Calculos Simbolicos F

7/23/2019 Calculos Simbolicos F

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1

CÁLCULO SIMBÓLICO

Operaciones realizadas a la fecha: Numéricas.

En muchas aplicaciones matemáticas, científicas y técnicas se requieren operaciones

simbólicas. Es decir, operaciones matemáticas con expresiones que contienen ariables

simbólicas !ariables que no contienen un alor numérico específico asi"nado cuando laoperación se e#ecuta$.

El resultado de tal operación es también una expresión matemática que contiene ariables

simbólicas. %n e#emplo sencillo es despe#ar una ariable de una ecuación al"ebraica de

arias ariables. &or e#emplo, si a, b y x son ariables simbólicas y ax ' b ( ) , se desea

calcular x a partir de a y b, cuyo resultado es x ( b*a .

Otros e#emplos de operaciones simbólicas son la resolución analítica de deriadas, inte"rales

y ecuaciones diferenciales. &or e#emplo, la deriada con respecto a t de la ecuación: +t - t

/ 0 , es 1t+ - .

2at3ab permite realizar diferentes tipos de operaciones simbólicas, donde la parte numérica

de la operación simbólica, se llea a cabo de forma exacta, sin aproximar alores numéricos.

&or e#emplo, el resultado de sumar: x*4 y x* es !5*6+$x y no ).0x.

&ara traba#ar en 2at3ab con operaciones simbólicas, se debe instalar la ca#a de

herramientas correspondiente !7ymbolic2ath8oolbox$.

3os comandos y funciones para las operaciones simbólicas tienen el mismo estilo y sintaxis

que las operaciones numéricas. 3as operaciones simbólicas son e#ecutadas por 2aple, el

cual está inte"rado dentro de 2at3ab. &ara comprobar si la librería de operaciones

simbólicas está instalada, utilizar la instrucción: ver mostrándose las herramientas !tool

boxes$ instaladas.

&ara traba#ar con operaciones simbólicas, se debe tratar con ob#etos simbólicos. %n ob#eto

simbólico está compuesto por ariables y n9meros que, cuando se utilizan en operaciones

matemáticas, indican a 2at3ab que debe e#ecutar la operación en forma simbólica.

El usuario inicialmente define o crea las ariables simbólicas !ob#etos$ necesarias, y después

las utiliza para crear expresiones simbólicas.

FUNCIONES POR CATEGORÍA

FUNCIONES

álculo ;unciones que llean a cabo operaciones de cálculo con

expresiones simbólicas.

<l"ebra 3ineal ;unciones para manipulación matricial simbólica.



2

7implificación ;unciones para modificar o simplificar datos simbólicos.

7olución de ecuaciones ;unciones para resoler una expresión simbólica

<ritmética de &resición

=ariable

;unciones para cálculo que requiere control exacto de la

exactitud numérica

Operaciones<ritméticas ;unciones para la funcionalidad de expresiones aritméticas osimbólicas

;uncionesEspeciales ;unciones con aplicación matemática específica

<cceso a 2aple ;unciones para accesar el >ernel de 2aple

<plicaciones&eda"ó"icas y

?ráficas

;unciones que suministran más información con "ráficos y

calculus.

onersiones ;unciones para conertir datos simbólicos de un tipo a otro

Operaciones@ásicas ;unciones para operaciones básicas de datos simbólicos

8ransformacionesAnte"rales

;unciones que llean a cabo transformaciones inte"rales

Creación de Objetos Simbólicos.

&ueden ser ariables o n9meros. 7e crean con el comando symy*o syms , los cuales crean

n9meros, ariables u ob#etos simbólicos.

7intaxis: nombre_objeto = sym(‘cadena’)

Bonde cadena puede ser:

' %na letra o combinación de letras sin espacios. E#emplo: CaD, CxD o CarD.' %na combinación de letras y dí"itos que comience por letra !sin espacios$. E#emplos:

Cxh6+D, Cr+d+D.' %n n9mero. &or e#emplo: C6D, C4D.

Ejemlo: rear con el mismo nombre las ariables simbólicas para a, bb y x.

a ( sym!CaD$a (abb ( sym!CbbD$

bb ( bb x ( sym!CxD$x ( xEjemlo: rear el ob#eto simbólico "amma con el nombre ".

" ( sym!C"ammaD$" ( "amma

Nota: El objeto simbólico se llama gamma, y el nombre del objeto es g .



3

Ejemlo: rear ob#etos simbólicos a partir de los n9meros y 5.

c ( sym!$

c (

d ( sym!5$

&ara crear más de una ariable simbólica, utilizar el comando syms.

7intaxis: symsnombre_variablenombre_variablenombre_variable F..

Ejemlo: rear ariables simbólicas para y, z, d.

syms y z d

!Obserar que no se muestran automáticamente. &ara isualizarlas, teclear su nombre$

yy ( y rea la ariable simbólica y y la "uarda en y .

Creación de e!resiones simbólicas.

7intaxis: nombre_expresion = expresión matemática

Ejemlo: rear la expresión simbólica para: ax+ - bx - c con el nombre f

syms a b c x y f ( a G x H + - b G x - cf (a G x H + - b G x - c !Sin sangría$

uando se introduce una expresión simbólica que incluye operaciones matemáticas que se

pueden e#ecutar ! suma, resta, multiplicación y diisión$, 2at3ab las e#ecuta a medida que se

crean. &or e#emplo:

"(+Ga*-4Ga*5'1.Gx-x*-4G*'6." (!+1Ga$*+6 ' !5Gx$*1 - 6*1

Ejemlo: <nalice las si"uientes operaciones realizadas en forma simbólica y numérica.

a ( sym!$I b(sym!$I

e(b*a-sqrt!+$

e (

+H!6*+$ - *

c(I d(I

f(d*c-sqrt!+$

f (



4

.)0)J !Con sangría$

Ejemlo"

syms x beta real es equialente a:

x ( sym!KxK,KrealK$Ibeta ( sym!KbetaK,KrealK$I

CO#ENTARIOS SO$RE E%PRESIONES & O$'ETOS SI#$()ICOS

6. 3as expresiones simbólicas pueden incluir ariables numéricas, ocasionando que el

resultado sea exacto.E#emplo: h ( 6) *

h (

. L ( sym!$I m ( sym!5$I p ( L * m - hp(0*+6

+. 7e puede utilizar la instrucción double()para conertir una expresión simbólica

!ob#eto$ 7, escrita en forma exacta, a su forma numérica !Mo. en punto flotante de

doble precisión$.E#emplo:a$ p se conierte a su alor numérico.

pM ( double!p$pM (

4.)451

b$ 7e crea un ob#eto simbólico y después se conierte a forma numérica: y ( sym!6)$ G cos!Gpi*1$y ('GH!6*+$yM ( double!y$yM (

'0.11)

. 7e puede crear una función simbólica sin declarar las ariables.E#emplo:

f ( sym!CaGxH+-bGx-cD$f (aGxH+-b-c

NOTA: Diferencia con caso anterior: No se pueden realiar operaciones simbólicas.



5

4. 7e pueden crear nueas expresiones simbólicas utilizando las existentes.E#emplo:

syms x y 7< ( x - y, 7@ ( x / y7< (x-y

7@ (x'y ; ( 7< H + * 7@ H - x H +; (!x - y$H+ * !x ' y$H - xH+

CO#AN*OS!indsym" collect" expand y !actor

CO#AN*O SINTA%IS *ESCRIPCI+N & E'E#P)O

!indsym

findsym!;$

findsym!;,n$

Enlista las ariables simbólicas inolucradas en una

expresión simbólica.

n son las primeras ariables simbólicas.

collect

collect!;$

collect!;,ariable$

<"rupa los términos de i"ual potencia que se

encuentran en una expresión.

syms x y

7 ( !xH+ - x / exp!x$$ G !x - $

7 (

!xH+ - x / exp!x$$ G !x - $

; ( collect!7$

; (

xH - 4 G xH+ - !!'exp!x$ - $ G x / G exp!x$

expand expand!7$

Besarrolla expresiones aplicando la propiedad

distributia utilizando sumas, identidades

tri"onométricas, exponenciales y lo"arítmicas.

syms a x y

7 ( !x - $ G !x ' a$ G !x - 4$

7 (

!x - $ G !x ' a$ G !x - 4$

8 ( expand!7$

8 (

xH - J G xH+ / xH+ G a / J G a - +) G x / +) G a

expand!sin!x ' y$$

ans (

sin!x$ G cos!y$ / cos!x$ G sin!y$

;actoriza una expresión en forma de polinomio y

entre"a otra expresión simbólica compuesta por



6

!actor factor!7$

productos de polinomios de "rado menor.

sym x

7 ( xH - 4 G xH+ / 66 G x / )

factor!7$

ans (

!x - +$ G !x / $ G !x - $

CO#AN*OS simpli!y" simple y pretty

CO#AN*O

SINTA%IS *ESCRIPCI+N & E'E#P)O

simpli!y simplify!7$

?enera la forma más simple posible de una expresión.

syms x y

7 ( x G !x G !x ' 0$ - 6)$ /

7 (x G !x G !x ' 0$ - 6)$ /

7< ( simplify!7$

7< (

xH / 0 G xH+ - 6) Gx '

simplify!!x - y$ * 6 *x - 6 * y$$

ans (

x G y

simple simple!7$

N; hoP ( simple!7$

Beuele la expresión más corta a partir de la ori"inal.

syms x 7 ( !xH / 4 G xH+ - 61 G x$ * !xH - 14$

7 (

!xH / 4 G xH+ - 61 G x$ * !xH - 14$

; ( simple!7$

; (

x!x - 4$

pretty pretty!7$

=isualiza la expresión como se escribe normalmente

syms a b c x

7 ( sqrt!a G xH+ - b G x - c$

pretty!7$

Creando F,nciones #atem-ticas Simbólicas



7

Existen dos formas para crear funciones: utilizando expresiones simbólicas, o utilizando un

archio m.

Utiliando E!resiones Simbólicas"

3a secuencia de commandos:

syms x y zr ( sqrt!xH+ - yH+ - zH+$t ( atan!y*x$f ( sin!xGy$*!xGy$

"eneran las expresiones simbólicas r , t, y / . on estas funciones se puede: diferenciar con la

instrucción di// , inte"rar con int, sustituir con s,bs, y otras funciones de las Qerramientas

2atemáticas 7imbólicas !7ymbolic2ath8oolboxfunctions$ para manipular tales expresiones.

Creando ,n arc0i1o m

3os archios m permiten un uso "eneral de funciones. 7uponer por e#emplo, que se desea

crear la función sincsin!x$*x. &ara hacer esto, se crea el archio de función m:

function z ( sinc!x$R7AM 3a functionsinc simbólicaR sin!x$*x. Esta funciónR acepta un sym como el ar"umento de entrada.if isequal!x,sym!)$$ z ( 6Ielse z ( sin!x$*xI

end

C2)CU)O SI#$+)ICO A3AN4A*O

2atlab realiza los cálculos aanzados equialentes a los realizados normalmente, como la

solución de: una ecuación no lineal, sistemas de ecuaciones no lineales, deriación,

inte"ración, solución de ecuaciones diferenciales ordinarias !EBODs$, etc.

Sol,ción de ,na ec,ación no lineal.

%na ecuación no lineal puede tener una o más ariables simbólicas. 7i tiene una ariable, lasolución es numérica. 7i tiene más de una ariable, la solución se obtiene para una ariable

en función de las demás.

7e utiliza el comando sole.

7intaxis: h ( sole!eq$ , h ( sole!eq, ar$



8

• eq puede ser el nombre de una expresión simbólica o una expresión completa.

uando la expresión no contiene el símbolo ( , se resuele para eq ( ).

• 7e pueden resoler f!x$ ( "!x$

• sole!eq$ opera en función de la ariable simbólica por defecto. &ara obtener la

solución para otra ariable, usar sole!eq, ar$

• 7i la ecuación tiene más de una solución, la salida h será un ector columna

simbólico, donde cada elemento representará una solución.

E#emplos:

6.' Sesoler con cálculo simbólico: e!+z$ (

syms a b x y z

h ( sole!exp!+Gz$ / $h (T G lo"!$

+.' Sesoler con cálculo simbólico: f!x$ ( x+ / x ' 1 ( )

7 ( xH+ / x / 17 (xH+ / x / 1 L ( sole!7$L (N'+PNP

.' Sesoler con cálculo simbólico: cos!+y$ - sen!y$ ( +

sole!Ccos!+ G y$ - G sin!y$ ( +D$ans (N6*+ G piPN6*1 G piPN*1 G piP

4.' Sesoler con cálculo simbólico: f!x$ ( ax+ - bx - +)

8 ( a G x H + - G b G x - +)

8 (a G x H + - G b G x - +)sole!8$ans (N6 * + * a G ! ' G b - ! + G b H + / 0) G a $ H !6 * + $$ PN6 * + * a G ! ' G b ' ! + G b H + / 0) G a $ H !6 * + $$ P

2 ( sole!8, a$2 (



9

' G !b G x - 4$ * x H+

4.' Antroduciendo la función como cadena de caracteres, resoler con cálculo simbólico:f!x$ ( ax+ - bx - +)

ts ( sole!C4 G t G h H + - +) G t / G "D$

ts ( * 4 G " * !h H+ - $ NOTA: !as "ariables no existen como simbólicas independientes.

Sesoliendo para otra ariable:

"s ( sole!C4 G t G h H + - +) G t / G "D, C"D$"s (4 * G t G h H + - 4 G t

Sol,ción de Sistemas de Ec,aciones no )ineales.

7e utiliza también el comando sole.

7i se tiene un sistema del mismo n9mero de ecuaciones que de incó"nitas, la solución esnumérica. En caso contrario, la solución es simbólica.

%n sistema de ecuaciones no lineales puede tener una solución o arias.

7intaxis: ar ( sole!eq6, eq+, F, eqn$ I ar ( sole!eq6, eq+, Feqn, ar6, ar+, Farn$

8ambiUn se utiliza: Nar<, ar@, arP ( sole!eq6, eq+, eq$uando se tiene arre"los como salidas.

E#emplo: Sesoler el sistema: 6)x - 6+y - 61t ( ) I x / y ( 6t

syms x y t 7 ( 6) G x - 6+ G y - 61 G tI Nxt ytP ( sole!7, C G x / y ( 6 G tD$xt (+ G tyt (' G t R El sistema se resuele para x e y !primeras ariables$

E#emplo: Sesoler las mismas ecuaciones, pero para y y t.

Ntx yxP ( sole!7, C G x / y ( 6 G tD, y, t$tx (6*+ G xyx (' * + G x R El sistema se resuele para t e y !ariables definidas$

&ara la salida como una estructura: <M ( sole!eq6, eq+, eq$ <M es una estructura con elementos con los nombres de las ariables que dan la solución.



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&ara er una ariable solución: <M.nombreVar

Ejemlo: %tilizando estructuras como salidas, resoler el sistema:6)x - 6+y - 61t ( )x / y ( 6t

syms x y t 7 ( 6)Gx - 6+Gy - 61Gt7 (61Gt - 6)Gx - 6+Gy <M ( sole!7, KGx ' y ( 6 G tK$

<M (x: N6x6 symP

y: N6x6 symP <M.xans (+Gt <M.yans (!'$Gt

Ejemlo: Beterminar los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta dada por lasecuaciones: !x ' +$+ - !y / 4$+ ( S+

W ( x*+ - 6

syms x y S Nxc, ycP ( sole!K!x ' +$H+ - !y ' 4$H+ ( SH+K,Ky ( x*+ - 6K$xc ( !!4GSH+$* ' 14*+$H!6*+$ - 64* 64* ' !4*GSH+ ' 14*+$H!6*+$yc ( !!4GSH+$* ' 14*+$H!6*+$*+ - 6+* 6+* ' !!4GSH+$* ' 14*+$H!6*+$*+

Ejemlo: Sesoler el sistema anterior, pero utilizar una estructura de salida.

OOSB ( sole!K!x ' +$H+ - !y ' 4$H+ ( SH+K,Ky ( x*+ - 6K$OOSB (

x: N+x6 symP y: N+x6 symP OOSB.xans ( !!4GSH+$* ' 14*+$H!6*+$ - 64* 64* ' !4*GSH+ ' 14*+$H!6*+$ OOSB.yans ( !!4GSH+$* ' 14*+$H!6*+$*+ - 6+* 6+* ' !!4GSH+$* ' 14*+$H!6*+$*+



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&ara traba#ar con las funciones f!x$ ( x - 6y "!z$ ( z+ - 6 podemos hacerlo creando las

expresiones simbólicas correspondientes por cualquiera de los dos métodos:

clear syms x, f(xH-6, "(DzH+-6Df(

xH-6"(zH+-6

%na ez deXnidas podemos realizar con ellas las operaciones habituales: calcular su alor enunpunto, deriarlas, inte"rarlas, etc.

7i en una expresión simbólica queremos sustituir una ariable por otra o por una constantepara calcular su alor en un punto, utilizamos el comandosubs:

7intaxis: subs!f, anti"uas, nueas$

7ustituye las ariables anti"uas por las nueas. 7i hay más deuna ariable las escribiremosentre llaes y separada por comas.

E#emplo, calcularf!$ y"!6$

subs!f,x,$,subs!",DzD,6$ans(+0ans(+

Motar que se escribe subs!",DzD,6$, en ez de subs!",z,6$, ya que al no estar declarada zcomo ariable simbólica, al e#ecutar esta Yultima orden el pro"rama nos deolería unmensa#ede error indicando que la ariable z no existe.

subs!",z,$ZZZ%ndefinedfunctionor ariable DzD.

E#emplo: onstruir f ( ax+ -bx -c y sustituir x por t. &ara a(+, b(6, c(),obtener el alor def,cuando t(+ y t(N6:4P.

symsxa b cf(aGxH+-bGx-cf(aGxH+-bGx-csyms t"(subs!f,x,t$ Rsustituyeen f, xpor t"(aGtH+-bGt-ch(subs!",[a,b,c\,[+,6,)\$h(



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+GtH+-tu(subs!h,t,+$u(6)(subs!h,t,N6:4P$(

6) +6 1

*ERI3ACI(N E INTEGRACI(N

&ara deriar e inte"rar una expresión simbólica ! , se utilizan los comandos di ff e int , que

act9an como se indica en el si"uiente cuadro:

CO#AN*O *EFINICI+N

diff!f$ Beria f respecto de la ariable simbólica preferente.

diff!f,u$ Beria f respecto a la ariable u.

int!f$ alcula una primitia de f respecto de la ariable simbólicapreferente.

int!f,s$ alcula una primitia de f respecto de la ariable s.

int!f,a,b$ alcula la inte"ral deXnida de f respecto de la ariable simbólica

preferente.

int!f,s,a,b$ alcula la inte"ral deXnida de f respecto de la ariable s.

Nota: &or defecto, la ariable preferente en una expresión simbólica es la letra x . 7i ésta nointeriene en la expresión, se toma la letra min9scula más próxima a ella se"9n elorden alfabético y que no sea ni la i ni la j. En caso de que haya dos !una anterior yotra posterior$, se considera ariable preferente el carácter posterior.

*ERI3ACI+N di!!(!) # di!!(" u) # di!!(" u" n)

n es el orden de la deriada a calcular.

Ejemlo: Beterminar la deriada de la función f!x$ ( e!x4$

syms x y t

7 ( exp!xH4$7 (exp!xH4$ diff!7$ans (4GxHGexp!xH4$

Ejemlo: Beterminar la deriada de la función f!x$ ( !6 / 4x$



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diff!!6 ' 4Gx$H$ans (!'6+$G!4Gx ' 6$H+

Ejemlo: Beterminar la deriada de la función f!x$ ( y+ cos!t$

S ( G yH+Gcos!Gt$S (GyH+Gcos!Gt$ diff!S$ans (6)GyGcos!Gt$

diff!S,t$ans (!'6$GyH+Gsin!Gt$

diff!7,+$ans (6+GxH+Gexp!xH4$ - 61GxH1Gexp!xH4$

INTEGRACI+N

7e pueden ealuar inte"rales definidas o indefinidas.

7intaxis: int() I int(" var)

Ejemlos: onstruir las expresiones simbólicas f (ax-b y " (y+-z y calcular:

6. ∫ fdx

+. ∫ fda

. ∫ g dy

4.∫0

1

g dz

olución:

syms ab xI f(aGx-bI "(DyH+-zDI R practicamos los dos modos de definir expresiones

A6(int!f$ R inte"ra respecto de la ariable preferente x A6(6*+GaGxH+-bGx



14

A+(int!f,a$ R inte"ra respecto de aA+(6*+GaH+Gx-bGa

A(int!"$ Rinte"ra respecto de la ariable preferente y . Equiale a int!",DyD$.

A(6*GyH-zGy

A4(int!",DzD,),6$ Rinte"ra respecto de la ariable $ .A4(yH+-6*+

SO)UCI+N *E ECUACIONES *IFERENCIA)ES OR*INARIAS 5O*E6s7

7e utiliza el comando: dsolve(‘e%’) # dsolve(‘e%’" ‘var’)

e% :

6. 8oma como defecto la ariable independiente t.+. 7i se requiere que sea otra ariable independiente, se especifica en ar.. &ara introducir el término diferencial, iniciar con B.

E#emplo:dy

dt +3 y=100

se introduce como: CBy - Gy ( 6))D

4. 3a se"unda deriada se representa como B+y, la tercera como By, y así

sucesiamente.

E#emplo:

d2

y

d t 2 +3

dy

dt

+5 y=sent

, se introduciría como: CB+y - GBy - Gy ( sin!t$D

. Mo se requiere definir las ariables como simbólicas.1. En la solución que ofrece 2atlab, se utilizan 6, +, , etc. omo constantes de

inte"ración.

SO)UCI+N GENERA)

Ejemlo: Sesolerdy

dt =4 t +2 y

.

dsole!KBy ( 4Gt - +GyK$ans (Gexp!+Gt$ ' +Gt / 6

Ejemlo: Sesolerd

2 x

d t 2 +2

dx

dt + x=0

.

dsole!KB+x - +GBx - x ( )K$



15

ans (*exp!t$ - !1Gt$*exp!t$

Ejemlo: Sesolerds

dt =a x

2

dsole!KBs ( a G xH+K$ans (aGtGxH+ - 0

Ejemlo: Sesoler la ec. anterior, pero con respecto a x:ds

dx=a x

2

dsole!KBs ( a G xH+K,KxK$ans (!aGxH$* - 6)

Ejemlo: Sesoler la ec. anterior, pero con respecto a a:ds

da=a x

2

dsole!KBs ( a G xH+K,KaK$ans (!aH+GxH+$*+ - 6+

SO)UCI+N PARTICU)AR

3a solución de una OBE en forma particular, se obtiene cuando se tiene planteado el

]problema de los alores iniciales o a la frontera^. %na OBE de primer orden, requiere una

condición inicial, una de +do orden requiere + condiciones iniciales, y así sucesiamente.

7intaxis para 6er orden: dsole!CDeqD, Ccond6D,DarD$

7intaxis para orden superior: dsole!CDeqD, Ccond6D,Dcond+D,F,DarD$

&ara introducir las condiciones iniciales, se escriben de la si"uiente manera:

#atem-ticas #atlaby!a$ ( < Cy!a$ ( <D

yD!_$ ( < CBy!a$D

yDD!a$ ( < CB+y!a$ ( <D

Ejemlo: Sesolerdy

dt +4 y=60

, con una condición inicial y!)$ ( .



16

dsole!KBy - 4 G y ( 1)K,Ky!)$ ( K$ans (6 ' 6)*exp!4Gt$

Ejemlo: Sesolerd

2 y

d t 2 −2

dy

dt +2 y=0, y (0 )=1, y

' (0 )=0

dsole!KB+y ' +GBy - + G y ( )K,Ky!)$ ( 6K,KBy!)$ ( )K$ans (exp!t$Gcos!t$ ' exp!t$Gsin!t$

GR2FICOS PARA E%PRESIONES SI#$+)ICAS

7e utiliza el comando ezplot.

7intaxis: e$plot() e$plot(" &min" max') e$plot(" &xmin" xmax" ymin" ymax')

7i la expresión a "raficar tiene una sola ariable simbólica, se "raficará 7!ar$ s ar.

7i tiene dos ariables simbólicas, "raficará una contra la otra.

7i se tiene una sola ariable simbólica, el "ráfico se realizará por defecto en el interalo

'+`≼ar ≼+`.

&ara representar y frente a x, donde x ( x!t$ e y ( y!t$, se utilizan las si"uientes formas:

ezplot!76, 7+$o ezplot!76, 7+, Nmin, maxP$

76 y 7+ tienen la misma ariable independiente. 7e "rafican 7+!ar$ contra 76!ar$ con

dominio: ) ar +`

Ejemlo" Sealizar el "ráfico de la función simbólica: (3 x+2 ) /(4 x−1 ) .

Ejemlo" Sealizar el "ráfico de la función simbólica: 4 x2−18 x+4 y

2+12 y−11=0

Ejemlo" Sealizar el "ráfico de la función simbólica: x=cos (2 t ) , y=sen(4 t ) .

Calculos Simbolicos F

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