CAOS CUÁNTICO Y PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA:

UNA PROBLEMÁTICA EN EVOLUCIÓN

Diógenes CamposDepartamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

En el libro "El Maestro de Ciencias", Facultad de Ciencias, UniversidadNacional de Colombia, Bogotá, Volumen conmemorativo de los 30 años de laFacultad, 145-173 (1996), ISBN 958-608-121-4.

R E S U M E N . Los indicadores clásicos de caos no sondirectamente aplicables en la mecánica cuántica ya que elconcepto de trayectoria no existe en esta teoría. Por otro lado, a laluz del principio de correspondencia, la mecánica clásica es uncaso límite de la mecánica cuántica y es de esperarse que en laspropiedades cuánticas del sistema se manifiesten huellas delcomportamiento caótico del correspondiente sistema clásico. Sedescribe el proceso de cuantización para sistemas integrables yno integrables, al igual que las funciones de Wigner y de Husimi,definidas en el espacio de fase clásico. Finalmente, se presenta unexperimento reciente en física atómica que hace uso de átomos enestados Rydberg, los cuales son objetos que están en la fronteraentre los dominios clásico y cuántico.

INTRODUCCIÓN

A fines del siglo XIX gran parte de la comunidad científica consideraba lafísica como una ciencia acabada que permitía explicar los fenómenos naturalescon base en las ecuaciones de la mecánica clásica y del electromagnetismo.Sin embargo, unos pocos hechos experimentales fueron renuentes a todaexplicación. Estos hechos sólo se pudieron explicar con base en una nuevateoría física que se consolidó durante el período 1925-1930, debida a MaxBorn, Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Erwin Schrödinger, Paul A Dirac,y que se conoce con el nombre de mecánica cuántica. Con el surgimiento deesta teoría el universo de la física quedó dividido en dos dominios, el clásico yel cuántico. Las propiedades cuánticas de los sistemas físicos son fascinantesy sorprendentes, riñen con la imagen newtoniana del mundo y con el sentidocomún.

La mecánica cuántica es esa disciplina de la física en la cual la constante de

Planck, h = h / (2π) = 1.054589 10 – 34 Joule–segundo , desempeña un papelfundamental. Entre sus aplicaciones se encuentra el estudio de sistemasatómicos y moleculares, al igual que el de sistemas macroscópicos tales comola distribución espectral de la radiación del cuerpo negro y las propiedadeselectrónicas de los materiales. Estas últimas son el fundamento de toda laelectrónica moderna.

La mecánica cuántica tiene una estructura diferente de la mecánica clásica. Enparticular, en 1927 Heisenberg enunció el principio de incertidumbre, el cualestipula que en la microfísica es imposible atribuir a una partícula en uninstante dado una posición y un impulso1 determinados: cuanto más seconoce la posición menos se conoce el impulso, y viceversa. El producto delas incertidumbres de estas dos magnitudes siempre es mayor o igual a laconstante de Planck dividida por dos, ∆q ∆p ≥ h / 2 . Esto significa que el

concepto de estado de la mecánica clásica, el cual requiere especificarsimultáneamente la posición y el impulso (q(t), p(t)), es una idealizaciónclásica que no es aplicable en mecánica cuántica. El estado clásico y lastrayectorias clásicas no existen dentro del dominio de los fenómenoscuánticos.

El principio de incertidumbre trae profundas consecuencias en cuanto a ladiscusión del comportamiento caótico de los sistemas mecánicos. En especial,implica que los conceptos básicos asociados con el comportamiento caótico desistemas clásicos (exponentes de Lyapunov, entropía-K, superficie dePoincaré) no son aplicables de manera directa en la teoría cuántica. Surge, sinembargo, la pregunta de si la naturaleza mecánico cuántica de los sistemasdestruye o preserva el comportamiento de los sistemas clásicamente caóticos.La pregunta es relevante en la medida en que la mecánica cuántica es una teoríageneral que incluye la mecánica clásica como un caso límite, cuando h → 0 .

El estudio de sistemas caóticos ha estado dirigido en gran parte a sistemasclásicos. La continuación natural de esta área de investigación es el caoscuántico, tema que ha concentrado el interés de la comunidad científica en losúltimos años [1-6]. El objeto del presente trabajo consiste en presentaralgunos aspectos generales sobre esta temática, la cual está en permanenteevolución. Para facilitar el entendimiento de algunos aspectos tratados en elpresente artículo se recomienda leer previamente el trabajo titulado

1 Impulso lineal es el producto de la masa de la partícula por su velocidad.

“Comportamiento caótico en sistemas mecánicos clásicos: Un paradigma parala ciencia”, incluido en este mismo libro.

ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS EN MECÁNICA CUÁNTICA

El estado de un sistema mecánico cuántico en el instante de tiempo t sedescribe mediante una onda Ψ(q, t) , la cual es, en general, una función

compleja que depende de las coordenadas de posición q de las partículas queconforman el sistema. A título de ejemplo ( i = – 1 ),

Ψp(q, t) = 12πh

exp ih

p q exp – ih

E t , (1)

representa el estado de una partícula libre que se mueve con impulso p yenergía E. En contraste, el estado de un sistema clásico se describe por unpunto (q(t), p(t)) del espacio de fase.

Los problemas y preguntas inherentes a la mecánica cuántica se puedenclasificar en dos grandes grupos: los dinámicos que se tratan mediante laecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y los de estructura que sesolucionan analizando la ecuación de valores propios asociada con elHamiltoniano del sistema.

La dinámica cuántica está regida por la ecuación de Schrödinger dependientedel tiempo,

i h ∂∂t Ψ(q, t) = H Ψ(q, t) ,

H = – h2

2 m ∇ q2 + V(q) ,

la cual describe la manera como el estado del sistema cambia con el tiempo ypermite calcular probabilidades de transición de un estado a otro. ElHamiltoniano clásico se ha convertido en un operador diferencial H , donde el

primer término representa la energía cinética de las partículas y el segundo laenergía potencial. En contraste, la dinámica clásica está gobernada por lasecuaciones de Hamilton, las cuales permiten introducir el concepto detrayectoria en el espacio de fase, al igual que indicadores para medir lapresencia o ausencia de comportamiento caótico.

Si se está interesado en determinar los estados en los cuales puede existir unátomo, una molécula, un núcleo atómico, un cuerpo sólido, tenemos un

problema de estructura. Estas situaciones físicas se estudian mediante unaecuación de valores propios

H ϕ λ (q) = E λ ϕ λ (q) ,

cuya solución da los valores propios E λ y las funciones propias, ϕ λ (q) . Al

igual que en el caso de la ecuación de valores propios para una matriz, existenen general varias soluciones, las cuales se distinguen por el subíndice λ querecibe el nombre de número cuántico. Estas cantidades coleccionan toda lainformación necesaria para identificar completamente el estado del sistema. Elconjunto de todos los valores propios se denomina el espectro del sistema.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

| ψ(q, t) |2

q

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3

4

5

6

q

| ψ(q, t)|2

Figura 1. Interferencia de estados cuánticos para dos valores

hipotéticos de h : h = 1 (fig. superior), h = 0.1 (fig. inferior).

Por ejemplo, en el caso de un átomo formado por un núcleo de carga Ze y unelectrón de carga – e, los estados del sistema se forman como el producto deuna función radial por una función angular, ϕ n m (r) = Rn (r) Y m (θ, φ) ,

donde (r, θ, φ) son las coordenadas esféricas que ubican un punto r del

espacio tridimensional respecto al núcleo. El producto de la función por sucomplejo conjugado2 y por un elemento de volumen centrado en el punto r

da la probabilidad de encontrar el electrón dentro de ese elemento de volumen.

Una característica esencial dentro de la mecánica cuántica es la interferenciaentre estados. Por ejemplo, empleando (1), la función

Ψ(q, t) = Ψ+ p(q, t) + Ψ– p(q, t) representa el estado de una partícula libre que

se mueve hacia la derecha con impulso + p o hacia la izquierda con impulso –p. Clásicamente, la probabilidad de que ocurra uno u otro evento (+ p o – p)se determina sumando las probabilidades

Ψ+ p q, t2

dq + Ψ– p q, t2

dq = 1πh

dq .

Por el contrario, en la mecánica cuántica, se presenta el fenómeno deinterferencia, ya que primero se suman los estados y con base en el estadoresultante se determina la probabilidad de encontrar la partícula con posición q,dentro del rango (q, q + dq):

Ψ q, t

2dq = Ψ+ p q, t + Ψ– p q, t

2dq = 2

πhcos2 p q

hdq .

A propósito, el límite h → 0 conduce a una situación patológica ya que la

densidad de probabilidad |Ψ(q, t)| 2 oscila de manera infinitamente rápida ytoma todos los valores entre 0 y 2/ πh . En la figura-1 se ilustra el caso de p =10 y dos valores hipotéticos de h . En el caso clásico las oscilaciones están

ausentes y en su lugar aparece un valor constante 1/( πh ).

SOBRE EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Las teorías físicas tienen diferentes jerarquías. Tal es el caso de la mecánicaclásica, la mecánica cuántica, la teoría especial de la relatividad. Pero la unidadde la física se mantiene a través de principios de correspondencia, los cualespermiten que la teoría física jerárquicamente inferior mantenga su validezexplicando un rango más restringido de fenómenos que la teoríajerárquicamente superior. Por ejemplo, la teoría especial de la relatividadincluye la mecánica clásica como el caso límite en el cual la velocidad υ de las

partículas es mucho menor que la velocidad de la luz, υ << c . Similarmente, de

acuerdo al principio de correspondencia, la mecánica cuántica es una teoría

2 El complejo conjugado de una función se obtiene reemplazando i = – 1 por – i.

más general que la mecánica clásica y la primera se debe reducir a la última enel límite en el cual la constante de Planck tiende a cero, h → 0 .

El análisis del comportamiento de las propiedades mecánico cuánticas de unsistema cuando h → 0 se conoce con el nombre de límite semiclásico o cuasi-

clásico. La complejidad de este límite h → 0 se ilustró en la figura 1 para un

caso muy especial. A propósito, no se debe confundir la correspondencia h → 0 con el caso h = 0 . En efecto, si al lado izquierdo de la ecuación de

Schrödinger se hiciera h = 0 , no se tendría evolución temporal, lo cual sería

inconsistente con la evolución natural de los sistemas físicos.

La afirmación de que la constante h tiende a cero significa que su valor es

mucho menor que la variable de acción relevante al sistema físico objeto deestudio. Si se prefiere, el límite semiclásico se obtiene cuando los númeroscuánticos de un sistema físico son muy grandes [7]. En este dominio, seespera que los paquetes de onda sigan trayectorias clásicas, que laspredicciones de las dos teorías concuerden a buen grado de precisión y que laconcordancia sea mayor entre más grande sea la acción comparada con h .

El principio de correspondencia requiere que la transición de mecánicacuántica a mecánica clásica se cumpla en todos los casos, incluyendo lasituación de sistemas clásicamente caóticos. Sobre esta hipótesis se haconstruido la física actual.

DEFINICIÓN DE CAOS CUÁNTICO

Si un sistema cuántico es clásicamente caótico, es de esperarse que subsistanen el dominio cuántico huellas de la naturaleza caótica del sistema clásico. Sinembargo, en la mecánica cuántica no existe el concepto de trayectoria, ya queel principio de incertidumbre de Heisenberg ( ∆q ∆p ≥ h / 2 ) prohibe

determinar simultáneamente la posición y el impulso de la(s) partícula(s) queconforman el sistema. La imposibilidad de la existencia de un estado clásicoinicial y la ausencia de una trayectoria imposibilitan la aplicación en lamecánica cuántica de los criterios usados en la mecánica clásica paracaracterizar la presencia de caos en un sistema dinámico.

La noción de caos en sistemas cuánticos es, por naturaleza, vaga y no hay unadefinición universalmente aceptada para el concepto de caos cuántico. Pero, esde esperarse que el hecho de que un sistema clásico sea caótico tengaprofundas consecuencias en las propiedades cuánticas del sistema: su espectrode energía, la estructura de las funciones de onda, las características de la

evolución temporal. En particular, uno se pregunta si es posible, por ejemplo,en el caso de sistemas conservativos, inferir la naturaleza caótica del sistemaclásico correspondiente a partir del conocimiento de los valores propios yfunciones propias del sistema cuántico.

Una de las principales dificultades para obtener una definición universal decaos cuántico es la carencia de una definición general de sistemas cuánticosintegrables y no integrables, la cual se reduzca o esté directamente relacionadocon el concepto clásico correspondiente. Por otro lado, sistemas cuánticosreales (atómicos, moleculares, nucleares) contienen grados de libertad internos(p.ej. el espín) y algunas propiedades intrínsecas (p. ej. efectos debidos a laindistinguibilidad de partículas idénticas) que no tienen análogo clásico.

En particular, si un sistema mecánico clásico es integrable, existen variablesángulo–acción que permiten describir facilmente el movimiento del sistema.La generalización de este concepto a la mecánica cuántica requiere formularesta teoría en términos de operadores ángulo–acción canónicamenteconjugados entre si.

No obstante la existencia de las dificultades conceptuales anteriores hay unamarcada tendencia a definir el caos cuántico como el estudio delcomportamiento cuántico de sistemas clásicamente caóticos.

Esta terminología ha recibido mayor aceptación que el término propuesto porBerry [8] de caología cuántica el cual significa que no hay caos cuántico en elsentido de sensitividad exponencial a las condiciones iniciales pero que hayfenómenos cuánticos que reflejan la presencia de caos clásico. Berry precisaeste concepto diciendo que caología cuántica es el estudio de fenómenossemiclásicos, no clásicos, característicos de sistemas cuya contraparte clásicaexhibe caos.

En el presente trabajo adoptamos la definición de caos cuántico citadaanteriormente, en la cual se parte del hecho de que el sistema clásico es caóticoy se quiere ver las consecuencias en las propiedades cuánticas del sistemacorrespondiente. Este enfoque es sólo una parte de la problemática actual eneste campo, ya que hay evidencia de que ciertos efectos cuánticos inducencaos aun en casos en que el sistema clásico no tiene comportamiento caótico[9].

PROBLEMAS CONCEPTUALES E IMPORTANCIA DEL CAOS

CUÁNTICO

Algunas veces se afirma que no hay caos en mecánica cuántica debido a que laecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial lineal y elcomportamiento no lineal es esencial para generar caos. La afirmación eserronea [10] por dos razones. En primer lugar, todo sistema Hamiltonianoclásico se puede reformular como una ecuación de Liouville para unadistribución de probabilidad en el espacio de fase, la cual es una ecuacióndiferencial parcial lineal cuyo sistema característico son las ecuaciones deHamilton. La distribución de Liouville sigue de manera precisa las trayectoriascaóticas del sistema y el caos generado por las ecuaciones de Hamilton nodesaparece por una simple reformulación del problema, de un lenguajeHamiltoniano a un lenguaje de funciones de distribución. Por otro lado, laecuación de Schrödinger tiene asociadas ecuaciones no lineales para losvalores esperados (p. e. ecuaciones de Ehrenfest) y la evolución temporal de lafunción de onda se puede reconstruir por medio de un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias no lineales para valores esperados de ciertasmagnitudes físicas adecuadas.

Si se tiene en cuenta que casi todos los sistemas cuánticos exhiben caos en ellímite clásico, el estudio del caos cuántico es de gran importancia, desde lasáreas fundamentales de la matemática, la física y la química hasta lasaplicaciones en dispositivos cuánticos. Mientras que el caos clásico progresósignificativamente desde 1970, sólo en la última década el caos cuántico seconvirtió en un tema central de investigación. Un seminario internacionalreciente sobre el tema tuvo lugar en agosto de 1993 en Tokio bajo el título“Quantum and Chaos: How Incompatible?”. El nombre del simposio reflejala existencia de problemas no resueltos en el mundo del caos cuántico,originados en gran medida en la incompatibilidad de conceptos fundamentalesy en el lenguaje entre estas dos teorías físicas.

Entre los problemas no resueltos está, entre otros, la extensión a la mecánicacuántica de los conceptos que sirven de indicadores de caos clásico:exponentes de Lyapunov, entropía–K, superficie de Poincaré. Clásicamente, siel Hamiltoniano H(q(t), p(t)) = E no depende explícitamente del tiempo t, el

valor de la energía E define en el espacio de fase una superficie de energíaconstante sobre la cual se encuentran las trayectorias del sistema. En lamecánica cuántica, por el contrario, el conocimiento del Hamiltoniano delsistema H(q, p) , sólo nos permite calcular valores promedio, a través de la

fórmula estándar

E(t) = ψ*(q, t) H(q, p) ψ(q, t) d f q ,

donde f es el número de grados de libertad del sistema. No es obvia la maneracomo se podría introducir en la mecánica cuántica el concepto análogo al desuperficie de Poincaré, el cual es una herramienta fundamental para entender elcomportamiento caótico de los sistemas clásicos. La misma dificultad ocurrecon los exponentes de Lyapunov, ya que no hay trayectorias en la mecánicacuántica; el análogo mecánico cuántico al teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) es también una incógnita.

CONEXIÓN ENTRE LA ESTRUCTURA DEL SISTEMA

CUÁNTICO Y LA NATURALEZA CAÓTICA DEL SISTEMA

CLÁSICO

Como en la mecánica cuántica no se pueden aplicar directamente losindicadores clásicos de caos, procedamos entonces a cuantizar el sistema.Cuantización significa entender y determinar aproximadamente los estadospropios y los valores propios del Hamiltoniano en términos de cantidadesclásicas, de tal manera que la aproximación sea asintóticamente exacta cuando

h → 0 . Lo que se quiere es cuantizar los sistemas clásicos, los cuales se

dividen en integrables y no integrables. Una dificultad en el proceso decuantización está en el hecho de que la ecuación de valores propios no tieneanálogo clásico y más bién corresponde al comportamiento clásico paratiempos infinitos (comportamiento asintótico). Nos interesa responder lasiguiente pregunta: ¿Cómo se manifiesta en la estructura de un sistemacuántico la naturaleza caótica del sistema clásico correspondiente?

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Einstein, en un trabajo de 1917, se confrontó con el problema de generalizarlas reglas de cuantización de Bohr para cuantizar sistemas mecánicos de fgrados de libertad; esto es, encontrar las energías asociadas con la ecuación devalores propios H ϕ n (q) = E n ϕ n (q) . El encontró que una condición

necesaria y suficiente es que el sistema sea integrable en el sentido de lamecánica clásica; esto es, que existan f constantes de movimiento asociadascon el sistema, de tal manera que cada trayectoria en el espacio de fase quedeconfinada a una región que tiene la forma de un toroide f–dimensional (figura

2). Cada toroide se caracteriza por tantas constantes de movimiento comogrados de libertad tiene el sistema.

I

I1

2

θ

θ

1

2

Figura 2. Toroide asociado con un sistema integrable de dos

grados de libertad.

Sobre un toroide se puede definir un conjunto de f curvas cerradas o anillos k , k = 1, 2, …, f, topológicamente independientes, donde ninguna de las

k se puede deformar contínuamente en otra o reducirse a cero. A cada anillo

k se le puede asociar clásicamente un par de variables adecuadas,

k → (θk, Ik) , canónicamente conjugadas entre si, las cuales reciben el

nombre de variables ángulo-acción. Cada trayectoria, periódica ocuasiperiódica3, está obligada a permanecer sobre la superficie de un toroide.

El trabajo de Einstein [11] y contribuciones de otros autores dieron origen enla literatura moderna a la regla de cuantización de Einstein–Brillouin y Keller(EBK):

Ik = 1

2π p (E) dqΣ= 1

f

k

= n k + 14 α k h .

Esta ecuación establece una correspondencia uno a uno entre los toroides delsistema clásico y los valores propios mecánico cuánticos, identificados pornúmeros cuánticos n k . En esta expresión [2], válida sólo para sistemasintegrables, n k y α k son enteros positivos (o cero) que no se pueden anularsimultáneamente; α k se conoce con el nombre de índice de Maslov (o

Morse–Maslov). Las ecuaciones anteriores permiten determinar la energía delsistema cuántico, aunque no dan información alguna sobre las

3 Una trayectoria es cuasiperiódica si está formada por la suma de soluciones periódicascon períodos inconmensurables. Dos períodos son inconmensurables si la razón entreellos es un número irracional.

correspondientes funciones de onda. Las energías que se obtienen por esteprocedimiento constituyen buenas aproximaciones a los valores propiosexactos que se obtienen solucionando la ecuación de valores propios para elHamiltoniano del sistema.

Todos los sistemas de un grado de libertad son integrables. La regla decuantización EBK se reduce en este caso al resultado de Wentzel–Kramer–Brillouin (WKB), bién conocido en cursos introductorios de teoría cuántica:

2 m En – V(q) dq

q0

q1= n + 1

2 πh ,

donde V q es un pozo de potencial y q0 y q1 puntos de retorno en el sentidode la mecánica clásica. De esta ecuación se determinan los valores propios En

como función del número cuántico n = 0, 1, 2, ….

Por otro lado, cada estado cuántico, función propia del Hamiltoniano,corresponde a un toroide que surge por la existencia de f constantes demovimiento clásicas, tantas constantes cuantos grados de libertad tiene elsistema. En el caso de un sistema integrable tenemos igualmente f númeroscuánticos, los cuales son cantidades que permiten identificar de maneracompleta el estado mecánico cuántico del sistema y el valor propio asociado.Estos números surgen como consecuencia de la existencia de cantidades quese conservan en la mecánica cuántica.

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El número de sistemas clásicamente integrables –por lo tanto cuantizables porla regla EBK– es muy reducido. Lo excepcional es tener sistemas integrables,ya que la gran mayoría de los sistemas físicos son no integrables (caóticos).La cuantización de estos sistemas es un problema actual que no estácompletamente resuelto. Los trabajos de Gutzwiller [2] son el punto de partidapara las investigaciones modernas en esta problemática. El resultadofundamental se conoce con el nombre de fórmula de Gutzwiller para la traza4,la cual es la herramienta más importante para la cuantización de sistemas nointegrables. Desafortunadamente, en general, la fórmula de la traza noconverge cerca a los valores de energía semiclásicos o cerca a resonancias [6].

4 La traza de una matriz es la suma de los elementos diagonales. Gutzwiller calcula latraza de un operador conocido con el nombre de resolvente de la ecuación de valorespropios. Una presentación introductoria a la fórmula de la traza se puede consultar enel libro de Ott [12].

La dificultad de cuantizar los sistemas caóticos está en el hecho de que elloscarecen de las bellas propiedades de los sistemas integrables. En especial, noexiste el número suficiente de constantes de movimiento que permita restringirel movimiento a un toroide f–dimensional. En el caso de caos extremo, sóloexiste una constante de movimiento (la energía) que define en el espacio defase una superficie de energía constante de dimensión (2f–1) y la trayectoriapasa prácticamente por la vecindad de cada punto de esta superficie (sistemasergódicos).

Una de las pocas propiedades que subsiste es la presencia de órbitasperiódicas, esto es, trayectorias en el espacio de fase en las cuales lasposiciones y los impulsos recobran sus valores iniciales, q(t + T) = q(t) y

p(t + T) = p(t) , después de un cierto tiempo T. Las trayectorias periódicas

son inestables y aisladas, pero son densas sobre la superficie de energía.

Los sistemas integrables y los no integrables se diferencian por el número deórbitas periódicas que participan en los fenómenos de interferencia mecánicocuánticos. Si los valores propios se calcularan semiclásicamente dentro de unaprecisión ∆E , entonces, a la luz del principio de incertidumbre para la energía

y el tiempo, se necesitaría encontrar todas las N(T) órbitas periódicas cuyosperíodos son menores que T ≈ h / ∆E . Para sistemas integrables de f grados

de libertad, N(T) ≈ const × T f , mientras que para sistemas caóticos,

N(T) ≈ const × (1 / T) exp (λ T) , de tal manera que en este último caso N(T)

crece exponencialmente.

Gutzwiller en su fórmula para la traza establece una conexión entre los valorespropios mecánicos cuánticos E n y las trayectorias clásicas generadas por las

ecuaciones de Hamilton, asociadas con el Hamiltoniano H. Al usar laformulación de Feynman de la mecánica cuántica y un método adecuado deaproximación, Gutzwiller representó la densidad de estados

ρ(E) = δ(E – En)Σn como una suma sobre trayectorias clásicas. La

contribución de cada trayectoria depende de su estabilidad y uno distingueentre trayectorias estables e inestables. Una trayectoria es estable si lastrayectorias vecinas a ella en un instante de tiempo permanecen igualmentevecinas con el transcurrir del tiempo. La trayectoria es inestable si lastrayectorias divergen. En la fórmula de la traza, las principales contribucionesprovienen de trayectorias periódicas.

La contribución de la a–ésima trayectoria periódica está dada por [13]

ga E = – i

hTa

1

2 sinh 12

n λ a

exp i n 1h

S a – 12

π α aΣn = 1

∞

donde Ta es el período de la órbita, S a la acción, α k el índice de Maslov y

λ a el exponente de estabilidad de la trayectoria. Si λ a es puramente

imaginario, la trayectoria es estable (en el sentido de Lyapunov) y si λ a es

real, la trayectoria es inestable.

La fórmula original de Gutzwiller y sus versiones posteriores, producidas cono por otros autores, son complicadas de aplicar, divergen en algunos casos,pero son en la actualidad las únicas teorías semiclásicas disponibles parasistemas caóticos [14]. Como caso particular, tales fórmulas se aplicantambién a sistemas integrables y reproducen la condición de cuantizaciónEBK.

IIIInnnnddddiiiiccccaaaaddddoooorrrreeeessss ddddeeee ccccaaaaoooossss:::: aaaattttrrrraaaacccccccciiiióóóónnnn vvvveeeerrrrssssuuuussss rrrreeeeppppuuuullllssssiiiióóóónnnn ddddeeeennnniiiivvvveeeelllleeeessss

Consideremos un nivel de energía E y designemos por P(s) ds la probabilidad

de encontrar el siguiente nivel en el intervalo [E, E + ds] ; esto es, s es un

parámetro que mide la distancia entre niveles. Para sistemas con dos o másgrados de libertad, la naturaleza integrable o caótica del sistema se manifiestaen las propiedades estadísticas del espectro del sistema. Hay evidenciafenomenológica de que la densidad promedio de estados P(s) se comportacomo una distribución de Poisson si el sistema es integrable o como unadistribución de Wigner si el sistema es caótico [15]:

PPoisson(s) = 1S exp(– s

S) ,

PWigner(s) = πs2 S 2 exp(– πs2

4 S 2) ,

donde S es una constante que representa la distancia promedio5 de los niveles.

La distribución de Poisson –sistemas integrables– tiene su máximo cuando ladistancia entre niveles es cero (s = 0), de tal manera que los niveles de energíatienen la tendencia a acercarse entre si formando ramilletes (“cluster”). La

5 La distancia promedio entre niveles se calcula mediante la relación

S = s P(s) ds0

∞.

distribución de Wigner tiene su máximo para un valor finito s = 2 / π S ≈ 0.80 S y se anula para s = 0. En el caso de sistemas caóticos

existe entonces una tendencia a que los niveles se separen el uno del otro y sepresenta en el espectro una repulsión de niveles.

En conclusión, hay evidencia fenomenológica de que la naturaleza integrable ocaótica del sistema clásico se manifiesta en el espectro del correspondientesistema cuántico. Recientemente [16] se ha propuesto una nueva cantidad quemide el caos cuántico en el espectro, la cual tiene un comportamientoGaussiano si el sistema es caótico y no Gaussiano si es clásicamenteintegrable.

DINÁMICA CUÁNTICA MEDIANTE FUNCIONES DE WIGNER Y

DE HUSIMI

El espacio de fase es el espacio natural para estudiar los sistemas clásicos y,por lo tanto, para analizar el problema de la correspondencia entre lasdinámicas clásicas y cuánticas en el límite semiclásico ( h → 0 ). Con esta

aproximación al problema de correspondencia, lo que se busca es establecer larelación entre los estados de un sistema mecánico cuántico y los estados delsistema clásico correspondiente, y determinar similitudes y diferencias entrelas dos dinámicas. La pregunta de interés es la siguiente: ¿Cómo se manifiestala naturaleza caótica de un sistema clásico en la dinámica del sistema cuánticocorrespondiente?.

q

p dq dp

Figura 3. Gráfico para ilustrar el significado de ρ(q, p, t) dq dp .

Esto plantea el problema de formular la mecánica cuántica en un lenguaje delespacio de fase–qp, análogo al de los sistemas mecánicos clásicos. Dentro deeste contexto se buscan introducir cantidades que aproximen sucomportamiento al de las funciones de distribución propias de la mecánicaestadística clásica (= mecánica clásica + hipótesis estadísticas). A la luz de esta

teoría física, la entidad fundamental que determina el estado del sistema es lafunción de distribución ρ(q, p, t) ≥ 0 , en lugar de la trayectoria. Por

definición ρ(q, p, t) dq dp representa la probabilidad de encontrar el sistema

en el instante de tiempo t en un estado (q, p) del espacio de fase, dentro delelemento de volumen dq dp (figura 3).

Dos funciones mecánico cuánticas, las cuales han sido objeto de especialinterés, son las funciones de Wigner y de Husimi [17],

Ψ(q, p, t) = < ψ(t) Π(q, p) ψ(t) > ,

Φ(q, p, t) = < q, p | ψ(t) >2

,

donde Π(q, p) es un operador de Wigner y |q, p> es un estado coherente.

Los estados coherentes, identificados por un valor promedio de posición y unvalor promedio de impulso, son estados mecánico cuánticos, que mejor seasemejan al concepto de estado clásico, sin violar el principio deincertidumbre.

Las funciones de Wigner y de Husimi proporcionan la información mecánicocuántica que más se aproxima al comportamiento de las funciones dedistribución de la mecánica estadística clásica. En el límite h → 0 estas

funciones obedecen una ecuación de movimiento similar a la ecuación deLiouville que gobierna la evolución temporal de la función de distribuciónclásica ρ(q, p, t) > 0. Sin embargo, en general, la función de Wigner es real

pero puede tomar valores positivos o negativos, lo cual se interpreta como unreflejo del hecho de que los operadores de posición e impulso no conmutan enmecánica cuántica. Al tomar valores negativos, la función de Wigner no es unafunción de distribución en el sentido de la mecánica estadística clásica yFeynman ha sugerido la idea de introducir dentro de la mecánica cuántica elconcepto de probabilidades negativas [18]. Por otro lado, la función deHusimi siempre es positiva pero surge un problema con la representación delos operadores, ya que los símbolos representativos no siempre están biéndefinidos.

Si el comportamiento regular o caótico de un sistema clásico deja huellas enlas propiedades cuánticas, lo que se espera observar es que la función deWigner (o de Husimi) muestre en el espacio de fase una marcada localizaciónalrededor de las trayectorias clásicas del sistema. A título de ejemplo, en lafigura 4 se muestran las superficies de Poincaré clásicas y combinaciones decinco funciones de Wigner [19], proyectadas sobre estas superficies, para elcaso de un átomo de hidrógeno en presencia de un campo magnético intenso(las regiones más oscuras representan regiones de mayor probabiliad). Lointeresante es que las superficies de Poincaré clásicas y cuánticas coinciden: siel movimiento clásico es regular las estructuras cuánticas tienen una formasimilar, si es caótico las funciones de Wigner presentan una estructuraigualmente compleja. En otros sistemas físicos la función de Husimi pareceseguir el comportamiento clásico, mientras que en otros ninguna de las dos(Wigner o Husimi) lo hace. Dentro de este contexto dinámico no existe en elpresente un indicador universal de la presencia o ausencia de caos en sistemascuánticos.

ΓΓ0 Γ

Figura 5. Teorema de Liouville: Γ = Γ0 , el volumen se conserva

pero la región cambia de forma.

En lo que sigue trataremos de entender el problema de comparar las dinámicasclásicas y cuánticas. Clásicamente se cumple el teorema de Liouville, según elcual la evolución temporal de un sistema Hamiltoniano conserva el volumen6

de una región dada arbitraria (infinitesimal o finita) del espacio de fase,aunque la forma de la región puede cambiar con el tiempo (figura 5). Amedida que aumenta el tiempo, la forma de la región puede ir tomando formascada vez más complicadas; se presentan alargamientos y doblamientos, porejemplo, en forma de herradura. De esta manera, en sistemas caóticos, con la

6 En el caso de sistemas disipativos no se cumple el teorema de Liouville y el volumenusualmente se contrae.

evolución temporal se pueden formar estructuras infinitesimalmente finas, con

volumen menor que h f , y de formas variadas y complicadas.

En el dominio cuántico, en virtud del principio de incertidumbre, no haytrayectorias y por lo tanto no hay un teorema análogo al de Liouville. Como laresolución de la posición y del impulso está restringida por la constante dePlanck, h , es imposible seguir en el espacio de fase la evolución temporal dela función de Wigner (o de Husimi) en regiones finas, de volumen más

pequeño que h f . Tenemos así un conflicto entre la dinámica clásica y el

comportamiento mecánico cuántico de los sistemas físicos, el cualposiblemente tiene profundas consecuencias en el principio decorrespondencia para sistemas clásicamente caóticos. Los efectos cuánticoshacen imposible que la función de onda imite o siga las estructuras finas queexisten en el espacio de fase de un sistema clásicamente caótico. En particular,después de un cierto tiempo característico del sistema, t* = cons h , los

efectos cuánticos modificarán radicalmente el comportamiento clásico delmismo.

EXPERIMENTOS FUNDAMENTALES EN FÍSICA ATÓMICA

Decidir si hay caos cuántico sólo se puede elucidar sobre bases teóricas yexperimentales. Por esta razón, en los últimos años se han buscado sistemasfísicos apropiados para estudiar esta problemática. Gracias a los laseresmodernos se han desarrollado técnicas experimentales avanzadas que hanpermitido el estudio detallado de sistemas atómicos y moleculares en estadosaltamente excitados. Es el caso de átómos de hidrógeno en estados Rydbergsometidos a campos de microondas o a campos magnéticos intensos, encircunstancias experimentales tales que si el sistema fuera clásico exhibiría uncomportamiento caótico. Estos sistemas son de especial interés debido a quese conocen las interacciones que participan en el sistema y, en consecuencia,no hay ambiguedad alguna sobre las ecuaciones de movimiento, clásicas ocuánticas. El interés en estos sistemas es de caracter fundamental, en la medidaen que es necesario clarificar el principio de correspondencia, especialmentepara sistemas clásicamente no integrables.

En lo que sigue de esta sección explicaremos el concepto de estados Rydberg,ya que constituyen la base para el experimento que describiremosposteriormente.

EEEEssssttttaaaaddddoooossss RRRRyyyyddddbbbbeeeerrrrgggg

Con base en el principio de correspondencia, se espera que el límitesemiclásico de un sistema mecánico cuántico se obtenga cuando los númeroscuánticos del sistema físico son muy grandes [7]. En el caso de sistemasatómicos, esto se logra si el átomo se excita a un estado con un númerocuántico principal alto, n, dando lugar así a estados Rydberg.

Las funciones de onda Rydberg ϕ n m (r) = Rn (r) Y m (θ, φ) son el producto

de una función radial por los armónicos esféricos. Las funciones radiales seextienden sobre una gran región del espacio, proporcional a n2 a0 , y

corresponden a la energía

En, = – 1

2Z

n – g( )

2ε ,

donde a0 = 5.29 × 10– 11 m y ε ≈ ε0 = 27.211 eV son las unidades atómicas

de longitud y de energía, respectivamente; g( ) es un número que se conoce

como defecto cuántico, el cual en el caso de átomos hidrogenoides es igual acero. Un paquete de onda Rydberg consta de una superposición de estadosRydberg,

ψ(r, t) = an, , m(t) Rn (r) Y m (θ, φ) exp (– ih

En, t)Σn, , m

.

Estos estados tienen una serie de propiedades físicas interesantes. Debido a sugran tamaño y a los grandes números cuánticos, los átomos en estadosRydberg son objetos físicos que están en la frontera entre la mecánica clásicay la mecánica cuántica. Un paquete de onda Rydberg exhibe ciertascaracterísticas clásicas, por ejemplo, si el paquete de onda está originalmentebién localizado, su centro se mueve de acuerdo a las leyes de la mecánicaclásica sobre una órbita de Kepler. Por otro lado, un paquete de onda Rydbergtambién muestra características cuánticas, tal como el ensanchamiento delpaquete de onda con el tiempo, no obstante estar bién localizado inicialmente.Un segundo efecto cuántico es la interferencia de un paquete de onda con otroy la destrucción de la relación de fase entre ellos.

Los átomos Rydberg se caracterizan por que el número cuántico principal n esgrande. Típicamente, el tamaño de estos átomos es grande en relación al radiode la primera órbita de Bohr, a0 . Por ejemplo, para n = 85, la distancia

promedio electrón–núcleo es del orden de <r > =104 a0 , mientras que para

n ∼ 500 , el tamaño es una fracción de milímetro, casi un objeto macroscópico.

Como comparación, el número cuántico principal de la luna en el campo

gravitacional de la tierra es alrededor de 1068 , lo cual hace de la luna un objeto

realmente clásico [20].

Supongamos que para representar el movimiento de un electrón en el potencialde Coulomb preparamos un paquete de onda Rydberg, bién localizadoinicialmente. Tal paquete debe propagarse y ensancharse a lo largo de unaórbita elíptica, en concordancia con el comportamiento clásico. Sin embargo,después de un cierto tiempo, cuando la cabeza del paquete alcanza su cola,comienzan a presentarse efectos de interferencia que no se pueden explicarclásicamente. Este tiempo depende del número cuántico principal [21] en laforma τn = τ0 n3 . Una vez comenzada la interferencia, la evolución cuántica

predice que el paquete original se reconstruye aproximadamente después deun tiempo τr = (1 / 3) n τn , el cual depende explícitamente del número cuántico

principal n. En el caso de un átomo de potasio con n = 89, el tiempo τr es del

orden de 3000 picosegundos. En el caso de la tierra girando alrededor del sol

esto conduce a un tiempo τr del orden de 1073 años, el cual es tan grande que

evita que este fenómeno cuántico se observe en el mundo macroscópico.

IONIZACIÓN POR MICROONDAS DE ÁTOMOS DE HIDRÓGENO

EN ESTADOS RYDBERG

En esta sección se describe un experimento reciente diseñado para arrojar luzsobre la problemática de caos cuántico. A la luz de lo que se sabe del efectofotoeléctrico, sólo se requiere un fotón para ionizar el hidrógeno, siempre ycuando que la energía del fotón sea mayor o igual a la energía de ionizacióndel átomo. En principio, el hidrógeno se puede ionizar con amplitudes decampo muy pequeñas si se usa la frecuencia adecuada, ya que la ionizaciónocurre como una función de la frecuencia y no de la amplitud del campo.

Sin embargo, en 1974 Bayfield y Koch publicaron un resultado sorprendentedescubierto experimentalmente de manera accidental durante el trabajo dedisertación de Koch. Encontraron que en átomos de hidrógeno altamenteexcitados sujetos a un campo de microondas se presentaba un proceso deionización del hidrógeno en el cual el parámetro crítico era la amplitud y no lafrecuencia del campo. Esto es, para una frecuencia fija en la región demicroondas (tal que la energía del fotón está bién por debajo de la energía deionización), la ionización comenzaba a ocurrir súbitamente cuando la amplituddel campo se incrementaba. A pesar de que en ese entonces no se percataronde ello, Bayfield y Koch habían descubierto un nuevo mecanismo deionización multifotón.

En estos experimentos un haz de átomos de hidrógeno altamente excitados (elnúmero cuántico principal n está entre 27 y 90) se hace pasar a través de unacavidad de microondas. El campo de microondas se elige típicamente con unafrecuencia ν = 9.9233 GHz = 1.51 × 10 – 6 ν0 , donde ν0 = 6.57968 ×

1015 seg– 1 es la unidad atómica de frecuencia. La energía para un átomo de

hidrógeno con número cuántico principal n es εn = – ε0 / 2 n2 , donde

ε0 = h ν0 = 27.211 eV es la unidad atómica de energía. Por lo tanto, el número

N de fotones del campo de microondas necesario para ionizar el átomo esdado por

N = 1

2 n2h ν0

h ν.

Por ejemplo, para n = 66 se requieren N = 76 fotones. Un átomo con n = 66es un objeto gigante desde el punto de vista de la escala atómica, ya que tiene

un radio alrededor de a0 n2 = 2.3 × 10– 5 cm , en comparación con el átomo de

hidrógeno en el estado base cuyo radio es dado por el radio de Bohr, a0 = 5.3 × 10– 9 cm .

Tal como se definió previamente, el caos cuántico es el estudio delcomportamiento cuántico de sistemas clásicamente caóticos. Este es el casodel sistema descrito en la presente sección. Entre los objetivos del experimentoy de la discusión teórica (clásica y cuántica) asociada con él está el analizar elcumplimiento del principio de correspondencia o la falla eventual del mismo.Este análisis debería conducir a un entendimiento de la manera como ladescripción cuántica cambia a una descripción clásica; mientras que en laprimera predomina el principio de incertidumbre y los fenómenos deinterferencia, en la segunda están ausentes estas características cuánticas y ladescripción se hace con base en el concepto de trayectoria.

En los experimentos (figura 6) se determinó la probabilidad de ionización7

como función de la intensidad del campo eléctrico (E en V/cm) dejando fija lafrecuencia del campo de microondas. Los resultados muestran que: (a) paraun número cuántico principal n fijo, la probabilidad de ionización aumenta decero a la unidad a medida que se incrementa la intensidad del campo; (b) losnúmeros cuánticos desde n = 49 hasta n = 51 parecen requerir la misma

7 Desde el punto de vista del experimento, el término “ionización” se refiere a señalesexperimentales que registran la suma de ionización auténtica más excitación a estadosacotados por encima de un valor de corte, n > nc .

intensidad del campo eléctrico para lograr el 90% de ionización; (c) lo mismoocurre con los números cuánticos comprendidos entre n = 66 y n = 72; (d) laionización es considerable aún en el caso en que el pico del campo eléctrico espequeño en comparación con la intensidad del campo eléctrico estáticonecesario para ionizar el átomo. Por otro lado, se observa que la probabilidadde ionización depende débilmente de la frecuencia ω del campo.

EEEExxxxpppplllliiiiccccaaaacccciiiióóóónnnn cccclllláááássssiiiiccccaaaa

Los experimentos descritos previamente son fundamentales dentro delcontexto de la física moderna [23]. Los métodos teóricos convencionales de lamecánica cuántica fueron incapaces de explicar este proceso de ionización quedepende fuertemente de la intensidad del campo de microondas y sólodébilmente de la frecuencia.

La primera explicación teórica exitosa la realizó en 1978 Leopold y Percival[24] quienes usaron un tratamiento clásico del átomo de Bohr en un campo demicroondas, tratamiento que justificaron en virtud de los grandes valores delos números cuánticos involucrados en el experimento. Ellos simularon elexperimento usando un método de Monte Carlo, integraron numéricamente lasecuaciones clásicas de movimiento para un conjunto estadístico microcanónicode condiciones iniciales y calcularon las probabilidades de ionización, la cualconcuerda muy bién con los resultados experimentales.

La interacción del átomo de hidrógeno con un campo de microondas dirigidoa lo largo del eje- z se describe por el Hamiltoniano [25]

H r, p, t = 12 m

p2 – e2 1r – e z A(t) E cos (ωt)

donde –e es la carga del electrón, ω la frecuencia del campo y A(t) es lafunción envolvente o forma del pulso que conecta y desconecta la amplitud Edel campo eléctrico. Clásicamente, con un cambio de variables adecuado [24,25] se presenta la propiedad de escalamiento, de tal manera que es posiblereescribir el Hamiltoniano en la forma [22]

(R , P , τ) := n02 H(n0

2 R , 1n0

P , n03 τ)

= 1

2 mP 2 – e2 1

R– e Z A(n0

3 τ) cos (Ωτ) ,

donde n0 es un parámetro que desempeña el papel de una acción inicial

( I0 = n0 h ). Si se elige A(t) = constante, entonces el nuevo Hamiltoniano no

dependerá de manera separada de las tres cantidades n0 , ω y E sino de dos,

Ω = n03 ω y = n0

4 E . Esta propiedad es útil en el análisis de experimentos.

En la mecánica cuántica, sin embargo, no se presenta la propiedad deescalamiento. En efecto, cuando se calcula el conmutador entre los operadores

de posición e impulso escalados se obtiene R , P = h / n0 . Este hecho

sugiere la posibilidad interesante de tener una constante efectiva de Planck, hef = h / n0 , que se pueda aumentar o disminuir, permitiendo así alejarse o

acercarse a las condiciones semiclásicas del problema. Es un hecho quealgunos datos experimentales cumplen la ley de escalonamiento mientras queotros no [25].

Seguimos a Jensen [23] para la explicación del fenómeno desde el punto devista clásico: El caos es el mecanismo físico que da lugar al proceso clásico deionización. En la ausencia de la perturbación de microondas las ecuacionesclásicas de movimiento del electrón en el campo de Coulomb son integrables yel movimiento del electrón está confinado a elipses de Kepler. En presenciadel campo de microondas el sistema deja de ser integrable pero el teorema-KAM garantiza que para perturbaciones suficientemente pequeñas elmovimiento del electrón es aproximadamente integrable y permanece regular yacotado para muchas condiciones iniciales. Sin embargo, cuando se excede unvalor crítico de la perturbación la trayectoria del electrón se convierte en caóticay emigra hacia energías cada vez más altas hasta que se ioniza.

La concordancia entre los valores experimentales y los valores teóricos paralos umbrales de ionización de átomos de hidrógeno altamente excitados y laspredicciones de caos clásico indican que los efectos del caos clásico persistenen el comportamiento del sistema cuántico y que la teoría clásica puedeproporcionar una descripción útil para describir sistemas cuánticosfuertemente perturbados, los cuales son dificiles de tratar por los métodosconvencionales de la mecánica cuántica. Sin embargo, se debe descubrir elmecanismo por el cual la mecánica cuántica simula el caos clásico, el cual dauna explicación exitosa de las observaciones experimentales. Es tambiénimportante entender las condiciones bajo las cuales la interferencia mecánicocuántica modifica el comportamiento clásico.

El hecho de que la teoría clásica proporcione mejores resultados que laspredicciones cuánticas se debe a que, por encontrarse el átomo en estados

Rydberg, muchos estados cuánticos están fuertemente acoplados portransiciones multifotón de todos los ordenes. Sólo solucionando la ecuaciónde Schrödinger por métodos numéricos con cientos de funciones base esposible obtener una buena concordancia con el experimento.

EEEExxxxpppplllliiiiccccaaaacccciiiióóóónnnn ccccuuuuáááánnnnttttiiiiccccaaaa

La dinámica cuántica de átomos de hidrógeno en presencia de camposaltamente oscilantes se divide en tres regiones [26] : (a) Bajas frecuencias,

Ω = n03 ω < 1 , la cual corresponde, para la frecuencia de 9.92 GHZ del

experimento de Koch, a n0 ≈ 32 - 50; (b) frecuencias intermedias,

Ω = n03 ω ≈1 , n0 ≈ 50 - 90; (c) altas frecuencias, Ω = n0

3 ω > 1, n0 > 90.

En el régimen de bajas frecuencias, se presentan unos picos de los umbrales

de ionización cuando Ω = 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 y 1/5, y cuando la perturbaciónexcede un cierto valor crítico el átomo se ioniza tanto en los cálculos clásicoscomo cuánticos. A frecuencias intermedias se presenta una resonancialocalizada alrededor de n ≈ 88 y los átomos son más dificiles de ionizar,

aunque no hay una explicación cuántica sencilla para este hecho.

Para altas frecuencias, las predicciones cuánticas teóricas establecen que elsistema debe ser más dificil de ionizar que el correspondiente sistema clásicoy que la ionización clásica caótica debe suprimirse como consecuencia de losefectos cuánticos de interferencia. Debido a que valores grandes de Ω >1 se

obtienen aumentando la frecuencia del campo de microondas o aumentando elnúmero cuántico principal, entonces las predicciones teóricas anteriorespreveen una falla dramática del principio de correspondencia entre la mecánicacuántica y la mecánica clásica [26]. Experimentos más recientes parecenconfirmar la supresión cuántica del caos clásico, pero debido a las grandesvariaciones de los datos se requiere aún un análisis teórico más detallado. Sise comprobara que el principio de correspondencia falla estaríamos en losumbrales de una nueva revolución de la física, ya que sería necesario entenderla causa de la falla y posiblemente modificar la teoría cuántica para hacer queel principio se cumpliera.

CONCLUSIÓN

Los fenómenos agrupados bajo el nombre de caos cuántico están intimamenteligado con el principio de correspondencia entre la física clásica y la físicacuántica ( h → 0 ). Este campo de investigación es relativamente joven de tal

manera que no hay aun un procedimiento sistemático que se deba seguir. Ladeterminación de valores propios y estados propios en términos de cantidadesclásicas es un problema abierto, en especial en el caso de sistemasclásicamente caóticos.

Los lenguajes clásico y cuántico son dos maneras humanas diferentes paradescribir sistemas físicos. La naturaleza, a lo mejor, no conoce decomportamientos clásicos o cuánticos. Posiblemente tampoco sabe demovimientos regulares y caóticos. El principio de correspondencia es undiccionario con el cual se busca establecer un puente de unión entre doslenguajes diferentes, el clásico y el cuántico.

¿No será que la solución a la problemática de caos cuántico hay que buscarlaen el esperanto?. Esto es, en una lengua universal que sirva para describirfenómenos en los dos mundos y que permita una transición suave entre ellos.El nuevo idioma debería tener una estructura similar a la que une la relatividadespecial y la mecánica newtoniana, en la cual, cuando las velocidades de laspartículas son mucho menores que las de la luz ( υ << c ), las ecuaciones de

una teoría se reducen a las de la otra de manera natural.

Quizás lo anterior sea una utopía o una imposibilidad8 y debamos resignarnosa aceptar lo establecido por Prigogine [27] refiriendose al principio decomplementariedad de Bohr: “Los diversos lenguajes y puntos de vistaposibles con respecto a un sistema físico pueden ser complementarios. Lairreductible pluralidad de perspectivas sobre la misma realidad expresa laimposibilidad de un punto de vista divino desde el cual se pueda contemplartoda la realidad”. La dinámica cuántica se debería formular de manera tal quelos dos lenguajes (clásico y cuántico, partícula y onda) coexistan en unadescripción unificada, pero manteniendo su identidad. Un trabajo recientesugiere que las ecuaciones de Hamilton actúan como “sistema característico”para la ecuación de Schrödinger, de tal manera que las primeras describen elsistema clásicamente (partículas) mientras la segunda lo describe como ondasde probabilidad.

Hoy en día, siete décadas después de creada la mecánica cuántica, somosincapaces de prever adónde nos llevará la temática del caos cuántico, peropodemos estar seguros de que, con su desarrollo, se consolidarán yentenderán mejor las bases de las ciencia físicas. Por ahora, lo que sabemos es

8 La teoría cuántica en su forma actual es altamente singular en la constante de Planckpero la singularidad se origina en las condiciones iniciales (funciones de onda) y no en

la expansión de los operadores en términos de potencias de h .

que, así como la existencia de la velocidad de la luz limita las posibilidades detransmitir información, la existencia de la constante de Planck limita lasposibilidades de medición simultánea de variables dinámicas, tales comocoordenadas e impulsos o energía y tiempo. Las implicaciones del cambio deuna imagen clásica a una imagen cuántica del mundo, en cuanto acomportamiento caótico se refiere, posiblememente se dilucide en la próximacenturia, donde también sabremos si el principio de correspondencia en suforma actual fue capaz de subsistir al cambio de siglo.

Como es propósito de la física el tratar situaciones susceptibles de laconfrontación teoría-experimento, en este trabajo se ha descrito el caso de unasituación experimental que sirve como paradigma dentro de la investigación decaos cuántico. El papel prominente de este sistema se debe, por un lado, a quese conoce de manera precisa las interacciones que intervienen en el sistema y,por otro, a que existen técnicas experimentales modernas que permitenpreparar los átomos de hidrógeno en estados Rydberg. Otro sistemaapropiado para el estudio teórico–experimental de caos cuántico es el delátomo de hidrógeno en presencia de campos magnéticos intensos, el cualhemos utilizado marginalmente para comparar superficies de Poincaré clásicasy cuánticas.

Finalmente, es de anotar que la importancia del estudio de caos cuántico noestá limitado al dominio atómico, como tampoco es sólo de interés teórico. Enefecto, se observan fenómenos caóticos en microestructuras desemiconductores [28, 29], las cuales algún día serán las componentes de lasnuevas generaciones de circuitos integrados. El entender y ser capaz decontrolar estos fenómenos contribuirá posiblemente a un nuevo saltotecnológico, con profundas implicaciones en la mecánica estadísitca (clásica ycuántica) y a una modificación de nuestro esquema de pensamiento.

AGRADECIMIENTOS

El autor agradece a los profesores Hernán Estrada y José Fernando Isaza lasdiversas observaciones y recomendaciones que permitieron preparar la versiónfinal del presente trabajo.

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