UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

Escuela De Ciencias Agrícolas, Pecuarias Y Del Medio Ambiente

INGENIERÍA AMBIENTAL

LÍMITES Y CONTINUIDAD

CÁLCULO DIFERENCIAL

Preparado Por

Tutor

WILSON IGNACIO CEPEDA ROJAS

INGENIERO CIVIL

PUERTO GAITÁN – META

2013

FASE 1. Resuelva los siguientes límites:

1. limx→2

x2−x−2x2−5 x+6

Si evaluamos directamente se obtiene una indeterminación:

limx→2

x2−x−2x2−5 x+6

=(2 )2−2−2

(2 )2−5 (2 )+6= 4−410−10

=00

Debemos hallar la manera de eliminar la indeterminación, en este caso recurrimos a la factorización:

limx→2

x2−x−2x2−5 x+6

limx→2

(x−2 ) ( x+1 )( x−3 ) ( x−2 )

limx→2

x+1x−3

limx→2

2+12−3

limx→ 2− 31

¿

Finalmente: limx→2

x2−x−2x2−5 x+6

=−31

2. limx→0

√9+x−3x

Si evaluamos directamente se obtiene una indeterminación:

limx→0

√9+x−3x

=√9+0−30

=3−30

=00

Debemos eliminar esa indeterminación. Entonces;

limx→0

√9+x−3x

Para eliminar un radical, se racionaliza la expresión, lo cual se hace multiplicando y dividiendo la expresión por el conjugado de dicha expresión.

limx→0

√9+x−3x

. √9+x+3√9+x+3

limx→0

(√9+x )2− (3 )2

x . (√9+x+3 )

limx→0

9+x−9x . (√9+x+3 )

Simplificando: limx→0

xx . (√9+x+3 )

limx→0

1√9+0+3

limx→0

13+3

limx→0

16

Finalmente: limx→0

√9+x−3x

=16

3. limx→−2

3−√ x2+53 x+6

Si evaluamos directamente se obtiene una indeterminación:

limx→−2

3−√ (−2 )2+53 (−2 )+6

=3−√4+5−6+6

= 3−3−6+6

=00

Aplicamos la conjugada:

limx→−2

3−√ x2+53 x+6

limx→−2

3−√ x2+53 x+6

. 3+√ x2+53+√ x2+5

limx→−2

(3 )2−(√ x2+5 )2

(3 x+6 ) (3+√x2+5)

limx→−2

9−(x2+5 )(3 x+6 ) (3+√x2+5)

limx→−2

9−x2−5(3 x+6 ) (3+√x2+5)

limx→−2

4−x2

(3 x+6 ) (3+√x2+5)Factorizamos:

limx→−2

(2+x ) (2−x )

3 ( x+2 ) (3+√ x2+5 )Simplificando:

limx→−2

(2−x )

3 (3+√x2+5)Evaluamos el límite:

limx→−2

2−(−2 )

3 (3+√ (−2 )2+5 )

limx→−2

43 (3+√9 )

limx→−2

43 (6 )

limx→−2

418

limx→−2

29

Finalmente:limx→−2

3−√ x2+53 x+6

=29

4. limh→2b

(b+h )2−b2

h

FASE 2.

5. limX→0

tan 7 xsin 2x

Si evaluamos directamente obtenemos una indeterminación.

limX→ 0

tan 7 xsin 2x

= tan 0sin 0

=00

limX→ 0

tan 7 xsin 2x

limX→ 0

sin7 xcos 7xsin 2x1

Aplicamos la llamada ley de la oreja:

limX→ 0

sin 7 xcos7 x . sin 2 x

Para contrarrestar

limX→0

7 x . sin 7 x7 x

cos7 x .2 x . sin 2x2 x

Aquí podemos aplicar la propiedad de los límites que dice que cuando X tiende a cero de seno de kx sobre kx es igual a 1. limx→0

sin kxkx

=1

¿( limx→0 7 x )(limx→0 sin 7 x7x )

( limx→0 cos7 x )( limx→0 2 x)( limx→0 sin 2x2 x )

¿limx→0

7 x

limx→02 x

limx→0

7 x2 x

=72

Finalmente:

limX→0

tan 7 xsin 2 x

=72

6. limθ→0

1−cosθθ

Si la evaluamos directamente obtenemos una indeterminación:

limθ→0

1−cos (θ )θ

=limθ→0

1−cos00

=limθ→0

1−10

=¿ 00

¿

Entonces:limθ→ 0

1−cos (θ )θ

Para demostrar este límite, aplicamos la racionalización a través de la conjugada:

limθ→0

1−cos (θ )θ

. 1+cos (θ )1+cos (θ )

limθ→0

1−cos2 (θ )(θ ) (1+cos (θ ) )

limθ→ 0

sin2 (θ )(θ ) (1+cos (θ ) )

Separamos los límites:

limθ→ 0

sin (θ )θ

. sin (θ )1+cos (θ )

Tenemos en cuenta que: limθ→ 0

sin (θ )θ

=1

Evaluando los límites:

1. sin (0 )1+cos (0 )

=1. 01+1

=1. 02=0

7. limn→∞

√2n2−35 x−3

Evaluando directamente se obtiene una indeterminación:limn→∞

√2n2−35 x−3

=❑❑

FASE 3.

limX→∞ { x34 x3 }

x3

1−2x3

¿Qué valor de n hace que la siguiente función sea continua?

0x={ 2nx−5 para x≤33 x2−nx−2 pra x>3}