Cap 6 elasticidad 156-168

Cuaderno de Actividades: Física I

6) ELASTICIDAD

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 156


6) ELASTICIDAD

6,1) Introducción

Cuerpos ← Deformables{Descripción adecuada}

→ Esfuerzo

→ Deformación

→ Módulos elásticos

Y

S

B

→ Régimen elástico

6.2) Esfuerzo y deformación

Experimentalmente:

Li ≡ L

A: sección transversal

Se observa:

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

L A

F

F

F

∆L

L

F

F

157


→ los ∆L van a depender de las F

y A {siempre en régimen elástico}

→ los ∆L dependen de L

Se define:

a) Esfuerzo, s: (Fuerza por unidad de área)

FEsfuerzo s

A= =

b) Deformación, e: (Deformación unitaria)

L

Deformación eL

∆= =

Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las deformaciones.

Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación

EM

D

= 1

→ s

s Me Me

→≡ ≡


D

E

Régimen elástico

158


M ∼ 1010 2

N

m

¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica, plástica y de ruptura.

¿? Podría describir curvas s-e especiales.

6.3) Módulos elásticos

i) Modulo de Young, Y

Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

/

/

F AY

L L≡

∆ N/m2

ii) Modulo de corte, S

Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte)


A F

h

f

F

∆x

h

xtg

∆=θ

h θ f

159


Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una pequeña distancia ∆x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza.

La resistencia al desplazamiento ∆x se describirá en base al modelo S,

/

/

Esfuerzo de corte F AS

Deformación de corte x h≡ ≡

∆

→ Fh

SA x

≡∆

iii) Modulo volumétrico, B

Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.


F A

F

F

F

160


Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico esta definido por,

Si esta presión, F

pA

≡ , se escribe como una variación

de presión, p∆ ,

/

pB

V V

∆≡ −∆

En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.

Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0.

Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0.

¿? Existirán otros módulos elásticos.

Ejercicio 1:

1° Ideal


/ /

/ /

F A F AB

V V V V≡ − ≡ −

∆ ∆


v2(0) ≡ 0

→ MRUV Polea idealCuerda ideal, ∃ m

m1,m2 , puntuales

L = 2 m1 = 3, m2 = 5

φ = 4 x 10-3

¿? t

2° Polea real → a afectada → I=I (m,r) , f ← polea

⇒ CR⇒ MRUV

3° Cuerda real→ Deformación→ CR→ MRUV

4°→1º) t ≡¿?

2,54

ga ≡ = → t(y2 ≡0) ≡?

y(t) ≡y (0)+ v(0) t - 2

1at2

2

2

5,2010 t−+≡


y

m2

h2 ≡1mm1

162


5,2

2≡t

5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?

w2 – T = m2 a T = w2 – m2 a≡ 50 – 5 x 2,5T ≡ 37,5

/

/

F A FLY L F T

L L YA≡ → ∆ = ¬ =

∆

Yacero ≡ 20 x 1010

( ) mxx

xL µ

π6,27

1021020

25,372310

=≡∆→−

t ≡ ¿?

Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el sistema…veamos que es asi,


Acero

A

-F F

-L 0 x x

163


Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica que puede expresarse de esta manera,

,1

2p elEF AL

uA L unidad de volumen

≡ ×

Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x, descrita por,

/

/

AYF A

x Lx FY

L ÷

≡ ≡→

De tal forma que la fuerza del sistema será,

elast

AYF x

L→ ≡ − {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como

la respuesta elástica del sistema, siempre que el proceso se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}

Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,

{ , , , , , , , ,elF

p el p el f p el i p el f p elW E E E E E≡ −∆ ≡ − + ≡ − ≡ −

20 , ,0

1/

2el

LF Lp el p el

AY AYW x dx x E E

L L

∆ ∆ ≡ − × ≡ − ≡ −∆ ≡ − ÷ ∫

2,

1

2 p el

AYL E

L→ × × ∆ ≡

2,

1

2 p el

AYL E

L → ∆ ≡



1

2

A→ ×L

( /F A× )

( L∆ / )L2L× ∆ ,p elE≡

,

1

2 p elF L E→ ∆ ≡

,1

2p elEF L

uAL AL

∆→ ≡ ≡

→ 1

2

F Lu

A L

∆ ≡ ÷ ÷

1

2s e u≡

¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus tres fases notables: elástica, plástica y de ruptura.

S6P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F, determine la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza.

SOLUCION:


d/2 D/2F F

L

165


De ( )

2,

2 2

D dFL Fdx dL dL y x

YA Y y Lπ−

∆ ≡ → ≡ ≡ +

( ) ( )2 20

0

2 2

2

L

I

Fdx F dx FdL L

Y YD d D dYd x d x

L

dD

L L

π ππ

≡ ≡→ ∆ ≡ ≡

− − + +

∫

144424443

?I→ ≡

D du d x

L

− ≡ + ÷

D ddu dx

L

− ≡ ÷

( ) 2

*

D

d

I

L du LI

D d u dD → ≡ ≡ − ∫

* 1 1 1D

dI

u d D → ≡ − ≡ − ÷ ∫

02FLL

Y dDπ→ ∆ ≡ →

2L F

L Y dDπ∆ ≡


b/2d/2

L

Y

A(x) D/2 d/2 y F 0 x X Ax L

166


S6P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un ángulo θ en el vértice.

a) Calcule la deformación del alambre.b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre

en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010 Pa).

SOLUCION:

DCL (m):

T θ

m

w

Datos: m=1, l=2, d=φ=10-4, Yacero = 21x 1010.

Del equilibrio en la vertical,

...cos secT mg T mgθ αθ≡ → ≡

Y de la dinámica circular,

2

...' , 'tcp cp

vF Tsen ma m R l sen l l l

Rθ βθ≡ ≡ ≡ ¬ ≡ ≡ + ∆

De α y β, 2

..t n .a'tvmg m

l senθγθ ≡

a) Del modulo de Young,


θ

m

167


2 22

4sec

2

FL Tl TlY Y l T mg

LA Y ddl

θπ

π≡ → ≡ → ∆ ≡ ¬ ≡

∆ ∆ ÷

2 2

4 seclmgl

Y d

θπ

∆ ≡

b) T (periodo)=?, con la condición 23

T mgπθ≡ → ≡ ( T: tensión)

2( )T periodo

w

π≡

La frecuencia angular la obtenemos de β,

2cpF Tsen mθ≡ ≡ g senθ m≡ 'l senθ 2w

2 2'

'

g gw l l l w

l l l→ ≡ ¬ ≡ + ∆ → ≡

+ ∆

Con lo que el T queda,

22

l lT

gπ + ∆≡ 0,0242usando l∆ ≡ → 0,6T π≡



S6P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso = w, área transversal = A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformación de la barra considerando la deformación por peso propio.

SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x,

( )x

w x wL

≡ ÷

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,


barra

L

2w

X

dx w(x) x

0 w w(x)

169


{ } { }( )( )

wx dx

w x dxFLY

A

wLd L xdx

AY AY LAYL

÷ ∆ ≡ ≡ ≡→≡

∆

Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,

0 1 2

L wLL L

AY

wL xdx

LAY∆ ≡ → ∆ ≡ ∆ ≡∫

Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la pesa 2w,

2

(2 ) 2w L wLL

AY AY∆ ≡ ≡

Con lo que la deformación total es, 1 2

2

2

wL wLL L L

AY AY∆ ≡ ∆ + ∆ ≡ +



S6P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2

se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos.a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismob) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?c) ¿Qué deformación sufre cada varilla?Modulos de Young:Cobre: 11 x 1010 PaAcero: 20 x 1010 Pa

SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,

a) Determinamos L de la condición . Mostramos DCL de cada varilla en la

dirección de interés y aplicamos la condición,


F A1 L1 L A2 F

171


Calculando,

b) Calculando los esfuerzos,

c) Calculando las deformaciones,


F ∆L1 F

F ∆L F

172

d


S6P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108, el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.

SOLUCION:

a) Determinación de la fuerza de corte,

F

De la ecuación del esfuerzo de corte,

Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.

b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,

w

d

F




w

174


S6P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos.Determine:a) La deformación producida en la barrab) En donde se produce el esfuerzo máximo

SOLUCION:

a)

b) De ,

por lo tanto, en r=L,


M w L dm dFcp

r dr O

175

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