Cap 1 Vectores-ejercicios Resueltos-resnick Halliday
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VE CT ORES •
CAPITUL O 2 IOR O.L E MAS
1, Sr ~ ...... n 00'> veetore!; .. y b. OeInO~lr.r q_ l . on.lgnitu,J d~ l .• :e -
Sull'"le nt ~~ se r -.yor que .. . b n i ~nor que J
cM Lu bar ,-:> . ·/1!r«i c. ll!~ Ind i c.n e l ". lo r absol u t o.
'-'el'lOO) que : .... ¡; .. e
l. ~ni tud 1. ¡ • ¡; eJ, \ _ ... b'¡ 6 le¡ l, ~itud de .. I!~ \;1 6 •
L • .agn l t\H1 da ¡ •• lb] 6 b
.. - b ( \_ + b'1 ( .. ... b
t ( ..... b
:11 < e ... b
b ( e ... ..
b, I!f> " .......
•
1) l. '" bj " ;11 ... b es cierto, ngún l. re lación de l tr i Sngu l Q
e e ..... lo
2} .. - b " \¡- ... b! es cierto , ya qua: .. < e + b
.. - b (' e
entonces se CUMPle,
• - b < ,; + b'¡ (' .. + b
h,) .. + b .. e '1 a ... b - e,
(b) ..... b - .. - b,
(c) .. + b e '1 .t + b' .. C; l
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- 2-•
• ) .... ¡; .. e y .... ti .. ,
Cu~ los vectores [ 'enen l •• i~ orlent.c l6n son p, r. le los.
~, ;.~ .. . -It
t-t40.1 .,.~tor ¡; .s 1 .... 1 • cero (-.6dul o , .
d •• i. c , ,1'+,,1 .. ,1' t..- las wec:tores .. , i f _ un ' "gu l a reuo (jO.)
• • • J . eo.."41resc dos • • p l.:z_i_tos . _ tle _gnl t ud J l1li. 'f o t r o de
~ltlt4 .... Imllor ~ puedeR ~In.rse eHos vector •• d. de!.
pl.~I .. t o ~r. obtener un 4«spl.t" ' ento reSu l l ~nte de m.gnl tud
t.) 7 • . • ,.) l •. , (e) S •.
Wscié; s.an los ~tor .. ¡, i le ..,.1 , ... , • 'f 111; I.s ~bln.clones .~
,lo. ., • ¡
• • • ... 111 .. 7 .. .
• lOo • ., .. • •
ki· • b - ... I • .
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-3- •
,- " 1 es r . (ncontrll" (,, ) h It c;ompol'll!ntes de r sobre
k y de lu y; (b) l. _gnltud de r; y (e) el ángu lo
con el eje de I.s A.
y
o, • ).'
o
y
, ,
el eje de lu
que fa,.",. r
_p "'-___ .... 1..'''-_ ,
.1 Del grlf lco obtene.os;
r ... + ¡- .. . (1)
doftcf. :
• • • r. • r • y
•• ... T • • r y
Ulculo de , .. c.o.pon ... te' escll la,.e, d. los voctoreS : • y ¡;
• • <o • JO" 10CcoI )0· ) • '.66 } • (.) ... • • • " . lO' lobCII JO·) .. S . OO
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b 13S· 10 13S· 1 b <O> '"' ),07 L , '. 07 J b b ". IJS " • 10 ~e" 1)S· ,
r""'ap l. z: .ndo (.) , (b) ,. (1)
, . (', ó • • TI • (b I • b T> , • y
, . (. • b )T .. (. • b'l' )J , • y
r ... (8.6& ;. 0111 " (S + l .01)}
r" I.s9T .. n .;)1 T
' . I .S'
r n .07 y
b) l . -.gn l tud de r ser';
el 0.1 grif ico :
... a
ng o.
, . 1 , 1 .. " • y
, , 12: . 2
12 . 01 .. ----n9
7.61
u c: . caV{J · &1)
a .. 81. S·
". (bl
S. D.dos dos .,actore5 ..... , - J j '1' b .. 61 .. Sj. e ncon tr a r l. di ree·
ci~ '1' "SIIlt ud de 1, de b, de a .. b. de b - 1, r de .. - b .
Soluc..i6n:
O.do : .. .. liT b .. 67 + 8)
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Di reccJ 6n dfl' " ,
t1Ig a f e .. are. lag ( ~o.75 ·)
o 323.1)° ángulo con e l eje ")t"
b) "agn i tud d;! b;
, 10
Oireccd6n de b:
,., • • •
y
el ""gn;tud de a + b: · , ,
8 ¡;
.. ~c. t ::tg (8) .-5) ' li"gulo
lor . Sr
con el e joe
,
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1-
,; . b¡ ... 11. 11
tat 8 - ~O
4' ...... t ud da ;- - b:
.. "- ¡.. ti - 111 1- - b) /( - 2)1 + ( - 11 )·
, . .. bI 1Ií . 121
l. - bl .. 11. 18
.'rec.c.f6n ., .. - b:
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e) .".,itud de ti - . :
¡; - ..... 21. IIJ
lb - al .. 11 . 11
•
,. Generalizar el -'todo ~l f t l~o de desoo.posic i6n V súma al ,aso
~ tres o '¡S ~ctor.s .
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" ¡ " gulo que: '0_ , <M .1 eje "x" en sen tido con t r.r jo , , .. aguju del re loj ser':
, ~ , • ,
B .. a rcug I~) , •
7. Un auto-óYll recorre hacia el e ste un. dlsta"ci. de SO km . • de ' -
~, ~c i . e l norte, )0 k.. Y luego en di recc ión ]0· ., el te de l
~te . 2S ~. Tr.z.r el di.9r~ de YCetorel y determ ina r , 1 des
~ 1.,~.ieAto total del a u t oaó"I' ~dldo desde su punt o de ~.rtid • .
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Su ;, b y Z los 6esplu_ltlnt Olo
,e. l lz.dos por .1 .uto.6vi 1, don
." • . SO ;
¡; • 'O I , - 25 .,. 10'r + 25 COI
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N •
6 j ~-===t-'----
1 •
r .. Iso + 25 sen )0· )1 + (lO + 25 cos 10'1] r· fo1.5 r+ 51. 65 T Cil cul0 del módu lo :
, -,
1'2. 51 + 51. 651
81.08 U .
($I,u 10 de l . direcci6n:
ug ...
• •
5' . 65 62.5'
51.65 .rc . t.g(~)
39.S7°
E
8 . Un. vez que l1eg •• 1 cés ped , un jugador de golf nece~¡t. dar tres
901pe$ , ~u bol. par. meter la. [1 primer go l pe mueve 1. bol. ).66
.. . (12 pies) " . none , e l segundo l ........ "e 1.8] .... (6 . 0 pies ' .1
\ureHe y el tercero, 0.9 1 lO. (} .O pi e s) al suroeste . ¿Que de\p l,!
l~¡ en to s e hubiera neces itado par. meter la bol. al hOtO en e l
pri_. golpe?
Sed a, ti y e los f!I( .... ¡"'ientos que real iza l . bo la :
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p'" dato d,l
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. 'o.;;,~---c.---;-.~,C,-,-,
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1. 8] '"' 1\" J T - 0 . 91 ~ "' I\ 4S'
t~l lc ... lo Ó ... la direc ción:
t"-9 6 •
, ,
"
4 S~
( 1 . 72) a r <:. t ' g o:6S
69 · ) -
•
E (este )
9. Un. pa r ticul. expr.rimenta tre~ de sp lal~m¡enlOS consecu t i vo§ e n un
pl.no, c.omo s igue : 11 . 0 m ... 1 suroeste. 5.0 .. . ,, 1 eu e, 6 .0 m. e n
un. direcci6n a 60· .:ti norle del eue. Esc0ger el eje de las y a~
puntando.ll n(lrte y el de las ... dirigidO.Jl eHI: pa r a obtener {al
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- 10-
1_ co.ponentes de c~. dc,pl.z_ient o , (b ) 1.5 c~onentC:5 del
~Sp'az .. i Cftto re~ll~t., (e) ' a ~gnitud, d ireccíón y senti do
de' de~p ' .z_i e.lo re~ullante, y (d) el de$p l azamiento que se re
.-erfrr. pera regres.r l. ,.rtíeu la .1 punt o de pa rtide .
.,1 I r"ieo ;
•
•
•
T •• ~ • •• , • ,
• -. ~ .,. • • , .. • • • , • • O , < < • < • • <
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o .
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2.8) o .
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S. lO o .
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S
, - (-l .8J+S+J)T + 1-2.81*O+S. 2);
r - S. 11 T + l . J7 J el "'culo de l ... gnl t ud :
, A . 17J • 2 . )1J
r S." • .
d} (ilcul o de l. dirección :
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la9 O
-11-
2.31 5. ' 7
•
10 U!.e una escilla de 2 /!l. po r centímetro y SUI.., grSficaonenu. l o !.
de!.p laz_ i enl os de l Probo 9. [keterllline de ~u gr.ifica la K"o<I \I ' '¡ -
lud. dirección y sentido de la resultante .
El g rifleo es auy s iGilar .1 ~str.do anterlor-ente por lo tan
lO, dej....as al lector a reil l lZilrlo mlis det~nld_nle ; donlle se
oblendrjn:
, , ~. b 2. 5 elll .
, • J elll .
, 2 .85 , .. • " . 6)-
1' . Gene ralice el Gétodo ilnalftleo de deseQlllPOner y s~r dos v,e t ~
res .1 eilso d, t r e s d l .. nsione s .
Soi"Ú6t1 :
guiente ,nillleelllOs
" 6onde :
',. a , ,,ene
'" a, senO
'" "', (;OSe
a" ' r aJ , ...
, "
' .. T. ' "
~ • • J
w., sen.
, "
" ..
K
cons;
•
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".
•
- 12-
• Dich.s eKpresione s se ob tienen de l 9 r ¡ r icu ~Jjunt o .
, " • " 'l • • •
" • • • ¡ , , • ,
, ! , , •
" .06<:1 ... 10 scr~ :
, rr;-: ,1 • " • , , ,.) Un;:. r>ersOl~ ud .. po'
" puerta pri ' 'I\;ip,l' " ~u c. \ .t , :;. .... .,. ¡ ....
)0\ . 9 • . ( 1 ,000 p;cs ) t>cc : .. " .t U e . 60';1.; m. U, OOO lI ; es ) ~ci.
" roorte , , de!p<.>é~ ,- 0"" _ ",(Id " " bo l sil lo 1 1. deJ .. t !
" en un ac,nti l .do d. IS2 lo • ¡seo plu) de ,lt "":II, Esub le(e r
un ¡iste~ de coorden~d .. s y escribIr un. ",_p re s ión par •• 1 des "
pl u_l ento de l a moneda, elllphu ndn ... cetores "ml u , jos . (b ) l ¡¡
pe ' son. re~res. en sequl d ... 1. pver t. de su ca s., sigu ie ndo un
c~ino d i fe re nt e en el vllje de re torno . ¿~ujl e ~ su despl aza
.ien t o resul t.n te p.r. el vl.je c~le t o de id. y vue lt .l
Consi cSerancio e l si st -.a de tr e s dimens ione s ; con J. s i guien te di ~
, .. ¡ • b te • ¡; , ,
,
) O/¡ . ' ....
609 . 7 T 152 . '" I
3011 . 9T • /)0" .91
1)97 . "
609. 1T
• 609 .71
" .
,
y
• IS2. lok
• l S2 . /¡ 1
, l a INgnitud de l desplO1liilllllent o d~ ",U("lt <ll s erá lo ",i~1I\O Que a la
de ida, pero en sen t ido contrario .
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-1)-
Por lo t a nto, e l desp l az amiento o.: ompl e¡o ~ e''¡ ,qva l ·011 desplu!!.
mie ntO de ida má j el despl az am i e n t o de vue l la , d~ndo como re~ u l
ta do cero.
1). Encontrar l a \ vm,J de lo s vec t o r e de de s p l a zam i ent o c y d cu ya s
componentes "l> k i lÓllletrcs según tres d ir ecciones p'''''pendicul,¡¡ -
re s son:
S04 « 611:
Sea : ~ • ~ • , , , , , , ,
• y , , , ; • , j • , , • y ,
r e empl a z ando va l or e s :
e * Sr ik"
d " 3i . 4) + 6k
/~+16+16
b km.
\4. Ur. veuor d tiene una magnitud de 2.S m. f a punt.; hJc iJ ,,1 nl;"
te. Oi<;a (Cuáles 50n la s m,)gnitude~ y direcc iones de los "~dO •
res.
(a ) + d . (b) d l2 .0 , (e) - 2.5 d y (d ! ~.O d.
Ve"tor Magnilud O; re~c ión
- , 2'
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- 14-
"i1Z 1.2S • 2. " 6 . 2S • , •• 10 •
IS . l a s d i-ens iones ~ un cu~r to son 10 p ies x 12 p i e s x I ~ pies . u
" iJ -ose. ~ sa le de un~ esqu i" a l1e9~ a I ~ esquina d i a9ona l ~n
t e opueSla . (a) ¿Cuil e s l iJ -.gnit ud de su de s p laza", ientol (b)
¿Podría se' la longitud de s u t rayector ia ~nor que est a dis t a n
ci a? ¿Podr ía scer ...,or1 ¿Podda u r ' gua ll (e) Escoge r un , .;ue
.. de coorden~s ~cu.do y calcu la r l as compone nt e s de l ve c tor
de desp l a~a.iento en e s e ~rco de refe re nc i , .
, -I r 2 •
,
Según los d.atos de l pro blema :
r .. 10T .. 12)" I~k
16 . En el probl_ IS. si l . IIIOsca no vo lar a s i no que cami nar iJ . LCuál
serfa la long itud ~ la t rayectoria más corta que pudiera s eguifl
,.
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" IS . fi20 S • . •
'c · 11 0 1 • lO' . h96 • 11 . 2041 _ ,
l .. long; t ude~ ", .. s cortils ser'n :
10 • " 28 . " ) 9 ' o . .. • " 29 .6105 o .
" • Oc ' 9·20'7 o .
Por lu Id" l n I_} ,,,,,yecto"¡ • .,¡ , t ort. sc r. ;
r .. 28 . 11], ••.
17. Un 3"' .. d ..• ~uc lil de W .. shi .. g l on " ~,.¡ l • . !)escribi , e ; ve(;l or .: ....
plaz.-i .. -HO. ltu,U e s S<J -..gn it ud s; l. lat i t ud \" h, 10119; ' ,;10 .1e
In do~ t ;ud;!de ~ 'loon 3'· H, l r O y IS· !l. ¡U · El
SolUCiNn:
[1 veelO' corri miento e s el
"cetor Al! . De 1" figun (1)
ye-os Que :
". y que
A "¡ .¡",i. i'.¡"
.. Illonce s:
(0l<I0 ~e ve en la (;gur. (2) .
(i"' - ¡') ,u U" "ce l o r '" eL pl an ... ecualur al, y (8-' - A")
N
s
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-16-
(8' - A') $e ulcu lar. por l a ley
de los cosenos. Si e ndo :
A' " 6 . " 00 cOS )9- . y 8 ' .. 6. ~ oo cos 15 ·
(6, " 00 u e l rad io de l. t je rra ). ~~.l pl~
a' ec;w.toria l
Se tendr . :
ji ' A'I! " ( ... , ) I + (, , ) 1 _ Z ( "") ( 8 ' )eo~ 162 ·
6 . ~OO (eos' )9"+eo$ 2 1 5 " - 2eos 15 · co$ 39 · cos 1 62 " ) ' .. (2 )
PO f o tro 1a40 8" y A" son vecto r es eo linea 1u . si e ndo :
de donde :
Reemp l illando (2) y (J) en ( 1) obtenenoos la m" gni t ud del vec tor
AB. r --;--
1 As i /í 6~OO) 1 (cos 1 ]9" . COS 1 , 5- 2eos 15· cos )9"cos 162" f
11,100 km.
IA 81- 11.200 km .
18 . Dos ~ec to(es de longi tudes a y b formoln un angula u cuando se
co loc an a parti r del mismo o rigen. Tomando componentes según 2
eje~ pe rpendlcularn . delllOHrar Que l a lon9itud del vector (e
su1t""te '"'s :
r _ la1 + b 1 • 2.Jb cos i¡
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-1"1-
~ e 9,jo ,, : oJ. ;' f jco e es ,, ' f!len o r
i ngu l u uve ~acen lo s ve c t o res
¡; v F.
t " '" t r , a r' J'Jlo ACO :
AC "" ¡fOl . . . O )
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i f,,;¡1 • • •• :; 0 :' , I ' j
¡r .. "1 h Sen , AC - A
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" a 1+b1 h en 1e • ( os 1 8) + l ab ( OS , " .' · b' • '" eo. e
la 2 • b' . , • 7a b cos , 19 . Pa r a un vec : o r (.u"' Qu 'e r .;o il demo Sl r ar Que a a _ a ' yque a x
" .. O.
a l Sdb~mos po r la p rop;ed"d re fle x i va , que roda rec t a es p il r a l ~
1 .. a s i ",;smo (i 11 al
• • • •
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-, ... •
tll De ;!fU0I' ..,ciQ que e l caso anterior.
20. Uti lícese el $i$t~ OIcoslu.br.dO (derecho) de ejes de ,oorden&
d,., ~. Dado ~I ~ector .. en l. 4irecci6n pOsitiv~ del eje de
1.s z. el wector b en l. direccl6n positiva del e j e de las y , y
1. c~ljdad esc.l.r d : (., ¿CuJl e s l. direcci6n y senlido de a
Il 1:11 (b) Ltull es l. direccl6ft , sent i do de b " .1 (e.) LCu.1il es
l. dlr~j6n y sentido de bI d} (.) LeuSI es l . m.gn itud de ... b1
Del grifIOD deducl-os:
¡jI .. II ¡; unclri l. dlrecd6n
del ej"" "lOO. s en! ido pOsl t i yo.
1:11 D .... tendrJ l. direccioo
del eje "lOO sentido neg.ll
tivo .
¡; e l ¡ tendr¡ 1 .. d irecci6n del
eje " ,", y sus sentidos se
r~:
Si el > O; senti do posi t ivo de: 'T'
Si el < O; sen tido negat ivo de "y"
d) 'h que : ..
z
a
t./d ti }--""'-+---y
21 . Un vect o€ .. de diez unidades de ~¡tud y ot r o vec t o r b de se i s
un¡d~s de -.gnitud .punt.n en direcciones que formen un ¡ ngul a
de 60-, [ ncontr,., (.) el p~o6ucto e~c.I .~ de los dos ve ' t o res y
(b) el .~oducto vecto~i.1 de los .Is-os.
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a 10 uni dade~
b .. 6 unidadf:S
-19- •
a) 3 . b .. ab cos &0· ]0 unidades :. cuadrado (es un escalar).
b) , • b ~ ab sen &0· - 51. 9& unidades a l cuadra do per pend i cu lar
al pl a no fo r..ado por a y ¡; (e '! un vec tor).
22 . { n el s isteRa de coor denadas de la (i9. 2-6b demost ra r que :
k .k .. 1 , ¡ . j j . k k . i o
$abe<Jlos que: los vec t o r es un i ur los T T y r t i enen por .... gní t ud
l . un i dad .
a ) De l a fi gura obt enemos :
T T .. cos O· .. I
j T · J J <o. O'
r • O' , • · • <o. .
T T • j . j . k . r . b) T T · j <"' OO' . O k
T r · j • < • • oo' • O ,. r T ..,' O
¡ j · • <o.
; j . j . k . r T . O x
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-20-
2) (1'1 e l .. ,st~ der echo de coor de n .. d . .. de 1 .. fig. 2;6~ delllOu r .. , q '
x j X j
x j k ; k X j; j X k
De ~.ner. 5i~ j l a .. 4ue . 1 problema an t erior :
.) ; X ~'!n O' O
jx j j j .~ " , . , .- X r k k s, .. ~.
¡xi .. Txj .. (xi( O
b ) T X j j '" '0· • " Xk j J k '" ,,' • ,
XI , k '" ,,'
2~ (.) Hemos vis t o que l . l e y c~tali v. no se a plica. los p rodu~
tes vectoriales , e sto e ~ ... X b 00 es '9u. 1 • b X ,l . O~ .. t r .rQ·
l. iey coomuta t iv Ol sr pued .. a.p li carse • los productos eHa la res,
c HO es, Que a . b " b . Ot, (t.) Oenoour .r Que 1. l e l jiHribut '
~a se a pl ica tanto a 105 prQduct<,s e sc ala res ")f,1O • lo~ v.c t ed a
les, e st o es,
.. (b. c) " • . b + a .e y que .. X lb . ,) .. " X b • • X t.
(e ) LSe puede apli t .r l. ley nocial;". iI los prod ... cto~ .... etorl.
les , esto es, ;1 X (b X el es igual a la X DI )( c? !Tiene ,) 'gún
se ntido habl . .. de una ley . .. oc ;. t; ". para product~s 1I:5,.lares1
Gel gr áfico obtenemos:
al ;- . b" ab cos O ... (1)
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b)
- 21-
b a .. a b cos El . .. (2 )
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Del grU i co :
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2S. El produ<; t o e~~.L <lr e n f>o t .a<;i ón de L ve c t o r uni t ario . Rep re~en le-
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- 12-•
-os lotos vect o r e s en (unel&' de sus coor de nada s u f :
• . l. • j . • k • • , , ,
• - ¡ b • •• • k b • J , , De-ost ,.ar ana l l ti~nte que :
~~dos I~~ vec tor es :
T al+ •• • . ••• • , , b . b Y + • .,:r • • • • , ,.
"-strOl rt:lllO S :
;.1) .. (a i +aJ1ali].(bT+bJ+ b f) ..• (1) ~ y l • Y l
T.T .. J.T" k.k- 1
I.T .. T.r .. T.¡" O
,\p I fcando (2) en (1)
1 (2)
a . b .. (T.TI a b + {T.na b + (T.k} a b f ~ ~ Il Y • 1
1. (T.ila b + (r.)) a b + (j.k} a b .. y. yy yl
(k.TI a b f (Ir. . j) a" f {k.k} a b .lo .. Z y 1. 1
a . b-ab + a b la" JI"" " I.l
2& . Apl ¡cando la def in ic i6n de producto esca lar a . b" ab CO$ ~ y
el hecho de que a . b _ a b t a b • a b (véase e l probo 25), .. ~ ,y II
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- 23-
o btene r e l 'ngulo entre lo s d05 ve c:: t o r es daodo s por, ;1 .. J i + ]j .
]11 Y b - 2 1 + j + ]11 .
Sc!u.ci6" : G.lodo : 11 .. )T t ]T - j i(
b .. 2T t T + ]k
;1 ) iI .b .. ] x 2 t ] x 1 + (. ] x ] )
'i". h -6 + ] 9
¡.h O
•
c:: ) Dete,~in;lc::i6n del ingul o que fo , .. o :
; .b .. IIb c:: os ~
C::0ffI0 a. b - O
.. c::o s ~ O
• OO·
27. [ 1 p r oduc::to vec::tor i al en not ac;: l6n ~~ I vec::to r un i ( ;lrio. Oemos t r.
IIlICI l i t ic::amenteque;lltb- i l.b 'II~J + j(lIb ·;lb) + y 1: t y I X X l
11 (. b -;1 b). (Sugerenc::ill el Probo 2 j) . x y y X
Solu.WII :
Dados los vec::tores :
~streremos que :
. , ,
'i""b - Tia b -a b )+T(a b -a b ) +k(. b -a b ) y l Z y I " XI lI y yx
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SilbemoS :
T;w:. j l· • (11
k · i
;;w:.b - (1, T + .. r + .. k) K (b T + b r ~ bk} lo; Y 1 K '1 1
,llo; b .. (¡xna b • (Tx})" b • (Txk) a b • • • ., . , (TKT).. b • (¡-X)) . b • (Jxk) . b • , . , , , ' (kKT) ,l b • (kxj). b • Ckxk). b , . , , , ,
ut i I i lando (1) . obt e nemos :
"xb .. k. b -T. b -ka b +T. b +r. b +Ta b -Ta b x y x z )' x )'Z Z l I X Iy
axb .. T(. b - a b 1+) (. b -. b )+k( . b - a b ) y z l y ZXX Z x y )' x
28 . Oemos t r .r que l. Magnitud de un produc t o ve c tor i a l d" numé r i e. -
,...,n te . 1 S~.;O d. 1 p .. ~ .. lelogr....., for .... do por lo~ du~ vectores cOI!
ponen t n como lados (véase l . F ig . 2- 15). LSug iere esto la i de a
de cómo rep re sentar medi a nte un vec t o r un elemen t o de j rea o rien
lado e n e l espaciol
• ;iol.uc.i6n :
Sabernos que el j( ea de un p"ra l e l~
gramo, en el <jJr j( ico est j
ah. donde:
h -bsen $
alo;b . .. bsen40- ah
d.dO"'''L_ ; / b :t.sen,;.
~' :.,
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• 2 ~. Demostrar que el ¡¡'ea del triángulo conten ido en tre los vec t or e :
lor es abso lutos i vt; .. se l . Fi g. 2-15).
SotucWJl:
DelllOsl rar<!'llOS o.,,.:
Sabemos que al área de un tri ángu lo fo r~ado po r a y b es l a mi
Iilld de la de un paril.le t og r aoKl (ve r 9ráf ¡ ,o de l p ro b l ema 26 )
oh A .-
" 2
1 (a x b ) 2
oh 2 ,
30 . Demostrar que a. (b x el es numéricamen t e i gua l a l volumen del
paralelepípedo formado sob re 105 tres vecto re s a, b y c.
De l gráf ico obtenemos:
b x e .. be sen e • á rea del pa r a le logramo (OPQR)
Se .. : d . b , < perpendicu1.11r .1 y
pl .. " o rorlRado po' b , <. S
;¡ - T ,
• , . . d(a .) , • <0'
j donde :
a<:o$41 . h ", paralelogramo
(O RST) . O 5 p ,
¡. (b"C) .. a-.d- d. ; - d{acost ) , d{acos 4l) .. (Ar ea deIO.oPQR)n
que e~ el volumen del paralelepípedo de aristas b, e y a .
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