En esta actividad, se presentan ejercicios sobre la suma de Riemann, una vez que hayas resuelto puedes comprobar tus resultados empleando una aplicación de tu preferencia y mostrando la gráfica de la función. Solo te pido que indiques que aplicación empleaste para la comprobación e incluyas las capturas de pantalla.

Ejercicios:

1.- Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de:

f ( x )= (x−1 )2+2 x₁=−1 , x ₂=2

x f(x)-1 60 31 22 3

Además el eje x mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.

f ( x )=¿

Se divide [−1 ,2]

∆ x=2−(−1)n

=3n

, x i=a+ i Δ+x=−1+ 3in

La enésima suma de Riemann es:

∑ ni=1

f ( xi ) Δ x

¿∑ ni=1

f (−1+3 in ) 3n=∑ ni=1[(−1+3 in−1)

2

+2] 3n¿∑ n

i=1[( 3 in −2)2

+2] 3n=∑ ni=1( 9 i

2

n2−12 in

+4+2) 3n¿∑ n

i=1(27 i2

n3−36

n2i+18n )=27n3 ∑ n

i=1i2−36

n2∑ ni=1

i+18n ∑ n

i=11

∑ ni=1

f ( xi ) Δ x=27

n3 [ n(n+1)(2n+1)6 ]−36n2 [ n (n+1 )2 ]+ 18n (n )=9 (n+1 ) (n+1 )

2n2−18

(n+1 )n

+18

El área de la suma de Riemann es:

lim ¿n→∞∑ ni=1

f ( xi )∆ x=lim ¿n→∞[9 (n+1 ) (2n+1 )2

n2−18(n+1 )n

+18]=9−18+18=9¿¿

2.-Calcule la suma de Riemann para la función en el intervalo utilizando la partición D y los valores dados de wr. Dibuje la gráfica de la función en el intervalo dado y muestre los rectángulos cuyas medidas de áreas sean los términos en la suma de Riemann.

f ( x )=x2; 0≤ x≤3;

D : x0=0 , x1=0.5 , x2=1.25 , x3=2.25 , x4=3;

w1=0.25 ,w2=1 ,w3=1.25 ,w4=2.5

El desarrollo es el siguiente:

△1 x=x1−x0=0.5−0=0.5

△2 x=x2−x1=1.25−0.5=0.75

△3 x=x3−x2=2.25−1.25=1

△4 x=x4− x3=3−2.25=0.75

∑i=1

3

f (w i )⋅△i x=f (w1 ) ⋅△ 1 x+f (w2 ) ⋅△2 x+ f (w3 ) ⋅△3 x+f (w4 ) ⋅△4 x

f (w1 ) ⋅△1 x=f (0.25 ) (0.5 )=(0.25 )2 (0.5 )=( 116 )( 12 )= 132

f (w2 ) ⋅△2 x=f (1 ) (0.75 )=(1 )2 (0.75 )=1( 34 )=34f (w3 ) ⋅△3 x=f (1.5 ) (1 )=(1.5 )2 (1 )=( 94 ) (1 )= 9

4

f (w4 )⋅△ 4 x=f (2.5 ) (0.75 )= (2.5 )2 (0.75 )=( 254 )( 34 )=7516

∑i=1

3

f (w i )⋅△i x=132

+ 34+ 94+ 7516

=1+24+72+15032

=24732

=7,71875

La gráfica es la siguiente:

f ( x )=1x;1≤x ≤3 ;

D : x0=1 , x0=0 , x1=1.67 , x2=2.25 , x3=2.67 , x4=3 ;

w1=1.25 ,w2=2,w3=2.25 ,w4=2.75 ;

El desarrollo es el siguiente:

△1 x=x1−x0=1.67−1=0.67

△2 x=x2−x1=2.25−1.67=0.58

△3 x=x3−x2=2.67−2.25=0.42

△4 x=x4− x3=3−2.67=0.33

∑i=1

3

f (w i )⋅△i x=f (w1 ) ⋅△ 1 x+f (w2 ) ⋅△2 x+ f (w3 ) ⋅△3 x+f (w4 ) ⋅△4 x

f (w1 ) ⋅△1 x=f (1.25 ) (1.67 )=( 11.25 )(0.67 )=( 45 )( 23 )= 815

f (w2 ) ⋅△2 x=f (2 ) (0.58 )=(12 )(0.58 )=( 12 )(2950 )= 29100

f (w3 ) ⋅△3 x=f (2.5 ) (0.42 )=( 12.5 ) (0.42 )=( 152 )( 2150 )=( 25 )( 2150 )= 42250

f (w4 )⋅△ 4 x=f (2.75 ) (0.33 )=( 12.75 ) (0.33 )=( 1114 )( 13 )=( 411 )( 13 )= 4

33

∑i=1

3

f (w i )⋅△i x=815

+ 29100

+ 42250

+ 433

=8800+4785+2772+200016500

=1835716500

=1.11254545

La gráfica es la siguiente: