CAP 8. Angulos. Baldomero

7/26/2019 CAP 8. Angulos. Baldomero

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Trigonometra66

Prof. Baldomero Rodrguez

NGULOnguloeslaaberturaformadapordossemirrectascon un mismo origen llamado "vrtice". Lassemirrectassellamanlados".Elngulosedesigna

tradicionalmente por una letra griega. Medir unngulo es compararlo con otro que se toma porunidad.Desde muy antiguo se ha tomado comounidad el grado sexagesimal que se obtiene as:

Aldividirelpermetro de una circunferencia en360partesiguales y un ngulo de un grado esel que tiene el vrtice en el centroy sus ladospasan por dos divisiones consecutivas. Cadadivisin de la circunferencia se llama tambingrado.

Cada grado se considera dividido en 60 partes

iguales llamadas minutos y cada minuto en 60partes iguales llamadas segundos.

Los smbolos para estas unidades son:grado minuto segundo

Ejemplo:Si un ngulo AOB mide 27

grados 7 minutos52segundosy se escribe:

27 7' 52"

para convertir al sistema decimal:

3600

52

60

727"52'727 ++==

131,27=

Ejercicios propuestos:Expresar los siguientes ngulos en el sistema

decimal:(a) 32 59 34 (b) 45(c) 5 36 (d) 29 59 60

Sistema circularEl sistema circular utiliza como unidad el

ngulollamado"radin".

Un radian es el ngulo cuyalongitud del arco es de iguallongitud de los lados que lo forman.

RelacinentregradosexagesimalyelradianSea la medida de un ngulo en grado

sexagesimal y R la medida del mismo enradianes, adems el permetro de unacircunferencia es .2 radianes equivalente a unngulode360, al dividir:

R

==

180

.2

360 donde ...14159,3=

enelcaso particular que radianR 1= resulta:

"45'17572958,571 =radian Ejemplo:

Expresar en radianes un ngulo de 120utilizando la igualdad anterior:

R

120

1416,3

180=

al despejar la incgnita: radianesR 09,2=

Ejercicios propuestos:(a) Expresar los siguientes ngulos en el

sistema circular:

(a) 30 (b) 150 (c) 720 (d) 20(b) Expresar los siguientes ngulos en el

sistema sexagesimal:(e) 1,571 rad. (f) 0,786 rad.

(g) 6,807 rad. (h) 3,142 rad.

CLASIFICACIN DEL ANGULO

BisectrizLa bisectriz de un

ngulo es la semirrectaque tiene como origenelvrtice y divide alnguloen dos ngulos iguales.

ngulo adyacenteSon los que estn formados

de manera que un lado escomn y los otros dos ladospertenecen a la misma recta.

ngulo rectoEs el ngulo que mide 90.

ngulo llanoEs el ngulo que mide 180.

ngulo agudoEs el ngulo que esta comprendidoentre 0 y 90.

ngulo obtusoEselnguloque esta comprendidoentre 90 y 180.

ngulos complementarios

"52'727=

AO

B

B

radian

A

ROR

R

O 2

2

bisectriz

o

O 90

O180

O

O

O 3060


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Trigonometra 67


Son dos ngulos que sumados resulta unngulo recto, es decir, 90.

Elcomplementodeunnguloeselngulo quele falta a ste para ser un ngulo recto.

Ejemplo:Encontrarelcomplementodelngulo "37'1532 Resolucin:

Ejercicios propuestos:Hallarloscomplementos delossiguientesngulos:

(a) 27 (b) 45 (c) 27 15 (d) 72 34 57

ngulos suplementariosSon los ngulos que sumados

resulta un ngulo llano o dosngulos rectos, es decir, 180.

El suplemento de un ngulo es el ngulo quelefalta a ste para ser dos ngulos rectos, dosngulosadyacentes son suplementarios.Ejemplo:Encontrar el valor de la incgnita.

Resolucin:180.2120 =++ xx

60.3 =x por lo tanto: 20=x

Ejercicios propuestos:

Encontrar el valor de la incgnita.

ngulos opuestos por el vrticeLos ngulos opuestos por el

vrtice son iguales.Ejemplo:

Encontrar el valor de laincgnita.Resolucin: 75=x


Encontrar el valor de la incgnita.TRINGULOSEn general un tringulo es la figura geomtrica

formada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Lospuntosde interseccinA, B y C son los vrticesdeltringulo, lossegmentosa, b y c son los lados deltriangulo y los ngulos

y, sonlosngulosinteriores del triangulo.Independientemente del tringulo la suma de

los ngulos interiores es:

180=++ El permetro de un tringulo es la suma de los

tres lados.permetrocba =++

Elreadeuntrianguloes:

( ) ( )2

halturabbaseArea

x=

Ejemplos:(a) Encontrarelvalorde .Resolucin:

1801927 =++ donde 134=

(b) Los catetos de un tringulorectngulo miden 1cm. y 2 cm.Construirel tringuloycalcular

el rea.Resolucin:La base es cmb 2= y cmh 1= sustituyendo:

22.. 12

2

2

12

2cmcm

cmcm xxhbArea ====

Respuesta: El rea del tringulo es de 21 cm

Ejercicios propuestos:(a) Encontrarelvalorde.

(b) Encontrarelvalorde la incgnitadel siguientetriangulo.

(c) Los ladosdeuntringulomiden3 cm., 4 cm.y 5 cm. Construir eltringulo y calcular el rea.

CLASIFICACINDELOSTRINGULOSEs posible clasificar tomando en cuenta suslados y considerando los ngulos internos,atendiendo a sus lados:

Tringulo isscelesEs un tringulo que tiene dos lados

iguales, en este caso los ngulos

opuestos a estos lados, tambin soniguales.

Tringulo equilteroEs un tringulo que tiene sus tres

lados iguales, en este caso los tresngulos tambin son iguales.

Tringulo escalenoEs un tringulo que tiene sus tres

lados diferentes y por lo tanto susngulos son tambin desiguales.

Tomando en cuenta los ngulos: Tringulo acutngulo

30 o 150

O

x.2

120

x

O

x.3

x.4

x.2

o

o75x

Ox.3x.2

A

C

B

c ba

b

h

27

19

901

2

110

34

x.270

x

a a

b

a

a

a

c

ab


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Trigonometra68


Es un tringulo donde sus tres ngulos sonagudos.

Tringulo obtusnguloEs un tringulo que uno de sus

ngulos es obtuso.

Tringulo rectnguloEs un tringulo que tiene un

ngulo recto. Los lados deltringulo rectngulo recibennombres especiales, los catetos a y b son loslados que forman el ngulo recto y la hipotenusac es el lado opuesto al lado recto adems deser el segmento ms largo de los tres lados.

Elfilsofoymatemtico griego Pitgoras vivientre los aos 582 y 500 a.C., Pitgoras encontruna relacin entre los lados de un tringulorectngulo que lo inmortaliz, el enunciado es elsiguiente:

Elcuadradode la longitud de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de laslongitudes de los catetos

En forma analtica: 222 bac +=

RAZONES TRIGONOMTRICASEl hombre al estudiar el

firmamento nocturno descubrique cualquier tringulo que sedibuje dentro de un semicrculotomando en cuenta que la basedel semicrculo es la hipotenusa del tringulo, elresultado es un tringulo rectngulo. Esto originel desarrollo de la trigonometra o el estudio deltriangulo rectngulo.

Todo ngulo adems de su medida en gradossexagesimales, le corresponden unas relacionesque se obtienencomococienteentre lasmedidasde las longitudes de los lados de un tringulorectngulo construidosobreelngulodado. Estasrelaciones se llaman razones trigonomtricas.

Seno Es el cociente entre la longitud del cateto

opuestoylalongituddelahipotenusa.

( )ca

hipotenusaopuestocateto

sen ==

Coseno Es el cociente entre la longitud del cateto

adyacente y la longitud de la hipotenusa.

( )cb

hipotenusaadyacentecateto

cos ==

Tangente Es el cociente entre la longitud del cateto

opuesto y la longitud del cateto adyacente.

( )ba

adyacentecatetoopuestocateto

tg ==

o tambin: ( ) ( )

( )

cos

sentg =

Cotangente Es el cociente entre la longitud del cateto

adyacente y la longitud del cateto opuesto.

( )ab

opuestocatetoadyacentecateto

ctg ==

resultando el inverso de la tangente:

( )( )

gt

gct1

=

Secante Es el cociente entre la longitud de la

hipotenusa y la longitud del cateto adyacente.

( )bc

adyacentecatetohipotenusa

ecs ==

resultando el inverso del coseno: ( )( )

cos

sec1

=

Cosecante Es el cociente entre la longitud de la

hipotenusa ylalongituddelcatetoopuesto.

( )a

c

opuestocateto

hipotenusaeccos ==

resultando el inverso del seno: ( )( )

ens

cosec1

=

Unicidad de las razones trigonomtricasEsimportanteresaltarqueparaunmismongulo

lasfraccionestrigonomtricas son independientesdel tamao del tringulo rectngulo, es decir, noimportaeltamaodeltriangulorectngulo, sitienenel mismo ngulo sus lados son proporcionales yporlotantolasrazonestrigonomtricassoniguales

90

a

b

c

90 a

b

c

ao

b

90

aanguloalopuestocateto

banguloaladyacentecateto

chipotenusa


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Trigonometra 69


La razn trigonomtrica de la tangente paracada triangulo es:

( )3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

atg ===

Ejemplo:

Dado el siguiente tringuloencontrar las seis relacionestrigonomtricas.Resolucin:

Como primer paso se encuentra el catetoadyacenteutilizandoelteoremadePitgoras

222 bac +=

Despejando b: 22 acb = para unidadesc 5= y unidadesa 3=

41692335 22 ====b

lasrelacionestrigonomtricasson:

( )5

3==


sen

( )5

4==


cos

( )4

3==

adyacentecatetoopuestocateto

tg

( )3

4==

opuestocatetoadyacentecateto

ctg

( )45==

adyacentecatetohipotenusaecs

( )3

5==

opuestocatetohipotenusa

eccos

Ejercicios propuestos:Encontrar las razones trigonomtricas de los

siguientes tringulos:

(a) (b)

RAZONES TRIGONOMTRICAS

DE NGULOS NOTABLES

A continuacin se presenta un cuadroresumen de las razones trigonomtricas con losngulos ms frecuentes:

Ejemplo:Dado el siguiente triangulo

rectngulo determinar el catetoadyacente.Resolucin:

El coseno relaciona el cateto adyacente con lahipotenusa:

( )82

330

bcos == despejando 34=b

Ejercicios propuestos:Un mstil proyecta una sombra de 4mts. cuando el sol est a 60 sobre elhorizonte. Cul es la altura del mstil?

ENTRETENIMIENTO:A continuacin se presenta una forma curiosa

de presentar una tabla resumen de valores delsenoy el coseno:

INVERSAS DE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS

Paraindicarlaoperacininversadeunarelacintrigonomtrica se antecede el trmino arco alnombre de la relacin y significa el ngulo cuyarelacintrigonomtricaes:.

Ejemplo:

( )sen

( )cos

( )tg

( )sec

( )ccs

( )ctg

0 30 45 60 90ngulorelacin

trigonomtrica

2

1

2

1

2

3

2

2

2

2

2

3

2

3

0

1 0

1

0 3

31

3

3

1 0

13

32

23

32

2

2

2

1

1a

1b

2a 3a

2b3b

3c

1c

2c

3

5

8

6

2

3

30

b

8

60

mts4

h

201234

43210

906045300

enocos

seno


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Trigonometra70


Si ( )2

2=sen , Cul es el ngulo que

satisface la igualdad?

Resolucin: 4522 =

= senarc 45=

Ejercicios propuestos:Encontrarelnguloque satisface cada igualdad:

(a)

2

2cosarc (b) ( )1tgarc

(c)

2

3senarc (d) ( )1secarc

IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPara encontrar la primera identidadtrigonomtricaseelevar larelacindelsenoyelcosenoal cuadrado para luego sumarlos:

( )2

222

2

ca

ca


sen =

=

=

( )2

222

cb

cb


cos 2 =

=

=

( ) ( )2

22

2

2

2

22

c

ba

c

b

c

acossen 2

+=+=+

el teorema de Pitgoras establece: 222 bac +=

sustituyendo: ( ) ( ) 12

2

2

222 ==

+=+

cc

cba

cossen 2

en conclusin la primera identidad trigonomtricaestablece una relacin entre el senoy el coseno:

( ) ( ) 12 =+ 2cossen

Para encontrar otras identidades se realizanuna serie de artificios, como por ejemplo,partiendo de la primera identidad se divide

ambos miembros por el coseno:( ) ( )

( ) ( )

22

2

coscoscossen 12

=+

( )( )

( )( ) ( )

22

2

2 coscoscos

cossen 12

=+

resultandolasrazonesdelatangenteylasecante:( ) ( ) 2sectg =+12

Partiendo de la primera identidad trigonomtricase encuentra la relacin entre la cotangentey la

cosecante, para ello se procede a dividir por elseno:

( ) ( )( ) ( )

22

2

ensenscossen 12

=+

( )( )

( )( ) ( )

22

2

2 ensenscos

enssen 12

=+

( ) ( ) 2sccctg =+ 21 Ejemplo:

Dado ( )12

5=tg , calcular las dems razones

trigonomtricas.Resolucin:La identidad que relaciona la tangentey la secante:

( ) ( ) 2

sectg =+12

despejando la secantey sustituyendo:

( ) ( ) 1144

251

12

51

2

2+=+

=+= tgsec

( )12

13

144

169

144

169

144

14425===

+=sec

el inverso de la secantees el coseno:

( )( ) 13

12

12

13

11===

ecscos

La primera identidad trigonomtrica relacionael senoy el cosenoes:

( ) ( ) 12 =+ 2cossen despejando el senoy sustituyendo:

( )169

144169

169

1441

13

121

2

==

=ens

el senoes: ( )13

5

169

25

169

25===ens

la tangentey la cotangenteson inversos:

( )( ) 5

12

12

5

11===

gtctg

el inverso de la cosecantees el seno:

( )( ) 5

13

13

5

11===

enscsc



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Trigonometra 71


(a) Dado ( )3

4=ctg , calcular las dems razones

trigonomtricas.

(b) Dado ( ) 5

2=

sen , calcular las dems razonestrigonomtricas.

RELACIONES

TRIGONOMTRICAS DELA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE DOSNGULOS

Larelacindelsenoes:

( )OA

AEsen =+

pero: ACCEAE += y BDCE=

sustituyendo en la relacin delseno:

( )OA

AC

OA

BD

OA

ACBDsen +=

+=+

multiplicandoelnumeradoryeldenominador de laprimera fraccin por OB y por AB la segundafraccin:

( )AB

AB

OA

AC

OB

OB

OA

BDsen +=+

reordenando: ( )

AB

AC

OA

AB

OA

OB

OB

BDsen +=+

donde: ( )OB

BDsen = , ( )

OA

OBcos =

( )OA

ABsen = y ( )

AB

ACcos = ,

sustituyendo:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cossencossensen +=+

Acontinuacinsepresentan las relaciones msfrecuentesdelasuma algebraica de dos ngulos,dejando al lector la opcin de obtenerlos en

formasimilaralodesarrollado anteriormente:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cossencossensen =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) enssencoscoscos = m

( ) ( ) ( )

( ) ( )

tgtg

tgtgtg

=

m1

Ejemplo:Calcular ( )75sen :

Resolucin:( ) ( )453075 +=sensen ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3045453075 cossencossensen +=

recurriendoalatabla resumen de ngulos notables:

( )4

62

4

6

4

2

2

3

2

2

2

2

2

175

+=+=+=sen


Calcular:(a) ( )75cos (b) ( )15tg

RelacionestrigonomtricasdengulodoblePartiendo de las relaciones trigonomtricas de

la suma de dos ngulos, en el caso que = resulta para el seno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cossencossensen +=+

( ) ( ) ( ) cossensen = 2.2 para el coseno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) enssencoscoscos =+

( ) ( ) ( ) 2.2 sencoscos 2 = para la tangente:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

tgtg

tgtgtg

+=+

1 ( )

( )( )

21

2.2

tgtg

tg

=

Ejemplos:(a) Calcular ( )120cos :Resolucin:

( ) ( ) ( ) 2.2 sencoscos 2 =

( ) ( ) ( ) ( )6060602120 2sencoscoscos 2 ==

recurriendo a la tabla resumen:

( )4

31

4

3

4

1

2

3

2

1120

22

==

=cos

( )2

1120 =cos

(b) Si ( )5

3=sen , determinar el senoy el coseno

del ngulo .2 .Resolucin:La primera identidad relaciona el senoy el coseno:

( ) ( ) 21 sencos = sustituyendo:

( )25

925

25

91

5

31

2

==

=cos

( )5

4

25

16

25

16===cos

el senode .2 : ( ) ( ) ( ) cossensen = 2.2

sustituyendo: ( )25

24

5

4

5

32.2 ==sen

A

B

C

DEO


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Trigonometra72


el cosenode .2 : ( ) ( ) ( ) 2.2 sencoscos 2 =

sustituyendo:

( ) 25

7

25

9

25

16

5

3

5

4

.2

22

==

=

cos

Ejercicios propuestos:(a) Calcular ( )120gt

(b) Si ( )2

1=ens , determinar el seno y el

cosenodel ngulo .2 .

Relacionestrigonomtricasdengulomitad

Partiendo de la identidad del ngulo doble delcoseno:

( ) ( ) ( ) 2.2 sencoscos 2 =

pero la primera identidad establece:

( ) ( ) 21 sencos 2 =

sustituyendo en la identidad anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) 222 211.2 sensensencos ==

despejando el seno: ( ) ( )

2

.21

cossen

=

realizando el siguiente cambio =.2 donde

es igual a:2

= , sustituyendo:

( )2

1

2

cossen

=

realizandounplanteamiento similarparaelcoseno:

( )2

1

2

coscos

+=

para latangente:

( )

( )

( )

( )

sen

cos

cos

costg

=

+

=

1

1

1

2

Ejemplos:(a) Calcular ( )15sen :Resolucin:

( )2

1

2

cossen

=

( ) ( )

2

30115

2

30 cossensen

==

( )4

32

4

32

22

31

15

=

=

=sen

( )2

3215

=sen

(b) Si ( )2


del ngulo2

.

Resolucin:La primera identidad relaciona el senoy el coseno:

( ) ( ) 21 sencos = sustituyendo:

( )4

3

4

14

4

11

2

11

2

=

==

=cos

( )2

3=cos

el senode2

:

( )2

1

2

cossen

=

sustituyendo:

4

32

2

2

32

2

2

31

2

=

=

=

sen

2

32

4

32

2

=

=

sen

el cosenode2

:

( )2

1

2

coscos

+=

sustituyendo:

4

32

22

32

22

31

2

+=

+

=

+

=

cos

2

32

4

32

2

+=

+=

cos


(a) Calcular ( )5,22tg

(b) Si ( )5


del ngulo2

.


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Trigonometra 73


RESOLUCINGENERALDETRINGULOS NO RECTANGULOS

Ley de los senos

EltringulorectnguloACD:( )

bCD

sen =

donde: ( )senbCD =

eltringulorectnguloBCD:

( )a

CDsen = donde: ( )senaCD =

igualando: ( ) ( ) senasenbCD ==

presentndolo de otra forma:( ) ( )

b

sen

a

sen =

Siguiendo con el tringulorectnguloACE:

( )b

AEsen = donde: ( )senbAE =

eltringulorectnguloABE:

( )c

AEsen = donde: ( )sencAE =

igualando: ( ) ( ) sencsenbAE ==

presentndolo de otra forma:( ) ( )

bsen

csen

=

en conclusin: ( ) ( ) ( )c

senb

sena

sen ==

Losladosdeuntringulosonproporcionales a lossenosde los ngulos opuestos

Ejemplo:Los ngulos internos de

tringulo no rectngulo son:60= y 45= ,yunode los

ladosmide cmc 3= .Determinarlalongitudde los lados faltantes.

Resolucin:la suma de los ngulos internosdeuntringuloses: 180=++

en este caso:1804560 =++ despejando: 75=

aplicando la ley de los senos:( ) ( ) ( )

csen

bsen

asen

==

sustituyendo:( ) ( ) ( )

3

754560 senb

sena

sen==

tomandoencuentalosdosltimostrminos:

( ) ( )3

7545 senb

sen=

despejando la incgnita:

( )( ) ( )622

243

4

62

2

2

375

453

+

=

+==

sensen

b

llevandoasumnimaexpresin: 333 =b

tomandoencuentalosdosprimerostrminos:

( ) ( )b

sena

sen 4560=

despejando la incgnita:

( ) ( )( )

( )

2

2

2

3

13345

60333 ==

sensen

a

llevando a su mnima expresin:

( )2

632933

2

23 ==a

Ejercicios propuestos:(a) Un ngulo de un tringulo no rectngulo es

45= , y dos lados miden .2cma= y.1 cmb= Determinar los ngulos y la longitud

de los lados faltantes, construir el tringulo ycalcularelpermetroyelrea.

(b) El lado diferente deun triangulo issceles es.4cmc= y el ngulo opuesto es 30= .

Determinar los ngulos y la longitud de loslados faltantes, construir el tringuloycalcularelpermetroyelrea.

Ley de los cosenos

Aplicando el teorema dePitgoras al tringulorectnguloACD:

( ) ( )222 CDADb += Aplicando el teorema de Pitgoras al tringulo

rectnguloBCD:

( ) ( )222 CDBDa +=

despejandoeltrmino ( )2CD y sustituyendo en laigualdad anterior:

A B

C

D

E

ab

c

ab

.3cm

60 45

A B

C

D

ab

c


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Trigonometra74


( ) ( )222 BDaCD = ( ) ( )2222 BDaADb += por resta de segmentos:

BDcAD = otambin ( ) ( )22 BDcAD = sustituyendo en la igualdad anterior:

( ) ( )2222 BDaBDcb += desarrollando el producto notable y reduciendo asu mnima expresin:

( ) ( )22222 ..2 BDaBDBDccb +

+=

( ) ( )22222 ..2 BDaBDBDccb ++= BDcacb ..2222 +=

para el tringulo rectnguloBCD la relacin delcosenoes:

( )a

BDcos = o tambin ( )cosaBD =

sustituyendo en la igualdad anterior:

( )coscaacb += ..2222

anlogamente, se demuestra:( )coscbcba += ..2222

( )cosbabac += ..2222

El cuadrado de un lado de un tringulo esigualalasuma de los cuadradosdelos otrosdos lados, menos el duplo del producto dedichos lados, por el coseno del ngulo queforman

Ejemplo:La longitud de los lados de un

triangulo no rectngulo son:

cma 23= , cmb 32= y

( )cmc 33+= . Determinar lamagnitud de los ngulos internos del triangulo.

Resolucin:Partiendo de la igualdad trigonomtrica:

( )coscbcba += ..2222

despejandoelcosenoresulta: ( )cb

acbcos

..2

222+

=

sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )33322233332

..2

222222

+

++=

+=

cbacb

cos

( )

( ) ( )1312

366

3334

18336912

+

+=

+

+++=cos

( ) ( )

( ) 21

1312

136=

+

+=cos

602

1=

=arccos en conclusin: 60=

aplicando otra igualdad trigonomtrica:

( )coscaacb += ..2222

despejandoelcosenoresulta: ( )ca

baccos

..2

222+

=

sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )33232322333

..2

222222

+

++=

+=

cabac

cos

( )

( ) ( )33263618

3326

12183369

+

+=

+

+++=cos

( ) ( )

( ) 22

2

1

3326

336==

+

+=cos

452

2=

=arccos

la suma de los ngulos internos de un tringulo es:

180=++ en este caso:

1804560 =++

despejando: 75=

Ejercicios propuestos:(a) La longitud de los lados de un triangulo no

rectngulo son: cma 23= , cmb 32= y

)cmc 33+= . Determinar la magnitud delosngulos internosdel trianguloutilizandoelteorema del coseno, construir el tringulo ycalcularelpermetroyelrea.

(b) El lado diferente de un triangulo issceles es.32 cmc= y el ngulo opuesto es 45= .

Determinar los ngulos y la longitud

de

los

lados

faltantes utilizando el teorema del coseno,construir el tringulo y calcular el permetro y elrea.

ENTRETENIMIENTO:Esta operacin con nmeros romanos est

errada. Pero si se mueve uno de los palillosqueforman los smbolos se convertir en unaoperacin que tiene sentido.

2332

33+


10/15

Trigonometra 75


TEMA DE DISCUSINDesarrollar equipos de

trabajo para investigar eltema planteado, tanto

histricamentecomo actual yla repercusin en su vidadiaria.

RESPUESTAS A LOSEJERCICIOS PROPUESTOS

Conversin al sistema decimal(a) 32,993 (b) 45 (c) 5,6 (d) 30

Conversinalsistemacircularysexagesimal:Expresar en el sistema circular:(a) 0,524 rad. (b) 2,618 rad.(c) 12,566 rad. (d) 0,349 rad.Expresar en el sistema sexagesimal:(e) 90 (f) 45 (g) 390 (h) 180

ngulo complementario(a) 63 (b) 45 (c) 62 45 (d) 17 25 3

ngulos suplementarios180.9.3.4.2 ==++ xxxx resultando: 20=x

ngulos opuestos por el vrtice360.10.3.2.3.2 ==+++ xxxxx resultando: 36=x

Tringulos

(a) 18034110 =++ despejando: 36= (b) 180.270 =++ xx '403667,36 ==x (c) .12543 cmcbap =++=++=

22.. 62

12

2

34

2cmcm

cmcm xxhbArea ====

Razones trigonomtricas(a) Como primer paso se encuentra

la hipotenusa utilizando elteoremadePitgoras 222 bac +=

despejando 22 bac +=

para unidadesa 6= y unidadesb 8= 10100643686 22 ==+=+=c

las relaciones trigonomtricas son:

( )5

3

10

6==sen , ( )

5

4

10

8==cos , ( )

4

3

8

6==tg ,

( )3

4

6

8==ctg , ( )

4

5

8

10==ecs , ( )

3

5

6

10==eccos

(b) Como primer paso se encuentra elcatetoopuestoutilizando elteoremadePitgoras 222 bac +=

despejando: 22 bca =

para unidadesb 2= y unidadesc 3=

54923 22 ===a

las relaciones trigonomtricas son:

( )35=sen , ( )

32=cos , ( )

25=tg , ( )

23=ecs

( )5

52

5

2==ctg , ( )

5

53

5

3==eccos

ngulos notables

( )4

360 h

tg == despejando la

altura h: .. 93,634 mtsmtsh ==

Inversa trigonomtrica

(a) 45 (b) 45 (c) 60 (d) 0 Identidades trigonomtricas

(a) ( )5

3=sen , ( )

5

4=osc , ( )

4

3=tg

( )3

4=ctg , ( )

4

5=sec , ( )

3

5=cosec

(b) ( )5

2=sen , ( )

5

21=osc , ( )

21

212=tg

( )2

21=ctg , ( )

21

215=sec , ( )

2

5=cosec

Suma y resta de ngulos(a) ( ) ( )453075 +=coscos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4530453075 sensencoscoscos =

( )4

26

2

2

2

1

2

2

2

375

=

=cos

(b) ( ) ( )304515 =tgtg

( ) ( ) ( )

( ) ( )32

3

31

3

31

30451

304515 =

+

=+

=

tgtgtgtg

tg

ngulo doble(a) ( ) ( )602120 = gtgt

( ) ( )

( ) ( ) 3132

31

32

601

602120

22 =

=

=

tgtg

tg

( ) 3120 =tg

(b) ( )2

1=ens aplicando la primera identidad se

obtiene ( )2

3=cos

8

6

2

3

60

mts4

h

cmo se calculael nmero pi ( p)?


11/15

Trigonometra76


( ) ( ) ( )2

3

2

3

2

122.2 === cossensen

( ) ( ) ( )22

2

2

1

2

3.2

== sencoscos 2

( )2

1

4

2

4

13

4

1

4

3.2 ==

==cos

ngulo mitad

(a) ( ) ( )

( )

2

2

2

21

45

451

2

455,22

=

=

=

sen

costgtg

( ) 12

2

225,22 =

=tg

(b) ( )5

4=sen aplicando la primera identidad se

obtiene ( )5

3=cos

( )5

5

5

1

25

2

25

35

25

31

.2 ===

=

=sen

5

52

5

4

25

8

25

35

25

31

2 ===

+

=

+

=

cos

Teorema del seno

(a)( ) ( ) ( )

csensensen

==12

45

tomando en cuenta los dosprimeros trminos:

( )2

1

2

2

2

==sen el inverso del senoes:

30

2

1=

=arcsen ,lasumadelos ngulos

internos de un tringulo es:1803045 =++=++

despejando 105= conociendo el senode este ngulo:

( ) ( )6045105 +=sensen

( ) ( ) ( ) ( ) ( )45606045105 cossencossensen +=

( )4

62

2

2

2

3

2

1

2

2105

+=+=sen

tomandoencuentalosdosltimostrminos:( ) ( )

2

1

1

30==

csensen

despejando:

( )2

622

+== senc

el permetro:2

6221 +++=++= cbap

.2

6232

2

62222cmp

++=

+++=

para calcular el rea serequiere conocer la altura h,aplicando la relacintrigonomtrica del seno:

( )12

245

hsen == por lo tanto cmh

2

2=

sustituyendo:

2

..

4

31

2

2

2

2

62

2 cm

cmcm xxhb

rea +

=

+

==

(b) La suma de los ngulos internos de untringulo es: 180=++

por ser un tringulo issceles los ngulosopuestos a los lados de igual longitud soniguales, es decir = :

18030.230 =+=++ despejando: 75=

aplicando el teorema del seno:( ) ( )

4

3075 sena

sen=

despejando a y tomando en cuenta que

anteriormentesecalculel ( )4

6275

+=sen :

( )( )

( ) cmsen

sena 622

2

1

4

624

30

754+=

+

=

=

para calcular el permetro:cmcbap 62222 +++=++=

( ) cmcmp 73,1162224 =++= paracalcularel rea se requiere conocer la alturah,aplicandolarelacin trigonomtrica del seno:

( )ah

sen =+

=4

6275

por lo tanto: ( ) cmh 324+= , sustituyendo:( )

2

3244

2

.. cmcm xxhbrea

+==

( ) 2324 cmrea +=

c

.2cm

45

.1cmh

( )cm33 +

cm23

cm32

h

a a

cm4

30h


12/15

Trigonometra 77


Teorema del cosenoAplicando el teorema del coseno:

( )coscbcba += ..2222

despejando el coseno: ( ) cb acbcos ..2

222

+=

sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )33322233332

222

+

++=cos

( )( ) ( )1312

366

3334

18336912

+

+=

+

+++=cos

( ) ( )

( ) 21

3112

316=

+

+=cos

el inverso del cosenoes: 6021

=

=arccos

repitiendo el calculo para otra identidad:

( )coscacab += ..2222

despejando el coseno: ( )ca

bcacos

..2

222 +=

sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )33232323323

222

+

++=cos

( ) ( ) ( )33263618

3326

12336918

+

+

=+

+++

=cos

( ) ( )

( ) 22

2

1

3326

336==

+

+=cos

elinversodelcosenoes: 452

2=

=arccos

lasumadelos ngulos internos de un tringuloes:

1804560 =++=++ despejando 75=

el permetro:

( ) cmcbap 332332 +++=++= ( ) cmcmp 44,123213 =++=

paracalcularelrea se requiere conocer la alturah,aplicandolarelacintrigonomtrica del seno:

( )322

360

hsen == por lo tanto cmh 3=

sustituyendo: ( )

2

333

2

.. cmcm xxhbrea

+==

2

2

339cmrea

+=

(b) La suma de los ngulosinternos de un tringulo es:

180=++

por ser un tringulo issceles los ngulosopuestos a los lados de igual longitud soniguales, es decir = :

180120.2120 =+=++ despejando: 30=

aplicando el teorema del coseno:( )coscbcba += ..2222 en este caso a=bpor

lo tanto: ( )coscacaa += ..2222 ( )coscac = ..22

despejando a y sustituyendo:

( ) ( ) cmcoscos

c

a 2

2

3

3

302

32

2 ====

para calcular el permetro:cmcbap 3243222 +=++=++=

( ) cmcmp 46,7324 =+= paracalcularelrea se requiere conocer la alturah,aplicandolarelacintrigonomtrica del seno:

( )22

130

hsen == por lo tanto: cmh 1=

sustituyendo: 2132

2

.. cmcm xxhbrea ==

22 73,13 cmcmrea ==

AUTOEVALUACINVerificar el dominio sobrenmerosracionales,

respondiendoestaprueba,sipresentadificultadesse recomienda, revisar de nuevo el texto oconsultar con su facilitador los objetivos que noha logrado.

Ejercicio No. 1Expresar los siguientes ngulos en el sistema

circular:(a) 45 (b) 30 (c) 0 (d) 120(e) 60 (f) 120 (g) 360 (h) 450

Ejercicio No. 2Expresar los siguientes ngulos en el

sistema sexagesimal:(a) 4,712 rad. (b) 0,785 rad. (c) 0,262 rad.(d) 3,142 rad. (e) 1,047 rad. (f) 2,094 rad.(g) 6,283 rad. (h) 7,854 rad.

120

aah

32


13/15

Trigonometra78


45

mts6 h

Ejercicio No. 3Hallar los complementos de los siguientesngulos:(a) 88 (b) 0 (c) 27 15 (d) 37 44 18

(e) 32 (f) 15 (g) 15 35 (h) 51 14 34Ejercicio No. 4

Encontrar el valor de la incgnita.a) (b)

Ejercicio No. 5Encontrar el valor de la incgnita.(a) (b)

Ejercicio No. 6(a) Encontrarelvalorde.(a.1) (a.2)

(b) Encontrar el valor de la incgnita.(b.1) (b.2)

Ejercicio No. 7

(a) Losladosdeuntringulomiden7cm.,6cm.y

13 cm. Calcular el permetro y el rea.(b) Losladosdeuntringulomiden3cm.,4cm.y

5 cm. Calcular el permetro y el rea.

Ejercicio No. 8

Encontrar todas relaciones trigonomtricas delos siguientes tringulos:(a) (b)

(c) (d)

Ejercicio No. 9Una escalera de 6 m. de

longitud esta apoyadaenunmuroformandounngulo de 45. Qualtura se puede alcanzar con laescalera?.

Ejercicio No. 10Encontrar el ngulo que satisface cada igualdad:

(a)

2

1arccos (b) ( )1arctg

(c)

2

1arcsen (d) ( )0arctg

Ejercicio No. 11Dado lassiguientes identidadescalcularlasdems

relacionestrigonomtricasutilizandolasidentidades.

(a) ( )7

4=cos (b) ( )

8

3=sen

Ejercicio No. 12Calcular: (a) ( )75sco (b) ( )15tg

(c) ( )15sen (d) ( )75tg Ejercicio No. 13Calcular:(a) ( )120cos (b) ( )120sen

(c) Si ( )6

5=cos ,calcularelsenoy el cosenodel

ngulo .2 .

(d)Si ( )5

2=cos ,calcularelseno

y el coseno del ngulo .2

Ejercicio No. 14Calcular: (a) ( )15ens (b) ( )15cos

(c)Si ( )6

5=cos ,calcularelseno

y el cosenodel ngulo2

.

(d)Si ( )15

7=ens ,calcularelseno

y el coseno del ngulo2

.

Ejercicio No. 15(a) El ngulo de un tringulo no rectngulo es30= y dos de sus lados son .2cma= y

cmb 2= . Aplicando el teorema del senodeterminar los ngulos y la longitud de loslados faltantes, construir el tringulo ycalcular el permetro y el rea.

(b) El ngulo de un tringulo no rectngulo es75= y dos de sus lados son .2 cma= y

cmc 26= . Aplicando el teorema delseno determinar los ngulos y la longitud de

O

x.5

x.4

x.3

Ox.3

x.2

4

5

2

13

80

45

x.2x 60

O

x.2

x.3

x

O

x.3

x

100

30

45x.2

x

4

3

27


14/15

Trigonometra 79


los lados faltantes, construir el tringulo ycalcular el permetro y el rea.

Ejercicio No. 16(a) Los lados iguales de un tringulo issceles

son de cm2 y los ngulos iguales son30= . Aplicando el teorema del coseno

determinar los ngulos y la longitud de loslados faltantes, construir el tringulo ycalcular el permetro y el rea.

(b) Los lados iguales de un tringulo isscelessonde cm2 y losngulos igualesson 30= .Aplicando el teorema del coseno determinarlos ngulos y la longitud de los ladosfaltantes, construir el tringulo y calcular elpermetro y el rea.

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACINEjercicio No. 1:(a) 0,785 rad. (b) 0,524 rad. (c) 0 rad.(d) 2,094 rad. (e) 1,047 rad. (f) 2,094 rad.(g) 6,283 rad. (h) 7,854 rad.

Ejercicio No. 2:(a) 270 (b) 45 (c) 15 (d) 180(e) 60 (f) 120 (g) 360 (h) 450Ejercicio No. 3:

(a) 2 (b) 90 (c) 62 45 (d) 52 15 42(e) 58 (f) 75 (g) 74 25 (h) 38 75 26

Ejercicio No. 4:(a) 180.12.5.4.3 ==++ xxxx

15=x

(b) 180.6.3.2 ==++ xxxx 30=x

Ejercicio No. 5:(a) 360.10.3.2.3.2 ==+++ xxxxx

36=x

(b) 360.8.3.3 ==+++ xxxxx

45=x Ejercicio No. 6:(a.1) 1808045 =++

180125=+ 55=

(a.2) 18010030 =++ 180130 =+ 50=

(b.1) 18060.2 =++ xx 120.3 =x 40=x

(b.2) 180452 =++xx 135.3 =x

45=x

Ejercicio No. 7:

(a) cmcmcmPerimetro 1376 ++=

)cmPerimetro 1313+=

( ) ( )2

.6.132

cmcmhbArea ==

2133 cmArea =

(b) cmcmcmPerimetro 543 ++= cmPerimetro 12=

( ) ( )26

2

.4.3

2 cm

cmcmhbArea ==

=

Ejercicio No. 8:(a) Para determinar el cateto opuesto, el

teorema de Pitgoras establece:

39162545 2222 ===== bca

( )5

3=sen , ( )

5

4=cos , ( )

4

3=tg

( )3

5=eccos , ( )

4

5=ecs , ( )

3

4=ctg

(b) Encontrando el cateto adyacente:

( ) 39413213 2222 ===== acb

( )13

132=sen , ( )

13

133=cos , ( )

3

2=tg

( ) 213=eccos , ( ) 313=ecs , ( ) 23=ctg (c) Para determinar la hipotenusa, el teorema de

Pitgoras establece:

52543 2222 ==+=+= bac

( )5

3=sen , ( )

5

4=cos , ( )

4

3=tg

( )3

5=eccos , ( )

4

5=ecs , ( )

3

4=ctg

(d) Para determinar el cateto adyacente, elteorema de Pitgoras establece:

534527 2222 ==== acb

( )7

2=sen , ( )

7

53=cos , ( )

53

2=tg

( )2

7=eccos , ( )

53

7=ecs , ( )

2

53=ctg

Ejercicio No. 9:

( )62

245

hsen ==

despejando cmh 23=

O

x.5

x.4

x.3

80

45

x.2x 60

90

13

67

45

mts6 h

O

x.2

x.3

x

Ox.3

x.2

Ox.3

x

100

30

45x.2

x

90

3

45


15/15

Trigonometra80


Ejercicio No. 10:(a) 60 (b) 45 (c) 30 (d) 0

Ejercicio No. 11:(a) calculando el cateto opuesto

33164947.. 22 ===oc

( )7

33=ens , ( )

4

33=tg ,

( )33

334=ctg , ( )

4

7=sec , ( )

33

337=csc

(b) calculando el cateto adyacente

5596438.. 22 ===ac

( )8

55=cos , ( )

55

553

55

3==tg ,

( )3

55=ctg , ( )

55

558=sec , ( )

3

8=csc

Ejercicio No. 12:

(a)4

26 (b) 32

33

33=

+

(c)4

26 (d) 32

33

33+=

+

Ejercicio No. 13:

(a)21 (b)

23

(c) ( )18

115.2 =sen y ( )

36

112 =.cos

(d) ( )25

214.2 =sen y ( )

25

172 =.cos

Ejercicio No. 14:

(a)2

32 (b)

2

32 +

(c) 63

2 =

sen y 633

2 =

cos

(d)30

11415

2

=

sen y

30

11415

2

+=

cos

Ejercicio No. 15:

(a) )cmc 31+= , 45= y 105= ( )cmPerimetro 3122 +++=

cmPerimetro 323 ++=

( ) cmcmsenh 1

2

12302 ===

( ) ( )2

2

31

2

131

2 cm

hbArea

cmcm +=

+=

=

(b) cmb 2= , 75= y 30=

)cmcmcmPerimetro 2622 ++= )cmPerimetro 264 +=

cmh 322

262

22 +

=

=

( )2

2

1

22

322

26

cmhb

Area

cmcm

=

=

=

+

Ejercicio No. 16:

(a) cmc 32= y 120= cmcmcmPerimetro 3222 ++=

( )cmPerimetro 324+=

( ) cmcmsenh 12

12302 ===

( )23

2

132

2 cm

hbArea

cmcm==

=

(b) cmc 32= y 120=

cmcmcmPerimetro 3222 ++=

( )cmPerimetro 324+= ( ) cmh 13422 32 ===

( ) ( )23

2

132

2 cm

hbArea

cmcm==

=

30 30

cm2cm2

h

c

c

cm2

30

cm2h

90

33 7

4

90

3 8

55

2

75

26

75

2 30

h

30 30

cm2cm2

h

c

CAP 8. Angulos. Baldomero

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Transcript of CAP 8. Angulos. Baldomero