Cap 7 mas 180-204

Cuaderno de Actividades: Física I

7) Movimiento Armónico Simple

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180


7) Movimiento Armónico

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.

Movimiento ← Armónico: sen, cos

Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.

i) Descripción Cinemática del MAS

τ:,, avr

Fenomenología del MAS

Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta confinada para –A ≤ x ≤ A,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

µ=0

PE

x≡-A 0 x≡+A x

181


¿Cómo debería ser x (t) ≡?

→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +

Donde,

w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.

w = w{k,m}

A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.

c.i.:{x (0) ∧ v (0)}

Para la velocidad, { }cosdx

v A tdt

ω ω δ≡ ≡ +

→ ( ) { }cosv t Aw wt δ≡ +

Para la aceleración, { }2dva Aw sen wt

dtδ= ≡ − +

→ ( ) { }2a t Aw sen wt δ≡− +

Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).

La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.

ii) Descripción Dinámica del MAS



La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,

( )F x cx=− , c: depende del sistema

Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.

F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ≡ ma

a ≡ √ → v ≡ √ → x ≡ √

FR ≡ F = -k x ≡ m x

m x +kx ≡ 0

x + kx

m≡ 0

x + w2x ≡ 0, 2wm

k =

→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ + k

wm

¬ =

W: frecuencia angular →2 1

( ) ( ) 2T periodo frecuencia linealw T

π ν ω πν→ →= = =

A,δ: c.i.

X: Posición→ Elongación

A: Amplitud

δ: Desfasaje


F(x)

• x -A 0 x A

183


7.2) Casos especiales de MAS

i) Sistema m-k

1)1)


PE m k µ =0

184


3)

Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.


PE

2) k d

m PE’

PE

PE’ k

o m d o’ α

185


Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).

ii) Sistema l–g

wt ≡ w senθ

→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ

θ: pequeño→ senθ ∼θ

→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx

FR,t ≡ mat

mg− mθ = lθ

20g

l

gw

lθ θ+ ≡ ¬ =

→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ, g

wl

≡ k

m

. δ : desfasaje


O O g t g θ

l

wt θ

PE w

n PE θ: describe la posición

186


Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,

→ ( ) { }ms t s sen wt δ≡ + ; m s ms A lθ≡ = , g

wl

≡

iii) Péndulo Físico

Es un CR pendular,

wr

produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,

τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg

θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ

rw Iθ θ⇒ − ≡ &&← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),


CR 0

PE

0 rr

C

θ

PE wr

187


⇒ 0dmg

Iθ θ + =

&& , 2 dmg

wI

=

→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}

22

dmg Iw T T

I w dmg

π π≡ → = → =

iv) P éndulo de Torsión


A

0 0

P θ P

PE PE

188


Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:

τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ ↑

k: constante de torsión (de la varilla)

Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}

Re s kτ τ θ≡ ≡ −

,Reext s Iτ τ α= ≡ ← O: punto fijo.

Re s k Iτ τ θ θ≡ ≡ − ≡ &&

→ 0k

Iθ θ+ ≡&& ; var , 0 :disco

illaI I punto fijoξ =≡

→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ← kw

I= , 2

IT

kπ=

7.3) Energía en el MAS

i) Energía Cinética, Ek

21:

2km E mv=

Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}

v(t) ≡ x& (t) ≡ Aw cos{wt + δ}

{ }2 2 21cos

2kE mA w wt δ= +



ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el

2,

1

2p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE

{ }2 2,

1

2p elE kA sen wt δ≡ +

iii) Energía Mecánica, EM

EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,

{ } { }2 2 2 2 21 1cos

2 2ME mA w wt kA sen wtδ δ≡ + + + ←mw2 = k

21

2mE kA≡ ← En particular sistema m–k

Gráficos:

i) Ek


Ek

21

2kA

0 T t

190


ii) Ep

¿?


21

2kA Ek

-A 0 +A x

Ep

0 T t Ep

x 0

191


¿?

Observaciones:

En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,

EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE

EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’

7.4) Oscilaciones amortiguadas

Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de fricción

f ≡ a + bv + cv2 + …


0

x

192


≡ f (v)

Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,

{ {Rresorte medio

F kx bv mx≡ − − ≡ &&

0k b

x x xm m

+ + ≡→ && & ← MAA

Comparaciones: { }2 0x w x+ ≡&& ← MAS

m – k : k

wm

=

l – g : wl

δ=

PF : mgd

wI

=

PT : k

wI

=



1) Caso de interés: wb < wr

( ) { }2 cosbt

mx t Ae wt φ−

≡ + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial

2

2

k bw

m m ≡ −

: Frecuencia de oscilación

La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.

r

kw

m≡ → w del resorte,

2b

bw

m≡ → “w” del medio


X

A 2

bt

me−

0 t

194


2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,

3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,


x

t

x

t

195


S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,

a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud

de 0,5 m.

SOLUCION:

λ = 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kg

Oscilador armónico amortiguado

Wb < w0 ≡ wk

Oscilador críticamente amortiguado

Wb ≡ w0

Oscilador sobreamortiguado

Wb > w0

( ) ( )2 cosbt

mx t Ae tω φ−

→ = + en donde 2

2

k b

m mω = − ÷

a)2b

bw

m→ =

0,11

2 2 0,31b

bw w

mλλ≡→ = ≡ =

×

0,11

2 2 0,31b

bw w

mλλ≡→ = ≡ =

× ∼ 0,18 ; 0

180

024

1,

,31k

kw w

m→ = = = =

→ wb < w0 ≡ wk :MAA

b) 0 ; ?2b

b kw w b

m m→ = → ≡ ≡

2 2 180 0,31b kmλ→ ≡ ≡ ≡ × ∼ 2 55,8 ∼15



c) ( ) { }2 cosbt

mx t Ae wt φ−

≡ +

x(0) = 0,5

( ) { }0,11

2 0,310,5 cos 581 0,03t

x t e t−

×≡ −


X

A 2

bt

me−

0 t

197


S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:

a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?

SOLUCIÓN:

200 20010

2 2

kw

k

m m

= = ==

=

( )( )0 0,05

. .0 0

x mc i

v

= + =

a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05

v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0

De la última Ec φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05

→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)

→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)

Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π /2?

b) Recordando la relación v-x

2 2

1x v

A Aw + = ÷ ÷



{ }

2 2

2

0,51

3 3

0,5 4

3

44

A v

A Aw

vv mv x−

+ = ÷ ÷

= −→ = → = ± → → ÷

c) Recordando la relación a-x

2a w x= −

{ }2 0,0510

22,5aa m x = − → → −

= −÷

d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?

15

tπ= ←

2 2

5T

w w

π π π= = = → F (+)! veamos

FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5

S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).

SOLUCIÓN:



Nos proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones iniciales son,

0 : (0) 0 (0) 1,5t x v≡ ≡ ∧ ≡ −

Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),

( ) { }( ) { }cos

x t A sen wt

v t Aw wt

δδ

≡ +

≡ +

a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,

( ){ } ( ) 22 0

0v

A xw

≡ +

Reemplazando datos, { }2

2 1,50 0,75

2A

− ≡ + ≡

0,75A ≡

b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),


g k

v(0) m

t =0 X

x(0)=0 v(0)

v(0)

200


( ) { }( ) { }

0,75 2

1,5 cos 2

x t sen t

v t t

δδ

≡ +

≡ +

Para t=0 y vecindades,

( ) ( ){ } { }( ) ( ){ } { }0 0,75 2 0 0,75

0 1,5 cos 2 0 1,5 cos

x sen sen

v

δ δ

δ δ

≡ + ≡

≡ + ≡

Para satisfacer x(0)=0, 0δ ≡ ,π , el valor correcto es δ π≡ , con lo cual las ecuaciones quedan,

( ) { } { }( ) { } { }

0,75 2 0,75

1,5 cos 2 1,5 cos 2

2x t sen t sen t

v t t tππ

≡ −

≡ −

≡

≡ +

+

S6P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t.Si: X = A cos (w0 t + φ)g: aceleración de la gravedad

SOLUCION:


g k

+ X = 0 m

-

201


En :PE mg kd′ ≡

Desde 0: 'x d x≡ +

{ }'RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +

0 ' ' 'kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡ − ≡− − ≡ ≡&& &&

' ' 0k

x xm

+→ ≡&&

Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia

kw

m≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es 'RF kx≡ − , cuando se

escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,

como la 'RF kx≡ − , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto,

M K peE E E≡ +


PE 0 d PE’ 0’ x

x’

X, X’

202


S6P32)

Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?

SOLUCI Ó N :

( ) ( ) ( ),2 2, ,: RES MAX

MAX MAS RES MAX

FM m a A F M m A

M mω ω+ ≡ ≡ → ≡ +

+1442443

: SRM

fFM a

M M

−≡ ≡ RES,MAXF

→ ,SR

M MAX

mgFa

M M

µ−≡ ≡ RES,MAXF

DCL (M):

De las ecuaciones anteriores,


µs B k P

a

m Fres

M

0

a fS,M ≡ µs mg

FRES

FR ≡ FRES -µs mg

203


2 RES S SF mg k mg

M M

µ µω − −→ ≡ ≡ MAXMAX

AA ← 2k =ω( M+ m )

( )2 2sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MAXA A

s mµ→ 2g mω≡( )2 2

0,6 10

2 1,5s

MAX

g x

xA

ω πµ→ ≡≡MAXA → 2

6

9MAXAπ

≡

Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m. Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M

respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)

S6P6)

En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M≡ masa del disco,R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.

SOLUCIÓN:

x pequeño → MAS , w0 = ?x = s = Rθ

P’ // CM : τ = I α

( ) [ ]

23

2

2 2 21 3

2 2

MR

kx R MR MR MR k R Rτ θ θ θ = − = + = = −

6447448

&& &&


k R

M

t M k 0 FR

P

0 o’

204


0

20

3

2

3

kk

Mw

Mθ θ→ + ≡ =⇒&&

S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.

SOLUCION:


k

r

θ

205


α) De la dinamica rotacional,

:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −

Por la “rodadura”: x rθ≡

2

2

2...1

mrkr Tr W mgθ θ− ≡ − ¬ ≡&&

De la dinámica traslacional,

( )RF T kx W m x≡ − − + ≡ &&

Usando nuevamente la rodadura, T kr W mrθ θ− − + ≡ &&

2 2 ...: 2xr Tr kr Wr mrθ θ− − + ≡ &&

De 1 y 2, 3

22

...3kr W mrθ θ− + ≡ &&

, 2 2

Haciendo kr W krµ θ µ θ≡ − + → ≡ − &&&&

3

2m rµ→ ≡

2k r

µ× −&& 4 4

30

3

k

m

kgw

Wµ µ → + ≡ →÷ ≡

&&


P x P 0 O

T kx

x O’ X θ w P’ P

206

{ }0)0 0 //β ′ ′


( ) ( ) ( ) 20'

3: 2

2kx r W r mrτ θ − ≡ −

&& 1)

De la rodadura: x rθ≡ 2)

2) → 1): 22kr W rθ − 23

2mr≡ − θ&& 3)

Sea 3

2 22

kr W kr m rµ θ µ θ µ≡ − → ≡ → ≡ −&&&&2k r

µ×&& 4

03

k

mµ µ→ + ≡&&

4

3

kgw

W≡


Cap 7 mas 180-204

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