Campo_Ele1

Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

SECCION DE FISICA

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO


Campo eléctrico y Ley de Gauss


2.1 Introducción 2.2 Objetivo general 2.3 Objetivos especifico 2.4 Campo gravitacional 2.5 Líneas del campo gravitacional 2.6 Campo eléctrico 2.7 Superposición de campos 2.8 Dipolo eléctrico 2.9 Líneas de campo eléctrico

Unidad II


2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme 2.11 Distribución continua de masa 2.12 Distribución continua de carga 2.13 Flujo eléctrico 2.14 Ley Gauss 2.15 Auto-evaluación 2.16 Solucionarlo


Después introduciremos la ley de Gauss y las ventajas que proporciona su empleo. Esta ley facilita en muchos casos el calculo de campos eléctricos, las situaciones que pueden analizarse directamente utilizando la ley de Gauss es pequeña pero que pueden realizarse con extraordinaria facilidad, en particular, simplifica mucho el calculo de los campos eléctricos cuando hay simetría en la distribución de carga.

Es justo decir que si la ley de Coulomb constituye el “caballo de batalla” de la electrostática, la ley de Gauss proporciona “perspicacia”.

De igual modo que el sol influye sobre los planetas no obstante de estar a millones de kilómetros, una carga puede ejercer una fuerza sobre otra, aun cuando estén separadas por una gran distancia.

En este capitulo presentaremos y desarrollaremos el concepto del campo eléctrico para una distribución continúa o discreta de cargas en reposo, aprenderemos algunos modos en que nos puede ser útil evaluar el campo eléctrico, así como la utilización de las líneas de campo para su representación..

2.1 Introducción


2.2 Objetivo generalProporcionar al estudiante los elementos fundamentales que estructuran y parametrizan conceptualmente la intensidad del campo eléctrico y la determinación de dicho campo generado por una distribución continua o discreta de cargas, así como, la aplicación de la ley de Gauss para relacionar el flujo eléctrico con la carga neta de un conjunto de cargas puntuales.


2.3 Objetivos específicosProporcionar al alumno los principios teóricos que relacionan el concepto de campo eléctrico con el de líneas de fuerza para sistemas de carga sencillos y así poder obtener información respecto a la dirección e intensidad del mismo a partir del diagrama trazado.

Proyectar la aplicación temática al estudio del movimiento de cargas en campos eléctricos como en el caso de los tubos de rayos catódicos.


La masa tiene una propiedad muy importante y es modificar el espacio que la rodea formando un campo, el campo gravitacional. Consideremos que la masa que engendra el campo es (M), si colocamos un cuerpo de prueba de masa (m) dentro de ese campo a una distancia r de sus centros se genera una fuerza de carácter gravitacional.

r

2.4 Campo gravitacional

FM = G M m / r

2 r

FMm = G M m / r

2 r


r

La fuerza gravitacional en la unidad de masa (m) nos da el valor de la intensidad del campo gravitacional a esa distancia r de su centro.

g = Fg/m

(N/Kg) = G

M / r2 r


Ejemplo 2.1Calcule la intensidad del campo gravitacional en la superficie de la tierra, si el radio medio de la tierra r es 6.37*106 m, la masa de la tierra M es 5.98*1024 Kg. y G (constante de Cavendish) 6.67*10-11 N*m2/Kg2.

g = -G M / r2 r = -9.8 m/s2 r^


El campo gravitacional es radial, dirigido hacia el centro, en todas direcciones e intenso cerca de la superficie, ya que la líneas de campo están mas cerca.

2.5 Líneas del campo gravitacional


La materia en su estado natural es eléctricamente neutra, si se desequilibra la carga, la materia obtiene defecto o exceso de electrones. Esa carga neta diferente de cero modifica el espacio que la rodea engendrando un campo de carácter eléctrico E. Si la carga puntual u objeto cargado que genera el campo es Q positiva y la carga que colocamos dentro del campo es Q a una distancia r de sus centros,entonces, se produce una fuerza de carácter eléctrico.

2.6 Campo eléctrico

+ + r

Q Q

FQQ

FQQ = KQQ / r2 r


EQ+

r

Q

La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de su centro.

EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2 r


FQQ

Se tiene una carga puntual Q positiva que engendra un campo eléctrico E, se coloca otra carga puntual Q positiva u objeto cargado dentro de ese campo a una distancia r de sus centros y así evaluaremos la fuerza electrostática.

+ + r

Q Q

FQQ = KQQ / r2 r


EQ+

r

Q

La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de su centro.

EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2 r


Campo eléctrico de atracción generado por una carga puntual u objeto cargado Q negativa a una distancia r.

r

r

+

E+

Campo eléctrico de repulsión generado por una carga puntual u objeto cargado Q positiva a una distancia r.

- E-

Er = K Q / r2 r (N/C)^

Er = K Q / r2 r (N/C)^

actúa en dirección radial

actúa en dirección radial


El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un protón a un distancia r = 5.3*10-11 m. ¿Cual es el campo eléctrico debido al protón en la posición del electrón?

Ejemplo 2.2

K = 9*109 (N m/C2) Q = +1.6*10-19 C r = 5.3*10-11 m

Er = K Q / r2 r

Er = 5.13*1011 r N/C^


Ejemplo 2.6.1Una carga Q de +5 C se encuentra en el origen de coordenadas. Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en el punto (1, 3) mArtan = (3/1) = 60o

El vector campo eléctrico es:

El ángulo que forma el vector posicion con la horizontal es:

El vector posición es:

X

Y

r = (12+32)1/2 = 2 m

r

E

+

Ex

Ey

Ex

Ey

E = E cos + E seni j

E = E (cos + seni j

E = (KQ/r2)(3/2 + 1/2i j

E = 11.25*103(3/2 + 1/2N/Ci j

La magnitud del vector campo eléctrico es:E = 15.37*103 N/C

(1, 3) m

r = rx + ryi j La magnitud del vector r es:

El campo eléctrico es de repulsion. Por tanto esta dirigido hacia fuera.Las componentes rectangulares del

vector campo eléctrico son:

E = Ex + Eyi j


Ejemplo 2.6.2Una carga Q = +5 C se encuentra en el origen, Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en

el punto (5, 3, 5) m

X

Z

Y

r

r = (52 + 3 + 5)1/2 = 53 mLa distancia de la carga al punto es: (5, 3, 5) m

¿POR QUE?

E

rx

ry

rz

Ey

El campo electrico es de repulsion y las componenetes del vector campo eléctrico son:

E = Ex i + Ey j + Ez k^ ^ Êl vector campo eléctrico

+

E = E Cos i + E Cosj + E Cos k^ ^ ^

¿Que significado tiene la ecuacion?

E = E (Cos i + Cosj + Cos k )^ ^ ^

E = E u

= Arcos(5/53) = 46.62o

= Arcos(3/53) = 76.24o

= Arcos(5/53) = 46.62o E = KQ/r2 = 849.06 N/C

La direccion del vector campo eléctrico es: La magnitud del vector

campo eléctrico es:

^ ^ Ê = 849.06(5/53 i + 3/53 j + 5/53 k) N/CEl vector campo eléctrico es:^ ^ Ê = 583.14 i + 202 j + 583.14 k) N/C

Ex

Ez


Ya que el principio de superposición lineal es valido para la ley de Coulomb, también es valido para el campo eléctrico. Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto producido por una serie de n cargas. puntuales la resultante es la suma vectorial de cada uno de los campos individuales.

2.7 Superposición de campos eléctricos

ET = E1 + E2 +...+ Ei +..... + En

^ ET = K(q1/r12 r1 + q2/r22 r2 +......+qi ri2 ri+.......+ qn/rn2 rn)^ ^^

ET = K qi ri2 r


En la figura dibujar el campo eléctrico resultante en el punto(*) debido a una carga Q1 positiva y dos cargas negativas Q2 y Q3.

E1 + E2 + E3

Ejemplo 2.3 E1

E2

E3

E1 + E2

+

*

-

-

Q1

Q2

Q3


Se tiene una carga Q1 positiva en el punto (x1,y1) y una carga Q2 negativa en el punto (-x2,y2). a) ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en el punto (x,y)? b) Si Q1 = +2 C y esta en (2,1) m, Q2 = -4 C y esta en (-1,3) m. ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en el punto (5,5) m?

r1 ={(x1 x)2y1 y)2}½ = 25 m = 5 m

Ejemplo.2.4

r2 ={(x2 x)2y2 y)2}½ = 210 m r2

r1Q2 (-1,3)-

Q1 (2,1) +

y

x


Trazamos un marco de referencia x,y en el punto donde se va a evaluar el campo

eléctrico.

Dibujamos las componentes del campo eléctrico en el eje x y en el eje y.

x

y

Dibujamos la dirección de los campos.

E1x

E2y

E2x

E1y

Q1 (2,1)+

Q2 (-1,3)-


Cos= (xx1) / r1 = (52) / 5 = 3 / 5Sen

= (yy1 ) / r1 = (51) / 5 = 4 / 5

Cos=(x(x2)) / r2 = (5(1)) / 40= 6 /10=3/10 Sen=(yy2 ) / r2 = (53) / 40= 2

/2=1/10

r1

r2

y

x

Q2 (-1,3)-

Q1 (2,1)+


E1y

E1xE2x

E2y

Q1 (2,1)+

Q2 (-1,3)-


E1y

E2x

E2y

Ahora sumamos campos en sus respectivas componentes.

E1x

Ex = (E1x E2x) = (E1 CosE2

CosEy = (E1y E2y)

= (E1 SenE2 Sen

jii

j


E = (x2 + y2) E

= ((-421.8)2 + 291.42)½ = 512.67 N/C

Ex = K(Q1 Cosr12Q2

Cosr22)iEy = K(Q1 Senr12 Q2 Senr22) j

^^

Ex = 9*109 (2*10-6 * (3/5)/25 – 4*10-6 * (3/1040 Ex = -421.8 N/C Ey = 9*109 (2*10-6 *

(4/5)/25 – 4*10-6 * (1/1040) Ey = 291.4 N/C

E =(-421.8 i + 291.4 j)^ ^La magnitud del campo es:

Dirección del campo= Artan (y / x) = -34.64° = 145.36°


Un dipolo consta de dos cargas de igual magnitud pero de signos contrarios separadas una distancia d = 2a. Si las cargas son +5 C y -5 C respectivamente, la separación entre la cargas es de 20 cm y el punto de la bisectriz es de 50 cm. Encontrar el campo eléctrico en el punto sobre la bisectriz.

r = (y2+a2) = 0.51 cm Cos= a/r = a/(y2+a2)

Sen= y/r

2.8 Dipolo eléctricoDescomponemos los vectores campo eléctricos en sus componentes x,y

Trazamos el marco referencia X,Y en el punto donde vamos a evaluar el campo.

Ey = ((Ey)-(Ey)) = 0j Dibujamos la dirección de los campos

Ex = ((Ex)+(Ex)) i

r r

Y

y

X

E+

E-

-y

Ex + Ey

E+y

2a


Ex = K (Q Cos/ r2 Q Cos/ r2)i

Ex = 2 (K Q Cos/ r2) i

^

Ex = 2(K Q a / (y2 + a2)3/2) i

E = K(Q2a) / ((y2 + a2)3/2) i

P = Q2a = momento dipolar eléctrico

Ex = 67886.35 i N/C^


Se tienen tres cargas de igual magnitud q que forman un triángulo equilátero de lado 2L. Si q1 es positiva y esta en el punto (0,0), q2 es positiva y se encuentra en (2L , 0) m y q3 es negativa y esta en (L , L) m. Encuentre a) La magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. b) Si q = 2C y L = 50 cm Cual es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo.

r1 = r2 = r3 = r Cos= L / r

r = L / (Cosr = L / (3/2)

r = 2 L / 3

r1

r3

r2

Ejemplo.2.5

E1 E2

E3

+q1 +q2

- q3

2L


Y

E1 E2

E3

X E2x E1x

E1y E2y

x = (E1x - E2x) = 0i

+q1 +q2

- q3

y = (E1y + E2x +E3) j

r1 = r2 = r3 = r Cos= L / r

r = L / (Cosr = L / (3/2)

r = 2 L / 3


Êy = (3/4)(Kq/L2) (1/2 + 1/2 +1) j = (3/2)(Kq/L2) jEy = K (q/r2 Sen+ q/ r2 Sen+q/r2)jÊy = (3/2)Kq/L2 j = 1.08*105 j N/CÊx = K (q1 /r2 Cos q2 /r2 Cos= 0i

E1 E2

E3

E1y E2y

+q2

- q3

X

Y

E2x E1x

ArTan (Ey / Ex) =Artan (Ey / / 2

r = 2L / 3

+q1


E1 = E2r q1 r1 q1 = r1 q2r2 = r r1 = 0.33 mr = r1 + r2r q1 = r1 q2 + r1q1r1 = r q1 / (q2 +q1) = 0.67 mq1 / r1 = q2 / (r r1) ^E1 = 81.0 i N/C E2 = -81.00 i N/C^q1 / r12 = q2 / r22 q1 / r12 = q2 / (r r1)2 Kq1 / r12 = Kq2 / r22

Se tienen dos cargas positivas de 4*10-9 C y 1*10-9 C, separadas una distancia r de 1 m. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une sus centros el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo?

Ejemplo.2.6

r1 r+

q1

+

q2

E2

r2

E1Si q1 > q2

r1 r2

r


q1 / r12 = q2 / r22 r q1 + r1 q1 = r1 q2q1 / r12 = q2 / (r + r1)2 r1 = r q1 / (q2 q1) = 0.5 mq1 / r1 = q2 / (r + r1) E1 = E2r q1 = r1 q2 r1 q1^E1 = -36. i N/C E2 = 36 i N/C^r2 = r1 + r = 1.5 mKq1 / r12 = Kq2 / r22

Se tiene una carga positiva de 1*10-9 C y otra negativa de –9*10-9 C separadas una distancia de 1 m. ¿En que punto a lo largo de la recta que une sus centros diferente del infinito el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo?

Ejemplo.2.7

r2 r1 r+

q1

-

q2

E1 E2

r2

r1 r

Si q1 < q2


Ejemplo.2.8Se coloca dentro de un campo eléctrico E una esfera de

carga q y masa m, suspendida de una cuerda de longitud l y masa despreciable, cuando esta en equilibrio forma un

ángulo con la vertical. a) ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda? b) Si la masa de la esfera es de 1gr, el ángulo es 30° con la vertical

cuando esta en equilibrio y el campo es: E = (-10 +20 )*104 N/C j^

i


Y

m,q

l

X

Fy

Tx

Ty

Fx

F

E = Ex + Ey ji

m,q

l

T

W


q = mg Tan/Ey Tan+Ex ) = 26.26 nC = 26.26*10-9 Cmg Tan= qEy Tan+Ex )W Tan–Ey qTan=Ex q W Tan=Ey qTan+Ex qDividimos 1 en 2 Tan=Ex q / (W Ey q)

1) T Sen=Ex q

2) T Cos= W Ey q

T =Ex q / Sen=5.252N

Fy = (T Cos+ Fy W ) = (T Cos+Ey q W) = 0 j j

Fx = (T Sen Fx) i = (T SenEx q) i = 0 ^ ^


Miguel Faraday, en 1840 introdujo el uso de las líneas de campo, creía que eran reales y las dotó de propiedades elásticas, casi se pueden “sentir” las líneas, jalando las cargas para que se junten o empujándolas para que se aparten. Aun cuando desde el punto de vista moderno las líneas de campo no son reales, ayudan a visualizar el campo que si es real.

La intensidad del campo es proporcional a la densidad de las líneas, esto es, el campo es proporcional al numero de líneas que pasan a través de un área normal a la dirección del campo N = E ALas líneas de campo también proporcionan información sobre la intensidad del campo. Las líneas de campo están mas juntas donde el campo es intenso y mas separadas donde es débil.

2.9 Líneas de campo eléctrico


4) La intensidad del campo es proporcional a la densidad de líneas de campo, es decir, al numero de líneas por

unidad de área. N = E A

Propiedades de las líneas del campo electrostático2) El numero de líneas que se originan o terminan en una carga es proporcional a la carga. N Q

3) La dirección del campo en un punto es la dirección de la tangente a la línea de campo.

Las líneas de campo electroestático siempre parten de las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.

5) Las líneas de campo nunca se cruzan.


+

Las líneas de campo son radiales salen de la carga en todas direcciones.

Líneas de campo de una carga positiva.


-

Las líneas de campo llegan a la carga de todas direcciones.

Líneas de campo de una carga negativa.


+++++++++++

-----------

Líneas de campo en unas placas planas y paralelasSe puede considerar uniforme el campo dentro de las placas, ya que la líneas de campo son paralelas.


Las líneas de campo salen de la carga positiva hacia la negativa o hacia el infinito

E+

E-

E

-+

El campo eléctrico es tangente a la línea de campo.


++

Líneas de campo de dos cargas positiva


Se lanza un electrón con una velocidad inicial en la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de las placas sale el electrón?

Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia y y de longitud x.

2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme

VO

- - - - - - - - - -

x

y

+ + + + + + + + + +


El movimiento en el eje X es uniforme, ya que no hay componente horizontal del campo. La distancia que recorre el electrón a lo largo del eje X. Para este tiempo la distancia vertical que recorre el electrón, con movimiento uniforme acelerado. y(t) = voy t + ½(E-)(-q)/m t2y(t) = ½(Eq/m)(x/vo)2

Como F = m a. y F = E q

La velocidad horizontal es constante vo = vXLa velocidad del electrón al salir de las placas v = vox + vy ji

a = E (q / m)

La velocidad vertical al salir de las placas es

x = vo t t = x / vo

La posición del electrón al salir de las placasr = x i + y j ^ vy = voy +{(E-)(q-)/m}t vy = (Eq /m) t

La dirección al salir de las placas = Artan (vy / vx)


Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme de 1600 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia de 2 cm y de longitud de 4 cm.

Se lanza un electrón con una velocidad inicial v0 = 6*106 m/s en la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de la pantalla incide el electrón?

a una distancia L de 6 cm de las placas se encuentra una pantalla s

Ejemplo 2.9

vO

- - - - - - - - - -

x

y

+ + + + + + + + + +

L

S


Para este tiempo la distancia vertical que recorre el electrón, con movimiento uniforme acelerado.

y(t) = ½(Eq/m)(x/vo )2 = 0.90 cm

La posición del electrón al salir de las placasEl tiempo para la distancia horizontal recorrida es: x = vo t t = x / vo = 8 ns =

8*10-9 s

- - - - - - - - - -

x

y

+ + + + + + + + + + r = (4 i + 0.9 j ) cm ^ ^


La velocidad vertical al salir de las placas es vy = (Eq /m) t = 2.25*106

m/s

La velocidad horizontal es constanteLa velocidad del electrón al salir de las placas es:El electrón pega en la pantalla S h = L * tan = 2.7 cm

La dirección al salir de las placas = Artan (vy / vx) = 24.23°v = (5 i + 2.25 j )*106 m/s^ ^

h

L

- - - - - - - - - -

x

y

+ + + + + + + + + +

L

Svox

voy


Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos separadas una distancia X de 4 cm existe un campo eléctrico E uniforme de 4*104 N/C dirigido a lo largo del eje X.

De la placa negativa parte del reposo un electrón (me = 9.1*10-31 Kg., q = –1.6*10-19 C) y simultáneamente de la placa positiva sale del reposo un protón (mp = 1.67*10-27 Kg.; q = +1.6*10-19 C). ¿cuál es la velocidad de cada partícula cuando se cruzan?. ¿En donde se cruzan?

Ejemplo.2.10

+++

-

--

X

+-


X = ½(Eqp / mp)t2 + ½(Eqe / me)t2 t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2 xp = ½(Eqp / mp)t2 ; xe = ½(Eqe / me)t2 X = ½Eq (1/ mp + 1// me)t2 X = xp + xe

xp = X me / (me + mp ) = 2.178*10-3 cm xe = X mp

/ (me + mp ) = 3.9978 cm X = 0.002178 cm + 3.9978 cm = 4 cm

+++

-

--

X

+-


El tiempo cuando se cruzan es :t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2 = 3.37*10-9 s

+++

-

--

X

+-

vfp = vop + (Eqp/mp) * t = 12921.74 m/s i vfe = voe + (Eqe/me) * t = 23.71*106 m/s i

^^


Podemos seleccionar un elemento suficientemente pequeño de volumen (dV) que contenga un elemento infinitamente pequeño de masa (dm). Si el elemento de masa (dm) se distribuye en el volumen (dV) uniformemente, la densidad de masa se define: = dm/dV

Cualquier masa la podemos representar como la suma de un numero infinito de masas que se pueden considerar puntuales M = mi. Por ejemplo, empleamos la densidad continua de masa para describir un estado de la materia que en realidad se compone de un gran numero de moléculas discretas.

Normalmente resulta sencillo hallar un volumen (V) suficientemente grande que contenga muchos elementos de masa individuales o moléculas M = mi. Si la masa (M) se distribuye en el volumen (V) se define: = M / V

Densidad volumétrica de masa (2.11 Distribución continua de masa

= dm / dV= M / V


Si la masa (M) se distribuye uniformemente en toda el área (A) se define la densidad superficial de masa= M / A.

b

a

= M / A

Densidad superficial de masa


Este elemento infinitesimal de área (dA) tiene un elemento infinitesimal de masa (dm); la distribución superficial de masa se define:

= dm/dA = dm/(b da)

b

= dm/dA= dm/(b da)

da


L

Si la masa (M) se distribuye en una longitud (L) de manera uniforme se define la densidad lineal de masa:

= M/L

M

= M / L

Densidad lineal de masa


= dm/dl

La distribución lineal de masa se define como la relación de un elemento infinitesimal de masa (dm) en un elemento infinitesimal de longitud (dl) = dm/dl

dl

dm


2.12 Distribución continua de cargaPor analogía cualquier carga la podemos representar como la suma de un numero infinito de cargas

infinitesimales que se pueden considerar puntuales Q = qi

L+ + + + + + + + + + + + + + +

Distribución lineal de carga

= Q / L


= dQ / dl

dl

dQ


b

a

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

= Q / A

Distribución superficial de carga


+ + + + + + + + + + + + + + + +

b

da

= dQ /dA = dQ / (b*da)


Densidad volumétrica de carga (

= dQ / dV= Q / V


Una colección de forma regular o irregular de partículas puntuales cargadas representa una distribución continua

de carga Q = qi.

Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto producido por una distribución continua de carga.

Este elemento dq produce un elemento infinitesimal de campo dE a una distancia r.

Sumando todas las contribuciones de los elementos infinitesimales de campo dE

Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de carga (dq) que esta a una distancia r del punto donde se

va a evaluar el campo eléctrico.

dE = (K dq / r2) r

El campo eléctrico dE producido por un dq es:

E = (K dq / r2) rQ = qi Q = qi dq

r

dE


Se desea encontrar la intensidad del campo eléctrico a lo largo del eje de un hilo (delgado aislante) a una distancia (d) de uno de sus extremos y con una densidad lineal de

carga uniforme .

Dividimos el hilo en pequeños elementos infinitesimales dq cada uno de longitud dl (dx), y escogemos

arbitrariamente un elemento

Ejemplo 2.11 Campo eléctrico debido a una hilo cargado

X

Y

d

L+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +


Este es el campo eléctrico dE producido por un elemento dq, ahora, sumamos todos los dE.

EZ = 0 ; ; EY == 0

dEx = K dq / r2; dq = dl = dx

dEx = K dx / x2

X

Y

2r 2r

Este elemento infinitesimal tiene carga dq, longitud dl, se encuentra a una distancia r del punto donde se va a

encontrar el campo y genera un campo eléctrico dE.

dqdl

r = x dEx+ +


Ex = K Q / (d (l + d))

X

Y

d Ex

Ex = K dx r2 x varia entre d y d + l Ex = K (1/(d + l) – (1/d)

L+ + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +


Ejemplo 2.12 Campo eléctrico sobre la mediatriz debido a una barra cargada

Determinar cual es la intensidad del campo eléctrico sobre la mediatriz de un hilo delgado, aislante con una densidad lineal de carga uniformemente distribuida.

Se desea encontrar el campo eléctrico a una distancia x sobre la mediatriz de la barra

Z

Y

X

++++++++++++++++

x


r

Z

Y

Z

Y

X

Estos elementos infinitesimales, simétricos tienen longitud dy, carga dq, están a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y

generan un campo eléctrico dE.

dq

dE dEy dEx

dy

+

+

EY = 0 ; EZ = 0 x

dEx = dE Cos i


Este es el campo eléctrico producido por un dq, Sea y = x Tandy =x (Sec2d

reemplazamos, resolvemos, sumamos la contribución de todos los dE y obtenemos:.

Ex = (K /x) Cosd varia entrey

Z

Y

XdEx

+

dEx = (K dq / r2) Cosdq = dl = dy r = (x2+y2)1/2 ; Cos = x / r

dEx = K ( dy)x / (x2+y2)3/2

x

r


++++++++++++++++

x

Ex = / 2x Ex


Se desea encontrar cual es la intensidad del campo eléctrico en el eje central de un anillo que tiene una carga

uniformemente distribuida.

Ejemplo 2.13 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme

Q

Se tiene un anillo de radio R carga

R


Y

Z

+

+

dq

dEdEy dEx

EZ = 0 ; EY = 0

Y

Z

Xx

r

Sea un elemento dq, que se encuentra a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y

que genera un campo eléctrico dE.

Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del anillo.

dEx = dE Cos i


El campo eléctrico de un elemento dq es. dEx = K (R d) x / (x2+ R2)3/2

dEx = (K dq / r2) Cosdq = dl = (R dr

= (x2+R2)½ ; Cos = x / r

Ex = K Q x / (x2+ R2)3/2 Ex = K R x / (x2+ R2)3/2 d varia

entre2y0Ex = K *

Q * x / (x2+ R2) 3/2

El campo eléctrico de la contribución de todos los elementos dq es.

Ex = (K R x(x2+ R2)3/2 d)

+

+

r

Y

Z

XEx

x

dl

d


Encontrar la intensidad del campo eléctrico de una placa no conductora sobre el eje central en un punto z, la placa tiene una densidad superficial de carga uniformemente

distribuida.

Tenemos el campo eléctrico de un hilo a una distancia z.

Ez = /(z).Dividimos la placa en hilos luego sumamos todos los hilos y encontramos el campo

eléctrico de la placa.

Ejemplo 2.14 Campo eléctrico de una placa carga uniformemente

X

Y

Z

x

y

Q +


La tira tiene un área dA, el elemento de carga dq genera un elemento de campo dE, y se encuentra a una

distancia r del punto donde se va a encontrar el campo eléctrico.

Z

X

r

dEz

dA = y dx

dq

dx y

Y

Ey = 0 ; Ex = 0

dE

dEx


X

Z

Y

r

dE dEz

Vista en dos dimensiones

dx

Ey = 0 ; Ex = 0

dEx


La distribución superficial de carga para la placa Q / A

para un elemento infinitesimal

= dq / dA = dq / (y dx)

dx = dq / y =

y

dq

= dq / y

Este dA tiene un elemento infinitesimal de carga dq, entonces, la densidad lineal de carga es: = dq / y


X

Z

Ez

dEz = (z /2) (dx/r2)

dEz = (/(2r)) Cos= dx ; Cos = z / r

r = (x2+z2)1/2

dEz = (z2))(dx/(x2+ z2))

Tenemos el campo eléctrico de una tira, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos para encontrar el campo eléctrico

dEz = dE Cos k

Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIAX

Y

Z

dEz = (z 2)) (dx / (x2+z2))

Ez = (z(2)) (dx/(x2+z2))

Ez = (z2)) (dx/(x2+z2))

Ez = (z/2))(1/z Artan(x/z))

Ez = (2


R

Q

R

Ejemplo 2.15 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente

daa

a da

Q

R

a

Encontrar la intensidad del campo eléctrico sobre el eje central de un disco de radio R con una densidad

superficial de carga uniformemente distribuida.

El elemento infinitesimal de área dA esta a una distancia a del centro.

Se divide el disco en elementos de área dA, cada uno de estos dA tiene un elemento de carga dq.


+++++++++++

Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del discoEscogemos un elemento de área dA, de radio a,

que se encuentra a una distancia r del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y que

genera un elemento de campo dE.+++++++++++

a

Y

Z

X

dq

dA

=ada

r

dE

Y

Z

dEy

dEx

Ez = 0 ; Ey = 0x


dEx = Kxada / (x2+a2) 3/2 Campo eléctrico de un elemento, ahora,

sumamos la contribución de todos los elementos.

dEx = (Kdq/r2) Cosdq = dA= ada) r = (x2a2)1/2 Cos

= x / r

Ex = Kx2ada / (x2+ a2)3/2 sea u =

(x2+a2) du = 2 a da Ex =

Kx du u3/2

x = R ; x = 0

+++++++++++

+++++++++++

a

Exx

^dEx = dE Cosi

Ex = (/(x x2R2


Tan(qE) / WTanq) / (W 2)Artan{q) / (W 2)} = 30°Tanq (/2 / WTanFe / W

W

Fe

Una pequeña esfera de masa (m) de 2 gr tiene una carga q de 20*10-9 C y esta sujeto al extremo de un hilo de seda de 10 cm longitud. El otro extremo del hilo esta sujeto a una gran placa conductora vertical que tiene una carga superficial de 10*10-6 C/m2Hállese el ángulo que

forma el hilo con la vertical.

Ejemplo 2.16

l

+


Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891), físico alemán especializado en electrodinámica. Weber escribió en 1824 un tratado sobre el movimiento ondulatorio junto con su hermano, colaboró con Gauss en el estudio del geomagnetismo, durante ese tiempo conectó con dos laboratorios mediante el telégrafo eléctrico desarrolló varios instrumentos para medir la corriente eléctrica, en especial el electro-dinamómetro para mediciones absolutas.

Wilhelm Eduard WeberEn su trabajo más importante determinó, junto con Kohlrausch, la relación entre las unidades de carga electrostáticas y electromagnéticas (constante de Weber). Esta relación resultó ser igual a la velocidad de la luz, y fue utilizada más tarde por James Clerk Maxwell para defender su teoría electromagnética. La unidad SI del flujo magnético se denominó weber.


El campo electrostático debido a una distribución continua de carga siempre puede encontrarse usando la ley de Coulomb aunque el calculo requerido pueda ser complicado.

La ley de Gauss es una afirmación general sobre las propiedades de los campos eléctricos y no esta restringida a los campos electrostáticos como la ley de Coulomb. Cuando una distribución de carga tiene suficiente simetría, la ley de Gauss puede proporcionar un camino elegante para determinar el campo electrostático en unos pocos pasos simples.

El flujo es una propiedad de cualquier campo vectorial, resulta conveniente considerar el flujo de un campo vectorial determinado como si fuese una medida del flujo o intensidad de penetración de los vectores de campo a través de una superficie fija imaginaria en el campo.

Carl Gauss expreso el concepto de líneas de campo en forma cuantitativa e introdujo una cantidad llamada flujo para elaborar la imagen de las líneas que “fluyen” a través de una superficie cerrada.

2.13 Flujo eléctrico


El flujo eléctrico se representa por medio de líneas de campo eléctrico que atraviesan algunas superficies (= . Cuando la superficie que se esta cruzando encierra una carga neta. el numero de líneas que traspasan la superficie es directamente proporcional a la carga dentro de la superficie Q

El flujo eléctrico es directamente proporcional al campo eléctrico y al área normal An de la superficie atravesada por las líneas de un campo eléctrico uniforme..

E An = En A = E A Cos= A E


E A

A

Consideremos una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme E. Colocamos dentro del

campo una superficie plana en distintas posiciones para observar cual es el flujo eléctrico neto que atraviesa la

superficie.

El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo.

= E An = En A = E A Cos= A E


Se tiene una superficie regular de área cerrada, dividida en elementos infinitesimales dA inmersa dentro de un campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo neto que atraviesa la superficie.

El flujo eléctrico eque atraviesa la superficie cerrada A es :ei= En dA = En dA= EdA Cos e = EdA

e = EdA

Área

dA

E


ei= En dA = En dA= EdA Cos e = EdA

e = EdA

A

dA

E

Considere una superficie irregular de área cerrada, dividida en elementos infinitesimales dA colocada en un campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo neto que atraviesa la superficie.

El flujo eléctrico eque atraviesa la superficie cerrada irregular A es:


+

e= EdA

El flujo eléctrico eque atraviesa cualquier superficie cerrada es independiente de la superficie que encierra a la carga.

Supongamos que tenemos una carga positiva Q con sus líneas de campo. Cerramos la carga en diferentes superficies cerradas.


Consideremos un cilindro cerrado hipotético de radio R inmerso en un campo eléctrico uniforme E, siendo el eje del cilindro paralelo al campo. ¿cuál es el valor del en esta superficie cerrada?

Ejemplo 2.17

EE A A

A

= E An + E An + E A = E A Cos 180° + E A Cos 0° + E A Cos 90° = E A + E A + 0 = 0


Ejemplo 2.18Una superficie cerrada tiene dimensiones a = b = 0.4 m y c = 0.6 m el campo eléctrico por toda la región no es uniforme y esta dado por E = (3 + 2x2)i N/C donde x esta metros. ¿cuál es la carga neta encerrada por la superficie?

X

Y

Z

a c

X

Y

Z

a

b

a


X

Y

Z

a

b

a

Flujo eléctrico que

entra=sEdA =E A e = (3.0 + 2.0x2) (ab) e = {3.0 + 2.0 (0.4)2} (0.4*0.4)

e = 0.5312 (N/C)m2


c

b

a

X

Y

Z

a

Flujo eléctrico que

sale=sEdA =E A s = (3.0 + 2.0x2) (ab)

s = {3.0 + 2.0(0.4 +

0.6)2} (0.4*0.4) s = 0.8 (N/C) m2


X

Y

Z

a c

X

Y

Z

a

b

a

n = s e = 0.2688 (N/C)m2

n = Q / Q = n = 2.38 PC


Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo eléctrico (/4) de la carga pasa por el disco entonces R = 3b.

r

Ejemplo 2.19

R

+

b

E

Ra

Cos = b/r r = (b2+a2)1/2

Seleccionamos un elemento de área dA = 2ada

dA = 2ada

e EdA = Q/


e= KQ / r2)2ada) ; r = (b2+a2)1/2 e=KQ / (b2+a2))2ada)

CosCos= b / r = b / (b2+a2)1/2 e = KQ / (b2+a2)) 2ada) (b / (b2+a2)1/2) e = KQb) 2ada) / (b2+a2)3/2 sea u = a2+b2 du = 2ada e = KQb) du/u3/2)) ; a = R y a = 0 e = (2KQb) {1 / b – 1 / (R2+b2)1/2}

Como (e / 4) = (Q / ) (1/4)

4Q / = (2KQb)(1 / b – 1 /

(R2+b2)1/2) (1 / 4= (2K){1 b / (R2+b2)1/2} {1- b / (R2+b2)1/2} =

1/2


b /(R2+b2)½ = ½ : b2 /(R2+b2) = 1/4 4b2 = R2+b2 ; R = 3b


Johann Karl Friederich GaussGauss, Carl Friedrich (1777-1855), matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo.

Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes.

Descubrió el método de los mínimos cuadrados, lo que le permitió calcular la órbita de Ceres; formulo métodos de calculo que sirvieron a Leverrier y Adams en el descubrimiento de Neptuno. Trabajo en el magnetismo terrestre; calculo la ubicación de los polos magnéticos y diseño una escala de unidades para medir esta clase de fenómenos y contribuyo al progreso de la telegrafía electromagnética.


e=EdA = E(r)Ae= (1/(4Q / r2)*(4r2)

e = Q /

+

2.14 Ley GaussEncerramos la carga Q en una esfera (superficie hipotética cerrada) de radio r y de elementos

infinitesimales dA

Sea una carga Q positiva que genera un campo eléctrico E.

dA

dA

e = EdA = Q /


El campo eléctrico (E) de una partícula puntual es inversamente proporcional a la distancia (r) al cuadrado. E r2 E = (1 /

4Q / r2) El área (A) de una esfera es directamente proporcional a su radio r al cuadrado. A r2

A = 4r22

El producto E A = Q / , es independiente de la superficie que encierra a la carga neta, entonces el flujo depende únicamente de la carga neta encerrada.

Se selecciona el elemento infinitesimal de área (dA) paralelo al campo eléctrico (E) para que la magnitud de este sea constante sobre esa parte de la superficie.

Ley de Gauss EdA = Q / .


+

Ejemplo 2.20 Campo eléctrico de una partícula puntual

El campo eléctrico E esta dirigido en todas direcciones, encerramos la carga (Q) en una superficie hipotética cerrada de tal manera que el campo eléctrico sea el mismo en cualquier punto de la superficie.

dA

La ley de Gauss es:

EdA = Q /

Donde E es el campo debido a la carga puntual Q u objeto cargado, dA es un elemento de la superficie hipotética y Q es la carga neta encerrada en la superficie.

EdA = ECosdA =

E(r)Q / E(r) (4r2)Q /

E(r) Q / (4r2= KQ / r2

E(r) KQ / r2 r


+

Si colocamos una carga de prueba q positiva dentro del campo generado por la carga Q a una distancia r.

+

E(r) q =KQ q / r2) r = F^E(r) KQ / r2) r

Encontramos la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss


Ejemplo 2.21 Campo eléctrico debido a una hilo cargado

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Envolvemos el hilo en una superficie (gaussiana hipotética) cilíndrica de radio r, longitud L, de tal manera que el área transversal sea perpendicular a las líneas de campo.

Queremos encontrar el campo eléctrico de un hilo que tiene una densidad lineal de carga a una distancia r.

E = / (2r)

dA

En las tapas transversales el flujo es cero, puesto que, E A, únicamente hay flujo eléctrico por el área lateral.

EA = Q/ E(2r L) = L /

EdA = Q /

Sea un hilo que tiene una densidad lineal de carga que produce un campo eléctrico perpendicular al eje del hilo.


Ejemplo 2.22 Campo eléctrico de una placa cargada uniformemente

Se desea encontrar el campo eléctrico producido por una placa plana no conductora que tiene una densidad superficial de carga uniforme .

E

E = / 2

S. hipotética 1S. Gaussiana 2

EdA = Q / . =E 2 A = A /

Consideremos una placa plana con una distribución uniforme de carga que engendra un campo eléctrico E y unas líneas de campo perpendiculares a la superficie.

Construimos superficies (cilindros hipotéticos) a lado y lado de la placa, de tal manera que el área transversal sea paralelo a las líneas de campo.


Colocamos cerca de la superficie del balón dos esferas conductoras descargadas e introducimos una tercera esfera conductora cargada positivamente.

Prueba experimental de la ley de Gauss

+ + +

Supongamos que tenemos un balón de cobre eléctricamente neutro con un orificio en la parte superior y aislado de tierra.


+ + +

A medida que la esfera cargada se introduce en el balón. las esferas conductoras y el balón permanecen eléctricamente neutros.


+

+

+ +

+

+

++

+++

+

+

+

-- + +

Cuando la esfera cargada hace contacto con el balón, se transfieren electrones del balón hacia la esfera quedando este con defecto de electrones y la esfera eléctricamente neutra, en tanto que, en las esferas conductoras se produce una inducción de carga.

Esto muestra que cualquier carga transferida a un conductor reside en su superficie en equilibrio electroestático.


+

+

+ +

+

+

++

+++

+

+

+

+

-- + +

Retiramos la esfera, la carga en el balón se distribuyo inmediatamente en su superficie y las esferas permanecen con carga inducida.


+

+

+ +

+

+

++

+++

+

+

+

+

-- + +


+

+

+ +

+

+

++

+++

+

+

+

+

-- + +

Ahora podemos llevar el balón y cada una de las esferas por separado a un electroscopio para constatar efectivamente la presencia de carga eléctrica.


A hora con el balón cargado y aislado de tierra, vamos a introducir dos pequeñas esferas conductoras descargadas

Si llevamos las esferas a un electroscopio podemos observar que estas permanecen descargadas, es decir, en el interior del balón conductor no hay carga neta para inducir carga en las esferas conductoras.

Colocamos las esferas en el interior del balón y luego las retiramos

+

+

+ +

+

+

++

+++

+

+

+

+


Cuando una carga neta se coloca sobre un conductor, esta se distribuye por si sola sobre la superficie de una manera tal, que el campo eléctrico interior es cero, entonces dentro de un conductor en equilibrio electrostático la ley de Gauss indica que no puede haber carga neta dentro del conductor.

CONCLUSION


b) E = / (2/ (2 = c) E = / (2–/ (2 =0 a) E = / (2/ (2

Se tienen dos laminas conductoras con densidad superficial de cargas iguales pero de diferente signo. Calcule el campo eléctrico a) a la derecha de las placas b) en el centro de las placas c) a la izquierda de las placas.

+ + + + +

- - - - -

Ejemplo 2.23

E = 0 E =

E = 0


2.15 Auto-evaluación


Dibuje la suma vectorial de la intensidad del campo eléctrico en el punto Ejercicio 2.1

+

-

+


Dos cargas positivas de igual magnitud están en los puntos (-a,0) y (a,0). Encuentre la magnitud y la dirección del campo en el punto (0,a ). Si las cargas son de +5 C, y a es 50 cm. Cual es la magnitud y la dirección del campo

Ejercicio 2.2

R) 63639.6 N/C y 90°


Se tienen tres cargas de igual magnitud Q que forman un triángulo equilátero de lado L. Si Q1 es negativa y esta en el punto (0,0), Q2 es positiva y se encuentra en (L,0) m y Q3 es negativa y esta en (L/2,L) m. Encuentre a) La magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. b) Si Q = 2 C y L = 50 cm Cual es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo.

Ejercicio 2.3

R) 4.32*105 N/C y – 30°


Se tienen tres cargas Q1 es positiva y esta en el origen, Q2

es negativa y esta en el punto (0,a). Q3 es negativa y esta en el punto (a,0) a) ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo en el punto (a,a)? b) Si Q1 es +1 nC, Q2 es -2 nC y Q3 es -3 nC si a es 2 cm. ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto (2,2) m?

Ejercicio 2.4

R) 70128.02 N/C y = 58.11°


Una carga Q1 negativa esta en el punto (-a,0) mientras Q2

es positiva y esta en el punto (a,0). Encuentre a) La intensidad del campo eléctrico la dirección en el punto (2a,a) y b) Si a es 10 cm, Q1 es 20 nC, Q2 es 10 nC ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto (20,10) cm.

Ejercicio 2.5

R) 3000.05 N/C y = 60.56°


Se tienen dos cargas puntuales negativas separadas una distancia r. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une las cargas el campo neto es cero. Si q1 = -1 nC, q2 = -16 nC y la separación de las cargas es un metro. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une las cargas el campo neto es cero?¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico?

Ejercicio 2.6

E1 =(Kq1/r12) i = 225 i N/C ; E2 = (Kq2/r22) i = -225 i N/C ^ ^^ ^


Una esfera conductora de masa m, carga +Q, se suspende de una cuerda de masa despreciable y longitud l. Se coloca dentro de un campo eléctrico uniforme dirigido en la dirección –i y forma un ángulo con la vertical cuando esta en equilibrio. ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?. Si la masa es de 10 gramos, el campo eléctrico es de 2000 N/C y el ángulo cuando esta en equilibrio es de 37° ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?.

Ejercicio 2.7

R) Q = 3.69*10-6 C y T= 0.123 N


Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signo opuesto existe un campo eléctrico uniforme de 2000 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia y de 2 cm y de longitud x de 3 cm. Se lanza un protón en un punto equidistante entre las placas con una velocidad inicial de 6*104 m/s. ¿Sale de las placas, en que posición y con que velocidad o pega en la placa, en que posición y con que velocidad?

Ejercicio 2.8


Ejercicio 2.9Una hilo aislante cargado uniformemente, de longitud l de 50 cm se dobla en forma de semicírculo, si el hilo tiene la mitad de carga positiva de +50 nC y la mitad de carga negativa de –50 nC, encuentre la magnitud del campo en el centro del semicírculo.

R) E = 11309.7 N/C


Ejercicio 2.10Una barra aislante como la figura tiene una longitud de 70 cm de largo, una carga negativa de –50 nC distribuida uniformemente a lo largo de su longitud. a)¿cuál es la densidad lineal de carga? b) ¿calcule el campo eléctrico en un punto a una distancia de 5 cm del extremo de la barra?

d L

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

R) Ex = –12000 N/C


Ejercicio 2.11

++++++++++++++++

x

En la figura, la barra aislante tiene una longitud de 70 cm de longitud, a una distancia de 20 cm del eje que pasa por el centro de la barra se genera un campo eléctrico de 12000 N/C. a) ¿cuál es la densidad superficial de carga? b) ¿cuál es la carga?

R) Q = 93.33 nC


Ejercicio 2.12Un anillo tiene una densidad lineal de carga de –25 nC/m y un radio R de 10 cm. ¿Encuentre el valor del campo a una distancia R de 10 cm del eje que pasa por el centro del anillo?.

R) Ex = 4998.89 N/C


Ejercicio 2.13Un pedazo de 10 gr de estireno tiene una carga neta q de –0.700 C y flota sobre el centro de una lamina horizontal de caucho que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿cuál es la carga en la unidad de área de la lamina de caucho?. Si la carga Q de la lamina es de 5 C ¿cuál es el área de la lamina?

R = -2.48 C/m2 y A = = m2


Un disco cargado uniformemente tiene una densidad superficial de carga de 10*10-9 C/m2 y un radio R. ¿calcule el campo eléctrico a una distancia R sobre el eje central del disco?.

Ejercicio 2.14

R) Ex = 165.63N/C


Ejercicio 2.15

Considérese una caja triangular cerrada que descansa dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud de 2000N/C como en la figura si h = a =10 cm, 60.Calcule el flujo eléctrico a través a) del cuadrado ( superficie vertical) b) la superficie inclinada c) toda la caja.

E

a

h

x

H

R) a) e= -20 Nm2/C b) s= 20 Nm2/C c) = = 0


Ejercicio 2.16

R

h

Un cono de radio R = .10 cm y altura h = 50 cm, esta en un campo eléctrico uniforme E de 2000 N/C horizontal penetra el cono como en la figura. Determine el flujo eléctrico que penetra el cono.

R= 100 Nm2/C


Ejercicio 2.17

2Q

-3Q

4Q

Cuatro superficies cerradas una roja, una verde, una amarilla y una azul, como aparece en la figura si Q es 2 nC. Encuentre el flujo neto.

v = 0


2.16 Solucionario


S 2.1

+

-

+


Ey = 2(KQ/r2) Senr = (a2+a2)1/2 = a2 Sen = a/r = a / (21/2 a) = 2/2 Ey = 2

(KQ / 2a2) (2/2) Ey = 2 KQ / (2a2) ey =

63639.6 N/C = Artan (0/63939.6) = 90°

S 2.2

a a

a

rr

E

Ex = 0

Eyy

Ey


S 2.3

L/2

L

E1x

E1y

E2

E3

E2y

E2x

r1 = r2 = r3 = r Cos= (L/2) / r

r = L / (2 Cos

r = L / 3

Ex = – E1x – E2x Ex = –2(KQ /r2) Cos

30Ex = –2(3KQ / L2)

(Ex = –(3 KQ) / L2 Ex = –3.7412*105

N/CEy = – E1y + E2y + E3

Ey = E3 = KQ/r2 Ey = 3 KQ/ L2

Ey = 2.16*105 N/C

r1

r3

r2

-Q1 +Q2

- Q3

E1

E = 4.32*105 N/C : = 30°


S 2.4

aa

a

a

a

a

+ -

-

E1

E2

E3

E1y

E2y

Cos=/2 Sen=/2

Ex = E1x – E2 Ex = (KQ1 / r12) Cos– KQ2 / r22 Ex = (KQ1 / 2a2)(2/2)– KQ2 /a2

Ex = – 37045 N/C Ey = E1y – E3

Ey = KQ1 / r12 Sen– KQ3 / r22 Ey = (KQ1 / 2a2)(2/2)–

KQ3 /a2 Ey = – 59545 N/C

La magnitud y la dirección del campo eléctrico son;

E = 70128.02 N/C y = 58.11°


r2 = ((2aa)2+a2)1/2 = a2 = 0.14 cm Cos= a/(a 2) = 1/2 ) ; Sen= a/(a2) = 1/2)

= 45°

r1 = ((2a(a))^2+a2)1/2 = a10 = 0.32 cm Cos= 3a/(a10) = 3/10); =

18.43° Sen= a/(a 10) = 1/10); =18.43°

La magnitud y la dirección del campo eléctrico es; E = 3000.05 N/C y = 60.56°

Ex = E2x – E1x = (KQ2/ r2^2) Cos– (KQ1 / r1^2) Cos Ex = KQ2 / (2a^2) (1/2) – KQ1 / (10a^2) (3/10)

Ex = 1474.35 N/C

S 2.5Ey = E2y – E1y = (KQ2/ r22) Sen– (KQ1 / r12) Sen Ey = KQ2 / (2 a2) (1/2) – KQ1 / (10a2) (1/10)

Ey = 2612.77 N/C

r2r1

- +E1

E2

E2x

E2y

E1y

E1x


q1 / r12 = q2 / r22 E2 = E1r = r2 + r1r1 = r q1 / (q2 + q1) = 0.20 mq1 / r1 = q2 / (r r1) r q1 r1 q1 = r1 q2Kq1 / r12 = Kq2 / r22 r q1 = r1 q2 + r1 q1q1 / r12 = q2 / (r r1)2 r2 = r – r1 = 0.80 m

S 2.6

Si q1 < q2 r1

r -q1

-q2

r2

r2 r1

r

E1 E2

E1 = 225 i N/C ; E2 = -225 i N/C ^ ^


S 2.7

m,Q

l

m,Q

l

-E i

T

Tx

Ty

F = EQ

W

T Sen– EQ = 0 T Sen= EQ T Cos– W = 0 T Cos= mg

Tan= EQ / mg, entonces, Q = mg TanE = 3.69 C T = EQ / Sen= 0.123

N


Como pega en la placa, vamos a encontrar el tiempo que emplea el protón en recorrer 1 cm verticalmente, con ese tiempo hallamos lo que avanza horizontalmente.

(y/2) = ½(Eqp/mp) t2, entonces t = (2(y/2) mp / Eqp) t = 323.1 ns x(323.1 ns) = vo t x(323.1 ns ) =

1.94 cm

x = vo t, entonces, t = x / vo = 500 ns y(500ns) = ½(Eqp/mp) t2 y(500ns)

= 2.4 cm pega en la placa ya que; 2.4 cm > 1.0

cm

Comola velocidadinicial en y (voy) es cero la velocidad vertical al incidir en la placa es: vy(323.2 ns) = voy – (Eq/mp) t = –(Eq/mp) t = – 61911.4 m/s

Vamos a encontrar el tiempo que emplea el protón en recorrer los 3 cm horizontalmente, si para este tiempo y < 1 cm sale de las placas

S 2.8

y

- - - - - - - - - - x

+ + + + + + + + + +

pega en la placa en; r = (1.94 i - 1 j ) cm

^^vo

La velocidad al pegar en la placa es v =

(6*104 i –6.19 104 j ) m/s^ ^


Ey = -(2K/r) Cosdvaria

entre2y0Ey

= -2K (Q/l)/r) Senl =rvaria entre2y0

j

j

S 2.9

dEy = ( dE Cos dE Cos j

dEy = 2 dE Cos j

dEy = 2(Kdq/r2) Cosdq = dl = rd

j

dq-

Ey = (2KQ/(r2)) j

dq+

r

r dE+

dE

dEx

dEy

dEx

dEy

dEx = (dEx dEx) = 0i

Ey = -2K(rd/r2) Cos j

E = 11309.7 N/C


S 2.10

E

d L

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a) La densidad lineal de carga es; = Q / L = -71.43*10-9 C/m.

Ex = – K Q / (d (L+d )) i = –12000 N/C i^ ^b) El campo eléctrico es;


S 2.11

Por tanto; = E (20x) = 133.33*10-9 C/m

= Q / L, entonces, Q = L = 93.33 nC

++++++++++++++++

x

Ex = / 2xi ^El campo eléctrico es;

E


S 2.12

r

La magnitud del campo a una distancia x es; :Ex = KQx / (x2 + R2)3/2, para x = R: Ex = KQR / (R2+ R2)3/2 = KQR / (2R2)3/2,

Ex = KQ / (23/2)* R2) = 4998.89 N/C

Ex

Como la densidad lineal de carga = Q / L, entonces, Q = L = 2R) = 15.71

nC


S 2.13

Fg = mg

FE = EqEl pedazo de estireno flota cuando: Fg = FE, entonces, mg = Eq mg = (/2o)q

= 2o mg / q = -2.48 C/m2 La densidad

superficial de área es: = Q /A, entonces, A = Q / = m2


S 2.14El campo eléctrico a una distancia x es;

Ex = (/(2)) *{1 x/(x2+R2)1/2}Cu

ando x = R,

tenemos;Ex = (/(2))*{1 R/(2R2)1/2}

Ex = (/(2))*{1R/((2^½)(R2)1/2)}

Ex = (/(2))*{1 (1/2)1/2}=165.63N/C

R E


S 2.15

= E A = E A CosEl flujo viene dado por;

a) El flujo que entra es; e= E (a*h)1 *Cos180°= 20 Nm2/C b) El flujo que sale es; s= E (a * H)2 *Cos60° = 20 Nm2/C

c) = e= s = 0

x = h*tan = 0.1732 m ; H = (x2+ h2) = 0.20 m

E

a

h

x

H

A2

A1


S 2.16

R

h

= E An = E A= E A Cos

= E A cos = E (2(½ Rh)) cos 180° = 100 Nm2/C


S 2.17

2Q

-3Q

4Q

R = Q/= (4Q–3Q+2Q) / = 3Q / = 678.58 Nm2/C

Am = Q/= (–3Q+2Q) / = –Q / = –

226.19 Nm22/C Az = Q/= (–3Q+2Q) / = –Q /

= –226.19 Nm2/C v = Q/= 0 / 0

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