CalculoVectorial-GuiaETS(2011-06)

8/6/2019 CalculoVectorial-GuiaETS(2011-06)

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INSTITUTO POLITCNICO NACIONALESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A.

ACADEMIA DE MATEMTICASGUIA E.T.S. DE CLCULO VECTORIAL

Prof. Sergio Flores CoronaJunio 2011

1

FUNCIONES VECTORIALES DE UN ESCALAR

(1) Determine las ecuaciones paramtricas de la recta tangente a la curva dada en el valor indicado.

3 31 1( ) [ , , ]; t=2

2 3

r t t t t

2

4( ) 3 ; t=2

1

tr t ti tj k

t

( ) 3cos( ) 3cos( ) 2 ; t=4

r t t i t j tk

(2) Encuentre la velocidad, rapidez, aceleracin, aceleracin tangencial y aceleracin normal de una partculacon funcin de posicin dada en el tiempo indicado.

2 2( ) (25 ) (10 16 ) ; t=0

tr t e i t t j 2 2

( ) 2 ln( ) ; t=er t t i tj t k 23( ) ( ) (2 ) ( ) ; t=4

2

r t t i t j t t k

(3) Calcule el valor de la longitud de arco de la curva en el intervalo o entre los puntos indicados

( ) ( cos ) ( ) ; 1 4t t

r t e t i e sent j t 3

3 2 321 1 2

( ) ( 4) ; 3 53 3 3

r t t i t j t k t

1 2( ) 4 3 ( ) 3 (cos ) ; (0,0,0); (12.5664,0, 9.4248)r t ti t sent j t t k P P

2 32( ) 3 3 ; 0 1

3r t ti t j t k t

2 3( ) (2 6) 2 6 ; 3 6r t ti t j t k t

3 3 2( ) cos ;6 3

r t ti sen tj t

2 2

1 2( ) 2 ln( ) ; (1,2,0); ( ,2 ,1)r t t i tj t k P P e e

(4) Encuentre la curvatura del radio vector en el punto indicado.

(5) ( ) ( cos ) ( ) ; (1,0,0,)t t tr t e t i e sent j e k P

322( ) 4 ; (1,4, 1,)r t ti t j t k P

2 3( ) ; (2,4,8)r t ti t j t P

(6) Determine la funcin que representa la funcin posicin de acuerdo a las ecuaciones y condiciones

iniciales dadas en cada ejercicio.2 1

'( ) ; (3) 2 52

r t t i j r i jt

2 2'( ) ( ) (2cos ) ; ( ) 0r t sen t i t j r

2 8'( ) 6cos(2 ) sec ( ) ; ( ) 3 2

4r t t i t j k r i j k

3"( ) ( ) ; '(0) 4 2 4 ; (0) 4 2

tr t e i tj sen t k r i j k r j k


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2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (CAMPOS ESCALARES)

(1) Determine el dominio de las funciones indicadas.

a)2 2

( , )xy

f x y

x y

b)2 2 2

( , ) ( 36 ) f x y x y

c) 2 2( , ) 4 f x y x y y

(2) Calcule las primeras derivadas parciales de la funcin indicada

a) 2 2 54 z x xy y

b)2

4( ,

3 1

xf x y

y

c) 2 2cos (5 ) (5 ) z x sen y

d)3 2 2

4( , )

x y x

f x y e

e)3

( , )x y

f x y xe

f)3

( , )2

x yf x y

x y

(3) Determine el gradiente de la funcin dada

a)2 3 2 4

( , )f x y x x y y

b)3 4( , )f x y x y y

c) 2 2 2( , , ) ( )f x y z x y sen z

d)2 2 2

( , , ) ln( )f x y z x y z

(4) La temperatura T en C, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centmetros, est dado por

la ecuacin2 2

3 2 4( , , ) 4

y xT x y z x y z xz e . Calcule en el punto (1, 2, 3)

a) La direccin, as como la razn del cambio mximo de temperatura.

b) La razn de cambio de la temperatura en la direccin 2 2a i j k indicando si aumenta,disminuye o es invariante.

(5) El campo magntico B (webers), en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centmetros, est

dado por la ecuacin 2( , , ) cos( ) ( )y B x y z xe x xy sen yz . Calcule en el punto (2, 0, --3)

a) La direccin, as como la razn del cambio mximo.

b) La razn de cambio del campo en la direccin 2 2a i j k .

(6) La distribucin de iluminacin L en luxes, en el punto (x, y, z) dentro de una habitacin medida en metros,

est dado por la ecuacin2 2

4 41( , , )

2

y xL x y z z e

. Calcule en el punto (1,2, 1) .

a) La direccin del cambio mximo de la iluminacin.b) La razn del cambio mximo de la iluminacin.

c) La razn de cambio de la iluminacin en la direccin 2 3 6b i j k .


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3

(7) Considere la funcin3 2

( , ) 3 4 f x y x y y xy Determine en el punto P(1, 2)a) La direccin, as como la razn de cambio de la mxima derivada direccional

b) La derivada direccional sobre el vector 4 3a i j

(8) Obtenga las ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado

a) 2 3 2 2 3( , , ) ; M(3,2,1)F x y z xy z x y yz xz

b)2

( , , ) 2 +10 ; M(-5,5,1)F x y z xy yz xz

c) ( , , ) 2 cos ; M(0, 3,1)xF x y z e y z

(9) Determine las coordenadas de los puntos mximos, mnimos y silla, si existen, de la funcin

3 2( , ) 48 32 24 f x y xy x y 4 2( , ) 4 2 2 f x y xy x y

3 3( , ) 3 f x y x xy y 2 2( , ) 4 2 2 10 2 f x y x y xy y x

2 2 2

( , ) 6 3 4 f x y xy x y 3 2 2

( , ) 4 2 f x y y y xy x 2 4

( , ) 8 f x y xyx y

3 3( , ) 72 70 68 66 f x y x y xy y

(10) Utilizando la regla de la cadena determine las derivadas parciales ,z z

u t

a)2 2 3 3cos(4 ); ;z x y x u t y u t ; cuando 1, 2u t

b) 2 2 2 2; ;t t

z x y x e y e ; cuando 0t

c)2

ln( 2 ); ( ); cos z x x y x u sent y u t ; cuando 2,3

u t

d) 2 2ln( ) z x y ; x u t , 2 y ut ; cuando 2, 1u t .

(11) La altura de un cono circular recto crece a razn de 40 cm/min, el radio disminuye a razn de 15 cm/min.Calcule la razn de cambio del volumen en el instante que la altura es de 2000 cm y el radio de 600 cm.

(12) La longitud del cateto A un tringulo rectngulo crece a razn de 3 cm/min., la del cateto B decrece arazn de 2 cm /min. Calcule la razn de cambio del ngulo agudo opuesto a B en el instante que A = 100cm y B = 120 cm

(13) En un tanque elstico en forma de cilindro circular recto entra agua a razn de 2 m3/min . El tanque seexpande pero conservando su forma, su radio crece a razn de 0.005 m/min. Con qu rapidez sube elagua cuando el radio tiene 1.5 metros y el volumen del agua dentro del tanque es de 40m3?

(14) Sea el ngulo entre los lados iguales de un tringulo issceles y sea x la lon gitud de estos lados. Si

x se incrementa a razn de metro por hora y se incrementa a razn de radianes por hora, hallar la

tasa de cambio del rea cuando x=6 y4

(15) Los dos radios de un tronco de cono circular recto se incrementan a razn de 4 centmetros por minuto yla altura decrece a razn de 2 centmetros por minuto. Hallar a qu velocidad cambian el volumen y elrea superficial cuando los radios son de 35 y 50 centmetros, respectivamente y la altura es de 30centmetros


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4

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

(1) Evale las siguientes integrales iteradas

a.

22

1 8 10 2

x

x x y dxdy b.

2

2

2 2

0 22

y

y x y dxdy

c. 2

0cos ( )

x

x sen y dxdy

d.

1 cos( )3

0 3cosrdrd

(2) Evale la integral 2 2

R

x y dA sobre la regin encerrada por las curvas 0x y , x y localizada

en el primer cuadrante

(3) Evale la integral (cos(2 )R

x y dA sobre la regin encerrada por las curvas

; 3 0; y x x y y

(4) Evale1

( )R

dAx

sobre la regin en plano XY: 2y x , 24 y x x

(5) Evale 2x

R

ye dA

sobre la regin en el plano XY:2x y , 2y , 9x

(6) Evaluar ( , )R

f x y dA sobre la regin de la figura

2

2

2 0

3 6 0

y x y

y y x

( )

cos( )

y sen x

y x

4 3R

y dAR

xydA

2 250x y

y x

3

25R

ydA

2

2y x

y x

( )R

xsen y dA


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5

(7) Cambiar el orden de integracin y evauar la integral

a)2

2

3 9

04

x

y ye dxdy

b)1 1

2

0( )

ysen x dxdy

c)22 2

0

y

xe dydx

d)2

2 4

0( )

y x senx dxdy

(8) Determine el volumen del slido limitado por las grficas de las funciones indicadasa) 2 6, 0, 0, 0 x y z x y z , primer octante

b)2 2

4, 2 2 4 x y x y z , primer octante

c) 2 2 24 , 2 , 0 z y x y x z


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6

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULAES(1) Evale la integral indicada

a)4 2 1

2 2 1( ) x y z dxdydz

b)3

1 1 2(24 )

x xy

xy dzdydx

c)2

2

0 0 0cos( )

y y xdzdxdy

y

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS

Determinar el volumen del slido limitado por las grficas de las ecuaciones que se indican.

(1) Interior al cilindro 2 2 4x y , bajo la esfera 2 2 2 16 x y z , sobre el plano 1z

(2) Paraboloide 2 2 z x y , cilindro 2 2 25x y , planos 0; 36z z a) Interior al cilindro

b) Exterior al cilindro(3) El cono horizontal

2 2 x z y , el paraboloide 2 26 x y z

(4) El cono2 2

12 z x y y el paraboloide 2 28 z x y , en el PRIMER OCTANTE

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFRICAS

Determinar el volumen del slido limitado por las grficas de las ecuaciones que se indican.

(1) Cono 2 2 z x y ; esfera 2 2 2 9 x y z

(2) Esfera

2 2 2

4 x y z planos verticales

1

3y x ; 3y x

(3) Bajo el plano 3z , exterior al cono 2 2 z x y , interior al cono 2 23 3 z x y ,

(4) Dentro de la esfera2 2 2

1 x y z , fuera del doble cono 2 2 2 z x y

(5) Determinarz

D

e dv donde D es el slido en el primer octante bajo la superficie2 2 z x y , interior al

cilindro2 2

9x y , sobre el plano XY


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7

FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR (CAMPOS VECTORIALES)

INTEGRALES DE LNEA

1) Evale la integral de lneaC

ydx xdy zxdz donde Ces la curva dada por las ecuacionescos x t y sent z t ; 0 t

2) Evale la integral de lnea2 2

(6 2 ) 4C

x y dx xydy donde Ces la curva dada por las ecuaciones3

; ; 0 1 x t y t t

3) Evale la integral de lnea 3C

xydx xdy ydz donde Ces la curva dada por

( ) cos( ) ( ) 2r t t i sen t j tk ; 02

t

4) Evale C F d r donde3 2

( , )F x y y i x yj 2( ) t tr t e i e j ; 0 ln(2)t

TEOREMA DE GREEN

1) Por medio del Teorema de Green evala la integral de lnea cerrada2

3cosC

xy dx ydy donde Ces la frontera en el primer cuadrante encerradapor las grficas

2 3, y x y x

2) Por medio del Teorema de Green evale la integral de lnea cerrada2 2

( 2 cos ) ( )C

xy x y dx x seny dy

donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las grficas:2

y x , 3y x

3) Por medio del Teorema de Green evale la integral de lnea cerrada2 2 3

( 3 ) ( )C

y x y dx xy x dy donde Ces la frontera en el primer cuadrante encerradapor las grficas 2y x , 2y x

4) Por medio del Teorema de Green evale la integral de lnea cerrada 2 31

( )3C

xy xy dx y dy

donde C es la frontera encerrada por la grficas x y , 21x y , 0y

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