Cálculo_Proposicional_Clássico

Clculo Proposicional ClssicoO Clculo Proposicional Clssico (CPC) consiste num sistema simblico de Lgica Clssica. E como todos os sistemas de lgica clssica, segue os seguintes princpios:

Bivalncia: Cada frmula recebe apenas um de dois valores distintos e absolutos, verdadeiro ou falso.

No-contradio: Dadas uma frmula e sua negao, uma delas falsa.

Terceiro Excludo: Dadas uma frmula e sua negao, uma delas verdadeira.

Identidade: Se uma frmula verdadeira, ento esta frmula verdadeira.

O CPC se distingue de outros sistemas de Lgica Clssica por lidar apenas com:

Letras sentenciais: No CPC, letras do alfabeto romano maisculas so usadas para representar as proposies.

Este sistema foi desenvolvido para propsitos matemticos, tendo, portanto,

limitaes no que se refere anlise de raciocnios. Ainda assim, podemos aplic-

lo filosofia, s cincias e ao conhecimento ordinrio, desde que sempre

estejamos cientes de suas limitaes.

Por ser um sistema de lgica simblica, devemos ter vrias consideraes tanto

para formalizar proposies da linguagem natural, quanto para interpretar suas

frmulas na linguagem natural.

Proposies

Proposies so estruturas lingsticas passveis de serem julgadas verdadeiras

ou falsas, tais como Todos homens so mortais, Scrates homem, A gua

sob uma atmosfera ferve a 100C, Siegfrid matou Fafnir, 2 + 2 = 4 etc. No so

proposies as estruturas lingsticas interrogativas (ex: Quem voc?) ou

imperativas (ex: Faa isto), pois elas no so passveis de serem julgadas

verdadeiras ou falsas.

Termos, Operadores, Conectivos e Valoraes

No CPC, frmulas atmicas representam proposies de uma linguagem . Para

escrev-las, so usadas letras do alfabeto latino maisculas (A, B, C, D, E etc.).

Os operadores alteram os valores das frmulas, constituindo assim frmulas

moleculares. Os conectivos so operadores que relacionam duas frmulas. Os 5

operadores mais usuais so: a negao (), a conjuno (), a disjuno (), a

implicao () e a bi-implicao ().

Definio de Frmula

Frmulas atmicas so frmulas bem formuladas.

Se e so frmulas bem formuladas, ento , , , e

so frmulas bem formuladas.

Se uma frmula bem formulada, ento subfrmula de .

Se e so frmulas bem formuladas, ento e so subfrmulas de ,

, e .

Tabelas de Verdade

Seja uma linguagem que contenha as proposies , e .

O que podemos dizer sobre proposio ? Para comear, segundo o princpio

de bivalncia, ela ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:AVF

Agora, o que podemos dizer sobre as proposies e ? Oras, ou ambas so

verdadeiras, ou a primeira verdadeira e a segunda falsa, ou a primeira falsa

e a segunda verdadeira, ou ambas so falsas. Isto representamos assim:

A BV VV FF VF F

Como voc j deve ter reparado, uma tabela para , e assim:A B CV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contm as frmulas) representa uma

valorao.

Agora, o que dizer sobre frmulas moleculares, como , ou

? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas

recebem em vista do valor de cada frmula atmica que as compe. Faremos isto

por meio das tabelas de verdade.,

Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

1) Uma linha em que esto contidos todas as subfrmulas de uma frmula e a

prpria frmula. Por exemplo, a frmula tem o seguinte

conjuntos de subfrmulas: { , , , , }

2) linhas em que esto todos possveis valores que os termos podem receber e

os valores cujas as frmulas moleculares tem dados os valores destes termos.

O nmero destas linhas , sendo o nmero de valores que o sistema

permite (sempre 2 no caso do CPC) e o nmero de termos que a frmula

contm. Assim, se uma frmula contm 2 termos, o nmero de linhas que

expressam a permutaes entre estes ser 4: um caso de ambos termos serem

verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V)

e um caso no qual ambos termos so falsos (F F). Se a frmula contiver 3 termos,

o nmero de linhas que expressam a permutaes entre estes ser 8: um caso de

todos termos serem verdadeiros (V V V), trs casos de apenas dois termos serem

verdadeiros (V V F , V F V , F V V), trs casos de apenas um dos termos ser

verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos so falsos (F F

F).

Ento, para a frmula , temos:

A B C A B (A B)C ((A B)C)V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lgicos. Ao faz-lo,

vamos aproveitar para explicar como interpret-los.

Negao

A negao tem o valor inverso da frmula negada. A saber:A AV FF V

Interpretaes: "No ", "No o caso de ", "A proposio ' ' falsa".

Assim, em uma linguagem na qual significa "Scrates mortal", pode ser interpretada como "Scrates no mortal", e, se o primeiro verdadeiro, o segundo falso; e se o primeiro falso, o segundo verdadeiro.

Interpretar a negao por meio de antnimos tambm uma alternativa, mas

deve-se ter cautela, pois nem sempre aplicvel em todos os casos. No exemplo

acima a interpretao por meio de antnimos perfeitamente aplicvel, ou seja, se

significa "Scrates mortal", pode ser interpretada como "Scrates imortal". Por outro lado, em uma linguagem na qual significa "Joo bom jogador", a proposio "Joo mau jogador" no a melhor interpretao para

(Joo poderia ser apenas um jogador mediano).

Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negao:A A A AV F V FF V F V

significa falsa.

significa falsa.

E assim por diante.

Repare que equivalente a , assim como equivalente a .

A negao mltipla trs alguns problemas de interpretao. Interpretando mais

uma vez por "Scrates mortal", podemos perfeitamente interpretar de diversar formas: "No o caso de que Scrates no mortal", "No o caso de que Scrates imortal", " falso que Scrates no mortal", " falso que Scrates imortal" etc. Contudo, nem sempre na lngua portuguesa a dupla negao de uma proposio equivale afirmao desta. Muitas vezes a dupla

negao uma nfase na negao. Exemplos: "No veio ningum", "No fiz nada hoje" etc.

Conjuno

A conjuno entre duas frmulas s verdadeira quando ambas so verdadeiras. A saber:

A B A BV V VV F FF V FF F F

Interpretao: " " pode ser interpretada como " e ", "Tanto quanto ", "Ambas proposies ' ' e ' ' so verdadeiras" etc.

Assim, em uma linguagem na qual significa "Sou cidado brasileiro" e significa "Sou estudante de filosofia", pode ser interpretada como "Sou cidado brasileiro e estudante de filosofia"; o que s verdade se verdade e

verdade.

Repare que a conjuno comutvel, ou seja, equivalente a , a

saber:A B A B B AV V V VV F F FF V F FF F F F

A comutatividade da conjuno trs um problema para formalizar proposies da

linguagem natural no Clculo Proposicional Clssico, pois a ordem em que as

oraes aparecem pode sugerir uma seqencia temporal. Por exemplo "Isabela casou e teve um filho" bem diferente de "Isabela teve um filho e casou". Repare que o mesmo problema no acomete a proposio "Isabela casada e tem filhos", que equivalente a "Isabela tem filhos e casada". Esta sentena , portanto, perfeitamente formalizvel no Clculo Proposicional Clssico por meio de uma

conjuno.

Proposies que levam a palavra "mas" tambm podem ser formalizadas pela conjuno. Por exemplo, em uma linguagem na qual significa "Joo foi atropelado" e significa "Joo sobreviveu ao atropelamento", as sentenas "Joo foi atropelado e sobreviveu" e "Joo foi atropelado, mas sobreviveu" podem ambas serem formalizadas assim:

Afinal, ambas proposies afirmam os mesmos eventos na mesma seqencia: o

atropelamento e a sobrevivncia de Joo. A nica diferena entre ambas que

aquela que leva "mas" expressa que uma expectativa subjetiva no foi satisfeita, o

que no importa para a lgica.

Disjuno

A disjuno entre duas frmulas s verdadeira quando ao menos uma delas verdadeira. A saber:

A B A BV V VV F VF V VF F F

Repare que a disjuno tambm comutativa:A B A B B AV V V VV F V VF V V VF F F F

Interpretao: " " pode ser interpretada como " ou ", "Entre as proposies e , ao menos uma verdadeira".

Assim, se significa "Fulano estuda filosofia" e significa "Fulano estuda matemtica", pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemtica"; o que s falso se nem nem forem verdadeiras.Com a disjuno preciso tomar muito cuidado tanto na interpretao de frmulas

quanto na formalizao de proposies, pois na linguagem natural muitas vezes

os disjuntos so excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lanada resulta em cara ou coroa", "Nestas frias eu vou viajar ou ficar em casa".Para estes casos usamos a disjuno exclusiva ou a bi-implicao combinada

com a negao, como veremos mais adiante.

Implicao

A implicao entre duas frmulas s falsa se a da esquerda (antecedente) for

verdadeira e da direita (conseqente) for falsa. A saber:A B ABV V VV F FF V VF F V

Repare que a implicao no comutativa:A B AB BAV V V VV F F VF V V FF F V V

Interpretao: " " pode ser interpretada como "Se , ento ", " implica em ", "Se a proposio ' ' verdade, ento a proposio ' ' tambm verdade", "A partir de ' ' inferimos ' ' ", " satisfaz ", " condio suficiente de ".

Assim, se, em uma linguagem , significa "O boto vermelho foi apertado" e significa "O lugar todo explode", pode ser interpretada como "Se o

boto vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que s falso se o boto vermelho for apertado (verdade de ) e o lugar no explodir (falsidade de ):

A interpretao da implicao uma das mais complicadas. Talvez voc tenha

estranhado que a implicao seja verdadeira quando o antecedente falso. Ou

ainda, voc poderia objetar "mas e se o boto for apertado, o lugar explodir, mas

uma coisa no ter nada a ver com a outra?".

Quando temos na linguagem natural uma proposio que afirma que, a partir de

um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: "Se voc sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, ento voc vai se molhar") ou uma

proposio que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: "Se todo nmero par divisvel por 2, ento nenhum nmero par maior que 2 primo"), podemos seguramente formalizar estas proposies por meio da implicao.

Mas o contrrio, ou seja, interpretar uma implicao a na linguagem natural,

problemtico. Podemos estar lidando com uma implicao cujo o antecedente e o

conseqente no tem relao alguma. Bastando que o antecedente seja falso ou o

conseqente seja verdadeiro para que a implicao seja verdadeira. Nestes casos,

bem difcil dar uma interpretao satisfatria para a implicao.

Bi-implicao

A bi-implicao entre duas frmulas verdadeira quando ambas so verdadeiras

ou ambas so falsas.A B ABV V VV F FF V FF F V

Repare que a bi-implicao comutativa:A B AB BAV V V VV F F FF V F FF F V V

Interpretao: " " pode ser interpretada como " se e somente se ", " equivalente a ", " e possuem o mesmo valor de verdade".

Assim, se significa "As luzes esto acesas" e significa "O interruptor est voltado para cima", pode ser interpretada como "As luzes esto acesas se e somente se o interruptor est voltado para cima", o que s falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor no estiver voltado para cima (verdade de

falsidade de ), ou se as luzes no estiverem acesas e o interruptor estiver

voltado para cima (falsidade de e verdade de ):

Outros conectivos

Ainda h outros conectivos interessantes, mas, por motivos explicados mais para

frente, no trabalharemos com eles. Vamos apenas nos familiarizar com alguns

deles agora.

Adaga de Quine

verdadeiro somente se ambos, e , forem falsos. Trata-se, portanto,

da negao da disjuno:A B A B ABV V V FV F V FF V V FF F F V

Disjuno Exclusiva

A disjuno exclusiva entre duas frmulas verdadeira somente se apenas uma

delas for verdadeira. Trata-se, portanto, da negao da bi-implicao:A B AB ABV V V FV F F VF V F VF F V F

Trao de Sheffer

s falsa se ambos e forem verdadeiros. Trata-se, portanto, da

negao da conjuno.A B AB A|BV V V FV F F VF V F VF F F V

Uso de parnteses e frmulas com mais de um operador

Assim como na aritmtica e algebra, os parnteses na lgica indicam o que considerar primeiro. Portanto, a frmula consiste na negao da conjuno entre e , enquanto a frmula consiste na conjuno entre a negao de e .A diferena entre as frmulas fica clara na tabela de verdade:

A B A A B (A B) A BV V F V F FV F F F V FF V V F V VF F V F V F

Da mesma forma, distinta de . A saber:A B C AB BC (AB)C A(BC)V V V V V V VV V F V F F FV F V F V V VV F F F V V FF V V V V V VF V F V F F VF F V V V V VF F F V F V V

Contudo, tem-se que a frmula equivalente , pois ambas s sero verdadeiras se , e forem verdadeiras.

Da mesma forma, equivalente (ambas s so

falsas quando todos termos so falsos), e equivalente

.Devido a isto, vale como conveno informal as construes ,

e .

Completando a tabela de verdade

Agora vejamos como completar a tabela de verdade da frmula

.

Uma vez que j estabelecemos todas valoraes de , e vamos completar

cada coluna, comeando pela subfrmula mais simples at chegar frmula em

questo.

Neste caso, vamos comear por . Pela definio de conjuno, em cada

linha nas quais tanto quanto forem verdadeiras, ser verdadeira. Em

todas as demais, ser falsa:A B C A B (A B)C ((A B)C)V V V VV V F VV F V FV F F FF V V FF V F FF F V FF F F F

Agora vamos considerar a coluna da subfrmula . Pela definio

de implicao, em cada linha na qual o antecedente for verdadeiro

enquanto o conseqente for falso, ser falso. Em todas as

demais, ser verdadeira:

A B C A B (A B)C ((A B)C)V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V

Por fim, resta a coluna da frmula . Pela definio de

negao, em cada linha na qual for verdadeira,

ser falsa; e em cada linha na qual for falsa,

ser verdadeira:

A B C A B (A B)C ((A B)C)V V V V V FV V F V F VV F V F V FV F F F V FF V V F V FF V F F V FF F V F V FF F F F V F

Por meio desta tabela podemos ver que a frmula s

verdadeira em um nico caso: o qual e so verdadeiras enquanto falsa.

Esta uma das aplicaes da tabela de verdade: determinar em quais valoraes

de suas subfrmulas uma frmula verdadeira ou falsa.

Exerccios

Seja uma linguagem na qual:

significa "Russell desenvolveu a teoria das descries".significa "Gdel matemtico".significa "Est chovendo".

Formalize no CPC as seguintes proposies e faa a tabela de verdade de cada

uma delas:

1."No est chovendo".2."Russell desenvolveu a teoria das descries e Gdel matemtico".3."Russell desenvolveu a teoria das descries ou Gdel no matemtico".4."Se Gdel matemtico, ento est chovendo".5."Se no est chovendo, ento Gdel no matemtico".6."Nem est chovendo, nem Russell desenvolveu a teoria das descries".7."Russell no desenvolveu a teoria das descries se e somente se est chovendo".

Frmulas Contingentes, Contradies e Tautologias

Frmulas contingentes so aquelas cuja valorao pode ser verdadeira ou falsa,

dependendo da valorao de suas frmulas atmicas. Todas frmulas descritas na

seo anterior so contingentes:A B A A B A B AB ABV V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V

Contradies so frmulas que, independente da valorao de suas frmulas

atmicas, sua valorao Falso. Um exemplo de contradio :A A A AV F FF V F

Tautologias so frmulas que, independente da valorao de suas frmulas

atmicas, sua valorao Verdadeiro. Bons exemplos de tautologia so

, e .A A AA (A A) A AV F V V VF V V V V

Nota: Toda negao de uma contradio consiste numa tautologia e toda negao de uma tautologia consiste numa contradio.

Exerccio

Faa a tabela de verdade das seguintes frmulas e determine se elas so

contingentes, contraditrias ou tautolgicas.

1.2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.10.

Lista de Tautologias

Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessrio um esclarecimento.

Se dada uma frmula tautolgica, seus termos so substitudos por quaisquer

outras frmulas, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo:

uma tautologia.

Substitui-se o termo pela frmula molecular

Est frmula tambm uma tautologia.

Assim, a fim de expressar abrangentemente as frmulas tautolgicas, ao invs de

usar letras romanas (A, B, C, D etc.), usar-se- letras gregas minsculas (, , ,

, etc.) que representam frmulas quaisquer (atmicas, moleculares,

contingentes, contraditrias ou tautolgicas).

Lembre-se que as letras do alfabeto grego no tem um significado especfico em

uma linguagem . Elas consistem em variveis metalingsticas. As estruturas lingsticas formadas por elas no so frmulas ou teoremas, mas esquema de frmulas ou esquema de teoremas. Porm, os prprios lgicos, por economia de linguagem, se referem aos esquemas de frmulas por frmulas e idem para os

esquemas de teoremas. Esta economia de linguagem tambm ocorre ao longo

deste wikilivro.

Princpio de identidade

Princpio de no-contradio ( )

Princpio do terceiro excludo

Dupla negao Idempotncia da conjuno ( ) Idempotncia da disjuno ( ) Comutatividade da conjuno ( ) ( ) Comutatividade da disjuno ( ) ( ) Comutatividade da equivalncia ( ) ( )Associatividade da conjuno (( ) ) ( ( )) Associatividade da disjuno (( ) ) ( ( )) Associatividade da equivalncia (( ) ) ( ( ))

Leis de DeMorgan( ) ( )

( ) ( )Contraposio ( ) ( )

Distributividade( ( )) (( ) ( ))

( ( )) (( ) ( ))Modus ponens ( ( )) Modus tollens ( ()) Silogismo disjuntivo (( ) ) Silogismo hipottico (( ) ( )) ( )Lei de Peirce (( ) ) Lei de Dun Scot ( )Prefixao ( )Antilogismo (( ) ) (( ) ) Exportao/Importao (( ) ) ( ( ))Princpio da Exploso ( )

Implicao semntica

Um conjunto de frmulas implica semanticamente - ou "materialmente" - numa

frmula , , sempre quando todas as frmulas de forem verdadeiras, seja verdadeira.

Por exemplo, digamos que (Gama o conjunto unitrio da frmula alfa). Se verdadeira, ento verdadeira. Assim:

(alfa implica semanticamente em alfa)Ainda utilizando o conjunto , podemos dizer que:

(alfa implica na negao da negao de alfa).Afinal, sempre que uma frmula verdadeira, a negao de sua negao tambm verdadeira. Como est ilustrado na tabela adiante:

V F V

Agora digamos que (Gama o conjunto binrio das frmulas alfa e beta). Revejamos algumas tabelas de verdade, apenas a linha que representa o caso de e serem ambas verdadeiras:

V V V V V V

Podemos ver que, sempre que duas frmulas so verdadeiras, a conjuno, disjuno, implicao e bi-implicao entre elas tambm so verdadeiras. Assim sendo:

No caso da conjuno, vlido o seguinte:

Afinal, sempre que a conjuno entre duas frmulas verdadeira, ambas as frmulas so verdadeiras. Isto no acontece com as outras operaes lgicas (reveja as tabelas de verdade).

As tautologias

Dada qualquer frmula , esta implica semanticamente em qualquer tautologia:

etc.Afinal, se as tautologias so sempre verdadeiras, ento sempre que verdadeiro uma tautologia tambm verdadeira.

( ) V V V VF V V V

Alis, at um conjunto vazio de premissas implica semanticamente numa tautologia:

etc.Portanto, podemos indicar que uma frmula tautolgica assim:

etc.

Teorema da deduo

se e somente se Ou seja, um conjunto de frmulas implica tautologicamente em se e somente se acrescido de implica tautologicamente em No caso em que , segue que:

se e somente se .Ou seja, se consiste numa tautologia, ento um argumento onde o antecedente ( ) seja a premissa e o conseqente ( ) seja a concluso vlido. A recproca tambm verdadeira. Ex:

Argumentando com o CPC

Agora passemos para casos de implicao semntica mais interessantes. Vejamos o seguinte conjunto de frmulas:

Podemos dizer que:

O que fica evidente na tabela:A B ABV V VV F FF V VF F V

Na nica linha na qual as frmulas e so ambas verdadeiras, a frmula

tambm verdadeira.

Agora podemos usar o CPC para verificar a validade lgica de uma infinidade de

raciocnios ou argumentos. Como acabamos de ver, vlido todo raciocnio com a

seguinte estrutura:

Por exemplo:Se choveu, ento o cho est molhado.Oras, choveu.Logo, o cho est molhado.Se ele estudou muito, ento conseguiu uma boa nota.Ele estudou muito.Logo, ele conseguiu uma boa nota.

Tambm podemos apontar que um raciocnio logicamente invlido, ou seja,

falacioso. Por exemplo:Se ele estudou muito, ento conseguiu uma boa nota.Ele conseguiu uma boa nota.Logo, ele estudou muito.Consideremos que significa Ele estudou muito e significa Ele conseguiu uma boa nota. A estrutura do argumento ento esta:

Agora faamos uma tabela de verdade para verificar se sempre que e

so verdades, tambm verdade:A B ABV V VV F FF V VF F V

Como podemos ver, existe uma valorao na qual e so verdades e

uma falsidade. Portanto, o raciocnio invalido.

Lista de argumentos vlidos usuais

Modus ponens

Ex:Se choveu, ento o cho est molhado.Oras, choveu.Logo, o cho est molhado.

Modus tollens

Ex:Se ele estudou, ento ele tirou uma boa nota.Ele no tirou uma boa nota.Logo, ele no estudou.

A B A B ABV V F F VV F F V FF V V F VF F V V V

Leis de Morgan 1

Ex:No o caso de virem ambos Fulano e Beltrano para a reunio.Logo, no vir o Fulano ou no vir o Beltrano.Obs: Como a disjuno no exclusiva, ela no exclui o caso de no virem ambos.

A B A B AB (AB) A BV V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Observe que tambm vlido o seguinte:

Leis de Morgan 2

Ex:No o caso de vir Fulano ou vir Beltrano para a reunio.Logo, no vir o Fulano e no vir o Beltrano.

A B A B AB (AB) A BV V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F V V

Observe que tambm vlido o seguinte:

Silogismo Disjuntivo

Ex:Certamente eu comprarei bolo de chocolate ou torta de limo.No comprarei bolo de chocolate desta vez.Logo, comprarei torta de limo.Repare que equivalente a , de forma que o silogismo disjuntivo consiste num caso do Modus ponens.

A B A AB ABV V F V VV F F V VF V V V VF F V F F

Silogismo hipottico

Ex:Se o buraco na camada de oznio aumenta, a incidncia de raios UV tambm aumenta.Se a incidncia de raios UV aumenta, o risco de contrair cncer de pele tambm aumenta.Logo, se o buraco na camada de oznio aumenta, o risco de contrair cncer de pele tambm aumenta.

A B C AB BC ACV V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F V FF V V V V VF V F V F VF F V V V VF F F V V V

Contraposio

Ex:Se tudo est calmo, ento estou entediado.Logo, se no estou entediado, ento nem tudo est calmo.

A B A B AB BAV V F F V VV F F V F FF V V F V VF F V V V V

Repare que o inverso tambm vlido:

Argumento Conjuntivo

Ex:No o caso de virem ambos Fulano e Beltrano reunio.Fulano veio reunio.Logo, Beltrano no veio.

A B B AB (AB)V V F V FV F V F VF V F F VF F V F V

Repare que o inverso tambm vlido:

Falcias

Uma falcia (ou sofisma) um raciocnio ou argumento invlido.

Desde a antigidade filsofos como Plato e Aristteles buscavam distinguir entre

argumentos vlidos dos sofismas, que no passam de malabarismos retricos que

podem nos afastar da verdade.

Na literatura especilizada, assim como em vrios stios pela internet, constam

vrias listas de falcias, das quais vo da quebra de decoro retrico at o

desrespeito metodologia cientfica.

Nosso interesse aqui so as falcias lgicas, ou seja, o desrespeito as regras da

lgica para a construo de raciocnios vlidos. No caso da lgica clssica, o

raciocnio invlido aquele que tem uma estrutura a qual no garante que a

concluso seja verdadeira caso as premissas sejam verdadeiras. No Clculo

Proposicional Clssico isto significa ter ao menos uma valorao na qual as

premissas so verdadeiras enquanto a concluso falsa.

Antes de listar as falcias mais freqentes, h uma ressalva que precisa ser

exposta: Muitos lgicos discordam que as falcias (mesmos as lgicas) estejam no

escopo do estudo de lgica. Eles tm uma tima razo para afirmar isto. Os

argumentos logicamente invlidos podem ter vrias formas, tais como:

A.Logo, no A.

Se A, ento B.No A.Logo, No B.

Ambos argumentos so logicamente invlidos. Mas enquanto ningum seria tolo o

suficiente para enganar-se, ser enganado ou tentar enganar algum com o

primeiro argumento, o segundo freqente. A razo para tal no lgica, mas

psicolgica. Por quais argumentos logicamente invlidos as pessoas geralmente so enganadas? No uma questo estritamente lgica.

De qualquer forma, cabe num livro de introduo lgica demonstrar que certos

argumentos que por alguma razo parecem logicamente vlidos, de fato no o

so.

Afirmao do conseqente

Se A, ento B. (AB)B.Logo, A.Exemplos:Se Joo estudou muito foi bem na prova.Joo foi bem na prova.Logo, Joo estudou muito.Se Pedro foi atropelado, ento ele morreu.Pedro morreu.Logo, Pedro foi atropelado.

A B ABV V VV F FF V VF F V

Repare que em uma linha, as frmulas AB e B so verdadeiras mas a frmula A falsa. Ou seja, Joo pode ter ido bem na prova, mas talvez no tenha estudado muito; e Pedro pode ter morrido, mas talvez no tenha sido atropelado.Um raciocnio semelhante vlido:A se e somente se B. (AB)B.Logo, A.

A B ABV V VV F FF V FF F V

Exemplos:(Dado que no havia como colar, a prova estava muito difcil e o professor no condescendente).Joo foi bem na prova se e somente se estudou muito.Joo foi bem na prova.Logo, Joo estudou muito.(Dado que Pedro um Highlander).Pedro morreu se e somente se foi decapitado.Pedro morreu.Logo, Pedro foi decapitado.

Negao do antecedente

Se A, ento B. (AB)No A. (A)Logo, no B. (B)Exemplos:

Se Joo estudou muito, ento foi bem na prova.Joo no estudou muito.Logo, Joo no foi bem na prova.

Se Pedro foi atropelado, ento ele morreu.Pedro no foi atropelado.Logo, Pedro no morreu.

A B A B ABV V F F VV F F V FF V V F VF F V V V

Repare que em uma linha, as frmulas AB e A so verdadeiras mas a frmula

B falsa. Ou seja, Joo pode no ter estudado muito, mas talvez tenha ido bem

na prova; e Pedro pode no ter sido atropelado, mas talvez tenha morrido.

Um raciocnio semelhante vlido:A se e somente se B. (AB)No A. (A)Logo, no B. (B)

A B A B ABV V F F VV F F V FF V V F FF F V V V

Exemplos:

(Dado que no havia como colar, a prova estava muito difcil e o professor no condescendente).

Joo foi bem na prova se e somente se estudou muito.Joo no foi bem na prova.Logo, Joo no estudou muito.(Dado que Pedro um Highlander).Pedro morreu se e somente se foi decapitado.Pedro no morreu.Logo, Pedro no foi decapitado.

Afirmao do disjunto

A ou B. (A B)A.Logo, no B. (B)Exemplo:Nestas frias, Renata vai para Londres ou Paris.Ela j comprou passagem para Londres.Logo, ela no vai para Paris.

A B B A BV V F VV F V VF V F VF F V F

Na primeira linha vemos um caso de A B e A serem verdadeiros mas B ser falso. Ou seja, talvez Renata tenha ido tanto a Londres quanto a Paris nas frias.

Mas caso a disjuno seja exclusiva, o raciocnio vlido:Ou A ou B. (A B)A.Logo, no B. (B)

A B B ABV V F FV F V VF V F VF F V F

Comutao dos condicionais

A implica em B. (AB)Logo, B implica em A. (BA)Exemplo:Se Luana tem carteira de motorista, ela maior de idade.Logo, se Luana maior de idade, ela tem carteira de motorista.

A B AB BAV V V VV F F VF V V FF F V V

Numa linha, AB verdadeira mas BA falsa. Ou seja, Luana pode ser maior de idade, mas no ter carteira de motorista.A comutao vlida no caso da conjuno, disjuno e bi-implicao.

Contraposio imprpria

A implica em B. (AB)Logo, no A implica em no B. (A B)Exemplo:Se as condies forem favorveis para o fenmeno ocorrer, ele ocorrer.Logo, se as condies forem desfavorveis, o fenmeno no ocorrer.

A B A B AB ABV V F F V VV F F V F VF V V F V FF F V V V V

Numa linha AB verdadeira enquanto AB falsa. Ou seja, talvez o fenmeno pode ocorrer mesmo que as condies no sejam favorveis.Um exemplo que tornaria o carter falacioso deste argumento evidente :Se decapitarmos Luis XVI, ele morrer.Logo, se no o decapitarmos, ele no morrer.

Negao de um termo conjunto

No o caso de ambos A e B. (A B)No A. (A)Logo, B.

Exemplo:No o caso do clima estar ensolarado e estar nublado ao mesmo tempo.No est ensolarado.Logo, est nublado.

A B A A B (A B)V V F V FV F F F VF V V F VF F V F V

H uma linha na qual as frmulas A e (AB) so verdadeiras mas B falsa. Ou

seja, o dia poderia no estar nem ensolarado e nem nublado.

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Sobre Falcias

Guia das falcias de Stephen Downes no Crtica na RedeFallacy Files

Todas funes de verdade e a interdefinibilidade das operaes

Como voc deve saber, funes so procedimentos que, aplicados a cada

elemento do domnio, remetem a um nico elemento do contra-domnio. Dado isto,

fcil entender que os operadores lgicos no CPC so funes de verdade. Seja

qual for o valor de uma frmula (ou os valores de duas), uma funo de verdade

remeter este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso.

Anteriormente apresentamos uma funo de verdade unria (a Negao) e seis

funes de verdades binrias, apesar de estarmos trabalhando apenas com quatro

destas. Vejamos agora todas as funes de verdade do CPC.As funes unrias

A 1 2 3 4V V V F FF V F V F

Voc provavelmente reconheceu na linha 3 a negao.As funes binrias

A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16V V V F V V V F F F V V V V F F F FV F V V F V V F V V V F F F V F F FF V V V V F V V F V F V F F F V F FF F V V V V F V V F F F V F F F V F

J conhecemos algumas destas funes:

Na coluna 2 temos o trao de Sheffer, .Na coluna 3 temos a implicao, .Na coluna 5 temos a disjuno, .Na coluna 8 temos a disjuno exclusiva (tambm conhecida como disjuno forte),

.Na coluna 11 temos a bi-implicao, .Na coluna 12 temos a conjuno, .Na coluna 15 temos a adaga de Quine, .

At existem conectivos pouco usuais para algumas destas funes. Por exemplo,

a funo da coluna 4 pode ser representada assim: .

H bons motivos para no adotarmos conectivos para cada uma das funes de

verdade, assim como para no utilizar todos conectivos:

1) Algumas funes expressam relaes desinteressantes entre as frmulas,

sendo algumas muito difceis de interpretar.

2) Como veremos adiante, precisamos estabelecer regras de construo de

tabls, regras de deduo natural e axiomas para cada conectivo que adotarmos.

3) Os operadores so interdefinveis, bastando adotar alguns deles (inclusive

menos do que adotamos aqui) para expressar todas as funes de verdade.

Eis alguns exemplos da interdefinibilidade dos operadores:

A B A B AB A B (A B) A BV V F F V F V VV F F V F V F FF V V F V F V VF F V V V F V V

Da mesma forma:

A B A B A B BA (BA) (AB)V V F F V F V VV F F V F V F FF V V F F V F FF F V V F V F F

S mais um exemplo:

A B A B A B A B (A B) ABV V F F V F V VV F F V V F V VF V V F V F V VF F V V F V F F

Com a Adaga de Quine podemos prescindir at da negao. Ela sozinha capaz de expressar todas funes de verdade:

O mesmo vale para o trao de Sheffer:

A escolha de quais operadores sero usados uma faca de dois gumes. Se por

uma lado o excesso de operadores nos obriga a lidar com mais axiomas, regras

de inferncia e de construo de tabls; por outro, a economia de operadores nos

obriga a lidar com frmulas mais complexas, mais difceis de serem lidas e

interpretadas.

No restante deste captulo trataremos apenas da conjuno, disjuno, implicao,

bi-implicao e negao.

Valoraes

Valoraes so funes que estabelecem um valor de verdade arbitrrio para

cada frmula atmica de uma linguagem e um valor para cada frmula

molecular em vista dos valores das frmulas atmicas. Basicamente, em cada

linha da tabela de verdade estamos trabalhando com uma valorao.

Para simbolizar as funes de valorao, usaremos a letra . Trabalharemos com

elas por meio de smbolos metalgicos bem parecidos com os operadores lgicos

que conhecemos.

Exemplo:

Isto quer dizer, se em uma valorao 1 a frmula verdadeira e a frmula

verdadeira, ento na mesma valorao 1 verdadeira.

Isto quer dizer, se em uma valorao 2 a frmula verdadeira e a frmula

falsa, ento na mesma valorao 2 falsa.

Agora estabeleceremos, para quaisquer frmulas, as condies para que uma

negao, uma conjuno, uma disjuno, uma implicao e uma bi-implicao

sejam verdadeiras ou falsas.

A valorao de verdadeira se e somente se a valorao de falsa:

A valorao de falsa se e somente se a valorao de verdadeira:

A valorao de verdadeira se e somente se a valorao de verdadeira

e a valorao de verdadeira:

A valorao de falsa se e somente se a valorao de falsa ou a

valorao de falsa:

A valorao de verdadeira se e somente se a valorao de verdadeira

ou a valorao de verdadeira:

A valorao de falsa se e somente se a valorao de falsa e a

valorao de falsa:

A valorao de verdadeira se e somente se a valorao de falsa ou

a valorao de verdadeira:

A valorao de falsa se e somente se a valorao de verdadeira e a

valorao de falsa:

A valorao de verdadeira se e somente se a valorao de igual

valorao de :

A valorao de falsa se e somente se a valorao de no igual

valorao de :

Tabls semnticos

Como vimos, as tabelas de verdade so uma ferramenta que nos permite analisar

as frmulas para cada caso de valorao, o que nos permite determinar se elas

so tautologias, contradies ou contingentes. Tambm podemos usar as tabelas

de verdade para comparar frmulas, e assim dizer se so contraditrias entre si,

equivalentes ou se uma conseqncia lgica da outra.

Contudo, digamos que nosso interesse seja apenas determinar se uma frmula

tautolgica ou um argumento vlido. Caso a frmula ou o argumento seja

complexo, poderamos demorar muito at terminar a tabela, ou, no caso de ser

uma contingncia ou um argumento invlido, encontrar a valorao na qual a

frmula falsa, ou a premissa seja verdadeira enquanto a concluso falsa,

respectivamente.

Neste caso, seria interessante um mtodo que permite rapidamente determinar se

existe alguma valorao na qual a frmula seja falsa ou a premissa seja

verdadeira, ou uma valorao na qual a premissa seja verdadeira enquanto a

concluso seja falsa. Este mtodo a construo dos tabls semnticos.

Tabls semnticos - tambm conhecidos como tableaux ou rvores - consistem

num mtodo de provar que uma frmula tautologia ou que um argumento

vlido por contradio.

Provar por contradio consiste em provar a verdade de supondo que

falso, desenvolvendo a idia da falsidade at chegar a uma contradio. Oras, se

falso contraditrio, ento verdadeiro.

Em outras palavras, se ento devemos

inferir .

Tabls de Frmulas

Exemplo 1

Comecemos ento com as tautologias. Vamos provar que a frmula (ou mais

precisamente, esquema de frmula) uma tautologia.O primeiro passo consiste em supor que ela seja falsa:

Agora desenvolveremos esta suposio. A frmula consiste em uma implicao que tem como antecedente e como conseqente. Como vimos anteriormente, o valor de uma implicao falso se e somente se o antecedente verdadeiro e o consequente, falso. Portanto, vamos inserir isto no tabl.

feita uma marca ( ) nas frmulas usadas, pois estas no podem ser usadas novamente.Mais uma vez, se falso, ento o antecedente verdadeiro enquanto o conseqente falso:

Este tabl nos mostra que

.

Oras, a frmula est com dois valores. Isto contradio. Supor que

seja falso nos leva a uma contradio. Assim sendo,

sempre verdadeira, ou seja, uma tautologia.

Exemplo 2

Passemos agora para um caso mais complicado. Vamos provar que a frmula que

descreve o modus tollens, , tautolgica.

O primeiro passo. Supor que ela seja falsa:

J sabemos como proceder no caso da falsidade de uma implicao:

Na terceira linha temos a falsidade da negao de . Oras, se estamos supondo que a negao de uma frmula falsa, ento temos que supor que a frmula seja verdadeira:

Como acabamos com o fragmento , marcamos isto. Agora voltemos nossa ateno segunda linha, na qual temos a verdade de uma conjuno. Uma conjuno verdadeira se e somente se as subfrmulas conjuntas so verdadeiras:

Na quinta linha temos a verdade da negao de . Oras, se estamos supondo que a negao de uma frmula verdadeira, devemos supor que a frmula seja falsa.

Agora, lidar com a verdade de mais complicado. Afinal, uma implicao entre duas frmulas verdadeira em dois casos, quando o antecedente falso ou o conseqente verdadeiro.O tabl fica, ento, desta forma:

Sempre que uma frmula tem duas condies alternativas para receber uma

determinada valorao, o tabl ramificado; e necessrio que todos os ramos

caiam em contradio para que a frmula seja tautolgica.

Exemplo 3

Faam mais usuais. Uma das leis de Morgan, , parece bastante adequada para este fim.O primeiro passo j sabemos muito bem qual :

Se estamos supondo a falsidade da bi-implicao entre duas subfrmulas, temos que supor que uma falsa e a outra verdadeira. J temos uma ramificao:

Analisemos primeiramente no ramo da esquerda, a frmula , que est marcada como verdadeira. J sabemos bem como lidar com a verdade de uma negao:

Agora temos uma situao nova: a falsidade de uma disjuno. Oras! Se estamos supondo que a disjuno entre duas frmulas falsa, temos que supor que ambas so falsas:

Mais uma novidade para ns: a falsidade de uma conjuno. Sabemos que a conjuno entre duas frmulas falsa quando ao menos uma delas falsa, o que nos obriga a ramificar o tabl:

Fecharam todos ramos do lado esquerdo. Voltemos nossa ateno para o direito:

J esto feitos todos casos conhecidos at chegarmos a um caso novo: a verdade de uma disjuno. Sabemos que uma disjuno entre duas frmulas verdadeira se e somente se ao menos uma das frmulas for verdadeira. Isto nos obriga a ramificar o tabl:

Como podemos ver, o tabl fechou em todos os seus ramos. A frmula ,

portanto, tautolgica.

Obs: Na verdade estamos trabalhando aqui com esquemas de frmulas. Como j foi explicado, chamar "esquemas de frmulas" por "frmulas" uma economia de linguagem.

Exemplo 4

Agora vejamos como fica o tabl no caso de uma contradio, tal como a negao

da primeira tautologia que fizemos tabl, :

Todas frmulas moleculares foram usadas. No hs mais como proceder. Os ramos do tablo ficaram abertos. No camos em contradio ao supor que a frmula seja falsa. Portanto ela no consiste numa tautologia.

Exemplo 5

Vejamos agora como fica um tabl de uma frmula contingente, tal como

:

Mesmo que algum(ns) ramo(s) feche(m), e no necessariamente um tabl de uma

frmula contingente ter ramos fechados, outro(s) continua(m) aberto(s).

Regras de Construo de Tabls

Segue adiante as regras de construo de tabls:

Um tabl est completo se:

todos ramos do tabl fecharem (carem em contradio). Neste caso a frmula tautolgica ou argumento vlido.

Ou se:

todas frmulas moleculares do tabl foram usadas. Neste caso, se algum ramo ficar aberto (no cair em contradio) ento a frmula no tautolgica ou o argumento no vlido.

Exerccio

Determine por tabls semnticos se as seguintes frmulas so ou no so

tautolgicas:

1.2.3.4.5.6.7.

8.9.10.11.

Tabls de Argumentos

Para verificar se uma frmula tautolgica, ou seja, sempre verdadeira, supomos que ela seja falsa, desenvolvemos esta suposio e, se cairmos em contradio, porque a frmula mesmo tautolgica.De forma anloga, para verificar se um argumento vlido - ou seja, de forma tal que sempre que as premissas forem verdadeiras, a concluso tambm verdadeira supomos que ele seja invlido.Se um argumento invlido ento as premissas podem ser verdadeiras enquanto a concluso falsa. justamente isto que vamos supor.

Exemplo 1

Vejamos como ficara o tabl de um argumento que j conhecemos, o Modus tollens,

Oras, s muda o passo inicial em relao aos tabls de frmulas. J sabemos como proceder agora:

Exemplo 2

Agora vejamos como fica uma falcia no tabl. Peguemos uma que j conhecemos, tal como a afirmao do termo disjunto:

No camos em contradio ao supor que seja falsa enquanto e so verdadeiras. Portanto, no concluso de um argumento vlido do conjunto

de premissas

Exerccio

Determine por meio dos tabls semnticos se os seguintes argumentos so

vlidos ou no. Lembre-se que as frmulas esquerda do smbolo " " so as

premissas, enquanto as frmulas direita, as respectivas concluses.

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

Deduo Natural

At agora ns temos dois mtodos que sempre determinam a validade de

argumentos e frmulas no CPC: as tabelas de verdade e os tabls semnticos.

Claro que tambm podemos determinar a validade de uma frmula mostrando que

esta se trata de uma instncia de outra frmula vlida, ou por interdefinibilidade de

operadores mostrar que ela equivalente a uma outra frmula vlida, mas estes

mtodos no so aplicveis em quaisquer circunstncias. Agora aprenderemos

um terceiro mtodo que sempre determina a validade de frmulas e argumentos

no CPC, alm de consistir em um mtodo de derivao, a Deduo Natural.

Tomemos o seguinte argumento:

As tabelas de verdade no parecem muito prticas neste caso. Afinal, temos

quatro frmulas atmicas, o que requer uma tabela de 16 linhas. Sem falar que

teramos muitas colunas tambm, dada a quantidade de sub-frmulas.

A alternativa provar a validade do argumento por tabls. Contudo, repare que

intuitivamente este argumento no passa da simples combinao de vrios

argumentos vlidos, simples e que ns j conhecemos.

Temos o Modus Ponens:

A eliminao da dupla negao:

Tambm sabemos que se uma frmula verdadeira, ento entre e uma

frmula arbitrria , ao menos uma verdadeira. Ou seja:

Este argumento chamado de "Expanso". Oras, o seguinte argumento

obviamente uma instncia da expanso:

Se sabemos de tudo isso, ento porque usar o mtodo de tabls semnticos se

estes nos obrigam a considerar o valor de proposies arbitrrias como

, assim como lidar com os valores de e de , quando

sabemos que a primeira equivalente a ?

justamente isto que a Deduo Natural permite: por meio de um pequeno

nmero de regras de inferncia, demonstrar a validade de uma infinidade frmulas

e argumentos sem a necesidade de considerar os valores que cada frmula ou

subfrmula recebe. Ou seja, no estamos mais lidando com a semntica, mas

com a sintaxe.

Agora incrementaremos nossa notao e terminologia. At agora usamos o

martelo semntico, " ". Agora usaremos o martelo sinttico, " ".

A leitura que fazemos de cada:

conseqncia semntica de , ou implica semanticamente em .

conseqncia sinttica de , ou a partir de prova-se .

uma frmula vlida (tautologia no caso do CPC).

um teorema.

dito de um sistema lgico que ele correto se ele verifica a seguinte

propriedade:

Ou seja, que todos os argumentos sintaticamente vlidos tambm so semanticamente vlidos.

dito de um sistema lgico que ele completo se ele verifica a seguinte

propriedade:

Ou seja, que todos os argumentos semanticamente vlidos tambm so sintaticamente vlidos.

O CPC verifica ambas propriedades, ou seja, o CPC verifica que:

Obviamente, isto tambm verificado na instncia em que . Portanto:

Ou seja, todo teorema tautologia e toda tautologia teorema.

Regras de Inferncia Diretas

Nas disciplinas matemticas como a lgica, a geometria, a aritmtica etc.,

prefervel demonstrar o mximo (de teoremas, construes... vlidos, obviamente)

por meio do mnimo (de conceitos primitivos, axiomas, regras de inferncia etc.).

Na Deduo Natural trabalhamos apenas com regras de inferncia. Para que a

correo do sistema seja verificada, as regras escolhidas devem ser reconhecidas

como vlidas. A completude um pouco mais complicada. Digamos que para

verificar a completude o ideal seria ter duas regras para cada operador usado:

uma que o insira e outra que o remova.

Trabalharemos primeiramente com as regras de infererncia diretas. Como o

nome sugere, estas regras regulam quais frmulas podemo inferir diretamente de

outras frmulas.

Agora vejamos como construir uma deduo usando as regras de inferncia

diretas. Vamos provar aquele argumento da introduo:

O primeiro passo colocar cada premissa em uma linha enumerada:

1. Premissa2. Premissa

Agora, aplicamos as regras de inferncia que julgarmos teis para chegar ao

resultado esperado. Para cada nova frmula inferida, inserimos uma linha

enumerada, indicando direita as linhas que contm as frmulas a partir das quais

foi efetuada a inferncia, assim como a regra aplicada.

Por exemplo, vamos aplicar nas linhas 1 e 2 o Modus Ponens (MP):


3. 1,2 MP

Agora aplicaremos a regra de Dupla Negao (DN) na linha 3 a fim de derivar .

Ento aplicaremos a Expanso (E) a fim de obter .


3. 1,2 MP4. 3 DN

5. 4 E

Ou seja, sob o conjunto de premissas , derivamos, por meio de

inferncias reconhecidas como vlidas, . Portanto,

.

Repare tambm que na linha 3 provamos que , e na

linha 4, .

Faamos mais uma derivao a fim de aplicar outras regras. Vamos provar que

.


3. 1 BC4. 2 S5. 3,4 MP6. 5,4 C

Nas linhas 1 e 2 temos as premissas e , respectivamente.

Aplicamos Bi-condicionais para Condicionais (BC) na linha 1 e derivamos

na linha 3. Ento aplicamos Separao (S) na linha 2 a fim de derivar na linha 4.

Aplicamos Modus Ponens nas linhas 3 e 4 a fim de derivar na linha 5. Ento aplicamos Conjuno (C) nas linhas 5 e 4 a fim de derivar . Q.e.d

Exerccios

Prove por deduo natural que:

1.2.3.

Trabalhando com Hipteses

Voc deve ter reparado que faltou uma regra para inserir a negao, assim como

uma regra para inserir a implicao independentemente da bi-implicao. Para tal,

fazemos uso das regras hipotticas, ou seja, regras que nos permitem trabalhar

com hipteses.

Em Deduo Natural, hipteses so quaisquer frmulas bem construdas que

inserimos na derivao sem deriv-las de quaisquer outras frmulas. Com as

regras hipotticas, nosso sistema fica completo. Vejamos ento um esquema geral

para trabalhar com as hipteses.

1. Premissa

2. Hiptese

Inserimos uma hiptese na linha 2. Isto nos obriga a inserir uma linha vertical.

Esta linha permanecer a at aplicarmos uma regra hipottica que remova-a. At

ento, tudo o que derivarmos por meio das regras diretas estar direita da linha

de hiptese:

1. Premissa

2. Hiptese

3. 2 E

4. 1,2 C

5. 1 E

6. 5,3 C

7. alguma regra hipottica

Tambm podemos levantar hipteses dentro de hipteses, inserindo novas linhas

verticais:

1. Premissa

2. Hiptese

3. 2 E

4. Hiptese

5. 4,3 C



Antes de apresentarmos as regras hipotticas, lembre-se de sempre respeitar as

seguintes prescries:

1. Introduzir uma linha vertical para cada nova hiptese.2. Uma vez que uma linha descartada, no usar mais qualquer frmula que esteja a

sua direita.3. As hipteses devem ser descartadas na ordem inversa nas quais so levantadas.4. Uma deduo no est terminada enquanto no forem descartadas todas as

hipteses.

Reduo ao Absurdo (RAA)

Se a partir de uma hiptese derivarmos uma contradio, ento descartamos a

hiptese e introduzimos na derivao.

Um exemplo:

1. Premissa

2. Hiptese

3. 1,2 C4. 2,3 RAA

Na linha 1 temos como premissa. Na linha 2 levantamos a hiptese . Na

linha 3 aplicamos a conjuno em e , obtendo a contradio .

Como a partir da hiptese derivamos uma contradio, a descartamos e

deduzimos sua negao, .

Portanto,

Regra de Prova Condicional (RPC)

Se ao levantarmos uma hiptese inferimos , ento podemos descartar a

hiptese e inserir na derivao.

Por exemplo:

1. Premissa

2. Premissa

3. Hiptese

4. 1,3 MP

5. 2,4 MP6. 2,5 RPC

Aqui temos as premissas e nas linhas 1 e 2, respectivamente. Na

linha 3 levantamos a hiptese . Aplicando Modus Ponens nas linhas 1 e 3, inferimos na linha 4. Aplicando Modus Ponens nas linhas 2 e 4, inferimos na

linha 5. Dado que apartir de inferimos , descartamos a hiptese e inserimos

na deduo.

Portanto,

Exerccios

Fazendo uso das regras hipotticas, demonstre que:

1.2.3.

4.5.

Regras de Inferncia Derivadas

Por meio das regras de inferncia diretas e hipotticas podemos demonstrar vrios

raciocnios bastante recorrentes. Estes racioconios, uma vez demonstrados,

podem ser usados como regras de inferncia diretas. Elas no so necessrias,

mas so bastante teis, tornando nossas derivaes muito mais sucintas.

Anteriormente demonstramos dois raciocnios que nos sero teis como regras de

inferncia derivadas:

Dupla Negao em ambas direes (DN)

Silogismo Hipottico (SH)

Vamos ampliar nossa lista de regras de inferncia derivadas, demonstrado uma

por uma:

Repetio (R)

1. Premissa

2. 1 DN3. 2 DN

Modus Tollens (MT)

1. Premissa

2. Premissa

3. Hiptese

4. 1,3 MP

5. 2,4 C

6. 3,5 RAA

Prefixao (PRF)

1. Premissa

2. Hiptese

3. 1 R

4. 2,3 RPC

Contraposio (CT)

Aproveitaremos o Modus Tollens como regra de inferncia.

1. Premissa

2. Hiptese

3. 1,2 MT

4. 2,3 RPC

Agora tente voc provar a recproca, ou seja, que

Contradio (CTR)


3. 1 E

4. 2,3 SD

Lei de Duns Scot (DS)

1. Premissa

2. Hiptese

3. 1,2 CTR

4. 2,3 RPC

Prove que tambm vale .

Lei De Morgan I (DM)

01. Premissa

02. Hiptese

03. 2 E

04. 1,3 C

05. 2,4 RAA

06. Hiptese

07. 6 E

08. 1,7 C

09. 6,8 RAA

10. 5,9 C

Agora tente voc provar a recproca, ou seja, que

Lei De Morgan II (DM)

01. Premissa

02. Hiptese

03. Hiptese

04. 3 E

05. 5,2 C

06. 3,5 RAA07. 6 DN

08. Hiptese

09. 8 E

10. 9,2 C

11. 8,10 RAA

12. 11 DN

13. 7,12 C

14. 13,1 C

15. 2,14 RAA

16. 15 DN

Tente voc agora provar a recprova, ou seja, que

Lista das Regras Derivadas

Exerccios

Valendo-se das regras derivadas, prove que:

1.

2.3.

4.5.6.

Teoremas

Agora no temos mais premissas para trabalhar, devemos nos limitar s

hipteses. Algumas estratgias para provar teoremas podem ser traadas:

Por reduo ao absurdo

Para provar , levante a hiptese e derive dela uma contradio e aplique

RAA.

Para provar , levante a hiptese e derive dela uma contradio, aplique RAA

e ento DN.

Por regra para condicionais

Para provar , levante o antecedente como hiptese, derive e ento

aplique RPC.

Para provar , prove e , como explicado acima, e ento

aplique CB.

Exemplo 1

1. Hiptese

2. 1 RAA

Exemplo 2

1. Hiptese

2. 1 DM

3. 1,2 RAA

4. 3 DN

Exemplo 3

1. Hiptese

2. Hiptese

3. 1,2 MP

4. 3,2 MP

5. 2,6 RPC

6. 1,7 RPC

Exemplo 4

01. Hiptese

02. 1 DM

03. 2 S

04. 2 S

05. Hiptese

06. 5 PRF

07. 4,5 C

08. 5,7 RAA

09. 8 DS

10. 9,3 C

11. 1,10 RAA

12. 11 DN

Exemplo 5

01. Hiptese

02. Hiptese

03. Hiptese

04. Hiptese

05. 3,2 C

06. 4,5 RAA

07. 6 DN

08. 3,7 RPC

09. 1,8 MP10. 2,9 C11. 2, 10 RAA12. 11 DN

13. 1, 12 RPC

Exemplo 6

01. Hiptese

02. Hiptese

03. Hiptese

04. 2,3 C05. 1,4 MP

06. 3,5 RPC

07. 2,6 RPC

08. 1,7 RPC

09. Hiptese

10. Hiptese

11. 10 S12. 9,11 MP13. 10 S14. 12,13 MP

15. 10,14 RPC

16. 9,15 RPC

17. 8,16 CB

Exerccios

Prove os seguintes teoremas por deduo natural:

1.2.3.

4.5.6.7.8.9.

10.11.

dada permisso para copiar, distribuir e/ou modificar este documento sob os termos da Licena de Documentao Livre GNU, Verso 1.2 ou qualquer verso posterior publicada pela Free Software Foundation. Uma cpia da licena est inclusa na seo intitulada "Licena de Documentao Livre GNU"

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Autores:

Dante Cardoso Pinto de Almeida & outros membros da comunidade do Wikibooks

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ProposiesTermos, Operadores, Conectivos e ValoraesDefinio de FrmulaTabelas de VerdadeANegaoConjunoDisjunoImplicaoBi-implicaoOutros conectivosAdaga de QuineDisjuno ExclusivaTrao de Sheffer

Uso de parnteses e frmulas com mais de um operadorCompletando a tabela de verdadeExercciosFrmulas Contingentes, Contradies e TautologiasExerccioLista de Tautologias

Implicao semnticaAs tautologiasTeorema da deduo

Argumentando com o CPCLista de argumentos vlidos usuaisModus ponensModus tollensLeis de Morgan 1Leis de Morgan 2Silogismo DisjuntivoSilogismo hipotticoContraposioArgumento Conjuntivo

FalciasAfirmao do conseqenteNegao do antecedenteAfirmao do disjuntoComutao dos condicionaisContraposio imprpriaNegao de um termo conjunto

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Deduo NaturalRegras de Inferncia DiretasExerccios

Trabalhando com HiptesesReduo ao Absurdo (RAA)Regra de Prova Condicional (RPC)Exerccios

Regras de Inferncia DerivadasRepetio (R)Modus Tollens (MT)Prefixao (PRF)Contraposio (CT) Contradio (CTR)Lei de Duns Scot (DS) Lei De Morgan I (DM) Lei De Morgan II (DM)Lista das Regras DerivadasExerccios

TeoremasExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Exemplo 4Exemplo 5Exemplo 6Exerccios

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