¿QUÉ ES UNA FUNCION?

Es una relación o correspondencia entre las magnitudes, de manera que cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda a la que se le llama también imagen.

Todas las funciones están integradas con variables las cuales pueden ser independientes o dependientes por ejemplo: Imagina una llave a la cual le sale agua y a la hora de cerrar empieza a gotear. El nivel de agua que se alcanza si te pones a llenar un vaso depende del tiempo que la llave este goteando.

La variable tiempo de goteo se llama la variable independiente.

La variable nivel de agua se le conoce como variable dependiente ya que depende de la variable tiempo.

A cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

f f (X)# X2

1 1

1.25 1.561.5 2.251.75 3.06

2 43 9

LA GENTE DE AHORA VIVE MÁS TIEMPO QUE LA DE ANTES

Una de las razones por las cuales a sucedido este fenómeno es el importante avance que ha tenido la medina dentro de la historia, antes las personas morían por enfermedades infecciosas como el tétanos, cólera, etc. Ahora ya noes el caso, predomina las enfermedades de carácter crónico-degenerativas, llámese hipertensión, diabetes,etc.

Nada más basta mencionar el notable descubrimiento de la penicilina, este revoluciono totalmente la medicina, y por lo tanto la calidad de vida humana.

El abastecimiento de comida es otra razón muy importante para que se prolongue la vida. Antes se salía a cazar, buscar o recolectar los víveres de una forma arriesgada y peligrosa, hoy en día solo hace falta ir al supermercado más cercano para encontrar lo que “quieras” y no lo que “puedas” comer así mismo, se lleva una dieta con todos los nutrientes para una buena alimentación lo que da como resultado una buena función de nuestro organismo.

La civilización en razonamiento nos lleva al dialogo para arreglar nuestras diferencias, entendernos y respetarnos evitando luchas o quemas que amenazan con muchas vidas jóvenes y en plenitud. Nuestros instintos los controlamos haciéndolos civilizados y razonables.

La vivienda y el vestido nos das dan demasiadas ventajas pues protegen de la interpiere, lo que antes no era posible o las condiciones muy difíciles para subsistir en el tiempo y espacio.

Estas son razones muy importantes por las cuales se ha ido prolongado el tiempo de vida. Conforme avance la tecnología y el conocimiento, encontraran nuevas formas para alargar nuestras vidas ya sea mejorando los trasplantes órganos, educación alimentaria, alimentos procesados saludables etc.

Independiente Dominio

Dependiente Codominio

FUNCION LINEAL O DE LA PROPORCIÓN DIRECTAPESO (Kg) 1 2 8VALOR ($) 180 360 630

Las funciones cuyas graficas son rectas se llaman funciones lineales o de proporcionalidad directa

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.

PERIMETRO 4 X

Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

En una expresión algebraica se distinguen dos partes un factor numérico, llamado coeficiente, y las letras con sus exponentes, denominados parteliteral.

UN NUMERO AUMENTADO EN DOS a+2

UN NUMERO AUMENTADO EN DOS c−s

DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS NUMEROS P2−r 2

En matemáticas una función, aplicación o mapeo fes una relación entre un conjunto dado x (el dominio) y otro conjunto de elementos y (el dominio) de forma que a cada elemento xdel dominio le corresponde un único elemento del codominio f ( x ) se denota por:

f : x→ y

Comúnmente, el termino función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cuales quiera se las denomina aplicaciones.

DEFINICION

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elementoX∈ X con un (Y solo un ) y ∈Y y se denota f ( x )=Y , en lugar de(X ,Y )∈ f .

f ( X )=X 2+3 X−4

a) f (0 )=f (0 )=02+3 (0 )−4

f (0 )=0+0−4

f (0 )=−4

b)f (2 )=f (2 )=22+3 (2 )−4

f (2 )=4+6−4

c)f ( h )=f ( h )=h2+3 (h )−4

f ( h )=h2+3−¿4

d)f (2h)= f (2h)=2h2+3(2h)−4

f (2h )=4 h2+6h−4

e)f (2 x )=f (2x )=2 x2+3 (2 x )−4

f (2 x )=4 x2+6x−4

f)f ( x+h )=f ( x+h )2+3 ( x+h )−4

f ( x+h )=x2+2 xh+h2+3x+3h−4

FUNCION INYECTIVA

“INYECTIVO” significa que cada elemento de “B” tiene como mucho uno de “A” al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de “B” tengan alguno en “A”).

Una función f es inyectiva si, cuando f ( X )=f (Y ) , X=Y

Ejemplo: f ( X )=X 2 del conjunto de los números naturales N a N es una función

inyectiva.

Pero f ( X )=X 2no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros 2. (Esto incluye números negativos).

FUNCIÓN SOBREYECTIVO

“Sobreyectivo” significa que cada elemento de “B” tiene por lo menos uno de “A” (a los mejor más de uno).

Una función f (del conjunto A al b) es sobreyectiva si, para cada Y en B, existe por lo menos un X en A que cumple f ( x )=Y ,en otras palabras f es subreyectiva si Y solo si f ( A )=B .

Ejemplo: la función f ( x )=2X del conjunto de los números naturales N al de los números pares no negativos es subreyectiva.

Sin embargo, F ( X )=2Y del conjunto de los números naturales N a N no es subreyectiva, por que por ejemplo, ningún elemento de N va al 3 por esa función.

EJERCICIOS: Resolver cada función

a)f ( X )=10 X2+6 X+3 a) f ( X )=0d) f ( x )=3

b) f ( X )=2 X2−3 X−2 b) f ( x )=2 e)f ( x )=−6

c) f ( x )=−2

f ( x )=10 x2+6 x+3

a) f (0 )=10(0)2+6 (0)+3f (0 )=10(0)2+0+3

f (0 )=0+0+3f (0 )=3

b) f (2 )=10(2)2+6 (2 )+3f (2 )=10(8)❑+12+3

f (2 )=40+1243f (2 )=55

c) f (−2 )=10 (−2 )2+6 (−2 )+3f (−2 )=10 (4 )−12+3f (−2 )=40−12+3

f (−2 )=31

d) f (3 )=10 (3 )2+6 (3 )+3 f (3 )=10 (9 )+18+3f (3 )=90+18+3

f (3 )=111

e)f (−6 )=10 (−6 )2+6 (−6 )+3f (−6 )=10 (36 )−36+3f (−6 )=360−36+3

f (−6 )=327

f ( x )=2x2−3 x−2

f (0 )=2 (0 )2−3 (0 )−¿2f (0 )=2 (0 )−0−2f (0 )=0−0−2f (0 )=−2

f (2 )=2 (2 )2−3 (2 )−2f (2 )=2 (4 )−6−2f (2 )=8−6−2f (2 )=0

f (−2 )=2 (−2 )2−3 (−2 )−2 f (−2 )=2 (4 )+6−2

f (−2 )=8+6−2f (−2 )=12

f (3 )=2 (3 )2−3 (3 )−2 f (3 )=2 (9 )−9−2f (3 )=7

f (−6 )=2 (−6 )2−3 (−6 )−2f (−6 )=2 (36 )+18−7f (−6 )=72+18−2f (−6 )=88

OPERACIONES CON FUNCIONES Y TIP0S DE FUNCIONES

Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante adición, sustracción, mulplicación y división de sus valores de acuerdo con eso las nuevas funciones se conocen como la suma diferencia, producto y cociente de lasfunciones oficinales.

FUNCIONES f y g SUMAf +g (fg ) (x )=f ( X )+g(X )

DIFERENCIAf−g ( f −g ) ( X )=f ( x )−g ( x )

PRODUCTOf . g ( f . g ) ( x )=f ( X ) . g(x )

COCIENTE

fg ( fg ) ( X )=f (X )/g (X )

Ejemplo: f ( X )=√ x+1g ( x )=√ x−4

a. f +g=√ x+1 +√ x−4

b. f−g=√x+1 - √ x−4

c. f . g=√x+1 ∙√x−4

d. f /g=√ x+1/√x−4

Si f y g están definidas por:

f ( X )=√X g ( x )=2x−3

Entonces: ( f . g ) ( X )=f (g ( X ) )=f ( X ) . g ( X )=f (2x−3 )=√2x−3

CONSTANTES LINEAL

f ( X )=af ( X )=mx+b

CUADRATICA TRIGONOMETRICA

f ( X )=a X2+bX+C f ( X )=sen(X)

EXPONENCIALf ( X )=a2LOGARITMICAf ( X )=loga2

f ( x )=A X

X f ¿

f ( x )=2x f (0 )=20 f (−2 )=2−2 f (0 )=1f (−2 )=1/2−2 f (−2 )=1/4❑ f (1 )=21

f (1 )=¿2f (−3 )=2−3 f (−3 )=1/2−3 f (2 )=22

f (−3 )=1/8 f (2 )=4

f (−1 )=2−1 f (−1 )=1/21

f (−1 )=¿1/2

-3 1/8

-2 ¼

-1 ½0 1

1 2

2 4

3 8

f ( x )=(0.25)x

X f ( x ) f (−5 )=(0.25)−5 f (−2 )=(0.25)−2 f (−5 )=1/0.255 f (−2 )=1/0.252

f (−5 )=1/1024 f (−2 )=1/16 f (−4 )=(0.25)−4 f (−1 )=(0.25)−1

f (−4 )=1/0.254 f (−1 )=1/0.251

f (−4 )=1/256 f (−1 )=1/4

f (−3 )=(0.25)−3 f (−3 )=1/(0.25)3

f (−3 )=¿1/64

-5 1024

-4 256-3 64-2 16

-1 4

f ( X )=(1.06)x

X f ( x ) f (2 )=(1.06)2 f (8 )=(1.06)8 f (2 )=1.1236 f (8 )=1.5938 f (4 )=(1.06)4 f (10 )=(1.06)10

f (4 )=1.2624 f (10 )=1.7908

f (6 )=(1.06)6 f (6 )=1.4185

2 1.1236

4 1.2624

6 1.4185

8 1.5938

10 1.7908

f ( X )=2x

X f ( x ) f (−2 )=22 f (1 )=21 f (−2 )=1/22 f (1 )=2f (−2 )=1/4

f (−1 )=2−1 f (2 )=22

f (−1 )=1/2 f (2 )=4

f (0 )=20

f (0 )=1

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

f ( X )=7X

X f ( x ) f (−2 )=7−2 f (1 )=71 f (−2 )=1/72 f (1 )=7f (−2 )=1/49 f (2 )=72

f (−1 )=7−1 f (2 )=49 f (−1 )=1/7 f (1 )=71

f (0 )=70 f (1 )=7f (0 )=1

-2 1/49

-1 1/7

0 1

1 7

2 49

LEYES DE LOS EXPONENTES

POTENCIAS

EXPONENTE 1 X2−X

EXPONENTE 0 X 0−1

EXPONENTE NEGATIVO X−1=−1/X

MULTIPLICACION X mxn=xm+n

DIVISION xm

xn=xm−n

UNA POTENCIA (x¿¿m)n=xm.n ¿

Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.

Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

Ejercicios:

1. 91=9

2. 100=1

3. 59

57=59−7=52=25

4. ( 13)3

=13

33= 127

5. (22)2=22.2=24=16

6. 3−3= 1

33=1 /27

7. 26 .24=26+4=210=1024

8. (4.2)3=43 .23=64.8=512

9. 271 /3=3√27=3

log 10100=3103=100

log 64 8=1264

12=8

log 216=−4 2−4=1

6

52=25 log525=2

Para multiplicar entre si dos números cualquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma.

El numero de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado”

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

PROPIEDAD 1

El logaritmo de un producto es una suma de logaritmo.

Log56 8*7

log 56=log (8¿7 )=log 8+ log7=0.9031+0.8451=1.7482

PROPIEDAD 2.

El logaritmo de un cociente es una diferencia de logaritmos

log92=log 9−log 2=0.9542−0.3010=0.6532

PROPIEDAD 3.

El logaritmo de la potencia de un número es igual al exponente multiplicando a un logaritmo. Log64=log 8^2

log 64=log82=2 log 8=2 (0.9031 )=1.8062

TASA E INCREMENTOS

C=Capital I=ctr /100(36)

t=Tiempoo plazo(dias)

r=Tasade interes

360= Interes Ordinario

365= Interes real

Calcula el interés que vas a pagar por un préstamo de $10,000, pactado al 14% de interés en un periodo de 65 días.

I=Ctr

100(360)

I=(10000 ) (65 ) (14 )100 (360 )

I=9.10000036000

I=252.77

Pagas $10,252.77

¿Cuál es el interés a pagar por la compra de un teatro en casa con un costo total de $18,700 pesos con una tasa de interés del 24% y el contrato se firmó el 3 de Abril de 1973 y termino de pagarse 14 Sep. 1975?

1975 09 141973 04 3 2 5 11 720+150+11=881

I=18,700(881)(24)100 (360)

=3953280036000

=10983.13=1.11

VARIABLES FINANCIERAS

C=Capital

t=Tiempoo plazo

i=Tasa de Interes

I=Interes

M=Monto

R=Cuota

INTERES

Es lo que se pago o recibe por cierta cantidad de dinero tomada o dada en préstamo la cantidad de interés depende de las sig. Variables.

CAPITAL: Cantidad que se da en préstamo.

PLAZO: Tiempo durante el cual se presta el capital.

TASA DE INTERES.

INTERES SIMPLE._ Se genera sobre un capital que permanece en el tiempo.I=i .C .t .

Formula general de la tasa de interés.

i=I /C

CLASIFICACION DE INTERES SIMPLE.

Comercial en forma ordinaria. Comercial en forma exacta. Exacto en forma comercial. Exacto forma ordinaria.

INTERES SIMPLE COMERCIAL

360 días al pago, 180 días al semestre, 90 días al trimestre, 30 días al mes

INTERES SIMPLE EXACTO.365 Días al ano.

MONTO También conocido como valor futuro a interés simple se deduce de la suma entre capital y los que se generan durante determinado periodo de tiempo.

M=c(1+i . t)

INTERES COMPUESTOEs el interés que se genera sobre intereses.

Los intereses que se generan en el primer periodo de capitalización se convierten en capital para generar más intereses para el segundo periodo de capitalización y así sucesivamente.

M=C (1+i )¿ t

CAPITALIZACION Es la operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo.Por lo contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se le llama amortización.

AMORTIZACIONEs la reducción parcial de los montos de una deuda en un plazo determinado de tiempo.

La amortización toma curso cuando un prestatario le paga a su prestamista un monto del dinero prestado en un cierto lapso de tiempo.

La deuda puede extinguirse de una sola vez, o bien, hacerlo en forma gradual por medio de pagos parciales por una determinada cantidad de tiempo, lo que ha sido previamente establecida.

TASA DE DESCUENTO

Es una medida financiera que se aplica para determinar el valor actual de un pago futuro.

Se diferencia de la tasa de interés en que esta se aplica a una cantidad original para obtener el incremento que sumado a ello de la cantidad final mientras que el descuento se resta de una cantidad es privada por obtener una cantidad en el presente.

I=M−C /M

FÓRMULA PARA CALCULAR EL MONTO EN INTERÉS SIMPLE.

M=C (1+ti)

FORMULA PARA CALCULAR EL MONTO EN INTERES COMPUESTO.

M=C (1=i)t

FÓRMULA PARA CALCULAR EL CAPITAL EN INTERÉS SIMPLE.

C=M /(1+tI )

FORMULA PARA CALCULAR EL CAPITAL EN INTERES COMPUESTO.

C= M

(1+ i)t

FORMULA PARA CALCULAR LA TASA DE INTERES EN INTERES SIMPLE.

i=

MC

−1

t

FORMULA PARA CALCULAR LA TASA DE INTERES EN INTERES COMPUESTO.

i= t√ MC

−1

FORMULA PARA CALCULAR EL TIEMPO EN INTERES SIMPLE.

t=MC

−1

i

FORMULA PARA CALCULAR TIEMPO EN INTERES COMPUESTO

t=¿M /C¿(1+i)

EJEMPLO:

MONTO (INTERÉS SIMPLE)

¿De qué cantidad deben realizarse 13 pagos mensuales para liquidar un crédito de $8700 una tasa de interés del 16.5% anual?

M=? formula :M=C (1+ti)

t=13meses 13/12=1.083333333

i=16.5% 16.5/100 = 0.165

C=8700

SOLUCION: M=8700 (1+(1.083333333 ) (0.165 ))

M=8700 (1+0.17875)

M=8700 (1.17875)

M=10255.12513

=$788.855c /mes

CAPITAL (INETERES SIMPLE)

Para liquidar el costo de mobiliario en una oficina se van a realizar 22 pagos mensuales de $840 c /u. Si se considera que dicho financiamiento maneja una tasa de interés del 8% anual ¿Cuál era el costo inicial de mobiliario de oficina?

M=$840 840 *22= $18,480 C=M /(1+ti)

t=22 22/12= 1.8333 C= 18 480(1+(1.8333 ) (0.08 ))

i=8% 8/100= 0.08 C=18480 /1+0.146664

C=? C=18480 /1.146664

C=16,116.3165

¿Qué tasa de interés se maneja cuando para liquidar un capital de $18300 se hacen 9 pagos bimestrales de $2525 c/u?

C=$18,300 i=

MC

−1

t

t=18meses 18/12=1.5

M=2525 2525.7=22725 i=

2272518300

−1

1.5

i=1.24180−11.5

i=0.2418031.5

i=0.1612 .100

i=16.12%

MONTO (INTERES COMPUESTO)

Un empresario invierte $30 000 a una tasa de interés del 45% anual ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 4 años? Si la capitalización del interés es:

A: Bimestral M=C (1+i)t

B: Semestral C= 30000

C: Trimestral i= 0.45

D: Bimestral t= 4

M=30000 (1+0.45)4 A. 33 153.7968

M=30000 (1.45)4 B. 16576.8984

M=30000 (4.4205)4 C. 11051.2656

M=132,515.1875 D.63 28

Si f ( X )es una función usual (poli nómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.)y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

lim ¿ f (a)

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienen las X.

limx→1

(−X2−5 X+6 )=−12−5.1+6=0

limX→3

X 2−2X2−5+2

= 32−232−5.3+2

=−7/2

limX→ 1

(√X2+3 X−√X2+X )=(√12+3.1−√12+1 )=2−√2

EJEMPLOS:

limX→−2

3 X2+14 X−1

=3(−2)2+14 (−2 )−1

=3 (4 )+1−8−1

=12+1−9

= 13−9

=−139

limX→4

¿¿

FORMAS INDETERMINADAS

Límites de la forma 00

Al calcular un límite se puede presentar la forma indeterminada 00 , la cual se elimina

mediante una simplicacion al factorizar las expresiones dadas.

Ejemplo: X2−4X2

−5 X+6 Cuando X tiende a 2

limX→2

X2−4X2−5 X+6

=00

Factor izamos

limX→2

(X+2)(X−2)(X−3)(X−2)

=lim X+2X−3

= 2+22−3

= 4−1

=−4

Ejercicios:

1._

limX→ 0

3 X2−3 XX

=3(0)2−3 (0)

0=00

X (3 X2−3 X)X

=3 (0 )−3=0−3=−3

2._limX →3

X−3

X2−9= X−3

(X+3)(X−3)= 1

X+3= 13+3

=16

LIMITES CUANDO X →∞

Si se obtiene expresión de la forma L/∞ entonces el límite es cero.

Si se obtiene una expresión de la forma ∞ /L el límite es infinito.

Si se obtiene una expresión de la forma L/0 entonces el límite es infinito.

1. El valor de

limX→∞

6 X3−5 X2−3 X+24 X3−2 X+6

=

6 X3

X3 −5 X 2

X3 −3 XX3 + 2

X3

4 X3

X3−2 X

X3+ 6

X3

=6− 5

X.3X 2+

2X3

4− 2X2 +

6X3

=6−0−0+04−0+0

=64=32

2. limX→∞

2 X2−6 X+75 X3+2 X−3

=

2 X 2

X3 − 6X3 +

7X3

5 X3

X3+2 X

X3+ 3

X3

=

2X

− 6X2+

7X3

5+ 2X2−

3X3

=0−0+05+0−0

=05=0

Para simplificar el proceso se utiliza el sig. Teorema:

Si n>m , es decir, si el polinomio del numerador es de mayor grado que el del denominador entonces el límite es infinito.

Si n<mes decir, el polinomio del numerador es de menos grado que el del denominador entonces el límite es cero.

LIMITES

Es posible que en alguna ocasión en un estacionamiento, haya tenido que acercarse al máximo al automóvil que tiene en frente, pero sin desear golpearlo, o ni siquiera golpearlo esta noción de acercarse cada vez más a algo pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y tiene que ver con el cálculo de los limites. Básicamente se considera que una variable se hacerca al máximo a un valor especifico, y esto se examina para ver qué efecto tiene sobre los valores de una función.

Izq. Der. Resp.lim

X→−2f (X ) 1 -1 ∋

limX→−0

f (X ) 1 1 1limX→2

f (X ) −∞ −∞ ∋

limX→∞

f (X ) +∞ +∞ +∞

MANERAS DE RESOLVER LOS LÍMITES DE UNA FUNCION

1. Grafica2. Ecuación matemáticas3. Factor común4. Diferencia de cuadrados

lim ¿x→2

=∋¿ X →2−¿=5¿ f ( X )=2

X →2+¿=1¿

lim ¿x→2

¿

x→2−¿=3¿

x→2+¿=3¿

Las funciones indeterminadas se resuelven mediante la modalidad de factor común.

1. limX→ 0

5 X2+6 X5 X+10 X3=

5.02+6.05.0+10.03

=0+00+0

=00

X (5 X+6)X (5+10 X 2)

= 5 X+65+10 X2

=5 (0 )+65+10 (0)2

=65

2._ limX→0

4 X2+5 X4 X+5 X3=

X (4 X+5 X )X ¿¿

¿

3._limX→ 0

3 X2+3 X2 X+5 X3=

X (3 X+3)X (2+5 X2)

= 3 X+32+5 X 2=

3 (0 )+32+5(0)2

=32

4._ limX→0

10 X2+10 X8 X+10 X3 =

X (10 X+10)X (8+10 X2)

=10 X+108+8 X2 =

10 (0 )+108+8(0)2

=108

= 54

MEDIANTE FORMULA X=−b±√b2−4 ac2a

limx→1

x2+3 x−4x2−1

x=−3±√32−4.1 .(−4 )2.1

=x=−3±√9+16

2x=

−3±√252

x=−3±52

x=−3+52

=22=1 x=−3−5

2=−82

=−4

limX→ 1

¿¿−41

0

EJERCICIOS

1._limX→ 0

3 X2+3 X2 X+5 X3=

X (3 X+3)X (2+5 X2)

= 3 X+32+5 X 2=

3 (0 )+32+5(0)2

=32

2._limX→ 1

2X 2+2 X−2X3−1

X=−b±√b2−4 ac2a

x=−2±√22−4(2)(−2)

2(2)=x=

−2±√4+164

x=−2±√20

4

x=−2±4.474

x=−2+4.474

=2.474

=0.6175

x=−2−4.474

=−6.474

=−1.6175

limX→1

¿¿−1.61750.6175

0

3._ limX→ 0

10 X2+10 X8 X+10 X3 =

X (10 X+10)X (8+10 X2)

=10 X+108+10 X2=

10 (0 )+108+10(0)2

=108

=54

4._ limX→0

8 X2+9 X6 X+9 X 3=

X (8 X+9)X (6+9 X 2)

= 8 X+96+9 X2=

8 (0 )+96+9 (0)2

=96=32

5._ limX→0

16 X2+20 X10 X+10 X3=

X (16 X+20)X (10+10 X2)

= 16 X+2010+(10 (0)2)

=2010

=105

6._ limX→ 0

9 X2+10 X5 X2+12 X3=

X (9 X+10)X (5 X+12 X2)

= 9 X+105 X+12 X

=9 (0 )+10

5 (0 )+12(0)2=100

7._limX→ 1

2X 2+6 X−82 X 2−1

x=−6±√62−4 (2)(−8)2(2)

=x=−6±√36+64

4x=

−6±√1004

x=−6±104

x=−6+104

=44=1

x=−6−104

=−164

=−4

limX→1

¿¿−41

2

8._limX→ 1

5 X2+4 X−3X2−1

x=−4 ±√42−4(5)(−3)2(5)

=x=−4 ±√16+60

10x=

−4±√7610

x=−4 ±8.71710

x=−4+8.71710

=4.71710

=0.4717

x=−4−8.71710

=−12.71710

=−1.2717

limX→1

¿¿−1.27170.4717

0

MODELOS MATEMATICOS PARA LAS FUNCIONES MATEMATICAS

Determine el modelo matemático que exprese el área de la superficie total, del embace según la ilustración como una función del radio de la base. Lo que se pretende es conseguir la cantidad mínima de aluminio cuando el área de la superficie total sea un mínimo.

S=2πrh Área de la superficie lateral

v=π r2h Volumen de un cilindro circular recto

Un envanece cerrado de hojalata, cuyo volumen es de 60 pulg, tiene la forma de un cilindro circular recto.

A. Determine un modelo matemático que exprese el área de la superficie total del envase, como una función del radio de la base:

B. ¿Cuál es el dominio dela función obtenida en el inciso A?C. En una grafica determine, con aproximación de dos cifras decimales, el radio de

la base del envase si se emplea la cantidad mínima de hojalata en su elaboración.

La cantidad mínima de hojalata cuando el área de la superficie total sea un mínimo.

A=2πrh Área de la superficie lateral

S=2πrh+2π r2 Superficie total

π r2 Área de cada tapa

Determine un modelo matemáticos que exprese el área de la superficie total del envase como una función del radio de la base.

Como el único dato que tenemos es el volumen de 60 pulg cubicas, entonces trabajamos con ese dato:

El volumen de un cilindro circular recto:

V=b .h

V=π r2 . h

60=π r2 . h

h= 60

π r2

Al despegar h de esta ecuación y sustituirla en la superficie total, se obtiene S como función de r.

S ( X )=2πr ( 60π r2 )+2π r2

S (r )=( 120r )+2π r 2

b. Para obtener el dominio de S

1. Observe que la ecuación que define a S(r ).

rNo puede ser cero.

r Puede ser cualquier número positivo.

Por lo tanto:

El dominio de S es: (0 ,∞ )

S (r )=( 120r )+2π r 2

r S

0.1 1,200.0620.2 600.251

0.3 400.565

0.4 301.005

0.5 241.5700.8 154.021

1 126.283

2 85.132

3 96.548

4 130.530

5 181.079

6 246.194

7 325.018

8 417.123

9 522.271

10 640.318

En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde el rumor de que ganara “X” candidato, es conjuntamente proporcional al número de personas que lo han escuchado y al número de personas que no lo han escuchado.

Cuando 20 personas han escuchado el rumor, esta circula a una velocidad de 200 personas por hora.

A. Encuentre un modelo matemático que exprese la velocidad a la que se esparce el rumor como una función del número de personas que lo han escuchado.

B. ¿Qué tan rápido circula el rumor cuando lo han escuchado 500 personas?C. En una grafica, estime cuantas personas han escuchado el rumor cuando este

corre con la mayor velocidad.

800-20=7980 f ( x )=200hr

K=Constante para calculo poblacional

k= 1798

f ( x )= x (8000−x)798

f (500 )=500 (8000−500)798

f (500 )=4699.248

f ( X )= x (8000−x )798

X f (X )

0 0

400 3809.523

800 7218.0451200 10225.563

1600 12832.080

2000 15037.593

2400 16842.105

2800 18245.6143200 19248.248

3600 19849.624

4000 20050.1254400 19849.624

4800 19248.120

5200 18245.614

5600 16842.105

6000 15037.5936400 13832.080

6800 10225.563

7200 7218.0457600 3809.523

8000 0

FUNCIONES CONTINUAS

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

DEFINICION: Decimos que una función f es continua en un punto X=a , si se cumplen las siguientes condiciones.

1.- f ( a ) Exista

2.-limX→a

f (x ) Exista

3.-limX→a

f (x )=f (a ) Exista

1.- Primera condición establece que:

La función debe estar definida en el punto donde se requiere la continuidad, es decir,f ( a ) debe ser un número real.

2.- Segunda condición establece que:

Los valores de la función deben aproximarse a un único número real en la medida de que “X” se aproxime a “a” por la izquierda y por la derecha.

3.- Tercera condición establece que:

Los valores de la función deben aproximarse precisamente al número real f ( a ) en la medida de que “X” se aproxime a “a” por la izquierda y por la derecha.

Ejemplo._ La función definida por medio de: f ( X )= 1X−1

“No es continua.”

f (1) No existe como valor numérico puesto que el sustituir X por el 1 obtenemos división por cero. Tan solo el hecho que la función no cumple esta condición hace que no sea continua.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Decimos que una función es continua, cuando ella es continua en todo punto de su dominio.

Determina si la función es continua.

x2 , si X≤2→ (−∞,2 )

f ( x )=¿

3 X−5 , SI X>2→(2,∞)

Observamos que la función dada posee dos reglas o formas para transformar el argumento X.

La primera de ellas es válida solo cuando el argumento X obtiene sus valores en el intervalo: (−∞,2)

La segunda regla es válida solo cuando el argumento X obtiene sus valores en el intervalo: (2 ,∞)

Precisamente, cuando X=2, hay un cambio de regla.

Estas observaciones nos ayudaran a determinar la continuidad.

f ( a )=3a+5Existe

limX→a

3 X+5=3a+5 Existe

f (2 )=22=4 Existe

limX→2−¿X 2=X 2=4¿

¿

limX→2+¿ 3X+5=3.5+5=11¿

¿

Como consecuencia la segunda condición falla, lo que nos hace concluir que la función no es continua en X=2, Por lo tanto la función no es continua.

EJERCICIOS:

1. Determine si la función f ( X )=5 X2+3

Es continua o discontinua

Escogeremos un número arbitrario, por ejemplo “a”, y verificar por las tres condiciones.

Primera condición.- f ( X )=5 X2+3=5a2+3

Segunda condición.-limX→a

(5 X 2+3 )=5a2+3

Tercera condición.- Ambos resultados coinciden, son continuas.

2.-Determina f ( x )=x3

Es continua, cuando X →3

Primera condición.- f (3 )=(3 )3=27

Segunda condición.-limX→ 3

33=27

Tercera condición.- Los resultados coinciden, son continuas.

3.- Determina f ( X )=3 X3+2 Utiliza un numero arbitrario para “X”

Primera condición.- f ( X )=3 (2 )3+2=26

Segunda condición.-limX→ 2

3 X3+2=3.23+2=26

Tercera condición.- Los resultados coinciden, son continuas

4.- Determina ( fx)=x2

Es continua cuando X →4

Primera condición.- f (4 )42=6

Segunda condición.- limX→ 4

X2=42=16

Tercera condición.- Los resultados coinciden, son continuas