Cantidades Escalares y Vectoriales.

Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades sonescalares.

*Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse.

30 kg + 40 kg = 70 kg

20 s + 43 s = 63 s

Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar unadirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales.

*Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

 

 

Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la fotma polar, que se escribe como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30 m/s,60º), quere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".

SUMA DE VECTORES:

Para sumar dos vectores libres    y   se escogen como representantes dos vectores tales que el  extremode uno coincida con el  origen del otro vector.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores  con elorigen en común , se trazan rectas paralelas  a losvectores  obteniéndose un paralelogramo  cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

MULTIPLICACION DE VECTORES

Producto escalar

Es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de dos vectores y el coseno del ángulo encerrados por ellos

Algebraicamente, el producto vectorial esta dado por:

 (10)

Algunas propiedades del producto vectorial son:

Propiedad conmutativa: A.B = B.A(11) Propiedad distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C

Grafica de vetores:Representa gráficamente los vectores:u (2, 3) y v (2, 3) .

sistema de medidas:internacional:

Es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal y por ello también se lo conoce como «sistema

métrico», especialmente por las personas de más edad y en las pocas naciones donde aún no se

ha implantado para uso cotidiano.

Se instauró en 1960, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas, durante la cual

inicialmente se reconocieron seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad

básica: el mol.

Una de las características trascendentales, que constituye la gran ventaja del Sistema

Internacional, es que sus unidades se basan en fenómenos físicos fundamentales. Excepción única

es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, definida como «la masa del prototipo internacional

del kilogramo», un cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina

Internacional de Pesos y Medidas.1

Las unidades del SI constituyen referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de

medición, a las cuales están referidas mediante una concatenación interrumpida de calibraciones o

comparaciones.

Esto permite lograr equivalencia de las medidas realizadas con instrumentos similares, utilizados y

calibrados en lugares distantes y, por ende, asegurar -sin necesidad de duplicación de ensayos y

mediciones- el cumplimiento de las características de los productos que son objeto de

transacciones en el comercio internacional, su intercambiabilidad.

CGS:

El sistema cegesimal de unidades, también llamado sistema CGS, es un sistema de

unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es el acrónimo de estas tres

unidades.

Fue propuesto por Gauss en 1832, e implantado por la British Association for the Advancement of

Science (BAAS, ahora BA) en 1874 incluyendo las reglas de formación de un sistema formado por

unidades básicas y unidades derivadas.1

El sistema CGS ha sido casi totalmente reemplazado por el Sistema Internacional de Unidades. Sin

embargo aún perdura su utilización en algunos campos científicos y técnicos muy concretos, con

resultados ventajosos en algunos contextos. Así, muchas de las fórmulas

del electromagnetismo presentan una forma más sencillas cuando se las expresa en unidades

CGS, resultando más simple la expansión de los términos en v/c.

INGLES:

La mayoría de los países del mundo utilizan el metro como unidad de longitud. Sin embargo, algunas naciones de habla inglesa, usan otras medidas que no pertenecen a nuestro sistema decimal de pesas y medidas.

Esas medidas se llaman inglesas y tienen nombres y valores distintos de los que nosotros usamos. Las unidades del sistema inglés de medidas de longitud son: la milla (mi), layarda (yd), el pie (ft) y la pulgada (in).

La milla equivale a 1 609 m; la yarda, a 0.914 m; el pie, a 0.305 m y a 30.5 cm; la pulgadaequivale a 0.0254 m, 2.54 cm y 25.4 mm.

Si se busca convertir medidas del sistema métrico a las del sistema inglés, se hace una división.

Por ejemplo de kilómetros a millas:

3.218 km = 3.218 ÷ 1.609 = 2 millas.

Si se quiere convertir medidas del sistema inglés al sistema métrico, se multiplica.

Por ejemplo, de millas a kilómetros:

2 millas = 2 x 1.609 = 3.218 km.

Movimiento rectilíneo uniforme

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes

términos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en

tiempos iguales, tómense como se tomen, resultan iguales entre sí", o, dicho de otro modo, es un movimiento

de velocidad v constante.

El MRU se caracteriza por:

a) Movimiento que se realiza en una sola dirección en el eje horizontal.

b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y dirección inalterables.

c) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta

aceleración (aceleración = 0).

Significado de la rapidez:

La rapidez se calcula o se expresa en relación a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo y su fórmula

general es la siguiente:

Donde

v = rapidez        

d = distancia o

desplazamiento   

t = tiempo

 

Usamos v para representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia (d) recorrida y el

tiempo (t) empleado para hacerlo.

Como corolario, la distancia estará dada por la fórmula:

Según esta, la distancia recorrida por un móvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo empleado.

A su vez, si se quiere calcular el tiempo empleado en recorrer cierta distancia usamos

El tiempo está dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se hace.

Ver: PSU: Física; Pregunta 04_2005(2)

En este ejemplo,

el móvil recorre

8 metros cada 2

segundos y se

mantiene

constante.

 

Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilíneo uniforme:

Ejercicio 1

Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo uniforme. Calcule

la distancia que recorrerá en 12 segundos.

Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la fórmula conocida:

  y reemplacemos con los datos conocidos:

¿Qué hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t),

simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360

metros

 

Ejercicio 2

El automóvil de la figura  se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme ¿cuánto

demorará en recorrer 258 kilómetros si se mueve con una rapidez de  86 kilómetros

por hora?

Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la fórmula conocida para calcular el tiempo:

 y reemplacemos con los datos que tenemos:

¿Qué hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v),

simplificamos la unidad kilómetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km  con

una rapidez de 86 km a la hora.

 

Ejercicio 3

¿Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros en 59 segundos?

Analicemos los datos conocidos:

Aplicamos la fórmula conocida para calcular la rapidez:

¿Qué hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t),  y

nos queda el resultado final: la rapidez del móvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por

segundo.

 

Ejercicio 4

Los dos automóviles de la figura parten desde un mismo punto, con movimiento

rectilíneo uniforme. El amarillo (móvil A) se desplaza hacia el norte a 90 km por hora, y

el rojo (móvil B), hacia el sur a 80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al

cabo de 2 horas.

Veamos los datos que tenemos:

Para el móvil A:

 

Para el móvil B:

Calculamos la distancia que recorre el móvil A:

Calculamos la distancia que recorre el móvil B:

Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que separa a ambos automóviles luego de 2

horas de marcha.

Rapidez media:

La rapidez media o promedio de una partícula es una cantidad escalar, y se calcula dividiendo la

distancia total recorrida entre el intervalo total necesario para recorrer esa distancia.No confundir

con velocidad promedio:

La velocidad media o promedio se calcula de la siguiente manera:

v = (x2 - x1) / (t2 - t1)

donde:

x2 = posicion final

x1 = posicion inicial

t2 = tiempo final

t1 = tiempo inicial.

Si partes de tiempo cero y posicion cero la ecuacion de arriba se reduce a:

v = d / t.

Velocidad:

es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto

por unidad de tiempo. Se representa por   o  . Sus dimensiones son [L]/[T]. Su unidad en

el Sistema Internacional es el m/s.

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del

desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.1

De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo,

la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

Desplazamiento:

Desplazamiento es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen

A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la

posición final. Cuando se habla del desplazamiento de un cuerpo en el espacio solo importa la

posición inicial del cuerpo y la posición final, ya que la trayectoria que describe el cuerpo no es de

importancia si es igual a la final.

Volumen y peso de fluido que desplaza un cuerpo flotante.Distancia en determinada dirección y

sentido, y en línea recta, que separa la posición inicial y final de un cuerpo al desplazarse: el

desplazamiento no coincide con la distancia recorrida, a no ser que el movimiento sea rectilíneo.

Cuando el punto de referencia es el origen del sistema de coordenadas que se utiliza, el vector

desplazamiento se denomina por lo general vector posición, que indica la posición por medio de la

línea recta dirigida desde la posición previa a la posición actual, en comparación con la magnitud

escalar "distancia recorrida" que indica solo la longitud del camino, obviamente en un espacio

euclídeo se tiene:

La igualdad anterior sólo se cumpliría para un movimiento rectilíneo.

Cuando el punto de referencia es la posición previa de la partícula, el vector

desplazamiento indica la dirección del movimiento por medio de un vector que va desde la

posición previa a la posición actual. Este uso del vector desplazamiento es útil para definir a los

vectores velocidad y aceleración de una partícula definida.

Si llamamos K a la región del espacio ocupada por un sólido deformable podemos representar el

proceso de deformación entre dos posiciones como un difeomorfismo  . Si

consideramos un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) sobre K se define el vector

desplazamiento u para cada punto sencillamente como:

A partir de este vector de desplazamientos es trivial calcular las componentes de la deformación y

si se conoce la ley constitutiva del sólido deformable pueden determinarse las tensiones

mecánicas a que se halla sometido. En concreto el tensor deformación de Green-Lagrange:

Donde:

movimiento rectilineo uniformemente variado:

En este tipo de movimiento a diferencia del MRU (movimiento rectilíneo uniforme),

la velocidadvaría. Pero esta variación a su vez es con un cierto orden, es decir que cambia

un mismo intervalo en una misma cantidad de tiempo.

Por este hecho aparece una nueva magnitud llamada aceleración. La aceleración está

representada por la fórmula:

a = (Vf – Vi) / T

La a es la aceleración, Vi es la velocidad del inicio y Vf es la velocidad final.

 

Para calcular la distancia recorrida se usa la siguiente fórmula:

D = Vi . T +/- ½ . a . T2

El signo positivo del segundo miembro se usa cuando el movimiento experimenta un aumento

en su velocidad. Es una aceleración positiva. El signo menos se usa en situaciones de

descenso de lavelocidad, o sea una aceleración negativa. Aquí vemos otra diferencia con

respecto al MRU en el cual la distancia se calcula de forma mucho más sencilla.

Con respecto a los gráficos, también veremos otros distintos.

La gráfica de la distancia en función del tiempo tiene una forma parabólica. Esto es porque en

la formula de la distancia podemos observar que la relación entre la distancia y el tiempo es

cuadrática, o sea, responde a una función cuadrática. Cuando se tienen valores reales es

importante colocar la unidad de cada magnitud. Para la distancia por ejemplo en metros y para

el tiempo en segundos.

Cuando graficamos la velocidad versus el tiempo observaremos que esta relación

corresponde a una función lineal. Ya que se arma a partir de la fórmula de aceleración. La

velocidad puede expresarse en mts/seg o Km/h y el tiempo en horas o en segundos.

El último gráfico es la relación entre la aceleración y el tiempo. Para entenderlo mejor se

grafica un ejemplo con valores. La a se expresa en mts/seg2 y el tiempo en seg. Se ve que un

móvil que posee una a de 2 mts/seg2 y luego de un tiempo frena cambiando a una a negativa

de por ejemplo 3 mts/seg2.

Problemas:

Calcula la distancia recorrida por un móvil que parte de reposo y alcanza una velocidad de 52

Km/h en 5 segundos.

Usaremos la formula:

D = Vi . T +/- ½ . a . T2

Tenemos como datos la velocidad final y el tiempo. Como el móvil parte del reposo su

velocidad inicial es 0, por lo tanto el primer termino se anula.

D = + ½ . a . T2

El signo de la aceleración queda positivo ya que la velocidad aumenta de 0 al valor final de 52

Km/h.

La aceleración no la tenemos pero la podemos calcular. Para esto será conveniente

previamente pasar la unidad de velocidad de Km/h a mts/seg para que sea compatible con el

tiempo que est expresado en segundos.

Ahora procedemos a calcular la aceleración:

D = + ½ . 2,89 mts/seg2 . (5 seg)2

D = 36.125 mts.

Calcula la velocidad final de un móvil que viajando a una velocidad de 22 mts/seg acelera a

razón de 2 mts/seg2 en 4 seg.

De la formula de aceleración hay que despejar la velocidad final.

a = (Vf – Vi) / T

Vf = a x T + Vi

Vf = 2 mts/seg2 x 4 seg + 22 mts/seg

Vf = 30 mts/seg

Caída libre:

En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de

un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en

mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que

tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo es frecuente también referirse coloquialmente a

éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general

despreciables.

El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la

accióndesaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical; o a satélites en órbita alrededor de

la Tierra o de cualquier otro cuerpo celeste. Otros sucesos referidos también como caída libre lo

constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad

general.

Ejemplos de caída libre deportiva los encontramos en actividades basadas en dejarse caer una

persona a través de la atmósfera sin sustentación alar ni de paracaídas durante un cierto trayecto.

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza   que actúa sobre un cuerpo es igual al

producto de su masa   por la aceleración que adquiere. En caída libre sólo intervienen el peso   

(vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico   en la misma dirección, y sentido opuesto

a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del

movimiento de caída libre es:

Movimiento circular uniformeEn física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando,

con rapidez constante, una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud

vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica

la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí

varía su dirección.

Periodo:

es palabra que deriva del latín periŏdus.2 Este término se utiliza regularmente para designar

al intervalo detiempo necesario para completar un ciclo repetitivo, o simplemente el espacio de

tiempo que dura algo.

En geología, período geológico es una unidad del tiempo geológico de segundo orden,

inferior a la era geológica y superior a laépoca geológica.3

También existen periodos geológicos en cuerpos celestes externos a la Tierra

(véase Escala de tiempo geológico lunar).

En matemáticas:

período y la frase organizados en una o más oraciones (periódico puro) o

posteriormente al primer número decimal (periódico mixto).

El período de una función periódica es la parte de ésta (P) que, conforme se le

añade a la variable independiente, hace repetir los valores de la variable dependiente:

En física, período de oscilación es el intervalo de tiempo entre 2 puntos equivalentes

de una onda u oscilación, también se puede asociar a la frecuencia mediante la

relación:

Frecuencia:

Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno

o suceso periódico.

Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este

teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo

transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor

a Heinrich Rudolf Hertz. Un hercio es la frecuencia de un suceso o fenómeno repetido una vez

por segundo. Así, un fenómeno con una frecuencia de dos hercios se repite dos veces por

segundo. Esta unidad se llamó originariamente «ciclo por segundo» (cps). Otras unidades para

indicar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm). Las pulsaciones delcorazón y

el tempo musical se miden en «pulsos por minuto» (bpm, del inglés beats per minute).

Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones

(periodo) y luego calcular la frecuencia (f) recíproca de esta manera:

donde T es el periodo de la señal.

Velocidad angular:

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado

por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema

Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la

cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre

una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad

angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de

rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo. ×10{{{1}}}

de modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada:

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes,

tenemos:

donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de

revoluciones o vueltas por unidad de tiempo).

de modo que

Velocidad tangencial:La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre una trayectoria mayor, porque el perímetro de esa circunferencia es mayor y por lo tanto la velocidad tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.

Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 metros en 1

segundo, la velocidad tangencial es:

Ecuación de la velocidad tangencialLa ecuación que se utiliza para calcular la velocidad tangencial se expresa como la velocidad angular por el radio.

Para el ejemplo anterior la calculamos como: 

En MCU la velocidad tangencial es constante (en módulo) para un mismo punto. A mayor distancia del eje, la velocidad tangencial aumenta. Su dirección varía continuamente, teniendo siempre la misma dirección que la recta tangente al punto en donde se encuentre el móvil.

Aceleración centrípetaLa aceleración centrípeta (también llamada aceleración normal) es una magnitud relacionada

con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento cuando recorre una

trayectoria curvilínea.

Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curvilínea, aunque se mueva

con rapidez constante (por ejemplo el MCU), su velocidad cambia de dirección, ya que es

un vector no tangente a la trayectoria.

La aceleración centrípeta, a diferencia de la aceleración centrífuga, está provocada por una fuerza

real requerida para que cualquier observador inercial pudiera dar cuenta de como se curva la

trayectoria de una partícula que no realiza un movimiento rectilíneo.

En coordenadas polares, la aceleración de un cuerpo puede descomponerse en

sus componentes radial   y tangencial  , quedando:

Donde: r y θ son las coordenadas polares de la partícula; ω es la velocidad angular (que es igual

a dθ/dt); α es la aceleración angular(que es igual a dω/dt).

Se le llama aceleración centrípeta al término rω2 presente en la componente radial de la

aceleración ar. Dado que v = ωr, la aceleración centrípeta también se puede escribir como:

El término 2(dr/dt)ω localizado en la componente tangencial de la aceleración es conocido como

la aceleración de Coriolis.

En el movimiento circunferencial, mientras la dirección del vector velocidad va variando punto a

punto, la aceleración centrípeta se manifiesta como un vector con origen en el vector posición y

con dirección hacia el centro de la circunferencia.