado los teoremas clasicos del Analisis Vectorial en sus versionespara R2 y R3 (teoremas de Green, de Stokes y de Gauss-Ostrogradskii). La generalizacion de estos teoremasa dimension superior requiere introducir nuevos conceptos de calculo diferencial

Este ultimo capıtulo esta dedicado a hacer una somera introduccion al lenguaje y uso de las formasdiferenciales en Rn. Se establecera su definicion formal y sus propiedades y operaciones, y se utilizaran paradar las versiones generalizadas de los teoremas fundamentales del Analisis Vectorial al caso de dimenson narbitraria.

9.1. Campos vectoriales y formas diferenciales en Rn

9.1.1. Campos vectoriales en Rn

Tal como se comento en el capıtulo preliminar, el conjunto Rn, es un espacio afın n-dimensional. Estosignifica que, una vez fijado un punto p ∈ Rn (origen), Rn se identifica de manera natural con un espaciovectorial n-dimensional sobre R, denotado E = Rnp , que se denomina espacio tangente a Rn en p, y cuyoselementos se denominan vectores tangentes a Rn en p.

Si en este espacio se considera la metrica euclıdea habitual, (con lo que Rnp es un espacio vectorialeuclıdeo), un sistema de coordenadas ortogonales en Rn induce una base ortonormal en Rnp , ∀p ∈ Rn, queesta constituida por los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados, eii=1...n. Entonces,la identificacion natural (canonica) de Rn con el espacio vectorial Rnp se lleva a cabo identificando el puntode coordenadas x ≡ (x1, . . . , xn) ∈ Rn con el vector x = x1e1 + . . . xnen ∈ Rnp .

Por otra parte, si Ck(Rn) (k ≥ 1) denota el conjunto de las funciones escalares de clase Ck con dominioen Rn; dado p ∈ Rn, cualquier vector v ∈ Rnp define, por medio de la derivada direccional de f ∈ Ck(Rn) enp, una aplicacion

δvp : Ck(Rn) −→ Rf 7→ Dvf(p)

,

que es lineal y cumple la regla de Leibnitz para el producto de funciones. Una aplicacion de este tipo conestas propiedades se denomina derivacion puntual en p. De este modo, se establece una identificacion de losvectores con derivaciones.

Si, en particular, se toman los vectores de la base canonica eii=1,...,n, sus derivaciones asociadas sonlas derivadas direccionales en p segun dichos vectores; es decir, justamente las derivadas parciales respecto a

las coordenadas cartesianas en p, que se denotan

δeip ≡

∂

∂xi

∣∣∣p

i=1,...,n

; es decir, ∀f ∈ Ck(Rn), se tiene que

δeip (f) =∂f

∂xi(p). Entonces, si v = (v1, . . . , vn) son las coordenadas del vector en la base canonica, teniendo

151


en cuenta esta identificacion se suele cometer un abuso de notacion y expresar

v =

n∑i=1

vi∂

∂xi

∣∣∣p

= v1 ∂

∂x1

∣∣∣p

+ . . .+ vn∂

∂xn

∣∣∣p,

con lo que

δvp (f) = Dvf(p) =

n∑i=1

vi∂f

∂xi(p) = v1 ∂f

∂x1(p) + . . .+ vn

∂f

∂xn(p) ,

Sea ahora F:A ⊆ Rn → Rn, con F = (F 1, . . . , Fn), una funcion vectorial que, de acuerdo con lo dicho, atodo punto p ∈ A le asigna un punto F(p) ∈ Rn, el cual identificamos con el correspondiente vector v ∈ Rnp .De este modo, se puede definir un campo vectorial como una aplicacion

F : Rn −→⊔p

Rnp

p 7→ (p,Fp) ; (con Fp =

n∑i=1

F i(p)∂

∂xi

∣∣∣p∈ Rnp ) .

Teniendo esto presente y siguiendo con el abuso de notacion antes comentado, es habitual expresar el campovectorial F como

F =

n∑i=1

F i∂

∂xi= F 1 ∂

∂x1+ . . . Fn

∂

∂xn.

El campo vectorial F es diferenciable (de clase Ck) si lo son sus funciones componentes F 1, . . . , Fn.

9.1.2. Formas diferenciales en Rn

Dado p ∈ Rn, el espacio dual (Rnp )∗, que tambien se identifica canonicamente con el propio Rn, recibe elnombre de espacio cotangente a Rn en p 1 y sus elementos se denominan covectores o formas lineales.

Recordemos que, como todo covector u∗ ∈ (Rnp )∗ es una aplicacion lineal u∗:Rnp → R, se define unaaplicacion bilineal canonica

〈 , 〉 : (Rnp )∗ × Rnp −→ R(u∗,v) 7→ 〈u∗,v〉 := u∗(v)

,

que se denomina contraccion o producto interno de covectores y vectores. Ello permite, dada una baseeii=1,...,n de Rnp , definir la base dual e∗ii=1,...,n asociada en (Rnp )∗ 2. Vamos, pues, a identificar loselementos de la base dual asociada a la base canonica eii=1,...,n de Rnp que hemos identificado en el

apartado anterior con las derivaciones

∂

∂xi

∣∣∣p

i=1,...,n

.

En primer lugar notese que, para toda f ∈ Ck(Rn), la diferencial de f en p ∈ Rn es una aplicacionlineal Df(p):Rn ≡ Rnp → R; es decir, una forma lineal o covector de (Rnp )∗. Usaremos, a partir de ahora, lanotacion habitual que consiste en indicar Df(p) como df(p), o como dfp.

Proposicion 94 Sean xi las funciones coordenadas 3 en Rn; esto es

xi : Rn −→ Rp = (p1, . . . , pn) 7→ xi(p) = pi

.

Si p ∈ Rn, entonces la base dual en (Rnp )∗ de la base ei =

∂

∂xi

∣∣∣p

de Rnp esta constituida por las formas

lineales e∗i = dxi(p).1 Tambien se denota (TpRn)∗ ≡ T∗pRn.2 Y que es tal que 〈e∗i, ej〉 = δij .3 Son realmente las funciones proyeccion sobre los ejes coordenados, (x1, . . . , xn) 7→ xi.


(Dem.) Si v ∈ Rnp , es v =

n∑i=1

viei, y los vectores de la base dual se caracterizan porque ei∗(v) = 〈ei∗,v〉 = vi.

Entonces, representando dxi(p) ≡ Dxi(p) por la matriz jacobiana (0 . . . 1 . . . 0), que es la que tiene porelementos las derivadas direccionales respecto a los vectores de la base canonica ei (es decir, las derivadasparciales respecto a las coordenadas cartesianas en Rn), resulta que

dxi(p)(v) = 〈dxi(p),v〉 ≡ 〈Dxi(p),v〉 = (Dxi(p))(v) = (0 . . . 1 . . . 0)

v1

...vn

= vi = 〈ei∗,v〉 = ei∗(v)

y, por consiguiente, se concluye que ei∗ = dxi(p), para i = 1, . . . , n.

Recordemos que el producto exterior de de tensores se define como la antisimetrizacion del productotensorial. Tambien sabemos, del Algebra multilineal que, dado el espacio vectorial E = Rnp , los siguientesenunciados son equivalentes:

1. ωp:

k︷︸︸︷Rnp × . . .× Rnp → R es una aplicacion multilineal alternada.

2. ωp ∈k︷︸︸︷

(Rnp )∗ ∧ . . . ∧ (Rnp )∗ =

k∧(Rnp )∗.

3. ωp es un tensor covariante antisimetrico de orden k en Rnp .

Entonces:

Definicion 121 1. ωp es una k-forma lineal o forma multilineal alternada de grado k en Rnp si cumplecualquiera de las anteriores condiciones.

2. Una k-forma diferencial o forma diferencial de grado k en Rn es una aplicacion

ω : Rn −→⊔p

(k∧

(Rnp )∗

)p 7→ (p,ωp) ; (con ωp ∈

∧k(Rnp )∗) .

Comentarios y notacion:

Por convencion, las 0-formas diferenciales en Rn son las funciones f :Rn → R.

El conjunto de k-formas diferenciales en Rn se denota Λk(Rn) (k ≥ 0).

A partir de la base dxipi=1,...,n de (Rnp )∗ dada en la proposicion 94 se obtiene que una base del espacio∧k(Rnp )∗ esta formada por los productos exteriores dxi1p ∧ . . . ∧ dxikp i1,...,ik=1,...,n. Ası pues, una k-

forma lineal ωp ∈∧k

(Rnp )∗ se expresa como

ωp =∑

1≤i1<...<ik≤n

ωp i1,...,ik dxi1p ∧ . . . ∧ dxikp ;

donde ωp i1,...,ik ∈ R son las componentes de la k-forma lineal en esa base; es decir, se tiene que

ωp i1,...,ik = ωp(ei1 , . . . , ei1) = ωp

(∂

∂xi1

∣∣∣p, . . . ,

∂

∂xik

∣∣∣p

).

De manera analoga, una k-forma diferencial en Rn se expresa como

ω =∑

1≤i1<...<ik≤n

ωi1,...,ik(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik . (9.1)


Definicion 122 Las funciones ωi1,...,ik(x) en la expresion (9.1) son las funciones componentes de la k-formadiferencial ω en las coordenadas xi.La forma ω es continua o diferenciable de clase Cm si sus funciones componentes son continuas o de claseCm. La forma se dice que es diferenciable si sus funciones componentes son de clase C∞.

El conjunto de k-formas diferenciales diferenciables en Rn se denota Ωk(Rn).

9.1.3. Operaciones con formas diferenciales

Definicion 123 Sean ω,η ∈ Ωk(Rn) (k ≥ 0). Se denomina suma de las formas diferenciales ω y η a laforma ω + η ∈ Ωk(Rn) definida por

(ω + η)(p) := ω(p) + η(p) , ∀p ∈ Rn .

Si ω,η ∈ Ωk(Rn) estan dadas por expresiones como en (9.1), entonces

ω + η =∑

1≤i1<...<ik≤n

(ωi1,...,ik(x) + ηi1,...,im(x)) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .

Obviamente la suma de formas diferenciales tiene las mismas propiedades que la suma de funciones.

Definicion 124 Sean ω ∈ Ωk(Rn), η ∈ Ωm(Rn) (k,m ≥ 1). Se denomina producto exterior de las formasdiferenciales ω y η a la forma ω ∧ η ∈ Ωk+m(Rn) definida por

(ω ∧ η)(p) := ω(p) ∧ η(p) , ∀p ∈ Rn .

Si f es una 0-foma diferencial y ω es una k-forma diferencial (k ≥ 1), entonces f ∧ ω = f ω.

Si ω ∈ Ωk(Rn) esta dada por la expresion (9.1) y

η =∑

1≤j1<...<jm≤n

ηj1,...,jm(x) dxj1 ∧ . . . ∧ dxjm ,

entonces

ω ∧ η =∑

1≤i1<...<ik≤n

∑1≤j1<...<jm≤n

ωi1,...,ik(x)ηj1,...,jm(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjm .

Proposicion 95 Sean ω ∈ Ωk(Rn), η ∈ Ωm(Rn), ξ ∈ Ωr(Rn), f ∈ C∞(Rn) (k,m, r ≥ 0). Entonces

1. (Asociativa): ω ∧ (η ∧ ξ) = (ω ∧ η) ∧ ξ.

2. (Distributiva por la derecha): (ω + η) ∧ ξ = ω ∧ ξ + η ∧ ξ.

3. (Distributiva por la izquierda): ω ∧ (η + ξ) = ω ∧ η + ω ∧ ξ.

4. (Homogeneidad): (fω) ∧ η = ω ∧ (fη) = f(ω ∧ η).

5. (Conmutatividad o anticonmutatividad): ω ∧ η = (−1)kmη ∧ ω.

Como consecuencia, si k es impar, entonces ω ∧ ω = 0.

(Dem.) Son consecuencia de las propiedades del producto exterior de formas multilineales.

Definicion 125 Se denomina diferencial exterior de una forma diferencial ω ∈ Ωk(Rn), k ≥ 0, a la formadiferencial dω ∈ Ωk+1(Rn) definida por:

1. Si f ∈ Ω0(Rn) ≡ C∞(Rn), entonces

df :=

n∑i=1

∂f

∂xidxi .


2. Si ω ∈ Ωk(Rn), k ≥ 1, esta dada por la expresion (9.1), entonces

dω :=∑

1≤i1<...<ik≤n

dωi1,...,ik ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =∑

1≤i1<...<ik≤n

n∑j=1

∂ωi1,...,ik∂xj

dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .

Proposicion 96 Si a, b ∈ R, ω ∈ Ωk(Rn) y η ∈ Ωm(Rn) (k,m ≥ 0):

1. (Linealidad): d(aω + bη) = a dω + bdη.

2. (Regla de Leibnitz): d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

3. (Propiedad del cociclo): d2ω := d(dω) = 0.

(Dem.) A partir de la definicion es una mera cuestion de calculo.

Definicion 126 Sea ω ∈ Ωk(Rn).

1. ω es una forma cerrada si dω = 0.

2. ω es una forma exacta si ∃η ∈ Ωk−1(Rn) tal que ω = dη.

Proposicion 97 (Lema de Poincare 4) Sea U ⊂ Rn un abierto estrellado y ω ∈ Ωk(U). Si ω es cerrada,entonces es exacta (en U).

(Dem.) Vease M. Spivak, Calculo en Variedades.

Es sabido que toda aplicacion lineal entre espacios vectoriales, Φ:E → F , induce una aplicacion linealentre los duales, Φ∗:F ∗ → E∗, que se define como sigue: si v ∈ E y u∗ ∈ F , entonces

[Φ∗(u∗)](v) := u∗[Φ(v)] ,

y esta aplicacion se extiende de manera natural a todo el algebra tensorial. Entonces:

Definicion 127 Toda funcion F :Rm → Rn diferenciable induce una aplicacion

F∗ : Ωk(Rn) −→ Ωk(Rm) (k ≥ 0)ω 7→ F∗ω

definida como sigue:

1. Para k ≥ 1, si p ∈ Rm y v1, . . . ,vk ∈ Rmp , entonces

(F∗ω)p(v1, . . . ,vk)) := ωF(p)[dFp(v1), . . . ,dFp(vk)] .

2. Para k = 0, si f ∈ C∞(Rn) ≡ Ω0(Rn), entonces

F∗f = f F .

La k-forma F∗ω (k ≥ 0) se denomina “pull-back” o imagen recıproca por F de la forma ω.

El calculo del “pull-back” de formas diferenciales se efectua aplicando las propiedades siguientes:

Proposicion 98 Sea F :Rm → Rn una funcion diferenciable. Para a, b ∈ R; ω,η ∈ Ωk(Rn) y f ∈ C∞(Rn):

1. (Linealidad): F∗(aω + bη) = aF∗ω + bF∗η.

4 Este enunciado es una generalizacion de la proposicion 91.


2. F∗(ω ∧ η) = F∗ω ∧ F∗η 5.

En particular, F∗(f ω) = F∗f F∗ω.

3. F∗dω = dF∗ω.

4. Si G:Rn → Rp es una funcion diferenciable, entonces (G F)∗ = F∗ G∗.

5. Si F es un difeomorfismo entonces F∗ es invertible 6 y (F∗)−1 = (F−1)∗.

(Dem.) Ver M. Spivak: Calculo en variedades.

Corolario 13 Sea F :Rm → Rn una funcion diferenciable con F = (F1, . . . ,Fn). Si xii=1,...,n yyjj=1,...,m son coordenadas en Rn y Rm respectivamente, entonces:

1. F∗dxi =

m∑j=1

∂F i

∂yjdyj = dF i.

2. Si ω ∈ Ωk(Rn), k ≥ 1, esta dada por la expresion (9.1), entonces

F∗ω =∑

1≤i1<...<ik≤n

(F∗ωi1,...,ik(x))F∗dxi1 ∧ . . . ∧ F∗dxik

=∑

1≤i1<...<ik≤n

(F∗ωi1,...,ik(x)) dF i1 ∧ . . . ∧ dF ik

=∑

1≤i1<...<ik≤n

∑1≤j1<...<jk≤n

det

(∂(xi1 , . . . , xik)

∂(yj1 , . . . , xjk)(y)

)ωi1,...,ik(x(y)) dyj1 ∧ . . . ∧ dyjk .

(Dem.) Se obtienen como consecuencia de las propiedades (2) y (3) de la proposicion precedente.

Finalmente, recordemos que el producto interno de tensores (covariantes y contravariantes) se aplica demanera natural entre campos vectoriales y formas diferenciales (o tensores covariantes, en general); es decir:

Definicion 128 Si F es un campo vectorial y T es un tensor k-covariante en Rn, la contraccion de F y Tes el tensor (k − 1)-covariante iF T definido como sigue: para p ∈ Rn y v1, . . . ,vk−1 ⊂ Rnp , es

(iF T)(v1, . . . ,vk−1) := T(F(p),v1, . . . ,vk−1) .

9.2. Integracion de formas diferenciales

9.2.1. Subvariedades de Rn. Orientaciones

Para definir la integracion de formas en subvariedades de Rn, primero hay que recordar las nociones desubvariedad (regular) de Rn y de parametrizacion (regular) de una subvariedad (definicion 50 y teorema 19).

Definicion 129 Sea M ⊂ Rn.

1. M es una subvariedad regular de dimension m de Rn, m ≤ n, si para cada p ∈ M , existe un abiertoU ⊂ Rn que contiene a p y un difeomorfismo ϕ:U ⊂ Rn → V ⊂ Rn tal que 7:

a) ϕ(p) = 0.

b) ϕ(U ∩M) = V ∩ (Rm × 0n−m) = V ∩ (x1, . . . , xm, . . . , xn) ∈ Rn | xm+1 = . . . = xn = 0.5 Esta propiedad es valida tambien para formas de grados diferentes.6Es un isomorfismo de C∞(Rn)-modulos.7 La condicion dada significa que en un entorno de cada punto la superficie se identifica con un abierto de Rm.


2. Sea M ⊂ Rn una subvariedad regular de dimension m ≤ n. Un punto p ∈ M es un punto fronteraregular de la subvariedad M si existe un abierto U ⊂ Rn que contiene a p y un difeomorfismo ϕ:U ⊂Rn → V ⊂ Rn tal que

a) ϕ(p) = 0.

b) ϕ(U ∩M) = V ∩ (x1, . . . , xm, . . . , xn) ∈ Rn | xm > 0, xm+1 = . . . = xn = 0.c) ϕ(U ∩ (M −M)) = V ∩ (x1, . . . , xm, . . . , xn) ∈ Rn | xm = . . . = xn = 0.

Se denomina borde o contorno o frontera geometrica de M , y se designa por ∂M , al conjunto depuntos frontera regulares de M . Se dice, entonces, que M ∪ ∂M es una subvariedad con borde.

Los puntos de FrM que no son regulares se denominan puntos frontera singulares 8.

Observese que todos los puntos del conjunto ϕ−1(V ∩ (x1, . . . , xm, . . . , xn) ∈ Rn | xm = . . . = xn = 0)son puntos frontera regulares de M .

Para poder definir la integral de una k-forma diferencial sobre una subvariedad es preciso disponer deuna parametrizacion de esta ultima. Entonces:

Definicion 130 Sea D ⊂ Rm un abierto con borde ∂D. Se denomina subvariedad parametrizada regularcon borde de Rn (m < n) a una aplicacion σ:D ⊂ Rm → Rn tal que:

1. σ es inyectiva.

2. σ es de clase C1.

3. Para todo x ∈ D, rang Jxσ = m.

En tal caso, el borde de la subvariedad M = σ(D) ⊂ Rn es la imagen por σ del borde de D; esto es,∂M = σ(∂D).

La restriccion σ:D ⊂ Rm → Rn es una subvariedad parametrizada regular de Rn o, tambien, una parame-trizacion regular de la subvariedad M = σ(D).

Para definir el concepto de orientacion de (sub)variedades, recordemos que la eleccion de la orientacion

de una superficie se hacıa con el producto vectorial fundamental

(∂σ

∂u∧ ∂σ∂v

)p

o

(∂σ

∂v∧ ∂σ∂u

)p

, para todo

p ∈ D. Esto equivale a elegir una ordenacion de los vectores

(∂σ

∂u

)p

,

(∂σ

∂v

)p

≡ (Tu)p, (Tv)p, que

constituyen la base del espacio tangente Tσ(p)S. Estos vectores son, como ya se sabe, los vectores en R3

asociados por la aplicacion Dσ(p) a los vectores de la base canonica

(∂

∂u

)p

,

(∂

∂v

)p

de R2. Pero

una ordenacion en esta base induce, a su vez, una ordenacion en la base dual (Tu)∗p, (Tv)∗p del espacio

cotangente T∗σ(p)S y, por consiguiente, una 2-forma ωp = (Tu)∗p ∧ (Tv)∗p que tiene la propiedad de que

ωp ((Tu)p, (Tv)p) = 1. Esta idea se generaliza a dimension superior, con lo que:

Definicion 131 Una orientacion de una subvariedad regular m-dimensional M ⊂ Rn en p ∈ M es unaeleccion de una base (ordenada) del espacio tangente TpM . Se dice que M esta orientada en p ∈M .

Dos bases de TpM definen la misma orientacion en p ∈ M si la matriz A ∈ M(n) de cambio de base es talque detA > 0 y definen orientaciones opuestas en caso contrario 9.

Definicion 132 Una subvariedad regular M ⊂ Rn es orientable si puede ser recubierta por parametriza-ciones regulares locales para las que se pueden elegir orientaciones que son equivalentes (o consistentes) entodos los puntos de la subvariedad.

Comentarios:8 Las definiciones de regiones y superficies con borde dadas en el capıtulo anterior son casos particulares de esta.9 Si las bases son ortonormales, entonces detA = ±1


De este modo, el conjunto de bases de TpM queda dividido en dos clases 10, cada una de las cuales dauna de las dos posibles orientaciones de M en p.

Si e1, . . . , em es una base en TpM , entonces existe una unica m-forma lineal ωp = e∗1 ∧ . . . ∧ e∗m ∈∧m(T∗pM) tal que ωp(e1, . . . , em) = 1, que se denomina forma o elemento de volumen en TpM asociada

a la orientacion dada por esa base. Observese que, si se toman bases ortonormales, solo existen dosposibles elementos de volumen que estan asociadas una con cada una de las posibles orientaciones; portanto, dar una orientacion de M en p es equivalente a dar un elemento de volumen en TpM .

En el caso de que la variedad sea orientable, tomando bases ortonormales que correspondan a orienta-ciones consistentes en todos los puntos, se puede definir de esta manera una unica m-forma diferencialω tal que ωp sea un elemento de volumen en TpM , ∀ p ∈ M , que se denomina forma de volumen enM asociada a la orientacion dada.

Definicion 133 Sea M ∪ ∂M una subvariedad m-dimensional de Rn con borde. Sea e1, . . . , em, . . . , en labase ortonormal (orientacion dextrogira) asociada a las coordenadas cartesianas en Rn. Si det Jpϕ > 0 enla definicion 130, entonces

1. La orientacion positiva de ∂M , en p ∈ ∂M , es la dada por la base (Dpϕ)−1(e1), . . . , (Dpϕ)−1(em−1)de Tp(∂M).

2. La orientacion inducida sobre M , en p ∈M , por la orientacion positiva de ∂M es la dada por la base(Dpϕ)−1(e1), . . . , (Dpϕ)−1(em) de TpM

11.

Proposicion 99 Si M es una subvariedad m-dimensional de Rn con borde ∂M , orientable, entonces ∂Mes una subvariedad (n− 1)-dimensional de Rn sin borde, orientable.

(Dem.) Ver B. Stonek: Calculo III.

Finalmente, el concepto de parametrizaciones regularmente equivalentes de una subvariedad se define delmismo modo que para el caso de superficies y curvas parametrizadas:

Definicion 134 Sean σ1:D1 ⊆ Rm → Rn y σ2:D2 ⊆ Rm → Rn dos parametrizaciones regulares dela subvariedad M ⊂ Rn. Se dice que σ1 y σ2 son regularmente equivalentes si existe un difeomorfismog:D1 ⊆ Rm → D2 ⊆ Rm de clase C1 tal que σ1 = σ2 g.

Ademas, si det Jug > 0, para u ∈ D1, entonces ambas parametrizaciones definen la misma orientacion de lasubvariedad en u y dan orientaciones opuestas si det Jug < 0.

9.2.2. Integracion de formas en Rn y en subvariedades de Rn

Las formas diferenciales se pueden integrar en Rn y en subvariedades de Rn. Concretamente, una formade grado n se integra de manera natural en un conjunto acotado de Rn, mientras que las formas de gradom < n se integran en subvariedades de dimension m de Rn.

Comenzaremos mostrando como se hace esto en Rn. Para ello, tengase en cuenta que la expresion encoordenadas de una n-forma diferencial en Rn es

ω = f(x1, . . . , xn) dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,

con lo que se tiene que:

Definicion 135 Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado y ω ∈ Ωn(Rn). La integral de la forma ω en A es lasiguiente integral (si existe) 12 ∫

A

ω :=

∫A

f =

∫A

f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn .

10 La relacion entre bases que dan la misma orientacion es de equivalencia.11 Si se toma como orientacion del borde ∂M la opuesta, entonces la orientacion inducida sobre M es tambien la opuesta.12Si el soporte de ω en A es compacto, la la existencia de la integral esta garantizada.


Comentario: Observese que si en Rn se toma la n-forma diferencial ωvol = dx1 ∧ . . . ∧ dxn, la integral∫A

ωvol (si existe) da como resultado el volumen en Rn de A. Por esa razon ωvol recibe el nombre de forma

canonica de volumen en Rn 13.

Definicion 136 Sea M ⊂ Rn una subvariedad m-dimensional de Rn, A ⊂ M un conjunto acotado yσ:D ⊂ Rm → Rn una parametrizacion regular tal que A = σ(D). Si ω ∈ Ωm(Rn), la integral de ω sobreA ⊂M es la siguiente integral (si existe): ∫

A

ω :=

∫D

σ∗ω .

Proposicion 100 Si σ1:D1 ⊂ Rm → Rn y σ2:D2 ⊂ Rm → Rn son dos parametrizaciones regularmenteequivalentes de la subvariedad M tales que existe la integral de ω para ambas parametrizaciones, entonces∫

D1

σ∗1 ω = ±∫D2

σ∗2 ω ,

donde el signo positivo corresponde al caso en que det Jug > 0, para todo u ∈ D1 (g conserva la orientacion)y el negativo al caso contrario (g invierte la orientacion).

(Dem.) analoga al caso de las integrales de lınea y de superficie.

9.2.3. Teorema de Stokes en Rn

Teorema 44 (Teorema de Stokes en Rn): Sea M ⊂ Rn una subvariedad regular m-dimensional de Rn,compacta, orientada y con borde ∂M orientado con la orientacion inducida por la de M . Si ω ∈ Ωm−1(Rn),entonces ∫

M

dω =

∫∂M

ω .

(Dem.) Ver B. Stonek: Calculo III.

Los teoremas clasicos de Green, de Stokes (en R3) y de Gauss-Ostrogradskii (en R3 y R2) se recuperancomo casos particulares de este. Para verlo, previamente se define:

Definicion 137 Sea F un campo vectorial en Rn. A partir del producto escalar euclıdeo (metrica euclıdeag) en Rn y de la forma de volumen ωvol en Rn, se definen las siguientes formas diferenciales:

1. La 1-forma diferencial ω1F := iF g 14; es decir, si p ∈ Rn y v ∈ Rnp , entonces

ω1F(v) := 〈Fp,v〉 .

2. La (n− 1)-forma diferencial ωn−1F := iF ωvol

15; es decir, si p ∈ Rn y v1, . . . ,vn−1 ∈ Rnp , entonces

ωn−1F (v1, . . . ,vn−1) := ωvol(Fp,v1, . . . ,vn−1) = det (Fp v1 . . .vn−1) .

Proposicion 101 1. Para toda 1-forma ω en Rn, existe un campo vectorial F en Rn tal que ω =ω1F.

2. Para toda (n− 1)-forma ω en Rn, existe un campo vectorial F en Rn tal que ω =ωn−1F .

(Dem.) Es una simple cuestion de calculo en coordenadas. En particular:

1. Si ω = F1dx1 + . . .+ Fndxn, entonces ω = ω1F para F = (F1, . . . , Fn).

13 Esta forma es tal que ωvol(e1, . . . , en) = 1, para la base canonica en Rnp , ∀ p ∈ Rn.14 En algunos textos se suele denominar forma de contraccion de F.15 Se suele denominar forma de flujo de F.


2. Veamoslo, por simplicidad, en R3. Si ω = F12 dx ∧ dy + F23 dy ∧ dz + F31 dz ∧ dx, entonces ω = ω2F

para F = (F31, F12, F23).

Las operaciones que se han definido en este apartado permiten establecer la relacion entre los operadoresdiferenciales del Calculo Vectorial y las formas diferenciales.

Proposicion 102 1. Si f ∈ C1(Rn), entonces df = ω1grad f .

2. Si F es un campo vectorial diferenciable en R2, entonces dω1F = rot F dx ∧ dy.

3. Si F es un campo vectorial diferenciable en R3, entonces dω1F = ω2

rotF.

4. Si Fes un campo vectorial diferenciable en Rn, entonces dω2F = div F dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

(Dem.) De nuevo mediante simples calculos en coordenadas se comprueba que:

1. Es una consecuencia directa del apartado (1) de la proposicion anterior.

2. Si ω = ω1F = F1dx+ F2dy, para F = (F1, F2), entonces

dω = dω1F =

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dx ∧ dy = rot F dx ∧ dy .

3. Si ω = ω1F = F1dx+ F2dy + F3dz, para F = (F1, F2, F3), entonces

dω =

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dx ∧ dy +

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)dy ∧ dz +

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)dz ∧ dx ,

y como

rot F =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)≡ (F23, F31, F12)

se tiene quedω = F12 dx ∧ dy + F23dy ∧ dz + F31 dz ∧ dx = ω2

rotF .

4. Por simplicidad se comprueba para el caso en R3. Si ω = ω2F = F12 dx∧dy+F23 dy∧dz+F31 dz∧dx,

para F = (F23, F31, F12), entonces

dω = dω2F =

(∂F12

∂z+∂F31

∂y+∂F23

∂x

)dx ∧ dy ∧ dz = div F dx ∧ dy ∧ dz .

Y con todo ello la recuperacion de los teoremas clasicos se lleva a efecto del siguiente modo:

Teorema de Green:

Tomar M = D, siendo D una subvariedad abierta de R2; con ∂M = ∂D = C una curva de Jordanregular. Dado el campo vectorial F = (F1, F2) de clase C1, aplicando el apartado (2) de la proposicion 102se tiene que∫

D

rot F =

∫M

rot F dx ∧ dy =

∫M

dω1F =

∫∂M

ω1F =

∮∂D

F1dx+ F2dy =

∮∂D

F · dl .

Teorema de Stokes en R3:

Tomar M = S, siendo S una superficie regular de R3 orientable; con ∂M = ∂D = C una curva de Jordanregular. Dado el campo vectorial F = (F1, F2, F3) de clase C1, aplicando el apartado (3) de la proposicion102 se tiene que∫

S

rot F · dS =

∫M

ω2rotF =

∫M

dω1F =

∫∂M

ω1F =

∮∂S

F1dx+ F2dy + F3dz =

∮∂S

F · dl .


Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R3:

Tomar M = V , siendo V una subvariedad abierta de R3; con ∂M = ∂V = S una superficie regularcerrada. Dado el campo vectorial F = (F23, F31, F12) de clase C1, aplicando el apartado (4) de la proposicion102 se tiene que∫V

div F =

∫M

div F dx∧dy∧dz =

∫M

dω2F =

∫∂M

ω2F =

∮∂V

F12 dx∧dy+F23 dy∧dz+F31 dz∧dx =

∫∂V

F·dS .

Teorema de Gauss-Ostrogradskii en R2:

Como se vio en su momento, se puede considerar como un caso particular del teorema de Green.

Bibliografıa

Libros de teorıa

1. J. de Burgos, Calculo Infinitesimal de Varias Variables, McGraw-Hill, Madrid 1995.

2. J.E. Marsden, M.J. Hoffman, Analisis Clasico Elemental, Addison-Wesley Iberoamericana, Madrid(1993).

3. J.E. Marsden, A.J. Tromba, Calculo Vectorial, Fondo Educativo Interamericano, Barcelona 1991.

4. J.M. Mazon Ruız, Calculo Diferencial: teorıa y problemas, Serv. Pubs. Univ. Valencia, Valencia 2008.

5. M. Spivak, Calculo en variedades, Reverte, Barcelona 1983.

Libros de problemas

1. F. Bombal, L. Rodrıguez, L. Vera, Problemas de Analisis Matematico. Tomo 1: Calculo Diferen-cial, A.C., Madrid 1975.

2. E. Garriga, N. Roman, A. Sanchez, O. Serra, Calcul infinitesimal: Problemes resolts. Series icalcul diferencial en diverses variables, C.P.E.T., Barcelona 1990.

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5. Puig Adam, Calculo integral, Biblioteca Matematica, 1985.

6. M.R. Spiegel, Calculo Superior, Schaum, Madrid, 1986.

Formularios y Tablas

1. M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs andMathematical Tables, Dover, N.Y. 1964.

2. I. Bronshtein, K. Semendiaev, Manual de formulas para ingenieros, Mir, Moscu 1982.

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Otras referencias recomendadas

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7. B. Stonek, Calculo III, http://bruno.stonek.com/ordenado.pdf (2013).

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN R

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