UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO.

FACULTAD DE INGENIERIADIVISION DE INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA TIERRA

DEPARTAMENTO DE GEOFÍSICA

MATERIA: FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICAINTEGRANTES:

HERNÁNDEZ VÁZQUEZ ISRAEL.HERNÁNDEZ VENTURA OSCARLOZANO VERA KARLA ISABELTUTUTI GUILLÉN EDUARDO

MÓDULO 4.

CAMPO ELÉCTRICO EN PRESENCIA DE MATERIA CONDUCTORA

MÓDULO 4: CAMPO ELÉCTRICO EN PRESENCIA DE MATERIA CONDUCTORA

SUBMÓDULOS:

4.1 VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

4.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

4.2.1 FLUJO ESTACIONARIO

4.3 LEY DE OHM

4.4 ECUACIONES PARA EL CAMPO ELÉCTRICO ESTACIONARIO

4.5 MEDIO CONDUCTOR LINEAL, HOMOGÉNEO E ISÓTROPO

4.6 CONDICIONES DE FRONTERA

4.7 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

4.8 MEDIOS CONDUCTORES-DIELÉCTRICOS

OBJETIVO

• Se aplicarán las leyes y los métodos estudiados de los

capítulos anteriores para algunos materiales con los que

un ingeniero debe trabajar.

• Definir la corriente y la densidad de corriente y con esto

desarrollar la ecuación fundamental de continuidad, es

preciso tomar en cuenta al conductor y exponer la ley de

Ohm, tanto en su forma microscópica como macroscópica.

• Se obtendrán las condiciones de frontera que deben

encontrarse en un conductor, y este conocimiento

permitirá presentar el uso del método de imágenes.

INTRODUCCIÓN

• A diferencia de lo que ocurre en Electrostática ahora

debemos considerar las cargas eléctricas en movimiento, ya

que es en esa situación cuando producen un campo magnético

o detectan su presencia.

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

• En teoría de campos electromagnéticos trabajamos básicamente con magnitudes

definidas en amplias zonas del espacio, como son los campos escalares o

vectoriales, y tratamos de establecer las relaciones que existen entre ellos.

• La corriente eléctrica no es una excepción. Usualmente precisaremos conocer no

sólo la cantidad de carga eléctrica que atraviesa una determinada sección de

conductor por unidad de tiempo, sino también la manera en que se distribuyen

espacialmente esas cargas en movimiento. La densidad de corriente proporciona

esa información. Su relación con la carga eléctrica es:

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

• Origen físico de la corriente

• Las cargas eléctricas se desplazan debido a dos causas principales:

• i) el cuerpo en el que están situadas las cargas se mueve;

• ii) las cargas libres de un medio conductor son arrastradas por un

campo eléctrico.

• En el primer caso se habla de corrientes de convección, y en el

segundo de corrientes de conducción. Estamos interesados

principalmente en el segundo tipo.

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

Las cargas eléctricas en movimiento constituyen una corriente. La unidad de

la corriente es el ampere (A), definida como la razón de cambio del

movimiento de las cargas al pasar por un punto de referencia dado (o por

un plano de referencia dado) a razón de un coulomb por segundo. La

corriente se simboliza con I, y entonces

La corriente se define entonces como el movimiento de las cargas positivas.

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

• El incremento de corriente ∆I que atraviesa una superficie ∆S

normal a la densidad de corriente es

• y en el caso en que la densidad de corriente no es

perpendicular a la superficie,

• La corriente total se obtiene integrando,

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

• La densidad de corriente se puede relacionar con la velocidad de

una densidad de carga volumétrica en un punto. Considérese el

elemento de carga ∆Q=ρν∆ν=ρν ∆S ∆L, como lo muestra la figura

5.1a. Para simplificar la explicación, supóngase que el elemento de

carga está orientado con sus aristas paralelas a los ejes

coordenados y que su velocidad sólo tiene componente en x. En el

intervalo de tiempo ∆t, el elemento de carga se ha movido una

distancia ∆x, como está indicado en la figura 5.1b. Entonces se ha

movido una carga

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

DENSIDAD E INTENSIDAD DE CORRIENTE.

∆Q = ρν ∆S ∆x, a través de un plano de referencia perpendicular a la

dirección del movimiento, durante el intervalo de tiempo ∆t, y la corriente

resultante es

Si se toma el límite con respecto al tiempo, se tiene

donde νx representa la componente x de la velocidad v.2 En términos de

la densidad de corriente, se tiene

• y en general

• Este último resultado muestra con claridad que las cargas en

movimiento constituyen una corriente.

Densidad volúmica de carga la que se desplaza a cierta velocidad v,

dando lugar a la corriente eléctrica.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

• La presentación del concepto de corriente es seguido

lógicamente por un estudio de la conservación de la carga y

la ecuación de continuidad. El principio de conservación de la

carga se fundamenta en que las cargas no se crean ni se

destruyen, aunque cantidades iguales de cargas positivas y

negativas pueden ser simultáneamente creadas, obtenidas por

separación, destruidas o perdidas por recombinación.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

• La ecuación de continuidad se obtiene de este principio cuando se considera una región

limitada por una superficie cerrada. La corriente que circula a través de la superficie

cerrada es

• y a este flujo hacia fuera de la carga positiva debe equilibrarlo una disminución de cargas

positivas (o tal vez un aumento de cargas negativas) dentro de la superficie cerrada. Si la

carga dentro de ésta se denota con Qi, entonces la razón de cambio a la que disminuye es

−dQi/dt y el principio de conservación de la carga exige que

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

• Representando la carga Qi encerrada por la integral de volumen de la

densidad de carga,

• Si se conviene en mantener la superficie constante, la derivada se

convierte en una derivada parcial y puede aparecer dentro de la

integral

• Las cargas se pueden mover de un sitio a otro pero nunca

aparecer de la nada, esto se expresa diciendo que la

carga se conserva. Si hay una corriente neta saliendo de

una superficie cerrada la cantidad de carga en el

interior debe disminuir en la cantidad correspondiente.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

FLUJO ESTACIONARIO.

• Si la carga dentro del volumen encerrado por la superficie S

permanece constante será porque no hay un aporte o retirada neta

de carga (carga neta que entra en el volumen es igual que la que

sale), es decir dQ/dt=0. En este caso se cumplirá que:

• Diremos, en este caso, que las corrientes son estacionarias. Una

corriente estacionaria cumple que I = Cte en todo punto del

conductor y en todo instante.

• y, de ahí, que una corriente estacionaria se caracteriza

por cumplir:

• En efecto, consideremos un tubo de corriente por el que

circula una corriente estacionaria y calculemos el flujo del

vector J.

4.3 LEY DE OHM (I DE III)

Imagen tomada del libro “Teoría electromagnética”, 7Ed. Hayd. Et. Al.

4.3 LEY DE OHM (II DE III)

En el caso del conductor, aquí los electrones libres se mueven bajo la

influencia de un campo eléctrico. Cuando el electrón tiene una carga Q =-e y el campo es E entonces:

F = -eE

El electrón se acelera hasta una velocidad promedio conocida como

velocidad de arrastre, y se relaciona linealmente con la intensidad del

campo eléctrico debido al coeficiente de movilidad del electrón en el

material

Vd = -μE

4.3 LEY DE OHM (III DE III)

De la ecuación de densidad de corriente de convención

J = ρvv

Se sustituye en la ecuación de velocidad de arrastre en la ecuación de

densidad de corriente de convención

J = -ρeμeSe define a la Conductancia como

σ = -ρeμe

Se sustituye la conductancia en la ecuación anterior si se obtiene la

ecuación conocida como forma puntal de la Ley de Ohm

J =σE

4.4 ECUACIONES PARA EL CAMPO ELÉCTRICO ESTACIONARIO (I DE II)

Consideremos un medio conductor óhmico (lineal), homogéneo en

condiciones de conducción en estado estacionario. Es decir, la

densidad de carga local ρ(x, y, z) esta en su valor de equilibrio. Por

lo tanto su ecuación de continuidad se reduce a:

∇∙J = 0

Sustituyendo por la ley de Ohm en la ecuación de continuidad

∇∙σE = 0

4.4 ECUACIONES PARA EL CAMPO ELÉCTRICO ESTACIONARIO (II DE II)

Debido a que es un medio homogéneo se reduce a

∇∙E = 0

Recordando por el Teorema de Helmholtz, es decir ∇×E=0

entonces la descomposición se reduce a:

E = -∇φ

La combinación de las dos últimas ecuaciones da

∇2φ = 0

Que es la ecuación de Laplace

4.5 MEDIO CONDUCTOR LINEAL, HOMOGÉNEO E ISOTROPO (I DE III)

• El primero en describir la relación corriente-voltaje implícita en

(8) fue Georg Simon Ohm. Esta ecuación se le conoce como la

forma puntal de la ley de Ohm.

Donde:

J :Densidad de corriente

σ :Es la conductividad (S/m)

E :Es el campo eléctrico

4.5 MEDIO CONDUCTOR LINEAL, HOMOGÉNEO E ISOTROPO (II DE III)

La aplicación a una región macroscópica, es decir visible a simple

vista, de la ley de Ohm conduce a una forma más familiar.

Suponiendo que J y E son uniformes

4.5 MEDIO CONDUCTOR LINEAL, HOMOGÉNEO E ISOTROPO (III DE III)

4.6 Condiciones de frontera (I deVI)

Características de un buen conductor:

• Dentro de un conductor la densidad de carga es igual a cero , por lo

que reside en la superficie exterior una densidad de carga de

superficie (ρS)

• En condiciones estáticas no existe un flujo de corriente

• La intensidad de campo eléctrico dentro del conductor es cero

Ahora:la carga puede aparecer en la superficie como una densidad de carga superficial

ahora es investigar los campos externos al conductor

La componente tangencial es cero

- Estamos en condiciones estáticas- El campo eléctrico tangencial y la densidad de flujo deben ser cero

Si no fuera asíuna fuerza tangencial se aplicaría en las cargas de la superficie, lo que daría como resultado su movimiento y condiciones no estáticas.

4.6 Condiciones de frontera (II de VI)

Campo eléctrico externo

NormalTangencial

La ley de Gauss contesta la pregunta relativa a la componente normal. El flujo eléctrico que abandona una superficie pequeña debe ser igual a la carga que en ella se encuentra

La densidad de flujo eléctrico tiene una dirección normal a la superficie y es igual a la densidad de carga.

se puede proponer una región de frontera entre el conductor y el espacio libre

Los campos son cero dentro del conductor. El campo tangencial puede determinarse aplicando la ecuación

a lo largo de una pequeña trayectoria cerrada abcda.

trayectoria

superficie gaussiana

4.6 Condiciones de frontera (III de VI)

Sean ∆w la longitud de a a b y de c a d, y ∆w

de b a c y de d a a∆h, entonces se obtiene

Al aproximarse ∆h a cero, manteniendo ∆w pequeño pero finito∆h hace que los productos abcd sean despreciablemente pequeños.

y, por lo tanto

4.6 Condiciones de frontera (IV de VI)

condición sobre el campo normal

se considera DN en el lugar de EN y se escoge un pequeño cilindro como superficie gaussiana. Sea la altura ∆h, y el área de las tapas ∆S. Una vez más se hace tender ∆h a cero. Utilizando la ley de Gauss

integrando sobre las tres superficies diferentes

Se encuentra que las dos últimas son cero

4.6 Condiciones de frontera (IV de VI)

Las siguientes son las condiciones de frontera

que se estaban buscando para la frontera de un

conductor con el espacio libre en el caso

electrostático:

El flujo eléctrico sale del conductor en una dirección normal a la superficie y el valor de la densidad del flujo eléctrico es numéricamente igual a la densidad superficial de carga.

4.6 Condiciones de frontera (VI de VI)

4.7 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Considerando un medio isótropo homogéneo, caracterizado por una conductividad g y una permitividad

ϵ, y una densidad de carga volumétrica ρ0 (x,y,z). Si este sistema conductor se aísla repentinamente de

los campos eléctricos aplicados tenderá hacia la situación de equilibrio en la que no hay exceso de

carga en el interior del sistema del sistema. Según la ecuación de continuidad:

La constante de tiempo mide la velocidad a la cual el medio se aproxima al equilibrio

electroestático; precisamente, es el tiempo necesario para que la carga en una región determinada

se disminuya a 1/e de su valor original.

Un material alcanzara su equilibrio de distribución de carga en una aplicación especifica cuando su

constante de tiempo sea mucho menor que el tiempo característico necesario para hacer una

medida pertinente.

Para algunas aplicaciones es suficiente que la constante de tiempo sea menor que 0.1 segundo para

garantizar un comportamiento de un conductor; como la mayoría de las permitividades no metálicos

caen en un intervalo de ϵ0 a 10 ϵ0 , esto requiere un material de resistividad menor de 109 o 1010

Ωm.

4.8 MEDIOS CONDUCTORES-DIELÉCTRICOS.

Hay una analogía muy estrecha entre un sistema electroestático de conductores y dieléctricos, por una

parte, y un sistema que conduce una corriente constante, por otra.

Considerando un medio, conductor óhmico, homogéneo, bajo condiciones de conducción de estado

estacionario. Puesto que estamos tratando específicamente con el estado estacionario, la densidad de

carga local ρ (x,y,z) esta en su valor de equilibrio, y 𝜕ρ/ 𝜕t =0 para cada punto del medio. En

consecuencia la ecuación de continuidad se reduce a

La combinación de las ecuaciones anteriores da:

Ecuación de Laplace

Encontrando la solución a la ecuación de Laplace, puede determinarse E y J en cada punto del

medio, a partir del gradiente.

En la conducción en estado estacionario, la corriente que atraviesa un área de la zona interfacial entre

dos medios conductores puede calcularse en dos formas: en función de la densidad de corriente en el

medio 1 o en función de la densidad de corriente en el medio 2. Como los dos procedimientos deben

concluir al mismo resultado, la componente normal de J debe ser continua al atravesar la zona

interfacial:

O

bien

Esta ecuación es análoga a la ecuación de continuidad Dn al atravesar las zonas entre dieléctricos en

problemas electroestáticos. Puesto que el campo es estatico en cada en medio:

Para una trayectoria que liga a ambos medios y

Esta ultima ecuación muestra que es la misma para ambos tipos de problema (electroestáticos y de

conducción estacionaria)

Como un segundo ejemplo de la relación entre conducción y electroestática, consideremos dos

electrodos metálicos en un medio infinito óhmico homogéneo, de conductividad moderada g. Si los

electrodos metálicos se mantienen a los potenciales 𝜑1 y 𝜑2 , la corriente I entre ellos es:

Que define la resistencia R entre los dos electrodos. Esta corriente puede expresarse en función de la

densidad de corriente J en el medio:

Donde S es cualquier superficie cerrada que rodea completamente uno de los

electrodos. Pero:

Combinando las ultimas tres ecuaciones

Si el mismo campo eléctrico se produjera por cargas electroestáticas sobre los dos electrodos metálicos en un

medio dieléctrico, entonces por ley de Gauss,

Donde Q es la carga sobre el electrodo metálico rodeado por la superficie S y ϵ es la permitividad del

medio. En estas circunstancias, los dos electrodos formaran un condensador:

Al sustituir las ecuaciones (7-21) y (7-22) en (7-20), obtenemos

Este resultado relaciona la resistencia entre dos conductores en un medio conducto débil y la capacidad del

problema electroestático equivalente.

Esta relación es mas que una analogía entre medios

dieléctricos y conductores. También es valida para

cualquier medio que tenga conductividad g y

permitividad ϵ.

Ya que no existe un dieléctrico ideal, todo dieléctrico

real tiene una g distinta de cero, aunque sea muy

pequeña.

REFERENCIAS

• Reitz, R. J., Milford, F.J. Y Christy, R.W., (1986), Fundamentos de la

teoría electromagnética (Martínez Avila, trad.), México: Addison-

Wesley Iberoamericana (obra original publicada en 1960).

• Hayt, W.H. Jr., Buck, J.A., (2001), Teoría electromagnética (Cordero

Pedraza, trad.), México: McGraw-Hill Interamericana, (obra

original publicada en 1958).