Cambio Base 2
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7/26/2019 Cambio Base 2
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Notasacademicas
M A Y O R G A
Z A M B R A N O
J
Cambios de base: una formalizacion matematica
Juan Mayorga-Zambrano, Ph.D.
Marzo 2013
Un numero realxse puede escribir con cifrasdecimales(i.e. en base 10) como
x = apap1ap2 ...a1a0 . a1a2 ...aq ... (1)
dondep, qNyak B10 = {0, 1, 2, ..., 9}, k=p,p 1, ..., 0, 1, 2, ..., q, ... (2)
de manera quex =y+z, (3)
dondey = ap10
p+ap110
p1+ap210
p2+ ...+a110+ a0 (4)
z = a1101
+a2102
+ ...aq10q
+ ... (5)
es decir,y es la parte entera de xen tanto quezes la parte fraccionaria de x.
De la misma manera, dada unabase MN,M2, el numeroxse puede escribir como
[x]M = brbr1br2 ...b1b0 . b1b2 ...bs... (6)
donder, sNybk BM = {0, 1, 2, ...,M 1}, k= r, r 1, ..., 0, 1, 2, ..., s, ... (7)
de manera que
y = brMr+br1M
r1+br2M
r2+ ...+b1M+b0 (8)
z = b1M1
+b2M2
+ ...bsMs
+ ... (9)
Observacion.Por notacionx = [x]10.
Observacion. De forma directa, las formulas(8), (9) y(3) permiten transformar un numerox R dado enbaseMa su version decimal.
Observacion. Para transformar un numerox R dado en formato decimal a una baseM, aprovechamoslas formulas (8) y (9). Por un lado, para recuperar los dgitos de la parte entera se tiene que
w0 =y,
bk= wk mod (M), k= 0, 1, ..., r
wk=
wk1M
, k= 1, 2, ..., r
(10)
donde
p mod (q)
representa el residuo de la division entera de p Z para q Z \ {0}. Tener presente que [h] representa laparte entera deh R.
Para la parte fraccionaria se tiene que
v1 =zM,
bk= [vk], k= 1, 2, ..., s, ...
vk= (v(k1) b(k1))M, k= 2, 3, ..., s, ...
(11)
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